中职数学(高教版)拓展模块教学设计抛物线(二)

《抛物线的几何性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应掌握抛物线的基本概念、标准方程及其几何性质，包括顶点、焦点、准线等要素，并能运用这些性质解决简单的抛物线问题。

同时，通过作业的练习，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、作业内容1. 基础知识巩固：- 复习抛物线的基本概念，包括抛物线的定义、分类及标准方程。

- 掌握抛物线的几何性质，如顶点、焦点、准线的确定方法。

2. 技能训练：- 通过练习题，训练学生运用抛物线的几何性质解决实际问题的能力。

- 练习抛物线方程的求解，包括给定条件下的方程推导。

3. 拓展应用：- 引导学生利用抛物线的性质解决一些实际问题，如抛物线运动轨迹的分析。

- 探索抛物线与其他数学知识的联系，如与直线、圆等图形的交点问题。

三、作业要求1. 独立完成：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 规范答题：要求学生按照数学作业的规范格式书写，步骤清晰，逻辑严谨。

3. 深入思考：在完成作业的过程中，要引导学生深入思考，培养其独立思考和解决问题的能力。

4. 时间安排：合理安排作业完成时间，保证作业质量。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确性、规范性、思路创新性等方面进行评价。

2. 评价方式：采取教师批改、同学互评、自我评价等多种评价方式。

3. 反馈机制：及时反馈学生的作业情况，指出错误并给出改进意见。

五、作业反馈1. 个性化指导：针对学生在作业中出现的错误和不足，进行个性化的指导和辅导。

2. 总结提高：定期总结学生作业中出现的共性问题，进行集中讲解和辅导。

3. 激励措施：对完成优秀的同学给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。

六、附加建议为帮助学生更好地掌握抛物线的几何性质，建议学生在课后复习时进行以下额外练习：- 绘制不同类型抛物线的图形，加深对抛物线形状的理解。

- 寻找生活中的抛物线实例，如喷泉、投篮等，分析其运动轨迹。

- 探索抛物线与其他数学知识的综合应用，如与三角函数、不等式等的结合问题。

思考
因 此 向 量 OA (cos ,sin ) ， 向 量 OB (cos ,sin ) ， 且
OA 1 , OB 1．
总结
于是 OA OB OA OB cos( ) cos( ) ，
归纳
又 OA OB cos cos sin sin ， 所以 cos( ) cos cos sin sin ． （1）
【教学难点】
难点是公式的推导和运用．
【教学设计】
在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到 cos(60 30) cos60 cos30 ，
然后提出如何计算 cos( ) 的问题．利用矢量论证 cos( ) 的公式，使得公式推导过 程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例 1 和例 2 都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广 sin(π ) cos 时，
II
中职数学拓展模块全册教案精编【配套高教版教材】
1．1 两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）
【教学目标】
知识目标： 理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的 计算和化简． 能力目标： 学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．
【教学重点】
本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．
2
2
观察 思考 理解
学生 自我 发现 归纳
= 3 cos sin =左边．
故原式成立．
证 2 左边= 2( 3 cos 1 sin )
2
2
= 2(sin π cos cos π sin)
3
3
= 2sin( π ) =右边． 3
故原式成立．

《抛物线的几何性质》学历案（第一课时）一、学习主题本学习主题为中职数学课程中的《抛物线的几何性质》。

抛物线作为基本几何图形之一，在数学领域有着广泛的应用，同时也是物理、工程等学科的重要研究内容。

通过本课的学习，学生将掌握抛物线的基本概念、几何性质和计算方法，为后续的数学学习及实际应用打下基础。

二、学习目标1. 理解抛物线的基本概念，掌握抛物线的标准方程。

2. 掌握抛物线的几何性质，包括对称性、顶点、焦点和准线等。

3. 学会利用抛物线的几何性质解决简单的数学问题。

4. 培养学生的空间想象能力和数学应用能力。

三、评价任务1. 评价学生对抛物线基本概念的掌握情况，能否正确理解并描述抛物线的基本特征。

2. 评价学生对抛物线标准方程的理解和应用能力，能否正确运用标准方程进行计算。

3. 评价学生对抛物线几何性质的理解和掌握情况，能否准确判断抛物线的对称性、顶点、焦点和准线等。

4. 评价学生解决实际问题的能力，能否将所学知识应用到实际问题中，并正确解答。

四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例（如喷泉、投篮运动轨迹等）引入抛物线的概念，激发学生的兴趣。

2. 新课学习：讲解抛物线的基本概念、标准方程及其几何意义。

重点讲解抛物线的几何性质，包括对称性、顶点、焦点和准线等。

通过图示和实例分析，帮助学生深入理解。

3. 课堂互动：学生提问、讨论，教师解答并引导学生深入思考。

通过小组合作学习，互相交流学习心得和解题方法。

4. 巩固练习：布置相关练习题，包括选择题、填空题和计算题等，让学生运用所学知识进行练习。

5. 课堂总结：总结本节课的学习内容和学习重点，强调抛物线几何性质的理解和应用。

五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或作业纸等方式，检测学生对本节课知识点的掌握情况。

2. 课后作业：布置适量的课后作业，包括抛物线几何性质的运用和实际问题解决等，帮助学生巩固所学知识。

六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在本次学习中的收获和不足，总结学习方法和解题技巧。

抛物线教学设计抛物线优质教案一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第四章第四节《抛物线》，详细内容包括：1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 抛物线在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程；2. 能够分析抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 学会运用抛物线知识解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线的性质及其在实际问题中的应用；2. 教学重点：抛物线的定义、标准方程及性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入：利用多媒体展示抛物线在实际生活中的应用，如篮球投篮、抛物线运动等，引导学生观察并思考抛物线的特点。

2. 例题讲解：（1）抛物线的定义及标准方程；（2）抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；（3）抛物线在实际问题中的应用。

3. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线，并给出理由；（2）求抛物线 y = 2x^2 + 4x + 3 的顶点、对称轴、焦点和准线；（3）已知抛物线的顶点为（1, 3），过顶点的直线与抛物线相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。

4. 小组讨论：学生分组讨论，共同解决随堂练习中的问题，教师巡回指导。

六、板书设计1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质；3. 例题解答步骤；4. 随堂练习解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线 y = x^2 + 4x + 5 的顶点、对称轴、焦点和准线；（2）已知抛物线的焦点为（2, 0），求抛物线的标准方程；（3）抛物线 y = 2x^2 + 4x 3 与直线 y = x + 1 相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。

2. 答案：（1）顶点：（2, 9），对称轴：x = 2，焦点：（2, 3），准线：y = 3；（2）抛物线的标准方程：y = 4(x 2)^2；（3）中点C的坐标：（1/2, 7/4）。

职高数学抛物线讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向职业高中学生深入讲解抛物线的相关知识。

抛物线是数学中一种重要的曲线，它在日常生活和各种科学技术领域都有广泛的应用。

通过本节课的学习，学生应能理解抛物线的定义，掌握其标准方程和基本性质，并能够运用抛物线知识解决实际问题。

2、教学对象本节课的教学对象是职业高中一年级的学生。

他们已经在初中阶段学习了基础的几何知识，具备一定的数学基础，但在抽象思维和问题解决能力上还有待提高。

此外，考虑到职业高中学生具有较强的实践应用需求，本节课将注重理论联系实际，激发学生的学习兴趣和积极性。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及图形特点；（2）学会运用抛物线知识解决实际问题，如物体运动轨迹等；（3）掌握抛物线的基本性质，如顶点、焦点、准线等概念，并能够运用这些性质分析解决问题；（4）提高数学抽象思维能力，能够将实际问题转化为抛物线数学模型。

2、过程与方法（1）通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主发现抛物线的性质，培养他们的探究能力；（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生运用抛物线知识解决实际问题，培养他们的创新意识和解决问题的能力；（3）借助几何画板等教学工具，让学生直观地观察抛物线的图形变化，加深对抛物线概念的理解；（4）组织课堂讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养他们的合作精神和交流能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学习的兴趣，使他们认识到数学在现实生活中的重要作用；（2）培养学生勇于探索、敢于质疑的科学态度，让他们在解决问题过程中体验到成功的喜悦；（3）引导学生树立正确的价值观，认识到学习抛物线等数学知识对于个人成长和职业发展的意义；（4）通过抛物线知识的学习，培养学生良好的审美观念，提高他们的综合素质。

三、教学策略1、以退为进在本节课的教学中，采用“以退为进”的策略，即在教学过程中，教师有意识地从复杂的问题出发，逐步引导学生退到基础知识，然后再从基础出发，逐步深入，达到对抛物线知识的深刻理解。

《抛物线的几何性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生掌握抛物线的基本几何性质，包括标准方程、焦点、准线等概念，通过实际问题的解决，提高学生的数学应用能力和解题技巧。

二、作业内容1. 基础练习：（1）理解抛物线的标准方程，并能根据给定的条件写出相应的抛物线方程。

（2）理解焦点和准线的概念，能根据抛物线方程找出对应的焦点和准线。

（3）通过简答题形式，理解并描述抛物线的开口方向、顶点、对称性等基本几何性质。

2. 应用拓展：（1）结合实际生活问题，设计一个与抛物线相关的应用题，如抛物线形状的喷水器射程问题等，要求学生运用所学知识进行分析和计算。

（2）设计一个简单的抛物线绘图作业，要求学生利用已知的抛物线方程，在坐标系中绘制出相应的抛物线图形。

3. 思考题：（1）讨论不同形式抛物线的几何性质异同，分析其在实际中的应用。

（2）思考如何利用抛物线的性质解决更复杂的问题，如抛物线与直线的交点问题等。

三、作业要求1. 按时完成：学生需在规定时间内完成作业，以保证学习进度。

2. 独立完成：作业需学生独立思考完成，不得抄袭他人答案。

3. 规范书写：作业书写需规范、整洁，计算过程要详细，方便教师批改和了解学生思路。

4. 认真审题：学生需认真审题，准确理解题目要求，避免因理解错误导致答案偏差。

5. 及时反馈：学生在完成作业后需及时将作业交给教师，以便教师及时批改和反馈。

四、作业评价本作业的评价将从以下方面进行：（1）知识掌握程度：评价学生对抛物线基本知识的掌握情况。

（2）解题能力：评价学生运用所学知识解决实际问题的能力。

（3）作业规范程度：评价学生作业书写的规范性和整洁度。

（4）创新思维：评价学生在思考题中的创新思维和解决问题的能力。

五、作业反馈教师批改完作业后，将根据学生的完成情况进行反馈。

对于表现优秀的学生给予表扬和鼓励；对于存在问题的地方，将指出并给出改进建议。

同时，教师还将根据学生的作业情况调整教学计划，以更好地满足学生的学习需求。

抛物线教案教案抛物线教学设计与实施一、教学目标1.让学生理解抛物线的定义、标准方程和基本性质，能够画出简单的抛物线图形。

2.培养学生运用数学语言表达、分析和解决实际问题的能力。

3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二、教学内容1.抛物线的定义和标准方程2.抛物线的焦点、准线和对称轴3.抛物线的图形和性质4.抛物线在实际问题中的应用三、教学重点与难点1.教学重点：抛物线的定义、标准方程和基本性质。

2.教学难点：抛物线的图形理解和应用。

四、教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，如抛物线运动、抛物面天线等，引导学生了解抛物线在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：（1）抛物线的定义：以一个点为焦点，到这个点的距离等于到一条直线的距离的点的轨迹。

（2）抛物线的标准方程：y^2=4ax（开口向右）、x^2=4ay（开口向上）。

（3）抛物线的焦点、准线和对称轴：焦点为（a,0），准线为x=-a，对称轴为y轴。

（4）抛物线的图形和性质：图形为U形或倒U形，性质包括对称性、顶点、焦点、准线等。

3.实践应用：（1）画出给定焦点的抛物线。

（2）已知抛物线上的点，求抛物线的标准方程。

（3）利用抛物线的性质解决实际问题，如求抛物线与直线的交点、抛物线上的切线等。

4.总结反馈：通过课堂小结，让学生回顾本节课所学内容，巩固知识点。

五、作业布置1.课后习题：完成教材中抛物线相关习题。

2.拓展练习：研究抛物线在实际问题中的应用，如抛物线运动、抛物面天线等。

六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

同时，关注学生的学习兴趣，注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力。

在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力。

同时，注重师生互动，鼓励学生提问，激发学生的思维活力。

在教学评价方面，采用多元化评价方式，关注学生的全面发展。

需要重点关注的细节是“实践应用”部分。

课时教学设计首页（试用）
太原市教研科研中心研制
第1页（总页）
课时教学流程
思考
引导学生发
题问解决现太原市教研科研中心研制（总页第2 页）课时教学流程
太原市教研科研中心研制（总页第3 页）课时教学流程
轴的正半轴上，并= ，，故抛物轴的正半轴上，并= 1．x轴的负半轴上，并且（2）由于焦点在p2???，2 p = 4．即
2y?x?8故抛物线的标准方程为．1?x（3）由准线方程为x轴的负半轴上，并且知，焦点在2太原市教研科研中心研制 4 第页（总页）
课时教学流程
太原市教研科研中心研制页第5 （总页）
课时教学流程
*归纳小结强化思想回忆本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？培养*自我反思目标检测反思学习过程的能本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的反思力学习效果如何？
．根据下列条件，求抛物线的标准方程：1 动手求解4)F(0,?（1；）焦点为2y??）准线方程为2（．太原市教研科研中心研制第（总页6 页）
课时教学流程
太原市教研科研中心研制第（总7 页页）
课时教学设计尾页（试用）
太原市教研科研中心研制
第8页（总页）
文档已到结尾，仔细阅读满以后在买。

如果不全不要购买。

另外考试资料请去“学资学习网”查找。

专项复习(四) 语文综合实践(含应用文)一、标点符号1．下列句子中标点符号使用正确的一项是(C)A．如何引导学生正确使用网络资？这是值得家庭、学校和社会共同关注的重要问题。

B．“在考场上千万别慌，”老师再三对我们说：“做题前一定要看清题目要求，答题要完整。

”C．每年端午节(农历五月初五)，人们总要用吃粽子、划龙舟等方式纪念伟大诗人屈原。

D．今年暑假，爸爸打算带我到小说“边城”中故事发生的原型地——湘西茶垌镇去旅游。

(解析：A项是陈述问，应将问号改为逗号；B项冒号应改为逗号；D项“边城”应用书名号。

)2．下列句子中标点符号使用有误的一项是(D)A．地位，还是名利？物质，还是精神？人究竟应当要什么？这是我常常自问的问题。

B．杨绛的学生这样评价她：无事，绝不惹事；有事，绝不怕事。

C．昆曲是一种历史悠久的戏曲剧种。

她雍容典雅，仪态万方；她影响深广，美名远扬。

D．《说文解字》解释“雪”的含义时指出：“雪，凝雨也”。

也就是说，雪是由雨凝结而成的。

(解析：D项引用的句子完整独立，不作句子成分，第一个句号应该在引号内。

)3．下列句中标点符号使用有误的一项是(A)A．水是人类赖以生存的特殊资。

一些国家正面临水资危机，这些国家的农业、工业、人民的生活、健康都受到威胁。

B．谁不承认春天是美好的？诗人白居易曾这样说：“遇物尽欢欣，爱春非独我。

”C．他主持的这台晚会，肯定看点多多。

这台晚会到底会有哪些新变化和独特的精彩，观众拭目以待。

D．虹在东方，有雷无雨；虹在西方，将有大雨。

(解析：A项中“农业”与“工业”是并列的，而“生活”与“健康”是并列的，但“农业、工业”与“人民的生活、健康”之间不是并列的，应用逗号。

) 4．下列句中的标点符号，使用不正确的一项是(D)A．“中国梦”的实现，需要每个炎黄子孙的共同努力与大义担当。

B．有位哲人说过：“这个世界上，最重要的就是阳光、空气、水和笑容。

”C．给成功者一个微笑，那是赞赏；给失败者一个微笑，那是鼓励。

《抛物线的几何性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解抛物线的概念，掌握抛物线的标准方程及其形式，能够正确画出抛物线图形。

2. 过程与方法：通过观察、分析、探究抛物线的几何性质，培养观察、分析、解决问题的能力。

3. 情感态度价值观：理解抛物线的实际应用价值，激发学习数学的兴趣和求知欲。

二、教学重难点1. 教学重点：掌握抛物线的标准方程及其形式，正确画出抛物线图形。

2. 教学难点：理解抛物线的焦点弦等性质，解决相关应用问题。

三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、粉笔、几何画板等多媒体教学设备。

2. 搜集相关教学资源，包括实物模型、图片、视频等，以备在教学中使用。

3. 提前设计好课堂互动问题，引导学生积极参与讨论，加深对知识点的理解。

4. 制定合理的考核方式，以检验学生对本节课知识的掌握情况。

四、教学过程：本节课是《抛物线的几何性质》第一课时，由于本节课内容较多，所以分两课时完成。

第一课时的重点是掌握抛物线的基本性质和运用。

教学过程的设计如下：（一）导入通过回顾椭圆的相关性质，让学生思考如何研究抛物线的性质，并给出抛物线的概念和标准方程。

（二）新知探究1. 探究开口方向引导学生观察标准方程，明确开口方向，得出结论：开口方向由|a|决定。

2. 探究对称轴通过观察标准方程中x的符号，得出结论：对称轴为y轴。

3. 探究焦点和准线根据标准方程，引导学生得出焦点和准线的位置，并总结出抛物线的定义。

（三）例题讲解通过例题讲解，让学生更好地理解和掌握抛物线的性质，并学会如何运用这些性质解决实际问题。

（四）课堂练习让学生完成一些与抛物线有关的练习题，以检验学生对新知识的掌握情况，并发现存在的问题。

（五）小结与作业1. 小结本节课的主要内容，包括抛物线的定义、开口方向、对称轴、焦点和准线等。

2. 布置作业，包括一些与抛物线有关的练习题和思考题，以进一步巩固和拓展学生对新知识的掌握。

（六）课后反思对本节课的教学效果进行反思，总结优点和不足之处，为今后的教学提供参考。

【关键字】标准抛物线的标准方程一、教学目标(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．(二)能力训练点要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．(三)学科渗透点通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：抛物线的定义和标准方程．2．难点：抛物线的标准方程的推导．三、活动设计提问、回顾、实验、讲解、板演、归纳表格．四、教学过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．首先，利用篮球和排球的运动轨迹给出抛物线的实际意义，再利用太阳灶和抛物线型的桥说明抛物线的实际用途。

(二)抛物线的定义1．简单实验（利用多媒体演示）如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．2．定义这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后分析小结建立坐标系的方案。

最优方案：取过焦点F且笔直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的笔直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：分析四种情况的相同点和不同点：相同点（1）经过为原点;（2）对称轴为坐标轴;（3）原点到焦点的距离等于原点到准线的距离，其值为p/2.不同点（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;(2)一次项系数为正（负），则开口向坐标轴的正（负）方向.(四)四种标准方程的应用例题１：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．方程是x2=-8y．变式练习：1.根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)焦点是F（0，3）；(2)准线方程是x=1/4；(3)焦点到准线的距离是2,且焦点在x轴上；.2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程(1)y2=28x;(2)4x2=3y;(3)2y2+5x=0;(4)y=4x2例2、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。

授课题目3.3抛物线选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课以“平南三桥”为例创设情境，帮助学生形成直观感受“生活中的抛物线”.然后通过一个实验展示里抛物线的形成过程，引导学生分析抛物线上的点所满足的几何条件，为建立抛物线的标准方程创造条件，通过建立合适的平面直角坐标系，推导了焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程. 最后，借助抛物线的图像，从抛物线的范围、对称性、顶点、离心率四个方面研究了抛物线的几何性质.教学目标知道抛物线的概念及形成过程，知道如何化简形成抛物线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据抛物线的方程说出抛物线的几何性质，能根据条件求出抛物线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.教学重点抛物线的标准方程及性质.教学难点抛物线标准方程四种情形的区分和应用．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入平南三桥位于广西壮族自治区，是2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥，多项技术填补了世界拱桥空白，成为“中国桥梁”建造的新名片. 观察下图，桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？提出问题引发思考思考分析回答创设情境帮助学生直观感受“生活中的抛物线”新知探索可以看出，拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线，人们称之为抛物线．那么，如何画出抛物线呢？我们可以通过一个实验来完成.(1)将一把直尺固定在画板上，再取一个直角三角板,紧靠直尺的一边l放置：(2)取一条拉链，把它的一端固定在三角板的顶点C处，另一端固定在画板上的点F处；(3)将笔尖(点M)放在拉链锁扣处保持锁扣与C端的拉链部分讲解说明展示图形引发思考理解思考结合图形思考问题引导学生分析抛物线上的点所满足的几何条件，为建立抛始终在CA上，让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移动，就画出了一段曲线；(4)当直角三角板的边AC 经过点下时，向下翻转三角板．保持锁扣与C端的拉链部分始终在CA 上，让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动，笔尖又画出一段曲线.显然,笔尖(即点M )始终保持到定点F的距离与到直尺边l的距离相等(|MF|=|MC|).一般地，把平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点F称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线. 说明领会物线的标准方程创造条件情境导入3.3.1抛物线的标准方程我们从椭圆和双曲线的定义出发，通过建立合适的平面直角坐标系，分别求出了椭圆和双曲线的方程. 那么，如何从抛物线的定义出发，建立恰当的平面直角坐标系来求出抛物线的方程呢？提出问题引发思考思考分析回答渗透类比的思想探索新知取过焦点F且垂直于准线l 的直线为x轴；记x轴与准线l 的交点为 E，以线段EF的垂直平分线为y轴，如图所示.设焦点到准线的距离为 p(p>0)，即|EF|=p，则焦点F的坐标为(,0)2p，准线l的方程为2px=-.设M(x,y)为抛物线上的任意一点，点M到l的距离为|MN|，则有|MF|=|MN|.于是，可得2222p px y x-⎛⎫+=+⎪⎝⎭.将上式两边平方得22222p px y x-⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.展开并整理得y²=2px(p>0).上面方程称为抛物线的标准方程.讲解说明展示图像引发思考讲解理解思考观察图像分析问题理解注意强调抛物线方程中参数p的几何意义，引导学生观察图像与标准方程之间的联系，引导学生观察图像与标准方程之间的联类似地，通过建立不同的平面直角坐标系，可以得到抛物线其他三种形式的标准方程：y ²=-2px，x²=2py，x²=-2py. 它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表: 指导总结分析比较系，正确区别四种标准方程.可归纳为“一次定轴，正负定向”．典型例题例1根据条件，求抛物线的标准方程.(1)焦点为F(0,-3)；(2)准线方程为x=1；(3)焦点在y轴的正半轴上，并且p=3.解(1)由于焦点在y轴的负半轴上，故抛物线有形如x²=-2py的标准方程. 因为32p-=-，所以p=6，从而抛物线的标准方程为x²=-12y；(2)由准线方程为x=1可知，焦点在x轴的负半轴上，故抛物线有形如y²=2px的标准方程. 因为12p=，所以p=2，从而抛物线的标准方程为y²=-4x；(3)由于焦点在y轴的正半轴上，故抛物线有形如x²=2py的标准方程. 引起p=3，所以抛物线的标准方程为x²=6y.例2 求下列抛物线的交点坐标和准线方程.(1)y²=8x；(2)x²+4y=0.解(1)由抛物线标准方程可知，抛物线的焦点在x轴的正提问引导讲解强调指导思考分析解决交流主动求解例1是利用定义直接解决问题例2要引导学生先探索新知下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质.1.范围在方程y²=2px中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y轴的右侧，如图所示.当x的值增大时，y²的值也随着增大，即|y|的值增大. 这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸.这说明,抛物线向右上方和右下方无限延伸.2.对称性在方程中，将y换成-y，方程不改变.这说明抛物线关于x轴对称.一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴.3.顶点在方程中，令y=0，得x=0. 因此,抛物线的顶点为原点.一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点.4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作e. 由抛物线的定义知，e=1.探究与发现为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？讲解说明展示讲解讲解展示说明理解思考领会理解理解思考领会抛物线的性质与椭圆、双曲线比较起来差别比较大探究与发现体现数学知识的应用典型例题例3 根据条件，求抛物线的标准方程.(1)关于y轴对称，且过点P(4,-2) ；(2)对称轴为坐标轴，且过点P(10,5).解(1)由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上.设拋物线的标准方程为x2=-2py(p>0).将点P的坐标(4,-2)代人方程，得42=-2p·(-2)，解得p=4.因此，抛物线的标准方程为x2=-8y；(2)设所求抛物线的标准方程为：y²=2p1x或x2=-2p2y，将点P的坐标(10,5)分别代人上述两个方程，得5²=2p1×10或102=-2p2×5，解得154p=或p2=10.故抛物线的标准方程为252y x=或x2=20 y.温馨提示当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论.提问引导讲解强调提问引导讲解强调思考分析解决交流思考分析解决交流例3要强调不明确抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论例4 用“描点法”画出抛物线y²=4x的图形.分析抛物线具有对称性，因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.解当y≥0时,抛物线的方程可以变形为y²=2x(x≥0).在[0,+∞)上，选取几个整数作为x的值，计算出对应的y值，列表以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形. 然后利用对称性，画出全部图形.例5如图(1)所示，一条隧道的顶部是抛物线拱，拱高为2m，跨度为6m，求拱形纵截线所在的抛物线方程.解以拱形纵截线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则抛物线方程可设为x²=-2py.设拱形的两个端点分别为点A、B.则由拱高为2m和跨度为6m可得AB两点的坐标分别为(-3,-2)、(3,-2)．把点B的坐标代人方程x²=-2py，可得94 p=.因此，拱形纵截线所在的拋物线方程为29 2x y=-(-3≤x≤3). 提问引导讲解强调思考分析解决交流例4作图时，利用了抛物线的轴对称性，要注意直观想象素养的培养例5是抛物线的实际应用问题巩固练习练习3.3.21. 根据条件，求抛物线的标准方程.(1)准线方程为x=4；(2)焦点为F(0,-3)；(3)关于x轴对称，且过点(5,-4)；(4)对称轴为坐标轴，且过点(6,3).2. 在直角坐标系中，画出下列拋物线的图像.提问思考及时掌握学生掌握情况查漏。

《抛物线的几何性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握抛物线的定义和标准方程；2. 理解抛物线的几何性质（开口方向、对称性、焦点弦、离心率等）；3. 学会运用几何性质解决简单的实际问题。

二、作业内容1. 预习抛物线的标准方程和几何性质，并完成以下题目：(1) 画出不同开口方向的抛物线图象；(2) 分别描述焦点弦与距离公式之间的关系；(3) 离心率的变化对抛物线形状有何影响？2. 收集身边的抛物线实例，如：篮球架、拱桥等，并尝试用所学的几何性质进行解释。

3. 完成一份作业报告，包括以下内容：(1) 对抛物线定义、标准方程和几何性质的理解；(2) 运用几何性质解决实际问题的过程和结果；(3) 在学习过程中的困惑和收获。

三、作业要求1. 独立完成作业报告，严禁抄袭；2. 作业报告字迹工整，语言流畅，逻辑清晰；3. 针对作业中的难点和困惑，提出自己的问题，并在后续课堂中寻求解答；4. 作业报告中的实际例子应贴近生活，具有普遍性和代表性。

四、作业评价1. 教师根据作业报告的完成质量，对知识点掌握程度进行评分；2. 观察学生在课堂讨论和课后反馈中的表现，评估学生对抛物线几何性质的理解和应用能力；3. 鼓励学生在作业报告中提出自己的问题和困惑，以此了解学生的学习难点，并在后续教学中进行调整和优化。

五、作业反馈1. 学生根据教师和同学的反馈，对自己的作业进行反思和总结，发现问题并寻求解决方法；2. 教师定期收集学生的作业反馈，了解教学效果和学生掌握程度，以便调整教学策略和方向。

通过本次作业，学生不仅能够深入理解和掌握抛物线的几何性质，还能够培养其观察生活、发现问题和解决问题的能力，为后续的数学学习和实际应用打下坚实的基础。

同时，教师也能通过作业反馈，更好地了解学生的学习状况和需求，从而提供更有针对性的教学指导。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 巩固学生对抛物线几何性质的理解和掌握；2. 提高学生运用知识解决实际问题的能力；3. 培养学生的自主学习和合作探究精神。

第2章 椭圆、双曲线、抛物线
2.3 抛物线
创
下面根据方程
设
情
y2 2 px ( p 0)
境
兴
来研究抛物线的性质．
趣
引
入
1．范围 在标准方程y2 2 px 中，因为 p 0，y2 ≥ 0 ，所以抛物线
上的点横坐标，都满足x≥0．于是，抛物线在y轴的右侧（如
动
图），并且当x的值增大时，|y|也增大．这说明抛物线向右上
脑 思
方和右下方无限延伸．
考
探 索 新 知
2．对称性
在标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明抛物
线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
动 脑 思 考
探 索 新 知
3.顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在抛物线的
标准方程中，令y = 0，得x = 0．因此，抛物线的顶点为坐标
物线上一点M（a，―3）到焦点的距离为5，求抛物线
自
的标准方程．
我
反
思
x2 8y.
目 标 检 测
读书部分：阅读教材相关章节
继
书面作业：教材习题2.3（必做）
续
学习指导2.3（选做）
探
索
实践调查：用本课所学知识解决
活
生活中的实际问题
动
探
究
巩
解 设所求抛物线的标准方程为
固
y2 2 p1x或x2 2 p2 y，
知
将点M的坐标分别代入方程，得
识
(10)2 2 p1(5)或(5)2 2 p2(10)，
典 型
解得
p１
10或p2

5 4

O
FX
2、对称性： 关于x轴对称，x轴是其对称轴。
3、顶点：（0，0）即坐标原点。
焦点与顶点的连线垂直与准线， 顶点平分焦点到准线的距离。
(4)离心率 e=1
y
M（x0,y0）
(5)焦半径 (6)通径
OF
x
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。
通径的长度：2p 通径是最短的焦点弦
知识回顾 一、抛物线定义与标准方程 1、抛物线的定义：
.M .
F
－－抛物线标准方程
二、抛物线的标准方程(p>0) 图形 焦点坐标 准线方程 标准方程
Y FX
O
Y
F
X
Hale Waihona Puke OFY XO
O
Y FX
新课
抛物线的几何性质
Y
对于抛物线
1、范围： x≥0,y∈(-∞,+∞)
准 线
焦点
即：图象在Y轴的右恻，向上、向下可以 无限地延伸。
解：设抛物线的方程为：
由
得：
设直线与抛物线交于
两点
解得：a= - 8 或a= 16
所以，所求的抛物线方程为：
或
例2.已知△OAB(O为坐标原点)是抛物线y² = 4x的 内接正三角形，求△OAB的面积。
解：设A(x1,y1)、 B(x2,y2)，依题意得：y
A
由（1）（2）（3）易得：x1 = x2 o ∴∠AOX=30°，故直线OA: 代入抛物线方程得点A坐标A ∴△OAB的面积为：
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以 无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

【课题】2．3抛物线（二）
【教学目标】
知识目标：
了解各种抛物线标准方程所表示的性质．
能力目标：
学生的数学思维能力得到提高．
【教学重点】
四种抛物线标准方程所表示的性质．
【教学难点】
四种抛物线标准方程所表示的性质．
【教学设计】
从范围、对称性、顶点、离心率等方面研究抛物线的性质．抛物线与椭圆和双曲线相比，差别比较显著，其离心率为1，只有一个焦点，一条对称轴，一个顶点，一条准线．并且抛物线没有中心，因此通常将抛物线叫做无心曲线，而将椭圆和双曲线叫做有心曲线．例3是求抛物线的标准方程及作图的训练题．在求抛物线的标准方程时，使用了“待定系数法”，作图时，利用了抛物线的对称性．授课时要注意数学思想方法的渗透．例4是已知抛物线上的一个点的坐标，求抛物线标准方程的训练题．解决这类问题时，要根据已知点的位置，判断方程的类型．一般情况下有两个解．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
图2－15
．对称性
在标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明双曲x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴
．顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在抛物线的标准方程中，令y = 0，得x = 0．因此，抛物线的顶点为坐标原
图2－16
已知抛物线的顶点为原点，对称轴为坐标轴，并且，―10）．求抛物线的标准方程．
图2－17
设所求抛物线的标准方程为
221222y p x x p y =-=-或，的坐标分别代入方程，得
【教师教学后记】。

d 为 M 到 l 的距离
二、标准方程的推导
yy
H
M
·
C
如何建立坐标系呢？
y
00
l
·
F
xx
思考：抛物线是 轴对称图形吗？怎 样建立坐标系,才能 x 使焦点坐标和准线 方程更简捷?
0
y
M(x,y)
K o F
解：以过F且垂直于 l 的直
线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
2
l
1.建立坐标系 2.设动点坐标, 相关点的坐标. 3.列方程 4.化简,整理
两边平方,整理得
y 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
A
思考：通径是抛物线的 焦点弦中最短的弦吗？
F B

x
例3、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y 2 px （p 0）上，求这个
2
正三角形的边长.
y
A
O B
x
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
9 4
．
A
y
O
x
(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时， 把A(-3,2)代入y2 = -2px， 得 p=