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北京理⼯⼤学数学专业数理统计期末试题（07000233）课程编号：07000233 北京理⼯⼤学2011-2012学年第⼆学期2010级数理统计期末试题A 卷⼀、设总体()20,X N σ，12,,,m n X X X +是抽⾃总体X 的简单随机样本，求常数c 使得随机变量2221222212mm m m n X X X Y c X X X ++++++=?+++服从F 分布，指出分布的⾃由度并证明。
⼆、设总体()2,X N µσ，其中220σσ=为已知常数，R µ∈为未知参数。
12,,,nX X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，12,,,n x x x 为相应的样本观测值。
1.求参数µ的矩估计；2.求参数µ和2EX 的极⼤似然估计；3.证明1n i i i X X α='=∑，其中11ni i α==∑和11ni i X X n ==∑都是µ的⽆偏估计；4.⽐较两个⽆偏估计X '和X 的有效性并解释结果。
三、设总体X 服从泊松分布()P λ，123,,X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，设假设检验问题011:3;:3H H λλ==的否定域为(){}123,,0.5D X X XX =≤。
1.求该检验问题犯第⼀类错误的概率；2.求该检验问题犯第⼆类错误的概率和在1H 下的功效函数。
四、设总体X 的概率密度函数为()32,0,20,0xx e x f x x θθθ-?>?=??≤?，其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本。
1.验证样本分布族是指数族，并写出其⾃然形式（标准形式）；2.证明()1nii T X X==∑是充分完全（完备）统计量，并求()ET X ；3.利⽤充分完全统计量法和Cramer-Rao 不等式⽅法证明113n i i X n =∑是1θ的⼀致最⼩⽅差⽆偏估计。
《概率论与数理统计》期末考试试题A一、填空题（每题3分，共15分）1、已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则()=Z E ____________．2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P3、设二维随机变量()Y X ,的分布列为若X 与Y 相互独立，则βα、的值分别为 。
4、设 ()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 ()D X Y -=___ _5、设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布.二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 (A) 11a a b -+-； (B) (1)()(1)a a a b a b -++-； (C) a a b +； (D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是【 】(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ;(C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =.3、设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布()1,0N 和()1,1N ，则【 】 (A)()210=≤+Y X P ； (B) ()211=≤+Y X P ；(C)()210=≤-Y X P ； (D)()211=≤-Y X P 。
4、 如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有【 】（A ）X 与Y 独立；（B ）X 与Y 不相关；（C ）0=DY ；（D ）0=DX5、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 则随机变量()Y X Z ,max =的分布律为【 】(A)()()211,210====z P z P ； (B) ()()01,10====z P z P ； (C) ()()431,410====z P z P ；(D) ()()411,430====z P z P 。
北京交通大学2018~2019学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）一．（本题满分8分）某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）．解：设=A “某学生数学考试不及格”，=B “某学生语文考试不及格”．由题设，()11.0=A P ，()07.0=B P ，()02.0=AB P ．⑴所求概率为()()()11211.002.0===A P AB P A B P ．⑵所求概率为()()()()()()7507.002.007.0=-=-==B P AB P B P B P B A P B A P ．二．（本题满分8分）两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率．解：设=A “任取一个零件是不合格品”，=B “任取一个零件是第一台车床加工的”．所求概率为()A B P ．由Bayes 公式得()()()()()()()B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=11503.03205.03105.031=⨯+⨯⨯=．三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它02cos πx x C x f ．⑴求常数C （3分）；⑵现对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求()2Y E （5分）．解：⑴由密度函数的性质，()1=⎰+∞∞-dx x f ，得()C xC dx x C dx x f 22sin 22cos 10====⎰⎰+∞∞-ππ，因此，21=C ．⑵由于()212112sin 2cos 213333=-====⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎰⎰+∞ππππππx dx x dx x f X P ．所以，随机变量Y 的分布列为()kk C k Y P ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==214，()4,3,2,1,0=k ．所以()()∑==⋅=422k k Y P kYE 51614164316621641161022222=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=．四．（本题满分8分）在正方形(){}1,1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个实根的概率．解：设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ．设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ．因此该试验的样本空间与二维平面点集(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：中的点一一对应．随机事件A 与二维平面点集(){}04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2：中的点一一对应．所以，()241312412214113112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==--⎰p p dp p D D A P A 的面积的面积．五．（本题满分8分）一个工厂生产某种产品的寿命X （单位：年）的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex f x．该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望．解：设Y 为工厂售出一个产品的净赢利，则⎩⎨⎧<-≥=13001100X X Y 所以，{}{}300300100100-=⋅-=⋅=Y P Y P EY {}{}13001100<⋅-≥⋅=X P X P ⎰⎰-+∞-⋅-⋅=14144130041100dxe dx e xx5203.1113001004141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--e e六．（本题满分9分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．求X 与Y 的相关系数YX ,ρ．解：由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-，所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ，()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ，()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y YE Y，所以，()()()()1813161var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，()()()()923232var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ，()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===1220222012,dx y x xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181var var ,cov ,-=-==Y X Y X YX ρ．七．（本题满分9分）某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间()100,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的760±元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数()x Φ的某些取值：x 55.160.165.170.1()x Φ9394.09452.09505.09554.0解：⑴设i X 表示第i 位顾客的消费额，()400,,2,1 =i ．则有40021,,,X X X 相互独立，()100,20~U X i ，()400,,2,1 =i ．所以，()60=i X E ，()316001280var 2==i X ．再设X 表示餐厅每天的营业额，则∑==4001i i X X ．所以，()()240006040040014001=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i X E X E X E （元）．⑵由独立同分布场合下的中心极限定理，有{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯≤⨯-≤⨯-=≤-≤-3160040076031600400240003160040076076024000760X P X P ()901.019505.021645.123160040076031600400760=-⨯=-Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-Φ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯Φ≈．八．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pq k X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量．解：似然函数为(){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,,()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnxpnp L dp d nk k，解方程，得x p 1=．因此p 的极大似然估计量为ξ1ˆ=p．九．（本题满分8分）设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2var σ=X ，()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，X 是其样本均值．求()X E （4分）及()X D （4分）．解：()()μμμ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n n n X E n X n E X E n i ni i n i i 1111111，()()n n n n X nX n X ni n i i n i i 22212212111var 11var var σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布，其密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055x x e x f xX ．现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数．解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00055x x e x f xX ，Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055y y e y f yY 由题意，知Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则()()()()⎰⎰+∞-+∞∞--=-=55dxx t f edx x t f x f t f Y xYXT 作变换x t u -=，则dx du -=，当0=x 时，t u =；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得()()()()⎰⎰∞---∞--=-=tY utt Y u t T duu f eedu u f et f 55555当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ；当0>t 时，()t tu u tT te du e e et f 55552555-∞---=⋅=⎰综上所述，可知随机变量T 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00255t t te t f tT ．十一．（本题满分9分）设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？⑵求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计．解：①由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，因此其分布函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t f x F x xθ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnxxn x n enee n xf x F n x f -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ．即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．②由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n θ的指数分布，所以()()()nX E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤n a X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．十二．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．令aY X U +=，bY X V -=（a与b 都是常数），试给出随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件．解：由于随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布，又aY X U +=，bY X V -=，所以U 与V 也都是服从正态分布的随机变量．所以，U 与V 相互独立的充分必要条件是()0,cov =V U ．而()()bY X aY X V U -+=,cov ,cov ()()()()Y Y ab X Y a Y X b X X ,cov ,cov ,cov ,cov -+-=()()()21σab Y abD X D -=-=．因此，随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件是01=-ab ．。
第一章 概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（ ） A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面}2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（ ） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（ ）. A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C.)()(B A P B A P -=D.P(A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A )=15.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（ ）.A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A) 6.若φ≠AB ,则( ).A. A,B 为对立事件B.B A =C.φ=B AD.P(A-B)≤P(A)7.若,B A ⊂则下面答案错误的是( ). A. ()B P A P ≤)( B. ()0A -B P ≥C.B 未发生A 可能发生D.B 发生A 可能不发生8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++ D.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{9.(1,2,,)i A i n =为一列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()n ni i i i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ). A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b + 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则( )A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是( ).A.!!N n B. n Nn !C. nn N N n C !⋅D.Nn 13.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).A.r r P 3651365-B. rr r C 365!365⋅C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第一次抽的是不合格品},=2A {第二次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是( ). A.05.0)(1=A PB.)(2A P 的值不依赖于抽取方式(有放回及不放回)C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取方式15.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对 事件中,不独立的是( ). A.C AUB 与B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有一个中奖的概率为( ). A.4021 B.407 C. 3.0D. 3.07.02310⋅⋅C 17.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则( ). A.1)()()(-+≤B P A P C P B.1)()()(-+≥B P A P C P C.P(C)=P(AB)D.()()P C P A B =18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则( ). A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容 C. A 与B 不独立D. A 与B 独立19.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的 是( ). A.P(A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.P(B|A)>020.已知P(A)=P,P(B)=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有一个发生的概率为( ). A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在一次试验中事件A 发生的概率为P,现重复进行n 次独立试验 则事件A 至多发生一次的概率为( ). A.n p -1B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸 到一个白球的概率为8180,则袋中白球数是( ). A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为( ). A.0.5B.0.25C.0.125D.0.37524.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ). A.1B.21 C.52 D.32 25.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( ). A.81 B.83 C.85 D.87 26.甲,乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被击中的概率为( ). A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为( ). A.43 B.65C.32D.116 28.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ). A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ ）. A.135 B.4519 C.157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ). A.21 B.31 C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出一枚后，将它连续抛掷10次，结果全是“国徽”面朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（ ）.A.1001 B. 10099C.1010212+ D.10102992+ 32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机察看1只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( ). A.0.94B.0.14C.160/197D.420418419C C C + 二、填空题1.E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω.2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 康佳电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少出售一种品牌的电视机可以表示为 ；两种品牌的电视机都出售可以表示为 .3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示随机事件A 发生而B ，C 都不发生为 ；随机事件A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独立，则P （B ）= .5.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .7.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= .8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发生的概率为 .9.已知A 、B 两事件满足条件P （AB ）=P （AB ），且P （A ）=p,则P （B ）= . 10.设A 、B 是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= . 11．设两两相互独立的三事件A 、B 和C 满足条件：φ=ABC ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知 169)(=C B A p ，则______)(=A p . 12.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .13.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 .14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 .17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 .18．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 .19．一种零件的加工由三道工序组成，第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，第三道工序的废品率为3p ，则该零件的成品率为. 20．做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第二章 随机变量及其分布一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）. A.2-eB.251e -C.241e -D.221e -. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则( ). A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（ ）.A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +- 8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ). A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)(B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他，则1{}4P X >为( ).A.78B.14⎰C.141-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ).A.0.2417B.0.3753C.0.3830D.0.866415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σμ-B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（ ）. A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<（ ）. Ａ．单调增大 Ｂ．单调减少 Ｃ．保持不变 Ｄ．增减不定二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为 时， ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X 的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.06.011，则X 的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为： 且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<<x x 时，)(21x X x p <<= . 10．设随机变量),(~2σμN X，则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤<X p ，则_________)0(=≤X p . 13．设)2,3(~2N X，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ，若160=μ，欲使80.0)200120(=≤<X p ，允许最大的σ= .15.若随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 . 16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ . 17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为１／２，则μ= .第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则（ ）. A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -⎛⎫ ⎪===⎪⎝⎭且P 则12{}P X X ==( ). A.0 B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为: 则b a ,应满足( ). A ．1=+b aB. 13a b += C.32=+b a D.23,21-==b a7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（ ）. A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ).A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ==== B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X PD.21}{=≤Y X P9.设(X,Y)的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下面错误的是( ).A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独立D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=⎰⎰C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=⎰⎰D.⎰⎰≥=≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y Df x y ≠∈⎧=⎨⎩其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ).A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.⎰⎰-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.⎰⎰=≥DG dxdy y x h X Y P ),(}2{12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是( ). A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=∉G Y X PC.GDG S S D Y X P -=∉1}),{( D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统1π损坏时,系统2π开始工作，令21,X X 分别表示21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y +=D.},m in{211X X Y =14.设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=Y X Y X V Y X Y X U 则==}{V U P ( ).A.0B.41C.21D.4315.设(X,Y)服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是( ). A.),(~211σμN X B ),(~221σμN X C.若0=ρ,则X,Y 独立 D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布 16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则( ). A.))(,(~22121σσμμ+++N Y XB.),(~222121σσμμ---N Y XC.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X17．设X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（ ）.A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =，记1234X X D X X =,则==}0{D P （ ）.A.0.1344B.0.7312C.0.8656D.0.3830 19.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+~Z 则( ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( ).A.21B.22C.12-D.12+ 21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ) A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( ).A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ).A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为( ).A.21B.31C.41D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立，则Y X +( ). A.服从泊松分布 B.仍是离散型随机变量 C.为二维随机向量 D.取值为0的概率为026.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ).A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布B.0}{==Y X PC.Z 服从]2,0[上的均匀分布D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ).A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.2128.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( ).A. 0.4B.0.5C.0.6D.0.829.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( ).A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为( ).A.3π B.π3 C.π2 D.2π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ). A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X 相独立且都服从),(2σμN ,则( ). A.12n X X X === B.2121()~(,)n X X X N nnσμ+++C.)34,32(~3221+++σμN XD.),0(~222121σσ--N X X33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈=( ).A.G DS S B.GG D S S C.⎰⎰D dxdy y x f ),( D.⎰⎰Ddxdy y x g ),( 二、填空题1．),(Y X 是二维连续型随机变量，用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率： （1）;____________________),(=<≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=<<b Y a X p （3）;____________________)0(=≤<a Y p （4）.____________________),(=<≥b Y a X p2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满足的条件是 .3．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 .4．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则Y X ,相互独立当且仅当=ρ . 5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律，且X 的分布律为P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从 分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= .8.设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，则在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率为 ；二为随机变量（X ，Y ）的概率分布为 .9.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数 .10.设两个随机变量X 与Y 独立同分布，且P （X=-1）=P （Y=-1）=1/2，P （X=1）=P （Y=1）=1/2，则P （X=Y ）= ；P （X+Y=0）= ； P （XY=1）= .第四章 随机变量的数字特征一、选择题1．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（ ）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它，则()E XY =( ).A. 0B.1/2C.2D. 1 3. (X,Y )是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独立 4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D ( ).A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+5. 若X,Y 独立,则( ). A. DY DX Y X D 9)3(-=- B. DY DX XY D ⋅=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是( ). A. X,Y 独立B. ()D XY DX DY =⋅C. DY DX Y X D +=+)(D. DY DX Y X D -=-)(7.X,Y 为两个随机变量,且,0)])([(=--EY Y EX X E 则X,Y( ).A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关 8.设,)(DY DX Y X D +=+则以下结论正确的是( ).A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C. 1xy ρ=D. 1xy ρ=- 9.下式中恒成立的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=-)(C. (,)Cov X aX b aDX +=D. 1)1(+=+DX X D10.下式中错误的是( ).A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=- 11.下式中错误的是( ).A. 22)(EX DX EX +=B. DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为( ). A. 4.0,6==p n B. 1.0,6==p n C. 3.0,8==p n D. 1.0,24==p n13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有( ). A. 222)(C EX c X E -=- B. 22)()(μ-=-X E c X E C. DX c X E <-2)( D. 22)(σ≥-c X E14.()~(,),()D X X B n pE X =则( ). A. n B. p -1 C. p D.p-1115.随机变量X 的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n===()D X 则= ( ). A.)1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n 16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x,则)12(+X E =( ). A.1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为0，方 差为1，则（X ，Y ）的概率密度为（ ）. A. 22()21(,)2x y f x y e π+-=B. 22()2(,)x y f x y +-=C. 2()2(,)x y f x y +-=D. 2241(,)2x y f x y e π+-=18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX=( ). A.21 B. 31 C.61D. 121 19.,),1,0(~3X Y N X =则EY=( ). A.2 B.n 43 C. 0 D. n 3220. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( ).A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N 21. 设2(,),(,)X b n p YN μσ，则( ).A.2()(1)D X Y np p σ+=-+B.()E X Y np μ+=+C.22222()E X Y n p μ+=+D.2()(1)D XY np p σ=-22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为( ). A. ])11(1[nMM -- B.M n B. ])1(1[n M M - D. n Mn ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为( ). A. 1 B.-2 C.21D.41 24. 设1X ，2X ，3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY=( ).A. 14B.46C.20D. 9 25. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+=( ). A. 1 B.0 C.13 D. 4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥ 27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足( ). A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D. 相关系数为0 28. 设随机变量1210,,X X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===，则下列不等式正确的是（ ）.A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π=( ).A. 1B.0C.2D. -1 30.设(X,Y )服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E - 的值为( ).A. 0B.a 21C. a 31D. a 41 31. 下列叙述中正确的是( ). A. 1)(=-DX EXX DB.~(0,1)N C. 22)(EX EX = D. 22)(EX DX EX +=32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为( ). A. 1 B.2n C.2)1(+n n D. nn 1- 33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则.A.32 B. 31 C. 98D. 1 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为( ). A.e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为( ). A.e 376 B. e316C. 9D. 6 36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数，则DY=（ ）.A ． 169 B. 916 C. 43 D. 3437. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概 率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ). A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰ B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),( C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22 D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2)(=X D ，则{}==1X p .2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1，0，1，且2()0.1,()0.9E X EX ==，则X的概率密度是 .3．设随机变量2~(,)X N μσ，则X 的概率密度()f x =EX = ；DX = .若σμ-=X Y ，则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ，且5)(2=X E ，则X 的概率密度函数(24)0.3,p X <<=为 .5.若随机变量X服从均值为3，方差为2σ的正态分布，且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .6．已知随机变量X 的分布律为：则()E X = ，()D X = ，(21)E X -+= . 7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.8．抛掷n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ，求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 .10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望E （2X ）= .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E （Z ）= .第五章 大数定理及中心极限定理一、选择题1. 已知的i X 密度为()(1,2,,100)i f x i =,且它们相互独立,则对任何实数x , 概率∑=≤1001}{i i x X P 的值为( ).A. 无法计算B.100110011001[()]i i i i x xf x dx dx ==≤∑⎰⎰C. 可以用中心极限定理计算出近似值D. 不可以用中心极限定理计算出近似值2. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ).A. 91≤B. 31≤C. 91≥D. 31≥ 3. 设随机变量1X ,210,,X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===，则（ ）A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi iXP B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi iXPC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P 4. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中60发～100发的概率可近似为( ).A. (2.5)ΦB. 2(1.5)1Φ-C. 2(2.5)1Φ-D. 1(2.5)-Φ5. 设 1X ,2,,n X X 独立同分布,2,,1,2,,,i i EX DX i n μσ===当30≥n 时,下列结论中错误的是( ).A.∑=ni iX1近似服从2(,)N n n μσ分布B.niXn μ-∑(0,1)N 分布C. 21X X +服从)2,2(2σμN 分布D.∑=ni iX1不近似服从(0,1)N 分布6. 设12,,X X 为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且()1,2,i X i =服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确? ( )A.()lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑B. ()2lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑C. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑D. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p q p A P -==1,)(，则对 任意区间],[b a 有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npq np a P n n μlim ＝ .2、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0>ε，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∞→εμ||lim p n P n n = .3、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X p = .4、已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率= .第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3. 设总体均值为μ,方差为2σ,n 为样本容量,下式中错误的是( ). A.0)(=-μX E B. 2()D X nσμ-=C. 1)(22=σS ED. ~(0,1)X N4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是( ). A.22211()()nnii i i XX X n X ==-=-∑∑ B. 2S X 与相互独立C. 22])ˆ([)ˆ()ˆ(θθθθθ-+=-E D ED. 221[()]nii E X n μσ=-=∑ 5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x XN X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑6． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--B.12(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--7. 设总体服从参数为θ1的指数分布,若X 为样本均值,n 为样本容量,则下式中错误的是( ).A.θ=X EB. 2DX nθ=C. ()22(1)n E Xnθ+= D. ()221θ=XE8. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量9. 12,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S- 10. 在总体)4,12(~N X 中抽取一容量为5的简单随机样本,,,,,54321X X X X X 则}15),,,,{m ax (54321>X X X X X P 为( ).A. )5.1(1Φ-B. 5)]5.1(1[Φ- C. 5)]5.1([1Φ- D. 5)]5.1([Φ 11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为( ).A. 1)5.0(2-ΦB. 1)25(2-ΦC. 1)45(2-Φ D. 1)5.2(2-Φ 12. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C.320D. 265 13. 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211-14． 设12,,n X X X ，是来自总体)1,0(N 的简单随机样本，则∑=-ni i X X 12)(服从分布为（ ）.A ．)(2n x B. )1(2-n x C. ),0(2n N D. )1,0(nN15. 设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）.A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,21 16. 在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从2(,0.2)N a 分布,以n X 表示n 次称量结果的算术平均,则为了使n a X P n ,95.0}1.0{≥<-值最小应取作( ). A. 20 B. 17 C. 15 D. 1617. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑服从分布是( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中， 称为样本.2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4．设n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，样本均值_______________=X ，则样本标准差___________=S ；样本方差_________________2=S ；样本的k 阶原点矩为 ；样本的k 阶中心矩为 .5.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .6．设n X X X ,,,21 是来自（0—1）分布)}1{,1}0{(p X P p X P ==-==的简单随机样本，X 是样本均值，则=)(X E .=)(X D .7．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本，),,,()()2()1(n X X X 是顺序统计量，则经验分布函数为 8．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本，称 为统计量；9．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ . 10．设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n为样本容量，则常用的随机变量22)1(σnS n -服从分布.11．设n X X X ,,,21 为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，则样本均值∑==ni i X n X 11服从 ，又若i a 为常数),2,1,0(n i a i =≠，则∑=ni i i X a 1服从 .12.设10=n 时，样本的一组观测值为)7,4,8,5,4,5,3,4,6,4(，则样本均值为 ，样本方差为 .第七章 参数估计一、选择题1. 设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为（ ）.（A ）X1 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=-ni i X n 1211 （D ）X 2. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-n i i X X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计3. 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（ ） （A ）},,,m ax {21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,m in{},,,m ax {2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；4. 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，则a 的最大似然估计为（ ） （A ）},,,m ax {21n X X X （B ）X （C ）},,,m in{21n X X X （D ）1X X n -5. 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 6. 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧<<=-其他,010,),(1x ax a x f a （120),,,,n a x x x >是取自总体的一组样本值，则a 的最大似然估计为（ ）. A. ∑=-ni ixn1lnB. 11ln n i i x n =∑C. 11ln()ni i x n =-∑ D. ∑=-n i ix n 1ln8. 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,00),(6)(3θθθx x xx f ，n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为( ).A. XB. X 2C. ),,,m ax (21n X X XD.∑=ni iX19. 设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，),(21X X 是X 的一个样本， 则在下述的４个估计量中，（ ）是最优的.(A) 2115451ˆX X +=μ(B) 2124181ˆX X +=μ(C) 2132121ˆX X +=μ(D) 2143121ˆX X +=μ 10. 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（ ）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++ （C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+11. 设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）.（A ）22111ˆ()n i i X X n σ==-∑； （B ）22211ˆ()1n i i X X n σ==--∑； （C ）22311ˆ()n i i X n σμ==-∑； （D ）22411ˆ()1n i i X n σμ==--∑. 12. 设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）. 13. 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i ii X XK 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（ ） （A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 14. 下列叙述中正确的是（ ）.A ． 若θˆ是θ的无偏估计，则()2ˆθ也是2θ的无偏估计.B ． 21ˆ,ˆθθ都是θ的估计，且)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则1ˆθ比2ˆθ更有效. C ． 若21ˆ,ˆθθ都是θ的估计，且2221)ˆ()ˆ(θθθθ-≤-E E ，则1ˆθ优于2ˆθ D ． 由于0)(=-μX E ，故.μ=X15. 设n 个随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，2σ=X D ，∑==n i i X n X 11，∑=--=n i i X X n S 122)(11，则（ ）A. S 是σ的无偏估计量B. 2S 不是2σ的最大似然估计量C. nS X D 2= D. 2S 与X 独立16. 设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，即（ ）. A. ),(θθ以概率a -1包含θ B. θ 以概率a -1落入),(θθ C. θ以概率a 落在),(θθ之外D. 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -117. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12a P P =<+>θθθθ 18. 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（ ）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X19. 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（ ）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 20. n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别是总体),(211σμN 与),(222σμN 的样本，且相互独立，其中21σ,22σ已知，则21μμ-的a -1置信区间为（ ）A. ])2()[(22212121n S n S n n t Y X z a +-+±- B. ])[(2221212n n Z Y X a σσ+±-。
数理统计_北京理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.一个参数的矩估计是唯一的.参考答案:错误2.在假设检验中，【图片】表示原假设，【图片】表示备择假设，则称为第一类错误的是参考答案:为真，接受3.现有以下结论（1）泊松分布族【图片】是指数族. (2) 二项分布族{b(n,p),0参考答案:34.一项研究表明，司机在驾车时因为接打电话而发生交通事故的概率p超过15%，针对该问题提出如下原假设和备择假设H0：p<15%，H1:p≥15%.参考答案:错误5.设总体【图片】,其中【图片】未知，【图片】是从总体X中抽取的样本，在显著性水平【图片】下接受原假设【图片】，则当【图片】时，下列结论( )正确.参考答案:接受6.分别来自两个总体的两个样本，当样本容量充分大时，样本均值差的抽样分布近似服从正态分布.参考答案:正确7.假设总体服从泊松分布，从该总体抽取容量为200的样本，则样本均值近似服从正态分布.参考答案:正确8.假设检验中，α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量给定时，下列说法正确的是( ).参考答案:α和β不能同时减小9.在假设检验中，当我们做出拒绝原假设时，表示原假设一定是错误的参考答案:错误10.在正态总体的假设检验中，能用“≥”代替拒绝域的表达式中的“>”.参考答案:正确11.在假设检验中，检验两个正态总体方差是否相等利用（）进行检验.参考答案:F 分布12.下列哪一个（）不成立参考答案:均匀分布族是指数族13.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】越小，区间长度L越小.参考答案:正确14.相互独立正态随机变量的线性组合服从（）分布.参考答案:正态15.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，则样本二阶中心矩【图片】是总体方差【图片】的矩估计.参考答案:正确16.大样本性质和小样本性质的差别在于样本个数的多少.参考答案:错误17.设总体 X服从两点分布b(1,p)，其中0参考答案:错误18.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】越小，区间长度L不变.参考答案:错误19.在假设检验中，如果我们相信原假设是真的，而犯第二类错误又不会造成太大的影响，此时，检验的显著性水平应该取（）.参考答案:小些20.设总体X服从正态分布【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】，则【图片】的值与n有关.参考答案:正确21.对显著性水平为α的检验结果而言，犯第一类错误的概率( ).参考答案:不超过α22.检验单个正态总体方差所使用的分布是（）.参考答案:卡方分布23.在一个确定的假设检验问题中，如果拒绝域给定，与判断结果无关的因素是( ).参考答案:总体均值24.设总体X服从正态分布【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】，则【图片】的值为【图片】.参考答案:错误25.设【图片】,【图片】则【图片】参考答案:正确26.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，则样本方差【图片】是总体方差【图片】的矩估计.参考答案:错误27.Neyman-Pearson提出了假设检验的一条原则，通常是在限制犯第一类错误概率的条件下，寻找犯第二类错误概率尽可能小的检验.参考答案:正确28.设总体【图片】,其中【图片】均未知，如果样本容量n和置信水平【图片】都不变，对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度( ).参考答案:不能确定29.设【图片】为来自总体X的简单随机样本，下面不成立的是（）.参考答案:总体X服从均匀分布,,则（）是充分完全统计量.30.在假设检验中，增大样本容量，可以使第一类和第二类错误的概率同时减小.参考答案:正确31.假设检验的基本原则通常是控制犯第一类错误的概率不超过α ，然后，尽可能的减少第二类错误的发生.参考答案:正确32.显著性水平α的选取，对拒绝和接受原假设H0没有影响.参考答案:错误33.自由度为n的χ2变量的概率密度函数曲线随着n的增大趋于对称.参考答案:正确34.上α分位数是α的单调（）函数.参考答案:减35.如果把置信水平从95%增加到97.5%，则置信水平为1-α的样本均值的置信区间的长度将（）.参考答案:增加36.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】的大小与区间长度L无关.参考答案:错误37.对于非正态总体，在大样本条件下，求总体均值区间估计所使用的分布是（）.参考答案:正态分布38.设假设检验【图片】：新工艺不比旧工艺好，【图片】：新工艺比旧工艺好，则下列属于犯第二类错误的是（）.参考答案:新工艺较好，保留旧工艺39.t分布与标准正态分布的区别是t分布的密度函数图形是不对称的，标准正态分布的密度函数图形是对称的.参考答案:错误40.正态总体的样本均值和样本方差的关系是相互（）.参考答案:独立41.设总体【图片】，其中【图片】未知，【图片】已知，则【图片】的置信水平【图片】置信区间的区间长度L与【图片】的关系是【图片】越小，区间长度L越大.参考答案:错误42.设总体【图片】,其中【图片】未知，【图片】是从总体X中抽取的样本，为使得【图片】是【图片】的置信水平为95%的置信区间，则样本容量至少为( ).参考答案:6243.设总体【图片】,其中【图片】均未知，记【图片】,【图片】，则当【图片】的置信区间为【图片】时，其置信水平为（）.参考答案:0.9544.利用两个相互独立的小样本求两个正态总体均值之差的区间估计，当两个正态总体的方差未知但是相等时，所使用的分布是（）.参考答案:t分布45.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】,【图片】，则（）成立.参考答案:S是的相合估计46.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】,【图片】，则（）不成立.参考答案:是的无偏估计.47.设随机变量X和Y都服从标准正态分布, 下列结论中一定正确的是( ).参考答案:和都服从分布48.设总体【图片】,其中【图片】未知，【图片】是从总体X中抽取的样本，在显著性水平【图片】下拒绝原假设【图片】，则当【图片】时，下列结论( )正确.参考答案:拒绝49.利用两个相互独立的大样本求两个总体均值之差的区间估计，当两个总体的方差未知且不相等，样本容量也不相同时，所使用的分布是（）.参考答案:正态分布50.给定样本之后，降低置信水平会使得置信区间的长度（）.参考答案:减少51.设总体X服从正态分布【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】，则【图片】的值为【图片】.参考答案:正确52.所谓小概率原理是指发生概率很小的随机事件，在试验中不可能发生.参考答案:错误53.在假设检验中，【图片】表示原假设，【图片】表示备择假设，则称为第二类错误的是参考答案:不真，接受54.设总体X服从正态分布【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】，则【图片】的值与【图片】有关.参考答案:错误55.设总体【图片】，【图片】为来自总体X的简单随机样本，记【图片】,【图片】，则【图片】和【图片】分别是【图片】和【图片】的相合估计.参考答案:正确56.设总体【图片】，σ已知，问抽取容量n最少应为( )，才能使μ的置信水平为0.95的置信区间长度不超过k.参考答案:+1。
北京交通大学2018~2019学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（C 卷）一．（本题满分8分）某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为4.0、35.0和25.0，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为5.0、65.0和45.0．如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率．解：设=B “钥匙被找到”．=1A “钥匙掉在宿舍里”，=2A “钥匙掉在教室里”，=3A “钥匙掉在路上”．由Bayes 公式，得()()()()()∑==31333i iiA B P A P A B P A P B A P 2083.045.025.065.035.05.04.045.025.0=⨯+⨯+⨯⨯=．二．（本题满分8分）抛掷3枚均匀的硬币，设事件{}至多出现一次正面=A ，{}正面与反面都出现=B 判断随机事件A 与B 是否相互独立（4分）？如果抛掷4枚均匀的硬币，判断上述随机事件A 与B 是否相互独立（4分）？解：⑴如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为823=．()2184==A P ，()4386==B P ，()83=AB P ，所以有()()()B P A P AB P =⨯==432183，因此此时随机事件A 与B 是相互独立的．⑵如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为1624=．()165=A P ，()871614==B P ，()41164==AB P ，所以有()()()B P A P AB P =⨯≠=8716541，因此此时随机事件A 与B 不是相互独立的．三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它010143x x x f ．求：⑴()X E （4分）；⑵(){}X E X P >（4分）．解：⑴()()()⎰⎰-⋅==+∞∞-1314dxx x dx x xf X E ()2.051514312143341432==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-+-=⎰dx x x x x ．⑵(){}{}()⎰-=>=>12.03142.0dxx X P X E X P ()4096.062525641234331412.043212.032==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=-+-=⎰x x x x dx x x x ．四．（本题满分8分）某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量X （单位：千升）是一随机变量，其密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=其它0100010012014x x x f 试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在%2以下？解：设该加油站每次的储油量为a ．则由题意，a 应满足1000<<a ，而且()02.0≤>a X P ．而()()()()5100410010010011001201⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+==>⎰⎰⎰⎰+∞+∞a dx x dx x f dx x f dx x f a X P aaa．所以，应当有，02.010015≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ．所以，得502.01001≤-a，即10002.015a ≤-，因此有()26949481.5402.011005=-⨯≥a ．因此可取55=a （千升），即可使一周内断油的概率控制在%5以下．五．（本题满分8分）设平面区域D 是由双曲线xy 1=，()0>x 以及直线x y =，2=x 所围，二维随机变量()Y X ,服从区域D 上的均匀分布．求：⑴二维随机变量()Y X ,的联合密度函数()y x f ,（4分）；⑵随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y （4分）．解：⑴区域D 的面积为2ln 23ln 21121221-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x dx x x A ，所以，二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=Dy x D y x y x f ,,2ln 231,．⑵当121<≤y 时，()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-==⎰⎰+∞∞-y dx dx y x f y f y Y 122ln 2312ln 231,21；当21≤≤y 时，()()()y dx dx y x f y f yY --=-==⎰⎰+∞∞-22ln 2312ln 231,2．所以，随机变量Y 的边际密度函数为()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=其它02122ln 231121122ln 231y y y y y f Y ．六．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 满足：()2var =X ，()4var =Y ，()1,cov =Y X ，再设随机变量Y X U 32-=，Y X V 23-=，求二维随机变量()V U ,的相关系数V U ,ρ．解：()()()()()32124924,cov 12var 9var 432var var =-⨯+⨯=-+=-=Y X Y X Y X U ，()()()()()22124429,cov 12var 4var 923var var =-⨯+⨯=-+=-=Y X Y X Y X V ，()()Y X Y X V U 23,32cov ,cov --=()()()()231134626,cov 9,cov 4var 6var 6=⨯-⨯+⨯=--+=Y X Y X X X ．所以，二维随机变量()V U ,的相关系数为()()()8668451157.011823223223var var ,cov ,====V U V U V U ρ．七．（本题满分8分）设()21,X X 是取自正态总体()2,0σN 中的一个样本．试求随机变量22121⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=X X X X Y 的分布．（不必求出Y 的密度函数，只需指出Y 是哪一种分布，以及分布中的参数即可．）解：由于()21,0~σN X ，()22,0~σN X ，而且1X 与2X 相互独立，所以()2212,0~σN X X +，()2212,0~σN X X -．由于()()()0var var ,cov 212121=-=-+X X X X X X ，而且()2121,X X X X -+服从二元正态分布，所以21X X +与21X X -相互独立．所以，()1~22221χσ⎪⎭⎫ ⎝⎛+X X ，()1~22221χσ⎪⎭⎫ ⎝⎛-X X ；而且2212⎪⎭⎫ ⎝⎛+σX X 与2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-σX X 相互独立．所以，()1,1~2222122122121F X X X X X X X X Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=σσ．八．（本题满分8分）某射手射击，他打中10环的概率为5.0，打中9环的概率为3.0，打中8环的概率为1.0，打中7环的概率为05.0，打中6环的概率为05.0．他射击100次，试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介于900环与930环之间的概率．（附表：标准正态分布分布函数()x Φ的部分数值表：x 25.130.135.140.1()x Φ8944.090230.091149.091924.0解：设k X 表示该射手射击的第k 发时所得的环数()100,,2,1 =k ，则k X 的分布律为k X 109876P5.03.01.005.005.0所以，()15.905.0605.071.083.095.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，()95.8405.0605.071.083.095.010222222=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=k X E ，所以，()()()[]2275.115.995.84222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，10021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑========10011001100110011001100110011001930900930900k k k k k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X X D X E P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-≤⨯⨯-≤⨯⨯-=∑=2275.110015.91009302275.110015.91002275.110015.91009001001k k X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⨯⨯-≤-=∑=35388.12275.110015.910035388.11001k kXP ()()()82289.0191149.02135.1235.135.1=-⨯=-Φ=-Φ-Φ≈．九．（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立而且同分布，其中随机变量X 的分布列为{}{}010,01>-==>==p X P p X P ，再设随机变量⎩⎨⎧++=为奇数为偶数Y X Y X Z 01．⑴写出随机变量()Z X ,的联合分布律以及X 与Z 各自的边缘分布律；⑵问p 取什么值时，随机变量X 与Z 相互独立？解：⑴X 与Z 的联合分布列以及X 与Z 各自的边际分布列为ZX01⋅i p 0()p p -1()21p -p -11()p p -12p pjp ⋅()p p -12()22121p p p +--其中{}{}{}{}()p p Y P X P Y X P Z X P -=========1101,00,0；{}{}{}{}()21000,01,0p Y P X P Y X P Z X P -=========；{}{}{}{}()p p Y P X P Y X P Z X P -=========1010,10,1；{}{}{}{}2111,11,1p Y P X P Y X P Z X P =========；⑵如果X 与Z 相互独立，则有{}(){}{}()p p p Z P X P p p Z X P -⋅====-===120110,1，解方程()()p p p p p -⋅=-121，得21=p ．并且当21=p 时，有ZX01⋅i p 04141211414121jp ⋅2121可以验证，此时X 与Z 是相互独立的．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布．X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055x x e x f x．现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数．解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00055x x e x f xX ，Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055y y e y f yY 由题意，知Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则()()()()⎰⎰+∞-+∞∞--=-=55dxx t f e dx x t f x f t f Y x Y X T 作变换x t u -=，则dx du -=，当0=x 时，t u =；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得()()()()⎰⎰∞---∞--=-=tY u tt Y u t T duu f e edu u f et f 55555当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ；当0>t 时，()ttu u tT te du e e et f 55552555-∞---=⋅=⎰综上所述，可知随机变量T 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00255t t te t f tT ．十一．（本题满分9分）设总体X 的密度函数为()θθθxe xf -=21;，()+∞<<∞-x ，其中0>θ是未知参数．()n X X ,,1 是从中抽取的一个样本．求θ的最大似然估计量．解：θ的似然函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∏==n i i nni i x x f L 111exp 21;θθθθ，则有()()∑=--=ni ixn L 112ln ln θθθ，对θ求导，得()∑=+-=ni ixn L d d 121ln θθθθ，令()0ln =θθL d d ，即有0112=+-∑=ni i x n θθ，解似然方程，得∑==ni i x n 11θ．所以，θ的最大似然估计量为∑==n i i X n 11ˆθ．十二．（本题满分9分）设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0063θθθx x xx f ，其中0>θ是未知参数，()n X X ，， 1是从该总体中抽取的一个样本．⑴.求未知参数θ的矩估计量θˆ（5分）；⑵.求方差()θˆvar （4分）．解：⑴.()()()26032θθθθ=-==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E ，所以，()X E 2=θ，将()X E 用样本均值∑==ni i X n X 11来替换，得未知参数θ的矩估计为X2ˆ=θ⑵.()()()()X nX X var 4var 42var ˆvar ===θ，而()()()[]22X E X E X D -=()()204622203322θθθθθθ=--=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x所以，()()nn X n 5204var 4ˆvar 22θθθ=⨯==。
概率论与数理统计2005-0003 (题目数量：24 总分：100.0)1.单选题(题目数量：14 总分：70.0)1. 设A、B为互相独立的随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.7，则P(AB)=（）。
A.0B.0.28C.0.3D.0.82答案:C2. -设X与Y相互独立，且知X~N(20，4)，Y～N(8，2)，则Z=2X-Y 服从的分布是（）。
A.N(32，14)B.N(32，10)C.N(32，6)D.N(32,，18)答案:A3. 某厂生产的棉布，每米上的疵点数服从参数的泊松分布（即），则今任取棉布上至少有2个疵点的概率为（）。
A. B. C. D.答案:A4. 已知离散型随机变量的分布律为：，则的数学期望（）。
A.1B.1.5C.1.8D.2.1答案:A5. 在假设检验中，用和分别表示犯第一类错误和犯第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法正确的是（）。
A.减小也减小B.增大也增大C.和不能同时减小，减小其中一个，另一个往往就会增大D.与同时成立答案:C6. 下列事件与事件A-B不等价的是（）。
A.A-ABB.C.D.答案:C7. 一盒子中有20个相同型号的产品，其中有15个一等品，其余为二等品，今从盒子中任取一个产品，则此产品为二等品的概率为（）。
A.0.75B.0.25C.1/3D.以上都不对答案:B8. 设随机变量的分布列为：则常数a=（）。
A.-0.4B.0.4C.0.6D.0.3答案:A9. 设A、B为不相容的两个随机事件，且P(A)=0.2, P(B)=0.5，则P(AB)=（）。
A.0B.0.1C.0.7D.0.3答案:D10. 设总体服从参数为的指数分布，即，是取自该总体的一个样本，是样本均值。
则参数的最大似然估计是（）。
A. B. C. D.答案:A11. 设随机变量X的分布列为 ,则= （）。
A.0.7B.0.3C.0.5D.0.4答案:A12. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为的（0—1）分布，则有（）。
北理工《概率论与数理统计》FAQ （一）一、【古典概型】把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），计算： （1）无空盒的概率； （2）恰有一个空盒的概率.解：4个球任意投入4个不同的盒子内有44种等可能的结果. （1）其中无空盒的结果有A 44种，所求概率P =4444A =323. 答：无空盒的概率是323. （2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有C 14种，选两个球放入一盒有C 24A 13种，其余两球放入两盒有A 22种.故恰有一个空盒的结果数为C 14C 24A 13A 22,所求概率P （A ）=4221324144A A C C =169. 答：恰有一个空盒的概率是169. 二、【条件概型】盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。
解 设Ai 为第 i 次取球时取到白球，则 )|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =52)(1=A P 73)|(213=A A A P 63)|(12=A A P 84)|(3214=A A A A P求得：3 / 70三、【条件概型＋全概型】市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。
解 设B 买到一件次品，A1为买到甲厂一件产品 A2为买到乙厂一件产品 A3为买到丙厂一件产品 可得：)()|()()|()()|(332211A P A B P A P A B P A P A B P ++= ＝ ≈⨯+⨯+⨯2103.04101.04102.00.00225 四、【贝叶斯公式】商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解 设A :从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B 0, B 1, B 2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P (B 0)=0.8, P (B 1)=0.1, P (B 2)=0.11)|(0=B A P 54)|(4204191==C C B A P 1912)|(4204182==C C B A P由Bayes 公式:∑==2111)|()()|()()|(i iiB A P B P B A P B P A B P 0848.019121.0541.018.0541.0≈⨯+⨯+⨯⨯=五、 【伯努利概型】在体育比赛中，若甲选手对乙选手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两种赛制中，选择哪个对自己更有利 解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为P 5(3)+P 5(4)+P 5(5) =0.6826在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P 3(2)+P 3(3) =0.648 甲应选择五局三胜制。
北交《概率论与数理统计》复习题二一、 填空题1. 设随机事件A 与B 相互独立，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，且()13P A =，则()P B =_______． 考核知识点：独立事件。
2. 设随机变量()1,4X N :，则()23E X +=___________．考核知识点：数学期望。
3. 设X 的分布律为：b a ,为常数，且0)(=X E ，则=-b a _______．考核知识点：离散型随机变量4. 设总体X 服从二项分布(2,0.3)B ，x 为样本均值，则()E x =___________．考核知识点：二项分布5. 设,X Y 为随机变量，且()()()7,4,1D X Y D X D Y +===，则()cov ,X Y =___________．考核知识点：协方差6. 设随机向量(),X Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤+=其它，,0;1,),(22y x c y x f 则常数c =_________________．考核知识点：概率密度函数7. 设二维随机向量(),X Y 的概率密度为(),01,01,0,x y x y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它，则当01y ≤≤时(),X Y 关于Y 的边缘概率密度()Y f y =___________．考核知识点：边缘密度函数8. 一射手对同一目标射击3次，假设每次是否命中目标是相互独立的，已知至少命中一次的概率为2627，则该射手的命中率为__________． 考核知识点：独立重复试验9. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}32P X P X ===，则λ=___________．考核知识点：泊松分布10. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体()20,2N 的简单随机样本，统计量X 为()()221234234X a X X b X X =-+-，则a b=__________．考核知识点：统计量的含义二、 计算题11. 将n 个球随意放入N 个箱子中，其中每个球等可能放入任意一个箱子，求指定的n 个箱子各放入一球的概率。
概率与数理统计历届真题第一章 随机事件和概率数学一：1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。
2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。
已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
3（88，2分）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为。
4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为。
5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。
6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。
7（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）=。
8（91，3分）随机地向半圆0<y <22x ax -(a 为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。
则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 。
9（92，3分）已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=161)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A 、B 、C 全不发生的概率为 。
10（93，3分） 一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。
