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传热学-第四章-热传导问题数值解法

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《传热学》第4章-导热问题的数值解法

《传热学》第4章-导热问题的数值解法
v数 值 解 法 ： 有 限 差 分 法 （ finite-difference ） 、 有 限元法（finite-element） 、边界元法（boundaryelement） 、分子动力学模拟（MD）
数值解法的基本思想
v 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限 个离散点(称为节点)的温度近似值来代替物体 内实际连续的温度分布，将连续温度分布函 数的求解问题转化为各节点温度值的求解问 题，将导热微分方程的求解问题转化为节点 温度代数方程的求解问题。因此，求解域的 离散化、节点温度代数方程组的建立与求解 是数值解法的主要内容。
= ti, j
−

∂t ∂x
i
,
j
∆x
+

∂2 ∂x
t
2
i, j
∆x 2 2!
−

∂ 3t ∂x 3
i, j
∆x 3 3!
+ ...

∂t ∂x

i,
j
=
ti, j
− ti−1, j ∆x
+ O(∆x)
一阶截差公式（向后差分）
ti+1, j
= ti, j
4适用于内节点和边界节点3二控制容积热平衡法0nsew根据导热付里叶定律对于垂直于纸面方向单位宽度而言01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijixttyjijiw?????1xttyjijie????1yttxjijis?????1yttxjijin????1二控制容积热平衡法如果选择步长??xy01111??????????????????yttxyttxxttyxttyjijijijijijijijitttttijijijijij???111140二维稳态导热均匀步长情况下的节点温度差分方程1上上式为内部节点温度差分方程二控制容积热平衡法2边界节点温度差分方程第一类边界条件边界节点温度已知

四章节导热问题数值解法

四章节导热问题数值解法

O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x

2h) h2

2
f
(x

h)

O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '

传热学第四章

传热学第四章

第四章 非稳态导热
第一节 概 述
a)温度分布；b)两侧表面上导热量随时间的变化
图4-1
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
（1）温度场：【如图4-1a）所示】 ①首先，紧挨高温表面部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的温度t0，如图中曲线FBC所示； ②其次，随着时间的推移，温度变化波及的范围不断扩大， 以致在一定时间以后，右侧表面的温度也逐渐升高， 如图中曲线FC、FD所示； ③最后，达到一个新的稳态导热时，温度分布保持恒定， 如图中曲线FE所示。（λ为常数时，FE 为直线。）
t f ( x, y, z, )
dt （3）物体在非稳态导热过程中的温升速率： d
（4）某一时刻物体表面的热流量Φ(W) 或从某一时刻起经过一定时间后表面传递的总热量Q(J)。 要解决以上问题，必须首先求出： 物体在非稳态导热过程中的温度场。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
※求解非稳态导热过程中物体的温度场，通常可采用
第四章 非稳态导热
第一节 概 述 一、基本概念
非稳态导热即指温度场随时间而变化的导热过程 1、定义（P53）
t f ( x, y, z, )
※在自然界和工程中有许多非稳态导热问题。 例如，锅炉、蒸汽轮机和内燃机等动力机械在起动、停机和变 工况运行时的导热； 又如，在冶金、热处理和热加工等过程中，工件被加热或冷却 时的导热； 再有，大地和房屋等白天被太阳加热、夜晚被冷却时的导热。 ※由此可见，研究非稳态导热具有很大的实际意义。
l
—— 导热物体的某一尺寸，详见后述。
第四章 非稳态导热
第一节 概 述
1、毕渥数Bi （P55）
有时用引用尺寸l
e
l ——导热物体的某一尺寸

传热学第4章 导热问题的数值解法

传热学第4章 导热问题的数值解法
各种飞行器和汽车空气动力学船舶水动力学环境工程中污染物的排放和流出水力和海洋学各种机车中的发动机和燃气轮机涡轮机械泵和风机中旋转通道内部的流动扩散等燃烧空气动力学火灾和爆炸电气和电子工程设备的冷却化学工艺过程中的混合分离和聚合建筑物内部和外部环境海上建筑物的负荷气象学中的天气预报20151011导热问题的数值解法40引言3cfdnht的区别与联系计算传热学或数值传热学numericalheattransfernht与计算流体动力学computationalfluiddynamicscfd的主要研究内容是一致的不少文献把热流问题的数值计算一概称为cfd就它们的发展史来说计算传热的发展史在很大程度上也就是计算流体动力学的发展史
2014-10-1
-9-
第4章 导热问题的数值解法——§4-0 引言
●第二阶段，开始走向工业应用阶段(1975－1984)
（5）1981年英国的CHAM公司把PHOENICS软件正式投入市场，开创了 CFD&NHT商用软件市场的先河。 （6）1982年Rhie与Chou提出了同位网格方法。 随着计算机工业的进一步发展，CFD/NHT的计算逐步由二维向三维，由规则 区域向不规则区域，由正交坐标系向非正交坐标系发展。于是，为克服棋盘 形压力场而引入的交错网格的一些弱点，1982年Rhie与Chou提出了同位网格 方法[50]。这种方法吸取了交错网格成功的经验而又把所有的求解变量布臵在 同一套网格上，目前在非正交曲线坐标系的计算中得到广泛的应用。 （7） SIMPLER与SIMPLEC算法 关于处理不可压缩流场计算中流速与压力的耦合关系的算法，在这一段时期 内也有进一步的发展，先后提出了SIMPLER，SIMPLEC算法。
理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法。 3、三种方法的特点 (1) 分析法 a. 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据； b. 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c. 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性； 与实验法相比成本低。 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵

《传热学》课程教学大纲-蔡琦琳

《传热学》课程教学大纲-蔡琦琳

《传热学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标(-)总体目标：《传热学》是研究由温差引起的热能传递规律的科学，是建筑环境与能源应用工程专业的一门基础课程和学位课程。

在制冷、热能动力、机械制造、航空航天、化工、材料加工、冶金、电子与电气和建筑工程等生产技术领域中存在大量的传热问题，课程旨在使学生掌握传热的基本概念、基本原理和计算方法，使学生对热量传递这一普遍存在的现象有理性的认识，并能熟练运用基础知识来思考、分析和解决实际传热问题。

(二)课程目标：本课程旨在使学生掌握热量传递的三种基本方式及其物理机制，掌握传热基础理论与计算方法；掌握传热学的基本实验，具备分析工程传热问题的能力，能够解决增强传热、削弱传热和温度控制等工程传热问题；了解传热学的前沿知识及其在科学技术领域的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及团队合作意识。

课程目标1：系统深入学习，掌握传热基础理论与计算方法。

1.1 掌握传热的基本概念、理论、机理及影响因素；1.2 掌握热传导、热对流和热辐射三种传热模式的基本公式，能够进行各种工况下传热量的计算，并能对工程传热问题进行描述和分析。

课程目标2：掌握传热实验，应用传热学知识，解决工程传热问题。

2.1 掌握传热学中的实验研究方法，使学生对热量传递这一普遍存在的现象有理性的认识。

2.2 根据所学传热理论和实验知识，熟练掌握增强或削弱热能传递过程的方法，能够在工程应用中对热能有效利用、热力设备效率的提高、节能降耗技术等问题从传热学角度进行思考、分析和解决问题。

课程目标3：培养学生的自主学习意识、团队合作能力、口头和书面表达能力，探索传热学前沿科学知识。

3.1 通过课堂分组讨论等方式培养团队合作意识、沟通交流能力和对工程问题进行清清晰表达的能力；3.2 通过课外文献调研并撰写课程报告，提升文献查阅能力和书面表达能力。

(H)课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系三、教学内容第一章结论1 .教学目标（1）了解传热的定义；了解传热学的研究内容及其在生活和工程中的应用；（2）掌握热量传递的三种基本方式及其物理机理；（3）掌握傅里叶定律、牛顿冷却定律及斯忒藩定律，并能应用这三个定律分析基础传热问题；（4）了解传热过程的特点以及电.热模拟的作用和意义；（5）掌握热流密度、热阻和综合传热系数的计算方法。

第四版传热学第四章习题解答

第四版传热学第四章习题解答

第四章复习题1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。

2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。

3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。

4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。

试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。

5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之．6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？8．有人对一阶导数()()()221,253x t t t x t i n i n i n in ∆-+-≈∂∂++你能否判断这一表达式是否正确，为什么？ 一般性数值计算4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。

试用数值方法对Bi=0.1,1,10的三种情况计算下列特征方程的根:)6,2,1( =n n μ3,2,1,tan ==n Binn μμ并用计算机查明，当2.02≥=δτa Fo 时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。

Bi n n =μμtanFo=0.2及0.24时计算结果的对比列于下表：第一项的值 0.94513 0.61108 0.10935 前六项的值 0.94688 0.6198 0.11117 比值 0.998140.986940.98364 Bi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.99277 0.93698 0.77311 前六项和的值0.99101 0.92791 0.76851 比值1.001771.009781.005984-2、试用数值计算证实，对方程组⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+5223122321321321x x x x x x x x x用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。

热传导问题的数值解法

热传导问题的数值解法

热平衡法不是在控制方程的基础上进行离
散，而是直接对元体应用热力学第一定律
和傅里叶定律，从而得到该节点温度的离 w
e
散方程。
二维稳态常导热系数无内热源的稳态导热
问题，对元体(m,n)列出能量守恒方程：
s
w e n s 0
➢ 从元体西界面导入的热量为: ➢ 从元体东界面导入的热量为: ➢ 从元体北界面导入的热量为: ➢ 从元体南界面导入的热量为:
控制方程
t
a
2t x2
对该方程，扩散项在i时刻采用中心差分格式， 非稳态项取向前差分格式进行离散，得：
t (i1) n
t (i) n
a
t (i) n1
2tn(i)
x2
t (i) n1
t (i1) n
a x 2
t t (i)
(i)
n1 n1
1
2a x 2
t
(i n
)
上述离散方程一旦i时层各节点温度已知，每一个离散方程中只有一个未 知量，因此可以立即求出i+1时层上各内部节点的温度，而不必联立求解
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
tm1,n
tm1,n
2tm,n
2t x2
x2
1 12
4t x4
x4 ...
m,n
m,n
2t x 2
tm1,n
tm1,n x 2
2tm,n
0(x2 )
m,n
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t
tm1,n tm1,n 2tm,n
数值解： 用导热体内有限个离散点上的温度值的集合来代替实际连续的温度场 分布

传热学课件第四章 导热问题数值解法基础

传热学课件第四章 导热问题数值解法基础

i , j
t x

t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x

t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k


显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k

k 1
t1 /
k

△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k

t
t1
k

1 2

c

x
2
t1

k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y

y 2
x 2
1
BP

1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2

t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x

V4-第四章-导热数值解法-2014

V4-第四章-导热数值解法-2014
为什么要建立边界节点的离散方程？
内节点 边界节点
平直边界节点 边界内节点 边界外节点
一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热 流密度表达式。用Φ表示内热源。
边界节点离散方程的推导（热平衡法）：
X方向
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
tm 1 ,n tm ,n x tm ,n x x 2 t2m ,n 2 x !2 x 3 t3m ,n 3 x !3
2. 整理得到二阶导数的中心差分
Step-5: 节点离散（代数）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法
判断迭代是否收敛的准则：
max
t
( i
k
1
)
t
( i
k
)
or
max
or
max
t
( i
k
1)
t
( i
k
)
t
( i
k
)
t
( i
k
1)
t
( i
k
)ห้องสมุดไป่ตู้
t
(k max
)
ε 为允许的偏差，一般取10-3～10-6
tm(ka)x 为k次迭代得到的计算域温度最大值
i t
n
隐式格式 隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。 隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。
作业：4-10 ；4-15
传热学 Heat Transfer

传热学 第4章-导热问题的数值解法

传热学 第4章-导热问题的数值解法

第四章 导热问题的数值解法1、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。

2、掌握内容：数值解法的实质。

3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。

由前述3可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。

但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。

随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（1） 有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。

如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。

分析解法与数值解法的异同点：1、 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z)；② ),,,(τz y x g Q =。

2、 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。

§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本概念1、 实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。

该方法称为数值解法。

这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。

2、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。

由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础； 2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。

传热学第四章-导热问题的数值解法-2

传热学第四章-导热问题的数值解法-2
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等
高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
t1(k)、t2(k)....tn(k)
t(k1)
1
1 a11
a12t2(k )
......
a1nt
max
ti(k 1) ti(k )
ti(k )
max
ti(k 1) ti(k ) tm(ka)x
— 允许的偏差； 相对偏差 值一般
取103 ~ 106
k及k+1表示迭代次数； tm(ka)x—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t 时，第三个较好
4-3 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热问题与稳态导热问题的区别是，温度分布不仅 与空间坐标有关，还与时间有关。 本节要求掌握一维非稳态导热问题的数值解法，能够写出 内部节点和边界节点的有限差分方程，掌握显式差分方程 的稳定性条件。
作业：4-10 ；4-15
• 习题课
（1）第一、二、三章思考题讲解； （2）第一、二、三章作业习题讲解；
[t
ti(k ) ]
2标和时间的步长，按选定的坐标步长划分节点网 格，并将节点按位置编号。
2）按节点的情况（位置和具体边界条件）写出各节点的差
分方程，并检查是否符合稳定性条 件。
3）从初始条件出发，逐点计算 时刻各节点的温度，然后
再逐点计算 2 ,3 ,...... 时刻各节点的温度，直到指定
i 1
]
(2) 边界节点
相邻节点导入控制体的热流量+边界
表面对控制体的传热量=边界单元体

热传导问题的数值解法

热传导问题的数值解法

1. 空间离散化
01
将求解区域划分为一系列小的网格或节点，用离散的差分代替
微分。
2. 时间离散化
02
将时间轴划分为一系列小的时段，用离散的差分代替微分。
3. 初始条件和边界条件的离散化
03
将初始条件和边界条件转化为离散形式。
差分方程的求解
01
1. 迭代法
2. 直接法
02
03
3. 松弛法
通过迭代逐步逼近解，常用的有 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭 代法。
02
根据问题的几何特性和求解精度要求，选择合适的单元类型和
划分方式。
单元划分应尽量保证求解精度和计算效率。
03
建立系统方程
01
根据热传导的物理定律和边界条件，建立每个单元的热平衡 方程。
02
将各个单元的方程联立起来，形成整个求解域上的系统方程 。
03
系统方程通常为线性方程组，可以使用不同的求解方法进行 求解。
步骤
首先将求解区域划分为一系列离散点，然后根据泰勒级数展开，将偏微分方程 中的导数项用离散点上的函数值之差代替，从而得到离散化的差分方程。
特点
有限差分法简单直观，适用于规则区域，但对不规则区域 处理较为复杂。
有限元法
定义
有限元法是一种将连续的求解区域离散化为有限个小的子域（即有限元），然后在每个子 域上应用数学方法进行求解的方法。
热传导定律也称为傅里叶定律，指出热流密度与温度梯度成正比，方向由高温指向低温。数学表达式为：q = -k * grad(T)，其中 q为热流密度，k为导热系数，T为温度，grad表示梯度。
热传导定律是热传导过程的基本规律，描述了热量传递的方向和大小，是数值解法的基础。

传热学第四版课后题答案第四章分析

传热学第四版课后题答案第四章分析

第四章复习题1、 试简要说明对导热问题进行有限差分数值计算的基本思想与步骤。

2、 试说明用热平衡法建立节点温度离散方程的基本思想。

3、 推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散方程的过程十分相似，为什么前者得到的是精确描述，而后者解出的确实近似解。

4、 第三类边界条件边界节点的离散那方程，也可用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立。

试比较这样建立起来的离散方程与用热平衡建立起来的离散方程的异同与优劣。

5．对绝热边界条件的数值处理本章采用了哪些方法？试分析比较之．6．什么是非稳态导热问题的显示格式？什么是显示格式计算中的稳定性问题？7．用高斯－塞德尔迭代法求解代数方程时是否一定可以得到收敛德解？不能得出收敛的解时是否因为初场的假设不合适而造成？8．有人对一阶导数()()()221,253x t t t xti n i n i n in ∆-+-≈∂∂++你能否判断这一表达式是否正确，为什么？ 一般性数值计算4-1、采用计算机进行数值计算不仅是求解偏微分方程的有力工具，而且对一些复杂的经验公式及用无穷级数表示的分析解，也常用计算机来获得数值结果。

试用数值方法对Bi=0.1,1,10的三种情况计算下列特征方程的根:)6,2,1( =n n μ3,2,1,tan ==n Binn μμ并用计算机查明，当2.02≥=δτa Fo 时用式（3-19）表示的级数的第一项代替整个级数（计算中用前六项之和来替代）可能引起的误差。

解：Bi n n =μμtan ，不同Bi 下前六个根如下表所示：Bi μ 1 μ2 μ3μ4 μ5 μ60.1 0.3111 3.1731 6.2991 9.4354 12.5743 15.7143 1.0 0.8603 3.4256 6.4373 9.5293 12.6453 15.7713 101.42894.30587.228110.200313.214216.2594Fo=0.2及0.24时计算结果的对比列于下表：Fo=0.2 δ=xBi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.94879 0.62945 0.11866 前六和的值 0.95142 0.64339 0.12248 比值 0.997240.978330.96881 Fo=0.2 0=x Bi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.99662 0.96514 0.83889 前六项和的值0.994 0.95064 0.82925 比值1.0021.015251.01163Fo=0.24 δ=xBi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.94513 0.61108 0.10935 前六项的值 0.94688 0.6198 0.11117 比值 0.998140.986940.98364 Fo=0.24 0=x Bi=0.1 Bi=1 Bi=10 第一项的值 0.99277 0.93698 0.77311 前六项和的值0.99101 0.92791 0.76851 比值1.001771.009781.005984-2、试用数值计算证实，对方程组⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+5223122321321321x x x x x x x x x用高斯-赛德尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。

导热问题数值解法

导热问题数值解法

W
h3 tf h2 tf
y x
t0
h1 tf
H
传输原理
2. 区域离散化 (discretization)
沿x方向和y方向分别以Δx，Δy为间隔把 求解区域划分成很多个小的子区域。 步长：相邻两节点间的距离Δx, Δy。 节点：网格线(边界线)的交点。
( m, n) 节点表示： (m 1, n) (m, n 1) (m 1, n) (m, n 1)
级数展开式分别为：
h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3! h2 h3 f ( x h) f ( x) hf ( x) f ( x) f ( x) 2! 3!
工学院机电工程教研室 传输原理
4.2 内节点离散方程的建立方法
数值计算过程的核心内容 . 两种方法: 泰勒级数展开法;
控制容积热平衡法 .
2t 2t 0 2 2 x y
4.2.1 泰勒级数展开法
根据泰勒级数，导出节点（m,n）处二阶偏导数 的差分表达式：
t m 1, n t m , n t m 1, n t m , n t x x t x x
导热问题数值解法
(Numerical Method of Conduction)
工学院机电工程教研室
传输原理
引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
工学院机电工程教研室

传热学第四章

传热学第四章

k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
4-3 一维非稳态导热问题的数值求解
在非稳态导热问题中，不但需要对空间区域进 行离散，还需要对时间变量进行离散，接下来以一 个一维非稳态导热问题为例，重点介绍对非稳态项 的离散方法，以及不同离散方法对计算带来的影响 等。
n
y
m
x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer 2.建立节点物理量的代数方程
每一个节点都与它周围相邻的节点存在一定的 关系，通过相应的物理定律，可建立它们之间的关 系式（属于代数方程式），此关系式又称作节点的 离散方程。
(m,n+1)
(m,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
华北电力大学
(m,n-1)
h,tf
0 q=0 H x
华北电力大学
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
二、数学描述
华北电力大学
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
+
Φ& λ
=
0
x=0 x=H y=0
−
∂t ∂x
=
0
−
λ
∂t ∂x
=
h(t
−tf
)
−
∂t ∂y
=
0
y =W
−
λ
∂t ∂y
=
h(t
−tf
)
刘彦丰
传热学 Heat Transfer
tm,n+1 −tm,n ∆y
(m,n+1)

传热学课件：第四章 数值解法

传热学课件：第四章 数值解法

（2）高斯—赛德尔迭代法
①选初值；
②一次次的直接计算t1，t2，…，tn ，注意计算tn 时， tn前面的温度全部用新值代替。如知道t1后， 求t2时，用t1代替原设的初值。
例题：有一正方形截面，边界长为1m，边 界上的温度已知，求t1，t2，t3，t4。
解（1）列节点方程式
100℃
500℃
12
3 4 100℃
100℃
迭代法
n
t1
t2
t3
t4
0
300
300
200
200
1
275 268.75 168.75 159.38
2 259.38 254.69 154.69 152.35
3 252.35 251.26 151.18 150.61
4 250.61 250.31 150.31 150.15
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。
由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
2. 间接法（迭代法）经过有限次的迭代，求出近似解， 对于计算机来说，存储量较少。
松弛法（余数调节法）
高斯—赛德尔迭代法
（1）松弛法 ①设初值； ②求R1，R2，…，Rn，找Rmax；(余数) ③如设R4为最大，改变t4，使R4 ≈0，t4=t4+R4/4： ④重新计算有关节点的余数；
⑤重复步骤③ ④ ，直到全部余数为零。

传热学-第四章-热传导问题的数值解法

传热学-第四章-热传导问题的数值解法

23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解： 第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020

传热学-第4章-热传导问题的数值解珐

传热学-第4章-热传导问题的数值解珐

若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点 控制容积的热平衡为： 控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。 ） 值不为零： （3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界： 平直边界节点： 平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件 需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件 的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2
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n=N
元体（element）或控制容积 （control volume）：相邻两 节点中锤线构成的区域。
(m,n)
相邻节点之间的距离—— 步长（step length）
y
y
n=1 m=1
x
Wednesday, November 07, 2018
x
m
m=M
8
3.建立物理量的代数方程
节点(m,n)上物理量的代数方程称为离散方程（discretization equation），是数值 求解的重要环节。
同理，在y轴方向有：
这种使用被离散点本身、前后两点作近似的差分方法称为——中心差分 传热学中常用到的一阶二阶导数的差分表达式如下表所示（均分网格）：
Wednesday, November 07, 2018
13
Wednesday, November 07, 2018
14
二. 热平衡法
思路：类似于导热微分方程的推导，利用傅里叶定律，直接写出每个控制体的能量守 恒方程。
导热微分方程+边界条件+初始条件
稳态问题：直接积分法 非稳态问题：分离变量法 解析解（analytical solution）
工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上 的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依 据，不能解决实际问题。
Wednesday, November 07, 2018
4.设立迭代初场
代数方程组的解法分为直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中 每一个未知数都需要给定一个初值，其合集称之为初场（initial field）
5.求解代数方程组
各项系数（l等）经确定后，在求解过程中不发生变化
线性问题 非线性问题
r，c，l，e随温度变化
各项系数在每次迭代中更新
6
研究对象：二维，稳态，常物性，无内热源导热问题
1.建立控制方程，给出定解条件：
B.C.
Wednesday, November 07, 2018
7
2.区域离散化-建立网格系统
网格线：一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域 节点（node）：网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。
均分网格：
(m,n)
非均网格只需对界面面 积做适当处理即可 直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰， 推导过程简洁，应予以重点掌握！
Wednesday, November 07, 2018
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
(m,n) (m-1,n) (m,n-1)
qw
y
x
Wednesday, November 07, 2018
17
(2) 内部角点
qw
(m,n+1) (m,n) (m-1,n) (m+1,n)
y x
(m,n-1)
Wednesday, November 07, 2018
18
(3) 外部角点
(m-1,n) (m,n)
作业：
第四版：3-2，3-31，3-48
2018/11/7
1
第四章 导热问题的数值解法
Numerical Method for Heat Conduction
主要内容（重点掌握）： 导热问题数值求解的基本思想 内外节点离散方程的建立 非稳态导热问题的数值解法
2018/11/7
3
§4-0 引言
(3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
Wednesday, November 07, 2018
10
一. 泰勒级数展开法
Wednesday, November 07, 2018
11
a，b相加得：
略去无穷小量有：
Wednesday, November 07, 2018
12
研究传热学问题的三种基本方法：(1)理论分析法； (2)实验法；(3)数值计算法 特点： (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；
b 分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰 c 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
前述2、3章对导热问题的求解思路： 局限性： 简单几何形状及边界条件
n=N
封闭
(m,n+1)
n
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
(m-1,n)
w
e
(m,n)
s
(m+1,
m
m=M
x
Wednesday, November 07, 2018
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1.边界节点离散方程的建立： (1) 平直边界上的节点
qw
(m,n+1)
6.解的分析
获得温度场不是最终目的，根据傅里叶定律获取界面处的热流q，热应力，热变形等。 若把矩形看成肋片，最终目的可能是求其肋效率等。
Wednesday, November 07, 2018
9
§4-2 内节点离散方程的建立方法
建立离散方程的常用方法：
(1) 泰勒级数展开法；
(2) 多项式拟合法；
Wednesday, November 07, 2018
5
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
步骤：
建立控制方程及定解条件 设立温度场的迭代初值
确定节点（建立网格系统） 针对所有节点建立某物理量 的代数方程 改进初场
求解代数方程 否
是否收敛 是
解的分析
Wednesday, November 07, 2018
4
(2) 实验法: 是传热学的基本研究方法： a 偏向于机理研究； b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，具有时间、 空间上的局限性 c.费用昂贵 (3) 数值方法
数值方法：把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值 的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从 而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解 a. 在很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其 优越性； b. 与实验法相比成本低 数值解法： 有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
qw
(m,n-1)
y x
Wednesday, November 07, 2018