初中-数学-华东师大版-21.1 二次根式(二)

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
第22章┃ 复习
3．一元二次方程根的判别式 由于一元二次方程的根的个数由代数式_b_2_－__4_a_c_____的符 号决定，因此把_b_2_－__4_a_c____叫做一元二次方程根的判别式． (1)当_b_2_－__4_a_c_＞__0___时，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有 x2＝两_个__不_－_相_b_－等__的2_ba_实2_－_数_4_a根_c_，__即__x_1_＝_____．－__b_＋___2_ab_2－__4_a_c________，
•第二十一章 二次根式 •21.1《二次根式》 •21.2二次根式的乘除法 •21.3二次根式的加减法
第21章┃ 复习
1．二次根式的概念 一般地，我们把形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式．
第21章┃ 复习
2．二次根式的性质
(1) a≥___0___(a≥0)；(2)( a)2＝___a___(a≥0)；
解：移项，得 x2－4x＝1，两边都加上 4，得 x2－4x＋4＝1 ＋4，即(x－2)2＝5，两边开平方，得 x－2＝± 5，即 x＝ 2± 5，所以 x1＝2－ 5，x2＝2＋ 5.
Байду номын сангаас
第22章┃ 复习
方法技巧 如果方程具备(x＋a)2＝b(b≥0)型，用直接开平方法解较简 单，如果不具备，应考虑因式分解法．用因式分解法解方程时， 应先把右边化为 0，再把左边因式分解，因式分解法简单，但 有局限性．因式分解法不能用时，观察如果二次项系数是 1， 一次项系数是偶数，用配方法解较简单．如果都不行，就用公 式法，公式法是解一元二次方程的万能方法，但要先化成一般 式确定 a，b，c，计算 b2－4ac.

名师讲解
考点一：二次根式有意义的条件 【例1】当x是多少时， 3x 1在实数范围内有意义？ 【分析】 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于
或等于0，所以当3x-1≥0时， 3x 1 才有意义. 【解答】 由3x-1≥0,得x≥ 1 .
3
名师讲解
【例2】若x、y满足关系式y= 的值.
，试求2x+y
【分析】本题要求2x+y的值，首先要分别求出x、y的值，而 要求出x、y的值就必须以x-1≥0且1-x≥0为突破口.
【解答】依题意得x-1≥0且1-x≥0，故有x-1=0，所以x=1, 所以y=3，因此2x+y=5.
名师讲解
考点二：利用二次根式的两个性质进行化简 【例3】化简 x2 6x 9 +|2-x|，其中2<x<3. 【分析】 记清二次根式的两个性质，然后准确运用即可. 【解答】
跟踪训练
D C
跟踪训练
A 0
ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
解：（1）3.（2）4.（3）-9. （4）6.（5）2.
名师讲解
考点三：二次根式性质的综合运用
【例4】已知 27m是整数，求满足条件的最小正整数m的值. 【分析】正确解答本题需准确理解有理数和无理数的概念. 【解答】∵ 27m 是整数，
∴27m是一个完全平方数. 又∵27m=9×3m=32×3m， ∴最小正整数m的值为3. 此时， 27m 27 3 81 =9.

（2）
a2



a -a
a 0, a 0.
轻松预习
3. a 2 与 a2 的区别 （1）a的取值范围不同： a 2中的a必须满足 a≥0 ，而

华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。

本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。

教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。

此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。

2.二次根式的运算方法。

3.将实际问题转化为二次根式问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。

2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.设计具有代表性的练习题和实际问题。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。

同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。

让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。

是非负数． [点拨] 若 a和 －a都有意义，则 a＝0.
第1课时 二次根式
当 a 是怎样的实数时， a3－a－3 1在实数范围内有意义？
解：由题意，得 3a－1≥0，解得 a≥13.
即当 a≥13时，
3a－1 a－3 在实数范围内有意义．
请说出以上解答错在哪里，并给出正确的解答过程．
第1课时 二次根式
第21章 二次根式
21.1 二次根式
第21章 二次根式
第1课时 二次根式
知识目标 目标突破 总结反思
第1课时 二次根式
知识目标
1．通过忆平方根和算术平方根的意义，讨论 a中 a 满
足的条件，概括出二次根式的概念，能准确识别二次根式． 2．在理解概念的基础上，能够探究出二次根式有意义的条
件，并能求出被开方数所含字母的取值范围．
第1课时 二次根式
总结反思
知识点一 二次根式的概念
形如____a____(a≥0)的式子叫做二次根式． [点拨] 当 a≥0 时， a有意义，是二次根式；而当 a＜0 时， a没有意义. a中的 a 可以是数、字母或含字母的式子．
知识点二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足___a_≥__0__，即二次根式的被开方数必须
第1课时 二次根式
【归纳总结】 判断二次根式需“两看”：
1.看形式 2.看内容
含有二次根号“ ”，而不能 是三次根号“ ������ ”等
被开方数必须是非负数，注意被 开方数可以是数、字母或含字母 的式子
第1课时 二次根式
目标二 会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例 2 教材例题针对训练当 x 是怎样的实数时，下列二次根
第1课时 二次根式

2．非负数的性质：若几个非负数的和为 0，则每个非负 数都为 0.
第2课时 二次根式的性质
目标二 会运用( a)2和 a2的运算结果进行化简
例 2 教材补充例题计算：
(1)( 7)2；
(2)－(2 5)2；
1 (3)(7
7)2；
(4)(－ 17)2.
[解析] 利用公式( a)2＝a(a≥0)及(ab)2＝a2b2 进行计算．
第21章 二次根式
第2课时 二次根式的性质
知识目标 目标突破 总结反思
第2课时 二次根式的性质
知识目标
1．类比算术平方根的意义，理解 a(a≥0)的非负性，并能利
用这一性质进行计算．
2．通过列举、归纳，探索出( a)2 和 a2的化简结果，并能对
二次根式进行化简．
第2课时 二次根式的性质
目标突破
意义不同
表示非负数 a 的算术平方
根的平方
不 同 点
a 的取值
范围不同 运算顺 序不同
a 只能取非负数，即 a≥0
先求非负数 a 的算术平方
根，再进行平方运算
运算依据 根据开平方与平方互为逆
不同 运算得到的
表示实数 a 的平方的算术平方根
a 可以取全体实数 先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术
平方根 根据算术平方根的定义得到的
目标一 能利用 a(a≥0)的非负性进行计算
例 1 教材补充例题若|m－1|＋ n＋2＝0，则 m＋n 的值是 (A )
A．－1 B．0 C．1 D．2
[解析]由题意，得m－1＝0，n＋2＝0，解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝1＋
(－2)＝－1，故选A.
第2课时 二次根式的性质
【归纳总结】 1．三种常见的非负数：|a|，a2， a.

3 2
−
；
4
3
6
9
10−2 ；
+ 1 2 ( ≥ −1)；
2
3−2 ；
例6、已知，在数轴上的位置如图所示，试化简：
+ + − +
−

+
− .
小结
概念： a （ ≥ ）
二
次
根
式
a 0(a 0)
性质

a

2
a a 0 ;
a2 （
a a 0）
练习
例1、指出下列各式中哪些是二次根式,哪些不是,为什么?
1
6
2
5
1
2
9
− ≤ 0
6
2
−3
3
7
10
2
+3
2 + 2
4
3
8 6
, 异号
变式：如果式子 − 是一个二次根式，那么(
A．为正数
B．为负数
C．为零
D．为非负数
)
8
例2、当取何值时，下列各式有意义?
1
−2
2
3
1
3
4
= __________
性质:


0
2
)
文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数.
例4、计算：
1
4
2
2
16 ；
−3
2
3
7 − −5
2 − 5 ；
2
2
；
2
5
5 2 3 ；
2
；
3
1

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灿若寒星
1.16的平方根是; ±4 2.9的算术平方根是;3 25 3.的平方根是; ± 5
灿若寒星
1.表示a 什么?
2.a需要满足什么条件?为什么? 当a是正数时，表a 示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时，等a 于0，也叫零的算术平方根； 当a是负数时，没a 有意义. a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零
x 1
灿若寒星
性质2：
a2
|
a
|
a(a a(a
0), 0).
灿若寒星
(1) 9 (2) 64 (3) 4
9 (4) (6)2
灿若寒星
5, a (a 0),3 8, a (a 0)
灿若寒星
例有2意、义要，使字式母子x的x取 值1
必须满足什么条件？
分析：要使式子有x意义1 ，必须x-1≥0，
即x≥1。
解:∵被开方数x-1≥0, ∴x≥1
灿若寒星
X是怎样的数时,下列各式在实数范围内 有意义? (1) x 3; (2) 2 4x ; (3) 5x ; (4) 2
灿若寒星
a a 0是一个非负数，即 a 0a 0
a 2 a 0等于什么？
2
a aa 0
灿若寒星
性质1：
1 a 0a 0
Hale Waihona Puke 22 a aa 0灿若寒星
计算：
( 5)2 5
( 100)2 100
( 2 )2 5
2 5
( 3)2 3
灿若寒星
练习：
( 13)2 ( 16)2 ( 1 )2

a 2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
3
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
2a+2b+2c
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断
1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
例
当x是怎样的实数时，二次根式 x 1在实数范围内有意义？
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
思考
( a )2与 a2 有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a 2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
课后反思：我的收获，我的困惑
• 努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。我受过 章。知世故而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世界深深的恶意，然后开启 意人生。第二名就意味着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累的时候，你正在 果每个人都理解你，那你得普通成什么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永远不要大于本事。你那能叫活着么？你那“你 藏着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是家教的问题，和未成年没关系。总 那为什么不能是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果今天我取得了成功，一 了全部努力。阳光里做个孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度再少年世界 钱带父母去看看人情世故要看透，赤子之心不能丢。所有的人都在努力，不是只有你受 没有物质，但生活不行你才二十岁，你可以成为任何想成为的人。人生就像一杯茶，不 总会苦一阵子。中学时候本子上写的一句话：想看日出的人，必须守到拂晓。对人只说 抛一片心。看到的不要全信，知道的不要都说。我20岁，没有什么输不起，也没有什么 20岁和即将20岁的我们。小时候觉得这个世界不公平，后来发现这个世界就是不公平， 情，它会让你更努力……成熟不是心变老而且泪在打转还在笑。越努力，越幸运。牛羊 只会独行。智者寡言”越来越懂这句话了我只负责精彩，上天自有安排。你凭什么不努 。不要到处宣扬自己的内心，这世上不止你一个人有故事。既然选择了远方，便只顾风 自律，就有多自由。我喜欢海，可我不能跳海；我喜欢你，可我不能一直不要脸。提高 。一生不喜与人抢，但得到的也不会让。一百张嘴里一百个我，我是天使但也是恶魔。 你的笑才能让你在无尽黑暗中找到光明。一时的忍耐是为了更广阔的自由，一时的纪律 的成功。越是复杂的人，对简单越有特殊的需求；越是自己内心肮脏的人，越喜欢纯净 赏自己，就发现不了别人的优点；过于赞赏别人的优点，就会看不见自己的长处。失去 少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。谎言容易越说越爽，因为谎言比 是谎言像多米诺骨牌一样，说一个慌要十个谎来圆，最后难以自拔。有些烦恼，只有你 淡风轻的机会每个人心中所希望的，与最终所抵达的，都会有一段距离，这才是生活。 有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。财富是猫的尾巴，只要勇往直前， 在后面。不要说没体力，不要说对手肘子硬，不要说球太滑，你只需做好基本功。就算 他小动作多，就算他嘴里不干净，你只需做好基本功。创业前的准备，创业过程中的坚 当别人开始说你是疯子的时候，你离成功就不远了……当你感到悲哀痛苦时，最好是去 学习会使你永远立于不败之地。等待的方法有两种：一种是什么事也不做空等，一种是 业向前推动。互联网上失败一定是自己造成的，要不就是脑子发热，要不就是脑子不热 播种的人一定能含笑收获。关于人的因素：这点相当重要。不管是蒙是骗还是软硬兼施 公司员工的相对稳定性。人员流失就像放血，开始没什么感觉，却会要你的命。地球是

第21章二次根式21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a≥0）；（2）当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取..本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2 二次根式的乘除法1.二次根式的乘法【知识与技能】a•=ab（a≥b，b≥0）,并利用它们进行计算和化简.理解b【过程与方法】a•=ab（a≥0,b≥0）并运用它进行计算.由具体数据发现规律，导出b【情感态度】a•=ab（a≥0,b≥0），培养特殊到一般的探究精神，培养通过探究b学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣.【教学重点】a•=ab（a≥0,b≥0），及它的运用.b【教学难点】a•=ab（a≥0,b≥0）.发现规律，导出b一、情境导入，初步认识1.填空：参照上面的结果，用“＞”、“＜”或“=”填空.2.利用计算器计算填空.a•=ab（a≥0,b 【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出b≥0）.二、思考探究，获取新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.教师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积.一般地，对二次根式的乘法规定为ba•=ab（a≥0，b≥0）.：【教学说明】引导学生应用公式a•=ab（a≥0,b≥0）.b三、运用新知，深化理解1.直角三角形两条直角边的长分别为15cm和12cm,那么此直角三角形斜边长是（）A.32cmB.33cmC.9cmD.27cm【答案】1.B 2.C 3.A 4.D【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.a•=ab（a≥0,b≥0）.2.教师总结归纳二次根式的乘法规定b1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.a•=ab（a≥0,b 这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出b≥0），并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣.2.积的算术平方根【知识与技能】a•（a≥0,b≥0）；1.理解ab=ba•（a≥0,b≥0）.2.运用ab=b【过程与方法】a•（a≥0,b≥0），并运用它解题和化简.利用逆向思维，得出ab=b【情感态度】a•（a≥0,b≥0）以训练逆向思维,通过严谨解题，让学生推导ab=b增强学生准确解题的能力.【教学重点】a•（a≥0,b≥0）及其运用.ab=b【教学难点】a•（a≥0,b≥0）的理解与应用.ab=b一、情境导入，初步认识a•=ab（a≥0,b≥0）.反过来，一般地，对二次根式的乘法规定为ba•（a≥0,b≥0）.ab=b【教学说明】引导让学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向a•（a≥0,b≥0）.思维，得出ab=b二、思考探究，获取新知例1化简：【教学说明】引导学生利用ab =b a •（a ≥0,b ≥0）直接化简即可. 例2判断下列各式是否正确，不正确的请改正:三、运用新知，深化理解1.化简：（1）20;（2）18;（3）24；（4）54.2.自由落体的公式为s=21gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为120m ，则下落的时间是 s.四、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.2.教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即ab =b a •（a ≥0,b ≥0）.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.3.二次根式的除法【知识与技能】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0）和bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它们进行计算.2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.先由具体数据，发现规律，导出b aba = (a ≥0,b ＞0），并用它进行计算.2.再利用逆向思维，得出bab a =（a ≥0,b ＞0），并运用它进行解题和化简.3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【情感态度】 通过探究b aba =（a ≥0,b ＞0）培养学生由特殊到一般的探究精神；让学生推导bab a =（a ≥0,b ＞0）以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力.【教学重点】 1.理解b a b a =（a ≥0,b ＞0），bab a =（a ≥0,b ＞0）及利用它们进行计算和化简.2.最简二次根式的运用. 【教学难点】发现规律，归纳出二次根式的除法规定.最简二次根式的运用.一、情境导入，初步认识（学生活动）请同学们完成下列各题. 1.写出二次根式的乘法规定及逆向公式. 2.填空：【教学说明】每组推荐一名学生上台阐述运算结果，最后教师点评. 二、思考探究，获取新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：b ab a =（a ≥0,b ＞0） 反过来,bab a =（a ≥0,b ＞0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.例1 计算：【教学说明】 直接利用b aba （a ≥0,b ＞0） 例2化简：观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中所含的因数（或因式）的幂的指数都小于2.【教学说明】利用二次根式的乘法、除法规定来化简，要求最后结果化成最简二次根式.三、运用新知，深化理解1.化简：3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.【教学说明】第1题可由学生自主完成，第2题、3题教师可给予相应的指导.四、师生互动，课堂小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.21.3二次根式的加减法【知识与技能】1.掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式.2.掌握二次根式加减乘除混合运算的方法.【过程与方法】通过二次根式的加减法运算培养学生的运算能力.【情感态度】形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题.【教学重点】二次根式加减法的运算.【教学难点】探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.一、情境导入，初步认识1.合并同类项：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2.解：（1）5x；（2）4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则.2.化简：3.如何进行二次根式的加减计算?先化简，再合并.4.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.如22与32；28、38与58.二、思考探究，获取新知例1计算：例2计算：【教学说明】进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，是同类二次根式才可合并.例3计算：【教学说明】在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.三、运用新知，深化理解.1.下列计算是否正确？为什么？【教学说明】这类计算的简便方法是先变形，再代入求值.四、师生互动，课堂小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点.1.布置作业：从教材相应练习和“习题21.3”中选取.本章复习【知识与技能】掌握本章重要知识，能熟练运用二次根式的有关运算法则进行运算.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的类比思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用本章知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生兴趣.【教学重点】回顾本章知识点，构建知识体系.【教学难点】利用二次根式的有关运算法则、性质解决实际问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系，边回顾边建立结构图.二、释疑解感，加深理解1.二次根式的意义：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，注意二次根式有意义的条件是被开方数a≥0，a表示a的算术平方根，它具有双重非负性，即a ≥0（a ≥0）.2.二次根式的性质：主要要理解公式的应用.①）（2a =a （a ≥0）,3.二次根式的化简与运算：（1）掌握的应用.（2）掌握二次根式的乘法运算：ab b a =•（a ≥0,b ≥0）. （3）掌握积的算术平方根的运算b a ab •=（a ≥0，b ≥0）. （4）掌握二次根式的除法运算：b a b a =（a ≥0,b ＞0）,反过来bab a =（a ≥0,b ＞0）.（5）掌握二次根式的加减法运算：先化成最简二次根式再进行合并，在二次根式的运算过程中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用，最后结果一定要化成最简二次根式.三、典例精析，复习新知 例1 若21-+x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 【分析】1+x 有意义的条件为x+1≥0，同时注意分母x-2≠0这一条件，所以x 的取值范围为x ≥-1且x ≠2.例2若5-a +(b+2)2=0，则a+b 的值为 .四、复习训练，巩固提高五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关二次根式的知识吗？能熟练进行二次根式的有关运算吗？你还有哪些困惑与疑问？1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.本节课通过学习归纳本章内容，以二次根式的概念及其有意义的条件、二次根式的性质及应用、二次根式的化简与运算等知识点为支撑，力求以点带面，查漏补缺，，加强对重点知识的训练，使学生在全面掌握知识点的前提下抓住重点.。

21.1 ， 5a b 2 ，4 等是 整式，
像 2x ，1 ， 2
y z a
x 6
等是分式 ，
那么 x ， 2x 3y ， 1 等既不是
6
整式也不是分式，那么它们是什么呢？
教学目标：
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式；
2、掌握二次根式有意义的条件； 3、掌握二次根式的基本性质； 4、通过计算、观察、类比、归纳、猜想，经
练习2、下列各式是二次根式吗?
(1) 32,
(4) 12
(2) 6,
(3) 1,
2
(5) 3
(6) - m
m 0
(8) x y x,y异号 ,
21.1 二次根式
新知梳理
知识点2:二次根式有意义的条件
在 a中，a 的取值必须满足 a≥0，即 二次根式的被开方数必须是非负数．
课堂练习3
归纳：当 a >0 时， a2＝________．
4
(2)计算： （－4）2＝____4____， －452＝___5_____.
归纳：当 a <0 时， a2＝________．
(3)计算： 02＝ ____0____． 归纳：当 a＝0 时， a2＝____0____．
综上，试概括你发现的结论．
x取何值时,下列二次根式有意义?
x0
(3) 4 x 2 x 为 全 体 实 数 (4) 1 x
(5) x3 x 0
1 (6) x2
你有什么收获？
①被开方数不小于零；
x0
x0
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2合1.1作二探次究根一式
知识点三.计算与归纳: a2＝|a|
4

考点2 利用二次根式的非负性求值
典例7（安顺中考）若实数，满足，则___.
1
[解析]，且,,解得.
链接教材 本题取材于教材第2页“概括”，考查了二次根式的非负性.熟知“若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0”是解答此题的关键.
考点3 利用二次根式的性质化简
典例8（2022·遂宁中考）实数，在数轴上的位置如图所示，化简___.
（2）.
（3）;
（3）.
（4）.
（4）.
典例5（2023·南阳卧龙区校级测试）若，则的取值范围是()
D
A.B.C.D.
[解析]，,即,，即.故选D.
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：二次根式有意义的条件，主要考查根据二次根式有意义的条件求字母的取值范围.
★★
选择题、填空题
考点2：利用二次根式的双重非负性求值，常与偶次幂、绝对值的非负性综合考查.
典例3（2023·枣庄薛城区校级测试）已知实数,满足，则代数式的值为()
A
A.1B.C.2018D.
[解析]，，，，，，..故选A.
2.,的性质
性质
文字语言
应用及拓展
一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身.
（1）正用：如,.（2）逆用：若,则,如,.
任意实数的平方的算术平方根都等于它本身的绝对值.
（2）有意义的条件为,,,.
典例2求使下列式子有意义的的值或取值范围:
（1）;
解：(1) 要使式子有意义，则被开方数，且分母，解得，的取值范围是．
（2）;
(2) 要使式子有意义，则被开方数，且分母，解得，的取值范围是．
（3）；
（4）；
（5）．

2018年 9月华东师大初中九年级数学上册教课设计21．1.二次根式（1）教课目： 1、理解二次根式的看法，并利用 a （a≥0）的意解答详细目．2、提出，依据出看法，用看法解决．教课重点关：1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的看法；2．点与关：利用“ a （a≥0）”解决详细．教课程：一、回首当 a 是正数， a 表示a 的算平方根，即正数 a 的正的平方根．当 a 是零， a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算平方根．当 a 是数， a 没存心．二、归纳： a （a≥0）表示非数 a 的算平方根，也就是， a （a≥0）是一个非数，它的平方等于a．即有：（ 1） a ≥0（a≥0）；（ 2）( a ) 2=a（a≥0）．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式．注意：在二次根式 a 中，字母a必足a≥0，即被开方数必是非数．三、例题解说例题：x 是怎的数，二次根式x 1 存心？剖析要使二次根式存心，必且只被开方数是非数．解：被开方数 x-1≥ 0，即 x≥1．所以，当 x≥ 1，二次根式x 1 存心．思虑： a 2等于什么？我不如取 a 的一些，如2，-2， 3， -3，⋯⋯分算的a2 的，看看有什么律：归纳 :当 a≥0 ， a 2 a ；当 a＜ 0 ，a2 a ．是二次根式的又一重要性．假如二次根式的被开方数是一个完好平方，运用个性，能够将它“开方”出来，从而达到化的目的．比如：4x 2(2x)2=2x （ x≥0）；x 4( x2 ) 2x 2．四、练习 : x 取什么数，以下各式存心.（ 1）3 4x；（ 2）3x 2；（ 3）(x3) 2；（4） 3x 44 3x2018年 9月例：当 x 是多少时，2x3 +1在实数范围内存心义？x 1剖析：要使 2x3 + 1在实数范围内存心义，一定同时知足2x 3 中的≥ 0 和1中的 x+1≠ 0．x1x12x 3 0解：依题意，得1x3由①得： x ≥ -2由②得： x ≠ -1当 x ≥ -3且 x ≠-1 时，2x 3 +1 在实数范围内存心义．2x 1例： (1)已知 y= 2 x + x2 +5，求 xy的值． (答案 :2)(2)若2004 2004的值． (答案 :2a 1 +b 1 =0，求 a+b)5六、 归纳小结 （学生活动，老师评论）本节课要掌握：1．形如a （ a ≥ 0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内存心义，一定知足被开方数是非负数．七、部署作业：教材P4： 1、 221.1二次根式（ 2）教课目的： 1、理解a （ a ≥ 0）是非负数和（a ） 2=a （ a ≥ 0），并利用它们进行计算和化简．2、 经过复习二次根式的看法，用逻辑推理的方法推出 a （ a ≥ 0）是一个非负数，用详细数据联合算术平方根的意义导出（a ） 2=a （ a ≥ 0）；最后运用结论谨慎解题．教课重难点重点： 1．重点：a （ a ≥ 0）是一个非负数； （ a ） 2=a （ a ≥0）及其运用．2．难点、重点：用分类思想的方法导出a （ a ≥ 0）是一个非负数； ?用研究的方法导出（a ）2=a（ a ≥ 0）．教课过程：一、复习引入 （学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当 a ≥0 时， a 叫什么？当 a<0 时，a 存心义吗？二、研究新知议一议：（学生疏组议论，发问解答）a （ a ≥ 0）是一个什么数呢？老师评论：依据学生议论和上边的练习，我们能够得出2018年 9月做一做：依据算术平方根的意义填空：（ 4 ）2=_______；（2 ）2=_______；（9 ）2=______；（3 ）2=_______；（1）2 =______；（7）2=_______ ；（0 ）2=_______．32老师评论：①、4是 4 的算术平方根，依据算术平方根的意义，②、4是一个平方等于 4 的非负数，所以有（4）2=4．同理可得：（ 2 ）2=2，（9 ）2=9，（ 3 ）2=3，（1）2=1，（7）2=7，（0 ）2=0，所以：（a ）2 = 3322a（a ≥ 0）三、例题解说例 1计算：1．（ 3 ）2， 2．（35 ）2，3．（ 5 ）2，4．（7 ）2262剖析：我们能够直接利用（2a ）=a（a≥0）的结论解题．解：1. （3）2= 3 ， 2.（ 35）2 =32·（ 5 ）2=32·5=45，223.（5）25， 4.（7）2(7) 276=2=22．64四、稳固练习计算以下各式的值：（ 18）2（ 2 ）2（9 ）2（ 0）2（ 47）2(3 5)2(5 3)2348五、应用拓展例2计算1．（x 1）2（x≥ 0），2．（a2）2， 3．（a22a 1 ）2，4．（ 4x2 12 x9）2剖析：（ 1）因为 x≥0，所以 x+1>0 ；（2） a2≥0；（3） a2+2a+1=（ a+1）≥ 0；（4） 4x2-12x+9= （ 2x）2-2·2x· 3+3 2=（2x-3 ）2≥ 0．所以上边的 4 题都能够运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（ 1）因为 x≥ 0，所以 x+1>0, （x 1 ）2=x+122018年 9月（3）∵ a2+2a+1=（ a+1）2 , 又∵（ a+1）2≥ 0，∴ a2+2a+1≥0 ，∴a22a 1 =a2+2a+1（4）∵ 4x2-12x+9= （ 2x）2-2· 2x· 3+32=（ 2x-3）2 , 又∵（ 2x-3 ）2≥ 0∴ 4x2-12x+9 ≥ 0，∴（4x212x 9 ）2=4x2-12x+9例 3 在实数范围内分解以下因式:（1）x2-3（ 2） x4-4(3) 2x2-3六、归纳小结：本节课应掌握：1．a（a≥ 0）是一个非负数；2．（a）2=a（ a≥ 0） ;反之 :a=（a）2（ a≥0）．七、部署作业：教材 P4： 3、421.1二次根式（3）教课目的： 1、理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、经过详细数据的解答，研究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决详细问题．教课重难点重点：1．重点：a2＝a（a≥0）．2．难点：研究结论．3．重点：讲清a≥ 0 时，a2＝a才成立．教课过程：一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容）1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式；2． a （a≥0）是一个非负数；3． ( a )2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥ 0 时，a2=a能否也成立呢？下边我们就来研究这个问题．二、研究新知：（学生活动）填空：22=_______；0.012=_______ ；(1 )210=______；(2)2 3=________ ；02=________ ；( 3)27=_______．（老师评论）：依据算术平方根的意义，我们能够获取：22=2；0.012=0.01 ；(1)2=1 ；(2)2=2 ；02=0；(3)2=3 ．10103377所以，一般地：a2 =a（a≥0）2018年 9月例 1 化简：（1）9（2）( 4)2（3）25（4）( 3)2剖析：因为（ 1） 9=-3 2，（2）（ -4）2=42，（ 3） 25=52，（ 4）（ -3）2=32，所以都可运用a2 =a（ a≥ 0） ?去化简．解：（ 1）9= 32=3（2）( 4)2=42=4（ 3）25= 52=5 （4）( 3)2= 32=3四、稳固练习：（见小黑板）五、应用拓展例 2填空：当 a≥ 0 时，a2=_____ ；当 a<0 时，a2=____ ， ?并依据这一性质回答以下问题．（ 1）若a2=a，则a能够是什么数？（ 2）若a2=-a，则a能够是什么数？（3）a2>a，则a能够是什么数？剖析：∵ a2=a（ a≥ 0），∴要填第一个空格能够依据这个结论，第二空格就不可以，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤ 0 时，a2= ( a)2，那么 -a≥ 0．（1）依据结论求条件；（ 2）依据第二个填空的剖析，逆向思想；（ 3）依据（ 1）、（2）可知a2 =│a│，而│ a│要大于 a，只有什么时候才能保证呢？ a<0．解：（ 1）因为a2=a，所以a≥ 0；（ 2）因为a2=-a，所以a≤ 0；（ 3）因为当a≥ 0 时a2=a，要使a2>a，即便a>a 所以 a 不存在；当 a<0 时，a2=-a ，要使a2>a，即便 -a>a，a<0 综上， a<0例 3 当x>2，化简2)2-(1 2x) 2．六、归纳小结：本课掌握：a2=a（ a≥ 0）及运用，同时理解当a<0 时，a2＝－ a 的应用拓展．七、部署作业:1．先化简再求值：当a=9 时，求a+12a a2的值，甲乙两人的解答以下：甲的解答为：原式=a+(1a) 2=a+（ 1-a） =1；乙的解答为：原式=a+(1 a)2=a+（ a-1） =2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原由是__________ ．2．若│1995-a│ +a2000 =a，求a-19952的值．（提示：注意根式存心义的隐含条件）3.若 -3≤ x≤ 2 时，试化简│ x-2 │ + ( x 3)2 + x210x 25。

21.1 第2课时 二次根式的性质知识点 1 二次根式的非负性1．若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y )2018＝( )A ．－1B ．1C ．32018D ．－320182．若|x －y |＋y －2＝0，则x y －3的值为________．知识点 2 二次根式的性质(a )2＝a (a ≥0)3．计算(15)2的结果是( )A ．225B ．15C ．±15D ．－154．把414写成一个正数的平方的形式是( ) A ．(212)2 B ．(174)2 C ．(±212)2 D ．(±174)2 5．计算： (1)(11)2； (2)(－ 20)2.知识点 3 二次根式的性质a 2＝|a |6．计算：（－2）2＝|________|＝________．7．下列计算正确的是( ) A ．(5)2＝25 B ．(－3)2＝3C.（－3）2＝－3D.02＝08．计算：(1)916； (2)（－7）2.9．若x －2＋3＋y ＝0，则(x ＋y )2019的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－110．若（x －3）2＝3－x ，则x 的取值范围是________．11．［教材习题第2题变式］计算：(1)()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－232；(2)（a＋3）2－a2(a>0)．12．阅读材料，解答问题．例：若代数式（2－a）2＋（a－4）2的值是常数2，求a的取值范围．分析：原式＝|a－2|＋|a－4|，因为|a－2|表示数a在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离，|a－4|表示数a在数轴上对应的点到数4在数轴上对应的点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．图21－1－1解：原式＝|a－2|＋|a－4|.在数轴上看，应分三种情况讨论：①当a＜2时，原式＝2－a＋4－a＝6－2a；②当2≤a≤4时，原式＝a－2＋4－a＝2；③当a＞4时，原式＝a－2＋a－4＝2a－6.通过分析可得a的取值范围是2≤a≤4.(1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？(2)化简：（3－a）2＋（a－7）2.1．B 则原式＝(－1)2018＝1.2. 123．B4．B 5．(1)11 (2)20 6.－2 2 7.D8．(1)34(2)7 9． D 10． x ≤311．解：(1)原式＝3＋23＝323. (2)原式＝a ＋3－a ＝3.12．解：(1)数形结合思想，分类讨论思想．(2)原式＝|3－a |＋|a －7|.①当a ＜3时，原式＝3－a ＋7－a ＝10－2a ；②当3≤a ≤7时，原式＝a －3＋7－a ＝4；③当a ＞7时，原式＝a －3＋a －7＝2a －10.亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。

4
3全体实数； 4 x 4 .
3
当堂小练
2.化简
1 9； 3 25；
2 42； 4 32
解：（1）3； （2）4； （3）5； （4）3；
拓展与延伸
若–3 ≤ x ≤ 2 时，试化简 x 2 x 32 .
解： x 2 x 32
x2 x3 由 –3 ≤ x ≤ 2 可得
x–2≤ 0 x+ 3 ≥ 0= 5 ∴原式= –(x – 2)+(x + 3)
新课讲解
二次根式知应识点满足两个条件： 1.含有二次根号“ ”； 2.被开方数是正数或 0 . 特别地：形如 b a (a≥0) 的式子也是二次根 式，它表示b与 a 的乘积，当b是带分数时， 要写成假分数的形式 .
新课讲解
求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法： (1)如果一知个识式点子含有多个二次根式，那么各个二次根
意义？
(1) 2x 6 x 50
；
(2)
1 3x 7
；
(3) x 2 5 x ；
(4)
x4 x2
；
导引：紧扣二次根式 的定义求式子有意义 时字母的取值范围.
新课讲解
解： （知1）识欲点使 2x 6 x 50 有意义，
则必有
2x 6 0,
x
5
0,
∴x≤－3，且x≠－5 .
式中的被开方数都必须是非负数. (2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么
二次根式中的被开方数（式）是非负数，分式的分 母不等于0. (3)如果一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或 负整数指数幂，那么二次根式中的被开方数（式） 是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等0.
新课讲解 例 2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有