高三选修2教案2.4极限的四则运算(一)

导数的乘法与除法法则一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

二、教学重点：函数积、商导数公式的应用教学难点：函数积、商导数公式三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差的求导公式1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x6. 两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+（二）、探究新课 设函数)(x f y =在0x 处的导数为)(0x f '，2)(x x g =。

芯衣州星海市涌泉学校高三数学极限的四那么运算〔2〕一、教学目的：1．理解由一般到特殊这种演绎思想．2．会分析数列是由哪些简单数列经过怎样的运算结合而成的．3．掌握数列极限的运算法那么，会求数列极限．4．通过数列极限的四那么运算法那么的应用进步转化才能、计算的转化才能、逆向思维才能．二、教学重点：数列极限四那么运算法那么的应用；教学难点：运算的转化〔式子的转化变化，复杂数列极限转化为简单数列极限〕．三、教学用具：投影仪或者者多媒体四、教学过程1．复习引入，演绎结论提问：〔1〕函数极限的四那么运算法那么．〔2〕数列是一种特殊的函数〔自变量为n ，函数值为n a 〕，引出数列的极限是函数极限的特例．数列极限的四那么运算法那么也是函数极限四那么运算法那么的特例．得出数列极限的四那么运算法那么：假设b b a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 b a b a n n n ±=±∞→)(lim ． b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ，特别地，n n n n a C a C ∞→∞→⋅=⋅lim )(lim 〔C 为常数〕． )0()(lim ≠=∞→b ba b a n n n ． 说明：〔1〕法那么的前提条件是n n n n b a ∞→∞→lim lim 、都存在〔假设是商的运算，0lim ≠=∞→b b n n 〔2〕法那么可推广到有限多个情形．〔3〕几个常用极限：)1(0lim ,01lim ,lim <===∞→∞→∞→q q n C C n n n n 2．法那么应用，掌握规律例3求以下极限〔1〕⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 21lim 2；〔2〕n n n 23lim -∞→； 〔3〕232lim 22++∞→n n n n ；〔4〕24323lim n n n n n -+∞→ 分析：〔1〕数列由哪几个简单数列构成？经过怎样的运算结合而成？能否直接用法那么？为什么可直接用？用哪个法那么？〔2〕此题不能直接用法那么，应如何变形，变形的目的是什么？〔3〕一题也不能直接套用法那么，如何转化才能求出极限？与〔2〕的式子变形有何异同？用了哪几个法那么？可得何结论？〔4〕此题与〔1〕〔2〕〔3〕有何不同？分子分母同除以3n 行吗？可得到一个什么结论？解：〔见书〕总结：〔1〕当分子与分母是关于n 的次数一样的多项式时，这个分式在∞→n 时的极限值是分子、分母中最高次项的系数之比．〔2〕当分子、分母都是关于n 的多项式，且分母的次数高于分子的次数时，这个公式在∞→n 时的极限是0． 想一想：将例3中每一小题里的n 换成x ，问题就成为求∞→x 〔包含∞±〕时，函数的极限．这样改换后，解法与答案有变化吗？3．变式训练，培养才能变式训练1：求以下极限：〔1〕12)2)(1(lim 2++--∞→x x x x x ．〔答案：21〕 〔2〕176123lim 32++--∞→x x x x x ．〔答案：0〕 课堂练习：书第90页第1题、第2〔1〕、〔3〕、〔5〕、〔7〕题．要求：详细写出解答过程，对〔5〕、〔7〕题可提问：是否一定要把多项式展开？比照展开与不展开的结果．口答第2〔2〕、〔4〕、〔6〕、〔8〕题．变式训练2：：25531lim 22=-++∞→n n an n ，求常数a 的值． 分析：题中a 在一个式子中，如何求出它的值？〔只要得到一个含a 的方程就可以求出〕如何得以这个方程呢？〔先求极限〕如何求极限呢？〔分子分母同除以2n ，即可用法那么求出来〕 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-++=-++∞→∞→∞→∞→53lim 11lim 5311lim 531lim 222222n n n a n n n a n n an n n n n 由255=-a ，得225-=a ． 点评：此题既培养了学生方程的思想、转化的思想，又培养了逆向思维才能，培养了变形才能，稳固了法那么的应用．4．归纳小结〔1〕数列极限四那么运算法那么，法那么成立的条件，运算过程〔防止结果对，推理过程错〕要掌握好，确保运算结果正确．〔2〕当分子分母都是关于n 的多项式时，分子、分母同除分子、分母中关于n 的最高次幂，再用法那么求极限．五、布置作业书第91页第2题〔1〕、〔3〕、〔5〕、〔7〕、〔9〕题写过程，〔2〕、〔4〕〔6〕〔8〕〔10〕题直接写结果〕．选做题〔1〕123lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→bn n an n ，求常数a 、b 的值． 〔2〕求nn n n n 3232lim 11-+++∞→． 〔3〕求)0(55lim >+-∞→a a a nn nn n ． 〔4〕假设1)43(lim ,7)6(lim -=-=-∞→∞→n n n n n n b a b a ，求)3(lim n n n b a +∞→的值．答案：〔1〕21==b a ．〔2〕－3．〔3〕50<<a 时，－1；5=a 时，0；5>a 时，1．〔4〕2． 注：本教案部分内容参考温声林周佩曾的教案。

§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法 , 但这种方法使用起来很不方便 , 并且在大多数情形下也是不可行的 . 这一节我们将给出极限的若干运算法则 , 应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一无穷小的运算定理设 , , 是 x x0 时的无穷小，即 lim ( x) 0, lim ( x) 0, lim ( x) 0, 下面x x0 x x0 x x0来叙述有关无穷小的运算定理。

定理 1 1 ）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论： 1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。

定理 2 如果 lim f x A ， lim g x B 则 f ( x) g(x), f ( x) g(x), f ( x)B 0 ，x x0 x x0 g( x) 的极限都存在，且（ 1）lim f x g x lim f x lim g x A B;x x0 x x0 x x0（ 2）lim f x g x lim f x lim g x AB;x x0 x x0 x x0f x lim f xA（ 3）lim x x0 ( B 0).g x lim g x Bx x0x x0证 1 因为 lim f x A， lim g x B ，所以，当 x x0时，0, 1 0 ，x x0 x x0当 0 x x0 1 时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 时，2有 g (x) B2，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有( f (x) g( x)) ( A B) ( f ( x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B2 2所以 lim ( f (x) g( x)) A B 。

第三册(选修Ⅱ)第二章极限教材分析本章内容是数学归纳法，数学归纳法应用举例， 数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性极限是微积分中的重要概念，极限的思想方法在数学中有着广泛的应用本章的教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1数学归纳法应用举例3课时2.2数列的极限1课时2.3函数的极限2课时2.4极限的四则运算3课时2.5 函数的连续性1课时小结与复习2课时一、内容与要求（一）本章的教学内容1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件．中学数学中的许多重要结论，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步.2．本章引言从我国魏晋时期杰出数学家刘徽创立的“割圆术”说起，引出了极限的思想和方法，形象具体地帮助学生初步认识极限，激发他们学习极限的兴趣，并由此自然过渡到数列极限的内容数列的极限是最简单的一种极限，它可以看作是自变量以取正整数的形式趋向于无穷时的特殊的函数极限本章2.2节中，对于数列极限的概念分两个阶段讨论首先，通过观察几个特殊数列的变化趋势，归纳出数列极限的描述式定义；接着，通过深入讨论“当项数n 无限增大时，无穷数列{n a }中的项n a 无限趋近于一个常数a”本章在2.3节中采用直观描述的方法，给出函数极限的定性定义让学生尽早进入微积分主体部分（本书的后续内容）的学习3．本章在第2.4节安排了数列极限的四则运算和函数极限的四则运算极限的四则运算是建立在极限的概念的基础上的由于本章不重在研究理论，所以教材中并未给出这些法则的理论依据，而是重在让学生学会使用这些法则安排了一些具有代表性的例题，结合它们介绍了使用极限四则运算法则的基本方法和技巧这些题目的难度都不大，安排它们的目的是让学生掌握最基本的极限运算4．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，而连续的概念是建立在极限的概念的基础上的 2.5节安排了“函数的连续性”在介绍完连续函数的概念及性质后，又介绍了已经学过的基本初等函数的连续性及对于连续函数求极限的方法（如果函数f(x)在点x0处有定义而且连续，那么0 ()(lim x x f x f x→=（二）本章的教学要求1. 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题数学归纳法原理的了解，关键是讲清数学归纳法的两步骤及其作用，数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立，这是问题的重点和难点.2．从数列和函数的变化趋势理解数列极限和函数极限的概念掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限3．了解函数在一点处的连续性的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产生的函数在定义域里每一点都连续；会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值二、教学中应注意的几个问题（一）突出重点、把握难点、打好基础归纳法是一种由特殊到一般的推理方法．分为完全归纳法和不完全归纳法二种．由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行．数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必须是二步．极限的概念是续内容导数的基础由于极限的概念中关系到“无限”，而中学生以往的数学学习中主要接触的是“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题因此，对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解成为本章的难点为了解决这个难点，我们提出如下建议：第一，结合具体例子，通过比较数值的变化及图象，在“无限趋近”的解释上多加考虑，首先要让学生对它形成正确的初般”的归纳，讲具体例子时，注意从中提炼、概括涉及极限的本质特征，为归纳出一般概念做好准备；讲一般概念时，注意结合具体例子予以解释说明，克服抽象理解的困难第三，注意到对极限概念及思想的深入理解不是一次就能完成的，而是需要一个较长的过程因此，在教学中要有计划地、分阶段地、由浅入深地引导学生认识和理解极限的概念和思想，以定性的认识为主，并适当地让学生对极限有一些定量化的认识，注意全章教学的整体效果（二）把握教学要求理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质培养学生对于数学内在美的感悟能力让学生掌握极限的初步概念和一些基本的运算，理解极限的思想和方法，并不要求一些繁难的运算在安排教学内容时，也是从这个出发点出发例如在讲述极限（数列极限、函数极限）的四则运算时，教材安排的题目只是一些基本的题目，难度都不大，安排他们主要是让学生掌握基本的四则运算，加深对概念的理解对于函数的连续性，由于一些基本初等函数以及复合函数的概念学生没有接触过，因此，也只是让学生知道已学过的基本初等函数及由他们经过有限次四则运算所产生的函数在定义域里每一点都连续，会从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值（三）结合本章内容对学生进行思想教育1．通过介绍刘徽“割圆术”，对学生进行爱国主义教育刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他毕生研究《九章算术》，并做了注释，求出圆周率3927π==，提出“出入相补原理”，成为中国古代数学证明的基本3.14161250思想方法之一可以通过介绍中华民族的勤奋与智慧，激发学生的民族自豪感，为祖国的繁荣昌盛而努力学习的热情2．通过对极限内容的教学，使学生从量变中认识质变，从有限中认识无限，从近似中认识精确，帮助他们树立运动变化的辩证唯物主义观点。

极限的运算 教案一、学习要求1．掌握极限的四则运算法则． 2．会用两个重要极限公式求极限．3. 知道什么是高（低）阶无穷小、什么是同阶无穷小以及什么是等阶无穷小． 重点 极限的求法，两个重要极限，等阶无穷小代换．难点 灵活运用极限的四则运算法则、两个重要极限和等阶无穷小代换求极限.二、内容提要在上一节极限的定义中我们学习了函数的极限、数列的极限，极限的性质、无穷小的定义及其性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系。

本节课我们一起学习极限的运算。

极限的求法是本课程的基本运算之一，这种运算涉及的类型多、技巧性强，我们平时应注意适量地多做一些练习，特别要切实掌握基本方法。

1. 极限的四则运算法则设x 在同一变化过程中，)(lim x f 及)(lim x g 都存在（此处省略了自变量x 的变化趋势），则有下列运算法则：法则1 [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±； 法则2 [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f =， 法则3 )(lim )(lim )()(limx g x f x g x f = （0)(lim ≠x g ）． 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立． 下面我们来证明法则2，其他法则证法类同。

证 设B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则知βα=-=-B x g A x f )(,)(， 即βα+=+=B x g A x f )(,)(（α，β都是无穷小）于是)())(()()(αβαββα+++=++=⋅B A AB B A x g x f ．由无穷小的性质知αβαβ++B A 仍为无穷小，再由极限与无穷小的关系，得[])(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ==．例1 p28思考题1（1）、（2）例2 求下列函数的极限：(1) )143(lim 22+-→x x x ， (2)659lim 223+--→x x x x ， (3) )1112(lim 21xx x ---→，(4) 2231lim 22-++-+∞→x x x x x ， (5) 31sin lim xx x x ++∞→．解 (1) )143(lim 22+-→x x x =223lim x x →-x x 4lim 2→+1=5．(2) 当3→x 时，分子、分母极限均为零，呈现“”型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．原式=623lim )2)(3()3)(3(lim33=-+=--+-→→x x x x x x x x ．(3) 当1→x 时，x x --11,122的极限均不存在，式xx --11,122呈现“∞-∞”型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即原式=)11)1)(1(2(lim 1x x x x --+-→)1)(1()1(2lim 1x x x x +-+-=→=21)1(1lim1=+→x x ． (4) 当+∞→x 时，分子分母均无极限，呈现“∞∞”型．需分子分母同时除以2x ，将无穷大的2x 约去，再用法则求原式=222222222231lim x x x x x x x x x x x -++-+∞→=3122311lim 2222=-++-+∞→x x x x x x x ． (5) 不能直接运用极限运算法则，因为当+∞→x 时分子，极限不存在，但x sin 是有界函数，即1sin ≤x ,而0111lim1lim33=+=++∞→+∞→xx x x x x ，因此当+∞→x 时，31x x +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得31sin limxx x x ++∞→=0．小结 （I ）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（II ）求函数极限时，经常出现,,00∞∞∞-∞等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简（约分、通分、有理化、变量代换等），然后再求极限．（III ）利用无穷小的性质求极限2． 两个重要极限(1)1sin lim 0=→x xx 我们来证明上述重要极限：作如右图所示单位圆，取)(rad x AOB =∠，于是有x x OB BC sin sin ==，x OBx AB ==⋂，x x OA AD tan tan ==．由图得x x x tan 2121sin 21<<， 所以1sin cos <<xxx 上述不等式是当20π<<x 时得到的，但因当x 用x -代换时x cos ，xxsin 都不变号，所以x 为负时，关系式也成立．因为1cos lim 0=→x x ，又11lim 0=→x ，由极限的夹逼准则知介于他们之间的函数xxsin 当0→x 时，极限也是1．这样就证明了1sin lim 0=→x xx 注意：这个重要的极限是“”型的，为了强调其形式，我们可以把它写成1sin lim 0=∇∇→∇（其中∇代表同一变量）． 例4 求下列函数的极限： （1）x x x 4sin 3sin lim 0→， （2）20cos 1lim xx x -→解（1）原式=43114344sin lim33sin lim43lim )444sin 333sin (lim 0000=⋅=⋅=→→→→xx x xx x x x x x xx x x x x ． DA即扇形,OAD OAB OAB S S S ∆∆<<（2）先利用二倍角公式2sin21cos 2x x -=，将分子转变成2sin 22x ． 原式=2122sin lim 212sin 2lim 20220=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→x x x x x x ． (2)e x xx =+∞→)11(lim ． 关于这个重要极限，我们不作理论讨论，可以列出xx)11(+的数值表（如下表所示）来从上表可看出，当x 无限增大时，函数x x )1(+的值大致趋势，当∞→x 时，x x)1(+的极限确实存在，且为无理数 718281828.2=e （在此不作证明），即e x xx =+∞→)11(lim 注意：此重要极限也有两个特征，一它是“∞1”型的极限；二它可以表示为e =∇∇+∞→∇)11(lim ．（其中∇代表同一变量）．例4 求下列函数的极限：（1）x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→31lim ， （2） xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛--∞→32lim ． 解 （1）所求极限是“∞1”型，令ux 13=，那么u x 3=． 原式=33311lim )11(lim e u uu u u u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→． （2）x x x --=--31132，所以所求极限是“∞1”型，令ux 131=--，解得u x +=3，当∞→x 时，∞→u ．所以，原式=e u u u u u u uu =⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→+∞→3311lim 11lim 11lim ．小结 用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。