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三角形中角平分线的定义三角形，这个我们在小学数学课上学过的形状，真的是个奇妙的东西。
三条边，三个角，听起来简单，但里面的奥妙可不少。
今天咱们就聊聊三角形中的角平分线，哎呀，这个名字一听就有点复杂，对吧？别担心，我来给你捋一捋，让你一下子明白过来。
角平分线顾名思义，它就是把一个角给分成两个相等的角。
这就像是把一块蛋糕切成两份，虽然都一样大，但你觉得两边的味道是一样的吗？哈哈，可能不会，因为每个人都有自己喜欢的那一块。
但在数学里，这两个角可就是一模一样的，完全不差分毫。
这条线从角的顶点出发，直直地延伸到对面的边上，像个英勇的骑士，一路披荆斩棘。
你可能会问，这个角平分线有什么用呢？角平分线在我们生活中也有不少应用。
比如说，建筑设计、工程测量，甚至是打理花园，都是需要用到这种神奇的线的。
想象一下，设计师在画图纸时，心里默念：“要把这个角平分，才能确保这个房子建得又稳又美！”是不是听起来很酷？三角形的角平分线有个很棒的性质：它把对面的边分成的两段，和它的两个角的比值是相等的。
简单说，就是边上的两段长度和相应的角大小是有关系的。
就像是你和朋友去吃饭，最后你们各自点了多少菜，大家心里都有数，绝对不想让对方多点或少点，这样才公平嘛，对吧？讲到这里，可能有人会觉得这些性质有点抽象。
别着急，咱们用个例子来说明一下。
想象你有个三角形ABC，角A的角平分线穿过对面的边BC，交点叫D。
你会发现，BD 和DC的长度比就是角A的大小与角B的大小的比。
这可是个绝对的真理，听起来是不是有点像魔法？这种规律性让我们对三角形的理解更深入，也让我们在解题时有了更多的工具。
你看，虽然数学有时让人觉得枯燥无味，但只要好好去了解，就会发现里面的乐趣。
就像在翻一本书，你不知道书里有多精彩，直到你真正打开它的一页。
角平分线就是这样一种神奇的存在，它在三角形里默默无闻，却又扮演着极其重要的角色。
生活中也处处有它的影子，只是我们常常没注意到而已。
角平分线不仅是数学中的一个概念，更是让我们在生活中找到平衡与和谐的小秘密。
角平分线的定义是什么本文是关于角平分线的定义是什么，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。
角平分线的定义角平分线定义(Anglebisectordefinition)从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorofangle)。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
其它解释：角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线的性质在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(逆定理)在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。
三角形的角平分线定义三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的其它解释角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三个角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的作法在角AOB中，画角平分线方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点p。
3.作射线Op。
则射线Op为角AOB的角平分线。
证明：连接pM,pN在△pOM和△pON中∵OM=ON,pM=pN,pO=pO∴△pOM≌△pON(SSS)∴∠pOM=∠pON，即射线Op为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有很多种。
下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形高，中线，角平分线的定义
定义如下：
1、高：三角形的一个顶点向对边做的一条垂线段叫三角形的高。
2、中线：连接顶点和它，所对的边的中点，所得的线段，叫做三角形的中线。
3、角平分线：将一个叫分成相等的两份。
其他定义
三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。
本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。
一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。
如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。
如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。
2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。
如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。
3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。
如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。
三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。
假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。
则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。
又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。
因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。
2. 求平行四边形的面积。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。
3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。
在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。
掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。
角平分线定义与判定一、角平分线的定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段，在几何学中，角平分线是一种重要的概念。
我们平常所说的“平分一角”指的就是通过作画将一个角分成两个相等的角。
角平分线可以帮助我们计算角的度数，解决很多与角相关的几何问题。
二、角平分线的判定方法在几何学中，判定一个线段是否是角的平分线有多种方法，下面介绍几种常用的判定方法：1. 角平分线的定义判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线，那么OC将AOB分成两个相等的角。
•反之，如果线段OC将角AOB分成两个相等的角，那么OC就是AOB的平分线。
2. 作图法一•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。
•作图方法一是借助圆的性质：以点O为圆心，以OA或OB为半径，画一个圆。
•画出这个圆后，如果OC与圆相交于点D，并且OD = DC，那么OC是AOB的平分线。
3. 作图法二•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。
•作图方法二是借助三角形的性质：以点O为顶点，以OA和OB为边，画出一个三角形。
•若三角形OAC和三角形OBC的边长相等，那么OC是AOB的平分线。
4. 角平分线的性质判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线。
•角平分线的性质之一是：AO/OC = BO/OC = AO/BO。
•如果满足这一性质，即AO/OC = BO/OC = AO/BO，那么OC就是AOB的平分线。
三、角平分线的应用1. 解决角度平分问题角平分线最常见的应用是解决与角度平分相关的问题。
通过画出角的平分线，可以帮助我们计算出角的度数，解决各种几何问题。
2. 构建等边三角形角平分线还可以用于构建等边三角形。
假设我们已知一个角的平分线，可以通过该平分线上一点与角的两边相交，构建出一个等边三角形。
3. 求解角的均分问题角平分线还可以用于求解角的均分问题。
假设我们已知一个角的度数，要求将其均分为n个小角。
角平分线与面积的关系一、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，把该角平分成两个相等的角的线段。
角平分线具有以下性质： 1. 角平分线将角分成两个相等的角。
2. 角平分线上的点与角的两边的距离相等。
3. 三角形的内角平分线交于一点，该点称为内心。
二、角平分线与三角形面积的关系角平分线与三角形的面积有着密切的关系。
下面我们来探讨一下角平分线与三角形面积之间的几个重要关系。
1. 角平分线分割三角形的面积假设我们有一个角ABC，其中AD是角ABC的角平分线，将角ABC分成两个相等的角ACD和BCD。
我们可以发现，AD还将三角形ABC分成了两个三角形S1和S2。
那么，我们可以得到以下关系：三角形ADC的面积加上三角形BDC的面积等于三角形ABC的面积。
2. 角平分线与三角形内心前面提到过，角平分线三角形的内角平分线交于一点，该点称为内心。
内心与三角形的三条边的关系为：内心到三角形的三条边的距离相等。
3. 角平分线分割三角形的面积比例角平分线所分割的两个三角形面积的比例等于角平分线所在边的两个部分的长度比例。
即 S1/S2 = AD/BD。
三、证明角平分线分割三角形的面积比例现在我们来证明一下角平分线所分割的三角形的面积比例等于角平分线所在边的两个部分的长度比例。
假设角ABC的角平分线为AD，将角ABC分成了两个相等的角ACD和BCD。
我们要证明S1/S2 = AD/BD。
首先，我们可以通过面积公式得到 S1 = 0.5 * AC * AD * sin(ACD)， S2 = 0.5 * BC * BD * sin(BCD)。
由于ACD和BCD是相等的，所以sin(ACD) = sin(BCD)，即 S1 = 0.5 * AC * AD * sin(BCD)， S2 = 0.5 * BC * BD * sin(BCD)。
将AC和BC分别除以BD，得到 S1 = 0.5 * (AC/BD) * AD * BD * sin(BCD)， S2 = 0.5 * BC * BD * sin(BCD)。
角平分线定理角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■三角形的角平分线定义:三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！（即内心）。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在AABC 中，BD 平分ZABC,则AD： DC二AB： BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为AABC的角平分线，求证AB/AOMB/MC已知和证明1图证明：方法1：(面积法)SAABM=(l/2)・ AB ・ AM ・ sinZBAM,SAACM=(l/2)・ AC ・ AM ・ sinZCAM,A SA ABM： SA ACM 二AB: ACXAABM和AACM是等高三角形，面积的比等于底的比,证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ・•・ AB / AC二MB /MC 方法2 （相似形）过C作CN II AB交AM的延长线于N 则厶ABM^ ANCM・•・ AB/NC 二BM/CM又可证明ZCAN=ZANC・•・AC二CN・・・ AB / AC 二MB /MC证明3图方法3 （相似形）过M作MN II AB交AC于N 则厶ABC^ANMC,・•・ AB/AC二M\/NC, AN/NC二BM/MC艾可证明ZCAM=ZAMN・•・AN二MN・•・ AB./AC 二AN/NC・•・ AB / AC 二MB /MCA角平分线定理方法4 （正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D, 由正弦定理，得，证明4图AB/sinZ BMA 二BM/ sinZ BAM,AAC/sinZ CM A 二CM/ s i n Z C AM XZBAM=ZCAM, ZBMA+ZAMC=180° sinZBAM二sinZCAM, sinZBMA二sinZAMC, ••• AB / AC=MB /MC。
七年级数学角平分线的定义
一、角平分线的定义（人教版七年级数学）
1. 定义内容。
- 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线。
- 例如，在∠AOB中，若射线OC是∠AOB的角平分线，那么∠AOC = ∠BOC，且∠AOC=(1)/(2)∠AOB，∠BOC=(1)/(2)∠AOB。
2. 角平分线的表示方法。
- 通常用符号“OC平分∠AOB”来表示射线OC是∠AOB的角平分线。
3. 角平分线的性质在几何图形中的应用。
- 在三角形中，如果有角平分线，会涉及到一些角度关系的计算。
- 例：在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D。
若∠BAC = 80°，那么∠BAD=(1)/(2)∠BAC = 40°。
- 角平分线还与三角形的其他线段（如中线、高线）共同构成三角形中的重要线段关系，在解决三角形全等、相似等问题时也经常用到角平分线的性质。
4. 角平分线的实际应用。
- 在建筑设计、工程测量等领域，角平分线的概念也有应用。
- 比如在规划一块三角形的土地时，要将某个角平分成相等的两部分，就会用到角平分线的知识来确定分割线的位置。
角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线或线段。
对于任意一个角ABC，如果直线AD将角ABC分成两个相等角，那么称直线AD 为角ABC的角平分线。
如图1所示，AD是角ABC的角平分线。
角平分线有以下的性质：1. 角平分线与角的两边垂直角平分线与角的两边垂直是角平分线的重要性质之一。
也就是说，角的两边与角平分线之间的夹角是90度。
这是很容易证明的，我们可以利用垂直角的性质来证明。
2. 角平分线相交于角的内部角平分线与角的两边相交于角的内部。
这可以通过反证法来证明。
假设角平分线与角的内部不相交，那么根据对角分线定理，该线段将角分成两个不等的角，与角平分线的定义相矛盾。
3. 角平分线将角分成两个相等角这是角平分线的定义所保证的。
通过角的内部一点作角的角平分线，可以将角分成两个相等的角。
这一性质在解决几何问题时经常会被应用。
二、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段分成两个相等的线段，并且与该线段垂直的直线或线段。
对于线段AB，如果直线CD将线段AB平分，并且垂直于线段AB，那么称直线CD为线段AB的垂直平分线。
如图2所示，CD是线段AB的垂直平分线。
垂直平分线也有一些重要的性质：1. 垂直平分线与线段相交于线段的中点垂直平分线与线段相交于线段的中点，这是垂直平分线的定义所保证的。
线段的中点是指线段的两个端点的中点，可以通过连结线段的两个端点并取垂直平分线上的一点来证明。
2. 垂直平分线是线段的对称轴垂直平分线将线段分成两个相等的部分，并且对称于垂直平分线。
这是因为线段的两侧与垂直平分线之间的距离相等。
3. 垂直平分线垂直于线段垂直平分线与线段垂直是垂直平分线的重要性质之一。
也就是说，线段与垂直平分线之间的夹角是90度。
三角形的角平分线几何语言三角形的角平分线是指从三角形的一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分成两个相等的角的线段。
角平分线在几何学中有着重要的应用和性质。
我们来看一下角平分线的定义。
对于三角形ABC来说，如果从顶点A出发，将∠BAC的角平分成两个相等的角∠BAD和∠DAC，则线段AD称为角BAC的角平分线。
角平分线有一些重要的性质。
首先，角平分线上的点到三角形的两边的距离相等。
也就是说，如果点D是角BAC的角平分线上的一点，那么AD=BD=CD。
这个性质可以通过角平分线的定义和角的性质来进行证明。
角平分线将对边分成一定比例。
具体来说，如果有一个三角形ABC，角平分线AD将∠BAC的角平分成两个相等的角∠BAD和∠DAC，那么有AD/DB=AC/BC。
这个性质可以通过相似三角形的性质来进行证明。
接下来，我们来探讨一下角平分线的一些应用。
首先，角平分线可以帮助我们求解三角形的各个角的大小。
如果我们已知一个三角形的两边的长度和它们夹角的大小，我们可以通过角平分线的性质来求解出三角形其他两个角的大小。
角平分线还可以帮助我们求解三角形的边的长度。
如果我们已知一个三角形的两个角的大小和它们对应的两边的长度，我们可以通过角平分线的性质来求解出第三边的长度。
这个方法被称为角平分线定理。
角平分线还有一些重要的性质。
例如，如果一个点在一个三角形的角平分线上，那么这个点到三角形的三个顶点的距离之比等于这个点到三角形的三个对边的距离之比。
这个性质被称为角平分线定理的逆定理。
角平分线还有一些其他的性质和定理，例如外角平分线、内接角平分线、垂直平分线等。
这些性质和定理在几何学的证明和计算中有着重要的应用。
总结起来，三角形的角平分线是从一个顶点出发，将相邻两边的夹角平分成两个相等的角的线段。
角平分线具有一些重要的性质，包括角平分线上的点到三角形的两边的距离相等，角平分线将对边分成一定比例等。
角平分线在几何学中有着重要的应用，可以帮助我们求解三角形的角的大小和边的长度。
三角形的中线,角平分线,高线的定义
三角形的中线、角平分线和高线是三角形中的三条重要线段，它们各自具有独特的性质和定义。
以下是它们的定义：
1.中线：
o定义：中线是从一个角的顶点出发，平分对边（或其延长线）的线段。
o性质：中线将相对边分为两段相等的部分。
o定理：三角形的中线与相对边上的中点重合。
2.角平分线：
o定义：角平分线是从一个角的顶点出发，将相对边分为两段相等的线段。
o性质：角平分线将相对边分成两段相等的部分，并且与相对边的中线重合。
o定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3.高线：
o定义：高线是从一个角的顶点出发，垂直于对边（或其延长线）的线段。
o性质：高线将对应的底边分为两段相等的部分。
o定理：高线所在的直线与相对底边垂直。
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
角平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisector of angle)。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
三角形的角平分线不是角的平分线：前者是线段，后者是射线。
其它解释：角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形的角平分线定义
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
