第2章信号与系统

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代入完全解中，解下面的方程组
r (0+ ) A1 + A2 + + An + rp (0+ ) + d r (0 ) d A11 + A2 2 + + An n + rp (0+ ) dt dt n 1 d n 1 r (0+ ) d n 1 n 1 n 1 + A + A + + A + r (0 ) 1 1 2 2 n n n 1 n 1 p dt dt
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求得
要求的完全响应为
4 2t 2 5t 8 i (t ) e e + A 15 5 3
(t 0 + )
X
§2.3 起始点的跳变
•根据网络拓扑结构求跳变
•冲激函数匹配法确定初始条件
第
二．冲激函数匹配法确定初始条件
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配平的原理：t=0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶 导数应该平衡(其它项也应该平衡，我们讨论初始条件， 可以不管其它项） 例：
X
(4)求i (t )在t 0+ 时的完全响应
由i (t )的表示式
8 14 i (0 + ) A1 + A2 + 5 5 d i (0 ) 2 A 5 A 2 + 1 2 d t 4 A1 3 A 2 2 15
X
第 10 机械位移系统，其质量为 m 的刚体一端由弹簧 例2-2-2 页
k
m
f
Fsቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 f，外加牵引力为 FS (t ) ，其外加牵引力FS (t )与 刚体运动速度 v (t )间的关系可以推导出为 d FS (t ) d 2 v (t ) d v (t ) m +f + kv (t ) 2 dt dt dt 这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都 是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂 系统，则可以用高阶微分方程表示。
其系数为范德蒙德矩阵
X
几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解
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E (常数)
B(常数)
B1t p + B2 t p1 + + B p t + B p+1
t
e(t )
tp e
t
Be
cos( t ) sin( t )
t p e t sin( t ) t p e t cos( t )
主要内容
复习求解系统微分方程的经典法 物理系统的模型
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微分方程的列写
n阶线性时不变系统的描述
求解系统微分方程的经典法
X
第
一．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
5 页
X
第
二．微分方程的列写
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
r (t ) Ai e i t + r p (t )
i 1
n
X
例2-2-5
给定如图所示电路， t 0开关S处于1的位置而且已经达 到稳态； 当t 0时S由1转向2.建立i (t )电流的微分方程并求 解i (t )在t 0+ 时的变化。
2
e (t ) 4V
1
第 20 页
X
第
(2)
19 页
这里，B是待定系数。 当e(t ) e t 时, 很明显, 可选r (t ) Be t 。 代入方程后有：
Be + 2Be + 3Be e + e 1 B 3
t t t t t
1 t 于是, 特解为 e . 3 上面求出的齐次解 rh (t )和特解r p (t )相加即得方程的完全解
X
第
四．求解系统微分方程的经典法
分析系统的方法：列写方程，求解方程。 求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。
11 页
X
第
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
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注意重根情况处理方法。自由响应
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。强迫响应。 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
21 页
d2 d d2 d (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i t + 7 i t + 10 i t e t + 6 e t + 4 e t dt2 dt dt2 dt
X
第
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程： 2 + 7 + 10 0 ( + 2)( + 5) 0 1 2, 2 5 特征根： 齐次解：
S
R1 1
i C (t ) i (t ) C 1F
i L (t )
e(t ) 2 V
1 H 4 3 R2 2 L
X
第
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程：
R1 i (t ) + v c (t ) e(t )
d vC (t ) L i L (t ) + i L (t )R2 dt 列结点电压方程 d i (t ) C vC (t ) + i L (t ) dt 先消去变量vC (t ), 再消去变量i L (t ), 把电路参数代入整理的 :
d i (0 ) 0 dt
4 3 6 v C (0 ) V V 5 2 5
X
d 换路后的 i (0 + )和 i (0+ ) : dt
2
e (t ) 4V
1
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S
R1 1
i C (t ) i (t ) C 1F
i L (t )
e(t ) 2 V
1 H 4 3 R2 2 L
d n r (t ) d n 1 r ( t ) d r (t ) C0 + C1 + + C n 1 + C n r (t ) n n 1 dt dt dt d m e( t ) d m 1 e ( t ) d e( t ) E0 + E1 + + E m 1 + E m e( t ) m m 1 dt dt dt
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 因而有:
1 1 6 14 e(0+ ) vC (0+ ) 4 A A i (0+ ) R1 1 5 5 d 1 d d A ( ) ( ) i (0 + ) e 0 v 0 2 + C + s dt R1 d t d t
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•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑
约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, 基尔霍夫电流定律,基尔霍夫电压定律.
d3 d2 d 求微分方程 3 r (t ) + 7 2 r (t ) + 16 r (t ) + 12r (t ) e(t ) dt dt dt 的齐次解.
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系统的特征方程为
3 + 7 2 + 16 + 12 0
特征根：
( + 2) ( + 3) 0
2
1 2(重根) , 2 3 因而对应的齐次解为
全
我们一般将激励信号加入的时刻定义为0，响应 为 t 0+时的方程的解，初始条件 + 2 + n 1 + d r ( 0 ) d r ( 0 ) d r ( 0 ) + r (0 ) , , , , 2 n 1 dt dt dt 初始条件的确定是此课程要解决的问题。
X
齐次解的形式
• 若特征根各不相同，则齐次解为
X
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• 基尔霍夫电流定律：它表示任何瞬时流入 电路任一节点的电流的代数和等于零。 • 基尔霍夫电压定律：它表示任何瞬时，沿 电路的任一回路，各支路电压的代数和等 于零。
X
三．n阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号e(t ) 与响应信号r (t ) 之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
B1 cos( t ) + B2 sin( t )
(B t + B t + (D t + D t
1 p 2 1 p 2
p 1
+ + B p t + B p +1 e t cos ( t ) + + D p t + D p +1 e t sin( t )
X
)
p 1
)
第
例2-2-3
X
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等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
3 B1 1 4 B1 + 3 B2 2 2 B + 2 B + 3 B 0 2 3 1
联解得到
1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27