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工程电磁场—矢量分析

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工程电磁场与电磁波名词解释大全

工程电磁场与电磁波名词解释大全

《电磁场与电磁波》名词解释不完全归纳（By Hypo ）第一章 矢量分析1.场：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。

2.标量：一个仅用大小就能够完整描述的物理量。

标量场：标量函数所定出的场就称为标量场。

（描述场的物理量是标量）3.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。

矢量场：矢量场是由一个向量对应另一个向量的函数。

（描述场的物理量是矢量）4.矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。

5.通量：如果在该矢量场中取一曲面S ，通过该曲面的矢线量称为通量。

6.拉梅系数：在正交曲线坐标系中，其坐标变量（u1 ,u2,u3）不一定都是长度， 可能是角度量，其矢量微分元，必然有一个修正系数，称为拉梅系数。

7.方向导数：函数在其特定方向上的变化率。

8.梯度：一个大小为标量场函数在某一点的方向导数的最大值，其方向为取得最大值方向导数的方向的矢量，称为场函数在该点的梯度，记作 9.散度：矢量场沿矢线方向上的导数（该点的通量密度称为该点的散度）10.高斯散度定理：某一矢量散度的体积分等于该矢量穿过该体积的封闭表面的总通量。

11.环量：在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。

12.旋度： 一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的一个法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。

13.斯托克斯定理：一个矢量场的旋度在一开放曲面上的曲面积分等于该矢量沿此曲面边界的曲线积分。

14.拉普拉斯算子：在场论研究中，定义一个标量函数梯度的散度的二阶微分算子，称为拉普拉斯算子。

第二章 电磁学基本理论1.电场：存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。

2.电场强度：单位正试验电荷在电场中某点受到的作用力（电场力），称为该点的电场d grad d n a nφφ=强度。

3.电位差：单位正电荷由P 点移动到A 点，外力所做的功称为A 点和P 点之间的电位差。

矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】

矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】

面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明

电磁场 矢量分析

电磁场 矢量分析
drs
dϑ
dv = ds1 ⋅ ds2 ⋅ ds3 = h1 ⋅ h2 ⋅ h3 ⋅ du1 ⋅ du2 ⋅ du3
y
= drs ⋅ rs dθ ⋅ rs sinθdϕ
x
dars
daϑ daϕ
23 <清北启航 >
23
<清北启航 >
作业与预习
1-(3),(4),(5), 2, 3-7, ˆ ,i ˆ ,i ˆ iˆr , iˆϕ , iˆr i
三个坐标参量汇总
u1 u2 u3 h1 h2 h3
直 角 坐 标 系 柱 坐 标 系 球 坐 标 系
ˆ3 ˆ ˆ i i i 1 2
ˆx i
ˆy i
x y z
ϕ z rc rs θ ϕ
1 1 1 rc
1 1
ˆz i
ˆr i c
rs
1 rs rs sinϑ i ˆ
17
ˆϕ i ˆz i ˆ ˆ i i θ ϕ
6 <清北启航 >
6
<清北启航 >
广义正交坐标系
直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 ……
u 2 = c2
u3
坐标面
ˆ3 i
u1 = c1 坐标面
P ( c1 , c = c3
ˆ2 i
坐标面
u2
r r ˆ da2 = daϑ = iϑ ⋅ rs ⋅ sinϑ ⋅ drs ⋅ dϕ , r r ˆ da3 = daϕ = iϕ ⋅ rs ⋅ drs ⋅ dϑ. 22
22 <清北启航 >
s
s
daϑ daϕ
<清北启航 >
球：标量体元

第一章 电磁场 矢量分析

第一章 电磁场 矢量分析
值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为

P
[(ex e y ez )( x 2 y 2 z )]P x y z (ex 2 x e y 2 y ez ) (1,1,1) ex 2 e y 2 ez
概念： u el u | ，其中 el l max
u 取得最大值的方向 l
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
梯度的表达式：
直角坐标系 圆柱坐标系
u u u u ex ey ez x y z
u 1 u u u e e ez z
？
线元矢量
dr d e d ez z e d e d ez dz
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
矢量A 与B 的叉积
A
（5）矢量的混合运算
—— 分配律 ( A B) C A C B C ( A B) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C —— 矢量三重积
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 u • 0 —— u(M)沿l 方向增加； Δl l M0 u M • 0 —— u(M)沿l 方向减小； l
l
方向导数的概念
方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？

工程电磁场-矢量分析

工程电磁场-矢量分析

为A，B的夹角，为C与法向量的夹角
如果三个矢量代表一个平行六面体的边，则标三 重积是它的体积 ④矢三重积（vector triple product ）
A ( B C) ( A B) C
坐标系
从数学的观点把矢量分解成沿三个互相正交 的方向来处理是比较方便的，即采用正交坐标系。
坐标系
在圆柱坐标系下，矢量运算表示为
当两个矢量定义在一个公共点P(ρ，φ，z) 或在一个φ ＝常数的平面上，可得两矢量之和、差为
C C e C e C z ez ( A B )e ( A B )e ( Az Bz )ez
矢量运算
1.矢量加法
C A B
矢量服从加法的交换律、结合律
2.矢量减法
D A (B)
矢量运算
3.矢量乘以标量
B kA
k 0, B与A同方向 k 0, B与A反方向 k 1, B的矢量比A长 k 1, B的矢量比A短
电磁场



电磁场是高等工科院校电类专业的一门 技术基础课。 21世纪，这门课作为一门主干（核心） 课程的框架仍基本保持不变；同时又是 一些交叉领域的学科生长点和新兴边缘 学科发展的基础。 学好这门课将增强学生的实际应用能力 与创新能力。
一 学习要求


1、牢固掌握电磁场基本规律及性质。 2、比较全面地了解与掌握各种分析计算 方法。 3、能具体地计算一些典型的、理想化的 电磁场问题。
eA 是与 A 同方向的单位矢量
标量和矢量
4.零矢（null vector）——大小为零的矢量，也 称空矢。 零矢是唯一不能用箭头表示的矢量。

工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础

工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础

04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能

工程电磁场-基本概念

工程电磁场-基本概念

1
1 2 0
C1
100 ,
得 C1
100
1 2 0
代入 C1 和 C2
x2
1
100 x
（V）
20
20
d
x
1
E
dx
ex
0
100
2
0
e
x
（V m）
第三章 恒定电场的基本原理
1、体电流密度的定义式 2、电流密度与电场强度的关系 3、电源中电场强度的表达式 4、电荷守恒原理的表达式 5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式 6、恒定电场边界条件的分类
量为
场点坐标 (r,, z)是不变量，源点坐标 (0,, z) 中 z 是变量，统一用θ表
示
总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
（3）静电场环路定理
由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分 的运算
在静电场中，任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。
有些金属或化合物当温度降到某一临界数值
后， ，变为超导体, J E 不再适用。
3、电源中电场强度的表达式
作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电
场强度，记为 Ee 。 电源中总的电场强度 ET EC Ee 。
在电源以外的区域，只存在库仑电场。
总的电场强度 ET EC 。
4、电荷守恒原理的表达式
1、体电流密度的定义式
将单位时间内流过某个面积 S 的电荷量
定义为穿过该面积的电流，用 I 表示 I lim q dq t0 t dt
电流的单位是安（培）（A）。1 安＝1 库秒。 电荷在空间体积中运动，形成体电流。

电磁场矢量分析

电磁场矢量分析
1. 矢量场的通量(Flux)
单位矢量
n
A

dS
n 是面元外法线方向。
d S ndS
(1 3 7)
面元矢量：
A d S A cosdS
－－标量积称为矢量 A 穿过 d S 的通量。
第一章 矢量分析
矢量场 A 穿过整个曲面 S 的通量为：
A d S A ndS
是一个积分量。它描绘闭合面内较大范围内的源的分 布情况。 描述场中每一个点上源的性质，必须引入新的矢量， 故引入矢量场的散度的概念。
第一章 矢量分析
2.矢量场的散度 （divergence ）
1) 散度定义
A
n
P
设有矢量场 A ，在场中任一点P处作 V 一个包含P点在内的任一闭合曲面 S ， 设 S 所限定的体积为ΔV， 当体积ΔV以任意方式缩向P点 （ V 0 ）时， 取下列极限:
第一章 矢量分析
结论：
散度表示场中一点处的通量对体积的变化率。也就是说
在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源 的强度。 散度是一个标量，它描述的是场分量沿各自方向上的变 化规律。故散度用于研究矢量场标量源在空间的分布状况。
在P点处，
div A 0 ，表明 A 在该点有散发通量之正源，称为源点； div A 0 ，表明 A 在该点有吸收通量之负源，称为汇点； div A 0 ，表明 A 在该点无通量源，称为连续或无散的。
图1-15 闭合曲线方向与 面元方向示意图
此极限值就是环量的 面密度（即环量对面 积的变化率）。
第一章 矢量分析
2）旋度的定义
环量面密度与 l 所围成的面元 S 的方向有关： 如果 l 围成的面元矢量与旋涡面的方向重合，则环量 面密度最大；如果所取面元矢量与旋涡面的方向之间有一 夹角，则环量面密度总小于最大值；如果面元矢量与旋涡 面的方向相垂直，则环量面密度为零。

第1章矢量分析

第1章矢量分析

F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)

电磁场电磁波-第一章 矢量分析(1.4-5)

电磁场电磁波-第一章 矢量分析(1.4-5)

环流面密度矢量→旋涡源密度矢量 旋涡源密度矢量。 物理意义 ◇ 环流面密度矢量 旋涡源密度矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
•
直角坐标系中 rot x F、rot y F 、rot z F 的表达式 的示意图如图所示。 推导 rot x F 的示意图如图所示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.5.2. 矢量场的旋度（∇× F） 矢量场的旋度（ 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系， 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入 矢量场的旋度。 矢量场的旋度。 （1）环流面密度 ） 过点M 作一微小曲面∆ 它的边界曲线记为C， 过点 作一微小曲面∆S ，它的边界曲线记为 ，曲面的法 与曲线的绕向成右手螺旋法则。 线方向 n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当∆S→0 时，极限 →
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通 宏观上 量与曲面内产生矢量场的源的关系。 量与曲面内产生矢量场的源的关系。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.4.3. 矢量场的散度 散度： 向某点无限收缩时， 散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 F 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 F 在该 点的散度， 表示， 点的散度，以 div F 表示，即
环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合 矢量场对于闭合曲线 环流定义为该矢量对闭合 曲线C 的线积分， 曲线 的线积分，即
Γ = ∫C F(x, y, z) ⋅ dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 旋场，又称为保守场。 旋场，又称为保守场。 保守场 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零， 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。 旋涡源 磁场的旋涡源。 磁场的旋涡源。

电磁场(矢量分析)

电磁场(矢量分析)
左 A d S ＋ 右 A d S ＝ 左 A （ a y ) dy x 0 ＋ 右 d A a y d zy x 1 ＝ 0 d 1 2 1 2 z
上 A d S ＋ 下 A d S ＝ 上 A a z dz x 1 ＋ 下 d A ( a z y ) dz x 0 ＝ 1 2 d 0 1 2 y
rX ax Y ayZ az (1 1 2 )
即空间中点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投 影唯一地被确定。
4. 直角坐标系中，矢量 A 可以表示为
AAxaxAyayAzaz
A Ax2Ay2Az2
1.1.2 矢量的代数运算 设两个矢量为 A e x A x e y A y e z A z ，B e x B x e y B y e z B z ，则
1.标量积(Scalar Product) ：
A B AcB o s A xB xA yB yA zB z －－－－标量
标量积服从交换律和分配律，即
A B B A ,A (B C ) A B A C
2.矢量积(Vector Product) ：又称矢量的叉积(Cross Product)。
exeyeyez exez 0
exexeyeyezez 1
e x ey e z,ey e z e x,e z e x ey
exexeyeyezez0
1.3 矢量场
本节要点：－－考察矢量场在空间的分布及变化规律。 矢量线 通量和散度 环量与旋度
divA 0，表明 A 在该点有散发通量之正源，称为源点； divA 0，表明 A 在该点有吸收通量之负源，称为汇点； divA 0，表明 A 在该点无通量源，称为连续或无散的。

电磁场矢量分析讲解

电磁场矢量分析讲解
例 电位场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式
1）在直角坐标系中：
gradu

u x
eˆx

u y
eˆy

u z
eˆz
2）在柱面坐标系中：
gradu

u r
g


x
ex


y
ey


z
ez


grad
梯度(gradient)
式中 ( , , ) x y z
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最 大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面） 相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
工程电磁场
主讲：孙惠娟 hjsun@
电磁场
updated date 2008.2.21
思维方法
分析和处理问题的方法： 引入基本物理量（场量），
考虑这个物理量的旋度，散度，边界条 件。
矢量分析
难点
分析和处理问题的方法 ——数学处理过程
矢量分析
主要教学内容概述
第一章 矢量分析
l x y z
式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角
方向导数解决了标量场中的标量函数(x,y,z)在给 定点P沿着某一方向变化的问题。 但是，标量函数(x,y,z)从给定点出发有无穷个变化的 方向，其中哪个方向变化的最快？
0.2 标量场的梯度

工程电磁场附录一矢量分析

工程电磁场附录一矢量分析

矢量场与梯度
矢量场
空间中每一点都对应一个矢量的场， 如电场、磁场等。
梯度
标量场中某一点处的梯度是一个矢量 ，其方向指向该点处标量场增加最快 的方向，大小等于该点处标量场的空 间变化率。
02
坐标系中的矢量表示
直角坐标系
01
02
03
矢量分量
在直角坐标系中，一个矢 量可以用其在三个坐标轴 上的投影（分量）来表示。
06
数值计算方法在矢量分析中的应 用
有限差分法
差分原理
01
用离散的差分方程近似代替连续微分方程，将求解微分方程的
问题转换为求解代数方程的问题。
差分格式
02
根据微分方程的阶数和边界条件，构造合适的差分格式，如一
阶向前差分、一阶向后差分、中心差分等。
收敛性与稳定性
03
分析差分格式的收敛性和稳定性，以保证计算结果的准确性和
可靠性。
有限元法
变分原理
将矢量分析问题转化为变分问 题，即求解泛函的极值问题。
网格剖分
对求解区域进行网格剖分，构 造合适的有限元空间。
基函数与权函数
选择合适的基函数和权函数，将 矢量场表示为基函数的线性组合 ，并通过权函数进行逼近。
有限元方程
根据变分原理和基函数的选择， 建立有限元方程，通过求解有限
勒让德多项式及其性质
勒让德多项式定义
勒让德多项式是二阶常微分方程（勒让德方程）的解，是 一组正交多项式。
勒让德多项式性质
勒让德多项式具有正交性、递推关系和生成函数等性质， 可构成完备正交多项式系，用于展开和求解电磁场问题。
工程应用
在电磁场工程中，勒让德多项式常用于求解球坐标系下的电磁场 问题，如天线辐射方向图、地球物理勘探和微波遥感等领域。

工程电磁场实验报告

工程电磁场实验报告

工程电磁场导论实验报告姓名：何探学号：3090731126班级：通信09-1班指导教师：杨光杰肖洪祥实验一 矢量分析一、实验目的1.掌握用matlab 进行矢量运算的方法。

二、基础知识1. 掌握几个基本的矢量运算函数：点积dot(A,B)、叉积cross(A,B)、求模运算norm(A)等。

三、实验内容1. 通过调用函数，完成下面计算给定三个矢量A 、B 和C 如下：23452x y z y zx zA e e eB e eC e e =+-=-+=-求（1）A e ；（2）||A B -；（3）A B ⋅；（4）AB θ ；（5）A 在B 上的投影 ；（6）A C ⨯；（7）()A B C ⋅⨯和()C A B ⋅⨯；（8）()A B C ⨯⨯和()A B C ⨯⨯A=[1,2,-3]； B=[0,-4,1]; C=[5,0,-2]; y1=A/norm(A) y2=norm(A-B) y3=dot(A,B)y4=acos(dot(A,B)/(norm(A)*norm(B))) y5=norm(A)*cos(y4) y6=cross(A,C)y71=dot(A,cross(B,C)) y72=dot(A,cross(B,C)) y81=cross(cross(A,B),C) y82=cross(A,cross(B,C))运行结果为：y1 =0.2673 0.5345 -0.8018 y2 = 7.2801 y3 =-11y4 = 2.3646 y5 =-2.6679y6 = -4 -13 -10 y71 =-42y72 =-42y81 = 2 -40 5 y82 = 55 -44 -11解：（1）[0.2673,0.5345,0.8018]A e =-； （2）||7.2801A B -=； （3）11A B ⋅=-；（4）2.3646(135.4815)AB θ=； （5） 2.6679-；（6）[4,13,10]A C ⨯=---； （7）()()42A B C C A B ⋅⨯=⋅⨯=-；（8）()[2,40,5]A B C ⨯⨯=-；()[55,44,11]A B C ⨯⨯=--；2. 三角形的三个顶点位于A(6,-1,2), B(-2,3,-4), C(-3, 1,5)点，求（1）该三角形的面积；（2）与该三角形所在平面垂直的单位矢量。

矢量分析和梯度

矢量分析和梯度
工程电磁场 第一章 矢量分析 22
4、矢量场的矢量线
① 矢量线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线 上每一点的切线方向与场矢量 在该点的方向重合，则该曲线 称为矢线。 一般来说，矢量场中的每 一点都有一条矢量线通过，所 以，矢量线是一族曲线，充满 整个矢量场所在的空间。
工程电磁场 第一章 矢量分析
+ -
ex ex ey ey ez ez 1 ex ey ey ez ez ex 0
位置（从原点出发）矢量：
r xex yey zez
工程电磁场 第一章 矢量分析
11
空间任一矢量可表示为：
矢量场F穿过有向曲面元dS的通量
d F dS FdS cos 1.35a
1.3 场的基本概念
1、场的定义 场概念的引入：研究某物理量在某一个空间区域的 分布情况和随时间变化规律。
场——指某物理量在空间中的分布情况，即说明该物理量在 空间区域中的每一点处的大小及方向。
比如：温度场，电位场，磁场
场：既有空间属性，又有时间属性。可表示成：x，y，z，t 的函数。F(x,y,z,t)
e ey ez 哈密顿算子： x x y z
梯度也可表示：
grad u
方向导数与梯度的关系：
u u el l
工程电磁场 第一章 矢量分析
el为l方向的单位矢量
30
梯度性质：
①标量场u的梯度是一矢量场，可称grad u是u产生的梯度场； ②标量场u中，在给定点沿任意方向l的方向导数等于梯度在该方 向的投影； ③标量场u中，在每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。

1.3 工程电磁场 矢量场的通量和散度

1.3 工程电磁场 矢量场的通量和散度

的积分只剩下 此，当体积 τ 由N
i个小、体积j 外元表组面成上时的，通穿量出，体因积
τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N

N

i 1
lim (
i 0

A)
i

i 1
A dS
Si
证毕
即 ( A)d A dS
divA ＝0： 该点无源。
散度是标量。
2019/5/30
7
2 、散度在直角坐标系中的表示式：
divA
Ax
Ay
Az
x y z
矢量微分算子 ： “ ” 读作 nabla 或 del



ex
x
ey
y

ez
z
当作矢量看待
即
divA

(ex


A dS
divA
lim S
0

散度是标量
散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对 体积的变化率。也称为 “通量源密度”。
2019/5/30
6

讨论：
divA
lim

A dS
S

0
divA ＞0：该点有发出通量线的正源；
divA ＜0： 该点有吸收通量线的负源；

S
2019/5/30
11
例A ： e设xx球面eySy上 e任z z意, 点求的位SA置 d矢S量. 为
R
解：根据散度定理


Ad A dS

S
而 A的散度为

电磁场(第一章)矢量分析(1)

电磁场(第一章)矢量分析(1)
ˆ + z ( Ax B y − A y B x )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x × y = z， y × z = x， z × x = y
每一分量都是由两项的差组成； 每一分量都是由两项的差组成； r r A × B = Ax A y Az 每一项的下标不含该分量符号； 每一项的下标不含该分量符号； Bx B y Bz 若每一项由A的分量乘以 的分量， 的分量乘以B的分量 若每一项由 的分量乘以 的分量，则 和的下标顺序是： 和的下标顺序是：x→y→z→x；差的是：z→y→x→z。 ；差的是： 。
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2、散度 、
电磁场理论基础
1.2.3 散度定理（高斯公式） 散度定理（高斯公式）
定理的内容： 定理的内容：矢量场散度的体积分等于该矢量穿 过包围该体积的封闭面的总通量， 过包围该体积的封闭面的总通量，即 r r r ∫∫∫V ∇ ⋅ A d v = ∫∫S A ⋅ d s 点电荷q在离其 在离其r处产生的电通量密度为 例1.1 点电荷 在离其 处产生的电通量密度为 r q r r ˆ ˆ ˆ D= r ， r = xx + yy + zz ， r = x 2 + y 2 + z 2 3 4πr 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以r为半径 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以 为半径 的球面的电通量Ψe。 的球面的电通量 r ˆ ˆ q r ˆ q xx + yy + z z r= 解： D = 3 4π ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 4πr
2
− 2 2 2 5 2 (x + y + z ) 3x2
q r 2 − 3x2 = 4π r5 ∂D y q r2 − 3y2 ∂D z q r 2 − 3z 2 = ， = 5 5 ∂y 4π ∂z 4π r r

工程电磁场—矢量分析

工程电磁场—矢量分析

斯托克斯 定理
场是否有旋
黄色：标量
红色：矢量
场的边界
唯一地确定场
(亥姆霍兹定理)
32
工程电磁场 1.3 标量场的方向导数和梯度
2021/6/20
33
工程电磁场
在高等数学中 什么是导数？导数定义在哪个方向？
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量 的增量之商的极限。
方向导数的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方 向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其 他特定方向上的变化率（即方向导数） 。
场点 三个坐标 x, y, z 确定
一个标量场
uM ux, y, z
15
工程电磁场
一个矢量场表示为
AM Ax, y, z
Axex Ayey Azez Ax ,Ay , Az ：
A 在坐标轴上投影
ex , ey , ez ： x 、 y 、 z 方向单位矢量
16
工程电磁场
， ， ：
A 与 x 、 y 、 z 方向之间的夹角 方向角
25
工程电磁场
矢量线方程又可以用矢量式表示为
dl A 0 ，即
dyAz Aydz ex dzAx Azdxey dxAy Axdy ez 0
得
ddyzAAxz
Aydz Az dx
0 0
dxAy Axdy 0
26
工程电磁场
4．场的其他可视化方法
计算机图形技术 彩色云图
2021/6/20
37
工程电磁场
当 u l
Mo
0 ，沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快 l
当 u l
Mo
0 ，沿 l 方向是减小的
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工程电磁场
例 标量场 u M 3x2 z2 2yz 2zx ，
求过 M0 (0,
1 , 1) 点的梯度和梯度的模。 矢量
2
解 因为
u 6x 2z, u 2z, u 2x 2 y 2z
x
y
z
所以
gradu (6x 2z)ex 2zey 2(x y z)ez
2020/4/8
工程电磁场
等值面族（一般差 值相同）
坐标原点点电荷 q
电位表示式
r q
4 0 r
等位面方程
r q U 解得
4 0 r
21
工程电磁场
r q
4 0U
按相同递增量
给定U 的不同数值
U1,U2,L L ,
得到同心球面 等值面与给定平面相交，得等值线
22
工程电磁场
如 u x, y, z 在 x y 平面上的等值线方程为 u x, y U
2020/4/8
37
工程电磁场
当 u l
Mo
0，沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快 l
当 u l
Mo
0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
2020/4/8
38
工程电磁场
当 l 指向 x 轴正方向时， u u l x
当 l 指向 y 轴正方向时， u u l y
当 l 指向 z 轴正方向时， u u l z
能否写成 两个矢量 的乘积？
2020/4/8
44
e工l 程cos电e磁x 场cosey cos ez
而 l 方向的单位矢量又可表示为
el
dl dl
dxex
dyey dl
dzez
dx dl
ex
dy dl
ey
dz dl
e zl
cos ex
cos ey
cos ez
l 的方向余弦：
而 l 方向的单位矢量又可表示为
52
工程电磁场
1 G gradu M0 2ex 2ey 2( 2 1)ez
2ex 2ey ez
G 22 22 1 3
1．3 结束
2020/4/8
53
工程电磁场
1.4 矢量场的通量和散度
2020/4/8
54
工程电磁场 1． 矢量场的通量
7
工程电磁场
ex ey ez A B= Ax Ay Az
Bx By Bz
en 与矢量 A 、 B 都垂直 单位矢量 A 、 B 、 en 成右手关系
： A 、 B 间的夹角
A B 的模：灰色四边形面积
8
工程电磁场
A B 与 B A 模相等 方向相反
A B B A
A A 0 （ 0）
6）矢量的混合积
27
工程电磁场
箭头的长度 表示矢量的大小， 箭头所指的方向 为矢量的方向：
矢量图
28
工程电磁场
5．平行平面场
29
工程电磁场 6．轴对称场
1．2 结束
30
工程电磁场
几个重要物理量及公式
31
工程电磁场
分析标量场的工具
标量场
方向导数 梯度 两个重要公式
矢量场
通量密度 散度
高斯定理
场是否有源
环量密度 旋度
偏导数 u , u , u 是 u 的特例。 x y z l
2020/4/8
39
工程电磁场
2．方向导数的计算
在直角坐标系中
设标量函数 u(x, y, z) 在 M0 (x0 , y0 , z0 ) 处可微，
则函数 u 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数存在。
根据全微分概念
du u dx u dy u dz x y z
式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，
l
l
则称此极限值为函数 u M
在点
M
0
处沿
l
方向的方向导数，记作
u l
M0
。
2020/4/8
36
工程电磁场
u l
M0
lim u(M) u(M0 )
MMo
l
u du
= lim MMo l
dl
M0
方向导数：标量场函数在一点 M0 处
沿某一方向 l 对距离的变化率
dt du dt
11
工程电磁场
3．矢量函数的积分公式
1） At dt [ Ax t dt]ex [ Ay t dt]ey [ Az t dt]ez
2） Atdt Bt C
（ Bt ： At 的原函数 C ：任意常矢量）
3） At Btdt Atdt Btdt 4） kAt dt k At dt （ k ：常数）
cos , cos , cos ： 方向余弦
cos Ax ； cos Ay ； cos Az
A
A
A
AM Acosex Acos ey Acos ez
场的分类： 时变场 恒定场 静态场
17
工程电磁场 2．源点与场点
场源产生场 场源所在：源点 场量所在：场点
源点 P： x, y, z r
场点 三个坐标 x, y, z 确定
一个标量场
uM ux, y, z
15
工程电磁场
一个矢量场表示为
AM Ax, y, z
Axex Ayey Azez Ax ,Ay , Az ：
A 在坐标轴上投影
ex,ey ,ez ：
x 、 y 、 z 方向单位矢量
16
工程电磁场
， ， ：
A 与 x 、 y 、 z 方向之间的夹角 方向角
A•BC B•C A C • A B ABC BA•CC A•B
9
工程电磁场 2．矢量函数的导数和微分公式
1）
dA dt
dAx dt
ex
dAy dt
ey
dAz dt
ez
2） dA dAxex +dAyey +dAzez
3） dC 0 （ C 是常矢量）
dt
4） d A B dA dB
斯托克斯 定理
场是否有旋
黄色：标量
红色：矢量
场的边界
唯一地确定场
(亥姆霍兹定理)
32
工程电磁场 1.3 标量场的方向导数和梯度
2020/4/8
33
工程电磁场
在高等数学中 什么是导数？导数定义在哪个方向？
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量 的增量之商的极限。
方向导数的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方 向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其 他特定方向上的变化率（即方向导数） 。
该点的等值面且指向 u
增大的方向
2020/4/8
49
工程电磁场
4．梯度的运算规则
1） gradC 0 （ C 为常数）
2） gradCu Cgradu
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5）
grad(u v
)
1 v2
(vgradu
是 A 、 B 之间夹角 B cos ： B 在 A 方向上的投影 Acos ： A 在 B 方向上的投影
A•B B• A
6
工程电磁场
C •A B C • AC •B
, 为实数，则
A•B A• B
A• A A2 AA A2
5）矢量的叉积
A B AB sin en
Ay Bz Az By ex + Az Bx Ax Bz ey Ax By Ay Bx ez
在直角坐标系中， 梯度的计算公式
gradu
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度运算是分析标 量场的工具 标量场的梯度是矢 量
沿着梯度方向，函数 u(x.y, z) 增加得最快
2020/4/8
48
工程电磁场
方向导数等于梯度 在该方向上的投影
u l
gradu • el
gradu
cos
梯度的方向垂直于 通过
12
工程电磁场
5） C • Atdt C • Atdt
（ C ：常矢量）
6） C Atdt C Atdt
（ C ：常矢量）
（1．1 结束）
13
工程电磁场
1.2 场的基本概念和可视化
14
工程电磁场
1．场的基本概念
“场“：物理量 空间 空间每一点 对应物理量一个值 标量场 如温度、能量、电位等 矢量场 如速度、力、电场、磁场等
等值线的例子
23
工程电磁场
3．矢量场的矢量线
矢量场用矢量线来表示 矢量线上一点切线方向 与该点场矢量方向相同 矢量线稀密反映矢量大小
24
工程电磁场
根据矢量线的定义，在矢量线上任一点的切向 矢量元dl与矢量场平行，即：
Adl 0
• 在直角坐标系中有
A Axex Ayey Azez dl dxex d yey dzez
思考：为何要求可微？
定义与计算方法的差别
2020/4/8
40
工程电磁场
得
u u x u y u z l M0 x l y l z l
将 l 方向的三个方向余弦表示式代入式
u l
M0
cos u x
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
2020/4/8
41
工程电磁场
例 u x2 y2 z2 在M0 1, 1, 0 处
ugradv)
2020/4/8