(完整word)初三2019二模几何证明题23题(上海)

2019年上海各区初三二模数学试卷23题专题汇编（教师版）崇明23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ． 过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ． （1）联结OE ，若BE AOEC OF=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分） 证明(1)∵90ABD ∠=︒,BC DE ⊥∴//AB DE ………………………………………………………………（1分） ∴AO BOOF OD=………………………………………………………………（2分） ∵BE AOEC OF =∴AO BEOF EC=……… ………………………………………………………（2分） ∴//OE CD …………………………………………………………………（1分） (2)∵BC AD //，//AB DE ，∴四边形ABED 为平行四边形 又∵90ABD ∠=︒∴四边形ABED 为矩形 ……………………………………………………（1分） ∴AD BE =，90ADE ∠=︒ 又∵CD BD ⊥∴90BDC BDE CDE ∠=∠+∠=︒︒=∠+∠=∠90BDE ADB ADE∴CDE ADB ∠=∠ …………………………………………………………（1分）AD CD =∴DCA DAC ∠=∠∴()A S A CDF ADO ..∆≅∆…………………………………………………（1分） ∴OD DF =DE AB //ABCDOE F图7∴AF BE ADAC BC BC==…………………………………………………………（1分） ∵BC AD //∴BODFBO OD BC AD ==…………………………………………………………（1分） ∴AF DFAC OB=…………………………………………………………………（1分） 奉贤23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF ⊥BE ，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG=AF ．（1）求证：CG ⊥BE ；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF=CB ．23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =．90ABC． ··········· （1分） ∵AF ⊥BE ，∴90FAB FBA ∠+∠=︒．∵90FBA CBG ∠+∠=︒，∴FAB CBG ∠=∠． ································ （1分） 又∵AF BG =，∴△AFB ≅△BGC ． ············································· （2分）∴AFB BGC ∠=∠． ······································································· （1分） ∵90AFB ∠=︒，∴90BGC ∠=︒，即CG ⊥BE ． ······························· （1分） （2）∵ABF EBA ∠=∠，90AFB BAE ∠=∠=︒，∴△AEB ∽△FAB ．∴AE AFAB BF=． ················································· （3分） ∵点E 是AD 的中点，AD AB =，∴12AE AB =．∴12AF BF =．··················· （1分） ∵AF BG =，∴12BG BF =，即FG BG =．············································ （1分） ∵CG ⊥BE ，∴CF CB =． ······························································· （1分）ABCD FG E 图8闵行（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线BD AC 、相交于点O ，AC BD 2=，过点A 作CD AE ⊥，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ，过点C 作AC CG ⊥，与AE 的延长线相交于点G . 求证：（1）DOA ACG ∆∆≌;（2）AG DE BD DF ⋅=⋅223．证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分） （2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴ CD OD DF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分）又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分）嘉定23．（本题满分12分，第(1)小题6分、第(2)小题6分）如图6，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，△EBC 沿直线EC 翻折，使B 点落在矩形ABCD 内部的点P 处，联结AP 并延长AP 交CD 于点F ，联结BP 交CE 于点Q ． （1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）如果PE PA =，求证：△APB ≌△EPC ．23.（1）证明：由翻折得:EC 垂直平分BP ………………1分∴EQ BQ = ………………1分 ∵点E 为AB 的中点，∴EB AE = ………………1分 ∴EQ 是△ABP 的中位线，∴EC ∥AF ，……………1分 ∵四边形ABCD 是矩形∴AE ∥FC ………………1分 ∴四边形AECF 是平行四边形. ………………1分（2）∵AE ∥FC ，∴EQB APB ∠=∠ ………………1分由翻折得: ︒=∠90EQB ,︒=∠90EPC∴︒=∠=∠90EPC APB ………………1分 由翻折得:EB PE =,BEC PEC ∠=∠∵PE PA =,EB AE = ∴AE PE PA ==∴△AEP 是等边三角形，∴︒=∠=∠60AEP PAB …………1分 ∵︒=∠+∠+∠180BEC PEC AEP∴︒=∠60PEC ………………1分AB DCF PEQ图6∴PEC PAB ∠=∠ ………………1分 ∵PE PA =,∴△APB ≌△EPC ………………1分 黄埔23．（本题满分12分）如图6，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，DO =BO ，过点C 作CE ∥AC ，交BD 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，且满足DCE ACB ∠=∠. （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）求证：DE ADEF CD=.23. 证明：（1）∵AD ∥BC ，∴AD DOBC BO=， ∵DO =BO ，∴AD BC =，--------------------（2分）∴四边形ABCD 是平行四边形. ------------------------------------------------------------------------（1分） ∵CE ⊥AC ，∴90ACD DCE ∠+∠=︒，∵DCE ACB ∠=∠，∴90ACB ACD ∠+∠=︒，即90BCD ∠=︒，------------------------（2分） ∴四边形ABCD 是矩形. --------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，90ADC ∠=︒---------------------------------------（2分）∵AD ∥BC ，∴DE EFBD FC=.--------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE EFAC FC =，------------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AC EF FC=，∵90ADC ACF ∠=∠=︒， ∴cot AC ADDAC FC CD∠==，----------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AD EF CD =.--------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）ABC DEF图6OA B CDO E H F 第23题图金山22. 已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.23.（1）证明：∥四边形ABCD 是菱形，∥BC AD //，DAC BAD ∠=∠2,DBC ABC ∠=∠2; （2分） ∥180=∠+∠ABC DAB ; （1分） ∥DBC CAD ∠=∠;∥ABC BAD ∠=∠, （1分） ∥1802=∠BAD ; ∥90=∠BAD ; （1分） ∥四边形ABCD 是正方形. （1分） （2）证明：∥四边形ABCD 是正方形；∥BD AC ⊥，BD AC =，AC CO 21=,BO DO 21=； （1分） ∥90=∠=∠DOC COB ，DO CO =； （1分） ∥CE DH ⊥，垂足为H ；∥90=∠DHE ，90=∠+∠DEH EDH ； （1分） 又∥90=∠+∠DEH ECO ；∥EDH ECO ∠=∠； （1分） ∥ECO ∆≌FDO ∆； （1分） ∥OF OE =. （1分）普陀23．（本题满分12分）已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2．23．证明：（1）∵ ACE BCD ∠=∠，∴DCE BCA ∠=∠． ········································· （1分）∵EC ED EA =⋅2，∴ED ECEC EA=． ······················································ （1分） 又∵E ∠是公共角，∴△EDC ∽△ECA ． ·············································· （1分） ∴DCE CAE ∠=∠． ········································································· （1分） ∴BCA CAE ∠=∠．∴AD ∥BC ． ·················································································· （1分） ∵AD BC <，∴AB 与CD 不平行．∴四边形ABCD 是梯形． ····································································· （1分） （2）∵△EDC ∽△ECA ．∴EC CDEA AC =． ∵EC AB EA AC=，∴AB DC =．··························································· （1分） ∴四边形ABCD 是等腰梯形． ···························································· （1分） ∴B DCB ∠=∠． ··········································································· （1分） ∵AD ∥BC ．∴EDC DCB ∠=∠．图10A BCD E∴EDC B ∠=∠．∵ECD ACB ∠=∠，∴△EDC ∽△ABC ． ········································ （1分） ∴ED DCAB BC=． ··············································································· （1分） ∴AB ED BC =⋅2． ······································································ （1分） 徐汇22. （本题满分（12分），第（1）题满分6分，第（2）小题满分6分） 如图，已知梯形ABCD 中，E AC AB BC AD ,,=∥是边BC 上的点，且CAD AED ∠=∠,DE 交AC 于点F(1) 求证：DAF ABE ∽△△(2) 当EC AE FC AC ⋅=⋅时，求证：BE AD = 23. ：（1）BC AD // ACB CAD ∠=∠∴ AC AB = ACB B ∠=∠∴ 又CAD AED ∠=∠CAD AED ACB B ∠=∠=∠=∠∴ 又CED AED BAE B ∠+∠=∠+∠ CED BAE ∠=∠∴又BC AD // CED ADF ∠=∠∴ ADF BAE ∠=∠∴ CAD ABE ∠=∠ ABE ∆∴相似于DAF ∆（2）由（1）知ABE ∆∴相似于DAF ∆AF BE AD AB =∴AFADBE AB =∴ BC AD // FC AF EC AD =∴FCECAF AD =∴ FC ECBE AB =∴ 由（1）知:CED BAE CED B ∠=∠∠=∠,ABE ∆∴相似于ECF ∆ FC BE EC AB =∴ FCEC BE AB =∴ EC AE FC AC ⋅=⋅ FCECAE AC =∴AEAC BE AB =∴ 又AC AB = AE BE =∴ BAE B ∠=∠∴又AED B ∠=∠ AED BAE ∠=∠∴DE AB //∴ 又BC AD //∴四边形ABED 是平行四边形 BE AD =∴杨浦1、 （本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于H ，联结HA 、HC 求证：（1）四边形FBGH 是菱形 （2）四边形ABCH 是正方形23．证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点， ∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ． ........................ （2分）同理： GH // BF ． ........................................................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG. .................................................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ....................................................... （1分）证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ............ （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................................................. （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． .................................................. （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. .......................... （1分）∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. （1分）长宁23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵EC EB AE ⋅=2 ∴AEEB EC AE =又 ∵CEA AEB ∠=∠ ∴AEB ∆∽CEA ∆ （2分） ∴EAC EBA ∠=∠∵︒=∠90EAC ∴︒=∠90EBA （1分） 又 ∵︒=∠+∠180CBA EBA ∴︒=∠90CBA （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是矩形 （1分）（2）∵ AEB ∆∽CEA ∆ ∴ AC AB AE BE = 即 ACAE AB BE = ， ECA EAB ∠=∠ （2分）∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD AC =又 ∵BD OB 21=， AC OC 21= ∴OC OB = ∴ECA OBC ∠=∠ 又 ∵OBC EBF ∠=∠ ECA EBA ∠=∠ ∴EAB EBF ∠=∠又∵F F ∠=∠ ∴EBF ∆∽BAF ∆ （3分）∴AB BE AF BF = ∴ACAEAF BF =（1分） ∵AC AF = ∴AE BF = （1分）图5AB CDE FO宝山23．（本题满分12分，第(1)、第(2)小题满分各6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，联结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）如果P A=PC ，联结BP ，求证：∥APB ≅∥EPC ．第23题图23.（1）证明：由折叠得到EC 垂直平分BP ， ………………1分 设EC 与BP 交于Q ，∥BQ=EQ ………………1分 ∥E 为AB 的中点， ∥AE =EB ， ………………1分 ∥EQ 为∥ABP 的中位线，∥AF ∥EC ， ………………2分 ∥AE ∥FC ， ∥四边形AECF 为平行四边形； ………………1分 （2）∥AF ∥EC ，∥∥A PB =∥EQB =90° ………………1分由翻折性质∥E PC =∥EBC =90°，∥PEC =∥BEC ………………1分 ∥E 为直角∥APB 斜边AB 的中点，且AP =EP ，∥∥AEP 为等边三角形 , ∥BAP =∥AEP =60°， ………………1+1分︒=︒-︒=∠=∠60260180CEB CEP ………………1分 在∥ABP 和∥EPC 中， ∥BAP =∥CEP ，∥APB=∥E PC ，AP =EP ∥∥ABP ∥∥EPC （AAS ）， ………………1分松江23.（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ． （1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ，求证：22AB BF BO =⋅．23．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥DC ，AB=DC ………………………………………………………………（1分） ∵AB=AC ，∴AC=DC ……………………………………………………………（1分） ∵CO ⊥AD ，∴AO=DO …………………………………………………………（1分） ∵EO AOCO DO=，∴EO=CO ………………………………………………………（1分） ∴四边形ACDE 是平行四边形……………………………………………………（1分） ∵AC=DC ，∴四边形ACDE 是菱形……………………………………………（1分） （2）∵ OF=OC ，∴∠OFC=∠OCF ……………………………………………（1分） ∵AE=AC ，∴∠OCF=∠BEO∵∠OFC=∠BF A ，∴∠BF A=∠BEO …………………………………………（1分） ∵∠ABF=∠OBE …………………………………………………………………（1分） ∴△BF A ∽△BEO ，∴AB BFBO BE=………………………………………………（1分） ∴AB ·BE=BF ·BO ，∵AE=AC=AB ，∴BE=2AB ………………………………（1分） ∴22AB BF BO =⋅………………………………………………………………（1分）（第23题图）OECBA静安22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图5，在矩形ABCD 中，过AC 的中点M 作EF ⊥AC ， 分别交AD 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）如果2CD BF BC =⋅，求∠BAF 的度数．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AD //BC ， ∴∠1=∠2．..........................................（1分）∵点M 为AC 的中点，∴AM =CM ．在△AME 与△CMF 中，12AM CM AME CMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩..............................................（1分） ∴△AME ≌△CMF ．..........................................（1分） ∴AE =CF ．∴四边形AECF 为平行四边形． ·································································· （1分） 又∵EF ⊥AC ，∴平行四边形AECF 为菱形． ····································································· （1分） （2）∵2CD BF BC =⋅，∴CD BC BF CD =．又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB =CD ，∴AB BC BF AB =． ··········································································· （1分）又∵∠ABF =∠CBA ，∴△ABF ∽△CBA ． ·················································································· （1分） ∴∠2=∠3． ···························································································· （1分） ∵四边形AECF 为菱形，∴∠1=∠4，即∠1=∠3=∠4． ····································································· （1分） ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠BAD =∠1+∠3+∠4=90°，∴即∠1=30°． ······················································································· （1分）图5CFEDA BM图5CF EDA B M 124323．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ﹦AC ，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF ⊥DE 交AC 于点F ．（1）求证：∠BAD ﹦∠CBF ； （2）如果OD ﹦DB ．求证：AF =BF ．证明：（1）∵AB ﹦AC ， ∴AB AC =． ........................（1分）∵直线AD 经过圆心O ， ..................................................（1分） ∴AD ⊥BC ，BD=CD ． ....................................................（1分） ∵点E 为弦AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ∥AC ． ......................................................................（1分） ∵BF ⊥DE ，∴∠1=90°， ∴∠2=90°．......................................................................（1分） ∴∠CBF ＋∠ACB ﹦90°．∵AB ﹦AC ，∴∠ABC ﹦∠ACB ， .....................................（1分）∴∠CBF ＋∠ABC ﹦90°．.................................................（1分）又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠ABC ﹦90°，∴∠BAD ﹦∠CBF ．.............................................................（1分）（2）联结OB ．∵AD ⊥BC ，OD ﹦DB ，∴△ODB 是等腰直角三角形．.......................................................................................................（1分）∴∠BOD ﹦45°． ∵OB=OA ，∴∠OBA ﹦∠OAB ．∵∠BOD ﹦∠OBA +∠OAB ，∴∠BAO=12∠BOD=22.5°． .....................................................................................................（1分）∵AB=AC ，且AD ⊥BC ， ∴∠BAC=2∠BAO=45°． ∵∠2=90°，即BF ⊥AC ，∴在△ABF 中，∠ABF =180904545--=，................................................................................（1分）图6BCDEF OA· 图6 B C DE F O A·12OE第23题图 C A B D F∴∠ABF =∠BAC ，∴AF =BF ．.........................................................................................................................................（1分） 虹口23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE ∥AC ，联结OE 交BC 于点F ，点F 为BC 的中点．（1）求证：四边形AOEB 是平行四边形；（2）如果∠OBC =∠E ，求证：=BO OC AB FC ⋅⋅．23．（1）证明：∵BE ∥AC ∴OC CFBE BF=∵点F 为BC 的中点 ∴CF=BF ∴OC=BE ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=CO ∴AO=BE∵BE ∥AC ∴四边形AOEB 是平行四边形（2）证明：∵四边形AOEB 是平行四边形 ∴∠BAO =∠E ∵∠OBC =∠E ∴∠BAO =∠OBC∵∠ACB =∠BCO ∴△COB ∽△CBA ∴BO BC AB AC =∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AC =2OC ∵点F 为BC 的中点 ∴BC =2FC ∴BO FC AB OC= 即=BO OC AB FC⋅⋅青浦23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ． （1）求证：∠FGC =∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．23．证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC ． ··········································································· （1分）∵AB =AC ，∴AB =BC =AC ，∴∠B =∠BAC =60°． ··························· （1分） 在△EAC 与△FBA 中，∵EA =FB ，∠EAC =∠FBA ，AC =BA ， ∴△EAC ≌△FBA ， ································································ （1分） ∴∠ACE =∠BAF ，·································································· （1分） ∵∠BAF+∠F AC =60°，∴∠ACE +∠F AC =60°，∴∠FGC =60°， ······· （1分） ∴∠FGC =∠B ． ····································································· （1分） （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B =∠D ，AB =DC ，AB //DC ， ················································ （1分） ∴∠BEC =∠HCD ， ································································· （1分） ∴△BEC ∽△DCH ， ······························································· （1分）∴=BE ECDC CH， ····································································· （1分） ∴⋅=⋅BE CH EC DC ．∵AB =AC ，∴CD =AC ， ··························································· （1分） ∵△EAC ≌△FBA ， ∴EC =F A ，∴⋅=⋅BE CH AF AC ． ························································· （1分）BE CH AF AC ⋅=⋅GF EDA BC图9。

2019年上海各区初三二模数学试卷24题专题汇编（学生版）题型一：特殊四边形【思路点拨】按已知线段是边还是对角线分类，梯形可以按已知边分别为底分类 根据边平行或相等的条件列方程求解（2019崇明区）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图8，抛物线2y x bx c =++交x 轴于点(1,0)A 和点B ，交y 轴于点(0,3)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上找出点P ，使PC PO =，求点P 的坐标；（3）将直线AC 沿x 轴的正方向平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ． 当四边形ACMN 为等腰梯形时，求点M 、N 的坐标．题型二：面积+三角比【思路点拨】求某个角的三角比时:① 所求角在直角三角形中，直接求② 所求角不在直角三角形中时，等角的转化或构造直角三角形（构造时一般要借助题目中的特殊度数，如30°、45°或60°） （2019奉贤区）24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图9，已知平面直角坐标系，抛物线22yax bx与轴交于点A (-2，0)和点B (4，0) ．xOy xA B COyx备用图（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；（2）点C 在线段OB 上，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为点C ，交抛物线与点D ，E 是BD 中点，联结CE 并延长，与y 轴交于点F ．①当D 恰好是抛物线的顶点时，求点F 的坐标； ②联结BF ，当△DBC 的面积是△BCF 面积的32时，求点C 的坐标．（2019闵行区）24.（本题共3小题，每小题各4分，满分12分）已知抛物线c bx x ++-=2y 经过点()0,1A 、()03，B ，且与y 轴的公共点为点C . （1）求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点E 为线段AC 上一点，过点E 作BC EF ⊥，垂足为点F ，如果41=BF EF ，求BCE ∆的面积 图9OABxy（2019普陀区）24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线243y x m =-+(0)m >与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 如图11所示，点C 在线段AB 的延长线上，且2AB BC =． （1）用含字母m 的代数式表示点C 的坐标；（2）抛物线21103y x bx =-++经过点A 、C ，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）题的条件下，位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点P ：使2PAB OBC S S =△△，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，试说明理由．题型三：相似【思路点拨】相似分类思路：①一般可以找到一组固定相等的角① 边分类-相等角的两边（利用的是两边对于成比例且夹角相等） ② 角分类-若上述比例式中的边没法表示时，可按角继续分类（2019松江）24、如图，抛物线c x ax y ++=42过点A （6，0）、B （3，23），与y 轴交于点C ，联结AB 并延长，交y 轴于点D.图11xyO AB11（1）求该抛物线的表达式； （2）求△ADC 的面积；（3）点P 在线段AC 上，如果△OAP 和△DCA 相似，求点P 的坐标.题型四：已知角等或特殊角求坐标【思路点拨】本题思路：1、 直接利用相等角的正余切值相等，或者直接利用相等角证相似2、 整角转化，整个角转化成其他的角等，再找正余切或相似3、 通过角度的和差或共享角找其他角等 （2019宝山）24、如图，已知对称轴为直线1-=x 的抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中A （1，0）.（1）求点B 的坐标及此抛物线的表达式；（2）点D 为y 轴上一点，若直线BD 和直线BC 的夹角为15°，求线段CD 的长度；（3）设点P 为抛物线的对称轴1-=x 上的一个动点，当△BPC 为直角三角形时，求点P 的坐标.（2019嘉定区）24、在平面直角坐标系xOy 中，如图，抛物线n x mx y +-=22（n m 、是常数）经过点A （﹣2，3）、B （﹣3，0），与y 轴的交点为点C. （1）求此抛物线的表达式；（2）点D 为y 轴上一点，若直线BD 和直线BC 的夹角为15°，求线段CD 的长度； （3）设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC 为直角三角形时，求点P 的坐标.（2019黄浦区）24．（本题满分12分）如图7，已知抛物线2y ax bx c=++经过原点()0,0O 、()2,0A ，直线2y x =经过抛物线的顶点B ，点C 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC 、OC 、AB ，过点C 作CE ∥x 轴，分别交线段OB 、AB 于点E 、F .（1）求抛物线的表达式；（2）当BC CE =时，求证：BCE ∆∥ABO ∆；OxyAB CEF（3）当CBA BOC ∠=∠时，求点C 的坐标.（2019徐汇区）24. （本题满分（12分），第（1）题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++-=241与直线321-=x y 分别交于x 轴、y 轴上的C B 、两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，联结CD 交x 轴交于点E （1）求抛物线的表达式及点D 的坐标 （2）求DCB ∠的正切值（3）如图点F 在y 轴上，且,DCB DBA FBC ∠+∠=∠求点F 的坐标（2019杨浦区）24（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分,第（3）小题4分）已知开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴与x 轴交于点C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD 交于点N ， （1）求点D 的坐标（2）求点M 的坐标（用含a 的式子表示）（3）当点N 在第一象限，且∠OMB=∠ONA 时，求a 的值【题型五】其他（2019金山）22. 已知：抛物线c bx x y ++-=2，经过点()2,1--A ，()10，B .（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B '与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B '，设此时抛物线顶点为点P '. ①求B B P ''∠的大小.②把线段B P ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120，点P '落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当B MN '∆的面积等于36时，求点N 的坐标.xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234OxyO 第24题图（2019长宁区）24.（本题满分12分，每小题4分）如图6，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=294经过原点，且与x 轴相交于点A ，点A 的横坐标为6，抛物线顶点为点B ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点B 的坐标；（2）过点O 作AB OP //，在直线OP 上点取一点Q ，使得OBA QAB ∠=∠，求点Q 的坐标；（3）将该抛物线向左平移)0(>m m 个单位，所得新抛物线与y 轴负半轴相交于点C 且顶点仍然在第四象限，此时点A 移动到点D 的位置，4:3:=DB CB ，求m 的值．1 y1 x O（2019静安）24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过原点，与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P （﹣3，4）.（1）求这条抛物线表达式；（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q ，它与y 轴交点为B ，联结PB 、PQ ，设点B 的纵坐标为m ，用含m 的代数式表示∠BPQ 的正切值；（3）联结AP ，在（2）的条件下，射线PB 平均∠APQ ，求点B 到直线AP 的距离.。

2019届一模提升题汇编第23题（几何证明题）【2019届一模徐汇】23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，已知菱形ABCD ，点E 是AB 的中点，AF BC ⊥于点F ，联结EF 、ED 、DF ，DE 交AF 于点G ，且2AE EG ED =⋅．(1) 求证：DE EF ⊥；(2) 求证：22BC DF BF =⋅．∴AEG V ∽DEA V …………………………………（1分）∴EAG ADE ∠=∠……………………………………………………………（1分） ∴EAG EFG ∠=∠……………………………………………………………（1分） ∵EAG ADE ∠=∠(已证)，ADE EFG ∠=∠………………………………（1分） ∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC, AF ⊥BC ，∴90DAG AFB ∠=∠=︒. ∴90ADE AGD ∠+∠=︒.B（第23题图）∵,AGD EGF ADE EFG ∠=∠∠=∠，∴90EFG EGF ∠+∠=︒.∴90GEF ∠=︒，∴DE EF ⊥……………………………………………（1分） (2) 延长FE 、DA 相交于点M ，∴ME EF = …………………………………（1分）∵DE EF ⊥，∴DF DM =…………………（1分） ∴MDE FDE ∠=∠∵()()BAF EAG MDE ADE ∠∠=∠∠（已证） ∴BAF FDE ∠=∠ …………………………（1分） ∵90AFB DEF ∠=∠=︒∴AFB V ∽DEF V……………………………………………………………（1分）∴22.BC DF BF =………………………………………………………………（1分） 其他证明方法，酌情给分。

】【2019届一模浦东】23. （本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，M 是边BC 的中点，E 是边BA 延长线上的一点，联结EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G .（1）求证：GF EF GM EM=; （2）当22BC BA BE =⋅时，求证：∠EMB =∠ACD .FCBA DB【23、（1）证明略；（2）证明略】【2019届一模杨浦】23．（本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD =∠B =∠BAE. （1）求证：AD DEBC AC=； （2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=.【23．证明：（1）∵∠ACD =∠B ，∠BAC =∠CAD ，∴△ADC ∽△ACB . ·· （2分） ∵∠ACD =∠BAE ，∠ADE =∠CDA ，∴△ADE ∽△CDA . ··· （2分） ∴△ADE ∽△BCA . ··················· （1分）∵点E为CD 中点，∴DE CE =. ················ （1分）（第23题图）BC【2019届一模普陀】23．（本题满分12分）已知：如图9，△ADE 的顶点E 在△ABC 的边BC 上，DE 与AB 相交于点F ，AE AF AB =⋅2，DAF EAC ∠=∠．（1）求证：△ADE ∽△ACB ； （2）求证：DF CEDE CB=．【23．证明：（1）∵AE AF AB =⋅2，又∵FAE EAB ∠=∠，∴△AFE ∽△AEB ． ······················ （2分） ∴AEF B ∠=∠． ························ （1分） ∵DAF EAC ∠=∠，∴DAE CAB ∠=∠． ······················ （1分） ∴△ADE ∽△ACB ． ······················ （1分） （2）∵△ADE ∽△ACB ，F图9ABCDE∵DAF EAC ∠=∠，∴△ADF ∽△ACE ．············ （1分）【2019届一模奉贤】23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图9，在△ABC 中，点D 在边AC 上，BD 的垂直平分线交CA 的延长线于点E ， 交BD 于点F ，联结BE ，EC EA ED •=2． （1）求证：∠EBA =∠C ；（2）如果BD =CD ，求证：AC AD AB •=2．22．【证明：（1）∵EF 是BD 的垂直平分线，∴EB ED =． ········ （1分）又∵BEA CEB ∠=∠，∴△BEA ∽△CBE ． ·············· （2分）∴EBA C ∠=∠． ························· （1分） （2）∵EB =ED ，∴EBD EDB ∠=∠． ·················· （1分） 即EBA ABD C DBC ∠+∠=∠+∠．∴ABD DBC ∠=∠． ······· （1分）∵BD CD =，∴DBC C ∠=∠． ················· （1分） ∴ABD C ∠=∠． ························ （1分） 又BAD CAB ∠=∠，∴△ABD ∽△CAB ． ·············· （2分）ABCDEF图9【2019届一模松江】23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）ADEC B（第23题图）AC·CE=AD·BC.（1）求证：∠DCA=∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2=AF·AD.【23．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA………………………………（1分）∴△ACD∽△CBE………………………………………………………………（1分）∴∠DCA=∠EBC…………………………………………………………………（1分）（2）∵AD∥BC，∴∠AFB=∠EBC……………………………………………（1分）∵∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA……………………………………………（1分）9∵AD ∥BC ，AB =DCF（第23题图）EDCBA10∴∠BAD =∠ADC ……………………………（2分） ∴△ABF ∽△DAC ………………（1分）∵AB =DC ，∴AD AF AB ⋅=2…………（1分）】【2019届一模嘉定】23．（本题满分12分，每小题6分）如图6，已知点D 在△ABC 的外部，AD //BC ，点E 在边AB 上，AE BC AD AB ⋅=⋅． （1）求证：AED BAC ∠=∠；（2）在边AC 取一点F ，如果D AFE ∠=∠， 求证：ACAFBC AD =．【23.证明（1）∵AD ∥BC∴DAE B ∠=∠ ……1分 ∵AE BC AD AB ⋅=⋅∴△CBA ∽△DAE ……2分∴AED BAC ∠=∠ ……2分图6BCDAE F图6B CDAE F（2）由（1）得△DAE ∽△CBA∵D AFE ∠=∠∴C AFE ∠=∠∴EF ∥BC ……1分 ∵AD ∥BC∴EF ∥AD ……………1分 ∵AED BAC ∠=∠ ∴DE //AC∴四边形ADEF 是平行四边形 ……1分 ∴AF DE= ……1分【2019届一模青浦】23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD=AF ，AE CE DE EF ⋅=⋅． （1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ⋅=⋅，求证：AB=AC ．【23．证明：（1）∵AD =AF ，∴∠ADF =∠F ． ················ （1分）又∵∠AEF =∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ． ····················· （2分）ABCDEF（第23题图）∴∠F =∠C ． ························ （1分） ∴∠ADF =∠C ． ······················ （1分） 又∵∠DAE =∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ． ···················· （1分）∵∠AEF =∠EAD +∠ADE ，∠ADB =∠EAD +∠C ，∴∠AEF =∠ADB ． ····················· （1分） ∴△AEF ∽△ADB ． ···················· （1分） ∴∠F =∠B ，∴∠C =∠B ，∴AB =AC ． （1分）】【2019届一模静安】23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图9，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 和AB 上，且AD AC =，EB ED =，分别延长ED 、AC 交于点F ． （1）求证：ABD ∆∽FDC ∆； （2）求证：2AE BE EF =⋅．图9AC BDEF【证明：（1）∵AD AC =，∴ADC ACD ∠=∠2019届一模提升题汇编目录 ................................................................................................... 错误！未定义书签。

几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E .（1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分 ∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分 ∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分 ∴ADN B ∠=∠……………………1分 ∴△ABM ≌△ADN ………………………1分 ∴AN AM = ……………………………1分（2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC 平分BCD ∠和BAD ∠ ∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分∵NAD CAD ∠=∠2 ∴︒=∠5.22NAD∵NAD MAB ∠=∠ ∴︒=∠5.22MAB ………1分 ∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE∴ANE ACM ∠=∠…………………1分 ∴△ACM ∽△ANE …………1分 ∴ANACAE AM =……1分图6图6∵AN AM =∴AE AC AM ⋅=2…………1分长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交ACDEFGB第23题图EBC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =．23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABC EKC =∠∠ ……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥ ∴DE CMEK CK =………………………………………………………2分 又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ．ACD B（1）求证：B是EC的中点；2，（2）分别延长CD、EA相交于点F，若EC=DCAC⋅求证：FC:=．ACAD:AF黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE=BF；（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO =12AC =EF =BE .——————————————————————（1分） 又△ABD 中，BE 、AO 均为中线，则G 为△ABD 的重心， ∴1133OG AO BE GE ===, ∴AG =BG ，——————————————————————————（1分） 又∠AGE =∠BGO ，∴△AGE ≌△BGO ，———— ——————————————————（1分）∴AE =BO ，则AD =BD ，∴△ABD 是等边三角形，—— —————————————————（1分） 所以∠BAD =60°，则∠ADC =120°，即∠ADC =2∠BAD . ——— ——————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD 是△ABC 的中线， M 是AD 的中点， 过A 点作AE ∥BC ，CM 的延 长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F ． （1）求证：四边形AEBD 是平行四边形； （2）如果AC =3AF ，求证四边形AEBD 是矩形．23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）E AFM BD图7C（2）∵AE //BC ，∴A F A EF B B C=．…………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分）∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分）又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ． （1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分） 又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分） ∴△ADB ∽△EBF ∴DBABBF EF = ………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅ C第23题图ABDEFCAB第23题图DE F∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分） 闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ． （1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）ABEGCFD（第23题图）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.23．证明：（1）∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ····· （2分）∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ··················· （1分） 同理 EF CFAB CA= ． ························ （1分） 得FG AD ＝EFAB∵FG EF =，∴AD AB =． ···················· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ····················· （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ········ （2分） 得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝． ······················· （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ············ （1分） ∴EH DEEF AE=． ························· （1分） ∴212AE EF ED =． ······················ （1分） 青浦区AB C DEFG图923.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且 DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ·············· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ········· （1分） ∴AE //DC ， ························ （1分） ∴=FM AMMD MC． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ················ （1分） ∴=FM DMMD MB， ····················· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ············· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ······················· （1分） ∴3==DF BF a ． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ················ （1分） ∴=AF EF ， ······················· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ················ （1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.MFE DBA图7(第23题图)ACD EB23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90° ∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分 ∴EF ∥BC …………………………………………………1分 ∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分 ∵EF BF =∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分 (2) ∵四边形BCEF 是菱形, ∴BC =BF ∵12BF AB =∴AB =2BC ………………………………………………1分 ∵ AB ∥CD ∴ ∠DEA =∠EAB ∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AEBE AB = …………………………………………1分 ∴ BE ·AE =AD ·AB∴ 2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分 徐汇区23. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且(第23题图)FACD EB∠=∠.DCE DBC=；（1）求证：AD BE⊥，（2）延长CE交AB于点F，如果CF AB⋅=⋅.求证：4EF FC DE BD杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN。

2019年上海各区初三二模数学试卷25题专题汇编（学生版）题型一、等腰三角形的分类讨论25(2019崇明)、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=8，BC=12，cos C=53，点E 为AB 边上一点，且BE=2，点F 是BC 边上的一个动点（与点B 、点C 不重合），点G 在射线CD 上，且∠EFG=∠B ，设BF 的长为x ，CG 的长为y .（1）当点G 在线段DC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当以点B 为圆心，BF 长为半径的⊙B 与以点C 为圆心，CG 长为半径的⊙C 相切时，求线段BF 的长；（3）当△CFG 为等腰三角形时，直接写出线段BF 的长.题型二、动点产生的相似综合25(2019黄浦)．（本题满分14分）已知四边形ABCD 中，AD ⊙BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是射线DC 上一点，且满足BEF A ∠=∠.（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .求证：GE=DF ；（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1cos 3A =，设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若⊙EMF 与⊙ABE 相似，求线段AE 的长.D A BCEF 图9ABCE F G D图825(2019金山)、如图，在Rt △ABC 中，∠CC=90°，AC=16cm ，AB=20cm ，动点D 由点C 向点A 以每秒1cm 速度在边AC 上运动，动点E 由点C 向点B 以每秒34cm 速度在边BC 上运动，若点D 、点E 从点C 同时出发，运动t 秒（t > 0），联结DE. （1）求证：△DCE ∽△BCA ； （2）设经过点D 、C 、E 三点的圆为⊙P. ① 当⊙P 与边AB 相切时，求t 的值；② 在点D 、点E 运动过程中，若⊙P 与边AB 交于点F 、G （点F 在点G 左侧），联结CP 并延长CP 交边AB 于点M ，当△PFM 与△CDE 相似时，求t 的值.25（2019长宁）、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P 在边AC 上（点P 与点A 不重合），以点P 为圆心，PA 为半径作⊙P 交边AB 于另一点D ，ED ⊥DP ，交边BC 于点E.（1）求证：BE=DE ；（2）若BE=x ，AD=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）延长ED 交CA 延长线于点F ，联结BP ，若△BDP 与△DAF 相似，求线段AD 的长.题型三、动点产生的面积问题思路点拨：首先考虑底乘以高。

上海中考数学23题解题技巧（最新版3篇）目录（篇1）1.上海中考数学 23 题概述2.解题技巧一：审题与分析3.解题技巧二：善于使用公式4.解题技巧三：逻辑思维与推理5.解题技巧四：熟练掌握解题方法6.解题技巧五：提高计算能力与速度7.总结正文（篇1）【上海中考数学 23 题概述】上海中考数学 23 题，作为中考数学压轴题，一直以来都是考生们关注的焦点。

这类题目不仅考察考生的数学知识储备，还涉及到解题技巧和速度。

因此，对于考生来说，掌握一定的解题技巧显得尤为重要。

【解题技巧一：审题与分析】要想成功解答上海中考数学 23 题，首先要做的就是仔细审题，理解题意。

审题时，要注意挖掘题目中的隐含条件，对题目进行分析，判断出题目涉及的知识点，为接下来的解题做好准备。

【解题技巧二：善于使用公式】中考数学 23 题往往涉及到复杂的计算，这时运用公式可以简化计算过程。

因此，考生在解题过程中要善于运用已掌握的公式，提高解题效率。

【解题技巧三：逻辑思维与推理】在解答这类题目时，逻辑思维与推理能力尤为重要。

考生需要根据题目条件进行逻辑推理，找出解题思路。

此外，遇到困难时，要尝试变换思路，寻找解题突破口。

【解题技巧四：熟练掌握解题方法】中考数学 23 题涉及多种解题方法，考生要想取得好成绩，就需要熟练掌握这些解题方法。

例如，代数法、几何法、逻辑法等。

在解题过程中，考生要根据题目要求灵活运用这些方法。

【解题技巧五：提高计算能力与速度】要想在有限的时间内完成中考数学 23 题，考生需要具备较强的计算能力和速度。

为此，考生在平时的学习中要加强计算能力的训练，提高解题速度。

【总结】总之，要想成功解答上海中考数学 23 题，考生需要掌握一定的解题技巧。

目录（篇2）1.上海中考数学 23 题概述2.解题技巧一：审题与分析3.解题技巧二：选择题的解题方法4.解题技巧三：填空题的解题方法5.解题技巧四：解答题的解题方法6.总结正文（篇2）【上海中考数学 23 题概述】上海中考数学 23 题，是上海市初中毕业生学业考试数学科目中分值较高、难度较大的一部分。

初三数学 第1页 共4页F（第6题图）EDCBA2019年松江区初中毕业生学业模拟考试初三数学（满分150分，完卷时间100分钟） 2019.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．最小的素数是（ ） （A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．2．下列计算正确的是（ ） （A ）422a a a =+；（B ）()3362a a =；（C ）()53233a a a -=-⋅；（D ）326224a a a =÷．3．下列方程中，没有实数根的是（ ） （A ）0322=--x x ； （B ）0322=+-x x ； （C ）0122=+-x x ；（D ）0122=--x x ．4．如图，一次函数y kx b =+的图像经过点（1-，0）与（0，2）， 则关于x 的不等式0kx b +>的解集是（ ） （A ）1->x ； （B ）1-<x ；（C ）2>x ； （D ）2<x ．5．在直角坐标平面内，已知点M （4,3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为（ ）（A ）05r <<； （B ）35r <<； （C ）45r <<； （D ）34r <<． 6．如图，已知□ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线 AC 于点F ，那么:AFE FCDE S S ∆四边形 为（ ） （A ）1:3； （B ）1:4； （C ）1:5；（D ）1:6．（第4题图）初三数学 第2页 共4页二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：)-5+=________．8．因式分解：228a b b -= ． 9x =的根是 ．10．不等式组2010x x +≥⎧⎨-<⎩的解集是 ．11．已知函数2()f x x=，那么ff ．（填“>”、“=”或“<”） 12．如果将直线31y x =-平移，使其经过点（0，2），那么平移后所得直线的表达式是______． 13．在不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，从中随机摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是13，那么白色棋子的个数是_______． 14．某校初三（1）班40名同学的体育成绩如右表所示，则这40名同学 成绩的中位数是__________. 15．正六边形的中心角等于_______度.16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点.设AB a =u u u r r ，DE b =u u u r r ，用a r 、b r表示AC u u u r为_________.17．如图，高度相同的两根电线杆AB 、CD 均垂直于地面AF ，某时刻电线杆AB 的影子为地面上的线段AE ，电线杆CD 的影子为地面上的线段CF 和坡面上的线段FG ．已知坡面FG 的坡比1:0.75i =，又AE =6米，CF =1米，FG =5米，那么电线杆AB 的高度为______米． 18．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC =8，BC =6．将△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，点A 的对应点D 落在射线BC 上．直线AC 交DE 于点F ，那么CF 的长为________．（第17题图）（第16题图）（第18题图）CBA初三数学 第3页 共4页三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）)(1212116+2--20．（本题满分10分） 解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩21．(本题满分10分)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，且AD ⊥BD ，BD =6，sin A =32，求梯形ABCD 的面积．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）小明、小军是同班同学．某日，两人放学后去体育中心游泳，小明16:00从学校出发，小军16:03也从学校出发，沿相同的路线追赶小明．设小明出发x 分钟后，与体育中心的距离为y 米．如图，线段AB 表示y 与x 之间的函数关系． （1）求y 与x 之间的函数解析式；（不要求写出 定义域）（2）如果小军的速度是小明的1.5倍，那么小军用了多少分钟追上小明？此时他们距离体育中心多少米？23.（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ． （1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ，求证：22AB BF BO =⋅．②① （第23题图）O EDCBA（第21题图）CBADx （分钟）（第22题图）初三数学 第4页 共4页24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线24y ax x c =++过点A （6，0）、B （3，23），与y 轴交于点C ．联结AB 并延长，交y 轴于点D ． （1）求该抛物线的表达式；（2）求△ADC 的面积；（3）点P 在线段 AC 上，如果△OAP 和△DCA求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，BC=16．点O 在边BC 上，以O 为圆心，OB 为半径的弧经过点A ．P 是弧AB 上的一个动点． （1）求半径OB 的长；（2）如果点P 是弧AB 的中点，联结PC ，求∠PCB 的正切值； （3）如果BA 平分∠PBC ，延长BP 、CA 交于点D ，求线段DP 的长．·（第25题图）OBC A·（备用图）OBCA参考答案及评分说明 —1—2019年松江区初中毕业生学业模拟考试初三数学参考答案及评分说明一、选择题：1．B ； 2．C ； 3．B ； 4．A ； 5．D ； 6．C ．二、填空题：7．6；8．()()222-+a a b ；9．1=x ；10．12<≤-x ；11．>；12．23+=x y ；13．8；14．28；15．60；16．b a 2+；17．12；18．3．三、解答题：19．解：原式=324132333-+-+-+………………………………（8分）=2……………………………………………………………………（2分）20．解：由②得13=-y x ，13-=-y x …………………………………（4分）则原方程组化为⎩⎨⎧=-=+1362y x y x⎩⎨⎧-=-=+1362y x y x ……………………………（2分） 解这两个方程组得原方程组的解为⎩⎨⎧==14y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==57516y x ……………………（4分）∴原方程组的解为⎩⎨⎧==14y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==57516y x参考答案及评分说明 —2—21．解：∵AB ∥CD ，∴∠ABD =∠CDB …………………………………………（1分） ∵AB ∥CD ，BC ⊥AB ，∴BC ⊥CD ………………………………………………（1分） ∵AD ⊥BD ，∴∠ADB=∠BCD=90°……………………………………………（1分） ∴∠A =∠DBC ……………………………………………………………………（1分） 在Rt △ADB 中，ABBDA =sin ……………………………………………………（1分） ∵BD =6，sin A =32，∴AB=9……………………………………………………（1分） 在Rt △BCD 中，BDDCDBC =∠sin ……………………………………………（1分） ∵32sin sin ==∠A DBC ，∴DC=4…………………………………………（1分） ∴52=BC ……………………………………………………………………（1分） ∴()()51352942121=⨯+=⋅+=BC AB DC S ABCD 梯形………………（1分）22．（1）设y 与x 之间的函数解析式为()0≠+=k b kx y ……………………（1分） ∵函数图像过（10，0），（0，600） ∴⎩⎨⎧==+600010b b k …………………………………………………………………（1分）解得⎩⎨⎧=-=60060b k ……………………………………………………………………（1分）∴60060+-=x y ………………………………………………………………（1分） （2）设小军用了t 分钟追上小明………………………………………………（1分） 由题意得60（t +3）=60×1.5t ……………………………………………………（3分） 解得t =6……………………………………………………………………………（1分）()60600360=++⨯-=t y （米）……………………………………………（1分）答：小军用了6分钟追上小明，此时他们距离体育中心60米．参考答案及评分说明 —3—23．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ∥DC ，AB=DC ………………………………………………………………（1分） ∵AB=AC ，∴AC=DC ……………………………………………………………（1分） ∵CO ⊥AD ，∴AO=DO …………………………………………………………（1分） ∵EO AOCO DO=，∴EO=CO ………………………………………………………（1分） ∴四边形ACDE 是平行四边形……………………………………………………（1分） ∵AC=DC ，∴四边形ACDE 是菱形……………………………………………（1分） （2）∵ OF=OC ，∴∠OFC=∠OCF ……………………………………………（1分） ∵AE=AC ，∴∠OCF=∠BEO∵∠OFC=∠BF A ，∴∠BF A=∠BEO …………………………………………（1分） ∵∠ABF=∠OBE …………………………………………………………………（1分） ∴△BF A ∽△BEO ，∴AB BFBO BE=………………………………………………（1分） ∴AB ·BE=BF ·BO ，∵AE=AC=AB ，∴BE=2AB ………………………………（1分） ∴22AB BF BO =⋅………………………………………………………………（1分）24．解：（1）∵抛物线经过点A （6，0）、B （3，32） ∴3624039122a c a c ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩…………（1分）解得126a c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩……………………（1分）∴抛物线的表达式为21462y x x =-+-………………………………………（1分）参考答案及评分说明 —4—（2）过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，∵A （6，0）、B （3，32） ∴OA=6，OE=3，32BE =，∵BE ∥y 轴 ∴BE AEDO AO =……………………………………………………………………（1分） ∴3326DO =，∴DO=3……………………………………………………………（1分） ∵C （0，-6），∴DC=9……………………………………………………………（1分） ∴27692121=⨯⨯=⋅=∆OA DC S ADC ………………………………………（1分）（3）∵A （6，0），C （0，-6），∴OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=45°………（1分） ∵△OAP 和△DCA 相似，∴AO AP CD CA =或AO APCA CD=……………………（2分） 过点P 作PF ⊥x 轴，垂足为F ① 当AO AP CD CA =时，69=AP =，则AF=PF=4，∴OF=2 ∴P （2，—4）……………………………………………………………………（1分） ② 当AO AP CA CD =9AP=，2AP =则92AF PF == ，∴32OF = ∴P 39(,)22-………………………………………………………………………（1分）25．解：（1）联结OA ……………………………………………………………（1分） 设OA=OB=r ，∵BC=16，∴OC=16-r …………………………………………（1分） ∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24∴(()22216r r +-=………………………………………………………（1分）解得r=9……………………………………………………………………………（1分） ∴OB=9参考答案及评分说明 —5—（2）联结OP ，交AB 于点E ，过点P 作PF ⊥CB ，垂足为F ∵P 是弧AB 的中点，OP 过圆心∴OP ⊥AB …………………………………………………（1分）∴∠PFO=∠BEO=90°，∴∠OPF=∠EBO ……………（1∵∠PFO=∠BCA=90°，∴△PFO ∽△BCA∴AC OFBC PF BA PO ==………………………………（1分） ∵AC=24，BC=16，AB=212∴26=PF ，3=OF ……………………………（1∴CF=10 ∴tan PF PCB CF ∠===1分） （3）过点O 作OH ⊥PB ，垂足为H ，联结OA ∵BA 平分∠PBC ，∴∠PBA=∠CBA ∵OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB∴∠PBA=∠OAB ，∴OA ∥BD ………………………（1分） ∴CBCOBD OA =，∵OA=9，CO=7，CB=16 ∴BD=7144……………………………………………（1分）∵∠ACO=∠OHB=90°，∠AOC=∠HBO ，OA=OB ∴△ACO ≌△OHB∴OC=BH=7……………………………………………（1分） ∵OD 过圆心，∴PH=BH ，∴PB=14………………（1分） ∴746=PD ……………………………………………（1分） DHP·（第25题图）OBCA。

2019年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．（4分）计算（a3）2的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．a92．（4分）方程的解为（）A．x＝4B．x＝7C．x＝8D．x＝10．3．（4分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（）A．a＜3B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3．4．（4分）下列事件中，必然事件是（）A．在体育中考中，小明考了满分B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1D．四边形的外角和为180度．5．（4分）正六边形的半径与边心距之比为（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）计算：2﹣1＝．8．（4分）在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的侧．（填“左”、“右”）9．（4分）不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为．10．（4分）如果关于x的方程kx 2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为．11．（4分）已知反比例函数的图象经过点A（1，3），那么这个反比例函数的解析式是．12．（4分）如果将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为．13．（4分）一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有个．14．（4分）为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成4组，频率分布表（不完整）如下表所示．如果次数在110次（含110次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为．频数频率组别分组（含最小值，不含最大值）190～10030.062100～1101a3110～120240.484120～130b c15．（4分）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为．16．（4分）如图，AD∥BC，BC＝2AD，AC与BD相交于点O，如果，，那么用、表示向量是．17．（4分）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上且AE＝4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG＝3，那么BF的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，m＝﹣3．20．（10分）解方程组：21．（10分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．（1）小明所求作的直线DE是线段AB的；（2）联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝，BC＝9，求AC的长．22．（10分）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．x（小时）246y（件）50150250（1）求y与x之间的函数关系式；（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？23．（12分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q的坐标．25．（14分）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P 与线段BD、AQ分别相交于点E、F．（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．2019年上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．（4分）计算（a3）2的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．a9【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可求．【解答】解：（a3）2＝a6，故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方公式．2．（4分）方程的解为（）A．x＝4B．x＝7C．x＝8D．x＝10．【分析】将方程两边平方求解可得．【解答】解：将方程两边平方得x﹣1＝9，解得：x＝10，经检验：x＝10是原无理方程的解，故选：D．【点评】本题考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．3．（4分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为（）A．a＜3B．a＞3C．a＜﹣3D．a＞﹣3．【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式，再解不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大，∴3﹣a＞0，解得a＜3．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．4．（4分）下列事件中，必然事件是（）A．在体育中考中，小明考了满分B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1D．四边形的外角和为180度．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、在体育中考中，小明考了满分是随机事件；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；C、抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；D、四边形的外角和为180度是不可能事件，故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（4分）正六边形的半径与边心距之比为（）A．B．C．D．【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．【解答】解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆的知识，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h ＝a（a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2B．3C．4D．5【分析】先求出DB和DC的长，根据点B在⊙D内，点C在⊙D外，确定r的取值范围，从而确定r可以取的值．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tan B＝2，∴，即AF＝4，∴AB＝，∵D为AB的中点，∴BD＝，G是△ABC的重心，∴GF＝AF＝，∴CG＝，∴CD＝CG＝，∵点B在⊙D内，点C在⊙D外，∴＜r＜，故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判别方法．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）计算：2﹣1＝．【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．【解答】解：2﹣1＝．故答案为．【点评】本题考查负整数指数幂的运算．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．8．（4分）在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的左侧．（填“左”、“右”）【分析】根据2＜＜3，可知2﹣＜0，所以2﹣在原点的左侧．【解答】解：根据题意可知：2﹣＜0，∴2﹣对应的点在原点的左侧．故填：左【点评】本题考查实数与数轴上点的对应关系，掌握了实数与数轴上的点的一一对应关系，很容易得出正确答案．9．（4分）不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为x＝1．【分析】由题意可求一元一次不等式的解，即可得正整数解．【解答】解：∵﹣2x＞﹣4∴x＜2∴正整数解为：x＝1故答案为：x＝1【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练运用解不等式的方法是本题的关键．10．（4分）如果关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为1．【分析】根据根的判别式和已知得出△＝（﹣6）2﹣4k×9＝0且k≠0，求出即可．【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4k×9＝0且k≠0，解得：k＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据已知得出△＝（﹣6）2﹣4k×9＝0且k≠0是解此题的关键．11．（4分）已知反比例函数的图象经过点A（1，3），那么这个反比例函数的解析式是y ＝．【分析】把（1，3）代入函数y＝中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式．【解答】解：由题意知，k＝1×3＝3．则反比例函数的解析式为：y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．12．（4分）如果将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2，故答案为：y＝2（x+3）2．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13．（4分）一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有6个．【分析】设红球有x个，根据摸到白球的概率为0.4列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设红球有x个，根据题意得：＝0.4，解得：x＝6，答：红球有6个；故答案为：6．【点评】本题考查了概率公式，设出未知数，列出方程是解题的关键．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（4分）为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成4组，频率分布表（不完整）如下表所示．如果次数在110次（含110次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为92%．频数频率组别分组（含最小值，不含最大值）190～10030.062100～1101a3110～120240.484120～130b c【分析】根据抽取的学生一分钟跳绳的达标率，即可估计该校初三毕业生一分钟跳绳的达标率．【解答】解：∵样本容量为：3÷0.06＝50，∴该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为×100%＝92%，故答案为：92%【点评】本题考查的是频数分布表的知识，准确读表、从中获取准确的信息是解题的关键，注意用样本估计总体的运用．15．（4分）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为4．【分析】根据两圆外切时圆心距等于两圆的半径的和，即可求解．【解答】解：∵两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3，∴另一个圆的半径＝7﹣3＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．16．（4分）如图，AD∥BC，BC＝2AD，AC与BD相交于点O，如果，，那么用、表示向量是﹣2．【分析】根据平面向量的线性运算法则即可求出答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴，∴＝+＝++3＝+﹣3＝﹣2，故答案为：．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于基础题型．17．（4分）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为．【分析】设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过A1作A1D⊥B1C1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴ab＝5，3＝ah，∴b＝，h＝，∴B1D＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上且AE＝4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG＝3，那么BF的长为．【分析】由DG＝3，CD＝6可知△CDG的三角函数关系，由△CDG分别与△A'EG，△B'FC相似，可求得CG，CB'，由勾股定理△CFB'可求得BF长度．【解答】解：∵△CDG∽△A'EG，A'E＝4∴A'G＝2∴B'G＝4由勾股定理可知CG'＝则CB'＝由△CDG∽△CFB'设BF＝x∴解得x＝故答案为【点评】本题考查了翻折的性质与相似，通过寻找等角关系，确定相似关系是本题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，m＝﹣3．【分析】先把分式化简，再将m的值代入求解．【解答】解：原式＝÷＝×＝﹣当m＝﹣3时，原式＝﹣．【点评】本题主要考查了分式的化简求值这一知识点，要求把式子化到最简，然后代值．20．（10分）解方程组：【分析】对于第1个方程利用因式分解法可得x﹣6y＝0或x+y＝0，再将它们与方程②分别组成方程组，分别求解可得．【解答】解：由①得，x﹣6y＝0或x+y＝0，将它们与方程②分别组成方程组，得：或分别解这两个方程组，得原方程组的解为．【点评】本题是考查高次方程，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．21．（10分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．（1）小明所求作的直线DE是线段AB的线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝，BC＝9，求AC的长．【分析】（1）利用基本作法进行判断；（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD ＝7，则CD＝2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．【解答】解：（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；故答案为线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝7∴CD＝BC﹣BD＝2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC＝＝，∴DF＝1，在Rt△ADF中，AF＝＝4，在Rt△CDF中，CF＝＝，∴AC＝AF+CF＝4+＝5．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了解直角三角形．22．（10分）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．x（小时）246y（件）50150250（1）求y与x之间的函数关系式；（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）设经过x小时恰好装满第1箱，可得方程80x+50x﹣50＝340，解方程即可解答．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）把（2，50）（4，150）代入，得解得∴y与x之间的函数关系式为y＝50x﹣50；（2）设经过x小时恰好装满第1箱，根据题意得80x+50x﹣50＝340，∴x＝3，答：经过3小时恰好装满第1箱．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，运用待定系数法求出y 与x之间的函数关系式．23．（12分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定以及平行线分线段成比例解答即可；（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：（1）∵BE∥AC，∴∵点F为BC的中点，∴CF＝BF，∴OC＝BE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO∴AO＝BE∵BE∥AC，∴四边形AOEB是平行四边形（2）∵四边形AOEB是平行四边形，∴∠BAO＝∠E∵∠OBC＝∠E，∴∠BAO＝∠OBC∵∠ACB＝∠BCO，∴△COB∽△CBA∴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC∵点F为BC的中点，∴BC＝2FC∴即BO•OC＝AB•FC【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点Q的坐标．【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式，再利用配方法可求出抛物线顶点P的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），由三角形的面积公式结合S△COE ＝S△BCD可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入点E的坐标中即可求出结论；（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，由点C，P，B，D的坐标可得出∠CPQ＝∠CDB＝135°及CP，BD，CD的长度，由△BCD∽△CPQ可得出＝或＝，代入CP，BD，CD的长可求出PQ的长，再结合点P的坐标即可得出点Q的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．∵y ＝﹣x 2+2x +8＝﹣（x ﹣1）2+9，∴点P 的坐标为（1，9）．（2）当x ＝0时，y ＝﹣x 2+2x +8＝8，∴点C 的坐标为（0，8）．设点E 的坐标为（x ，﹣x 2+2x +8）（0＜x ＜4），∵S △COE ＝S △BCD ， ∴×8•x ＝×4×4，解得：x ＝2，∴点E 的坐标为（2，8）．（3）过点C 作CM ∥x 轴，交抛物线对称轴于点M ，如图所示．∵点B （4，0），点D （0，4），∴OB ＝OD ＝4，∴∠ODB ＝45°，BD ＝4，∴∠BDC ＝135°．∵点C （0，8），点P （1，9），∴点M 的坐标为（1，8），∴CM ＝PM ＝1，∴∠CPM ＝45°，CP ＝， ∴点Q 在抛物线对称轴上且在点P 的上方，∴∠CPQ ＝∠CDB ＝135°．∵△BCD ∽△CPQ ， ∴＝或＝． ①当＝时，，解得：PQ ＝2，∴点Q 的坐标为（1，11）；②当＝时，，解得：PQ ＝1，∴点Q 的坐标为（1，10）．综上所述，点Q的坐标为（1，11）或（1，10）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的一元一次方程；（3）分＝或＝两种情况，求出PQ的长度．25．（14分）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P 与线段BD、AQ分别相交于点E、F．（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．【分析】（1）证出∠FQP＝∠ADB，由三角函数得出tan∠FQP＝＝，得出＝，即可得出结果；（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，在Rt△ABQ中，由三角函数得出cos∠AQB＝＝，在Rt△PQM中，QM＝PQ cos∠AQB＝，进一步求出，当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，则PD＝PB＝x，DH＝AB＝4，BH＝AD＝3，则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，在Rt△PDH中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出x的取值范围；（3）设BP＝x，分两种情况：①EP∥AQ时，求出QG＝QB＝2x，同理：AG＝AD＝3，在Rt△ABQ中，由勾股定理得出方程，解方程得出x＝，QG＝QB＝2x＝，由平行线得出＝，求出BG＝，即可得出结果；②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程求出BQ＝2，BP＝1，作PN⊥BG于N，由垂径定理得出BE＝2BN，由三角函数得出cos∠PBN＝cos∠ADB＝，求出BN＝，即可得出结果．【解答】解：（1）∵BE＝FQ，∴∠BPE＝∠FPQ，∵PE＝PB，∴∠EBP＝（180°﹣∠EPB），同理∠FQP＝（180°﹣∠FPQ），∴∠EBP＝∠FQP，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBP，∴∠FQP＝∠ADB，∴tan∠FQP＝tan∠ADB＝，设⊙P的半径为r，则tan∠FQP＝＝，∴＝，解得：r＝，∴⊙P的半径为；（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图1所示：在Rt△ABQ中，cos∠AQB＝＝＝＝，在Rt△PQM中，QM＝PQ cos∠AQB＝，∵PM⊥FQ，PF＝PQ，∴FQ＝2QM＝，∴，当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，如图2所示：则PD＝PB＝x，DH＝AB＝4，BH＝AD＝3，则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2＝x2，解得：x＝，∴x的取值范围为：；（3）设BP＝x，分两种情况：①EP∥AQ时，∴∠BEP＝∠BGQ，∵PB＝PE，∴∠PBE＝∠BEP，∴∠BGQ＝∠PBE，∴QG＝QB＝2x，同理：AG＝AD＝3，在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，解得：x＝，∴QG＝QB＝2x＝，∵EP∥AQ，PB＝PQ，∴BE＝EG，∵AD∥BC，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴BE＝BG＝；②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），∴BQ＝2，∴BP＝1，作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：∵AD∥BC，∴∠PBN＝∠ADB，∴cos∠PBN＝cos∠ADB＝，即＝，∴BN＝，∴BE＝2BN＝；综上所述，或．【点评】本题是圆的综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数、垂径定理、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题关键．。

2019年上海各区初三二模数学试卷23题专题汇编（学生版）崇明23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图7，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ． 过点D 作DE BC ⊥，交AC 于点F ． （1）联结OE ，若BE AOEC OF=，求证：OE CD ∥； （2）若AD CD =且BD CD ⊥，求证：AF DFAC OB=．ABCDOE F图7奉贤23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图8，正方形ABCD ，点E 在边AD 上，AF ⊥BE ，垂足为点F ，点G 在线段BF 上，BG=AF ．（1）求证：CG ⊥BE ；（2）如果点E 是AD 的中点，联结CF ，求证：CF=CB ．ABCD FG E 图8闵行（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线BD AC 、相交于点O ，AC BD 2=，过点A 作CD AE ⊥，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ，过点C 作AC CG ⊥，与AE 的延长线相交于点G . 求证：（1）DOA ACG ∆∆≌;（2）AG DE BD DF ⋅=⋅2嘉定23．（本题满分12分，第(1)小题6分、第(2)小题6分）如图6，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，△EBC 沿直线EC 翻折，使B 点落在矩形ABCD 内部的点P 处，联结AP 并延长AP 交CD 于点F ，联结BP 交CE 于点Q ． （1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）如果PE PA ，求证：△APB ≌△EPC ．AB DCF PEQ图6黄埔23．（本题满分12分）如图6，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO=BO，过点C作CE∥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足DCE ACB∠=∠.（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求证：DE ADEF CD=.AB CDEF图6OA B CD OE HF 第23题图金山22. 已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若DBC CAD ∠=∠.（1）求证：ABCD 是正方形.（2）E 是OB 上一点，CE DH ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OF OE =.普陀23．（本题满分12分）已知：如图10，在四边形ABCD 中，AD BC <，点E 在AD 的延长线上， ACE BCD ∠=∠，EC ED EA =⋅2． （1）求证：四边形ABCD 为梯形； （2）如果EC ABEA AC=，求证：AB ED BC =⋅2．图10A BCD E徐汇22. （本题满分（12分），第（1）题满分6分，第（2）小题满分6分） 如图，已知梯形ABCD 中，E AC AB BC AD ,,=∥是边BC 上的点，且CAD AED ∠=∠,DE 交AC 于点F(1) 求证：DAF ABE ∽△△(2) 当EC AE FC AC ⋅=⋅时，求证：BE AD =杨浦1、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）V中，AB=BC，∠ABC=90°，点D、E分别是AB、BC的中点，已知：如图，在ABC点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于H，联结HA、HC求证：（1）四边形FBGH是菱形（2）四边形ABCH是正方形长宁23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图5，平行四边形ABCD 的对角线BD AC 、交于点O ，点E 在边CB 的延长线上，且︒=∠90EAC ，EC EB AE ⋅=2． （1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）延长AE DB 、交于点F ，若AC AF =，求证：BF AE =．图5 AB C DE FO宝山23．（本题满分12分，第(1)、第(2)小题满分各6分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，联结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）如果P A=PC，联结BP，求证：∥APB≅∥EPC．第23题图松江23.（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知□ABCD 中，AB=AC ，CO ⊥AD ，垂足为点O ，延长CO 、BA 交于点E ，联结DE ． （1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）联结OB ，交AC 于点F ，如果OF=OC ， 求证：22AB BF BO =⋅．（第23题图）O EBA22．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图5，在矩形ABCD 中，过AC 的中点M 作EF ⊥AC ， 分别交AD 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）如果2CD BF BC =⋅，求∠BAF 的度数．23．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ﹦AC ，点E 为弦AB 的中点，AO 的延长线交BC 于点D ，联结ED ．过点B 作BF ⊥DE 交AC 于点F ．（1）求证：∠BAD ﹦∠CBF ； （2）如果OD ﹦DB ．求证：AF =BF ．图5CFEDA BM图6BCDEF OA·OE 第23题图CABD F虹口23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC =∠E，求证：=BO OC AB FC⋅⋅．青浦23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ． （1）求证：∠FGC =∠B ；（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．BE CH AF AC ⋅=⋅GF EDA BC图9。

初中数学讲义几何证明题授课教师：教师联系电话：2013-2018年，上海市二模23题共考80道题目，其中考察内容和解题技巧的具体数目及占比如下图；其中相似三角形、比例线段、平行四边形及特殊的平行四边形、全等三角形是重点考察内容。

其中最核心的解题技巧是“等积化等比”、等量替换；“平行+中点”、“平行+角平分线”、“平行+等角”、旋转型、三线合一等上述技巧是非常典型的解题技巧，应该通过练习熟练掌握。

有个一隐形的技巧就是判定后必定用性质（例如：判定完全等用全等的性质、判定完相似用相似的性质、判定完平行四边形用平行四边形的性质…………）常用技巧讲解及练习： 技巧一：“平行+中点”首先，这是一个证明全等的重要方式，另外通过两个三角形全等，我们可以进一步说明该四边形是平行四边形。

例题：例1. （2017 闵行区）如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 为边BC 上一点，点E 为边AB 的中点，过点A 作AF ∥BC ，交DE 的延长线于点F ，联结BF 1) 求证：四边形ADBF 是平行四边形；D例2. （2014 嘉定宝山区）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB =∠ABC =90°，E 是CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F 1) 联结BE ，求证：BE =EF ；2) 联结BD 交AE 于M ，当AD =1，AB =2，AM =EM ，求CD 的长；练习：1. （2016 浦东区）如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，∠ECA =∠D 1) 求证：△EAC ∽△ECB ； 2) 若DF =AF ，求AC:BC 的值；FDB2. （2018 杨浦区）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF分别交边ABCD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点N 、M ，且∠AGE =∠CGN 1) 求证：四边形ENFM 是平行四边形；2) 当四边形ENFM 是矩形时，求证：BE =BN ；3. （2015 崇明区）如图，△ABC 中，BC =2AB ，点D 、E 分别是BC 、AC 的中点，过点A 作AF ∥BC交线段DE 的延长线于点F ，取AF 的中点G ，联结DG ，GD 与AE 交于点H 1) 求证：四边形ABDF 是菱形； 2) 求证：HA 2=HE ∙HCBGB技巧二：“平行+等角”“平行+等角”是一个很重要判定平行四边形的方法，切记切记 例题：例3. （2015 奉贤区）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 是对角线AC 上一点，∠DEC =∠ABC ，且CD 2=CE ∙CA1) 求证：四边形ABCD 是平行四边形；2) 分别过点E 、B 作AB 和AC 的平行线交于点F ，联结CF ，若∠FCE =∠DCE ，求证：四边形EFCD 是菱形；例4. （2016 长宁区）如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边BC 、AB 上，且DE ∥AB ，∠DEF =∠A 1) 求证：BE =AF ；2) 设BD 与EF 交于点M ，联结AE 交BD 于点N ，求证：BN ∙MD =BD ∙NDBB练习：4. （2013 长宁区）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE 延长线上，且AF =AE1) 求证：四边形ACEF 是平行四边形； 2) 若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数；技巧三：“平行+角平分线”“平行+角平分线”必出等腰三角形 例题：例5. （2013 闸北区）已知：如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，AF FB=BD DC=AE EC，若BE 平分∠ABC ，说明四边形DBFE 的形状，证明FDB练习：5.（2013 杨浦区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，联结DE1)求证：四边形ABED是菱形；2)若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由；技巧四：旋转型旋转型涉及到全等和相似的技巧例题：例6.（2014 奉贤区）已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE1)求证：△ABE∽△ACD；2)求证：BC∙AD=DE∙AC；CBD B例7. （2013 奉贤区）如图，已知等边△ABC ，点D 是BC 延长线上的一个动点，以AD 为一边作等边△ADE ，过点E 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 的延长线于点F 、G ，联结BE 1) 求证：△AEB ≌△ADC ；2) 如果BC =CD ，判断四边形BCGE 的形状，说明理由；例8. （2016 徐汇区）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在边AC 上，AD =DB =DE ，联结BE ，∠ABC =∠DBE =72° 1) 联结CE ，求证：CE =BE ；2) 分别延长CE 、AB 交于点F ，求证：四边形DBFE 是菱形；FEA练习：6. （2015 宝山区）如图，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在边BC 上，点E 在边AD 的右侧，联结CE 1) 求证：∠ACE =60°；2) 在边AB 上取一点F ，使BF =BD ，联结DF 、EF ，求证：四边形CDFE 是等腰梯形；7. （2014 闵行区）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，分别以AB 、AD 为腰作等腰△ADE 和等腰△ABF ，且顶角∠BAF =∠DAE ，联结BD 、EF 相交于点G ，BD 与AF 相交于点H 1) 求证：BD =EF ；2) 当线段FG 、GH 和GB 满足怎样的数量关系时，四边形ABCD 是菱形，证明之；BB技巧五：等积换等比等积换等比的目的是为了判断使用比例线段继续做还是用相似判定 比例线段：例9. （2017 静安区）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BA 的延长线上，BE =AF ，CF ∥AE ，CF 与边AD 相交于点G 1) 求证：FD =CG ； 2) 求证：CG 2=GF ∙FC例10. （2017 松江区）如图，点D 、E 分别是△ABC 边BC 、AB 上的点，AD 、CE 相交于点G ，过点E作EF ∥AD 交BC 于点F ，且CF 2=CD ∙CB ，联结FG 1) 求证：GF ∥AB ；2) 如果∠CAG =∠CFG ，求证：四边形AEFG 是菱形；BB练习：8. （2016 崇明区）已知正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∠CAB 的平分线分别交BD 、BC 于点EF ，作BH ⊥AF ，垂足为H ，BH 的延长线分别交AC 、CD 于点G 、P 1) 求证：AE =BG ； 2) 求证：GO ∙AG =CG ∙AO ；相似：例11. （2016 虹口区）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，EF 为对角线BD 上两点，且BE =DF ，AF∥EC1) 求证：四边形ABCD 是平行四边形；2) 延长AF ，交边DC 于点G ，交边BC 的延长线于点H ，求证：AD ∙DC =BH ∙DG ；FB练习：9. （2015 静安区）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =BC ，E 是CD 的中点，BE 交AC 于点F ，过点F 作FG ∥AB ，交AE 于点G 1) 求证：AG =BF ；2) 当AD 2=AC ∙CF 时，求证：AB ∙AD =AG ∙AC ；10. （2013 徐汇区）如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE =AB ，点F 在AE的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N 1) 求证：四边形DBEC 是平行四边形；2) 如果AD 2=AB ∙AF ，求证：CM ∙AB =DM ∙CN ；ABA技巧五：等积式的数字替换 例题：例12. （2018 普陀区）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG =EF 1) 求证：四边形ABED 是菱形；2) 联结AE ，AC ⊥ED ，求证：12AE 2=EF ∙ED例13. （2018 松江区）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE 1) 求证：四边形BCEF 是菱形； 2) 求证：BE ∙AE =2AD ∙BC ；B例14.（2017 闵行区）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D为边BC上一点，点E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，联结BF1)求证：四边形ADBF是平行四边形；2)当∠ADF=∠BDF时，求证：BD∙BC=2BE2；特殊平行四边形类题目菱形例15. （2016 普陀区）如图，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相较于点O ，BD 平分∠ABC ，过点D 作DF ∥AB 分别交AC 、BC 于点E 、F 1) 求证：四边形ABDF 是菱形；2) 设AC ⊥AB ，求证：AC ∙OE =AB ∙EF ；例16. （2015 普陀区）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，BE 、AD 相交于点G ，EF ∥AD 交BC 于点F ，且BF 2=BD ∙BC ，联结FC 1) 求证：FG ∥CE ；2) 设∠BAD =∠C ，求证：四边形AGFE 是菱形；DBB11. （2015 虹口区）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 为DC 延长线上一点，联结AE ，交边BC于点F ，联结BE 1) 求证：AB ∙AD =BF ∙ED ；2) 若CD =CA ，且∠DAE =90°，求证：四边形ABEC 是菱形.12. （2014 虹口区）已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得△GFC . 1) 求证：BE =DG ；2) 若∠BCD =120˚，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.FE B例题：例17. （2017 普陀区）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，E 是边AD 上一点，BE ⊥AC 交AC 于点F ，BE 、CD 的延长线交于点G ，且∠ABE =∠CAD 1) 求证：四边形ABCD 是矩形；2) 如果AE =EG ，求证：AC 2=BC ∙BG ；D例18.（2017 奉贤区）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，点E是BD的中点，CE的延长线交边AB于点F，且∠CED=∠A1)求证：AC=AF；2)在边AB下方画∠GBA=∠CED，交CF的延长线于点G，联结DG，在图中画出图形，证明四边形CDGB是矩形；练习：13.（2017 长宁区）如图，在△ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在BC边上，联结AD交PQ于点E，且CPCD =QEBD，点G在BC的延长线上，∠ACG的平分线CF交直线PQ于点F1)求证：PC=PE；2)当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形；A14.（2014 徐汇区）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E是BC的中点，F是CD上的点，联结AE、EF、AC1)求证：AO∙OF=OC∙OE；2)若点F是DC的中点，联结BD交AE于点G，求证：四边形EFDG是菱形；正方形：例题：例19. （2015 闵行区）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =AD ，点E 在边AB 上，且DE ⊥CD ，DF 平分∠EDC ，交BC 于点F ，联结CE 、EF 1) 求证：DE =DC ；2) 如果BE 2=BF ∙BC ，求证：∠BEF =∠CEF ；例20. （2015 徐汇区）已知：如图，正方形ABCD ，BM 、DN 分别是正方形的两个外角平分线，∠MAN =45°，将∠MAN 绕着正方形的顶点A 旋转，边AM 、AN 分别交两条角平分线于点M 、N ，联结MN1) 求证：△ABM ∽△AND ；2) 联结BD ，当∠BAM 的度数为多少时，四边形BMND 是矩形，证明之；E例21. （2014 浦东区）如图，正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF ⊥BE ，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF 1) 求证：BE =BF ；2) 联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ，求证：∠AEB =∠DEO ；练习：15. （2015 长宁区）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE =AF ，AC 和EF 交于点O ，延长AC 至点G ，使得AO =OG ，联结EG 、FG 1) 求证：BE =DF ；2) 求证：四边形AEGF 是菱形；BB16. （2015 松江区）如图，已知正方形ABCD 中，点E 在CD 边上，过C 点作AE 的垂线交于点P ，联结DF ，过点D 作DF 的垂线交AF 于点G ，联结BG 1) 求证：△ADG ≌△CDF ；2) 如果E 为CD 的中点，求证：BG ⊥AF ；17. （2013 松江区）已知在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 在边BC 上，以AD 为边作正方形ADEF ，联结CF 、CE 1) 求证：FC ⊥BC ；2) 如果BD=AC ，求证：CD=CE ；FB辅助线：例22. （2015 普陀区）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，BE 、AD 相交于点G ，EF ∥AD 交BC 于点F ，且BF 2=BD ∙BC ，联结FC 1) 求证：FG ∥CE ；2) 设∠BAD =∠C ，求证：四边形AGFE 是菱形；例23. （2018 黄浦区）如图，点E 、F 分别是菱形ABCD 边AD 、CD 的中点 1) 求证：BE =BF ；2) 当△BEF 是等边三角形时，求证：∠D=2∠A ；BC例24. （2016 静安区）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 延长线上，CF =DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G 1) 求证：∠CDF=∠DAE ； 2) 如果DE=CE ，求证：AE=3EG ；例25. （2014 嘉定区）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB =∠ABC =90°，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； 1) 联结BE ，求证BE =EF ；2) 联结BD 交AE 于M ，当AD =1，AB =2，AM =EM 时，求CD 的长；B例26.（2017 宝山区）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的中点，BE⊥AC，垂足为点F，联结DF1)求证：CF=2AF；2)求tan∠CFD的值；例27.（2015 闵行区）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF1)求证：DE=DC；2)如果BE2=BF∙BC，求证：∠BEF=∠CEF；E例28. （2015 杨浦区）已知：如图，Rt △ABC 和Rt △CDE 中，∠ABC =∠CDE =90°，且BC 于CD 共线，联结AE ，点M 为AE 的中点，联结BM ，交AC 于点G ，联结MD ，交CE 于点H 1) 求证：MB =MD ；2) 当AB =BC ，DC =DE 时，求证：四边形MGCH 为矩形；例29. （2013 杨浦区）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，联结DE1) 求证：四边形ABED 是菱形；2) 若∠ABC =60°，CE =2BE ，试判断△CDE 的形状，并说明理由；ACB。