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生物统计学抽样分布

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第二节 抽样分布

第二节 抽样分布
3
以样本容量n = 2对该总体进行复置抽 样，则样本平均数抽样总体为：
样本平均数抽样总体的总体容量为：
9 32 N n
样本平均数抽样总体的总体平均数为：
x

23 9
6

36 9

4

（2）原总体的总体标准差为：

x2 (
x )2 N
N
56 48 8
3
3
样本平均数抽样总体的总体标准差为：
第二节 抽样分布
生物统计学的主要任务就是研究总体和样本的关系：
■ 从样本到总体
从特殊到一般， 目的就是通过样本来推断总体
■ 从总体到样本
从一般到特殊， 目的就是研究样本统计量的分布及其与原总体的 关系
抽样分布是统计推断的基础，研究抽样分布的目的就是为了更好地进行统 计推断，并能正确地理解统计推断的结论
5. t-分布
5.1 t-分布的定义
正态分布的标准化公式为：
u x
根据公式可以计算出随机变量x在某一区间内出现的概率：
u x u
对于总体方差σ2已知的总体，根据标准正态分布可以知道样本平均数在某 一区间内出现的概率，公式为：
x
u
x
u x x u x

2 1

(n1 1)S12
2

2 2

(n2

1)
S
2 2
2
这两个χ2变量除以各自的自由度后的比值为：
12
(n1 1)

2 2
(n2 1)
(n1 1)S12

(n2

1)S
2 2
(n1

第四节--抽样分布

第四节--抽样分布
SE表示。包括: 样本平均数的标准误； 样本标准差的标准误； 样本相关系数的标准误； 标准差与标准误的异同： 都是描述数据的离中趋势,即都是离中趋势的指标 标准差是一般变量值离中趋势的指标 标准误是样本统计量离中趋势的指标 抽样误差:从总体中抽取容量为的个样本时，样本统 计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差 距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参 数之间的不同，称为抽样误差。
志存高远，顽强拼搏
▪ 抽样分布：某一种统计量的频数分布。 ▪ （一）当总体为正态分布，总体方差已知时，样本平均数的
分布为正态分布。此时，样本平均数的平均数等于总体的平 均数；样本平均数的标准差，等于总体标准差除以N的平方 根。 ▪ 当总体为正态分布，总体方差未知，且样本为大样本时，样 本平均数的分布为渐近正态分布。
本统计量
t
X S
的分布。t分布是统计分析中应用较多的
n 1
一种随机变量函数的分布,是统计学者高赛特(Goeset)1908年
在以笔名"Student"发表的一篇论文中推导的一种分布。
志存高远，顽强拼搏
（二） t分布的特征
▪ 1. t分布的平均值为0。 ▪ 2. t分布是以过平均值0的垂线为轴的对称分布,分布左侧t
（四）依随机取样的原则,自正态分布的总体中抽取 容量为n的样本,当n足够大时(n≥30),样本方差及 标准差的分布,渐趋于正态分布。
志存高远，顽强拼搏
二、t分布
▪ 当总体为正态分布，但总体方差未知，而且N＜30时，样本
平均数的分布为t分布。 ▪ （一）什么是t分布
若干个来自已知平均数为U，而方差未知的正态分布总体的样
自由度的变化而变化。 ▪ 联系：当自由度趋于无穷大时， t分布接近标准正态分布。

生物统计学 第4章 抽样分布

生物统计学 第4章 抽样分布
F 2
df1 df2
df1 df2 2
F
,F
0
0, F 0
F分布的平均数和方差分别为：
F
df2 , df df2 2
2
2 F
2df22 (df1 df2 2) df1(df2 2)2 (df2 4)
,
df
2
4
线性内插法求F值
求F12,17,0.05 1. 先查F12,15,0.05 ＝2.475， F12,20,0.05 ＝2.278 2. 公式： F12,17,0.05 ＝ F12,15,0.05 +(F12,20,0.05 F12,15,0.05 )/(20-15)×（17-15） 3. 结果：＝2.3962
( df 1) 2
(1
t2
df 1
) 2 ,
t
df ( )( df ) df
2
式中df＝n-1
t分布的特征数：
t 0 (df 1)
t
df df 2
(df 2)
1:t 0 (df 3)
2:t
6 df 4
(df 4)
P(t≥tα)＝ P(t≤-tα)＝α
P(| t | t )
当用σi2去出si2之后， si2 就被标准化了，标准化
的样本方差之比称为F：
s12
2
1
F df1,df2
2
s2
2 2
F分布是由一对自由度df1和df2确定的，F分布的 密度函数为：
f df1 ,df2
df1 df2
df1
2
df1 df2
2
df1 df2 2 2
1
df1 1
,2
0

生物统计学课件抽样分布及应用一

生物统计学课件抽样分布及应用一
但这还不够，历史上也没有因此避免 正态分布在应用上的危机，因为要获得σ 的准确数值，其难度比μ大得多。到1908 年W.S.Gosset公开发表一篇论文才使抽样 误差的研究走出应用上的困境。
如例2.1中定义样本标准误SӮ = S /√n，
则可将抽样误差转换成另一个标准化变量
t = ( Ӯ－μ)÷S/√n = 0.55 ÷ 0.9 = 0.61 查附表3可知获得0.55的两尾概率
第二节 显著性检验的原理
附表3所列为9种双侧概率对应的 | t | , 如右图所示, 当 n –1= 9时, 0.05 和0.10栏目下的2.262和1.833就表明 所得标准化变量 t 在 n =10时绝对值 超过2.262的概率(双侧面积)为0.05, 超过1.833的概率(双侧面积)为0.10。
0.15 0.1
0.05 0
2.262
↓ 0.025
0.025
1.833 ↓
0.05
t
-3.9 -2.7 -1.5 -0.3
0.9 2.1 3.3
第二节 显著性检验的原理
0.45 0.4
0.35 0.3
f(t)
N(0, 1)
←ν= 7
0.25 0.2
ν=∞→
0.15 0.1
0.05
ν= 2→
←ν= 4
4.0
1
Σ 还是正态分布，只是其变量特殊罢了。 16
12 36 0 0 14 49 0.5 2 4 16 0 1
48 148 — 8
⑶只有以自由度 n –1算得的样本方差 S2才是σ2 的无偏估计值。
（ ΣS2 / Nn = 8÷16 = 1/2 = σ2 ）
（但 S 不是σ的无偏估计值）
第一节 单个母总体抽样

统计学 抽样分布和理论分布

统计学 抽样分布和理论分布

抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。

样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。

抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。

即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。

样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。

那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。

由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。

它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。

统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μσ2x = σ2 /n 由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2σ)分布。

但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。

于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。

样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx e x f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。

相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。

2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。

生物统计学课件-3正态分布和抽样分布

生物统计学课件-3正态分布和抽样分布

近似性
当样本量足够大时，样本 统计量近似服从正态分布。
抽样分布在生物学中的应用
01
实验设计
在生物学实验中，常常需要从总体中随机抽取一定数量的样本进行实验，
以评估实验结果的可重复性和可靠性。抽样分布理论为实验设计提供了
理论基础。
02
数据处理和分析
在生物学数据分析和统计推断中，常常需要利用样本统计量来估计总体
生物统计学课件-3正态分布 和抽样分布
目录
• 正态分布 • 抽样分布 • 正态分布与抽样分布的关系 • 实例分析
01
正态分布
正态分布的定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形，对称轴为均值所在直线。
在正态分布中，数据点在均值附近最为集中，向两侧逐渐减少，形成钟形曲线。
正态分布是自然界和人类社会中最为常见的分布形态之一，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
02
抽样分布
抽样分布的定义
01
02
03
抽样分布
描述样本统计量（如样本 均值、样本方差等）的概 率分布。
样本统计量
从总体中随机抽取的样本 所计算出的各种统计指标， 如样本均值、样本方差等。
总体
研究对象全体个体的集合。
抽样分布的性质
独立性
样本统计量之间相互独立。
随机性
样本统计量的取值具有随 机性。
中心极限定理
在大量独立随机抽样的前提下，不论总体分布如何，样本均值的分布趋近于正态分布。
样本均值的方差与总体方差的关系
样本均值的方差随着样本量的增加而趋近于总体方差的1/n，其中n为样本量。
正态分布与抽样分布的区别
定义不同
正态分布是对总体特征的描述，而抽样分布是对样本统计 量的描述。

生物统计学 第五章 t分布


2 =4/16=1/4=(1/2)/2= / n
x 1/ 4 1 2 / 2
2 x
n
n=4时：
x
768 / 256 3
4
2 x 32 / 256 1 / 8 (1 / 2) / 4 2 / n
x 18 12
n
总体 X1 X2 ������1 X3 X4 ������2 f(x) X5 X6 …Xn ������3 …
样本统计量(如������ ) 函数(统计量）
1.3 抽样分布 从一个总体中,按一定的样本容量随机抽取所有可能 的样本，由这些样本计算出的统计量[样本函数f(x); ������, ������ 2 ]必然形成一种分布(亦即一个新的总体),这种分 布称为该统计量的随机抽样分布或抽样分布 。 t分布&t检验
1.显著性检验的意义
饲喂相同饲料，随机抽测10尾甲品种鱼和10尾乙品种鱼 增重情况（g/month），资料如下： 甲型鱼：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13 乙型鱼：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7 甲型鱼平均增重=11，标准差S1=1.76；甲型鱼平均增重 =9.2，标准差S2=1.549。能否仅凭这两个平均数的差值 11-9.2=1.8，立即得出两品种鱼增重不同的结论呢？ 观测值x i 包含两部分，即x i = + i 。总体平均数 反映了 总体特征， i表示误差。
样本1 样本2（总体） … t检验、 F检验、 2检验
差异：本质 差异（处理 效应）or 试验误差？
t分布&t检验
3.统计假设 无效假设( ������������ )：是直接检验的假设，是对总体 提出的一个假想目标，又称为“零假设”。“无效” 意指处理效应与总体参数之间没有真实的差异，试 验结果中的差异乃误差所致。 无效假设的两原则：无效假设是有意义；据之可 算出因抽样误差而获得样本结果的概率。 备择假设( ������������ ) ：是和无效假设相反的一种假设， 即认为试验结果中差异是由于总体参数不同所引起 的。

生物统计学(第2讲)


抽样分布的引入
为了解决前面提出的第一个问题， 我们可以从一个已知的总体中，独立 随机地抽取含量为n的样本，研究所 得样本的各种统计量的概率分布，即 所谓的抽样分布。
举例说明
例 在只有10个数构成的总体中，抽取含量为 5的样本。试求各统计量的抽样分布。
解：由题意可得，样本的取法共有C105 = 252种， 因此样本统计量平均数、方差和标准差可分别
正态分布示图1
正态分布示图2
固定，只改变的值
正态分布示图3
固定 ，只改变的值
标准正态分布曲线
标准正态分布的特性（P53）
标准正态分布的重要关系式（P54）
正态分布表的查法（P53-54, P254）
正态分布的查表计算(P54-55)
1、直接查表法：随机变量X服从标准正态分布
2、间接计算法：若随机变量X服从正态分布，则必须进 行标准化，使其变成标准正态分布，再查表计算。
标准正态分布的双侧100%点
t分布的双侧100%点
2分布的双侧100%点
F分布的双侧100%点
作
业
1、 查表确定下列参数： （1）P{2（8）< } = 0.975; （2）P{t（5）> } = 0.25;
（3）P{F（3，6）> } = 0.05
2、查表求下列各值（上侧100百分位
取得252个值。列出上述各统计量的频率分布
表，即可得到各统计量的分布规律，或者说即 可得到这些统计量的“抽样分布”。
正态分布的定义
如果随机变量X的概率密度函数为
- < x < +; - < < + >0为常数, 则称X服从参数为, 的正 态分布, 记作X~N(, 2).

生物统计学名词解释

1. 总体（population）：研究对象的全体，由具有共同性质的个体所组成。

2. 样本（sample）：从总体中抽取一部分个体所组成的集团。

3. 参数（parameter）：由总体全部观察值计算得到的用来描述总体特征的数。

4. 统计数（statistic）：由样本全部观察值计算得到的用来描述样本特征和估计总体特征的数5. 平均数（average）：根据统计方法求得的一种常用特征数，作为一个资料集中性的代表值，反映资料中各观察值集中较多的中心位置。

6. 变异数（variant）：反映资料的变异性的代表值，常用的变异数有极差、方差、标准差、标准误和变异系数。

7. 概率的古典定义：在随机试验中，如果基本事件的总数n为有限多个，且每个基本事件的发生是等可能的，时间A 由其中m个基本事件所组成，则事件A的概率为(P)=A中包含的基本事件数/基本事件数=m/n8. 概率的统计定义:在相同条件下，重复某一试验n次，事件A发生的频率随着n的不断增大而在某个常数值p附近摆动，则称频率的稳定值p为事件A发生的频率，记为P(A) =p≈m/n9. 随机变量（random variant）：设E为一随机试验，Ω为样本空间。

如果对于Ω中的每个样本点ш，都有一个确定的实数X（ш）与之对应，则称X（ш）为随机变量，简称为X10. 伯努利试验（Bernoulli trials）：随机变量X只有两个可能结果的实验11. 统计推断（statistical inference）：利用研究获得的样本信息和假定的模型对总体特征做出概率性的推断。

12. 假设检验（test of hypothesis）：根据样本信息判断总体是否具有制定的特征13. 参数估计（parametric estimation）：用样本统计数估计总体参数。

14. 抽样分布（sampling distribution）：统计量g（X1,X2,…,Xn）作为随机变量，也有自己的概率分布，则统计量的概率分布则称为抽样分布15. 零假设（null hypothesis）和备择假设（alternative hypothesis）零假设：指进行统计检验时预先建立的假设。

生物统计理论分布和抽样分布

第四章理论分布和抽样分布一、基本概念1．必然事件：在同一组条件的实现下必然要发生的一类事件。

如人总是要死的，水在标准大气压下加热到100℃必然化为蒸汽。

P（A）＝1。

2．不可能事件：在同一组条件的实现下必然不发生的一类事件。

如水在标准大气压下温度低于0℃不可能呈气态。

P（A）＝0。

3．随机事件（偶然事件）：在同一组条件的实现下可能发生，也可能不发生的一类事件。

如种子可能发芽，也可能不发芽；硬币抛上落下可能正面朝上，也可能反面朝上。

P（A）∈[0，1]。

4．频率a：假定在相似条件下重复进行同一类试验调查，事件A发生的次数a与总试验次数n的比称之。

如抛硬币，10次有7次朝上，a＝7/10。

5．概率P：当试验总次数n逐渐增大时，事件A的频率愈来愈稳定地接近定值P，则事件A地概率为P。

6．小概率的实际不可能性原理：凡概率很小的事件（农业上一般指P<0.05的事件），在二、计算事件概率的法则1．和事件：C＝A＋B A：身高在1.65以下；B：身高在1.65～1.75之间；C：身高在1.75以下。

2．积事件：C＝A×B A：身高在1.65以下；B：男同学；C：身高在1.65以下的男同学。

3. 互斥事件：A·B＝V （V表示空集） A：小麦种子发芽；B：小麦种子不发芽。

4．对立事件：如果A＋B是必然事件，即A＋B＝U（U为全集）；而A·B＝V，即A与B 是互斥事件，则称B为A的对立事件，B＝A（补集），如上例发芽与不发芽。

5．完全事件：如A·B＝V且A＋B＝U，则称A与B为完全事件系，如小麦发芽与不发芽就构成完全事件系。

6．对立事件的概率：A()1(A)=-P P7．互斥事件的概率加法：()(A)()P＝+=+如身高小于1.60m的概率为(A)P A B P P B0.15；身高小于1.70m且大于等于1.60m的概率为()P B＝0.62；则身高小于1.70m的概率()(A)()+=+＝0.77P A B P P B8．独立事件的概率乘法：()(A)()P A B P P B=。

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2 1
22
n1 n2
1 2 ( y1 y 2)
( y1 y 2)
2 1
22
n1 n2
23
如果两个总体都是正态分布，则有
标准化
N (1
2
,
(12
n1
2 2
n2
))
u ( y1 y2) (1 2 )
2 1
2 2
n1
n2
24
二、标准差未知时，两个平均数的 和与差的分布
t (df1df2 ) t (n1 n2 2)
11
从表中我们可以算出 样本平均数 的平均数：
_
_
y
N
y
n
36 9
4
以自由度为除数的样本方差的平均数：
s2
s2 Nn
24 9
8 3
2
以样本容量为除数的样本方差的平均数：
s02
s02 Nn
12 9
4 3
2
12
样本标准差s的平均数：
s
s Nn
11.3136 1.257
9
在统计上，如果所有可能样本的某一统计
2
62
6
4
64
6
6
总和
66
∑(y)
4 6 8 6 8 10 8 10 12 72
_
y
s02
s2
s
2
0
0 0.0000
3
1
2 1.4142
4
4
8 2.8284
3
1
2 1.4142
4
0
0 0.0000
5
1
2 1.4142
4
4
8 2.8284
5
1
2 1.4142
6
0
0 0.0000
36
12
24 11.3136
f ( y)dy
2 ( n)
的点
2
(n)
为
2 (n)
分布的上
分位点.
对于不同的 , n,
可以通过查表求
得上 分位点的值.
如何查表，附表6.
21
§4·2 从两个正态总体分 布中抽取的样本统计量的
分布
22
一、标准差已知时，两个平均数的 和与差的分布
1 2 ( y1 y 2)
( y1 y 2)
fdf (t)
df 1 2
df(πf df
1
t2 df
df 1
2 ,
2
t
17
1. 具有自由度为n的t分布t ~ t(df ), 其数学期望
与方差为：E(t) 0, D(t) df (df 2)
(n 2)
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
生物统计学Байду номын сангаас
西安电子科技大学 生命科学技术学院
刘鹏
1
第四章抽样分布
2
抽样分布
研究总体与从中抽取的样本之间的关系是 统计学的中心内容。
生物统计学的最基本问题是研究总体和样本 间的关系。
总体类型： （1）实际研究对象所构成的总体 （2）数字的总体
3
抽样分布
对这种关系（总体与样本）的研究可从两方面着 手: 一是从总体到样本，这就是研究抽样分布的问题； 二是从样本到总体，这就是统计推断问题。
15
标准差未知时的平均数分布
未知时，可以用样本标准差代替总体标准差, 标准差变量为
u
y
s
n 这个变量不服从正态分布，而服从n -1的t分布
t
y
s
,具有n -1的自由度
n 其中，s 称为样本标准差。t分布只有一个参数。
n
16
标准差未知时的平均数分布
自由度（df）：
自由度是指独立观测值的个数，在计算s时所使用的n个观测值受到平均 值的约束，这就等于有一个观测值不能独立取值，因此自由度df=n-1。
首先计算出总体参数：
μ=(2+4+6)/3=4 σ2=〔(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2〕/3=8/3
所有可能的样本数=Nn=32=9
10
总体N=3，样本容量n=2时所有样本的总和数、平均数和方差表
第一个 第二个 样本
观察值 观察值
2
2
22
2
4
24
2
6
26
4
2
42
4
4
44
4
6
46
6
统计推断是以总体分布和样本抽样分布的理论关 系为基础的。
4
总体
随机样本1
……
2
3
4
无穷多个样本
总体和样本的关系示意图
5
抽样分布
从样本
到总体
总体与 样本间 的关系
从总体 到样本
统计推
断(目的)
抽样分 布（基础）
本章研究的内容就是：从总体到样本（抽样分布）
6
抽样分布
抽样分布全部建立在正态分布的基础之上（在正 态分布的总体中抽样）。
2
(n 1)s2
2
这个变量就是服从n-1个自由度的卡方分布（χ2 – distribution）。
19
其密度函数为：
f
( 2 )
df 2 2
1 ( df
)
df
y2
1 2
e2
,
2
y0
0
其他.
2 (n)分布的概率密度曲线如图.
20
对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
P{ 2 2 (n)}
平均数的抽样分布对总体正态性的要求不十分严 格。
（根据中心极限定理，从非正态分布的总体中抽取 的含量为n的样本，当n充分大时，样本平均数渐 近服从正态分布）
方差的抽样分布对总体正态性的要求十分严格。
7
§4·1 从一个正态总体分 布中抽取的样本统计量的
分布
8
一、样本平均数的抽样及其分布
如果从容量为N的有限总体抽样，若每次抽取容 量为n的样本，那么一共可以得到Nn个样本。
数等于总体的相应参数，则称该统计数为
总体_ 相应参数的无偏估计值(unbiased estyimate)
13
1、 是μ的无偏估计值。
2、s2是σ2的无偏估计值。 3、以n为除数的样本方差
估计值。
4、s不是σ的无偏估计值。
不是σ2的无偏
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标准差已知时的平均数分布
Y ~ N(, 2 )
n
u
y
n
变量是正态的或近似正态的，则标准化的变量服从或 近似服从N(0,1)分布。如果整体是非正态分布，当n 足够大的时，其样本平局数还是服从正态分布。
再 由函数的性质有
lim h(t) n
近似
即当n足够大时，t ~ N(0,1).
1 et2 2.
2
t 分布的概率密度曲线如图
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二、方差的抽样及其分布
从方差为σ2 正态总体中，急速抽取含量为n的样本， 计算样本方差s2。在讨论样本方差的分布时，通常并 不直接谈论s2而是给他先标准化：
2 df
dfs 2
( y1 y2) (1 2 )
df1s12 df2s22 ( 1 1 ) df1 df2 df1 11 df2 1
每个样本可以计算一个平均数，这样就得到许多 平均数，如果将这些平均数集合起来便构成一个 新总体。由于每次随机抽样所得的平均数可能会 存在差异，所以由平均数构成的新总体也应该有 其分布，这种分布称为平均数的抽样分布。
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下面用一个抽样实验进一步说明样本平均数的抽 样分布及其分布的参数。
假定用一个很小的总体N=3，其观察值为2、4、6 以样本容量n=2从中进行抽样。