江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(8) Word版含答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a，若A B I ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件 4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是5.若tan 1-=46πα⎛⎫⎪⎝⎭,则tan α= 6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy k ,双曲线2213x y -= 的右准线与学科&网它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为Sn ，已知36763，44S S ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。

2017年江苏省南通市高考一模数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.函数y=2sin(3x-3π)的最小正周期为 . 解析：根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期等于2πω，得出结论.函数y=2sin(3x-3π)的最小正周期为23π.答案：23π.2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A ∩B={3}，则A ∪B= .解析：由交集的定义，可得a+2=3，解得a ，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求.集合A={1，3}，B={a+2，5}，A ∩B={3}， 可得a+2=3，解得a=1， 即B={3，5}，则A ∪B={1，3，5}. 答案：{1，3，5}.3.复数z=(1+2i)2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 . 解析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.∵z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i ， ∴z 的实部为-3. 答案：-3.4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球.摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为 . 解析：利用对立事件的概率公式，可得结论.∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35， ∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17. 答案：0.17.5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 .解析：由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a 值，并输出满足a ＜16的最大n 值，模拟程序的运行过程可得答案.当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3. 满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5. 满足进行循环的条件，退出循环. 故输出n 值为5. 答案：5.6.若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z=3x+2y 的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=3x+2y 得3122y x z +-=， 平移直线3122y x z +-=，31312222y x z A y x z =+=+--由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z 最大. 由2437x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得A(1，2)，代入目标函数z=3x+2y 得z=3×1+2×2=7. 即目标函数z=3x+2y 的最大值为7. 答案：7.7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 . 解析：根据题意，对于甲，其平均数6580708575755x ++++==甲，其方差S甲2=15[(65-75)2+(80-75)2+(70-75)2+(85-75)2+(75-75)2]=50. 对于乙，其平均数8070758070755x ++++==乙，其方差S乙2=15[(80-75)2+(70-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(70-75)2]=20.比较可得：S 甲2＞S 乙2，则乙的成绩较为稳定. 答案：20.8.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ，则三棱锥D 1-A 1BD 的体积为 cm 3.解析：∵在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， ∴三棱锥D 1-A 1BD 的体积：1111111111311133326213D A BD B A D D A D D V V SAB A D DD AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=(cm 3). 答案：32.9.在平面直角坐标系xOy 中，直线2x+y=0为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .解析：利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，然后求解双曲线的离心率即可.直线2x+y=0为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，可得b=2a ，即c 2-a 2=4a 2，可得ca=10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升. 解析：设最上面一节的容积为a 1，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组：111()43432986596()422a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎪+-+=⎪⎩， 解得11322a =. 答案：1322.11.在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC的值为 . 解析：根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出sin sin AC的值. 在△ABC 中，设三条边分别为a 、b ，c ，三角分别为A 、B 、C ， 由2BC BA AC AB CA CB +=， 得ac ·cosB+2bc ·cosA=ba ·cosC ， 由余弦定理得：()()()2222222221122a cb bc a b a c +-++-=+-，化简得222a ac c==，则，由正弦定理得sin sin A aC c==12.已知两曲线f(x)=2sinx ，g(x)=acosx ，x ∈(0，2π)相交于点P.若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 . 解析：联立两曲线方程，可得sin tan cos 2x ax x ==，a ＞0，设交点P(m ，n)，分别求出f(x)，g(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a 的值. 由f(x)=g(x)，即2sinx=acosx ， 即有sin tan cos 2x ax x ==，a ＞0， 设交点P(m ，n)，f(x)=2sinx 的导数为f ′(x)=2cosx ， g(x)=acosx 的导数为g ′(x)=-asinx ， 由两曲线在点P 处的切线互相垂直， 可得2cosm ·(-asinm)=-1，且tan 2a m =， 则222sin cos 1sin cos a m mm m=+， 分子分母同除以cos2m ， 即有22tan 11tan a mm=+，22143a a a =+=即为，解得答案：3.13.已知函数f(x)=|x|+|x-4|，则不等式f(x 2+2)＞f(x)的解集用区间表示为 .解析：令g(x)=f(x 2+2)-f(x)=x 2+2+|x 2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可.令g(x)=f(x 2+2)-f(x)=x 2+2+|x 2-2|-|x|-|x-4|，x ≥4时，g(x)=2x 2-2x+4＞0，解得：x ≥4.x ＜4时，g(x)=2x 2-4＞0，解得： 4x x x ＜＜.0≤x g(x)=0＞0，不合题意.x ＜0时，g(x)=2x ＞0，不合题意.x ＜时，g(x)=2x 2+2x-4＞0，解得：x ＞1或x ＜-2，故x ＜-2，即不等式的解集用区间表示为(-∞，-2)∪+∞).答案：(-∞，-2)∪+∞).14.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 .解析：在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，如图所示：当BC ⊥OA 时，|BC|取得最小值或最大值.由2214y x y =⎧⎨+=⎩，可得B ())，由2211x x y =⎧⎨+=⎩，可得C ((1或， 解得：min max BC BC ==-==故线段BC 的长的取值范围为.答案：.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，(1)求cosβ的值.解析：(1)由条件利用余弦定理，求得cosβ的值.答案：(1)在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB，∴222222113 cos22115OA OB ABAOBOA OB+-+-∠===⨯⨯⎝⎭，即cosβ=35.(2)若点A的横坐标为513，求点B的坐标.解析：(2)利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标.答案：(2)∵30 52cosπββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，∴4sin5β===.55cos1313Aα=点的横坐标为，由三角函数定义可得，，∵α为锐角，∴12sin13α===.∴5312433 cos cos cos sin si()n13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，1235456sin sin cos cos sin135165 ()35αβαβαβ+=+=⨯+⨯=，即点B33566565⎛⎫⎪⎝-⎭，.16.如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP=OC ，PA ⊥PD.求证：(1)直线PA ∥平面BDE.解析：(1)连结OE ，说明OE ∥PA.然后证明PA ∥平面BDE. 答案：(1)证明：连结OE ，∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点， ∴O 为AC 中点. ∵E 为PC 的中点， ∴OE ∥PA.∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴直线PA ∥平面BDE.(2)平面BDE ⊥平面PCD.解析：(2)证明OE ⊥PD.OE ⊥PC.推出OE ⊥平面PCD.然后证明平面BDE ⊥平面PCD. 答案：(2)证明：∵OE ∥PA ，PA ⊥PD ， ∴OE ⊥PD.∵OP=OC ，E 为PC 的中点， ∴OE ⊥PC.∵PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD=P ， ∴OE ⊥平面PCD. ∵OE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PCD.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程.解析：(1)由已知条件可得221c a c a c=-=，，然后求解椭圆的方程.答案：(1)由题意得，221c a c a c=-=，，解得a=2，c=1，b=1.所以椭圆的方程为2212x y +=.(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线Q ，求2211OP OQ+的值. 解析：(2)由题意知OP 的斜率存在.当OP 的斜率为0时，求解结果.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y=kx.联立方程组，推出OP 2=222221k k ++.OQ 2=2k 2+2.然后求解即可. 答案：(2)由题意知OP 的斜率存在.当OP 的斜率为0时，22111OP OQ OP OQ =+=. 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y=kx.()22222222222121222121x k y k x x y k k y kx⎧+=⎪+===⎨++⎪=⎩由得，解得，所以，所以OP 2=222221k k ++. 因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为1y kx =-.由1k y y x-⎧=⎪⎨=⎪⎩得x =，所以OQ 2=2k 2+2. 所以222221121112222k OP OQ k k ++=+=++. 综上，可知22111OP OQ+=.18.如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪.已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P)，再沿直线PE 裁剪.(1)当∠EFP=4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积. 解析：(1)当∠EFP=4π时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4π.可得FN ⊥BC ，四边形MNPE 为矩形.即可得出. 答案：(1)当∠EFP=4π时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4π. 所以∠FPE=2π.所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形.所以四边形MNPE 的面积S=PN ·MN=2m 2.(2)若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由. 解析：(2)解法一：设∠EFD=θ(0＜θ＜2π)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ.可得()222233sin 2sin 2sin 2tan PF NP NF PF ME πθθθθ===-=-=--，，.四边形MNPE 面积为：()22223326sin 2tan tan si 112n 22S NP ME MN θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪⨯=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，化简利用基本不等式的性质即可得出.解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t ，可得PE=PF ，即t BP =-，()()22131332323t t BP NP t t t --==-+--，，四边形MNPE面积为()()()()213231132226263233t S NP ME MN t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝-⎭⎣=+=-++-⨯=--+--⎦，利用基本不等式的性质即可得出.答案：(2)解法一： 设∠EFD=θ(0＜θ＜2π)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ. 所以()222233sin 2sin 2sin 2tan PF NP NF PF ME πθθθθ===-=-=--，，.2230sin 232ta 2sin 32ta n 000232n θθθθππθθ⎧-⎪⎪-⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩＞＞由＞得＞＜＜＜＜ (*)所以四边形MNPE 面积为()221122sin tan tan si 22223326222n (sin cos )tan tan sin cos tan 2366662S NP ME MN θθθθθθθθθθθ⎛⎫=+=-+-⨯=--⎪⎝⎭+⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢-=-+≤-=- ⎪⎝⎭⎣⎭⎥⎝⎦当且仅当tan tan tan 33πθθθθ===，即时取“=”. 此时，(*)成立. 答：当∠EFD=3π时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为2.解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t. 因为∠EFP=∠EFD=∠FEP ，所以PE=PFt BP =-.所以()()()22131333332323t t BP NP PF PE t BP t t t --==-=-=--=-+--，. ()()22236361302312310133023t t tt t t t t t t ⎧⎪⎪⎧⎪⎪-⎪⎨⎨-⎪⎪-+⎩⎪-⎪-+-⎪⎩＜＜＜＜由＞得＜＞(*).所以四边形MNPE 面积为()()()()2133612232636312232t S NP ME MN t t t t t ⎡⎤⎛-=+=-++-⨯-=--⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡+≤⎢⎥⎣⎦--⎤()3232333t t t -==+=-当且仅当，即“=”. 此时，(*)成立.答：当点E 距B 点3+233m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大， 最大值为2.19.已知函数f(x)=ax 2-x-lnx ，a ∈R.(1)当a=38时，求函数f(x)的最小值. 解析：(1)当a=38时，f(x)=38x 2-x-lnx.求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值. 答案：(1)当a=38时，f(x)=38x 2-x-lnx. 所以()()()32113424x x f x x x x+-'=--=(x ＞0). 令f'(x)=0，得x=2，当x ∈(0，2)时，f'(x)＜0.当x ∈(2，+∞)时，f'(x)＞0， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增. 所以当x=2时，f(x)有最小值()122ln 2f =--.(2)若-1≤a ≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点.解析：(2)由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()212121ax x f x ax x x--'=--=，x ＞0.当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点，当-1≤a ≤0时，f(1)=a-1＜0，2210e e af e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=＞，推出结果.答案：(2)由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()212121ax x f x ax x x--'=--=(x ＞0).所以当a ≤0时，()2210ax x f x x--'=＜， 函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.因为当-1≤a ≤0时，f(1)=a-1＜0，2210e e af e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=＞， 所以当-1≤a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上有零点.综上，当-1≤a ≤0时，函数f(x)有且只有一个零点.(3)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围.解析：(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.说明a ＞0，由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()221ax x f x x--'=(x ＞0)，说明函数f(x)在(0，x 0)上单调递减.在(x 0，+∞)上单调递增.要使得函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要ax 02-x 0-lnx 0＜0.通过函数h(x)=2lnx+x-1在(0，+∞)上是增函数，推出0＜a ＜1.验证当0＜a ＜1时，函数f(x)有两个零点.证明：lnx ≤x-1.设t(x)=x-1-lnx ，利用导数求解函数的最值即可.答案：(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点. 因为函数f(x)有两个零点，所以a ＞0.由f(x)=ax2-x-lnx ，得()221ax x f x x--'=(x ＞0)，令g(x)=2ax 2-x-1.因为g(0)=-1＜0，2a ＞0，所以函数g(x)在(0，+∞)上只有一个零点，设为x 0.当x ∈(0，x 0)时，g(x)＜0，f'(x)＜0.当x ∈(x 0，+∞)时，g(x)＞0，f'(x)＞0. 所以函数f(x)在(0，x 0)上单调递减.在(x 0，+∞)上单调递增. 要使得函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要函数f(x)的极小值f(x 0)＜0，即ax 02-x 0-lnx 0＜0＜0.又因为g(x 0)=2ax 02-x 0-1=0，所以2lnx 0+x 0-1＞0，又因为函数h(x)=2lnx+x-1在(0，+∞)上是增函数，且h(1)=0， 所以x 0＞1，得0＜1x ＜1. 又由2ax 02-x 0-1=0，得2200011241112a x x x =+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎭⎝⎭-⎝+， 所以0＜a ＜1.以下验证当0＜a ＜1时，函数f(x)有两个零点. 当0＜a ＜1时，2121110a a g a aa a ⎛⎫ -==⎝--⎪⎭＞， 所以1＜x 0＜1a. 因为2221110a e e a f e e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+=-+=⎭＞，且f(x 0)＜0. 所以函数f(x)在(1e，x 0)上有一个零点. 又因为224222ln 2110a f a a a a a a =-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝≥⎭---=＞(因为lnx ≤x-1)，且f(x 0)＜0. 所以函数f(x)在(x 0，2a)上有一个零点. 所以当0＜a ＜1时，函数f(x)在12ea ⎛⎫⎪⎝⎭，内有两个零点. 综上，实数a 的取值范围为(0，1).下面证明：lnx ≤x-1.设t(x)=x-1-lnx ，所以()111x t x x x-'=-=(x ＞0). 令t'(x)=0，得x=1.当x ∈(0，1)时，t'(x)＜0.当x ∈(1，+∞)时，t'(x)＞0. 所以函数t(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 所以当x=1时，t(x)有最小值t(1)=0. 所以t(x)=x-1-lnx ≥0，得lnx ≤x-1成立.20.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，kn a ，…(k 1＜k 2＜…＜k n ＜…)成等比数列，公比为q.(1)若k 1=1，k 2=3，k 3=8，求1a d的值.解析：(1)由已知得：a 1，a 3，a 8成等比数列，从而4d 2=3a 1d ，由此能求出1a d的值. 答案：(1)由已知可得：a 1，a 3，a 8成等比数列，所以(a 1+2d)2=a 1(a 1+7d)，整理可得：4d 2=3a 1d. 因为d ≠0，所以143a d =. (2)当1a d为何值时，数列{k n }为等比数列. 解析：(2)设数列{k n }为等比数列，则k 22=k 1k 3，推导出11a d=，从而n k n a k d =，进而k n =k 1q n-1.由此得到当11a d=时，数列{k n }为等比数列. 答案：(2)设数列{k n }为等比数列，则k 22=k 1k 3. 又因为ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，所以[a 1+(k 1-1)d][a 1+(k 3-1)d]=[a 1+(k 2-1)d]2.整理，得a 1(2k 2-k 1-k 3)=d(k 1k 3-k 22-k 1-k 3+2k 2).因为k 22=k 1k 3，所以a 1(2k 2-k 1-k 3)=d(2k 2-k 1-k 3). 因为2k 2≠k 1+k 3，所以a 1=d ，即11a d=. 当11a d=时，a n =a 1+(n-1)d=nd ，所以n k n a k d =. 又因为1111n n n k k a a qk dq --==，所以k n =k 1q n-1.所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{k n }为等比数列.综上，当11a d=时，数列{k n }为等比数列.(3)若数列{k n }为等比数列，且对于任意n ∈N*，不等式2n n k n a a k +＞恒成立，求a 1的取值范围.解析：(3)由数列{k n }为等比数列，a 1=d ，k n =k 1q n-1(q ＞1).得到111112n n k q a n k q--+＞，111111121022n n nn k q q na k q k q --+=+＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε(0＜ε＜1)，总存在正整数n 1，使得11n n q＜ε.要证11n n q＜ε，即证lnn 1＜n 1lnq+ln ε.由此能求出a1的取值范围. 答案：(3)因为数列{k n }为等比数列，由(2)知a 1=d ，k n =k 1q n-1(q ＞1).1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，a n =a 1+(n-1)d=na 1.因为对于任意n ∈N*，不等式2n n k n a a k +＞恒成立. 所以不等式1111112n n na k a q k q --+＞，即111111111112101222n n n n nk q n k q q na n k q a k q k q----+=++＞，＜＜恒成立. 下面证明：对于任意的正实数ε(0＜ε＜1)，总存在正整数n 1，使得11n n qε＜. 要证11n n q ε＜，即证lnn1＜n 1lnq+lnε. 因为1ln 21x x x e ≤＜，则1ln n=，1ln ln n q ε+，即2ln 0q ln ε＞，21n⎝⎭＞. 不妨取201n ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则当n 1＞n 0时，原式得证. 所以10211a ≤＜，所以a 1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞).附加题：选做题本题包括四小题，请选2题作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21.已知圆O 的直径AB=4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE=2CD ，求△OCE 的面积.解析：由相交弦定理，得CD ，DE 中点H ，则OH ⊥DE ，利用勾股定理求出OH ，即可求出△OCE 的面积.答案：设CD=x ，则CE=2x. 因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA ·CB=CD ·CE ，所以1×3=x ·2x=2x 2，所以取DE 中点H ，则OH ⊥DE.因为222235284OH OE EH x =-=-⎫ ⎪⎭=⎛⎝，所以OH=4.又因为所以△OCE 的面积112244S OH CE ==⨯=.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P'(3，3)，求矩阵A. 解析：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a 、b 、c 和d 的值，求得A. 答案：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∵向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量，∴()1111111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎢⎥--⎣⎥⎣⎦⎦⎣⎦⎣⎦. ∴11a b c d -=-⎧⎨-=⎩∵点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P'(3，3)， ∴1313a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎢⎥⎣⎦⎦⎡. ∴33a b c d +=⎧⎨+=⎩解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以A=1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中，求直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长. 解析：极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A ，B 的坐标，即可求直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长.答案：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. 直线θ=4πρ∈R)的直角坐标方程为y=x ①， 曲线ρ=4sin θ的直角坐标方程为x 2+y 2-4y=0②. 由①②得0202x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 所以A(0，0)，B(2，2)， 所以直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长[选修4-5：不等式选讲]24.求函数3sin y x =+.解析：利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可.答案：3sin 3sin y x x =+=+，由柯西不等式得(()()222222334sin sin cos 25y x x x =+≤++=，所以y max =5，此时sinx=35.所以函数3sin y x =+ 5.[必做题]共2小题，满分20分25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ=λBB 1(λ≠0).(1)若λ=12，求AP 与AQ 所成角的余弦值. 解析：(1)以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.求出()20)2(121AP AQ ==，，，，，，利用数量积求解AP 与AQ 所成角的余弦值.答案：(1)以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.∵()20)2(121AP AQ ==，，，，，，∴12cosAP AQAP AQAP AQ⨯===＜，＞.∴AP与AQ(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值.解析：(2)1()00)2(022AA AQλ==，，，，，.求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可.答案：(2)由题意可知，1()00)2(022AA AQλ==，，，，，.设平面APQ的法向量为n=(x，y，z)，0220220n AP x y zx zn AQ λ⎧=++=⎧⎪⎨⎨+=⎩=⎪⎩则，即令z=-2，则x=2λ，y=2-λ.∴n=(2λ，2-λ，-2).∵直线AA1与平面APQ所成角为45°，∴111cos22(n AAn AAn AA===＜，＞可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以λ=45.26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py(p＞0)上的点M(m，1)到焦点F的距离为2.(1)求抛物线的方程.解析：(1)求出抛物线x2=2py(p＞0)的准线方程为2py=-，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程.答案：(1)抛物线x 2=2py(p ＞0)的准线方程为2p y =-， 因为M(m ，1)，由抛物线定义，知MF=1+2p ， 所以1+2p=2，即p=2， 所以抛物线的方程为x 2=4y.(2)如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值.解析：(2)求出函数的y ′=12x.设点E(t ，24t )，t ≠0，得到抛物线在点E 处的切线方程为()2124t y t x t -=-.求出P(2t，0).推出直线PF 的方程，点E(t ，24t )到直线PF 的距离，联立2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩求出AB ，表示出△EAB 的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可. 答案：(2)21142y x y x ='=因为，所以. 设点E(t ，24t )，t ≠0，则抛物线在点E 处的切线方程为()2124t y t x t -=-.令y=0，则x=2t ，即点P(2t， 0). 因为P(2t ，0)，F(0，1)，所以直线PF 的方程为22t y x t ⎛=--⎫⎪⎝⎭，即2x+ty-t=0. 则点E(t ，24t )到直线PF的距离为d ==. 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得t 2y 2-(2t 2+16)y+t 2=0. 因为△=(2t 2+16)2-4t 4=64(t 2+4)＞0， 所以12y y ==，所以()22121222442161122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=. 所以△EAB 的面积为()()322221122444t t S tt++=⨯=⨯.不妨设()()()()()22122223()44024x x g x x g x xxx++='=-＞，则.因为x ∈(0，2)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，2)上单调递减.x ∈(2，+∞)上，g'(x)＞0，所以g(x)在(2， +∞)上单调递增.())3224min x g x +===所以当所以△EAB 的面积的最小值为。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B I ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O1 O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是7.记函数2()6f x x x=+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是8.在平面直角坐标系xoy中,双曲线2213xy-=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是9.等比数列{}n a的各项均为实数，其前n项的和为S n，已知36763，44S S==，则8a=10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是11.已知函数()3xx12x+e-e-f x=x，其中e是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a≤f f0，则实数a的取值范围是。

20XX 年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 若集合2{|11},{|20}M x x N x x x =-≤≤=-≤，则MN = ▲ ．2． 已知复数(2)z i i =--，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限.3． 某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4． 双曲线22132x y -=的离心率为 ▲ ．5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6． 从2个黄球，2个红球，一个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲ ．7． 若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．8． 在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9． 若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e xf -<)(的解集为 ▲ ．10. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅= ▲ ．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 13． 设实数1m ≥，不等式||2x x m m -≥-对[1,3]x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．yAB 14．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值：(2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求以||a 、||b 为边，夹角为θ的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分）如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为圆弧TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR ..（1）设PAB θ∠=,试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； （2）求停车场PQCR 面积的最大值及最小值. .18．(本小题满分14分）如图，点A （1，3）为椭圆1222=+ny x 上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B 、C 两点. （1）求椭圆方程;（2）若直线AB 、AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形.()i 求直线BC 的斜率；()ii 求△ABC 的面积最大值，并求出此时直线BC 的方程.19．(本小题满分16分）已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn.（1）若12k =，且20172017S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1,2n k S =-求.20．(本小题满分16分）已知函数'()ln ,()f x x a x f x =+为()f x 的导数，()f x 有两个零点1212,,()x x x x < ，且1202x x x +=.（1）当3a =-时，求 ()f x 的单调区间；（2）证明：'0()0f x > ；（3）证明：02(,),t x x ∃∈使得'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）O E D C B A21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）.求证：∠CBE =∠BDE ．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a A 203，A 的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-10311b A （1）求a,b 的值；（2）求A 的特征值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为532cos 72sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知x,y,z 都是正数且xyz =8,求证：(2+x )(2+y )(2+z )≥64【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．23．对于给定的大于1的正整数n ，设2012n n x a a n a n a n =++++，其中i a ∈{0,1,2,,1n -}，1,2,,0,,1i n n =-，且0n a ≠，记满足条件的所有x 的和为A n .（1）求A 2（2）设n A =(1)()2n n n f n -，求f （n ）.20XX 年高考模拟试卷(2)参考答案一、填空题1．[]0,1 2．四 3．16 4/3 5．286． 4/5. 1—（2222C C +）/25C =4/5 .7．3.圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高，故V=3. 8． 64. 先得公比q 2=4,知7a =64 .9． (,-∞-e). 11()ln 1,(0,),(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) . 10. [1,7].根据可行域知，目标函数化为z=x-y+3(去掉绝对值是关键） 11． -8/9.令f(x)-g(x)=0,化简得2sin()0,,,66x x k k Z πππππ+=+=∈则15((66M N -，故OM ON ⋅=158((669-⋅12. -9或-1/9.设斜率为k,-k,则两条直线方程为kx-y+1-k=0,kx+y-1-k=0,两条弦心距为12d d ==12l l ==弦长之比得231030k k -+=，求出k=3,或k=-1/3,故结果为-9或-1/9.13．7(1,2][,)2+∞.（1）当12m≤≤时，不等式显然成立；（2）当3m≥时，由1(1)32(2)3m mm m-≥-⎧⎨-≥-⎩得72m≥；（3）当23m<<时，由02m≥-得m<2, 矛盾，综上，7[1,2][,)2m∈+∞..切化弦得22232()c a b=+，222221cos263a b c a bCab ab+-+==≥，于是知sinC的最大二、解答题15．(1)因为⊥a b，所以=0⋅a b，所以π2sin sin03θθ⎛⎫++=⎪⎝⎭，即5sin cos022θθ+=．因为cos0θ≠，所以tan5θ=-．(2)由a∥b，得π2sin sin13θθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2ππ2sin cos2sin cos sin133θθθ+=，即()11cos2212θθ-+=，整理得，π1sin262θ⎛⎫-=⎪⎝⎭又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以ππ266θ-=，即π6θ=．所以三角形的面积1sin302=16．（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC平面ABC BC=，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB.又因为CP⊥PB，且PB AB B=，,AB PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．APBDxyAB CO又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ． 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ， 所以l //平面PBC ．17.(1)S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ）＝8100sin θcos θ－9000（sin θ＋cos θ）＋10000 , θ∈[0，2π]. （2）由（1）知S P Q C R ＝f （θ）＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000 ,θ∈[0，2π] .令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2）.答:停车场面积的最大值和最小值分别为 14050－90002 （m 2）和950（m 2）.18． (1)把点A （1，3）代入1222=+n y x 得n ＝6，故椭圆方程为22126x y +=. （2）（i ）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直，因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为1k 、2k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-162)1(3221y x x k y得点B 的横坐标为33261211++-=k k x （1=x 为点A 的横坐标）， ∴点B 的纵坐标为3632321121++-=k k k y ，即)36323,33261(21121211++-++-k k k k k B .同理可得点C 的坐标为)36323,33261(22222222++-++-k k k k k C∵ 021=+k k ,∴ 直线BC 的斜率为3=BC k .(ii)设直线BC 的方程为m x y +=3，代入方程16222=+y x 得0632622=-++m mx x ，∴ 212332||m BC -=又点A 到直线BC 的距离为2||m d =∴ 36)6(63)12(63||212222+--=-=⋅=m m m d BC S ∴ 当62=m ，即6=m 或6-=m 时，△ABC 面积取得最大值为3.此时，直线BC 的方程为63±=x y .19．⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，故12017201720172016(1)2a a =+⨯⨯-，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-,1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式，综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．20．(1) '3()3ln ,()x f x x x f x x-=-=，可得f (x)的单调减区间为（0,3），单调增区间为（3，+∞）. (2) 设2(1)()ln (1)1x x x x x ϕ-=->+，可证此函数在（1，+∞）是增函数，且(1)0ϕ>，令211x x x =>，代入得到211221ln ln 2x x x xx x -+<-， 而由21112221ln ,ln ln ln x x x a x x a x a x x -=-=-⇒=-->122x x +-,故有12''12012122()22()()1102x x x x af x f x x x x +-+==+>+=++. (3)令2200()ln()x G x x x x x =--，'2020(,),()ln 0,xx x x G x x ∈=>G(x)是增函数，D令201x t x =>，则有0022()[ln (1)]01()[ln (10G x x t t G x x t t =--<⎧⎪⎨=-->⎪⎩（用到lnx<x-1）, 由零点定理知，存在02(,),()0t x x G t ∈=， 即20202020ln ln ln ln 111x x x x aa tx x t x x --=⇔+=+--即'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.A .因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， 又CA CB =， 所以2CB CE CD =⋅， 即CB CDCE CB=， 又BCD BCD ∠=∠， 所以BCE ∽DCB ， 所以∠CBE =∠BDE ．B ．（1）因为A A －1＝⎣⎡⎦⎤302a⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 023＋ab a ＝⎣⎡⎦⎤1001． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23． （2）由（1）得A ＝⎣⎡⎦⎤3021， 则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．C ．（1）⊙M ：227(()42x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3)2,(2,2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：223(()122x y -+-=（2）PQ =MN -3=431-=.D ．因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ．同理 2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ．（5分）所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22222288x y z xyz = 因为xyz ＝8， 所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64．22．( 1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率： p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=， P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 PEξ==1．23．⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为004x =++，024x =++，104x =++，124x =++, 它们的和是22． ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -,n a 的不同取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， 当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法， 故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn --++++--=；同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n nn nn ----++++--⋅=⋅；当n a 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n +-+++-⋅=⋅；所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n nn +---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-．。

2017年高考模拟试卷(8)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 集合{}{}0,2,1,0,1x A B ==-，若{}0,1A B ⋂=，则x = ▲ .2. 若复数()(1i)1i z a =+-(i 为虚数单位，a ∈R )满足||2z =，则2016()ai = ▲ .3. 已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则2016sin(2)3π-α=▲ .4. 某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人。

现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有 ▲ 人. 5. 已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()30f =，则 不等式2(2)0f x x ->的解集为 ▲ .6. 运行如图所示的算法流程图，输出的结果为 ▲ .7. 已知集合{}2,1,0A =--，{}1,0,1,2B =-，若,a A b B ∈∈， 则b a AB -∈的概率 ▲ .8. 数列{}n a 满足122,1,a a ==且1111(2)n n nn n n a a a n a a a --++-=≥-，则使得20162n a a =成立的正整数 n = ▲ .9.函数()sin f x x x a =+-在区间[]0,2π上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3 ＝ ▲ .10. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且1523MF a =-.则椭圆1C 的方程为 ▲ .11. 已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-=⎨+>⎩，，≤≤，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，MFEDC BA则实数m 的取值范围是 ▲ . 12. 已知0,0x y >>，且2x y +≤，则4122x y x y+++的最小值为 ▲ . 13. 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的最大值为 ▲ . 14. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为20am ⎡⎤⎣⎦，，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）已知斜三角形ABC ∆中． （1）求角C ；（2）若c =，求当ABC ∆的周长最大时的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中AB ∥CD ，AB ⊥BC ，2AB DC =，45BDC ︒∠=，点M 在线段EC 上． （1）若2EM CM =，求证：AE ∥面BDM ； （2）证明：平面BDM ⊥平面ADEF.17．(本小题满分14分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ． （1）求两站点,A B 之间距离的最小值；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？18．(本小题满分14分）已知圆O ：x 2 + y 2 = 4，两个定点A (a ，2)，B (m ，1)，其中a ∈R ，m > 0.P 为圆O 上任意一点，且PAPB = k (k 为常数). （1）求常数k 的值；（2）过点E (a ，t )作直线l 与圆C ：x 2 + y 2 = m 交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE的中点，求实数t 的取值范围．19．(本小题满分16分）已知函数2()(1)ln f x x a+x x =--+2，且该函数在1x =处取得极值. (1)求实数a 的值，并求出函数的单调区间；(2)若函数5()()2g x f x b x =-+在区间(0,2016)上只有一个零点，求实数b 的值；(3)令2()()2f x kh x x x x=+--，当0k <时，若函数()f x 的图象与x 轴交于不同的两点1(,0)A x ，()2,0B x ，12x x <，求证：122x x +>N20．(本小题满分16分）对于数列{}n a ，记1n n n a a a +∆=-，11k k k n n n a a a ++∆=∆-∆，,k n N *∈，则称数列{}k n a ∆为数列{}n a 的“k 阶差数列”.（1）已知1()2n n a ∆=-，① 若{}n a 为等比数列，求1a 的值；② 设t 为任意正数，证明：存在k N *∈，当,,n m k n N m N **>≥∈∈时总有||.n m a a t -≤（2）已知23-2n n a ∆=，若11a =，且3n a a ≥对n N *∈恒成立，求2a 的取值范围.第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图，ABC ∆内接于圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 于点D ，若2PA PB =. 求证：2CD DB =.B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵302A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵11031A b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求2A .C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围.D ．（选修4-5：不等式选讲）已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1.求证：22212223x y z y z z x x y ++≥+++.【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. 若AC=BC=BE =2,（1）BE 边上是否存在一点M ，使得AD 和CM 的夹角为60︒？ （2）求锐角二面角O-CE-B 的余弦值.23．设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．2017年高考模拟试卷(8)参考答案一、填空题1. 0 . 由{}0,1A B ⋂=,可得21x =，所以，0x =2. 1. 法一：由()(1i)1i (1)(1)i z a a a =+-=++-，所以z ，所以222(1)(1)2a a ++-=，所以21a =，即1a =±，所以20162016()()1ai i ==法二：由(1i)1i 2z a =+-==，所以212a +=，所以21a =，即1a =±， 所以20162016()()1ai i ==.3. 45-. 因为tan 2=α，所以，22220162sin cos 2tan 4sin(2)sin 23sin cos 1tan 5παααααααα-=-=-=-=-++. 4. 600. 设高二女生人数为x 人，所以，0.192000x=，即380x =，所以，高三人数为 2000-650-370-380=600人。

（第3题）（第6题） 2017年高考模拟试卷(9)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，则U C A = ▲ ．2． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 是虚数单位），若()2i i z -=则a b +的值为 ▲ ．3． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．4． 概率为，乙不输的概率为，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．5． 顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是 ▲ ．6． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中， 其频率分布直方图如图所示．已知在[50 100)，中 的频数为24，则n 的值为 ▲． 7． 甲，乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100，120单位，则混合物重量的最小值为 ▲ kg ．8． 60°，则该棱锥的体积为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ▲ ． 10．若函数 0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为▲ ．11．设直线l 是曲线343ln y x x =+的切线，则直线l 的斜率的最小值为 ▲ ． 12．扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos sin )A αα，，(cos sin )B ββ，是直线y =+上的两点，则tan()αβ+的值为 ▲ ．14．已知函数3()2f x x a a x=--+-有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．(本小题满分14分)已知tan α＝2，cos β＝－ 7210，且α，β∈(0，π)， （1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，△ACD 是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，ABC ∠=120° ，=1PA AB =，2PD =，N 为PD 的中点． （1）求证：AD ⊥平面PAB ； （2）求证：CN ∥平面PAB ．17. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，分别是椭圆22221(0)yx a b a b +=>>的上、下顶点，点()102M ，为线段AO的中点，AB .（1）求椭圆的方程；（2）设(2)N t ，（0t ≠），直线NA ，NB 分别 交椭圆于点P Q ，，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k . ① 求证：P M Q ，，三点共线； ② 求证：132312k k k k k k +-为定值. 18．(本小题满分16分)如图，一个角形海湾AOB ，∠AOB ＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：D（第16题）PAPBPCM N（第17题）2OP D方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中⌒PQ ＝l ； 方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD ＝l ；（1）求方案一中养殖区的面积S 1 ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S 2＝l 24tan θ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且111241n n n a a S +-=-（*n ∈N ）．（1）求2a 的值； （2）设1nn n na b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（3）若m p r a a a ，，（*m p r ∈，，N ，m p r <<，）成等比数列，试比较2p 与mr 的大小，并证明．20．（本小题满分16分）已知函数2()ln )xf x e a x b x=++（，其中,a b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-．求实数,a b 的值； （2）① 若2a =-时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围； ② 若2a =，2b ≥-．若()f x kx ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的最大值（用b 表示）．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，1O ，2O 交于两点P Q ，，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A B ，，直线CD 过点Q ，与1O ，2O 分别交于点C D ，．llAOBAOB图1Q PAOBC D 图2（第18题）2θ2θ2θ求证：AC ∥BD ． B ．（选修4-2：矩阵与变换）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1）求二阶矩阵M ；(2）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知点(1)P αα-（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)4C ρπθ=+上． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(2)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知实数0x >，0y >，0z >，证明：1239()()2462yx z x y z ++++≥．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．（1）求概率(P X =的值；（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．23.已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n)a n ＋12n ．（1）求证：当n ≥2时，a n ≥2；（2）利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．2017年高考模拟试卷(9)参考答案南通市数学学科基地命题一、填空题1. {}2,5．2. 15.3.-4. 4. 0.5. 5. 26y x =-.6. 60.7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x ,y 克，由题意3x+4y 1005x+2y 120≥⎧⎨≥⎩,设x+y=34)(52)x y x y λμ+++（，解得，31==1414λμ，，即可.8.9.[3. 设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=([3,))x ∈+∞,据此可得2PQ ≤<. 10. 1e. 易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x=，21ln ()0x g x x-'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e e a g ==.11．9.223331212922k x x x x x=+=++≥,也可以求导. 12. 116-.设弦AB 中点为M ，则()OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+⋅=⋅， 若MP BP ，同向，则0OP BP ⋅>；若MP BP ，反向，则0OP BP ⋅<， 故OP BP ⋅的最小值在MP BP ，反向时取得， 此时1||||2MP BP +=，2||||1||||()216MP BP OP BP MP BP +⋅=-⋅-=-≥， 当且仅当1||||4MP BP ==时取等号，即OP BP ⋅的最小值是116-．13．（方法一）由题意，得sin sin ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所以αβ，是方程sin x x =即方程()πsin 3x -=5ππ()26k k αβ+=+∈Z，所以tan()αβ+=． （方法二）同上，αβ，sin 0x x -+=的两根．设()sin f x x x =-+()cos f x x x '=-．令()0f x '=，得0tan x =，所以02x αβ+=，所以（方法三）直线210x y +-=交单位圆于A B ，两点， 过O 作OH AB ⊥，垂足为H ，易知OH =因为OC =，所以60COH ∠=︒，即1502αβ+=︒，所以tan()tan 300αβ+=︒=14．95⎧-⎨⎩⎭.32()322x x a x f x x a x a x ⎧--⎪=⎨⎪--+-<⎩，≥，，，当x a ≥时，320x x --=，得11x =-，23x =，结合图形知，① 当1a <-时，313x -，，成等差数列，则35x =-，代入3220x a x --+-=得，95a =-；② 当13a -≤≤时，方程3220x a x --+-=，即22(1)30x a x +-+=的根为34x x ，，则343x x =，且3432x x +=，解得4x =，又342(1)x x a +=-，所以a .③ 当3a >时，显然不符合. 所以a的取值集合95⎧-⎨⎩⎭. 二､解答题:本大题共6小题，共90分．15． (1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α．又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5cos 2α＝1，即cos 2α＝15． 所以 cos2α＝2cos 2α－1＝－35．(2)由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(π4，π2)，所以2α∈(π2，π). 由题知cos2α＝－35，所以sin2α＝45．又因为β∈(0，π)，cos β＝－7210∈(－1，0)，所以β∈(π2，π)， 所以sin β＝210，且2α－β∈(－π2，π2)．因为sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－22， 所以2α－β＝－π4．16.（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BA BC =，在△ABC 中，因为120ABC ∠=︒， 所以30BAC ∠=︒．因为△ACD 是正三角形，所以60DAC ∠=︒， 所以90BAD ∠=︒，即AD AB ⊥．因为=1AB ，120ABC ∠=︒，所以AD AC = 又因为1PA =，2PD =，由222PA AD PD +=， 知90PAD ∠=︒，即AD AP ⊥． 因为AB AP ⊂，平面PAB ，AB AP A =，所以AD ⊥平面PAB ．（2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH． 因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ， 因为PA ⊂平面PAB ，HN ⊄平面PAB ， 所以HN ∥平面PAB ．由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点，所以CH AD ⊥．由（1）知，BA AD ⊥，所以CH ∥BA ， 因为BA ⊂平面PAB ，CH ⊄平面PAB ， 所以CH ∥平面PAB ． 因为CH HN ⊂，平面CNH ，CH HN H =，所以平面CNH ∥平面PAB ． 因为CN ⊂平面CNH ， 所以CN ∥平面PAB ．（方法二）取PA 的中点S ，过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN ．因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且12SN AD =，因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN ． 由（1）知，AB AD ⊥，所以CT AT ⊥， 在直角△ CBT 中，1BC =，60CBT ∠=︒， 得CT =由（1）知，AD 12CT AD =，HPABCDMN P ABCDMNTS所以CT SN =．所以四边形SNCT 是平行四边形， 所以CN ∥TS ．因为TS ⊂平面PAB ，CN ⊄平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB ．17．（1）由题意知，124()2b b =-，解得a =1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）① 由(2)N t ，，(01)A ，，(01)B -，，则直线NA 的方程为11y x t =+，直线NB 的方程为31y x t=-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得，222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()2224222t t t t P --++，. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，，故()22212181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+， 直线QM 的斜率2222181261812818QMt t t k t t t ---+==+， 所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线.② 由①知，11k t =，213k t=，2368t k t -=. 所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-， 所以132312k k k k k k +-为定值12-.18．(1)设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l2θ，所以S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π2)．(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以l 2≥2ab －2ab cos2θ．所以 ab ≤l 22(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ，即S 2＝l 24tan θ．(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π2)，． 令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θcos θ)'－1＝sin 2θcos 2θ．当θ∈[0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在区间[0，π2)上单调增．所以，当θ∈(0，π2)时，总有f (θ)＞f (0)＝0，即1S 2－1S 1＞0，即S 1＞S 2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一． 19． （1）易得2143a =．（2）由111241n n n a a S +-=-，得11241n nn n n a a a a S ++-=-，所以11241n n n n na a S a a ++-=-①．所以12121241n n n n n a a S a a +++++-=-②，由②-①，得12112112n n n n n n n n na a a aa a a a a +++++++=---．因为10n a +≠，所以22112n nn n n na a a a a a ++++=---． 所以121112n n n n n n a a a a a a +++++-=--，即12111n nn n n na a a a a a ++++-=--，即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． 因为112134a b a a ==-，所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-．（3）由（2）知，114n n n a n a a +=--，所以114311414n n an a n n ++=+=--，所以14(1)141n n a a n n +=+--，所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-，所以2(41)3n a n =-．（方法一）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列，则41m -，41p -，41r -成等比数列，所以2(41)(41)(41)p m r -=--，所以2168164()0p p mr m r --++=，即2424()0p p mr m r --++=（*）．（途径一）（*）式即为2424()4p p mr m r mr -=-+<-所以2211(2))22p -<，即11222p -<，所以p <2p mr <．（途径二）（*）式即为24241p p rm r -+=-．由222222(42)(42)(41)()0414141p p r p p r r r p p r mr p r p r r r -+-+----=⋅-==>---， 所以2p mr <．（方法二）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列， 则41m -，41p -，41r -成等比数列， 记4m α=，4p β=，4r γ=（1αβγ<<<）， 则有1α-，1β-，1γ-成等比数列，所以2(1)(1)(1)βαγ-=--，即22()ββαγαγ-=-+．若2βαγ=，即2p mr =时，则2αγβ+=，所以αβγ==，矛盾； 若2βαγ>，则22()0βαγβαγ-+=->，所以1()12βαγ>+>，所以[][]2221(2)()()()()()024αγββαγαγαγαγαγαγ+---+>-+--+=->， 矛盾．所以2βαγ<，即2p mr <．20． (1) 由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)e f =；又因为222'()ln e xa f x a xb xx+=-++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0,'(1)e()e,f b f a b =+==+=⎧⎨⎩解得3,2a b ==-.(2) ①当2a =-时，函数()y f x =的导函数22'()e 2ln 0xf x x b x =--+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，若'()0f x =时，得222ln b x x=+， 设22()2ln g x x x=+(0)x > . 由2332424'()x g x x x x -=-=0=，得x =1ln 2g =+.当0x <<时，'()0g x <，函数()y g x =在区间上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x 12()x x <.此时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值.②由题意2e ln x a x b xkx ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)e k b ≤+.下证2e ln e (2)x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭对一切正实数x 恒成立.首先，证明e e xx ≥. 设函数()e e xu x x =-，则'()e e xu x =-，当1x >时，'()0u x >； 当1x <时，'()0u x <；得e e (1)0xx u -=≥，即e e xx ≥，当且仅当都在1x =处取到等号.再证1ln 1x x +≥. 设1()ln 1v x x x =+-，则21'()x v x x-=，当1x >时，'()0v x >；当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v =≥，即1ln 1x x+≥，当且仅当都在1x =处取到等号. 由上可得2e ln (2)e x a x b xb x ++⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以min()(2)e f x b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即实数k 的最大值为(2)e b +.数学Ⅱ（附加题）21． A. 连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠，又在2O 中，PBD PQD ∠=∠，所以A PBD ∠=∠， 所以AC ∥BD ．B ．（1） 设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12234A ==-， 1213122A --⎛⎫⎪∴= ⎪-⎝⎭， 21582131461122M -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪'''-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩ 代入22221x xy y ++=可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=．C. (1)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为22cos 10ρθ+-= 曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (2) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π． D. 因为0x >，0y >，0z >，所以1233x y z ++，2463y x z ++， 所以1239()()2462yx z x y z ++++≥．当且仅当::1:2:3x y z =时，等号成立．22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有37=35C种取法．其中X =ABF ， 这类三角形共有6个．因此(376635P X C ==．（2）由题意，X 2，其中X =ABF ，这类三角形共有6个；其中2X =的三角形有两类，如△PAD (3个)，△PAB (6个)，共有9个；其中X =PBD ，这类三角形共有6个；其中X =CDF ，这类三角形共有12个；其中X =的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．因此(635P X ==，()9235P X ==， (635P X ==，(1235P X ==，(235P X ==． 所以随机变量X 的概率分布列为：所求数学期望()E X 69612223535353535+⨯++． 23． (1)①当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(1＋1k (k ＋1))a k ＋12k ＞2．所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①，②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立．(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n )a n ＋12n ≤(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，故 ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)，求和可得ln a n －ln a 2＜12⨯3＋1 3⨯4＋…＋1 (n －1)n＋123＋124＋ (12)＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n ＜34． 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2e 34(n ≥2)， 而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 34．。

江苏省南通市2017年高考一模数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数π2sin(3)3y x =-的最小正周期为_________．2．设集合}3{1A =,，5{}2B a =+,，{}3A B =，则AB =__________．3．复数212i z =+()，其中i 为虚数单位，则z 的实部为__________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为__________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为__________．6．若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =+的最大值为_________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为__________．8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，3AB cm =，11AA cm =，则三棱锥11D A BD -的体积为__________cm 3．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221x y a b-=（a>0，b>0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为_________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为_________升． 11．在ABC △中，若2BC BA AC AB CA CB ∙+∙=∙，则sin sin AC的值为_________． 12．已知两曲线2sin f x x =()，cos g x a x =()，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为_________．13．已知函数4f x x x =+-()，则不等式22f x f x +()＞()的解集用区间表示为_________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点11A(,)，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为_________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证： （1）直线//PA 平面BDE ； （2）平面BDE ⊥平面PCD ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．18．如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪．（1）当π4EFP ∠=时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．已知函数2ln f x ax x x =()--，a ∈R ． （1）当38a =时，求函数f x ()的最小值； （2）若10a ≤≤-，证明：函数f x ()有且只有一个零点；（3）若函数f x ()有两个零点，求实数a 的取值范围．20．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…12n k k k (＜＜＜＜)成等比数列，公比为q ．（1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意*n ∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．南安市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知圆O 的直径4AB =，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足2CE CD =，求OCE △的面积．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)，求矩阵A ． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． [选修4-5：不等式选讲]24．求函数3sin y x =+ [必做题]共2小题，满分20分）25．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11C D 的中点，Q 为棱1BB 上的点，且1BQ BB λ=0λ≠()．（1）若12λ=，求AP 与AQ 所成角的余弦值； （2）若直线1AA 与平面APQ 所成的角为45︒，求实数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线220x py p (＞)上的点1M m (,)到焦点F 的距离为2， （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，2c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-=- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞，又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e a f e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点． 又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜． 所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点． 所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-．设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =． 当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()．所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d =．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立．所以不等式1111112n n na k a q k q --+>， 即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q qn a k q k q --+<<=+恒成立．…10分 下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<， 解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =．因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =，所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量， 所以111(1)111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分． 23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分 所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -．（1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQAP AQ AP AQ ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=．设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩ 令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分． 26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2p y =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p +=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-． 令0y =，则2t x =，即点(,0)2t P ． 因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2t y x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t ++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min ()g x == 所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。

2017年高考模拟试卷(10)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 设全集{2,1,0,1,2},{2,1,2}U A =--=-，则U A =ð ▲ .2． 设a ∈R ，i 是虚数单位，若()()1a i i +-为纯虚数，则a = ▲ ．3． 在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为__▲______.4. 棱长均为2的正四棱锥的体积为 ▲ .5． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-2，2}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是 ▲ ．6． 如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 7． 已知正数a ，b 满足a 2-ab 10+=，则8a b +8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线22x y -点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆面积为 ▲ ．9． 已知ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且5tan B 则sin B 的值是 ▲ ．10．已知函数2()||2x f x x +=+，x R ∈，则2(2)f x x f -<解集是 ▲ ．11．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列{}nS 也为等差数列，则11a = ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0)(0)A t t ->，，(0)B t ，，点C 满足8AC BC ⋅=，且点C 到直线l ：34240x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是 ▲ ．13. 设函数⎩⎨⎧≥<-=1,21,13)(2x x x x x f ，则满足2))((2))((a f a f f =的a 的取值范围为▲ ．14. 已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x R ∀∈恒成立，则2m a b +-= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）若cosC =230a c -=．（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sinB ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==PB =PC .（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ；（2）若M 为BC 的中点，求证：MN ⊥BC ．17.(本小题满分14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是点,E F 在直径AB 上，且（1，求AE 的长；（2求该空地产生最大经济价值时.NDCBAP（第18题）18．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为，点()12 33A ，在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点(4)P t t -，在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C （1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线CD 的斜率为定值．19．(本小题满分16分）设R ∈a ，函数ax x x f -=ln )(． （１）求)(x f 的单调递增区间；（２）设，ax ax x f x ++=2)()(F 问)(F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（３）设),(B ),(A 2211y x y x ，是函数ax x f x g +=)()(图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，),(C 00y x 直线AB 的斜率为k ．证明：)(0x g k '>．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n ，都有123a a a +++⋅⋅⋅1n n a ka -++21n ta =-（k ，t 为常数）成立．（1）若12k =，14t =，问：数列{}n a 是否为等差数列？并说明理由；（2）若数列{}n a 是等比数列，求证：t =0，且0k <．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图,∠PAQ 是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ,与射线AQ 相交于两点B C 、．求证：BT 平分∠OBA ．B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，3)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -4，y +2)，求2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB ⋅的最大值与最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知 a b c ，，均为正数，且a ＋2b ＋3c ＝9．求证：14a ＋118b ＋1108c≥19．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．一个袋中装有黑球，白球和红球共n (n ∈N*)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合nA 中满足条件 “121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：nm S 111322n m n +++<+-．2017年高考模拟试卷(10)参考答案一、填空题1.{1,0}-2.1-3.32．4. 5．23. m 、n 的取法共有3×2＝6种，即共有6条直线，其中当m ＝0，n ＝2和m ＝－1，n ＝2，直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P ＝23． 6.54． 7.6.8. ．9. 35.10．（1,2）. 10()4102x f x x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩，由2220234x x x x x ⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩得1<x<2. 11． 63 .可设,n S an b ==+平方比较系数得，B=b=0,故知n S =，结合113S a ==，所以23n S n =，则11111063a S S =-=.12.1. 设() C x y ，，则2228AC BC x y t ⋅=+-=，所以点C为半径的圆，故圆心到直线的距离24955d ==+1t =（负舍）.设()t f a =，所以2))((2))((a f a f f =化为()22f t t =由函数式得()23121t t t -=<或()22221t t t =≥，即或，因此a 的取值范围为14．3. 2()()()[(31)(2)]0mxf x f x x b m x a b ma mb x ab '-=--++---≤，可知13m =，进而()[(2)3]0x b a b x ab -+-≤，由于0b ≠得a=b ，所以2m a b +-=2/3 .二、解答题15． 因为sin(A )2cosA 6π+=1A cos A 2cos A 2+=，即sin A =，因为()A 0,∈π，且cosA 0≠，所以tan A A 3π=.（1）因为22sin C cos C 1+=，cosC =()C 0,∈π，所以sin C = 由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -= （2）因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， 所以()()sin sin sin cos()cossin()B A A B A A B A A B =--=---. 16．（1）取PB 的中点E ，连接NE ，CE ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒， 1,DC AD ==易得AC =CB = AB =2，又因E 为PB的中点，N 为PA 的中点， 所以NE ∥CD 且NE =CDB所以四边形CDNE 是平行四边形 所以DN ∥CE ； 又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC … 所以DN ∥平面PBC （2）连接AM ，PM ． 因为PB =PC ，M 为BC 的中点所以PM ⊥BC ， 因为AC =AB ，M 为BC 的中点所以AM ⊥BC ， 又因为AMPM M =， ,AM PM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ． 因为NM ⊂平面PAM ， 所以MN ⊥BC ．17．（1，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，，4AC =，在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =+-，且，所以在ACF ∆中由正弦定理得在ACE ∆中，由正弦定理得：，若产生最大经济效益，则CEF ∆的面积ECFS D 最大，MN DCBAP时，ECF S D 取最大值为18．（1）易得()()222212331a b +=，且=解得21a =，212b =，所以椭圆E 的方程为2221x y +=；（2）设00()P x y ，，11( )A x y ，，22( )B x y ，，33( )C x y ，，44( )D x y ，， 则0040x y +=，221121x y +=，222221x y +=， 又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，， 则1013110131(1) (1) x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，，代入椭圆2221x y +=并整理得，22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，从而有 2210001011(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-， ①同理可得，2220002022(1)(2)2(2)1,x y x x y y λλ++-+=-②①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=，因为220021x y +<,所以12λλ=，从而//AB CD ，故2CD AB k k ==. 19（Ⅰ）（1）当0≤a 时，∵0>x ，∴0)(>'x f 恒成立，)(x f 的单调增区间为),0(+∞； （2）当0>a 时，令0)(>'x f ，即∴)(x f 的单调增区间为综上所述：当0≤a 时，)(x f 的单调增区间为),0(+∞；当0>a 时，)(x f 的单调增区间为（Ⅱ） 2ln )(F ax x x +=，得当0≥a 时，恒有0)(F >'x ，∴)(F x 在),0(+∞上为单调增函数， 故)(F x 在),0(+∞上无极值；当0<a 时，令0)(F ='x ，得减．，)(F x 无极小值 综上所述：当0≥a 时，)(F x 无极值；当0<a 时，)(F x 有极大值要证)(0x g k '>，即证不妨设210x x <<，即证，其中),1(+∞∈t ，所以)(t k 在),1(+∞上单调递增，因此0)1()(=>k t k ，即结论成立． 20．（1）当12k =，14t =时，2123111124n n n a a a a a a -+++⋅⋅⋅++=- ()2n ≥，① 所以212321111124n n n a a a a a a ---+++⋅⋅⋅++=- ()3n ≥，②①-②得，2211111112244n n n n n a a a a a ---+-=-()3n ≥，即()()1120n n n n a a a a --+--=()3n ≥， 因为数列{}n a 是正项数列，所以10n n a a -+>，从而12n n a a --=()3n ≥， ①中，令2n =得，212211124a a a +=-， ③若数列{}n a 是等差数列，则必有212a a -=，④由③④得，11a =+（负值已舍），所以，当且仅当11a =时，数列{}n a 是公差为2的等差数列；否则，数列{}n a 不是等差数列；（2）因为212311n n n a a a a ka ta -+++⋅⋅⋅++=- ()2n ≥，⑤ 所以21232111n n n a a a a ka ta ---+++⋅⋅⋅++=- ()3n ≥， ⑥ ⑤-⑥得，22111n n n n n a ka ka ta ta ---+-=-()3n ≥，⑦依题意，设11n n a a q -=()1 0a q >，， 代入⑦得，()[]2211(1)10n t a q q k q -⋅---+=()3n ≥， ⑧ 若1q =，则10=（矛盾），若1q ≠，⑧中，令3n =，4得，()212211(1)1 (1)(1)1 t a q q k q t a q q k q ⎧⋅-=-+⎪⎨⋅-=-+⎪⎩，，两式相减得，()211(1)0a q q q t +-=，因为1 0 1a q q >≠，，且，所以0t =， 此时123110 (2)n n a a a a ka n -+++⋅⋅⋅++=-<≥，又因为数列{}n a 是正项数列，所以0k <，即证．第II 卷（附加题，共40分）21.A . 因为AT 是切线，所以OT ⊥AP ．又因为∠PAQ 是直角，即AQ ⊥AP ,所以AB ∥OT ，所以∠TBA =∠BTO ．又OT =OB ，所以∠OTB =∠OBT ，所以∠OBT =∠TBA ,即BT 平分∠OBA ．B ．依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦3x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦42y y -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，即64 3122 x y x y +=-⎧⎨+=+⎩，，解得010x y =⎧⎨=⎩，，21 21 27 103 43 415 22M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以，27 1001001022015 22x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．C ．（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=，因为5,3,4a b c ===,则点F 的坐标为(4,0).因为直线l 经过点(,0)m ，所以4m =.（2）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则12||FA FB t t ⋅==22281819cos 25sin 916sin ααα=++．当sin 0α=时，FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，FA FB ⋅取最小值8125．D ． 因为a ，b ，c 都是正数，所以(a +2b +3c )()2111418108a b c+++≥， 因为a +2b +3c ＝9，所以14a +118b +1108c ≥19． 22．（1）设袋中黑球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则2()155x P A ==，∴x ＝6． 设袋中白球的个数为y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17y C P B C -=-=，∴y 2－29y ＋120＝0， ∴y ＝5或y ＝24（舍）∴红球的个数为4(个)．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，ξ的分布列是数学期望11442560122110535105E ξ=⨯+⨯+⨯=＝158． （2）设袋中有黑球z 个，则z ＝25n (n ＝5，10，15…）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则P (C )＝1－2522C n n C =2125+625×1n －1， 当n ＝5时，P (C )最大，最大值为910．23．（1）228S =，4232S = . （2）设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，,中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112nC ， 同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,,n x x x x ，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++=，即123,,,n x x x x ，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m nC -种可能，即为2m m n C ， 所以1122222n m m mn n n S C C C =++⋅⋅⋅+， 因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k nC -≥, 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+．。