极限的运算法则

极限的运算法则

目的要求

1．掌握数列极限与函数极限的运算法则。

2．能运用极限的运算法则，求出较复杂的函数和数列的极限。

3．让学生体验“化归”、“类比”的数学思想方法。

内容分析

1．简单的函数极限可以从函数值的变化趋势中找出，但较为复杂的函数极限，就必须把它“化归”为简单的函数的极限，通过运算而得出。因此，极限的运算法则是我们实现化繁为简的基本手段。

2．教科书中给出了0x x →时，函数f （x ）极限的四则运算法则，我们类似地可以给出当x →∞时，函数f(x)极限的运算法则，即

如果极限)(lim x f x ∞→与)(lim x g x ∞

→都存在，那么 )()(x g x f ±，)()(x g x f ⋅，)

()(x g x f （当x →∞时）的极限也存在，并且 )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f x x x ∞→∞

→∞→±=±， )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f x x x ∞

→∞→∞→⋅=⋅， )0)(lim ()(lim )(lim )()(lim ≠=∞

→∞

→∞→∞→x g x g x f x g x f x x x x 。 这些法则，可用类比的方法，直接改变式中的0x x →为x →∞而得出，以便学生理解记忆。

3．对于函数极限的运算法则，教科书只给出结论，不要求证明。

4．在上一节课中，已经给学生讲述了数列与函数的关系，即把数列看成是特殊的函数，根据演绎推理，很自然地得出数列的极限运算法则。进一步地令C b n =（C 为常数），则可推得：n n n n a C a C ∞

→∞→⋅=⋅lim )(lim 。 5．极限运算法则可以推广到有限多个数列的情况，让学生感受数学思维的一般规律，养成从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思维习惯。

6．教科书中的例1~例5，共包含了0x x →与x →∞两类极限的计算问题。其中，0x x →的函数f （x ）的极限计算时，分f(x)在0x x =处有定义和无定义的两种（例1、例2是有定

义的；例3是无定义的），另一类x →∞时的函数极限也有两种；一种是每项的极限都存在，可以直接用运算法则而求出的，另一种必须对原来的函数进行恒等变形转化为第一种（例4、例5）。无论是哪一种，它都体现了一种化繁为简，化难为易的基本思想。

教学过程

1．导入新课 ①提出问题：函数1

13)(22+-+=x x x x f ，当x →∞时，你能否直接看出函数值的变化趋势？

②接着提问：怎么办？怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？

③导出课题：极限的运算法则。

2．给出0x x →的极限运算法则

①用多媒体展示法则的表达式与文字叙述。

②强调法则运用的条件：)(lim 0x f x x →、)(lim 0

x g x x →都必须存在。 ③当C 为常数、n 是正整数时，从第二个式子推出：

)(lim )]([lim 0

0x f C x f C x x x x →→⋅=⋅ n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 0

0→→=

3．把展示出来的法则的表达式中的0x x →用x →∞替换，并指出式子仍然成立（用多媒体手段直接在原式上更换）

4．分析讲解例题

例1与例2是同一种类型，当0x x =时，f(x)有定义，学生比较容易掌握。例3中的f(x)在0x x =处无定义，必须通过代数变形才能达到目的。例4、例5都是当x →∞时，分子、分母都没有极限的情况，不能直接运用运算法则，只有帮助学生寻找代数变形的规律与方法，化未知为已知，创造运用法则的条件，才能解决问题。

5．利用数列与函数的关系，直接推出数列极限的运算法则（用多媒体技术，直接把表达式中的f(x)、g(x)分别改成n a 、n b 把x →∞改成n →∞）

6．提出问题：能否把法则推广到有限多个数列的情况？如果有无限多个数列，法则是否仍然成立？

让学生对上述问题进行讨论，并各举实例，如

个

n n n n )11(lim ++∞→的极限情况研究。

7．课堂训练

①学生板演例6、例7、例8。

②学生口答52P 练习。

③学生笔算53P 练习。

8．归纳总结（学生回答下列问题）

①概述极限的运算法则。

②数列的极限计算分几类？具体解决问题的方法如何？

③函数的极限计算分哪几类？如何解决？

布置作业

教科书习题2.2第3题、第6题、第7题。

思考题：求下列式子的极限。

（1）)0,0*,(lim 01110111≠≠∈++++++++----∞→n n n n n n n n x b a N n b x b x

b x b a x a x a x a ππ （2）*),,0,0(lim 0

1110111N t s b a b n b n b n b a n a n a n a t s t t t t s s s s n ∈≠≠+++-++++----∞→

（孙惠华）