下载文档原格式
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计一. 教材分析《二次函数与最大利润问题》这一节内容，是在学生学习了二次函数的基础上进行的。
教材通过实例引出二次函数在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
同时，本题也是中考的热点题型，对于学生来说，理解和掌握二次函数在最大利润问题中的应用，对于提高他们的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求最大利润问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在最大利润问题中的应用。
2.能够列出二次函数表示的生产成本函数，并求出最大利润。
3.培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在最大利润问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并求解最大利润。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生主动探究二次函数在最大利润问题中的应用，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
同时，辅以小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究二次函数在最大利润问题中的应用。
2.准备PPT，用于展示问题和解答过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：某工厂生产一种产品，固定成本为8000元，每生产一件产品的成本为200元，售价为300元，问工厂每月生产多少件产品时，可以获得最大利润？2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数表示的生产成本函数和利润函数。
设每月生产x件产品，利润函数为：y = 300x - 200x - 8000 = 100x - 8000。
3.操练（10分钟）让学生尝试求解最大利润，引导他们发现这是一个二次函数的最大值问题。
初中数学九年级《⼆次函数与最⼤利润问题》公开课教学设计22.3实际问题与⼆次函数第⼆课时⼆次函数与最⼤利润问题⼀、教学⽬标知识与技能：通过探究实际问题与⼆次函数的关系，让学⽣掌握利⽤顶点坐标解决最⼤值(或最⼩值)问题的⽅法。
过程与⽅法：通过研究⽣活中实际问题，让学⽣体会建⽴数学建模的思想；通过学习和探究“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想⽅法。
情感态度与价值观：通过将“⼆次函数的最⼤值”的知识灵活⽤于实际，让学⽣亲⾃体会到学习数学的价值，从⽽提⾼学⽣学习数学的兴趣。
⼆、教学重点及难点教学重点：⽤⼆次函数的知识分析解决有关利润的实际问题。
教学难点：通过问题中的数量变化关系列出函数解析式。
三、学情分析我班学⽣已经学习了⼆次函数的定义、图象和性质，在此之前也学习了列代数式、列⽅程解应⽤题，所以学⽣具备了⼀定的建模能⼒，但我班学⽣的理解能⼒较弱，对应⽤题具有恐惧感，然⽽应⽤⼆次函数的知识解决实际问题需要很强的灵活应⽤能⼒，对学⽣⽽⾔建模难度很⼤。
三、教学过程（⼀）复习引⼊ (1)商家进了⼀批杯⼦，进货价是10元/个，以a 元/个的价格售出，则商家所获利润为()10a -元。
（2）某种商品的进价是400元，标价为600元，卖出3x 件，为了减少库存，商家采取打⼋折促销，卖出了(65)x +件，则商家所获利润为(1080400)x +元。
利润问题主要⽤到的关系式是：利润=售价-进价总利润=单件利润 ? 销售数量(⼆)创设情境问题（合作交流）童装的进价40元/件，售价60元/件，每星期可卖出300件。
如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
要想获得7200元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场⼀周的利润为 6000 元；设销售单价上调了x 元，那么每件商品的利润可表⽰为 (60-40+x ) 元，每周的销售量可表⽰为(300-10x ) 件，⼀周的利润可表⽰为(60-40+x )(300-10x )元，要想获得6090元利润可列⽅程 (60-40+x)(300-10x)=7200 。
第二十二章二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时二次函数与最大利润问题
(续表)
(续表)
(续表)
(续表)
活动四：课堂总结反思
1.课堂总结：
(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第51页习题22.3第2，8题．
小结环节的设置能
够让学生养成自主
归纳课堂重点的习
惯，提高学生的学习
能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境和探究新知环节中，通过解决实际生活中的利
润问题，从而得到解答此类问题的一般方法，构建函数模
型；在课堂训练环节中，教师给予学生充分的自由讨论时
间，提高学生解答问题的积极性.
②[讲授效果反思]
教师强调：（1）利用利润公式列函数解析式；（2）在数
量与价格的变化中利用表格形式表示数量关系.
③[师生互动反思]
从课堂发言和练习来看，借助实际问题和开放自由的讨论
给予课堂活力，使学生能够充分理解利润问题的函数模型.
④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教
师表现，进一步提升
操作流程和自身素
质.。
课题：26.3实际问题(利润最大化)与二次函数(利润最大化)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关利润等函数最值问题.3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值. 教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题. 难点：将现实问题数学化. 教学过程： 一.知识回顾二. 例题讲解思考：综合以上两问题，在定价为多少时，才能使利润最大？ 牛刀小试:(1)若记销售单价为x 元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y 元，求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？三、知识整理，形成系统1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？3、学到了哪些思考问题的方法？ 随堂清1、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?问题1:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.经市场调查反映:如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.已知商品的进价为每件40元.要想每星期获得6090元的利润,应如何定价?如何定价才能使利润最大?问题2:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.经市场调查反映:如果调整价格,每降价1元,每星期可多卖出10件.已知商品的进价为每件40元.如何定价才能使利润最大?要想每星期获得6090元的利润,应如何定价?③当一个旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?②若旅行团有32人,旅行社营业额又如何?①若旅行团人数为25人,旅行社的营业额如何? 某旅行社组团去雁荡山旅游,每人单价600元,旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加1人,每人的单价就降低10元.1.求出下列函数的最大(或最小)值.① y=2x 2-4x-5 ② y=-x2+3x2.某商品现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少?2、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?3、国务院出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?4、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？5、随着近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
22.3实际问题与二次函数
第2课时二次函数与最大利润问题
情景导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣
一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件.已知该商品的进价为每件40元，请问：
①题中调整价格的方式有哪些？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？
[说明与建议] 说明：从学生感兴趣的经济问题入手，通过学生观察、思考，小组内相互交流后建立数学模型.建议：教师需重点关注：①学生能否想到两种调整价格的方式；②学生在表示价格和利润之间的关系时，是否注意到自变量的取值范围.
——第50页探究2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
【模型建立】
本题是一道较复杂的市场营销问题，不能直接建立函数模型，需要分类讨论，分别建立函数解析式，在不同的情况下，必须注意自变量的取值范围，以便在这个取值范围内考虑函数的性质和图象，然后比较得出结论.
【变式变形】
1.[教材第52页习题2
2.3第8题]某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空
闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？[答案：房价定为每天350元时，宾馆利润最大]
2.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13
，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季 旺季 未入住房间数（间）
10 0 日总收入（元） 24000 40000
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变.经市场调查发现，如果今年豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，每间的价格每增加25元，那么每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格每间上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
[答案：（1）该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元 （2）当该酒店将豪华 间的价格每间上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为42025元]
[命题角度] 利用二次函数的性质解决最大利润问题 此类问题的常见题型：（1）利用二次函数解决最大利润问题，如教材P 50探究2，P 52习题22.3 T 8；（2）一次函数与二次函数的图象结合解决最大利润问题.
例1 淮安中考某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当该纪念品每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.
（1）当该纪念品每件的销售价为52元时，每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y 最大？并求出最大利润.
[答案：（1）180 （2）当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为2250元]
例2 天门中考绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出.如图22－3－13，线段EF 、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价y 1（元）、生
产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系.
图22－3－13
（1）求该有机产品每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数解析式；
（2）直接写出该有机产品每千克的生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数解析式；
（3）当该有机产品的产量为多少时，生产并销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
[答案：（1）y1＝－
3
5x＋168（0≤x≤180）（2）y2＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧70（0≤x≤50）；
－
1
5x＋80（50<x<130）；
54（130≤x≤180）（3）当该有机产品的产量为110 kg时，生产并销售这种产品获得的利润最大，最大利润为4840元]
1. 出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6－x）个，则当x=时，一天出
售该种文具盒的总利润最大．
2. 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元/件）的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
3. 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．
（1）已知销售单价提高4元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个；销售这种篮球每月的总利润是元；
（2）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个（用含x的代数式表示）；
（3）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？
参考答案
1．3
2．（1）y=－10x2+100x+6000
（2）当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元
3．解：（1）14 460 6440 （2）（10＋x）（500－10x）
（3）设月销售利润为y元．
由题意得：y＝(10＋x)( 500－10x)，
整理得：y＝－10(x－20)2＋9000，
当x＝20时，y有最大值9000．
此时篮球的售价应定为20＋50＝70(元)．
答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球的售价为70元．
素材六数学素养提升
中国数学界的伯乐——熊庆来
人们在赞美千里马时，总会记起识马的伯乐。
中国科学界在赞美华罗庚时，也不会忘记他的老师、中国近代数学的先驱——熊庆来。
熊庆来(1893—1969)，字迪之，云南弥勒人，18岁考入云南省高等学堂，20岁赴比利时学采矿，后到法国留学，并获博士学位。
他主要从事函数论方面的研究，定义了一个“无穷级函数”，国际上称为熊氏无穷数。
熊庆来热爱教育事业，为培养中国的科学人才，做出了卓越的贡献。
1930年，他在清华大学当数学系主任时，从学术杂志上发现了华罗庚的名字，了解到华罗庚的自学经历和数学才华以后，毅然打破常规，请只有初中文化程度的19岁的华罗庚到清华大学。
在熊庆来的培养下，华罗庚后来成为著名的数学家。
我国许多著名的科学家都是他的学生。
在70多岁高龄时，他虽已半身不遂，还抱病指导两个研究生，这就是青年数学家杨乐和张广厚。
熊庆来爱惜和培养人才的高尚品格，深受人们的赞扬和敬佩。
早在1921年，他在东南大学(南京大学前身)当教授时，发现一个叫刘光的学生很有才华，经常指点他读书、研究。
后来又和一位教过刘光的教授，共同资助家境贫寒的刘光出国深造，并且按时给他寄生活费。
有一次，熊庆来甚至卖掉自己身上穿的皮袍子，给刘光寄钱。
刘光成为著名的物理学家后，经常满怀深情地提起这段往事，他说：“教授为我卖皮袍子的事，十年之后才听到，当时，我感动得热泪盈眶。
这件事对我是刻骨铭心的，永生不能忘怀。
他对我们这一代多么关心，付了多么巨大的热情和挚爱呀!”认为“陈景润定理”。
