概率论与数理统计复习题4及答案

真题考试：2021 概率论与数理统计（经管类）真题及答案(4)共100道题1、设X，Y为随机变量，E(X)=E(Y)=1，Cov(X，Y)=2，则E(2XY)= 【】（单选题）A. -6B. -2C. 2D. 6试题答案：D2、设随机变量x的概率密度为（单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B3、设P(B)=0.6， P(A|-B)=0.5，则P(A-B)= （单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4试题答案：B4、设P(B)=0.6， P(A|-B)=0.5，则P(A-B)= （单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4试题答案：B5、设随机变量x满足E(X2)=20, D(X)=4,则E(2X)= （单选题）A. 4B. 8C. 16D. 32试题答案：B6、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论正确的是（单选题）A. F(+∞)=-1B. F(+∞)=0C. F(-∞)=0D. F(-∞)=1试题答案：C7、（单选题）A.B.C.D.试题答案：A8、（单选题）A. N（-1，3）B. N（-1，9）C. N（1，3）D. N（1，9）试题答案：B9、设随机变量X的分布律为（单选题）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8试题答案：B10、设随机变量X~ B（3,1/5）,则P{X=2}= （单选题）A. 1/125B. 12/125C. 3/25D. 12/25试题答案：B11、（单选题）A.B.C.D.试题答案：C12、为样本方差，则下列结论成立的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：A13、设X1,X2...X10是来自总体X的样本，且X ~ N(0,1)，（单选题）A.B.C.D.试题答案：B14、已知X与Y的协方差Cov(X，Y)=-1/2，则Cov(一2X，Y)= 【】（单选题）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 1试题答案：D15、有6部手机，其中4部是同型号甲手机，2部是同型号乙手机，从中任取3部，恰好取到一部乙手机的概率是（单选题）A. 1/20B. 1/10C. 3/10D. 3/5试题答案：D16、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论中不一定成立的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：D17、（单选题）A. N（-1，3）B. N（-1，9）C. N（1，3）D. N（1，9）试题答案：B18、设随机变量X与Y的相关系数为0.5，D(X)=9，D(Y)=4，则D(3X-Y)= 【】（单选题）A. 5B. 23C. 67D. 85试题答案：C19、设随机变量X在[-2,2]上服从均匀分布，则P{X≥1}= （单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B20、设随机事件A,B满足P(A)=0.2，P(B)=0.4, P(B|A=0.6，则P(B-A)= （单选题）A. 0.16B. 0.2C. 0.28D. 0.32试题答案：C21、已知随机变量X~N(-2,2),则下列随机变量中,服从N(0,1) 分布的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：D22、设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{x=0}=（单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.5试题答案：D23、设随机变量X~ B（3,1/5）,则P{X=2}= （单选题）A. 1/125B. 12/125C. 3/25D. 12/25试题答案：B24、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，Y)关于X的边缘分布函数Fx(x)=（单选题）A.B.C.D.试题答案：A25、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{X=Y}=（单选题）A. 0.2B. 0.25C. 0.3D. 0.5试题答案：D26、设A,B为随机事件，则（单选题）A.B.C.D.试题答案：D27、甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率是（单选题）A. 1/6B. 1/4C. 1/3D. 5/12试题答案：D28、设总体X~ N(μ,σ2)，x1,x2...x n为来自该总体的样本，X为样本均值，S2为样本方差，则μ的极大似然估计为（单选题）A.B.C.D.试题答案：A29、服从的分布是（单选题）A.B.C.D.试题答案：C30、有6部手机，其中4部是同型号甲手机，2部是同型号乙手机，从中任取3部，恰好取到一部乙手机的概率是（单选题）A. 1/20B. 1/10C. 3/10D. 3/5试题答案：D31、设随机变量x的概率密度为（单选题）A. 1/4B. 1/2C. 2/3D. 3/4试题答案：A32、设随机变量X的分布律为（单选题）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8试题答案：B33、设随机变量X～B(3，0.2)，则P{X>2}= 【】（单选题）A. 0.008B. 0.488C. 0.512D. 0.992试题答案：A34、设α是假没检验中犯第一类错误的概率，H。

(2) ρxy.
(1)
(2)(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
-1
0
1
习题 4.1 1. 设随机变量 X 的概率密度为
(1) 求 E(X)
其他
(2)
解: (1)
(2) 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
试确定常数 a,b,并求 E(X). 解:
(1)
其他
又因当
时
(2) 3. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为
的导数为 的导数为
即 即
求 E(X). 解:
4. 设 X1, X2,….. Xn 独立同分布,均值为 ,且设
D. (X,Y)~N(
)
解: 与 不相关 ρ
5. 设二维随机变量(X,Y)~N(
A.
B. 3
C. 18
解: ρ
),则 Cov(X,Y)= B . D. 36
6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则 E(XY)= A .
A. 3
B. 6
C. 10
解: Cov(X,Y)=0
2. 设随机变量 X 的分布律为 3 .
X
-1
0
1
2

P
0.1 0.2 0.3 0.4
令 Y=2X+1,则 E(Y)=
3
.
解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=3
3. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 P{X=1}=

概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数， 试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ， 于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ， 令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+， 所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ， 由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，． 同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。

·34·《概率论与数理统计》习题及答案第四章1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y的分布列为12311106121112666113126其中(1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X (1,2)(1)(2|P XYP X P Y X 121436余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。

解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32kP Xk C k，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为XY·35·012333610088811230088813318888jip p 其中(0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X ，13313(1,1)(1)(1|1)()128P XYP XP YXC ，余者类推。

3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)8,.x y x y f x y 其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y；（2）{(,)|3}Dx y xy。

求{(,)}P X Y D 解（1）1321{(,)}(6)8P x y D xy d xd x y1194368228；（2）1321{(,)}(6)8xP X Y D x y d x d y112113(1)[(3)4]82x x d xx d x524.4．设(,)X Y 的概率密度为22222(),,(,),.C Rxy xyR f x y 其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()xyr rR 内的概率.解（1）22222232001()RxyRCRxy d xd y C R Cr d rdYX xx+y=3422y·36·333233R R C RC，33CR.（2）设222{(,)|}Dx y x yr ，所求概率为2222233{(,)}()xyrP X Y D R xy d x d yR322323232133r r r R rRRR.5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,1,01(,)0,.x y xyf x y 其它求X 和Y 的联合分布函数.解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)xyF x y f u v d u d v01001000,00,4,1,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.xyxyxy uv du d v xyu yd u d y x y xvd xd v x y xy 或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1,1.x yx y x y x xy yx y xy或解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为2,1,()0,;X x xf x 其他2,01,()0,.Y y yf y 其它边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则·37·20,0,()(),01,1, 1.xX X x F x f u d u x x x 20,0,()(),01,1,1.yY Xy F y fv d v y y y设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1,1.X Y x y x y x y F x y F x F y x xy y x y x y或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:01D x，||y x 内服从均匀分布，求边缘概率密度。

《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。

2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。

3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。

DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。

6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。

试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。

(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。

《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。

2．未知a,b互相矛盾，则a与b的关系就是互相矛盾。

3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。

p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6，4.已知p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。

25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。

36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。

7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。

8.设立某教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。

339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。

611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的5343概率为______。

5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。

12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。

319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。

24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。

15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。

0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则2?1,x2?p(x??3)?__3__。

概率论与数理统计计算-综合题复习题含答案四．综合题1.设有两个口袋，甲袋装有2个白球，1个黑球，乙袋装有1个白球，2个黑球。

由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求（1）从乙袋取到白球的概率；（2)如果知道从乙袋取出的是白球，则从甲袋取出放入乙袋的球，黑白哪种颜色的可能性更大？解：设A=“从甲取到白球”，B=“从乙取到白球”，则有=U B AB AB（1）由已知，可算得以下概率2111(),(),(|),(|),3324P A P A P B A P B A ====由全概率公式，得5()()(|)()(|)12P B P A P B A P A P B A =+=（2）由贝叶斯公式，可得：()4()1(|),(|)()5()5P AB P AB P A B P A B P B P B ==== 即，如果知道从乙袋取出的是白球，则从甲袋取出放入乙袋的球，白色的可能性更大。

2. 设随机变量X 的概率分布为f x A x x ()=<<⎧⎨⎩，，其它010，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件{}X ≤12出现的次数，试确定常数A 并求概率P Y {}=2． .解：由归一性⎰⎰+∞∞-===2)(110AAxdx dx x f所以A =2。

即⎩⎨⎧<<=其它，，0102)(x x x f412)()21(}21{21021====≤⎰⎰∞-xdx dx x f F X P 所以)413(~，B Y ，从而}2{=Y P =64943)41(223=⨯C3.某人上班路上所需时间(30,100)X N :（单位：min ），已知上班时间是8:30，他每天7:50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周(以5天计)最多迟到一次的概率.解：（1）因为上班时间服从(30,100)X N :，所以迟到的概率为4030(40)1(40)1()1(1)0.158710P X F -≥=-=-Φ=-Φ= （2）设一周内迟到次数为Y ，则(5,0.1587)Y B :，至多迟到一次的概率为 (1)(1)(0)P Y P Y P Y ≤==+=4550.15870.84130.84130.819=⨯⨯+=4.箱中装有10件产品，其中8件正品，2件次品，从中任取2件，X 表示取到的次品数，求(1)X 的分布律；(2)X 的分布函数；(3)(02)P X <≤.解：（1）2821028045C P X C ===（）， 同理可得（2）0 028145()44 12451 x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≤⎩02(3) 17(02)(2)(1)45P X F F <≤=-=5.离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:（1） 求随机变量,X Y 的边缘分布；（2）问随机变量,X Y 是否独立？并说明理由；（3）计算(0)P XY ≠ 解：（1） X 有分布Y有分布（2）因为===≠===⨯,P X Y P X P Y0(2,0)(2)(0)0.30.1所以X,Y不独立.(3) (0)0.6P XY≠=6. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y解：（1）X的分布律为（2）X+Y的可能取值为：-1,0,1,2，且由联合分布律，可求得：+=-==-==P X Y P X Y(1)(1,0)0.2同理：(0)(1,1)(0,0)0.2 P X Y P X Y P X Y+===-=+=== +====+===P X Y P X Y P X Y(1)(0,1)(1,0)0.5P X Y P X Y+=====(2)(1,1)0.1∴+的分布律为X Y7.设二维随机变量(X ，Y )的分布律为XY -1 0 10 0.2 0.1 0.3 1 0.1 0.2 0.1求：(1)(X ，Y ) 解：（1）Y 的分布律为Y 0 1 P0.60.4（2）X Y -的可能取值为：2,10,1,--， 且由联合分布律，可求得： (2)(1,1)0.1P X Y P X Y -=-==-== 5 同理： (1)(0,1)(1,0)0.4P X Y P X Y P X Y -=-===+=-==(0)(1,1)(0,0)0.2P X Y P X Y P X Y -===-=+===(1)(1,0)0.3P X Y P X Y -=====的分布律为∴-X Y8. 设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为1) 求X 和Y 的边缘分布；2) X 与Y 是否相互独立? 3）计算(2)P XY < 解 （ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.350.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2 {}i P X x =0.2 0.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯g 0.160.15(2,0.4),=≠===P X Y 故X 与Y 不独立. (3) 因 (2)0.150.050.2<=+=P XYX Y - -2 -1 0 12 P0.10.40.20.3Y X2 5 8 0.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03XY9. 已知随机变量ξ只取－1，0，1，2四个值，相应的概率依次为c 21，c 43，c85，c167，确定常数c ，并计算}0|1{≠<ξξP 和ξE ． 解： 由于c 21+c 43+c 85+c167=1，因此1637=c .32.0}0{}1{}0{}0,1{}0|1{=≠-==≠≠<=≠<ξξξξξξξP P P P P37113716167285143021)1(=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅+⋅-=ξE10. 某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X 服从泊松分布，则()X P λ:，若已知12P X P X ===（）（），且该柜台销售情况Y （千元）满足22Y X =+.试求：(1) 参数λ的值；(2) 一小时内至少有一个顾客光临的概率；(3) 该柜台每小时的平均销售情况E Y （）. 解： (1)由题意12121!2!PX ee P X λλλλ--=====（）（）222!λλλ∴=∴=（2）在一小时内至少有一个顾客光临的概率为022211(0)110!P X P X e e --≥=-==-=-（）（3）22()()()D X E X EX =-Q 222()()()6E X EX D X λλ∴=+=+=2()(2)628()E Y E X ∴=+=+=千元11.某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.解： 令A k ={在第k 次射击时击中目标}，A 0={4次都未击中目标}。

《概率论与数理统计》试卷4一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知随机变量X 的分布函数为F (x )=A +B arctan x ，则A =____，B =____，概率密度函数f (x )=_ _________.2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P {|X －Y | ≥ 6}≤ .3. 设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N (0, 32)的简单随机样本，X = a (X 1－2X 2)2＋b (3X 3－4X 4)2.则当a = ，b = 时，统计量X 服从χ2分布，其自由度为 .4. 设总体X~),(2σμN ，则~)1(22σS n -_ _分布, E (S 2) =__ _，D (S 2)=_ _.5. 设随机变量X ，Y 相互独立都服从正态分布)3,0(2N ，而X 1, X 2,…,X 9和Y 1, Y 2,…, Y 9分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量922221921Y Y Y X X X U ++++++=服从_ _ _分布，参数为_ __.二、选择题（每小题3分，共15分）1． 已知X 服从参数为n , p 的二项分布且() 3.6E X =，2()14.4E X =，则n , p 的值分别为 ( )(A) 6, 0.6 (B) 12, 0.3 (C) 36, 0.1 (D) 24, 0.152． 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1), 则( )(A) P {X +Y ≤0}=0.5 (B) P {X +Y ≤1}=0.5 (C) P {X -Y ≤0}=0.5 (D) P {X -Y ≤1}=0.53． 设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，则（ ） （A ）X +Y 服从正态分布 （B ）X 2+Y 2服从χ2分布（C ）X 2和Y 2都服从χ2分布 （D ）X 2/Y 2服从F 分布4． 设两个随机变量X 与Y 相互独立同分布：P {X = －1} = 0.5，P {X= 1}= 0.5，则下列各式成立的是（ ）（A ） P {X = Y } = 0.5 （B ）P {X =Y } = 1（C ）P {X ＋Y = 0} = 0.25 （D ）P {X Y = 1} = 0.255． 设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N (0，1)的简单随机样本，X 、S 分别是样本的均值和样本标准差，则有（ ）（A ）~(0,1)nX N （B ）~(0,1)X N （C ）~(1)Xt n S - （D ）221~()ni i X n χ=∑ 三、（10分）某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p （0 < p < 1），射击进行到击中目标两次时为止.令X 表示第一次击中目标时的射击次数，Y 表示第二次击中目标时的射击次数，试求X 、Y 的联合分布列p ij ，条件分布列p i |j , p j |i 及条件期望E {X |Y = n }. 四、（15分）某种电子仪器由甲乙两部件构成，以X ，Y 分别表示甲乙两部件的寿命（以小时计）.已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e , 0,0(,)0, x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它(1) 关于X ，Y 的边缘分布函数F X (x )及F Y (y )； （2）问X 和Y 是否相互独立，为什么？（3）求X 与Y 的联合概率密度f (x , y )； （4）计算两个部件的寿命都超过100小时的概率.五、（10分）某单位内部有260部电话分机，每个分机有4％的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不必等候.( Φ (1.65)=0.9505 Φ (1.64)=0.9495 )六、（10分）某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布N (μ, σ 2).为了知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比μ是否改变，测试了9个产品，它们含硫量的百分比的均值和方差分别为： 4.364 0.054x s ==，试求 （1） μ的置信水平为0.9的置信区间；（2） 能否认为含硫量的百分比显著小于 4.55？（显著性水平α＝0.05）七、（10分）设某种商品每年的需求量X （以万吨计）服从[2, 4]上的均匀分布，设每售出1吨这种商品可以获利3万元，假设销售不出而囤积于仓库，则每吨需要花费1万元保管费，问需要组织多少货源，才能使商店获得的期望利润最大.八、（15分）设X 1, X 2, …, X n 是取自下列指数分布的一个样本，1e , 0()0 , 0x x f x x θθ-⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(1) 试求θ的矩估计量ˆθ；(2) 证明ˆθ是θ 的无偏、一致、有效估计.参考答案： 一、填空题1. 1/2 ，1/π， 1/π (1+x 2)2. 1/123. 1/45，1/225，24. χ2, σ 2, 2σ4/ (n -1)5. t , 9 二、选择题1. A2. B3. C4. A5. D 三、解：据题意知P ij = P {X = i , Y = j } = p 2q j －2, 1 ≤ i < j = 2, 3, …其中q =1－p ，又2122111i j i i j i p q p p qpq q-∞--=+===-∑, i =1, 2, (1)1222211(1)j j j j j ij i i p p p q j p q ----=-===-∑∑, j =2, 3, …于是条件分布列为|11ij i j jp p p j ==- 1 ≤ i < j = 2, 3, (22)1|1j ijj i j i i i p p q p pq p pq----=== j > i , i = 1, 2, … 这时E {X |Y = n }11|11112n n i n i i nip in --=====-∑∑. 四、解：（1）F X (x )＝F X (x ，＋∝)＝0.51e , 00, x x -⎧-≥⎨⎩其它F Y (x )＝F Y (＋∝，y )＝0.51e , 00, y y -⎧-≥⎨⎩其它（2）因为 F (x ，y )＝F X (x )·F Y (y )，所以X 和Y 相互独立（3）f (x , y )＝0.5()20.25e, 0,00, x y x y F x y -+⎧>>∂=⎨∂∂⎩其它（4）P (X >100, Y >100) =0.5()100100100100(,)d d 0.25e d d x y f x y x y x y +∞+∞+∞+∞-+=⎰⎰⎰⎰=100e - 五、解：令1, 0, i i X i ⎧=⎨⎩第个分机要用外线第个分机不用外线i =1, 2, …, 260则P (X i = 1) = 0.04 = p (q =1－p = 0.96)如果260架分机中同时使用外线的分机数为X ，显然有X 2601i i X ==∑据题意是要求确定最小的整数x ，使得P (X < x ) ≥ 0.95成立.因为n = 260较大，所以有P (X < x)P =<22e d t bt --∞≈其中b.查标准正态分布表，知道Φ (1.65) = 0.9505 > 0.95，故取b = 1.65，于是260x p =以 p = 0.04、q = 0.96及b = 1.65代入，即可求得x ≈ 15.61 取x = 16，所以总机要备有16条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不必等候.六、解：（1）μ的置信水平为0.1的置信区间为（0.10.122(8),(8)x x ）＝（4.297, 4.397） 假设H 0：μ ≥ μ0 = 4.55，备择假设H 1：μ <μ0 = 4.55由0.05(8)}0.05x P t <-=，查表－t 0.05(8) =－1.8595，x －10.28，故拒绝H 0，认为含硫量的百分比显著小于4.55. （t 0.1(8)=1.3968, t 0.1(9)=1.3830, t 0.05(8)=1.8595,t 0.05(9)=1.8331）七、解：设需要组织货源a 吨，商店获得的利润L (X ,a ) = 3, 3(), a X aX a X X a≥⎧⎨--<⎩X 的分布函数为1, 24()20, x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它期望利润为(,)EL X a =4214)d 3d 2aa x a x a x -+⎰⎰（=212d (2)3(4)2a x x a a a a --+-⎰2272d 132a x x a a =-+⎰令d (,)0d EL X a a=，得2a －7a ＋13 = 0，解得 a = 2.6 八、证明：（1）总体均值1()d e d xEX xf x x x x θθθ-+∞+∞-∞===⎰⎰所以θ 的矩估计量ˆθ＝11ni i X n =∑（2） 1︒ 因为E X = E 11ni i X n =∑= θ ，所以X 是θ 的无偏估计2︒ 由辛钦大数定律，对任意的ε > 0, 11lim {||}1ni n i P X n θε→∞=-<=∑,所以X是θ 的一致估计. 3︒ 先求出信息量I (θ),2log (,)1(log )f x x xθθθθθθθ∂∂=--=-+∂∂ 2222234log (,)11[()][()][2]f X X X X E E E θθθθθθθ∂=-+=-+∂223421212θθθθθθ=-+＝21()nI nθθ=222111()()n i i D X D X n n n nθθ====∑ 所以X 是θ 的有效估计.。

=
⎡ E⎢
1
⎢⎣ n −1
n i =1
(Xi
−
⎤ X )2 ⎥
⎥⎦
=
1 n −1
⎡ E⎢
⎢⎣
n i =1
X
2 i
−
nX
2⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 n −1
⎡n ⎢ ⎢⎣ i=1
E
(
X
2 i
)
−
nE( X
2⎤ )⎥ ⎥⎦
∑[ ] [ ] =
1 n −1
⎧ ⎨ ⎩
n i =1
D(X i ) + E 2 (X i )
X −µ 3/2
<
⎫ 1.96⎬
=
0.95
⎭
故，正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为 (X − 2.94, X + 2.94)
代入样本值得正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为（-2.565，3.315）。
（2）当σ 未知时，由 T = X − µ ~ t(n − 1) 即T = X − µ ~ t(3) ，所以
n
−a n
=0 =0
无解。由此不能求得
a,
b
的极大似然估计量。
⎩ ∂b
b−a
解：X
的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
a
≤
x
≤
b
，
⎪⎩ 0, 其它
似然函数为 L(a, b) = 1 , θ1 ≤ xi ≤ θ 2 ,i = 1,2,L, n ， (b − a)n
对于给定的样本值 (x1 , x2 ,L, xn )
−
n
D(

=
1 n
n
∑
i=1
Xi
,则【
】
( A)
Cov(
X1
,
Y
)
=
σ2 n
.
(C)
D(
X1
+
Y
)
=
(n
+ n
2)
σ
2.
(B) Cov( X1,Y ) = σ 2.
(D)
D( X1
−Y
)
=
n +1σ n
2.
三、计算
1.
设随机变量X1服从 λ
=
1 2
的指数分布，X2的概率分布密度函数
f
(
x)
=
⎧⎪⎨cxe−
x 2
A 18
B9
C 30
D 36
3.设X是随机变量，EX=μ，DX=σ2，则对任意常数C，必有 【 】
A
E(X-C)2=EX2-C2
B E(X-C)2=E(X-μ)2
C
E(X-C)2≤E(X-μ)2
D E(X-C)2≥E(X-μ)2
23
4．设随机变量 X 的密度函数为
f (x) =
π
(1
1 +
x
2
)
(−∞
10.随机变量 X 服从参数为λ的指数分布，则 P{X > DX } = 。
1 0.15 0.20
。 .
二、选择题
1.设随机变量
X
的概率密度函数为
f
（
x
）=
⎧⎪0.1e−0.1x ⎨
x>0
，则 E（2X+1）=【
】
⎪⎩ 0

概率论与数理统计第四章测试题第4章随机变量的数字特征⼀、选择题1．设两个相互独⽴的随机变量X 和Y 的⽅差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的⽅差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442．若随机变量X 和Y 的协⽅差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（）(A) X 与Y 相互独⽴ (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X 和Y 相互独⽴，且()()22 1122,,,XN Y N µσµσ，则2Z X Y =+（）(A) ()221212,2N µµσσ++ (B) ()221212,N µµσσ++ (C) ()2212122,4N µµσσ++ (D) ()2212122,4N µµσσ--4．设⼆维随机变量(X,Y)服从⼆维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独⽴的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学期望()E Z =（） (A)(B) 0 (C) (D) 6．设X 、Y 是相互独⽴且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =（）(A)2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4θ7．设随机变量X 和Y 的⽅差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （） (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B)独⽴的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独⽴的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){ }()1121,2,2nnn P X n =-?==，则()E X =（） (A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9．将⼀枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表⽰正⾯向上和反⾯向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（A ）－1 （B ）0 （C ）21 （D ）110．设随机变量X 和Y 独⽴同分布，具有⽅差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y （A ）独⽴ (B) 不独⽴（C ）相关 (D) 不相关11．随机变量X 的⽅差存在，且E(X)=µ，则对于任意常数C ，必有。

《概率论与数理统计》试题带答案1.设随机变量X 的分布律为求E （X ），E （X 2），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,=52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 Pp 1 p 2 p 3且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰213320111.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因1001(,)d d d d 1,2x f x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值12()2d ,3E X x x x ==⎰ 5(5)5()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他 于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200()()d 2ed [e]e d xx x X X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d e d 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 222()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰22220π2ed .k x kx x +∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e .kxE X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛-=-=-= ⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）.【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=X 0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元 /41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--ni i X X n 12)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ； （3） 验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1n i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x..显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17.设随机变量（X ，Y ）的分布律为验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0.从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0,即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY .【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他. ()(,)d d D E X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3x x x y -==⎰⎰ 22()(,)d d D E X x f x y x y =⎰⎰112001d 2d 6x x x y -==⎰⎰ 从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 同理11(),().318E Y D Y == 而 11001()(,)d d 2d d d 2d .12x D D E XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以 1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而 11362()()111818XY D X D Y ρ-===-⨯ 19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/2001π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x x x y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ ππ22222001ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰ 从而 222ππ()()[()] 2.162D X E X E X =-=+- 同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/200π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰ 故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()2162XY D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而 12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯= 12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X YY Y D X X YD Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故 12122)()Z Z D Z ρ===21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz ）不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然 22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=-2224{[()]()()}.E VW E V E W =-故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0.对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为33336C C {}C k k P Z k -==, 0,1,2,3.k =因此，()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有30(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系T =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤-> {10}20{1012}5{12}(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--故2/2d ()125(12)(1)21(10)(1)0(()e ),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ-=-⨯---⨯-= 令 这里 得 22(12)/2(10)/225e21e u u ----=两边取对数有 2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=-- 解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米) 由此可得，当u =10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.（2002研考）【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X . 则41~(4,)ii Y Y B p ==∑.因为 ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯= 2211()41()()22D YE Y EY =⨯⨯==-, 从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）.【解】由题意知： 55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩. 因T 1,T 2独立，所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).当t <0时，f T (t )=0;当t ≥0时，利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x t T f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰ 故得 525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩由于T i ~E (5),故知E (T i )=15,D (T i )=125(i =1,2)因此，有E (T )=E (T 1+T 2)=25. 又因T 1,T 2独立，所以D （T ）=D （T 1+T 2）=225. 27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y |的方差.【解】设Z =X -Y ，由于22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）.因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =-而 22/2()()1,(||)||e d 2πz E Z D Z E Z z z +∞--∞===⎰2/22e dπ2πzz z+∞-==⎰，所以2(||)1πD X Y-=-.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E （X）和D（X）.【解】记q=1 -p,X的概率分布为P{X=i}=q i -1p,i=1,2,…，故12111()().1(1)i ii iq pE X iq p p q pq q p∞∞-=='⎛⎫'=====⎪--⎝⎭∑∑又221211121()()i i ii i iE X i q p i i q p iq p∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)iiqpq q pqp q ppq q pq p p p∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以22222211()()[()].p pD XE X E Xp p p--=-=-=题29图29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY) -E(X)·E(Y)].由条件知X和Y的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y Gf x yt∈⎧=⎨<⎩{(,)|01,01,1}.G x y x y x y=≤≤≤≤+≥从而11()(,)d2d2.X xf x f x y y y x+∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d2d,()2d,22XE X xf x x x x E X x x=====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D X E X E X =-=-= 同理可得 31(),().218E Y D Y == 11015()2d d 2d d ,12x G E XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰ 541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=- 于是 1121()().18183618D U D X Y =+=+-= 30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若 试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.P {x = -1,Y = -1}=P {U ≤ -1,U ≤1}112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰ P {X = -1,Y =1}=P {U ≤ -1,U >1}=P {∅}=0, P {X =1,Y = -1}=P {U > -1,U ≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰ 21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰. 故得X 与Y 的联合概率分布为 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及（X +Y ）2的概率分布相应为 202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 204()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯= 211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯= 所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+=31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x -e 21，（ -∞<x <+∞） (1) 求E （X ）及D （X ）；（2） 求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关？（3） 问X 与|X |是否相互独立，为什么？【解】(1)||1()e d 0.2x E X xx +∞--∞==⎰2||201()(0)e d 0e d 2.2x x D X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰ (2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰ 所以X 与|X |互不相关.(3) 为判断|X |与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域-∞<x <+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X |不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY = -1/2，设Z =23Y X +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2） 求X 与Z 的相关系数ρXZ ；（3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么？【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而 1Cov(,)()3462XY X Y D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 所以 1()146 3.3D Z =+-⨯=(2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 所以 0.()()XZ D X D Z ρ==(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q )，且p =q =12, 从而有 ()()4nD X npq D Y === 所以 0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++2,24XY n nρ=+ 故XY ρ= -1. 34. -1 0 10 10.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20试求X 和Y 【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为YX -1 0 1 P 0.080.720.2所以E （XY ）= -0.08+0.2=0.12Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -0.6×0.2=0从而 XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ，0<P (A )<1，0<P (B )<1,则称ρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：（1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1.YX【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生;1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生. 由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩ 从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B )所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为f X (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y =X 2，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求：(1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y );(3)1(,4)2F -. 解： (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时，(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=，()Y f y =；当1≤y <4时，1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤=+()Y f y =；当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他 (2) 0210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,02222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,02233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,故 Cov(X,Y ) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.(3) 2111(,4){,4}{,4}222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤11{,22}{2}22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-11{1}24P X =-≤≤-=.。

第4章习题答案三、解答题1. 设随机变量X求)(X E ，)(2X E ，)53(+X E ．解：E (X ) =∑∞=1i ixp= ()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯= -0.2E (X 2) =∑∞=12i i p x= 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 = 4.42. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为6,,2,1,6/1}{ ===i i X P记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=283. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．(2) 某天恰有n 个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B (n , p 1),所以E (X )= n p 1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B (n , p ),记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B ｝= p 1+ p 2 - p 1 p 2 所以E (Y )= n (p 1+ p 2 - p 1 p 2 )4. 将n 个考生的的录取通知书分别装入n 个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X 表示n 个考生中收到自己通知书的人数，求E (X )．解：依题意，X~B (n ，1/n )，所以E (X ) =1.5. 设)(~λP X ，且}6{}5{===X P X P ，求E (X )．解：由题意知X ～P （λ），则X 的分布律P{}k X ==λλ-e k k!，k = 1,2,...又P {}5=X =P {}6=X , 所以λλλλ--=e e!6!565解得 6=λ，所以E (X ) = 6.6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6}{22 --===k kk X P π问X 的数学期望是否存在？解：因为级数∑∑∑∞=+∞=+∞=+-=-=⨯-11212112211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k kk k k πππ， 而 ∑∞=11k k 发散，所以X 的数学期望不存在.7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.0,0,91)(3/其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．解：E (X ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞∞-==03/203/9191)(dx e x dx xe xdx x f x x x =6.8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-=.0,5,251)(2其它x x x F求这种家电的平均寿命E (X )．解：由题意知，随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=当x >5时，=)(x f 3350252xx =⨯--，当x ≤5时，=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-53=-==∞++∞∞+∞⎰⎰xdx x x dx x xf 所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.0,10,)1(42)(5其它x x x x f 求X 的数学期望E (X )．解：E (X ) =dx x x dx x xf ⎰⎰+∞∞-=-152)1(42)(=1/410. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.010,)1(2301)1(23)(22其它，，，，x x x x x f解：0)1(1023)1(0123)()(22=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E .111. 设),4(~p B X ，求数学期望)2(sinX E π． 解：X 的分布律为k n kk n p p C k X P --==)1(}{， k = 0，1，2，3，4，X 取值为0，1，2，3，4时，2sinX π相应的取值为0，1，0，-1，0，所以)21)(1(4)1(1)1(1)2(sin13343114p p p p p C p p C XE --=-⨯--⨯=π12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =，（k > 0，常数），求W 的数学期望．解：V 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,00 ,1)(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=⎰⎰aa v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(231ka13. 设随机变量(X ,求E (X )，E (Y )，E (X – Y )．解：E (X )=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度⎩⎨⎧≤+≤≤≤≤=其它,01,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求E (X )，E (Y )，E (XY )解：E (X )=⎰⎰⎰⎰-=⋅11022424xDydydx x xydxdy x dx x x ⎰-⋅=1022)1(2124dx x x x ⎰+-=10432)2412(52)51264(1543=+-=x x x.152)34524638()1(31242424)(5/22424)(1654311010322210102=-+-=-⋅==⋅===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x x x dx x x dydx y xxydxdy xy XY E xdxdy y xydxdy y Y E DxDy15.所得利润（以元计）为)12(1000X Y -=,求E (Y )，D (Y )．解： E (Y) = E ［1000(12-X )］=1000E ［(12-X )］=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400E (Y 2) = E ［10002(12-X )2］=10002E ［(12-X )2］=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106D (Y )=E (Y 2)-［E (Y )］2=1.6×106- 4002=1.44×10616. 设随机变量X 服从几何分布 ，其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中0 < p < 1是常数，求E (X )，D (X )．解：令q=1- p ,则∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞==⨯=⨯==⨯=111111)()}{()(k kk k k k k dqdq p qk p p qk k X P k X Ep q dq d p q dq d p k k /1)11(0∑∞==-==∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=⨯+⨯-=⨯==⨯=1111112122])1([)()}{()(k k k k k k k q k qk k p p qk k X P k X Ep qk k pq k k /1)1(12+⨯-=∑∞=-p qdq d pq p q dqd pq k k kk /1)(/1012222∑∑∞=∞=+=+=p p q p q pq p q dq d pq /1/2/1)1(2/1)11(2322+=+-=+-= D (X ) = E (X 2)- E (X ) =2q /p 2+1/p -1/p 2 = (1-p )/p 217. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01||,11)(2x x x f π，试求E (X )，D (X )．解：E (X )=011)(112=-=⎰⎰-∞∞-dx xxdx x f x πD (X )=E (X 2)=⎰⎰⎰--∈-∞∞-=-=2/2/2]2/,2/[11222cos sin sin 11)(ππππππdt tt tx dx xxdx x f x t2122cos 122/0=-=⎰ππdt t 18. 设随机变量(X ，Y )具有D (X ) = 9，D (Y ) = 4，6/1-=XY ρ，求)(Y X D +，)43(+-Y X D ． 解：因为)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ，所以)()(),(Y D X D Y X Cov XY ρ==-1/6×3×2=-1,11249),(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y D X D Y X D51)1(6369)3,(2)(9)()43(=--+=-++=+-Y X Cov Y D X D Y X D19. 在题13中求Cov (X ，Y )，ρXY ． 解：E (X ) =1/2, E (Y ) =3/4, E (XY )=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E (X 2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E (Y 2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D (X )= E (X 2) -［E (X )］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D (Y )= E (Y 2)- ［E (Y )］2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov (X ，Y )= E (XY )- E (X ) E (Y ) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ρXY = Cov (X ，Y ) /()(X D )(Y D )=-9/56 ÷ (28/9112/45)= -5/520. 在题14中求Cov (X ，Y )，ρXY ，D (X + Y )．解：52)()(==Y E X E ,,)(152=XY E 752)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov )(5124)(2101032Y E dydx y x X E x ===⎰⎰-[])(25125451)()()(22Y D X E X E X D ==-=-= 752),(2)()()(32)()(),(=++=+-==Y X Cov Y D X D Y X D Y D X D Y X Cov XYρ21. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.0,1,1),(22其它y x y x f π试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：0/12/)(112111122=-==⎰⎰⎰-----dx x x dydx x X E x xππOx2x20/)(111122==⎰⎰----x x dydx y Y E π 0/)(111122==⎰⎰----x x dydx xy XY E π，所以Cov (X ，Y )=0，ρXY =0，即X 和Y 是不相关.⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122y y y dx dx y x f y f y y Y ππ 当x 2 + y 2≤1时，f ( x,y )≠f X ( x ) f Y (y ),所以X 和Y 不是相互独立的22. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=.010,2||,2/1),(其它x x y y x f 验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：由于f ( x,y )的非零区域为D : 0 < x < 1, | y |< 2x32221102212====⎰⎰⎰⎰⎰-dx x xdydx dxdy y x xf X E xx D ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dydydx dxdy y x yf Y E ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dxydydx dxdy y x xyf XY E ),()(,所以Cov (X ，Y )=0，从而0)()(),(==y D x D y x Cov xy ρ，因此X 与Y 不相关 .⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-其他,010,221),()(22Xx x dy dy y x f x x x f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-=<<-+===⎰⎰⎰-∞+∞-其他,020,421202,42121),()(1212Y y y dx y y dx dx y x f y y y f所以，当0<x <1, -2<y<2时，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不是相互独立的 .⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=⎩⎨⎧≥<<--==-0,00,0,1)(,0),()(y y e y f Y x Y mx xY Y x n mY Y Q Q y Y θθθ的密度函数为[]()()()取最大值时，当又则令)(n ln 0n m )(d n ln,n 0)(1)()(d )()()()(1.1.)()(.)()( 20000000Q E n m x e dx Q E n m x n m e n e n m n e n m dx Q E nxn m e n m m xenx nxe e n m xe n m m xe nxe dy n m e ye n m m xde de nx yde n m dye m x dy e y x n m y dy Yf Y Q Q E x xxx x x x x y x xyx y x y x y x y x y y x x y x y Y +-=∴<+-=+-=∴+==-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+++-=+-++-+-=-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=-++-=+--==---------∞+----∞+---∞+--∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失，再者，他们预测销售量Y （件）服从参数θ的解：设生产x 件产品时，获利Q 为销售量Y 的函数2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X 服从参数为λ的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m 元，卖不掉而退回则每日赔偿n 元，若每日卖报人买进r 份报，求其期望所得及最佳卖报数。

第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。

(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。

则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。

四、计算题
1、（10分）甲箱中有 个红球， 个黑球，乙箱中有 个黑球， 个红球，先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后，再从乙箱取出一球，
（1）求从乙箱中取出的球是红球的概率；
（2）若已知从乙箱取出的是红球，求从甲箱中取出的是黑球的概率；
2、（8分）设二维随机变量的联合概率密度为：
求关于 的边缘概率密度，并判断 是否相互独立？
7、（8分）设有一种含有特殊润滑油的容器，随机抽取9个容器，测其容器容量的样本均值为10.06升，样本标准差为0.246升，在 水平下，试检验这种容器的平均容量是否为10升？假设容量的分布为正态分布。
（ ， ）
第二套
一、 判断题（2分 5）
1、设 ， 是两事件，则 。（）
2、若 是离散型随机变量，则随机变量 的取值个数一定为无限个。（）
2、（8分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为：
求边缘概率密度 ，并判断 与 是否相互独立？
3、（8分）设随机变量 的分布函数为：
求：（1） 的值；
（2） 落在 及 内的概率；
4、（8分）设随机变量 在 服从均匀分布，求 的概率密度；
5、（10分）设 及 为 分布中 的样本的样本均值和样本方差，求 （ ）
第一套
一、 判断题（2分 5）
1、设 ， 是两事件，则 。（）
2、若随机变量 的取值个数为无限个，则 一定是连续型随机变量。（）
3、 与 独立，则 。（）
4、若 与 不独立，则 。（）
5、若 服从二维正态分布， 与 不相关与 与 相互独立等价。（）
二、选择题（3分 5）
1、对于任意两个事件 和 （）
5、袋中有5个球（3个新，2个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）