排列组合常见解题错误剖析

排列组合解题中的⼋⼤典型错误、24种解题技巧和三⼤重要模型！总论：
⼀、知识点归纳
⼆、基本题型讲解
三、排列组合解题备忘录
1．分类讨论的思想
2. 等价转化的思想
3. 容斥原理与计数
4. 模型构造思想
四、排列组合中的8⼤典型错误
1．没有理解两个基本原理出错
2. 判断不出是排列还是组合出错
3. 重复计算出错
4. 遗漏计算出错
5. 忽视题设条件出错
6. 未考虑特殊情况出错
7．题意的理解偏差出错
8. 解题策略的选择不当出错
五、排列组合24种解题技巧
1．排序问题
相邻问题捆绑法
相离问题插空排
定序问题缩倍法（插空法）
定位问题优先法
多排问题单排法
圆排问题单排法
可重复地排列求幂法
全错位排列问题公式法
2．分组分配问题
平均分配问题去除重复法（平均分配问题）
相同物品分配的隔板法
全员分配问题分组法
有序分配问题逐分法
3．排列组合中的解题技巧
⾄多⾄少间接法
染⾊问题合并单元格法
交叉问题容斥原理法
构造递推数列法
六．排列组合中的基本模型
分组模型（分堆模型）
错排模型
染⾊问题
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排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧三大模型一、知识点归纳 二、基本题型讲解三、排列组合解题备忘录 1.分类讨论的思想 2.等价转化的思想 3.容斥原理与计数 4.模型构造思想四、排列组合中的8大典型错误 1．没有理解两个基本原理出错 2. 判断不出是排列还是组合出错 3. 重复计算出错 4. 遗漏计算出错 5. 忽视题设条件出错 6. 未考虑特殊情况出错 7．题意的理解偏差出错 8. 解题策略的选择不当出错 五、排列组合24种解题技巧 1．排序问题相邻问题捆绑法 相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法） 定位问题优先法 多排问题单排法 圆排问题单排法 可重复的排列求幂法 全错位排列问题公式法 2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题） 相同物品分配的隔板法 全员分配问题分组法 有序分配问题逐分法 3．排列组合中的解题技巧 至多至少间接法染色问题合并单元格法 交叉问题容斥原理法 构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型） 错排模型 染色问题一．知识点归纳1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）4阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．5．排列数的另一个计算公式：mn A =!()!n n m -6组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合7．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 8．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且9组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；10．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +-m nC02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=;012nn n n n C C C++=11.“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：12.“２4个技巧”是迅速解决排列组合的捷径 二．基本题型讲解例1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数,（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； （2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）.解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为72066=A（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有14A 种选法，然后其他5人选，有55A 种选法，故排法种数为4805514=A A（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为35A ；②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有14A 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有14A 种选法，其余两棒次不受限制，故有221414A A A 种排法，由分类计数原理，共有25224141435=+A A A A 种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有2405522=A A 种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有2544A A （或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为48024066=-A ）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法1203336=A C 种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻例2 假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？ （1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有64446024597=C 种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有44232023397=C C 种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有32973C C 种第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有23973C C 种按分类计数原理有4469763329723397=+C C C C 种点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是46628839823=C C 种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A 、B 、C ，第一步先抽A 、B第二步再抽C 和其余2件正品，与第一步先抽A 、C （或B 、C ），第二步再抽B （或A ）和其余2件正品是同一种抽法，但在算式39823C C 中算作3种不同抽法例3 求证：①m n m n m n A mA A =+---111 ；②12112++-+=++m n m n m n m n C C C C证明：①利用排列数公式 左()()()()1!1!1!!n m n n m n m -⋅-=+---()()()()1!1!!n m n m n n m --+⋅-==-()==-mn A m n n !!右另一种证法：（利用排列的定义理解）从n 个元素中取m 个元素排列可以分成两类： ①第一类不含某特殊元素a 的排列有mn A 1-第二类含元素a 的排列则先从()1-n 个元素中取出()1-m 个元素排列有11--m n A 种，然后将a 插入，共有m 个空档，故有11--⋅m n A m 种，因此mn m n m n A A m A =⋅+---111②利用组合数公式 左()()()()()!!2!11!1!1!m n m n m n m n m n m n -++--+--+=()()()()()()()[]11211!1!1!+-+++++--⋅+-+m n m m m m n m n m n m n ＝()()()()()()()==+-++=+++-+=++12!1!1!212!1!1!m n C m n m n n n m n m n 右另法：利用公式111---+=m n m n m n C C C 推得左()()==+=+++=+++++-+1211111m n n n m n m n m n m n m n C C C C C C C 右点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质例4 已知f 是集合{}d c b a A ,,,=到集合{}2,1,0=B 的映射 （1）不同的映射f 有多少个？（2）若要求()()()()4=+++d f c f b f a f 则不同的映射f 有多少个？ 分析：（1）确定一个映射f ，需要确定d c b a ,,,的像（2）d c b a ,,,的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：（1）A 中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有433333=⋅⋅⋅个不同映射（2）根据d c b a ,,,对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有121314=P C 个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有624=C 个由分类计数原理共有1+12+6=19（个）点评：问题（1）可套用投信模型：n 封不同的信投入m 个不同的信箱，有nm 种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏例5 四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？ （2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？ 解：（1）如图，含顶点A 的四面体的三个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有353C 种取法含顶点A 的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理和点A 共面三点取法共有333335=+C 种（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（410C 种取法）减去4点共面的取法取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有464C 种取法 第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法 第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法根据分类计数原理4点共面取法共有6936446=++C故取4个点不共面的不同取法有()14136446410=++-C C （种）点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等 三、排列组合解题备忘录 ：⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有mm P⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 mn P 种不同的“插入”方法⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有mn C 种不同的“插入”方法⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以mm P (去除重复数)四．排列组合问题中的数学思想方法（一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。

例说排列组合问题错解剖析及其对策510700 广州市第八十六中学贾国富排列组合是概率统计的基础, 是高中数学教材中的重点，也是一个难点. 对于排列组合问题中常见的错误进行剖析，找到解决问题的对策，可以有效地避免误解，准确地解决排列组合问题.例1. 从6个男生和4个女生中选出3人成立科技小组，问当选者至少有1女生的选法有多少种？错解：为保证至少有1女生，先从4女生中选出1人，有14C 种选法；然后再从剩余的3女生和4男生中选出2人，有29C 种选法. 根据分步计数原理知，符合条件的有1249436144C C ⋅=⨯=（种）选法. 剖析：以上的解法满足了题意原则——至少有1女生，似乎无可挑剔，但计数是否重复或遗漏则是另一回事.下面，为清楚起见，不妨将6男生和4女生进行编号，6男生编为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6，4女生编为b 1、b 2、b 3、b 4，那么① 恰有1女生时，在1249C C ⋅中无重复计数；② 恰有2女生时，在1249C C ⋅中存在着重复计数：假设第一次从4女生中选出的1女生是b 1，从另外9人中选出的2人是b 2、a 1；第二次从4女生中选出了b 2，从另外9人中恰好选出了b 1，a 1，两次所选结果相同，都是｛b 1，b 2，a 1｝，但在这里却被当成了两种不同选法，各多算了一次. 这样的选法共有2146C C ⋅种. 因而多算了2146C C ⋅次.③ 恰有3女生时，按1249C C ⋅计算也存在着重复计数：假设第一次从4女生中选出的1女生是b 1，从另外9人中选出的2人是b 2、b 3；第二次从4女生中选出了b 2，从另外9人中恰好选出了b 1，b 3；第三次先选出的1女生是b 3，又从另外9人中选出的2人是b 1、b 2，三次所选结果相同，都是｛b 1，b 2，b 3｝，各多计了两次.因而此类又多算了234C 次.于是，重复计算的选法有2134642C C C ⋅+=36+8=44. 这正是错解答案144减去正确答案100所得的差.对策: 因为错解的思路是用分步的方法,虽保证了至少有1女, 没有违背题意要求,自我感觉良好, 但重复计数不知晓. 解决此问题的方法, 除弄清错误的原因外, 另一有效措施是对“至少”问题用分类法或排除法, 而不用分步法.正解:方法一(分类法) 分恰有1女生、恰有2女生、恰有3女生三类，他们分别有1221346464C C C C C 、、中选法.根据分类计数原理知,符合题意的选法共有1221346464C C C C C ++=100 (种)正解:方法二 (排除法) 不考虑限制条件时有310C 种选法，而其中没有女生的情况有36C 种选法. ∴符合题意的选法有33106C C -=120－20=100(种).例2. 将4个不同的小球平均分成两堆, 有几种分法? 6个不同的小球平分为3组呢? 错解: 分三步:先在4个球中选出2个作为第一堆, 在把余下2个球作为第二堆.∴4个不同的小球平均分成两堆共有222424C C C ⋅==6(种)分法.6个不同的小球平分为3组有222642C C C ⋅⋅=90(种)分法. 剖析: 将4个球分别编号为a 、b 、c 、d ，以上24C 的意义为ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd计6个组合，但其中｛ab ，cd ｝、｛ac ，bd ｝、｛ad ，bc ｝各为一种分法，即22A 个组合其实是一种分法. 事实上, 各堆间是没有顺序的, 而简单分步实际上是考虑了顺序要求.对策: 如果将以上问题改为“将4个不同的小球平均分给两个同学”, 则有222424C C C ⋅==6(种)分法. 若将平分m 组的无序问题当有序处理, 恰多计了mm A 倍. 所以先按有序处理的结果除以mm A 即可.正解: 先将问题看成“将4个不同的小球平均分给两个同学”的分配问题, 再除以组间的顺序数, 即4个不同的小球平均分成两堆有224222C C A =3 (种)分法. 同理, 将6个不同的小球平分成三堆有22264233C C C A =15 (种)分法. 例3. 从某6个人中选出5人去坐5个座位（每个座位只能坐1人）其中某甲只能坐在某个位置，那么不同的坐法有多少种？错解：分步法：先排某甲，再在其余5人中选4人排列，共有451A ⋅=120（种）排法.剖析:从6人中只选5人, 不一定选到某甲.若没有选到某甲, 还有55A =120 (种)排法. 错误的原因是, 将选出部分元素的排列错当成全部元素的排列.对策: 题意要求某甲只能坐在某个位置, 并没有要求那个位置只能坐某甲, 还要分清问题是选排还是全排. 这样就可按选到某甲与没有选到某甲分为两类.正解: 按选到某甲或没有选到某甲分为两类: 若选到某甲有451A ⋅种排法; 若没有选到某甲有55A 种选法. 根据分类计数原理知, 不同的排法共有4555A A +=240(种)排法. 通过以上三例可以看到, 对于易错的“至少”、 “等分组”和“选排列”等问题，采用相应的对策，慎重对待，便可以“逢凶化吉”，问题迎刃而解。

排列组合问题十种题型及其解题技巧、易错归纳（一）至少变恰好例题1 某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36B ．72C ．108D ．144【解析】根据题意，分3步进行分析：①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况，②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有122C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案，选D巩固1 2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A ．84B ．48C ．36D ．28【解析】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. （二）插空法例题2 电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）A ．5424A A ⋅B ．5424C C ⋅C ．4267A A ⋅ D ．4267C C ⋅【解析】先排4个商业广告，有44A 种排法，然后利用插空法，4个商业广告之间有5个空，插2个公益广告，有25A 种排法，根据分步计数原理，所以共有5424A A ⋅种排法，选A.巩固2 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64【解析】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ，当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知，共有不同的排列法33424A ⨯=种结果，所以选B（三）特殊元素优先例题3 某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6B ．8C ．12D ．24【解析】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：1222C A 4=种，若“乙”安排在第三棒，此时有：1222C A 4=种，则一共有8种，选B.（四）捆绑法例题4 为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（） A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4种方法，第二步，丙、丁内部排列用22A 种方法，第三步，其他三人共33A 种方法，共23234A A 42648=⨯⨯=种方法；第二类：当甲在第2位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法， 后面两步与第一类方法相同，共23233A A 32636=⨯⨯=种方法； 第三类：当甲在第3为时，与第二类相同，共36种方法； 总计，完成这件事的方法数为483636120N =++=，故选D.巩固3 某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，选A. （五）不在问题的间接法例题5 某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A ．320B ．313C ．79D ．1778【解析】设事件A ：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件B ：化学排第四节.()41134333555578A C C A P A A A +==，()31123222555514A C C A P AB A A +==，故满足条件的概率是()()739P AB P A =.故选C.巩固4 某公司安排五名大学生从事A B C D 、、、四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事B 项工作,则不同的分配方案的种数为（ ） A ．96B ．120C ．132D ．240【解析】若甲同学在A 项工作，则剩余4人安排在B 、C 、D 三项工作中，共有1211342136C C C C =种 若甲同学不在A 项工作，，则在C 或D 工作，共有111112423323()96C C C C C C ++=种，共36+96=132种，选C 巩固5 某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种【解析】由题意知A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置， 可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A ，B 两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置， 这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，节目单上不同的排序方式有，选B ．（六）走街道问题例题6 如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）A ．10B ．13C ．15D ．25【解析】因为只能向东或向北两个方向，向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理知共有3515⨯=种结果，选C （七）隔板法例题7 设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ）A ．()1!n +种B ．()1!n n ⋅+种C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 【解析】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n n C n n +=+ 选D巩固6 将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种． A ．7B ．10C ．14D ．20【解析】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号， 分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论： ①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C 41＝4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C 42＝6种方法；则不同的放球方法有4+6=10种，选B ． （八）回归原始的方法例题8 某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ） A ．24种B ．144种C ．48种D ．96种【解析】第一步，先安排甲有12A 种方案；第二步，安排乙和丙有2124A A 种方案；第三步，安排剩余的三个演员有33A 种方案，根据分步计数原理可得共有1213224396A A A A =种方案.故选D.巩固7 如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。

高考数学复习易做易错题选排列组合易错题正误解析排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.1没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法.例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A .错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333=⨯⨯⨯种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法.3重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。

排列、组合、二项式定理之二――易错篇排列组合问题中，元素间的异同关系，元素的重复占位等问题错综复杂，“分类〞与“分步〞各环节又相互影响，如果不能审清题意，制定合理、准确的解题方案，就不可防止地出现“重〞或“漏〞的错误。

本文从排列组合易错问题入手进行分析探讨，希望能成为引“玉〞之“砖〞。

一、两个根本原理本节思维误区通常是：“完成一件事〞的任务不明确；分类与分步混淆或分类不准确。

例1、4名同学争夺三个工程的冠军，冠军获得者可能的种数是。

错解：每名同学夺冠有三种可能，故有34种。

错因分析：上解法误认为每个同学夺冠都有三种可能性，犯了分步混淆的错误。

正解：事件是“确定三项冠军有得主〞，可分为三个步骤：即每一项冠军都有4种可能情况，故冠军获得者可能的种数为43。

例2、从100到999的三位数中，含有0的三位数有多少个？错解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个。

故共有90＋90=180个。

错因分析：分类应注意“不重不漏〞，上解法中重复计算了个位和十位都是0的情形。

正解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个；但个位数是0且十位数也是0的9个重复了，故共有90＋90－9=171个。

二、排列问题本节思维误区通常是：⑴概念模糊；⑵重复或遗漏：①类与类之间不相互独立，即类与类之间有重复局部；②分类不完备，即分类没有包含所有可能情况；③分步设计不合理，缺乏可行性；④出现隐性问题；⑤轻视计算或算法不当。

例3、8个人排成两排，每排4人，有多少种排法？A种，另4 个人排成一排有44A种，两排交换位错解：8个人中取4个人排成一排有48A种，故共有排法48A·44A·22A=80640种。

置有22A包含了8个人中任取4个人的所有可能的排列，当然也包括错因分析：事实上，48A，那么每种排法又重复了一次。

排列与组合的⼋⼤典型错误、24种解题技巧和三⼤模型总论：⼀、知识点归纳⼆、常见题型分析三、排列组合解题备忘录1．分类讨论的思想2.等价转化的思想3.容斥原理与计数4.模型构造思想四、排列组合中的8⼤典型错误1．没有理解两个基本原理出错2.判断不出是排列还是组合出错3.重复计算出错4.遗漏计算出错5.忽视题设条件出错6. 未考虑特殊情况出错7．题意的理解偏差出错8.解题策略的选择不当出错五、排列组合24种解题技巧1．排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3．排列组合中的解题技巧⾄多⾄少间接法染⾊问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型）错排模型染⾊问题⼀．知识点归纳▲▲▲⼆．基本题型讲解▲▲▲三、排列组合解题备忘录▲▲▲四．排列组合问题中的数学思想⽅法▲▲▲五．排列组合中的易错题▲▲▲六．练习▲▲▲七．排列组合问题经典题型与通⽤⽅法▲▲▲⼋、排列组合中常见模型▲▲▲附录▲▲▲14种策略7⼤模型“绝杀”排列组合▲▲▲排列组合问题是⾼考的必考题，它联系实际⽣动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题⽅法，识别并化归到模式，熟练运⽤，是解决排列组合应⽤题的有效途径。

第⼀部分——组合的常见技巧第⼆部分——排列组合的常见模型。

解排列组合问题常见错误（八大错误）1、没有理解两个基本计数原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即分类计数加法原理和分步计数乘法原理，理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提。

例1、（1995上海卷）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的取法有 种。

错解：因为可以取2台原装与3台组装或取3台原装与2台组装，所以只有2种取法。

错因分析：错解的原因在于没有意识到“取2台原装与3台组装或取3台原装与2台组装”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法。

正解：由错因分析知，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装中任意取2台，有26C 种取法；第二步在组装中任意取3台，有35C 种取法。

根据分步计数乘法原理，有2365C C 种取法。

同理，完成第二类办法有3265C C 种取法。

在根据分类计数加法原理，完成任务共有23326565350C C C C +=种取法。

例2、在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种。

A 、34AB 、34C 、43D 、34C错解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A 。

错因分析：错解的原因在于没有理解分步计数乘法原理，盲目地套用公式。

正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由分步计数乘法原理，共有433333⨯⨯⨯=种。

说明：本题还有这样的错解，甲、乙、丙夺冠均有四种情况，由分步计数乘法原理，共有34种。

这种错解的原因在于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有四种夺冠可能。

2、判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列问题还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题。

例3、有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？错解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种排法。