概率论与数理统计复习题4及答案

真题考试：2021 概率论与数理统计（经管类）真题及答案(4)共100道题1、设X，Y为随机变量，E(X)=E(Y)=1，Cov(X，Y)=2，则E(2XY)= 【】（单选题）A. -6B. -2C. 2D. 6试题答案：D2、设随机变量x的概率密度为（单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B3、设P(B)=0.6， P(A|-B)=0.5，则P(A-B)= （单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4试题答案：B4、设P(B)=0.6， P(A|-B)=0.5，则P(A-B)= （单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4试题答案：B5、设随机变量x满足E(X2)=20, D(X)=4,则E(2X)= （单选题）A. 4B. 8C. 16D. 32试题答案：B6、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论正确的是（单选题）A. F(+∞)=-1B. F(+∞)=0C. F(-∞)=0D. F(-∞)=1试题答案：C7、（单选题）A.B.C.D.试题答案：A8、（单选题）A. N（-1，3）B. N（-1，9）C. N（1，3）D. N（1，9）试题答案：B9、设随机变量X的分布律为（单选题）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8试题答案：B10、设随机变量X~ B（3,1/5）,则P{X=2}= （单选题）A. 1/125B. 12/125C. 3/25D. 12/25试题答案：B11、（单选题）A.B.C.D.试题答案：C12、为样本方差，则下列结论成立的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：A13、设X1,X2...X10是来自总体X的样本，且X ~ N(0,1)，（单选题）A.B.C.D.试题答案：B14、已知X与Y的协方差Cov(X，Y)=-1/2，则Cov(一2X，Y)= 【】（单选题）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 1试题答案：D15、有6部手机，其中4部是同型号甲手机，2部是同型号乙手机，从中任取3部，恰好取到一部乙手机的概率是（单选题）A. 1/20B. 1/10C. 3/10D. 3/5试题答案：D16、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论中不一定成立的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：D17、（单选题）A. N（-1，3）B. N（-1，9）C. N（1，3）D. N（1，9）试题答案：B18、设随机变量X与Y的相关系数为0.5，D(X)=9，D(Y)=4，则D(3X-Y)= 【】（单选题）A. 5B. 23C. 67D. 85试题答案：C19、设随机变量X在[-2,2]上服从均匀分布，则P{X≥1}= （单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B20、设随机事件A,B满足P(A)=0.2，P(B)=0.4, P(B|A=0.6，则P(B-A)= （单选题）A. 0.16B. 0.2C. 0.28D. 0.32试题答案：C21、已知随机变量X~N(-2,2),则下列随机变量中,服从N(0,1) 分布的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：D22、设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{x=0}=（单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.5试题答案：D23、设随机变量X~ B（3,1/5）,则P{X=2}= （单选题）A. 1/125B. 12/125C. 3/25D. 12/25试题答案：B24、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，Y)关于X的边缘分布函数Fx(x)=（单选题）A.B.C.D.试题答案：A25、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{X=Y}=（单选题）A. 0.2B. 0.25C. 0.3D. 0.5试题答案：D26、设A,B为随机事件，则（单选题）A.B.C.D.试题答案：D27、甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率是（单选题）A. 1/6B. 1/4C. 1/3D. 5/12试题答案：D28、设总体X~ N(μ,σ2)，x1,x2...x n为来自该总体的样本，X为样本均值，S2为样本方差，则μ的极大似然估计为（单选题）A.B.C.D.试题答案：A29、服从的分布是（单选题）A.B.C.D.试题答案：C30、有6部手机，其中4部是同型号甲手机，2部是同型号乙手机，从中任取3部，恰好取到一部乙手机的概率是（单选题）A. 1/20B. 1/10C. 3/10D. 3/5试题答案：D31、设随机变量x的概率密度为（单选题）A. 1/4B. 1/2C. 2/3D. 3/4试题答案：A32、设随机变量X的分布律为（单选题）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8试题答案：B33、设随机变量X～B(3，0.2)，则P{X>2}= 【】（单选题）A. 0.008B. 0.488C. 0.512D. 0.992试题答案：A34、设α是假没检验中犯第一类错误的概率，H。

概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数， 试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ， 于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ， 令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+， 所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ， 由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，． 同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。

·34·《概率论与数理统计》习题及答案第四章1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y的分布列为12311106121112666113126其中(1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X (1,2)(1)(2|P XYP X P Y X 121436余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。

解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32kP Xk C k，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为XY·35·012333610088811230088813318888jip p 其中(0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X ，13313(1,1)(1)(1|1)()128P XYP XP YXC ，余者类推。

3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)8,.x y x y f x y 其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y；（2）{(,)|3}Dx y xy。

求{(,)}P X Y D 解（1）1321{(,)}(6)8P x y D xy d xd x y1194368228；（2）1321{(,)}(6)8xP X Y D x y d x d y112113(1)[(3)4]82x x d xx d x524.4．设(,)X Y 的概率密度为22222(),,(,),.C Rxy xyR f x y 其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()xyr rR 内的概率.解（1）22222232001()RxyRCRxy d xd y C R Cr d rdYX xx+y=3422y·36·333233R R C RC，33CR.（2）设222{(,)|}Dx y x yr ，所求概率为2222233{(,)}()xyrP X Y D R xy d x d yR322323232133r r r R rRRR.5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,1,01(,)0,.x y xyf x y 其它求X 和Y 的联合分布函数.解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)xyF x y f u v d u d v01001000,00,4,1,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.xyxyxy uv du d v xyu yd u d y x y xvd xd v x y xy 或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1,1.x yx y x y x xy yx y xy或解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为2,1,()0,;X x xf x 其他2,01,()0,.Y y yf y 其它边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则·37·20,0,()(),01,1, 1.xX X x F x f u d u x x x 20,0,()(),01,1,1.yY Xy F y fv d v y y y设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1,1.X Y x y x y x y F x y F x F y x xy y x y x y或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:01D x，||y x 内服从均匀分布，求边缘概率密度。

《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。

2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。

3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。

DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。

6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。

试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。

(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。

《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。

2．未知a,b互相矛盾，则a与b的关系就是互相矛盾。

3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。

p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6，4.已知p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。

25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。

36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。

7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。

8.设立某教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。

339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。

611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的5343概率为______。

5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。

12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。

319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。

24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。

15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。

0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则2?1,x2?p(x??3)?__3__。

概率论与数理统计计算-综合题复习题含答案四．综合题1.设有两个口袋，甲袋装有2个白球，1个黑球，乙袋装有1个白球，2个黑球。

由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求（1）从乙袋取到白球的概率；（2)如果知道从乙袋取出的是白球，则从甲袋取出放入乙袋的球，黑白哪种颜色的可能性更大？解：设A=“从甲取到白球”，B=“从乙取到白球”，则有=U B AB AB（1）由已知，可算得以下概率2111(),(),(|),(|),3324P A P A P B A P B A ====由全概率公式，得5()()(|)()(|)12P B P A P B A P A P B A =+=（2）由贝叶斯公式，可得：()4()1(|),(|)()5()5P AB P AB P A B P A B P B P B ==== 即，如果知道从乙袋取出的是白球，则从甲袋取出放入乙袋的球，白色的可能性更大。

2. 设随机变量X 的概率分布为f x A x x ()=<<⎧⎨⎩，，其它010，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{}X ≤12出现的次数，试确定常数A 并求概率P Y {}=2． .解：由归一性⎰⎰+∞∞-===2)(110AAxdx dx x f所以A =2。

即⎩⎨⎧<<=其它，，0102)(x x x f412)()21(}21{21021====≤⎰⎰∞-xdx dx x f F X P 所以)413(~，B Y ，从而}2{=Y P =64943)41(223=⨯C3.某人上班路上所需时间(30,100)X N :（单位：min ），已知上班时间是8:30，他每天7:50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周(以5天计)最多迟到一次的概率.解：（1）因为上班时间服从(30,100)X N :，所以迟到的概率为4030(40)1(40)1()1(1)0.158710P X F -≥=-=-Φ=-Φ= （2）设一周内迟到次数为Y ，则(5,0.1587)Y B :，至多迟到一次的概率为 (1)(1)(0)P Y P Y P Y ≤==+=4550.15870.84130.84130.819=⨯⨯+=4.箱中装有10件产品，其中8件正品，2件次品，从中任取2件，X 表示取到的次品数，求(1)X 的分布律；(2)X 的分布函数；(3)(02)P X <≤.解：（1）2821028045C P X C ===（）， 同理可得（2）0 028145()44 12451 x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≤⎩02(3) 17(02)(2)(1)45P X F F <≤=-=5.离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:（1） 求随机变量,X Y 的边缘分布；（2）问随机变量,X Y 是否独立？并说明理由；（3）计算(0)P XY ≠ 解：（1） X 有分布Y有分布（2）因为===≠===⨯,P X Y P X P Y0(2,0)(2)(0)0.30.1所以X,Y不独立.(3) (0)0.6P XY≠=6. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y解：（1）X的分布律为（2）X+Y的可能取值为：-1,0,1,2，且由联合分布律，可求得：+=-==-==P X Y P X Y(1)(1,0)0.2同理：(0)(1,1)(0,0)0.2 P X Y P X Y P X Y+===-=+=== +====+===P X Y P X Y P X Y(1)(0,1)(1,0)0.5P X Y P X Y+=====(2)(1,1)0.1∴+的分布律为X Y7.设二维随机变量(X ，Y )的分布律为XY -1 0 10 0.2 0.1 0.3 1 0.1 0.2 0.1求：(1)(X ，Y ) 解：（1）Y 的分布律为Y 0 1 P0.60.4（2）X Y -的可能取值为：2,10,1,--， 且由联合分布律，可求得： (2)(1,1)0.1P X Y P X Y -=-==-== 5 同理： (1)(0,1)(1,0)0.4P X Y P X Y P X Y -=-===+=-==(0)(1,1)(0,0)0.2P X Y P X Y P X Y -===-=+===(1)(1,0)0.3P X Y P X Y -=====的分布律为∴-X Y8. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为1) 求X 和Y 的边缘分布；2) X 与Y 是否相互独立? 3）计算(2)P XY < 解 （ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.350.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2 {}i P X x =0.2 0.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯g 0.160.15(2,0.4),=≠===P X Y 故X 与Y 不独立. (3) 因 (2)0.150.050.2<=+=P XYX Y - -2 -1 0 12 P0.10.40.20.3Y X2 5 8 0.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03XY9. 已知随机变量ξ只取－1，0，1，2四个值，相应的概率依次为c 21，c 43，c85，c167，确定常数c ，并计算}0|1{≠<ξξP 和ξE ． 解： 由于c 21+c 43+c 85+c167=1，因此1637=c .32.0}0{}1{}0{}0,1{}0|1{=≠-==≠≠<=≠<ξξξξξξξP P P P P37113716167285143021)1(=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅+⋅-=ξE10. 某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X 服从泊松分布，则()X P λ:，若已知12P X P X ===（）（），且该柜台销售情况Y （千元）满足22Y X =+.试求：(1) 参数λ的值；(2) 一小时内至少有一个顾客光临的概率；(3) 该柜台每小时的平均销售情况E Y （）. 解： (1)由题意12121!2!PX ee P X λλλλ--=====（）（）222!λλλ∴=∴=（2）在一小时内至少有一个顾客光临的概率为022211(0)110!P X P X e e --≥=-==-=-（）（3）22()()()D X E X EX =-Q 222()()()6E X EX D X λλ∴=+=+=2()(2)628()E Y E X ∴=+=+=千元11.某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.解： 令A k ={在第k 次射击时击中目标}，A 0={4次都未击中目标}。

《概率论与数理统计》试卷4一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知随机变量X 的分布函数为F (x )=A +B arctan x ，则A =____，B =____，概率密度函数f (x )=_ _________.2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P {|X －Y | ≥ 6}≤ .3. 设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N (0, 32)的简单随机样本，X = a (X 1－2X 2)2＋b (3X 3－4X 4)2.则当a = ，b = 时，统计量X 服从χ2分布，其自由度为 .4. 设总体X~),(2σμN ，则~)1(22σS n -_ _分布, E (S 2) =__ _，D (S 2)=_ _.5. 设随机变量X ，Y 相互独立都服从正态分布)3,0(2N ，而X 1, X 2,…,X 9和Y 1, Y 2,…, Y 9分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量922221921Y Y Y X X X U ++++++=服从_ _ _分布，参数为_ __.二、选择题（每小题3分，共15分）1． 已知X 服从参数为n , p 的二项分布且() 3.6E X =，2()14.4E X =，则n , p 的值分别为 ( )(A) 6, 0.6 (B) 12, 0.3 (C) 36, 0.1 (D) 24, 0.152． 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1), 则( )(A) P {X +Y ≤0}=0.5 (B) P {X +Y ≤1}=0.5 (C) P {X -Y ≤0}=0.5 (D) P {X -Y ≤1}=0.53． 设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，则（ ） （A ）X +Y 服从正态分布 （B ）X 2+Y 2服从χ2分布（C ）X 2和Y 2都服从χ2分布 （D ）X 2/Y 2服从F 分布4． 设两个随机变量X 与Y 相互独立同分布：P {X = －1} = 0.5，P {X= 1}= 0.5，则下列各式成立的是（ ）（A ） P {X = Y } = 0.5 （B ）P {X =Y } = 1（C ）P {X ＋Y = 0} = 0.25 （D ）P {X Y = 1} = 0.255． 设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N (0，1)的简单随机样本，X 、S 分别是样本的均值和样本标准差，则有（ ）（A ）~(0,1)nX N （B ）~(0,1)X N （C ）~(1)Xt n S - （D ）221~()ni i X n χ=∑ 三、（10分）某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p （0 < p < 1），射击进行到击中目标两次时为止.令X 表示第一次击中目标时的射击次数，Y 表示第二次击中目标时的射击次数，试求X 、Y 的联合分布列p ij ，条件分布列p i |j , p j |i 及条件期望E {X |Y = n }. 四、（15分）某种电子仪器由甲乙两部件构成，以X ，Y 分别表示甲乙两部件的寿命（以小时计）.已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e , 0,0(,)0, x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它(1) 关于X ，Y 的边缘分布函数F X (x )及F Y (y )； （2）问X 和Y 是否相互独立，为什么？（3）求X 与Y 的联合概率密度f (x , y )； （4）计算两个部件的寿命都超过100小时的概率.五、（10分）某单位内部有260部电话分机，每个分机有4％的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不必等候.( Φ (1.65)=0.9505 Φ (1.64)=0.9495 )六、（10分）某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布N (μ, σ 2).为了知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比μ是否改变，测试了9个产品，它们含硫量的百分比的均值和方差分别为： 4.364 0.054x s ==，试求 （1） μ的置信水平为0.9的置信区间；（2） 能否认为含硫量的百分比显著小于 4.55？（显著性水平α＝0.05）七、（10分）设某种商品每年的需求量X （以万吨计）服从[2, 4]上的均匀分布，设每售出1吨这种商品可以获利3万元，假设销售不出而囤积于仓库，则每吨需要花费1万元保管费，问需要组织多少货源，才能使商店获得的期望利润最大.八、（15分）设X 1, X 2, …, X n 是取自下列指数分布的一个样本，1e , 0()0 , 0x x f x x θθ-⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(1) 试求θ的矩估计量ˆθ；(2) 证明ˆθ是θ 的无偏、一致、有效估计.参考答案： 一、填空题1. 1/2 ，1/π， 1/π (1+x 2)2. 1/123. 1/45，1/225，24. χ2, σ 2, 2σ4/ (n -1)5. t , 9 二、选择题1. A2. B3. C4. A5. D 三、解：据题意知P ij = P {X = i , Y = j } = p 2q j －2, 1 ≤ i < j = 2, 3, …其中q =1－p ，又2122111i j i i j i p q p p qpq q-∞--=+===-∑, i =1, 2, (1)1222211(1)j j j j j ij i i p p p q j p q ----=-===-∑∑, j =2, 3, …于是条件分布列为|11ij i j jp p p j ==- 1 ≤ i < j = 2, 3, (22)1|1j ijj i j i i i p p q p pq p pq----=== j > i , i = 1, 2, … 这时E {X |Y = n }11|11112n n i n i i nip in --=====-∑∑. 四、解：（1）F X (x )＝F X (x ，＋∝)＝0.51e , 00, x x -⎧-≥⎨⎩其它F Y (x )＝F Y (＋∝，y )＝0.51e , 00, y y -⎧-≥⎨⎩其它（2）因为 F (x ，y )＝F X (x )·F Y (y )，所以X 和Y 相互独立（3）f (x , y )＝0.5()20.25e, 0,00, x y x y F x y -+⎧>>∂=⎨∂∂⎩其它（4）P (X >100, Y >100) =0.5()100100100100(,)d d 0.25e d d x y f x y x y x y +∞+∞+∞+∞-+=⎰⎰⎰⎰=100e - 五、解：令1, 0, i i X i ⎧=⎨⎩第个分机要用外线第个分机不用外线i =1, 2, …, 260则P (X i = 1) = 0.04 = p (q =1－p = 0.96)如果260架分机中同时使用外线的分机数为X ，显然有X 2601i i X ==∑据题意是要求确定最小的整数x ，使得P (X < x ) ≥ 0.95成立.因为n = 260较大，所以有P (X < x)P =<22e d t bt --∞≈其中b.查标准正态分布表，知道Φ (1.65) = 0.9505 > 0.95，故取b = 1.65，于是260x p =以 p = 0.04、q = 0.96及b = 1.65代入，即可求得x ≈ 15.61 取x = 16，所以总机要备有16条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不必等候.六、解：（1）μ的置信水平为0.1的置信区间为（0.10.122(8),(8)x x ）＝（4.297, 4.397） 假设H 0：μ ≥ μ0 = 4.55，备择假设H 1：μ <μ0 = 4.55由0.05(8)}0.05x P t <-=，查表－t 0.05(8) =－1.8595，x －10.28，故拒绝H 0，认为含硫量的百分比显著小于4.55. （t 0.1(8)=1.3968, t 0.1(9)=1.3830, t 0.05(8)=1.8595,t 0.05(9)=1.8331）七、解：设需要组织货源a 吨，商店获得的利润L (X ,a ) = 3, 3(), a X aX a X X a≥⎧⎨--<⎩X 的分布函数为1, 24()20, x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它期望利润为(,)EL X a =4214)d 3d 2aa x a x a x -+⎰⎰（=212d (2)3(4)2a x x a a a a --+-⎰2272d 132a x x a a =-+⎰令d (,)0d EL X a a=，得2a －7a ＋13 = 0，解得 a = 2.6 八、证明：（1）总体均值1()d e d xEX xf x x x x θθθ-+∞+∞-∞===⎰⎰所以θ 的矩估计量ˆθ＝11ni i X n =∑（2） 1︒ 因为E X = E 11ni i X n =∑= θ ，所以X 是θ 的无偏估计2︒ 由辛钦大数定律，对任意的ε > 0, 11lim {||}1ni n i P X n θε→∞=-<=∑,所以X是θ 的一致估计. 3︒ 先求出信息量I (θ),2log (,)1(log )f x x xθθθθθθθ∂∂=--=-+∂∂ 2222234log (,)11[()][()][2]f X X X X E E E θθθθθθθ∂=-+=-+∂223421212θθθθθθ=-+＝21()nI nθθ=222111()()n i i D X D X n n n nθθ====∑ 所以X 是θ 的有效估计.。