山东省文登市2013届高三3月适应性练习理科数学试卷

山东省实验中学2010级第三次诊断性测试数学试题（理科）（2012.12）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共两卷。

其中第Ⅰ卷为第1页至第2页，共60分；第Ⅱ卷为第3页至第6页，共90分；两卷合计150分。

考试时间为120分钟。

本科考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、设}{}2,1{2a N M ==，，则”“1=a 是”“M N ⊆的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2、下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ） A.xx f 1)(= B.x x f -=)( C.xx x f 22)(-=- D.x x f tan )(-= 3.若3)4tan(=-απ，则αcot 等于（ ）A.2B.21-C.21D.-2 4.函数x x x f ln )1()(+=的零点有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ） A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或36.设命题p ：曲线xe y -=在点），（e 1-处的切线方程是：ex y -=；命题q :b a ,是任意实数，若b a >，则1111+<+b a ，则（ ） A.“p 或q ”为真 B.“p 且q ”为真 C.p 假q 真 D.p ，q 均为假命题7.已知函数x x x f sin 21)(2+=，则)('x f 的大致图象是（ ）8.在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若210121012=-S S ，则2013S 的值等于（ ）A.-2012B.-2013C.2012D.20139.已知P （x,y)是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA ，PB 是圆C ：0222=-+y y x 的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ） A.3 B.212 C.22 D.2 10.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数。

2013届高三原创一模测试卷理科数学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷 (共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}{}sin ,sin A x y x B y y x ====，则A B ⋂= A.∅B.[]1,1-C.()1,1-D.[)1,1-2.复数201311i i -⎛⎫⎪+⎝⎭（i 为虚数单位）的值等于 A.1 B.1-C.iD.i -3.命题“各位数字之和被3整除的整数，是3的倍数”的否定是： A.各位数字之和不能被3整除的整数，是3的倍数 B.各位数字之和被3整除的整数，不是3的倍数C.存在各位数字之和被3整除的整数，不是3的倍数D.不存在各位数字之和被3整除的整数，不是3的倍数 4.幂函数满足()194f =，则()3f =A.12B.12-C.2-D.25.一个三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积是A.1B.12C.2D.不确定6.已知对于x R ∀∈，不等式232sin cos 22t t x x x +≥++恒成立，则实数t 的取值范围是 A.[]4,1- B.()[),41,-∞-⋃+∞C.[]1,4-D.(][),14,-∞-⋃+∞7.有下列一组数据：2，4，5，1，4，2，8，x ，5，14，已知它们的平均数为5，则下列说法不正确的是A.这组数据的众数为5B.这组数据的中位数为4.5C.这组数据的极差为13D.这组数据的标准差为12.68.已知()()1,xx f x g x a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中01a a >≠且，则()()f x g x 与图象关系A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于y x =对称D.关于原点对称9.若二项式()432x -的展开式写成形式：434310a x a x a x a ++⋅⋅⋅++，则432432a a a a +++的值是A.12B.1C.1-D. 16-10.若向量()()2,2,,2a x b x x ==-的夹角为钝角，则x 的取值范围是 A.()1,2-B.()()1,00,2-⋃C.()()2,00,1-⋃D. (),0-∞11.已知点(0,A ，点)B为两个定点，点P 为函数y =点，则PA PB +的最小值为A.B.4C.1+D. 1+12.已知函数()f x 满足：()322f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，函数()()()11,26g x fx x g x =-且在区间[]0,3上的值域是[]0,1，则()g x 在区间[]3,3-上的值域是 A.[]0,1 B.[]0,3C.[]1,1-D.30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13.已知实数,x y 满足约束条件0,4,260,x y x x y -≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩则()2log 22x y ++的最小值为_______.14.执行右面的程序框图，输出结果为_______. 15.若函数ln 1x ax -+有零点，则实数a 的取值范围是________.16.如果把扇形的弧当成底，把半径当成高，则可以将扇有为一个三角形，类比三角形面积公式，可推得扇形的面积公式12S lr =扇，其中l 为扇形的弧长，r 为扇形的半径长.现将扇.现将扇形绕其对称轴旋转180°，得到的几何体称为“球心角体”，扇形的弧旋转出来的面称为“球冠”，已知扇形的半径为R ，球冠的面积为S ，则球心角体的体积V=________.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分） 如图是函数())2s i n c o s s i n 1f x xx x ωωω=-+的部分图象：（I ）求()f x 的最大值；（II ）求()f x 的单调递增区间.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足L 211*1233333,n n n a a a a n n N --+++⋅⋅⋅+=⨯∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()11223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-，若22n T tn ≥对*n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围.19.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB AD ⊥，面P A D ⊥底面ABCD ，CD=4，AB=AD=PA=PD=2，E 为棱PD 的中点.（I ）求证：AE//平面PBC ；（II ）求二面角A —PB —C 平面角的余弦值.20.（本小题满分12分）如图所示为一迷宫平面图，A ，B ，C ，D ，O 为迷宫岔道口，其中A 为迷宫入口，C 为迷宫出口，相邻两个岔道口之间线段为一条通道.已知某人从入口进入迷宫后，将所有经过的通道作了标记，到岔道口随机选择未标记的通道进入，直至成功找到出口，或者通过四个通道之后放弃。

山东省2013届高三高考模拟卷（四） 数学（科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则的值为 A．2 B．1 C． D． 2．定义运算，则符合条件的复数是 A． B． C． D． 3．“”是“”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.定义某种运算，运算原理如图所示，则式子的值为 A．13 B．11 C．8 D．4 5. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 6．已知圆C的方程为，当圆心C到直线的距离最大时，的值为 A． B． C． D．5 7. 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有 A．50种 B．60种 C．120种 D．210种 8．设两个向量和，其中为实数，若，则的取值范围是 A． B．[4，8] C． D． 9．设，函数的图象可能是 10．已知斜率为2的直线过抛物线的焦点F，且与轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 A． B． C．或 D．或 11. 在△ABC中，已知，，且最大角为，则这个三角形的最大边等于 A．4 B．14 C．4或14 D．24 12．已知是奇函数，且满足，当时，，当时，的最大值为，则 A． B． C． D．1 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13．由曲线和直线围成的封闭图形的面积为_______。

14．已知变量满足约束条件，且目标函数的最小值为，则常数_______． 15. 已知四棱柱中，侧棱底面ABCD，且，底面ABCD的边长均大于2，且，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥体积的最大值为______． 16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： … … 根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则________． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置． 17．（本小题满分12分） 已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为，且，． (1)求cosC的值； (2)当时，求函数的最大值． 18. (本小题满分12分) 已知数列满足：，，．数列的前项和为，且，． (1)求数列，的通项公式； (2)令数列满足，求数列的前项和． 19．(本小题满分12分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是． (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为，求的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点． (1)求证：DE∥平面PBC； (2)求二面角的余弦值． 21.（本小题满分13分） 已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由， 22．(本小题满分13分) 设函数，． (1)当且时，直线与函数和函数的图象相切于同一点，求直线的方程． (2)若函数在区间[2，4]上为单调函数，求实数的取值范围．山东省2013届高三高考模拟卷（四） 数学（理科）参考答案 一，所以．又因为，而B中最多有两个元素，所以，所以．选B． 2.A【解析】设．根据定义运算得，即，根据复数相等的定义得得所以． 3．B【解析】由得，；由得．因此“”是“”成立的必要不充分条件，所以选B． 4．A 【解析】原式1)=13． 5．C【解析】由于空间几何体的正视图和侧视图“高平齐”，故正视图的高一定是2，由于正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，又根据侧视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综上可知，这个空间几何体的正视图可能是C． 6．A【解析】圆C的方程可化为，所以圆心C的坐标为，又直线恒过点，所以当圆心C到直线的距离最大时，直线CA应垂直于直线，因为直线CA的斜率为，所以，． 7.C【解析】先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法共有6种，甲任选一种为，然后在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法种，故选C． 8．A【解析】根据已知条件得，又，所以，，于是，即，故，即，解得，故，故选A． 9．C【解析】由解析式可知，当时，，由此可以排除A、B选项．又当时，，从而可以排除D．故选C． 10．D【解析】抛物线的焦点坐标是，直线的方程是，令，得，故，所以△OAF的面积为，由题意，得，解得．故抛物线方程是或．故选D． 11．B 【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以大于，则，由余弦定理得 ，所以，所以或（舍去）． 12．D【解析】由题意知，所以 ，所以．当时，，则，，令0，得，又，所以．当0时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以，所以得． 二、【解析】由，得或，则曲线与直线围成的图形的面积． 14．9【解析】先根据约束条件画出变量满足的可行域如图中阴影部分所示．易知直线与的交点为，观察图形可知目标函数在点处取得最小值，即，解得． 15．【解析】由条件可得，A、M、P、N四点在以PA为直径的圆上，所以由正弦定理得，所以、在△PMN中，由余弦定理可得，当且仅当PM=PN时取等号，所以，所以底面△PMN的面积，当且仅当PM=PN时取最大值，故三棱锥的体积． 16．11【解析】由，，，…，可知．由，可知，易知，则21是53的分解中最小的正整数，可得．故． 三、，所以．（2分） 又，， 所以，或（舍），（4分） 所以．（6分） (2)由(1)知，（7分）所以 ，（10分） 又，所以．（12分） 18．【解析】(1)由已知可知数列为等差数列，且首项为1，公差为1． ∴数列的通项公式为．（2分） ∵，∴，∴，∴数列为等比数列，（4分） 又，∴，∴数列的通项公式为．（6分） (2)由已知得：． ∴，∴，（8分） ∴两式相减得 ．（10分） ∴数列的前项和．（12分） 19．【解析】(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B， 则， （3分） 事件相互独立， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 ．（6分） (2)由题知的所有可能取值是1，2． ，，（9分） 则的分布列为 所以．（12分） 20．【解析】(1)法一 如图，取AB的中点F，连接DF，EF． 在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以， 所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．（2分） 在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF//PB． 又因为DFEF=F，PBBC=B，所以平面DEF∥平面PBC． 因为DE平面DEF，所以DE∥平面PBC．（4分） 法二 取PB的中点M，连接CM，ME． 在△PAB中，PE=EA，PM=MB，所以． 在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2， 故，所以，（2分） 所以四边形CDEM为平行四边形，故DE∥CM． 因为CM平面PBC，DE平面PBC， 所以DE∥平面PBC．（4分） (2)取AD的中点O，BC的中点N，连接ON，则ON∥AB． 在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，， 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， 所以PO⊥平面ABCD．（6分） 如图，以O为坐标原点；分别以OA，ON，OP所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，． 因为E为PA的中点，所以，故，．（8分） 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO⊥AD， 所以PO⊥平面ABD，故为平面ABD的一个法向量． 设平面EBD的法向量为， 由，得，即， 令，则，，所以为平面EBD的一个法向量．（10分） 所以． 设二面角的大小为，由图可知，所以．（12分） 21．【解析】(1)因为椭圆C的离心率，所以，即．（4分） 因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点， 所以，所以，．所以椭圆C的方程为．（6分） (2)(i)当直线的斜率不存在时． 因为直线与圆M相切，故其中的一条切线方程为． 由不妨设，， 则以AB为直径的圆的方程为．（6分） (ii)当直线的斜率为零时． 因为直线与圆M相切，所以其中的一条切线方程为． 由不妨设，， 则以AB为直径的圆的方程为． 显然以上两圆都经过点O(0，0)．（8分） (iii)当直线的斜率存在且不为零时． 设直线的方程为． 由消去，得， 所以设，，则，． 所以． 所以．①（11分） 因为直线和圆M相切，所以圆心到直线的距离， 整理，得， ② 将②代入①，得，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0) 综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)．（13分） 22．【解析】(1)由题易得，， 因为直线与函数的图象相切于同一点， 则令，解得，或，或(舍去)．（2分） 易得，，；，． ，；，．（3分） ①当时，，易知直线的斜率为2，且直线过点(1，1)，则直线的方程为；（4分） ②当时，因为， 则，即，(*) 令，则， 易得方程(*)在且上一定有解，且直线以为斜率，过点，所以直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或．（6分） (2)由题易知，，要使在区间[2，4]上为单调递增函数，需在[2，4]时恒成立， 即在时恒成立，即在时恒成立， 即．（9分） 设，则，易知当时，，所以在[2,4]上单调递减，则，即， 所以， 所以当时，在区间[2，4]上为单调递增函数．（11分） 要使在区间[2，4]上为单调递减函数，需在[2，4]时恒成立，易得． 综上所述，若在区间[2，4]上为单调函数，则的取值范围为．（13分）。

山东省2013届高三高考模拟卷（二） 数学（）本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分全卷满分150分考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一选择题：本大题共1小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 满足，那么复数的虚部为 A．1 B． C． D． 2．已知集合，，，，，则 A．P=M B．Q=S 3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率的分布表如下： 则在所取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为 A．40 B．20 C．30 D．60 ：，，则 A．：， B．：， C．：， D．：， 5．如图所示，已知向量，，，，则下列等式中成立的是 A． B． C． D． 6．如图，若程序框图输出的S是254，则判断框①处应为 A． B． C． D． 7．在△ABC中角A，B，C的对边分别为，已知，且，，则△ABC的面积为 A． B． C． D． 8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，为常数)，则函数的大致图象为 9．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是 A． B． C． D． 10．设O为坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点满足不等式组，则使取得最大值的点N有 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 11．若P是双曲线：和圆：的一个交点且，其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．3 12．已知函数，若存在正实数，使得方程在区间（2，+）上有两个根，其中，则的取值范围是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共小题，每小题分． 13．设，则曲线在点处的切线的斜率为__________. 14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______． 15．的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系数为_______． 16．设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，若直线与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围是__________. 三、解答题：解答应写文字说明证明过程或演算步骤． 已知函数． (1)求的最小正周期及其单调增区间： (2)当时，求的值域． 18．(本小题满分12分) 如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形，O为BD的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=． (1)当时，求证：AO⊥平面BCD； (2)当二面角的大小为时，求二面角的正切值． 19．(本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表： 日销售量(吨)11．52天数102515(1)计算这50天的日平均销售量； (2)若以频率为概率，且每天的销售量相互独立． ①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1．5吨的概率； ②已知每吨该商品的销售利润为2万元，X表示该种商品两天销售利润的和，求X的分布列和数学期望． 20．(本小题满分12分) 已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列、的通项公式； (2)设数列对任意的，均有成立，求． 21．(本小题满分13分) 已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为，为椭圆C上一点，的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在平行于OM的直线，使得直线与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 22．(本小题满分13分) 已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：． 数学（） 一选择题： 14．2 15．61 16． 三、计算题 17．【解析】 ． (1)函数的最小正周期． 由正弦函数的性质知，当， 即时，函数为单调增函数，所以函数的单调增区间为，． (2)因为，所以，所以， 所以，所以的值域为[1，3]． 18．【解析】(1)根据题意知，在△AOC中，，， 所以，所以AO⊥CO． 因为AO是等腰直角E角形ABD的中线，所以AO⊥BD． 又BDCO=O，所以AO⊥平面BCD． (2)法一 由题易知，CO⊥OD．如图，以O为原点， OC、OD所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有O(0，0，0)，，，． 设，则，． 设平面ABD的法向量为， 则即 所以，令，则． 所以． 因为平面BCD的一个法向量为， 且二面角的大小为，所以， 即，整理得． 因为，所以， 解得，，所以， 设平面ABC的法向量为， 因为，， 则即 令，则，．所以． 设二面角的平面角为，则 ． 所以，即二面角的正切值为． 法二 在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO， 所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=． 如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H， 因为BD⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O， 所以BD⊥平面AOC． 因为AH平面AOC，所以BD⊥AH． 又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD． 过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK． 因为BC⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK． 因为HK平面AHK，所以BC⊥HK， 所以∠AKH为二面角的平面角． 在△AOH中，∠AOH=，，则，， 所以． 在Rt△CHK中，∠HCK=，所以． 在Rt△AHK中，， 所以二面角的正切值为． 19．【解析】(1)日平均销售量为(吨)． (2)①日销售量为1．5吨的概率． 设5天中该商品有Y天的销售量为1．5吨，则， 所以． ②X的所有可能取值为4，5，6，7，8．又日销售量为1吨的概率为，日销售量为2吨的概率为，则 ； ； ； ； ． 所以X的分布列为 数学期望． 20．【解析】(1)由已知得，，， 所以，解得或． 又因为，所以． 所以． 又，，所以等比数列的公比， 所以． (2)由 ①，得当时， ②， ①-②，得当时，，所以2)． 而时，，所以．所以． 所以 ． 21．【解析】(1)因为椭圆C的一个焦点为， 所以，则椭圆C的方程为， 因为，所以，解得． 故点M的坐标为(1，4)． 因为M(1，4)在椭圆上，所以，得， 解得或（不合题意，舍去），则． 所以椭圆C的方程为． (2)假设存在符合题意的直线与椭圆C相交于，两点，其方程为（因为直线OM的斜率， 由消去，化简得． 进而得到，． 因为直线与椭圆C相交于A，B两点， 所以， 化简，得，解得． 因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点， 所以，所以． 又， ， 解得． 由于，所以符合题意的直线存在，且所求的直线的方程为或． 22．【解析】(1)当时，函数， 则． 当时，，当时，1， 则函数的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，． (2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立． 设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而． (3)，． 因为对任意的总存在，使得成立， 所以， 即， 即 ． 设，其中，则，因而在区间(0，1)上单调递增，，又． 所以，即．。

山东各省市2013年高三1-3月模拟题数学（理）分类汇编 专题 三角函数 2013.04.06 （济南市2013届高三3月一模 理科）10．右图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只将的图象上所有的点 A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 A（文登市2013届高三3月一模 理科）8.设函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称 C．的最小正周期为，且在上为增函数 D．把的图像向右平移个单位，得到一个偶函数的图像 C （淄博市2013届高三3月一模 理科）（8）在同一个坐标系中画出函数的部分图象，其中，则下列所给图象中可能正确的是D （淄博市2013届高三期末 理科）2．已知则等于 A．7B．C．D． 【答案】B 【 解析】因为所以，。

所以，选B. （青岛市2013届高三期末 理科）10.函数的图象大致是 【答案】C 【 解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除B.当时，，排除D.,由，得，所以函数的极值有很多个，所以选C. （淄博市2013届高三期末 理科）4．要得到函数的图象，只要将函数的图象 A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位 C．向左平移个单位D．向右平移个单位 【答案】D 【 解析】因为，所以只需将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，选D. （青岛市2013届高三期末 理科）6.已知，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【 解析】,选C. （烟台市2013届高三期末 理科）11.设函数的图像在点处切线的斜率为k，则函数k=g(t)的部分图像为 【答案】B 【 解析】函数的导数为，即。

2013年高三理科数学三模试卷参考答案一、选择题：1——5 ABABC 6------10 BDCAA 11----12 CB 二、填空题：13.192- 14. 4315 15. 36π 16. ③④ 三、解答题：17. 解：(Ⅰ)()131nn n n a a f a a +==+1131111133n n n n n na a a a a a +++∴==+∴-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公差的等差数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分(Ⅱ)()111313232n n n n a a n ∴=+-=-∴=- 111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫⋅=⋅=⋅- ⎪-+-+⎝⎭11111111113447323133131n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 18. (I)基本事件总数为6636⨯=，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =；当2c =时，3,4,5,6b =；当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =；当5c =时，5,6b =；当6c =时，5,6b =,记方程20x bx c ++= 有实根为事件A ,事件A 所含基本事件个数为54332219,+++++=因此，方程20x bx c ++= 有实根的概率为19.36 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 (II)由题意知，0,1,2ξ=，则17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17(2)36P ξ==， 故ξ的分布列为ξ的数学期望17117012 1.361836E ξ=⨯+⨯+⨯= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19. （Ⅰ）解：因为底面ABCD 是菱形，60,ABC ∠= 又AC a = 所以AB AD a ==，在PAB ∆中，因为PA a =，所以)222222PA AB a PB +=== 故PA AB ⊥，同理，PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ，作//EG PA 交AD于G ，则EG ⊥平面ABCD .作GH AC ⊥于H ，连结EH ，则EH AC ⊥，EHG ∠即为二面角E AC D --的平面角. 又21PE ED :=:，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒===从而t a n ,3EG GH EHG ==∠ 30.EHG =︒∠ ∴二面角E AC D --是30.︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（Ⅱ）解法一 以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A -).31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以211(0,,),,,0).332AE a a AC a ==1(0,0,),(,,).22AP a PC a a a ==-1(,,).2BP a a =设点F 是棱PC 上的点，1,,),01,2PF PC a a λλλλλ==-<< 其中则11(,,),,)22BF BP PF a a a a λλλ=+=+-)).1(),1(21),1(23(λλλ-+-=a a a 令 12BF AC AE λλ=+ 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-.311,341,1.31)1(,3221)1(21,23)1(2322112211λλλλλλλλλλλλλλ即a a a a a a a 解得 .23,21,2121=-==λλλ 即 21=λ时，13.22BF AC AE =-+即，F 是PC 的中点时，、、共面.又 BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，//BF 平面AEC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 解法二 当F 是棱PC 的中点时，//BF 平面AEC ，证明如下，证法一 取PE 的中点M ，连结FM ，则//FM CE . ①由 ,21ED PE EM ==知E 是MD 的中点. 连结BM 、BD ，设BD AC O = ，则O 为BD 的中点. 所以 //BM OE . ②由①、②知，平面//BFM 平面AEC .⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 又 BF ⊂平面BFM ，所以//BF 平面AEC .证法二因为11()22BF BC CP AD CD DP =+=++.2123)(23)(212321-=-+-+=++=所以 、、共面.又 BF ⊄平面ABC ，从而BF //平面AEC .⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分20. 解：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+…………2分 切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x ……………………………6分（Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138kkx x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k原点到直线l的距离为=d ， ……………………………………8分12|||PQ x x =-，∴121||2OPQS PQ d x x ∆=⋅=-===1=当且仅当k =时取等号，则OPQ ∆面积的最大值为1．………………………12分 21. 解：（I ）23232()(3123)(63)(393)x x x f x x x e x x x t e x x x t e '=-++-++=--++322()393,'()3693(1)(3)g x x x x t g x x x x x =--++=--=+-令()(-,-1),(3,+)(-1,3)g x ∞∞在上递增,上递减.()3824.(3)0g x t g ⎧∴∴-<<⎨<⎩ g(-1)>0有个零点…………………………4分（II ）不等式 ()f x x ≤，即32(63)x x x x t e x -++≤，即3263xt xe x x x -≤-+-.转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈， 不等式3263xt xex x x -≤-+-恒成立.即不等式32063xxe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立.即不等式2063xex x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立……………………6分设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+.设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-，因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 故()r x 在区间[]1,m 上是减函数………………………8分 又123(1)40,(2)20,(3)0r e r e r e ---=->=->=-< 故存在0(2,3)x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<.从而()y x ϕ=在区间[]01,x 上递增，在区间[)0,x +∞上递减………10分 又123(1)40,(2)5>0,(3)6>0,e e e ϕϕϕ---=+>=+=+456(4)5>0,(5)20,(6)30.e e e ϕϕϕ---=+=+>=-<所以当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<； 故使命题成立的正整数m 的最大值为5.…………………………12分 22. （I ）证:∵,,CH AB DB AB ⊥⊥，∴,AEH AFB ACE ADF ∆~∆∆~∆∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE EC =， ∴BF FD = ∴ F 是BD 中点.………….…5分（II ）∵AB 是直径，∴ACB ∠=90°∴BCF ∠=CBF ∠=90°CBA CAB ACO -∠=∠=∠ ∴90OCF ︒∠=，∴CG 是O 的切线….………10分（说明：也可证明OCF OBF ∆≅∆（从略,） 23.（Ⅰ）横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到2cos 2(2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）()22124C x y ∴-+=为.…….………….…3分又2224C y y ρθ+= 为=4sin ,即x .…….………….….…….………….…5分 （Ⅱ）12C C 和公共弦的垂直平分线的极坐标方程是cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭10分 24. （I ）当5a =-时，要使函数()f x =有意义， 则05|2||1|≥--++x x①当1-≤x 时，原不等式可化为0521≥-+---x x ，即2-≤x ；②当21≤≤-x 时，原不等式可化为521≥+-+x x ，即53≥，显然不成立； ③当2≥x 时，原不等式可化为521≥-++x x ，即3≥x .综上所求函数的定义域为(][)+∞⋃-∞-,32,…….….…….………….…5分（II ）函数()f x 的定义域为R ，则0|2||1|≥+-++a x x 恒成立，即a x x -≥-++|2||1|恒成立，构造函数()|2||1|-++=x x x h =⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤-)2(,12)21(,3)1(,21x x x x x ，求得函数的最小值为3，所以3-≥a .…….……….…….………10分。

山东省各大市2013届高三1、3月模拟题数学（理）分类汇编专题 函数2013年3月31日（济南市2013届高三3月一模 理科）6．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是A. B. C. D.6 B（济南市2013届高三3月一模 理科）4．已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则目标函数yx z-=的最小值为A ．2-B ．5C ．6D ．7 4 A（文登市2013届高三3月一模 理科）12.对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是A. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ A（淄博市2013届高三3月一模 理科） (14) (理科)若函数1,10()πcos ,02x x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为a ，则62()a x x -的展开式中各项系数和是 164（用数字作答）（淄博市2013届高三3月一模 理科）（10）设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意t R ∈都有()(1)f t f t =-，且1[0,]2x ∈时，2()f x x =-，则3(3)()2f f +-的值等于． （A ）12-（B ）13- （C ）14-（D ）15-（淄博市2013届高三期末 理科）7．函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是【答案】A【 解析】因为函数()sin y f x x x ==为偶函数，所以图象关于y 轴对称，所以排除 D.()sin 02222f ππππ==>,排除B. ()sin 0f πππ==,排除C,所以选A. （青岛市2013届高三期末 理科）13.若函数8))1((,)0(3)0(lg )(02=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰f f x dt t x x x x f a，则a 的值是 . 【答案】2【 解析】当0x ≤，233()3aa f x x t dt x t x a =+=+=+⎰。

2013年高考模拟考试数学试题（理工农医类）2013.5本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数2a i i +-是纯虚数，则实数a= A.2-B.2C.12-D.122.已知集合{{},1,,,=A B m A B B m ==⋂=则A.0或1B.0或3C.1或3D.0或1或3 3.下列命题中，真命题是A.命题“若p ，则q.”的否命题是“若p ，则.q ⌝”B.命题2:10p x R x ∃∈+<，使得，则:p x R ⌝∀∈，使得210x +≥C.已知命题p 、q ，若“p q ∨”为假命题，则命题p 与q 一真一假D.a+b=0的充要条件是1ab=- 4.某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)[)50,60,60,70，[)[)[)70,80,80,90,90,100.则成绩在[]90,100内的人数为A.20B.15C.10D.55.函数()()2log 1f x x =+的图象大致是6.一个几何体的三视图如图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A.3122π+ B.9362π+C.9184π+D.364π+ 7.已知n x )2(+(其中*N n ∈)的展开式中含项的系数为14，则=nA.6B.7C.8D.98.已知,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥0041y kx y x x 所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，则2z x y =-的最大值是A.5-B.2-C.1-D.19.已知ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若1cos ,2,sin 2sin ,4B bC A ===则ABC ∆的面积为A.6B.4 C.210.已知函数()312,16f x x x a a =-+≥其中，则下列说法正确的是 A.()f x 有且只有一个零点 B.()f x 至少有两个零点C.()f x 最多有两个零点D.()f x 一定有三个零点11.已知数列()*21n a n n N =-∈，把数列{}n a 的各项排列成如图所示的三角形数阵，记(),M s t 表示该数阵中第s 行从左到右第t 个数，则M （10，9）为A.55B.53C.109D.10712.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，123P P P 、、是抛物线C 上的不同三点，且1FP 、2FP 、3FP 成等差数列，公差0d ≠，若点2P 的横坐标为3，则线段13PP 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是A.3B.5C.6D.不确定，与d 的值有关第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.过点（2，3）且以y =为渐近线的双曲线方程是________.14.设()f x 为定义在()3,3-上的奇函数，当()()230l o g 3,x f x x -<<=+时，()1f =_________. 15.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为_______.16.如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且AB 、CD 均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看点D 的仰角为α，看点C 的俯角为β，已知45αβ+= ，则BC 的长度是__________m.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数()()22sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）若3,2122f απα⎛⎫-=⎪⎝⎭是第二象限角，求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18.（本小题满分12分）如图，在几何体ABCDE 中，平面//,ABC BCD AE BD ABC ⊥∆平面，为边长等于2的正三角形，32=CD ，4=BD ，M 为CD 的中点.（Ⅰ）证明：平面ECD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角M AB C --的大小.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且362755,16a a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为,22n n n S S b =-且.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （Ⅱ）设,n n na cb = n nc c c T +++= 21，试比较n T 与124+n n 的大小，并予以证明.20.（本小题满分12分）某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次在A 或B 处投篮，在A 处投进一球得3分，在B 处投进一球得2分，否则得0分．每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X 表示．如果X 的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完为止．投篮方案有以下两种：方案1：先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2：都在B 处投篮．已知甲同学在处投篮的命中率为0.4，在处投篮的命中率为0.6．（Ⅰ）若甲同学选择方案1，求2=X 时的概率；（Ⅱ）若甲同学选择方案2，求X 的颁布列和期望．（Ⅲ）甲同学选择哪种方案通过测试有可能性更大？请说明理由．21.（本小题满分12分） 已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：C 的右焦点F 且倾斜角为45 的直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，且8||=AB ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）对于椭圆C 上任一点M ，若,OM OA OB λμλμ=+ 求的最大值.22.（本小题满分14分） 定义：()[),k h x k x+∞若在上为增函数，则称()h x 为“k 次比增函数”，其中*k N ∈，已知ax e x f =)(. （Ⅰ）若()f x 是“1次比增函数”，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当21=a 时，求函数xx f x g )()(=在] ,1[m m -)0(>m 上的最小值. （Ⅲ）求证：e e i n i i 27)(11<⋅∑=．。

山东省2013届高三高考模拟卷（三）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，则Q P *的子集个数为A ．7B ．12C ．32D ．642．已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是 A ．(1，5) B ．(1，3) C ．)5,1( D ．)3,1( 3．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假4．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211aa aa a aa a a中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若822=a ，则这9个数的和为A ．16B ．32C ．36D ．725．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为A ．63π B ．33π C ．23π D ．π3 6．执行如右图所示的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p的值是 A．8 B ．5 C ．3 D ．2 7．函数()cos(2)f x x x π=-的图象大致为8．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为72、34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1．其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．在直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≤≤≥1)1(,2,0x k y x y y 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是A ．)1,(--∞B ．),0(+∞C ．),2()2,0(+∞D ．),2()2,0()1,(+∞--∞ 10．将“你能HOlD 住吗”8个汉字及英文字母填人5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原语，如图所示为一种填法，则共有不同的填法种数是A.35B.15C.20D.7011．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，斜率为34的直线交抛物线于A ，B 两点，若)1(>=λλFB AF ，则λ的值为A ．5B ．4C ．34 D ．25 12．对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m ，使得对任意实数x ，都有x m x =*，则=mA ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．若非零向量,满足||||=，0)2(=⋅+，则a 与b 的夹角为______． 14．已知26()k x x+（k 是正整数）的展开式中，常数项小于120，则=k _______． 15．若关于x 的不等式3|||1|>++-m x x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______． 16．过双曲线的一个焦点的直线垂直于一条渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分)已知函数1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f ，R x ∈． (1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最小值与最大值．18．(本小题满分12分)某学校的一间功能室统一使用某种节能灯管，已知这种灯管的使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布),(2σμN ，且使用寿命不少于12个月的概率为0．8，使用寿命不少于24个月的概率为0．2．(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上2支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，设需要更换的灯管数为η，求η的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 靠近B ，C 的三等分点，点G 为BC 边的中点，线段AG 交线段ED 于点F ．将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB ，AC ，AG ，形成如图乙所示的几何体．(1)求证：BC ⊥平面AFG ；(2)求二面角D AE B --的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知常数0>p 且1=/p ，数列}{n a 的前n 项和)1(1n n a ppS --=，数列}{n b 满足121l o g -+=-n p n n a b b 且11=b ．(1)求证：数列}{n a 是等比数列；(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k ，当k n ≥时，)23)(1(--≥n b n λ恒成立，求k 的最小值．21．（本小题满分13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，离心率22=e(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：3=x 分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．22．（本小题满分13分）已知函数⎩⎨⎧≥<+++-=)1(ln )1()(23x x a x c bx x x x f ，的图象过点)2,1(-，且在点))1(,1(--f 处的切线与直线-x 015=+y 垂直．(1)求实数c b ,的值；(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上？山东省2013届高三高考模拟卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 【解析】集合Q P *中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共6个，故Q P *的子集个数为6426=．2．C 【解析】由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且20<<a ，故由21||a z +=得5||1<<z ． 3．B 【解析】由题可知“非p ”是真命题，所以p 是假命题，又因为“p 或q ”是真命题，所以q 是真命题．故选B ．4．D 【解析】依题意得+++++++31232221131211a a a a a a a 3332a a +72933322322212==++=a a a a ．5．B 【解析】由三视图可知该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形（如图）．圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高=h 31222=-．易知该几何体的体积就是整个圆锥体的体积，即3331313122πππ=⨯⨯=h r ． 6．C 【解析】由题知，第一次进入循环，满足1<4，循环后1=p ，1=s ，1=t ，2=k ；第二次进入循环，满足2<4，循环后2=p ，=s 1，2=t ，3=k ；第三次进入循环，满足3<4，循环后3=p ，2=s ，3=t ，4=k ，因为4=4，不满足题意，所以循环结束．输出p 的值为3，选C ．7．A 【解析】因为()cos(2)cos f x x x x x π=-=，)(cos )cos()()(x f x x x x x f -=-=--=-，所以函数x x x f cos )(=为奇函数，排除B ，C ；又因为当20π<<x 时，=)(x f 0cos >x x ，故选择A ．8．C 【解析】设球的球心O 到直线AB 、CD 的距离分别为d d 、'，利用勾股定理可求出3='d ，2=d ，所以CD 可以经过M ，而AB 不会经过N ，所以①正确，②不正确；又5='+d d ，1=-'d d ，所以③④正确．故选C ．9．A 【解析】 由题意可知，直线1)1(--=x k y 过定点)1,1(-．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率)1,(--∞∈k ；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，1)1(--≤x k y 所表示的区域是直线1)1(--=x k y 及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k 的取值范围是)1,(--∞．10．A 【解析】要把6个汉字及英文字母依次填入6个方格中，按照规则分为两类：一类是4个字横向2个字纵向，有26C 种填法；另一类是3个字横向3个字纵向，有36C 种填法：所以共有3520153626=+=+C C 种填法．11．B 【解析】 根据题意设),(11y x A ，),(22y x B ．由FB AF λ=得),2(),2(2211y p x y x p -=--λ，故21y y λ=-，即=λ21y y -．设直线AB 的方程为)2(34p x y -=，联立直线与抛物线方程，消元得02322=--p py y ．故p y y 2321=+，=21y y 2p -，492)(122121221-=++=+y y y y y y y y ，即=+--21λλ49-．又1>λ，故4=λ．12．D 【解析】由定义可知，⎩⎨⎧=++==++=66323*24222*1c b a c b a ，解得⎩⎨⎧+=-=226c b ca ，又对任意实数x ，都有x m x =*，即++-=+++-=c x c cm cxm m c cx m x 2()6()22(6*x m =)2恒成立，则⎩⎨⎧=+=-0)22(16m c c cm ，解得⎩⎨⎧=-=51m c 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=061m c （舍）． 第Ⅱ卷13．︒120【解析】由题意得⋅=+⋅=⋅+22||22)2(a b b a b b a 0,cos 2=+><a b a ，所以21,cos ->=<b a ，所以,的夹角为︒120． 14．1【解析】二项展开式的通项为r rrr xk x C T )()(6261-+=rr r x k C 3126-=，令0312=-r ，得4=r ，故常数项为446k C ，由常数项小于120，即<446k C 120，得84<k ．又k 是正整数，故1=k ．15．),2()4,(+∞--∞ 【解析】由题意知，不等式+-|1|x 3||>+m x 恒成立，即函数|||1|)(m x x x f ++-=的最小值大于3，根据不等式的性质可得--≥++-)1(||||1|x m x x |1||)(+=+m m x ，故只要3|1|>+m 即可，所以31>+m 或31-<+m ，即得m 的取值范围是),2()4,(+∞--∞ ．16． ),2(+∞【解析】不妨设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，焦点,(c F 0)，渐近线x ab y =，则过点F 的直线方程为)(c x b ay --=，与双曲线联立，消去y 得02)(42244244=--+-b a c a a x a b α，由⎪⎩⎪⎨⎧<-->∆020444ab c a 得44a b >，即a b >，故2>e ． 三、17．【解析】(1)1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f 1sin cos 2cos 22+-=x x x)432sin(2222sin 2cos π++=+-=x x x ．（4分） 因此，函数)(x f 的最小正周期为π．（6分） (2)由题易知)432sin(22)(π++=x x f 在区间]83,8[ππ上是减函数， 在区间]43,83(ππ上是增函数，（8分） 又2)8(=πf ，22)83(-=πf ，3)43(=πf ，（10分）所以，函数)(x f 在区间]43,8[ππ上的最大值为3，最小值为22-．（12分） 18．【解析】(1)因为),(~2σμξN ，8.0)12(=≥ξP ，2.0)24(=≥ξP ， 所以2.0)12(=<ξP ，显然)24()12(≥=<ξξP P ．（3分） 由正态分布密度曲线的对称性可知，1822412=+=μ， 即这种灯管的平均使用寿命是18个月．（6分）(2)这种灯管的使用寿命少于12个月的概率为2.08.01=-． 由题意知，η的可能取值为0，1，2，（8分） 则64.08.02.0)0(22=⨯==C P η，⨯==1122.0)1(C P η32.08.01=，04.08.02.0)2(0222=⨯==C P η．（10分） 所以η的分布列为所以4.004.0232.0164.00=⨯+⨯+⨯=ηE ．（12分）19．【解析】(1)在图甲中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G为BC 边的中点，易知DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE//BC ．（2分）在图乙中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF FG=F ，所以DE ⊥平面AFG ． 又DE//BC ，所以BC ⊥平面AFG ．（4分）(2)因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面BCDE=DE ，DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，所以FA ，FD ，FG 两两垂直．以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，FA 所在的直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz F -．则)32,0,0(A ，)0,3,3(-B ，)0,2,0(-E ，所以)32,3,3(--=AB ，,1,3(-=BE 0)．（6分） 设平面ABE 的一个法向量为),,(z y x n =．则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BE n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x ，取1=x ，则3=y ，1-=z ，则)1,3,1(-=n ．（8分） 显然)0,0,1(=m 为平面ADE 的一个法向量， 所以55||||,cos =⋅>=<n m n m ．（10分） 又由图知二面角D AE B --为钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为55-．（12分） 20．【解析】(1)当2≥n 时，-----=-=-1(1)1(11ppa p p S S a n n n n )1-n a ，整理得1-=n n pa a ．（3分） 由)1(1111a p p S a --==，得=1a 0>p ，则恒有0>=n n p a ，从而p a an n =-1．所以数列}{n a 为等比数列．（6分）(2)由(1)知nn p a =，则12log 121-==--+n a b b n P n n ，所以=+-++-+-=---112211)()()(b b b b b b b b n n n n n 222+-n n ，（8分）所以)23)(1(222--≥+-n n n λ，则+-+-n n n 5)23(2λ04≥在]1,0[∈λ时恒成立．记45)23()(2+-+-=n n n f λλ，由题意知，⎩⎨⎧≥≥0)1(0)0(f f ，解得4≥n 或1≤n ．（11分）又2≥n ，所以4≥n ．综上可知，k 的最小值为4．（12分） 21．【解析】(1)由题意得42=a ，故2=a ，（1分） 因为22==a c e ，所以2=c ，2)2(2222=-=b ，（3分） 所以所求的椭圆方程为12422=+y x ．（4分） (2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且0>k ，故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，从而)5,3(k M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124)2(22y x x k y 得+1(0488)22222=-++k x k x k ．（6分）设),(11y x S ，则2212148)2(k k x +-=⨯-，得2212142k k x +-=，从而21214k ky +=， 即)214,2142(222k kk k S ++-，（8分）又由B(2，0)可得直线SB 的方程为22142202140222-+--=-+-k k x k k y ， 化简得)2(21--=x ky ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=3)2(21x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 213，所以)21,3(k N -， 故|215|||kk MN +=，（11分） 又因为0>k ，所以102152215||=∙≥+=kk k k MN ， 当且仅当k k 215=，即1010=k 时等号成立， 所以1010=k 时，线段MN 的长度取最小值10．（13分） 22．【解析】(1)当1<x 时，b x x x f ++-='23)(2，（2分）由题意，得⎩⎨⎧-=-'=-,5)1(,2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,523,22b c b 解得0==c b ．（4分）(2)由(1)，知⎩⎨⎧≥<+-=),1(ln ),1()(23x x a x x x x f （5分）①当11<≤-x 时，)23()(--='x x x f ，由0)(>'x f ，得320<<x ；由0)(<'x f ，得01<≤-x 或132<<x ．所以)(x f 在)0,1[-和)1,32(上单调递减，在)32,0(上单调递增． 因为2)1(=-f ，274)32(=f ，0)0(=f ，所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2．②当e x ≤≤1时，x a x f ln )(=，当0≤a 时，0)(≤x f ；当0>a 时，)(x f 在],1[e 上单调递增．（7分）所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a ．所以当2≥a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为a ； 当2<a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为2．（8分）(3)假设曲线)(x f y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 因为△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0=∙OQ OP ，不妨设)0))((,(>t t f t P ，则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +，且 1≠t ．所以0))((232=++-t t t f t ．（*） 是否存在两点P ，Q 满足题意等价于方程(*)是否有解．若10<<t ，则23)(t t t f +-=，代入方程(*)，得++-+-3232)((t t t t 0)2=t ， 即0124=+-t t ，而此方程无实数解；当1>t 时，则t a t f ln )(=，代入方程(*)，得0)(ln 232=+∙+-t t t a t ，即t t aln )1(1+=。