复变函数(4.4.5)--洛朗级数

复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。

；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。

复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。

复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。

第四章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类本章讨论解析函数的级数性质，先介绍复变函数级数的基本概念特别是幂级数的有关概念；然后讨论解析函数展开为泰勒级数和洛朗级数的问题；最后讨论单值函数孤立奇点的分类这也是为第五章讨论定积分的计算作准备。

§4.1 复变函数级数和解析函数级数复变函数级数的基本概念有很多地方与实变函数级数相同，这里仅作扼要的介绍，其中有关定理将不予证明。

一个复变函数级数∑∞==++++121)()()()(k k k z u z u z u z u （4.1）如果它的部分和∑∞==1)()(k k n z u z S （4.2）的极限)(lim z S n n ∞→在一点z 存在，则称级数（3.1）在z 点收敛，而这个极限为级数在z 点的和；否则称级数在z 点发散。

由于)(Im )(Re )(z u i z u z u k k k += ),2,1( =k ，所以级数（3.1）的收敛和发散问题就归结为两个实变函数级数∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 的收敛和发散问题；在一点z ，若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 都收敛，则级数（3.1）在此点收敛；若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 至少有一个发散，则级数（4.1）在此点发散。

级数（4.1）收敛的必要条件是 0)(lim =∞→z u n n （4.3） （4.1）式收敛的充要条件是：任意给定一个小的数ε＞0，总存在充分大的正整数N ，使当n>N 时,对于任何自然数p ，恒有 1|()()||()|pn p n n k k S z S z u z ε++=-=<∑ （4.4）这称为柯西收敛判据。

如果级数 1|()|k k u z ∞=∑ （4.5）在z 点收敛，则称级数（4.1）在此点绝对收敛。

大一上学期末复变函数与积分变换核心概念解析复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是自变量和因变量都是复数的函数。

在大一上学期的数学课程中，复变函数与积分变换是一个重要的内容。

本文将对复变函数与积分变换的核心概念进行深入解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、复变函数的基本概念1. 复数的定义与性质复数是由实数和虚数单位虚数单位i构成的数，通常表示为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

复数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，并且具有共轭和模的性质。

2. 复变函数的定义复变函数是将复数域上的复数映射到复数域上的函数。

形式上可以表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy，u和v是实变函数，称为复变函数的实部和虚部。

3. 复变函数的导数和积分与实变函数类似，复变函数也有导数和积分的概念。

复变函数f(z)在点z0处的导数定义为极限limz→z0[f(z)−f(z0)]/(z−z0)，积分的定义则是沿着某条曲线对复变函数进行积分。

二、复变函数的解析性与洛朗级数1. 解析函数的定义解析函数是复变函数中的重要概念，指的是在某个区域内处处可导的函数。

具体来说，对于该区域内的任意一点z0，f(z)在z0的邻域内都可以展开成幂级数。

2. 洛朗级数对于复变函数f(z)，如果它在某个点z0处解析，那么它在该点的邻域内都可以展开成洛朗级数，即f(z)=∑(n=−∞)∞cn(z−z0)^n。

三、积分变换的基本概念1. 积分变换的定义积分变换是一类重要的数学变换，它在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。

一般形式的积分变换可以表示为F(s)=∫0∞f(t)e^(-st)dt，其中f(t)是原函数，F(s)是变换后的函数。

2. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是积分变换的一种特殊形式，它的定义是F(s)=∫0∞f(t)e^(-st)dt。

拉普拉斯变换的性质非常丰富，可以方便地对微分方程进行求解和分析。