中考数学复习二次根式2[人教版]

中考数学总复习《二次根式》练习题附带答案一、单选题1．√123÷√213×√125值为（）A．1B．3C．√33D．√7 2．若√(a−b)2=b﹣a，则（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b 3．与√a3b不是同类次根式的是（）A．1√abB．√baC．√ab2D．√ba34．下列运算正确的是（）A．√3+3=3√3B．4√2−√2=4C．√2+√3=√5D．3√3−√3=2√35．若代数式1x−1+√x有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1 6．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简√(b−a)2的结果是（）A．a-b B．a+b C．b-a D．-a-b7．设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简√a2+|a+b|的结果是（）A．-2a+b B．2a+b C．-b D．b8．若√3−m为二次根式，则m的取值为（）A．m≤3B．m＜3C．m≥3D．m＞39．下列运算正确的是（）A．(x−y)2=x2−y2B．|√3−2|=2−√3C．√8−√3=√5D．﹣（﹣a+1）=a+110．已知2<a<4，则化简√1−2a+a2+√a2−8a+16的结果是() A．2a﹣5B．5﹣2a C．﹣3D．311．下列运算中正确的是（）A．√2+√3=√5B．(−√5)2=5C．3√2−2√2=1D．√16=±4 12．下列计算正确的是（）A．(m−n)2=m2−n2B．(2ab3)2=2a2b6C．√8a3=2a√a D．2xy+3xy=5xy 二、填空题13．计算：√45﹣√25× √50=．14．若√12x是一个整数，则x可取的最小正整数是3．（判断对错）15．计算：√24−√12√3=．16．如果x2﹣3x+1=0，则√x2+1x2−2的值是．17．化简：√75=.18．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式√a2−|a+c|+√(b−c)2−|−b|三、综合题19．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y= √2x−5+√5−2x﹣3，求2xy的值．20．阅读材料，解答问题：（1）计算下列各式：①√4×9=，√4×√9=；②√16×25=，√16×√25=．通过计算，我们可以发现√a×b=（a>0，b>0）从上面的结果可以得到：√8=√2×√4=2√2，√12=√3×√4=2√3（2）根据上面的运算，完成下列问题①化简：√24②计算：√27+√48③化简：√a2b（a>0，b>0）21．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+√3，求2a2−8a+1的值.他是这样解答的：∵a=2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3∴(a−2)2=3，a2−4a+4=3∴a2−4a=−1∴2a2−8a+1=2(a2−4a)+1=2×(−1)+1=−1.请你根据小明的解析过程，解决如下问题：（1）1√3+√2=；（2）化简 √2+1+√3+√2√4+√3⋯+√256+√255 ； （3）若 a =√10−3，求 a 4−6a 3+a 2−12a +3 的值. 22．已知 x =√3+12 ， y =√3−12与 m =xy 和 n =x 2−y 2 . （1）求m ，n 的值；（2）若 √a −√b =m +72， √ab =n 2 求 √a +√b 的值. 23．计算： （1）√135•2 √3 •（﹣ 12 √10 ）； （2）√3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）． 24．计算下列各题 （1）计算：（ 12 ）﹣2﹣6sin30°﹣（ √7−√5）0+ √2 +| √2 ﹣ √3 | （2）化简：（ x+2x 2−2x ﹣ x−1x 2−4x+4 ）÷ x−4x ，然后请自选一个你喜欢的x 值，再求原式的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】√514．【答案】对15．【答案】2√2−216．【答案】√517．【答案】5√318．【答案】019．【答案】（1）将x=n 代入方程x 2+mx+2n=0得n 2+mn+2n=0,则n(n+m+2)=0 因为n≠0,所以n+m+2=0即m+n=-2.（2）因为y=√2x −5+√5−2x -3有意义，则{2x −5≥05−2x ⩾0解得{x ⩾52x ≤52则x=52 所以y=0+0-3=-3即2xy=2×52×（-3）=-15. 20．【答案】（1）6；6；20；20；√a ×√b（2）解：①√24=√4×6=√4×√6=2√6；②√27+√48=√3×9+√3×16=√3×√9+√3×√16=3√3+4√3=7√3 ；③√a 2b =√a 2⋅√b =a √b （a >0，b >0）．21．【答案】（1）√3−√2（2）解：原式 =√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√256−√255=−1+√2−√2+√3−√3+√4−⋯−√255+√256=√256−1=16−1=15 ；（3）解： ∵ a =√10−3 =√10+3 ∴a −3=√10∴(a −3)2=10即 a 2−6a +9=10 .∴a 2−6a =1 .∴a 4−6a 3=a 2∴a 4−6a 3+a 2−12a +3=2a 2−12a +3=2(a 2−6a)+3=2+3=5 .22．【答案】（1）解：由题意得， m =xy =√3+12×√3−12=12 n =(x +y)(x −y)=(√3+12+√3−12)(√3+12−√3−12)=√3 （2）解：由（1）得， √a −√b =4 √ab =3 ∴(√a +√b)2=(√a −√b)2+4√ab =42+4×3=28∵√a +√b >0∴√a +√b =2√723．【答案】（1）解： √135 •2 √3 •（﹣ 12 √10 ） =2×（﹣ 12 ） √135×3×10 =﹣ √16×3=﹣4 √3（2）解： √3a 2b •（ √b a ÷2 √1b）= √3a2b × √ba× 12× √b= √3424．【答案】（1）解：原式=4﹣6× 12﹣1+ √2+ √3﹣√2 = √3；（2）解：原式=[x+2x(x−2)﹣x−1(x−2)2]•xx−4= (x+2)(x−2)−x(x−1)x(x−2)2•xx−4=x−4x(x−2)2•xx−4=1 (x−2)2当x=10时，原式= 1 64．。

）））章节第一章课题数的开方与二次根式课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育）1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。

会求实数的平方根、算术平方根和立方根2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。

掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简.教学难点二次根式的化简与计算.教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.平方根与立方根(1)如果x2=a，那么x 叫做a 的。

一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。

（2）如果x3=a，那么x 叫做a 的。

一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是；2.二次根式（1（2（3（4）二次根式的性质①若a ≥ 0,则( a)2=；③ab =(a ≥ 0, b≥ 0)2⎧a ( ) a a② a = a =⎨-a ( )；④b=b(a ≥ 0, b 0)⎩（5）二次根式的运算①加减法：先化为，在合并同类二次根式；babx2 +1 x2 y5 1223233x2+y2a 1+1a b②乘法：应用公式 a ⋅=ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ；③除法：应用公式=a(a ≥0, b0)b④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。

(二）：【课前练习】1.填空题2 . 判断题3.如果(x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（）A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞24.下列各式属于最简二次根式的是（）A． B. C. D.5.在二次根式：①12, ②③；④27和是同类二次根式的是（）A．①和③B．②和③C．①和④ D．③和④二：【经典考题剖析】1.已知△ABC的三边长分别为 a、b、c, 且a、b、c 满足a2－6a+9+ b - 4 + | c - 5 |= 0 ，试判断△ABC 的形状．2.x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义1（1）；（2）；（3）x - 43.找出下列二次根式中的最简二次根式：x2+y27x ,, , 0.1x ,, - 21, -x ,,2 24.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：0.5-2x +31-xx2+12ab21 27 1 25 1 50 a2b675 4 - 4x + x 21 - 1 16 25 m2 - 4m + 4m 2 + 6m + 9 2 3 2 3 3 2 3 2 ( x - 2)2(x - 3)2( x - 2)( x - 3) 3 - x3 - x 2 - x3 - x2 - x17 1a3a 2 25x x 9 x 5 5 3 48 27 12 3x 2 -4 + 4-x 2 +1 ( p -1)2 (P - 2)21-2a+a 2 1-2a+a 2 3, 75, 18, , 2, , , 238ab 3 (b 0), -3b5. 化简与计算7 ① ；② (x 2) ；③ ；④ (m - 2) ⑤ (+ - 6 )2-( -+ 6 )2；⑥ (2 +3 - 6)(2 - 3 + 6 )三：【课后训练】1. 当 x≤2 时，下列等式一定成立的是（ ）A 、 = x - 2 C 、=2 - x ⋅B 、D 、 = = x - 32. 如果 (x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（）A 、x ≤2B. x ＜2C. x ≥2D. x ＞23. 当 a 为实数时， a 2 =-a 则实数 a 在数轴上的对应点在（ ）A ．原点的右侧B ．原点的左侧C ．原点或原点的右侧D ．原点或原点的左侧4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－ 是 17 的平方根，其中正确的有（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个5. 计算 a 3 +a 2所得结果是 ．6. 当 a≥0 时，化简 =7.计算（1）、2 5+ 9 - 2； （2）、( - 2)2003( + 2)2004（3）、(2 - 3 2 )2；（4）、5 -6 +8. 已知： x 、y 为实数，y=x-2，求 3x+4y 的值。

二次根式复习一、知识归纳 （一）二次根式定义1注意：（12，（2）被开方数是非负数2、二次根式在实数范围内有意义的条件是 a ≥0 。

（二）二次根式的性质1、二次根式的双重非负性≥0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，≥0，2、）2=a (a ≥0)(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜（三）、最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数不含 的因数或因式。

满足：（1）根号内不含有分母，有分母的先通分，再将分母开出来 （2）根号内每个因式或因数的指数都小于根指数2，如果根号内含有因式或因数的指数大于根指数2，就利用，将每个因式或因数的指数都小于根指数2（3）分母内不含有根式，如果分母内含有根号，则利用分母有理化，将根号划去。

（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： ①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=简二次根式.=，且因式2和22()x y +的指数都是1，是最简二次根式.22a b +无法变成一个数（或因式）式.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似. 对同类二次根式的理解应注意以下几点：（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.（四）二次根式的运算0)=≥，≥0a b=≥，＞00)a b≥，≥0a b0)=≥，＞00)a b二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.4、二次根式加减的步骤：（1）先将二次根式化成。

专题二：二次根式1：考向解读1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．2．了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3．了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、的化简与运算（分母有理化）．2：导图导学3：考点数的乘方负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．这样的二次根式叫做最简二次根式．（3）同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．二次根式的运算二次根式的性质：0(0)a a≥≥，2()(0)a a a=≥．2(0),||(0)a aa aa a≥⎧==⎨-<⎩．(0,0)ab a b a b=⋅≥≥．(0,0)a aa bb b=≥>．4：解题技巧化简二次根式的步骤（易错点）（1）把被开方数分解因式(或因数) ；（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

二次根式运算中的注意事项（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。

（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

常见二次根式化简求值的九种技巧一、估算法二、公式法三、拆项法四、换元法 五、整体代入法 六、因式分解法 七、配方法 八、辅元法 九、先判后算法 考点1：二次根式有意义的条件 1．（2022•衡阳）如果二次根式1a -有意义，那么实数a 的取值范围是( ) A ．1a > B ．1a C ．1a < D ．1a 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围． 【解答】解：由题意得：10a -， 1a ∴， 故选：B ． 2．（2022•日照）若二次根式32x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 32x ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：320x -，解得：32x ， 故答案为：32x．举一反三1．（202236x -x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：360x -，2x ∴，故选：D ．2．（2022•广州）代数式11x +有意义时，x 应满足的条件为( ) A ．1x ≠- B ．1x >- C ．1x <- D ．1x - 【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：代数式11x +有意义时，10x +>， 解得：1x >-． 故选：B ． 3．（2022•常州）若二次根式1x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x B ．1x > C ．0x D ．0x > 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：10x -，据此求出实数x 的取值范围即可． 【解答】解：二次根式1x -有意义， 10x ∴-，解得：1x ．故选：A ．考点二：二次根式的定义1．（2022秋•二道区校级期中）下列式子中，不是二次根式的是( )A ．3B ．0.6C ．12D ．3π-【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：3，0.6，1为二次根式，2而30π-<，所以3π-不是二次根式．故选：D．2．（2022春•泸县校级期中）下列式子中是二次根式的是()A．x B．3-C．2-D．38【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如(0)a a的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：A选项，x缺少条件0x，当0x<时，x不是二次根式，故该选项不符合题意；B选项，30-<，故该选项不符合题意；>，故该选项符合题意；C选项，20D选项，38是三次根式，故该选项不符合题意；故选：C．举一反三1．（2022秋•新蔡县校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是()A a B21a+C32D2-【分析】(0)a a的式子叫做二次根式．【解答】解：A．当0a<aa+B21C32是三次根式，故此选项不合题意；D2-故选：B．2．（2022秋•宛城区校级月考）下列各式中，一定是二次根式的是() A．4-B．21x+x-C．32a D．21【分析】根据二次根式的定义进行判断．【解答】解：A．被开方数为负数，不是二次根式，故此选项不合题意；B．x的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故此选项不合题意；C．根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；D．被开方数恒为正数，是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．3．（2022秋•榆树市月考）下列各式中，一定是二次根式的是() A．3-B．32a C．22a+D．29a-【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如(0)a a的式子叫做二次根式．【解答】解：A．3-，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B．32a，三次根式，故此选项不合题意；a+，是二次根式，故此选项符合题意；C．22a-，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；D．29故选：C．考点三：考向3 二次根式的性质与化简1．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则22-+-等于((3)(7)m m)A．210-C．10D．4m-B．102m【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：2、5、m是某三角形三边的长，5252m ∴-<<+， 故37m <<， ∴22(3)(7)m m -+- 37m m =-+- 4=． 故选：D ． 2．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简22|1|(1)()a b a b +--+-= 2 ． 【分析】根据数轴可得：10a -<<，12b <<，然后即可得到10a +>，10b ->，0a b -<，从而可以将所求式子化简． 【解答】解：由数轴可得，10a -<<，12b <<，10a ∴+>，10b ->，0a b -<，22|1|(1)()a b a b ∴+--+-1(1)()a b b a =+--+-11a b b a =+-++-2=，故答案为：2．举一反三1．（2022•内蒙古）实数a 21|1|a a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -【分析】根据数轴得：01a <<，得到0a >，10a -<||a =和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：01a <<，0a ∴>，10a -<，∴原式||11a a =++-11a a =++-2=．故选：B ．2．（2022( )A ．B ．3C ．D ．2【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为．【解答】===故选：A ．3．（2022•河北）下列正确的是( )A23=+ B 23⨯ C 23= D 0.7【分析】A 0,0)a b 判断B 选项；根据||a 判断C 选项；根据算术平方根的定义判断D 选项．【解答】解：A 、原式=B 、原式23=⨯，故该选项符合题意；C 、原式29，故该选项不符合题意；D 、20.70.49=，故该选项不符合题意；故选：B ．考点4：最简二次根式1．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是( ) A ．19 B ．4 C ．2a D ．a b + 【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【解答】解：11.93A =，不是最简二次根式； .42B =，不是最简二次根式； 2.||C a a =，不是最简二次根式； .D a b +，是最简二次根式． 故选：D ． 2．（2022•杭州）计算：4= ；2(2)-= ．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：42=，2(2)4-=，故答案为：2，4．举一反三1．（2022秋•忻州月考）下列二次根式是最简二次根式的是( )A 12B 3C 12D 2a 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A 124323⨯=，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；B 3是最简二次根式，本选项符合题意；C 122=D 2||a a =，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；故选：B ．2．（2021•益阳）将452化为最简二次根式，其结果是( ) A ．452 B ．902 C ．9102 D ．3102 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：459523102222⨯⨯==⨯， 故选：D ． 3．（2022秋•永春县期中）下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．13 B ．18 C ．7 D ．12 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【解答】解：13.33A =，因此13不是最简二次根式，所以选项A 不符合题意； .1832B =，因此18不是最简二次根式，所以选项B 不符合题意；.7C 是最简二次根式，因此选项C 符合题意；.1223D =，因此12不是最简二次根式，所以选项D 不符合题意； 故选：C ．考点5：二次根式的乘除法1．（2022•山西）计算：1182⨯的结果为 ． 【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式93==．故答案为：3．2．（2022•衡阳）计算：28⨯= ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解答】解：原式28164=⨯==．故答案为：4举一反三1．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( ) A 1822=± B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A 1822，故A 不符合题意； B 、222()2m n m mn n +=++，故B 不符合题意；C 、21221xx x x x--=--，故C 不符合题意； D 、2229332y x xy x y-÷=-，故D 符合题意； 故选：D ．2．（202211622正确的是( ) A ．4B ．2C 7D ．2±【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案． 【解答】解：原式11622=÷⨯4=2=．故选：B ．3．（202223= ．【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】236= 6．考点61．（2021•潍坊）下列运算正确的是( ) A ．2211()24a a a -=-+ B ．1221()a a --=C ．33a ab b-=- D ．623=【分析】根据完全平方公式判断A ，根据负整数指数幂判断B ，根据分式的基本性质判断C ，根据二次根式的除法判断D ．【解答】解：A 选项，原式214a a =-+，故该选项正确；B 选项，原式122211()()a a a-===，故该选项正确；C 选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母都加3，故该选项错误；D 选项，原式2=，故该选项错误；故选：AB ．2．（2021•娄底）计算：0111(2021)()2cos45221π--++-︒+． 【分析】根据零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式222121222(2)1-=++-⨯- 12122=+-+-2=．举一反三1．（2022秋•嘉定区月考）下列结论正确的是( ) A 22a b +是最简二次根式 B x y -x y + C 2(12)12-D a ba b-=+【分析】根据最简二次根式的定义，有理化因式的定义，不等式的解法即可得到结论．【解答】解：A 是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；BC 1，故本选项错误，不符合题意；D=故选：A ．2．（2022•信阳二模）下列式子运算正确的是( ) A ．632a a a ÷= B ．22(2)4a a =C 1=D ．22()(2)2x y x y x y -+=+【分析】根据整式运算相关的法则和分母有理化逐项判断． 【解答】解：632a a ÷=，故A 错误，不符合题意；22(2)4a a =，故B 正确，符合题意；1，故C 错误，不符合题意；22()(2)2x y x y x xy y -+=+-，故D 错误，不符合题意；故选：B ．3．（2022春•孝义市期末）下列是最简二次根式的是( )AB C D 【分析】根据最简二次根式的定义解决此题．【解答】解：A 不是最简二次根式，那么A 不符合题意．B 不是最简二次根式，那么B 不符合题意．C ．根据最简二次根式的定义，C 不符合题意．D．根据最简二次根式的定义，15是最简二次根式，那么D符合题意．故选：D．考点7：同类二次根式1．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是() A．8与3B．2与12C．5与15D．75与27【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．【解答】解：A、822=和3不是同类二次根式，本选项不合题意；B、1223=与2不是同类二次根式，本选项不合题意；C、5与15不是同类二次根式，本选项不合题意；D、7553=是同类二次根式，本选项符合题意．=，2733故选：D．2．（2020•上海）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() A．6B．9C．12D．18【分析】根据同类二次根式的定义解决此题．【解答】解：A．根据同类二次根式的定义，6与3不是同类二次根式，那么A 不符合题意．B．根据算术平方根以及同类二次根式，93=与3不是同类二次根式，那么B 不符合题意．=与3是同类二次C．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，1223根式，那么C符合题意．D．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，1832=与3不是同类二次根式，那么D 不符合题意． 故选：C ．举一反三1．（2022秋•浦东新区校级月考）下列四组二次根式，不是同类二次根式的是( ) A 313B 850C 34x 38xD 3x 233a x 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【解答】解：A 、133=∴313故A 不符合题意；B 、822=5052=∴850故B 不符合题意；C 、342x x x 3822x x ，∴34x 38x故C 符合题意；D 、2333a x ax x =∴3x 233a x故D 不符合题意； 故选：C ．2．（20222022m +2可以合并，则m 的值为( ) A ．2020B ．2020-C ．2024D ．2024-【分析】2022m +22022m +2的被开方数相同，即20222m +=．【解答】解：最简二次根式2022m +与2可以合并，则2022m +与2是同类二次根式，20222m ∴+=．解得2020m =-． 故选：B ．3．（2022春•綦江区校级月考）若8和最简二次根式37m -是同类二次根式，则m 的值为( ) A ．5m =B ．2m =C ．3m =D ．6m =【分析】先把8化为最简二次根式22，再根据同类二次根式得到372m -=，然后解方程即可． 【解答】解：822=，372m ∴-=， 3m ∴=．故选：C ．考点8：二次根式的加减法1．（2022•鞍山）下列运算正确的是( ) A ．2810+= B ．3412a a a ⋅= C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 、2832+=，故A 不符合题意；B 、347a a a ⋅=，故B 不符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，故C 不符合题意；D 、2336(2)8ab a b -=-，故D 符合题意；故选：D ．2．（2022•宁夏）下列运算正确的是( ) A ．220--=B ．826-=C ．3362x x x +=D ．326()x x -=【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A ．224--=-，故此选项不合题意；B ．822-=，故此选项不合题意；C ．3332x x x +=，故此选项不合题意；D ．326()x x -=，故此选项符合题意；故选：D ．举一反三1．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D 2832=【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．【解答】解：32232a b a b +不能合并，因为不是同类项，A 选项错误；2363(2)8a b a b -=-，B 选项也错误；2124-=，C 选项也错误； 2832=D 选项正确．故选：D ．2．（2022123( ) A 15B ．32C ．33D ．53【分析】根据二次根式的加法法则，先化简，再合并同类二次根式．【解答】解：12323333+=+=． 故选：C ．3．（2022秋•沈河区校级月考）下列计算正确的是( ) A ．2(2)2-=-B ．43331-=C ．235+=D ．1222= 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．【解答】解：2.(2)2A -=，故此选项不合题意；.43333B -=，故此选项不合题意； .23C +无法合并，故此选项不合题意；12.22222D =⨯=，故此选项符合题意； 故选：D ．考点9：二次根式混合运算1．（2022•朝阳）计算：637|4|÷--= ． 【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可． 【解答】解：原式6374=÷-34=-1=-．故答案为：1-．2．（2022•泰安）计算：48633⋅-= ． 【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法． 【解答】解：原式238633=⨯-⨯4323=- 23=，故答案为：23．举一反三1．（2022•安顺）估计1()(2552)5A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式210=<<，310452106∴<<，故选：B．2．（2022•湖北）下列各式计算正确的是()A235÷D236=B．43331C1226【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A23A不符合题意；B、43333，故B不符合题意；=C不符合题意；C1223D236，故D符合题意；故选：D．3．（2022•青岛）计算1的结果是()(2712)3A3B．1C5D．3【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．【解答】解：1(2712)3112712=⨯⨯3394=-32=-1=，故选：B ．考点10：二次根式的化简求值1．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足1228y x x =-+-+，则xy 的值是 ．【分析】根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．【解答】解：1228y x x =-+-+，20x ∴-，20x -，2x ∴=，18y =， 则原式1112842=⨯==， 故答案为：122．（2022秋•浦东新区校级月考）已知15x x-=，那么1x x+的值为 ．【分析】把所求的式子转为条件的形式，再进行求解即可． 【解答】解：15x x-=，∴1x x+21()x x =+21()4x x =-+2(5)4=+54=+3=．故答案为：3．举一反三1．（2021•包头）若21x =，则代数式222x x -+的值为( ) A ．7B ．4C ．3D ．322-【分析】利用条件得到12x -两边平方得221x x -=，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：21x =+，12x ∴-2(1)2x ∴-=，即2212x x -+=，221x x ∴-=， 222123x x ∴-+=+=．故选：C ．2．（2022秋•琼山区校级月考）已知51x =时，则代数式223x x ++的值( ) A ．1B ．4C ．7D ．3【分析】根据完全平方公式以及二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：51x =-时，15x ∴+=2(1)5x ∴+=，2215x x ∴++=，2237x x ∴++=，故选：C ．3．（2022春•东莞市月考）若1220223x =1220223y ，则222x xy y ++的值( )A ．12B ．4C ．2022D ．8【分析】先利用x 、y 的值计算出22x y +=，再利用完全平方公式得到2222()x xy y x y ++=+，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：1220223x =+，1220223y =-， 22x y ∴+=，22222()(22)8x xy y x y ∴++=+==．故选：D ．考点11：二次根式的应用1．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，在长方形中放入面积分别为32和18的正方形m 和正方形n ，则图中阴影部分的周长为 ．【分析】先根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长，再根据图形求得阴影部分的长与宽，最后根据矩形的周长公式求得结果． 【解答】解：根据题意得，2(321818)⨯-+242=⨯ 82=，故答案为：82．2．（2022秋•仁寿县校级月考）若直角三角形斜边长为4，周长为432+，则三角形面积等于 ．【分析】由周长可得出两直角边的关系，再利用勾股定理列出另一方程求出两直角边之积进而求得三角形的面积． 【解答】解：设两直角边长分别为x ，y ；则22443216x y x y ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩， 解得1xy =．故这个三角形的面积为1122xy =， 故答案为：12．举一反三1．（20221250的周长为( ) A ．23102B ．4352C ．43102D ．4352或23102【分析】分腰长为1250关系进行验证，可求得其周长．【解答】12121250，不满足三角形的三边关系；50125050系，此时周长为23102综上可知，三角形的周长为23102 故选：A ．2．（2022•雄县校级开学）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为29cm 和28cm 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )A ．21)cmB ．21cmC ．26)cmD ．28)cm【分析】根据HLFG MCEF S S S =+矩形矩形空白部分，需求HC 以及LM ．由题意得()229ABCH S HC cm ==正方形，()22228LMEF S LM LF MF cm ====正方形，故3HC cm =，)LM LF MF cm ===，进而解决此题．【解答】解：如图所示：由题意知：()229ABCH S HC cm ==正方形，()22228HCDG S LM LF ME cm ====正方形．3()HC cm ∴=，)LM LF MF cm ===．HLFG MCDE S S S ∴=+矩形矩形空白部分HL LF MC ME =⋅+⋅ HL LF MC LF =⋅+⋅()HL MC LF =+⋅ ()HC LM LF =-⋅(3=-⨯2)cm =．故选：D ．3．（2022春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为26cm 和215cm 的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为( )A．2B．221cm C．2D．2【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积=大正方形的面积-两个小正方形的面积即可得出答案．【解答】解：两个小正方形的面积为15和6，∴，+=--∴阴影部分的面积26151526615=+--2)cm=，故选：A．专题二：练习一．选择题1．（2022秋•榆树市期中）下列计算正确的是( ) ABCD 3-2．（2022秋•恩阳区 月考）x ( ) A ．1.5B ．1-C ．3-D ．9-3．（2022秋•新蔡县校级月考）已知x 、y 为实数，且1y =，则x y +的值是( ) A ．2022B ．2023C ．2024D ．20254．（2022秋•文山市校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是( )AB C D 5．（2022秋•新蔡县校级月考）下列各式计算正确的是( ) A=B = C=D 6．（2022秋•汝州市校级月考）下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．B C ．D 7．（2022秋•泌阳县校级月考）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是()A ．1x ≠B ．0xC ．1x -D ．0x 且1x ≠-8．（2022秋•泌阳县校级月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) ABC D9．（2022秋•宛城区校级月考）下列根式中为最简二次根式的是( )AB C D 10．（2022秋•泌阳县校级月考）下列运算正确的是( ) AB ．2C D 11．（2022秋•渝中区校级月考）下列计算正确的是( )A3-B 2=C 123D ．2(10-=12．（2022秋•邓州市校级月考）已知ABC ∆的面积为212cm ，底边为，则底边上的高为( )A ．B ．C D ．13．（2022秋•邓州市校级月考）下列二次根式中属于最简二次根式的是( )ABC D14．（2022秋•商水县月考）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点 表示的数为x ，则x +( )A ．1B ．1C 1D ．215．（2022秋•安溪县校级月考）已知y =，则20202021()()x y x y +-的值为( ) A ．2B ．2C ．1-D ．116．（2022秋•安溪县校级月考）下列计算正确的是( )A2=-B ．26=C D ．=17．（2022秋•西安月考）下列计算中正确的是( ) A=B ．1C 8D18．（2022( ) A ．2BC D 19．（2022春•重庆月考）下列二次根式是最简二次根式的是( )AB C D 0)a >20．（2022秋•禅城区校级月考）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且||||a b >，则化||a b -的结果为( )A ．2a b +B ．2a b -+C ．bD ．2a b -21．（202230b -=，则b 的取值范围是( ) A ．3b >B ．3b <C ．3bD ．3b22．（2022春•鲤城区校级期中）下列计算错误的是( ) A=B ．3=C =D 23．（2022( ) A ．1x >B ．1xC ．1x ≠D ．1x24．（2022有意义的实数x 的取值范围是( ) A ．2xB ．3x 且2x ≠C ．2x >且3x ≠D ．2x 且3x ≠25．（2022春•福山区期中）下列计算中，正确的是( ) A ．21 B ．3=C 3D =26．（2022春•鼓楼区校级期中）下列运算正确的是( )A ．3=B =C 3=-D ．215=27．（2022( ) A ．0B ．3C ．D ．28．（2022春•东莞市月考）下列各组二次根式中，能进行合并的是( ) ABC D29．（2022春•东莞市月考）下列二次根式中，最简二次根式是( )AB C D 30．（2022春•东莞市校级期中）当a 满足( ) A ．3aB ．3a >C ．3a -D ．3a >-31．（2022春•仓山区校级期中）下列计算正确的是( )A4B 32=C 5=±D 1=-32．（2022春•东莞市校级期中）下列计算正确的是( ) A=B =C5-D 1=33．（2022春•杭州期中）下列运算正确的是( )A=B ．26=C D 2=-34．（2022秋•高新区校级月考）若实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简||b c +( )A ．b c a +-B ．b c a ++C ．b c a ---D ．b c a --+35．（2022春•北京期中）下列二次根式计算正确的是( ) A=BC D36．（2022春•武隆区校级期中）把二次根式化简为( ) A ．B C ．D 二．填空题37．（2022秋•忻州月考）若最简二次根式则x=．38．（2022=的值为．39．（20222)<<=．x40．（2022秋•仁寿县校级月考）计算：20212022⋅=．41．（2022．42．（2022在实数范围内有意义，则x的取值范围是．43．（2022秋•高新区校级月考）若3y=，则xy的值为．44．（2022秋•虹口区校级月考）设x=y=t为时，代数式22++=．2062202022x xy y45．（2022秋•虹口区校级月考）若x，y满足6y=，则x y⋅的平方根为．46．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式；．（填写编号）47．（2022秋•仁寿县校级月考）若直角三角形的两边长为a、b，且满足b-==．|4|048．（2022秋•虹口区校级月考）已知x=，则654322--+-+．x x x x49．（2022秋•二道区校级期中）当1x=．50．（2022秋•渝中区校级月考）若两不等实数a，b满足8b+，则a+=，8．三．解答题51．（2022秋•禅城区校级月考）计算．（1）01)|-（252．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，+，其中5x =，15y =．53．（2022． 54．（2022秋•薛城区校级月考）计算：（1）+（2）2011)()|1(2)3π---+--55．（202256．（202257．（2022春•江汉区校级月考）计算：（1（2）747a ．一．选择题1．【解答】解：AA选项不符合题意；B==B选项不符合题意；C==C选项符合题意；D．原式6318=⨯=，所以D选项不符合题意；故选：C．2．【解答】解：由题意得，210x +，解得0.5x -，3210.50-<-<-<-<，故选项A符合题意．故选：A．3．【解答】解：20230x -，20230x-，20230x∴-=，2023x∴=，1y∴=，202312024x y∴+=+=，故选：C．4．【解答】解：A是最简二次根式，故本选项符合题意；B的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C不符合题意；D不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：A ．5．【解答】解：A ，故A 不符合题意；B =B 不符合题意；C C 不符合题意；D D 符合题意；故选：D ．6．【解答】解：A 、原式=，故A 不符合题意．B 、原式=B 不符合题意．C 、C 符合题意．D 、原式||a =，故D 不符合题意．故选：C ．7．【解答】解：根据题意得：100x ≠⎪⎩， 解得0x ．故选：B ．8．【解答】解：AB 不是最简二次根式，故此选项不合题意；C D不是最简二次根式，故此选项不合题意； 故选：A ．9．【解答】=式，故A 选项不符合题意；是最简二次根式，故B 选项符合题意；=C 选项不符合题意；，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故D 选项不符合题意；故选：B ．10．【解答】解：A A 不符合题意；B 、=B 不符合题意；C C 不符合题意；D D 符合题意；故选：D ．11．【解答】解：A 3=，故此选项不合题意；B 2=，故此选项符合题意；C =，故此选项不合题意；D ．2(20-=，故此选项不合题意； 故选：B ．12．【解答】解：ABC ∆的面积为212cm ，底边为，∴底边上的高为：122)cm ⨯÷=． 故选：B ．13．【解答】解：A 故本选项不符合题意；B 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D ．14．【解答】解：由题意可得：1AB CA ==，则C点坐标为：11)2x=-=-故22x==．故选：D．15．【解答】解：y=，∴20 20xx-=⎧⎨-=⎩，20x∴-=，解得2x=，y∴=20202021()()x y x y∴+-20202020()()()x y x y x y=+--2020[()()]()x y x y x y=+--222020()()x y x y=--20201(2=⨯2=+故选：B．16．【解答】解：A|2|2=-=，故本选项不符合题意；B．24312=⨯=，故本选项不符合题意；CD．4(2=⨯=，故本选项符合题意；故选：D．17．【解答】解：A=B．=C=D 故选：A ．18．【解答】解：A ．2不是同类二次根式，故本选项不合题意；B =C =，与不是同类二次根式，故本选项不合题意；D = 故选：B ．19．【解答】解：2=不是最简二次根式，=C 是最简二次根式；(0)D a >，因此不是最简二次根式； 故选：C ．20．【解答】解：实数a 、b 在轴上的位置可知，0a b <<，且||||a b >， 0a b ∴-<，∴原式a b a =-+-2b a =-，故选：B ．21．【解答】解：30b -=，即|3|3b b -=-，30b ∴-， 即3b ，故选：D ．22．【解答】解：A =A 不符合题意；B 、B 符合题意；C =C 不符合题意；D=D不符合题意；故选：B．23．【解答】解：由题意得：10x-，解得：1x，故选：B．24．【解答】解：由题意得：20x-且30x-≠，解得：2x且3x≠，故选：D．25．【解答】解：A．原式=A选项不符合题意；B．3B选项不符合题意；C．原式C选项不符合题意；D．原式=，所以D选项符合题意．故选：D．26．【解答】解：A．3不能合并，所以A选项不符合题意；B B选项不符合题意；=，所以C选项不符合题意；C．原式3D．原式1=，所以D选项符合题意．5故选：D．27．【解答】解：原式===．故选：A．28．【解答】解：A不能合并，故此选项不符合题意；B、∴C、=，∴不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；D、==，∴故选：B．29．【解答】解：|a=不是最简二次根式；C故选：D．30．【解答】解：由题意得，30a+，解得3a-，故选：C．31．【解答】解：A、原式=，故A不符合题意．B、原式3=，故B符合题意．2=，故C不符合题意．C、原式5D、原式1=，故D不符合题意．故选：B．32．【解答】解：A A不符合题意；B=B符合题意；C5，故C不符合题意；D D不符合题意；故选：B．，故选项A正确，符合题意；33．【解答】212=，故选项B错误，不符合题意；C错误，不符合题意；2，故选项D错误，不符合题意；故选：A．34．【解答】解：根据题意得：0∴+<，b c<<<，0c b a||+=---，b c b c a故选：C．35．【解答】==，故选项A错误，不符合题意；==C错误，不符合题意；不能合并，故选项D错误，不符合题意；故选：B．36．【解答】解：10->，a∴<，a∴二次根式0<，∴二次根式化简为故选：A．二．填空题37．【解答】解：最简二次根式∴+=，x25解得：3x=，故答案为：3．38．【解答】解：=，22∴，220∴-=，0∴=，0≠，∴0=，∴25a b ∴=，∴ 5035255b b b b b b++=-+ 5829b b =2=．39．【解答】解：原式11)=-2=，故答案为：2．40．【解答】解：原式2021=⨯⨯2021(1)=-⨯1=-⨯=， 故答案为：41．【解答】0)x y z =>>>，两边平方得：13x y z ++++ 比较系数得：13x y z ++=①，5xy =②，7xz =③，35yz =④，由②得：5x y =，代入③得：57z y=， 即：75y z =， 代入④得：225y =，5y ∴=，1x ∴=，7z =，∴原式．42．【解答】解：由题意得：230x -且20x -≠， 解得：32x 且2x ≠， 故答案为：32x且2x ≠． 43．【解答】解：根据题意，得310130x x -⎧⎨-⎩， 解得13x =，所以3y =，所以1313xy =⨯=．故答案为：1．44．【解答】解：(1t xy t ==，42x y t +==+，2206220220()2222022x xy y x y xy ∴++=++=，20(42)2222022t ∴++=，解得：2t =或3t =-（舍去）2t ∴=．故答案为：2．45．【解答】解：x ，y 满足6y =， ∴30620x x -⎧⎨-⎩， 解得3x =，6y ∴=，18x y ∴⋅=，x y ∴⋅的平方根为=±．故答案为：±46．【解答】解：=，=⑤23=∴②⑤． 故答案为：②⑤．47．【解答】解：|4|0b -=，即|3||4|0a b -+-=，3a ∴=，4b =， ∴该直角三角形的斜边长的平方22223425a b =+=+=， 故答案为：25．48．【解答】解：2022x ==654322x x x x ∴--+-+5432(2x x x x x =--+-+-54322x x x x =-+-+54322x x x x =-+-+-432[1]2x x x x =-+-+-4321]2x x x =-+-+432(202220211)2x x x =--+-+-322x x =-+2(2x x x =-+-22x x =+22x x =+[2]x x =+-2]x =+(202120222)x =-+x ==49．【解答】解：当1x =时，原式3=， 故答案为：3．50．【解答】解：38a b +=，8b +=，0a b ∴-+，0∴-=， a b ≠，∴≠∴3=，16a b ++=，7a b ∴+=，27∴-=，∴21=，∴原式32124=+=．故答案为：21．三．解答题51．【解答】解：（1）原式1=1=+（2）原式=+23=+5=．52．【解答】===当5x=，15y=时，原式===．53．【解答】=4=4=．54．【解答】解：（1）原式=÷==；2（2）原式=---+51911=．755．【解答】解：原式===56．【解答】解：原式==．57．【解答】解：（1==+-4=；4（2）747a2=⨯+a a747=147=20。

《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．某某市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简=．14．计算的结果是．15．计算： +=．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值X围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC 的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的X围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值X围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的X围，再估算的X围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．某某市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y（1+x%）或y（1+12%），所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y（1+x%）2或y（1+12%）（1+7%），所以（1+x%）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误；B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值X围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值X围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题13．化简= 0 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0，x﹣1≥0，∴x﹣1=0，∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是 4 ．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解： ==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： += 3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值X围是a＜1且a≠0 ．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为 1 ．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1 ．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．【解答】解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是13 ．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m（需注意m 的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，即m2=7+2（2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意，以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ﹣3 ．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式； =|a|； =•（a≥0，b≥0）等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为 1 ；点E的坐标为（+，﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x ＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y=；∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y=（x＞0）得：1=（1+a）a，又a＞0，解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用xy=k 得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方，，由此可得，∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a ≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞，∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的X围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的X围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值X围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值X围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值X围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．。

中考数学总复习《二次根式》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．若最简二次根式√a+2与√2a−3是可以合并的二次根式，则a的值为（）A．5B．13C．-2D．322．使式子√x+1x−1有意义的x的取值范围是（）A．x>1B．x≠1C．x≥1且x≠1D．x≥−1且x≠13．若等式√m2−4=√m+2⋅√m−2成立，则m的取值范围是（）A．m≥−2B．m≥2C．−2≤m≤2D．m≥44．在函数y=1√x+3中，自变量x的取值范围是（）A．x≥−3B．x≥−3且x≠0 C．x≠0D．x>−35．下列计算正确的一项是（）A．√36=±6B．√0.49=0.7C．√919=313D．√(3−23)2=3−1136．计算正确的是（）A．√114=112B．7a-5a=2C．（-3a）3=-9a3D．2a（a-1）=2a2-2a7．下列运算正确的是（）A．2√2-√2=2B．a3·a2=a5C．a8÷a2=a4D．（﹣2a2）3=﹣6a68．下面是二次根式的是（）A．12B．−3C．√3D．0 9．若式子√x−3有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x=3 10．有下列说法：①一元二次方程x2+px-1=0不论p为何值必定有两个不相同的实数根；②若b=2a+12c，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为－2；③代数式x2+√x+1+1有最小值1；④有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；其中正确的是（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④运算结果在哪两个整数之间（）11．估计(√24−√12)⋅√13A．0和1B．1和2C．2和3D．3和4 12．下列运算正确的是（）A．√3+√4=√7B．(−√3)2=−3C．2√3−√3=2D．√3×√2=√6二、填空题(共6题；共7分)13．式子√x−1中x的取值范围是14．计算：(√3−√2)2012(√3+√2)2013＝．15．若√x−5不是二次根式，则x的取值范围是16．若|a－b＋1|与√a+2b+4互为相反数，则a＝，b＝．17．若x，y为实数，且y=2022+√x−4+√4−x，则x+y=．18．已知√24n是整数，则正整数n的最小值是.三、综合题(共6题；共86分)19．如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(b，0)，C(﹣1，2)，且（a+2）2+ ＝0，（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求出点M 的坐标．（3）如图2，过点C做CD△y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分角△AOP，OF△OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．20．有这样一类题目：将√a±2√b化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2=a 且mn=√b，a±2√b将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使√a±2√b得以化简．（1）例如，∵5+2√6=3+2+2√6=(√3)2+(√2)2+2√2×√3=(√3+√2)2 ∴√5+2√6=√(√3+√2)2= ，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简√4−2√3；（3）利用上面的方法，设A =√6+4√2，B =√3−√5，求A ＋B 的值．21．计算：（1）(√12−3)0+√24−(−12)−1 ； （2）已知 y =√2−x +√x −2−3 ，求 (x +y)2021 的立方根；（3）如图，一次函数 y =kx +b 的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且经过点 (−1,32) ，求 △AOB 的面积．22．阅读下列计算过程：√2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2−1√3+√2=√3√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2√5+2=√5(√5+2)(√5−2)=√5−2试求： （1）1√11+√10的值；（2）1√n+√n−1的值；（3）求1+√2√2+√3√3+√4+⋅⋅⋅√199+√200 的值．23．计算：（1）√8+2 √3﹣（√27+ √2）（2）√23÷ √223× √25（3）（7+4 √3）（7﹣4 √3）24．（1）一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，求a的值．（2）已知√a−16+(b+2)2=0，求ab的立方根．（3）已知x、y为实数，且y=√x−9−√9−x+√4．求√x+√y的值．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】D13．【答案】x≥114．【答案】√3+√215．【答案】x＜516．【答案】－2；－117．【答案】202618．【答案】619．【答案】（1）解：∵（a+2）2+ ＝0∴a+2=0，b-3=0∴a＝﹣2，b＝3；（2）解：如图1，过点C作CT△x轴，CS△y轴，垂足分别为T、S．∵A（﹣2，0），B（3，0）∴AB＝5∵C（﹣1，2）∴CT＝2，CS＝1∴△ABC的面积＝AB•CT＝5∵△COM的面积＝△ABC的面积∴△COM的面积＝若点M在x轴上，即OM•CT＝∴OM＝2.5．∴M的坐标为（2.5，0）（﹣2.5，0）若点M在y轴上，即OM•CS＝∴OM＝5∴点M坐标（0，5）或（0，﹣5）综上所述：点M的坐标为（0，5）或（﹣2.5，0）或（0，﹣5）或（2.5，0）；（3）解：如图2，的值不变，理由如下：∵CD△y轴，AB△y轴∴△CDO＝△DOB＝90°∴AB△CD∴△OPD＝△POB．∵OF△OE∴△POF+△POE＝90°，△BOF+△AOE＝90°∵OE平分△AOP∴△POE＝△AOE∴△POF＝△BOF∴△OPD＝△POB＝2△BOF．∵△DOE+△DOF＝△BOF+△DOF＝90°∴△DOE＝△BOF∴△OPD＝2△BOF＝2△DOE∴＝2．20．【答案】（1）√3+√2（2）解：∵4−2√3=3+1−2√3=(√3)2+1−2√3=(√3−1)2∴√4−2√3=√(√3−1)2=√3−1．（3）解：∵A=6+4√2=4+2+4√2=(√4)2+(√2)2+2×√4×√2=(2+√2)2∴A=√6+4√2=2+√2∵B=3−√5=6−2√52=5+1−2√52=(√5)2+12−2×1×√52=(√5−1)22∴B=√3−√5=√(√5−1)22=√5−1√2=√10−√22=12√10−12√2∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：A+B=2+√2+12√10−12√2=2+12√10+√2221．【答案】（1）解: 原式= 1+2√6+2=3+2√6；（2）解: ∵y=√2−x+√x−2−3∴2−x≥0,x−2≥0∴x≤2∴x=2∴y=−3∴(x+y)2021=(2−3)2021=−1；∴(x+y)2021的立方根为−1；（3）解: 由图像可得点B的坐标为(0,3)，然后把点B(0,3)和点(−1,32)代入一次函数y=kx+b得：{b=3−k+b=32，解得：{k=32b=3∴一次函数的解析式为y=32x+3令y=0时，则有0=32x+3，解得：x=−2∴OA=2，OB=3∴S△AOB=12×2×3=3．22．【答案】（1）解：√11+√10=√11−√10(√11+√10)(√11−√10)=√11−√10（2）解：1√n+√n−1=√n−√n−1(√n+√n+1)(√n−√n−1)=√n−√n−1n−(n−1)=√n−√n−1（3）解：11+√21√2+√3+1√3+√41√199+√200=√2−1+√3−√2+√4−√3+···+√199−√198+√200−√199=√200−1=10√2−1. 23．【答案】（1）解：原式=2 √2+2 √3﹣3 √3﹣√2 = √2﹣√3（2）解：原式= √23×38×25= √1010（3）解：原式=49﹣48=124．【答案】（1）解：∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15∴（a+3）+（2a﹣15）=0∴a=4；（2）解：∵√a−16+(b+2)2=0∴a﹣16=0，b+2=0∴a=16，b=﹣2∴√a b3=√16−23=﹣2；（3）解：∵y=√x−9−√9−x+√4∴x=9，y=2∴√x+√y=√9+√2=3+√2。

2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。

2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。

3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。

(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。

4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。