2019届高考理科数学专题 排列与组合

排列与组合主标题：排列与组合副标题：为学生详细的分析排列与组合的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：排列，组合难度：2重要程度：4考点剖析：1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题.命题方向：排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易．考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算．规律总结：1．熟练掌握：(1)排列数公式A m n＝n！(n－m)！；(2)组合数公式C m n＝n！m！(n－m)！，这是正确计算的关键．2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取按照一定的顺序排成一列组合出m(m≤n)个不同元素合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n.导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

2019年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯W ORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D2 ．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B3 ．（2019年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B4 ．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是 A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 （ ）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B6 ．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C7 ．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B8 ．（2019年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C9 ．（2019年高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A10．（2019年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为 （ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-40【答案】C 二、填空题11．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为222222(133)(22323)(++++⨯+⨯++⨯+（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】483612．（2019年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)【答案】48015．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】59016．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】1517．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________【答案】10。

2019年全国高考理科数学分类汇编——排列组合二项式定理1.（2019全国1卷理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. 516B. 1132C. 2132D. 1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．2.（2019全国3卷理科）（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．3.（2019江苏卷）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.【答案】（1）5n =；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==． 因为23242a a a =， 所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯， 解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.4.（2019天津卷理科）83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________. 【答案】28【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项。

专题十一 排列组合、二项式定理1.【2018高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =．2.【2018高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 3.【2018高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【2018高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ） A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ， 所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2018高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2018高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指kn C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别. 7.【2018高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r rr n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2018高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2018高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2018高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()rr r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2018高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2018高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2018高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2018高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr rr x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.【2018高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2018高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。

第四讲排列、组合、二项式定理排列、组合应用授课提示：对应学生用书第69页[悟通——方法结论]两个计数原理解题的方法在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．求解排列、组合问题常用的解题方法(1)元素相邻的排列问题——“捆绑法”；(2)元素不相邻的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法；(5)分组分配问题①平均分组问题分组数计算时要注意除以组数的阶乘．②不平均分组问题实质上是组合问题．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案：D2．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有( )A ．96种B ．100种C ．124种D ．150种 解析：因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分．当按照1,1,3来分时，不同的分法共有N 1＝C 15C 14C 33A 22A 33＝60(种)；当按照2,2,1来分时，不同的分法共有N 2＝C 25C 23C 11A 22A 33＝90(种)．根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N ＝N 1＋N 2＝150(种)，故选D. 答案：D3．3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( ) A ．2 B ．9 C ．72D ．36解析：可分两步：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A 22种排法；第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A 33种，男生“内部”的排法有A 33种．故符合题意的排法种数为A 22×A 33×A 33＝72，故选C.答案：C4．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )A ．60B ．20种C ．10种D ．8种解析：根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C 35＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)，故选C. 答案：C5．某大学的6名大二学生打算参加学校组织的“临界动漫协会”“大学生心理卫生协会”“学生跆拳道协会”“蓝天环保社团”“《马头琴》诗歌协会”5个社团，若每名学生必须参加且只能参加1个社团，并且每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为 ( )A ．1440B ．3600C ．5040D ．6840解析：可分两类：第一类，若有1人参加“学生跆拳道协会”，则从6人中选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有两种情况，即1,1,1,2和1,2,2，故1人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为C 16×(C 15C 14C 13A 33A 44＋C 25C 23A 22A 34)＝3600；第二类，若无人参加“学生跆拳道协会”，则6人参加剩下4个社团，人数安排有两种情况，即1,1,2,2和2,2,2，故无人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为C 26C 24C 12A 22A 22A 44＋C 26C 24C 22A 33·A 34＝1440.故满足条件的方法种数为3600＋1440＝5040，故选C.答案：C掌握分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，按组合问题求解，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n 组均匀，最后必须除以n ！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． (3)解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配．二项式定理授课提示：对应学生用书第70页[悟通——方法结论]1．通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k(k ＝0,1,2，…，n )，其中C k n 叫作二项式系数．2．各二项式系数之和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ； (2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.3．二项式系数的最大项由n 的奇偶性决定 当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； 当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)在⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.答案：C(3)若(3x －1)2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x 2018(x ∈R )，则13＋a 232a 1＋a 333a 1＋…＋a 201832018a 1＝________.解析：令x ＝0，可得a 0＝1.由通项公式可得a 1＝C 20172018·31·(－1)2017＝－6054.令x ＝13，得a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 201832018＝－1，则13＋a 232a 1＋a 333a 1＋…＋a 201832018a 1＝1a 1⎝⎛⎭⎫a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 201832018＝－1a 1＝16054. 答案：160541.公式法求特定项的类型及思路通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r的主要作用是求展开式中的特定项，常见的类型有： (1)求第k 项，此时r ＋1＝k ，直接代入通项公式求解； (2)求含x m 的项，只需令x 的幂指数为m 建立方程求解；(3)求常数项，即项中不含x ，可令x 的幂指数为0建立方程求解；(4)求有理项，先令x 的幂指数为整数建立方程，再讨论r 的取值．若通项中含有根式，一般先把根式化为分数指数幂，以减少计算错误．2．赋值法研究二项展开式的系数和问题的策略“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．[练通——即学即用]1．(2018·唐山模拟)(x 2－1x )6的展开式中的常数项为( )A ．15B ．－15C ．20D ．－20解析：依题意，T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r (－1x )r ＝C r 6(－1)r x 12－3r，令12－3r ＝0，则r ＝4，所以(x 2－1x)6的展开式中的常数项为C 46(－1)4＝15，选择A. 答案：A2．(2018·长郡中学模拟)若二项式(x 2＋ax )7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A ．560B ．－560。

高考数学二轮复习专项排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为344342+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.（Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求：（I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。

（1）求ξ的分布列，期望及方差； （2）求η的分布列，期望及方差；4.（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内： （1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率； （3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯 ，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。

(1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率；(2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。

高中数学知识点总结 第 1 页 共 1 页 2019年高考理科数学知识点总结：排列、组合和二项式定理、数学归纳法排列、组合和二项式定理、数学归纳法127. 排列数、组合数的计算(1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m m n n m =---+=≤-L ；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅L 。

(2)组合数公式()(1)(1)!()(1)21!!m mn nm m A n n n m n C m n A m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01n C =. (3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=； （4）分组问题：要注意区分是否均匀，有无组别，平均分成n 组问题别忘除以n ！。

（5）至多至少问题要注意分清所需元素具体数目（切忌盲目保底）或者用间接法128.二项式定理：011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1r n r r r n T C a b -+=称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。

（2）审题时注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？ 129、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n nm n C C -=； （2）增减性与最大值：当12n r +≤时，二项式系数C r n 的值逐渐增大，当12n r +≥时,C rn 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

12019年高考数学（理）：专题04-算法、排列、组合与二项式定理【考向解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型及相互独立事件的概率；4.二项分布、正态分布的应用是考查的热点；5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现. 【命题热点突破一】程序框图 例1、（2018年全国Ⅱ卷理数）为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A. B. C.D.【答案】B【解析】由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.【变式探究】【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A 1 000和n =n+12D ．A ≤1 000和n =n +2【答案】D【解析】由题意，因为，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D. 【变式探究】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =【答案】C【解析】当时，，不满足；，不满足；，满足；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C. 【感悟提升】程序框图中单纯的顺序结构非常简单，一般不出现在高考中，在高考中主要出现的是以“条件结构”和“循环结构”为主的程序框图．以“条件结构”为主的程序框图主要解决分段函数求值问题，以“循环结构”为主的程序框图主要解决数列求和、统计求和、数值求积等运算问3题，这两种类型的程序框图中，关键因素之一就是“判断条件”，在解题中要切实注意判断条件的应用． 【变式探究】某程序框图如图 所示，若该程序运行后输出的S 的值为72，则判断框内填入的条件可以是( )A ．n ≤8?B ．n ≤9?C ．n ≤10?D ．n ≤11? 【答案】A【解析】依题意，可知程序运行如下：n ＝1，S ＝0→S ＝0＋2×1＝2，n ＝2→S ＝2＋2×2＝6，n ＝3→S ＝6＋2×3＝12，n ＝4→S ＝12＋2×4＝20，n ＝5→S ＝20＋2×5＝30，n ＝6→S ＝30＋2×6＝42，n ＝7→S ＝42＋2×7＝56，n ＝8→S ＝56＋2×8＝72，n ＝9，此时输出S 的值为72，故判断框中应填“n ≤8？”.【命题热点突破二】排列与组合例2、（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.【变式探究】【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。

题组层级快练（七十九）1 -若A2n'=10An‘，贝g n =（）A. 1B. 8C. 9D. 10答案B解析原式等价于2n（2n- l）（2n~2）= l（）n（n- l）（n~2）,整理得2.（2017-东北四市联考）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法（）A. 10B. 16C. 20D. 24答案C解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.・・•要求每人左右均有空座，.••在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A52=20种坐法.3.（2017-广东汕头模拟）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A. 4 种B. 10 种C. 18 种D. 20 种答案B解析分两类：第一类是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有Cj=4种；第二类是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C42=6种，故赠送方法共有4+6=10种.4.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A. 324B. 328C. 360D. 648答案B解析首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A『=9X8=72个，当0不排在末位时，有A4,A S，A8,=4X8X8=256^,于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72 + 256=328 个.5.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）A. A55• A42种 B. A5'・ A52 WC. A55 - A62种D. A77-2A66种答案A解析先排大人，有A」种排法，再排小孩，有种排法（插空法）.故有A42 - A55种不同的排法.6.（2018-山东临沂重点中学模拟）马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有（）A. 60 种B. 20 种C. 10 种D. 8 种答案C分析先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法”，插入三盏亮的路灯，即可得结果.解析根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C53=1O（种）情况.故不同的开灯方案共有10X1 = 10（种），故选C.解题技巧破解此类题的关键点：一是“定元”，确定要求不相邻的元素及其个数；二是“插空”，先排无位置要求的几个元素（注意是"有序”还是"无序”），再把规定不相邻的元素插入无位置要求的元素的两端和元素之间的空位；三是“计数”，根据两个计数原理求出不同的排列总数.易错捉醒本题的易错点有两处：一是“有序”“无序”识别不清，如本题，先安排四盏不亮的路灯时误以为“有序”，得到A?种不同的排法，导致结果出错；二是插入的空位漏算头尾两处，导致11!错.7.（2014-四川，理）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A. 192 种B. 216 种C. 240 种D. 288 种答案B解析根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类.第一类：甲在左端，有A55=5X4X3X2X 1 = 120种方法；第二类：乙在最左端，有4A『=4X4X3X2X1=96种方法.所以共有120+96=216种方法.8.用数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字，并且比2（）（）00大的五位偶数共有（）A. 288 个B. 240 个C. 144 个D. 126 个答案B解析对个位是0和个位不是0两类情形分类计算；对每一类情形按"个位——最高位——中间三位”分步计数：①个位是0并且比20 000大的五位偶数有1 X4XAj=96个；②个位不是0并且比20 000大的五位偶数有2X3XA『=144个；故共有96+144 = 240个.本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目.9.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是（）A. 20 种B. 19 种C. 10 种D. 9 种答案B解析“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e、o选定位置，其余三个相同的字母r,位置固定，即所有拼写方式为As?, error•拼写错误的种数为A/ -1 = 19. 10.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B 不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为（）A. 56B. 63C. 72D. 78答案D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有As'种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A?种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A/种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A3?种.故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55-2A44 +A33= 120-48 + 6 = 78.11.（2018-沧州七校联考）身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有（）A. 24B. 28C. 36D. 48答案D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分.（1）当红红之间有蓝时，则有A22A42=24种；（2）当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C31=24因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法.故选D.12.安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日的不同的安排方法共有 ___________ 种.答案2 400解析共有A52A55=2 400种不同的安排方法.13.一份试卷有10道考题，分为A, B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有_______ 种选答方案.答案200解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题.共有CsP/+C53C53+C52C54=50+100+50=200 种.14.（2017-沧州七校联考）由0, 1, 2,…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为_________ 个.答案210解析若个位数和百位数是0, 8,则方法数是A22A82=112;若个位数和百位数是1, 9,则由于首位不能排0,则方法数是A22C7'C71=98,故总数是112 + 98 = 210.15.（2017-四川成都二诊）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有___________ 种.答案180解析从7个专业选3个，有C73=35种选法，甲、乙同时兼报的有C2— C5* = 5种选法，则专业共有35—5 = 30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A,X30=180.16.用0, 1, 2,…，9十个数字组成五位数，其中3个奇数与2个偶数II数字不重复的五位数有________ 个.答案11 040解析一类：含有数字0： C53C4,C4,A44=3 840.二类：没有数字0： C53C42A55=7 200.由分类加法计数原理得：共有11 040.17.甲、乙两人从4门课程中各选2门，求（1）甲、乙所选的课程小恰有1门相同的选法有多少种？（2）甲、乙所选的课程屮至少有一门不同的选法有多少种？答案（1）24 （2）30解析（1）甲、乙两人从4门课程中各选2 n,且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C2，C2l = 24 种.（2）甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C42C42,又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C4?种，因此满足条件的不同选法种数为C42C42-C42 = 30种.18.从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中，3个偶数排在一起的有儿个？⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？答案（1）100 800 个（2）14 400 个（3）5 760 个解析（1）分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有Cj种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有种情况；第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A??种情况.所以符合题意的七位数有C43C54A77 =10（） 800 个.（2）上述七位数中，3个偶数排在一起的有C43C54A55A33=14400个.（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22=5 760个. |备选题|1.（2018-广东佛山一中月考）以正六边形的顶点和中心为三角形的顶点，可以构造不同的三角形的个数为（）A. 35B. 32C. 30D. 27答案B解析从7个点中选3个点有C,种情况，其中三点共线的情况有3种，故可以构造不同的三角形的个数为C73-3 = 32.2.（2018-山东师大附中模拟）甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有（）A. 50 种B. 72 种C. 48 种D. 42 种答案D解析cj・・C22+C42・C32・c22=42,故选D.3.某电视台从录制的5个新闻报道和4个人物专访中选出5个，准备在7月1日于7月5 tl中每天播出一个，若新闻报道不少于3个，则不同的播出方法共有（）A. 81 种B. 810 种C. 9 600 种D. 9 720 种答案D解析（C53cr+C5°Cj+C51Aj = 9 720 种.4.（2017-山东师大附中模拟）从5名男医生，4名女医生屮选3名医生组成一个医疗小分队, 要求其屮男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A. 70 种B. 80 种C. 100 种D. 140 种答案A解析从9名医生中任选3名有C93 = 84种，都是男医生和都是女医生的有C534-C43=14 种，男、女医生都有的选法为84-14=70种.5.（2016-四川）用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A. 24B. 48答案D解析C3】XA44=72.选D.6.（名师原创）“整治裸官”“小官巨贪”“拍蝇打虎”“境外追逃”“回马枪”成为2016年中国反腐的5个焦点.某大学新闻系学生用2017年元旦的时间调查社会对这些热点的关注度，若准备按顺序分别调查其屮的4个热点，则“整治裸官”作为其屮的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________________ .答案72解析先从’'小官巨贪” “拍蝇打虎” “境外追逃” “回马枪”这4个热点中选出3个，有CJ 种不同的选法；在调查时，“整治裸官”安排的顺序有A3】种可能情况，其余三个热点顺序有A3?种，故不同调查顺序的总数为C43A3l A33=72.7.（2017-天津）用数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________ 个.（用数字作答）答案1 080解析一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C4l C53A44=960（个），四个数字都是奇数的四位数有A5°=120（个），则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960+120=1 080（个）. 8.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队屮至少有1名女生，共有_________ 种不同的选法.（用数字作答）答案660解析分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C84—C64=55种不同的选法; 第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A『=12种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55X 12=660种不同的选法.。

第十一章计数原理§11.1 摆列、组合考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.理解加法原理和乘法原理 ,会解决简单的计数问题 .14,4 分9,5 分04(自选 ),摆列、组合 2.理解摆列、组合的观点 ,掌握排掌握04(2),5 分16,4 分19,14 分14,4 分 5 分列数公式、组合数公式 ,并能解决简单的实质问题.剖析解读 1.摆列与组合是高考常考内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时还与概率相联合进行考察.2.常联合实质背景 ,以应用题形式出现 ,且背景灵巧多变 ,常有的有排队问题 ,涂色问题等 ,也有跨章节、跨学科及以生活实质为出发点的问题 .3.考察摆列与组合的综合应用能力,波及分类议论思想.4.估计 2019 年高考试题中 ,摆列、组合与概率一同考察必不行少.五年高考考点摆列、组合1.(2017 课标全国Ⅱ理 ,6,5 分)安排 3 名志愿者达成 4 项工作 ,每人起码达成 1 项 ,每项工作由 1 人达成 ,则不一样的安排方式共有 ( )A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种答案 D2.(2016 课标全国Ⅱ ,5,5 分 )如图 ,小明从街道的 E 处出发 ,先到 F 处与小红会集 ,再一同到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动 ,则小明到老年公寓能够选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2016 四川 ,4,5 分)用数字1,2,3,4,5 构成没有重复数字的五位数,此中奇数的个数为 ()A.24B.48C.60D.72答案 D4.(2015 四川 ,6,5 分)用数字0,1,2,3,4,5 构成没有重复数字的五位数,此中比 40000 大的偶数共有 ( )A.144 个B.120 个C.96 个D.72 个答案 B5.(2014 广东 ,8,5 分)设会集 A={(x 1 ,x2,x3 ,x4,x5 )|x i ∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么会集 A 中知足条件“1≤|x1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D6.(2014 重庆 ,9,5 分)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出次序 ,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B7.(2014 安徽 ,8,5 分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,此中所成的角为 60°的共有 ( )A.24 对B.30 对C.48 对D.60 对答案 C8.(2014 辽宁 ,6,5 分)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座 ,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案 D9.(2014 纲领全国 ,5,5 分)有 6 名男医生、 5 名女医生 ,从中选出 2 名男医生、 1 名女医生构成一个医疗小组 .则不一样的选法共有( )A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种答案 C10.(2017 浙江 ,16,4 分 )从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人 ,一般队员 2 人构成 4 人服务队 ,要求服务队中起码有 1 名女生 ,共有种不一样的选法 .(用数字作答 )答案66011.(2014 浙江 ,14,4 分 )在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其他 5 张无奖 .将这 8 张奖券分派给4个人,每人 2 张,不一样的获奖状况有种( 用数字作答 ).答案6012.(2013 浙江 ,14,4 分 )将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排 ,且 A,B 均在 C 的同侧 ,则不一样的排法共有种(用数字作答 ).答案48013.(2017 天津理 ,14,5 分)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9构成没有重复数字 ,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答 )答案108014.(2015 广东 ,12,5 分 )某高三毕业班有 40 人,同学之间两两相互给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言 .(用数字作答 )答案156015.(2016 江苏 ,23,10 分)(1)求 7 -4 的值 ;(2)设 m,n∈ N *,n≥ m,求证 :(m+1) +(m+2) +(m+3) + +n+(n+1) =(m+1) .分析(1)7 -4 =7×-4 ×=0.(2)当 n=m 时,结论明显建立 .当 n>m 时,(k+1) ==(m+1) ·=(m+1),k=m+1,m+2,,n.又由于+=,所以 (k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,,n.所以 ,(m+1)+(m+2)+(m+3)++(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+ +(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+ +(-)]=(m+1).教师用书专用 (16—20)16.(2014 福建 ,10,5 分 )用 a 代表红球 ,b 代表蓝球 ,c 代表黑球 .由加法原理及乘法原理 ,从 1 个红球和 1 个蓝球中拿出若干个球的所有取法可由 (1+a)(1+b) 的睁开式 1+a+b+ab 表示出来 ,如 :“1”表示一个球都不取、“ a”表示拿出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都拿出来 .依此类推 ,以下各式中 ,其睁开式可用来表示从 5 个无区其他红球、 5 个无区其他蓝球、 5 个有区其他黑球中拿出若干个球 ,且所有的蓝球都拿出或都不拿出的所有取法的是()A.(1+a+a 2+a 3+a4+a5)(1+b 5)(1+c) 5B.(1+a 5)(1+b+b 2+b 3+b 4+b5)(1+c) 5C.(1+a)5 (1+b+b 2+b3 +b 4+b 5)(1+c 5)D.(1+a 5)(1+b) 5(1+c+c 2 +c 3+c 4+c 5)答案 A17.(2013 四川 ,8,5 分 )从 1,3,5,7,9 这五个数中 ,每次拿出两个不一样的数分别记为a,b,共可获得lga-lgb 的不一样值的个数是 ()A.9B.10C.18D.20答案 C18.(2013 山东 ,10,5 分 )用 0,1, ,9 十个数字 ,能够构成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279答案 B19.(2013 福建 ,5,5 分 )知足 a,b∈{-1,0,1,2}, 且对于 x 的方程 ax2 +2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )A.14B.13C.12D.10答案 B20.(2013 北京 ,12,5 分)将序号分别为1,2,3,4,5 的 5 张观光券所有分给 4 人,每人起码 1 张 .假如分给同一人的 2 张观光券连号 ,那么不一样的分法种数是.答案96三年模拟A 组 2016—2018 年模拟·基础题组考点摆列、组合1.(2018 浙江浙东北结盟期中,9)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有 4 个红包 ,每人最多抢一个 ,且红包被所有抢完,4 个红包中有 2 个 6 元的 ,1 个 8 元的 ,1 个 10 元的 (红包中金额同样视为同样红包 ),则甲、乙都抢到红包的状况有 ( )A.18 种B.24 种C.36 种D.48 种答案 C2.(2017 浙江宁波二模 (5 月 ),7)从 1,2,3,4,5 这五个数字中选出三个不同样数构成一个三位数,则奇数位上一定是奇数的三位数个数为()A.12B.18C.24D.30答案 B3.(2017 浙江名校 (杭州二中 )沟通卷三 ,3)有 2 张写数字 1,3 张写数字 2,4 张写数字 7 的卡片 ,从中任取 3 张摆列 , 最多能够构成不一样的数的个数为()A.24B.44C.32D.26答案 D4.(2016 山东部分要点中学第二次联考 ,7)现有 16 张不一样的卡片 ,此中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求拿出的卡片不可以是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,则不一样的取法共有 ()A.232 种B.252 种C.472 种D.484 种答案 C5.(2018 浙江萧山九中12 月月考 ,15)现有 6 本不一样的数学资料书 ,分给甲、乙、丙三位同学,每人起码要有 1 本,至多 2 本,能够节余 ,则不一样的分法种数为.(用数字作答 )答案12906.(2018 浙江要点中学12 月联考 ,16)甲,乙 ,丙,丁四名同学做传达手帕游戏(每位同学传达到另一位同学记传达1 次 ),手帕从甲手中开始传达,经过 5 次传达后手帕回到甲手中,则不一样的传达方法的种数为.(用数字作答 )答案607.(2017 浙江绍兴质量调测(3 月),15)将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列,若男同学甲与此外两个男同学不相邻,则不一样的排法种数为.(用详细的数字作答)答案2888.(2017 浙江名校 (诸暨中学 )沟通卷四 ,14)把 1,2,3,4,5,6 这六个数随机排成一列构成一个数列,假如要求 1 一定在 3 的左边 ,则数列的个数为;若要求该数列恰巧先增后减,则这样的数列共有个.答案360;30B 组2016—2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2017 浙江名校 (衢州二中 )沟通卷五 ,7)A,B,C,D,E,F6 个人排成一列 ,要求 A 和 B 排在一同 ,E 和 F 不可以排在一起,则不一样的排法种数为()A.216B.192C.144D.108答案 C二、填空题2.(2018 浙江 9+1 高中结盟期中 ,14)4 支足球队两两竞赛,若每场竞赛都分出输赢 ,每队赢的概率都为 0.5,而且每队赢的场数各不同样 ,则不一样结果的种数为;其概率为.答案 24;3.(2018 浙江“七彩阳光”结盟期中 ,17)设会集 A={a,b,c}, 此中 a,b,c∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 若 a,b,c知足 a<b<c,且 2≤ c-b≤6,则会集 A 的个数为.答案 554.(2017 浙江台州 4 月调研卷 (一模 ),16)某校在一天的 8 节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与 2 节自修课 ,此中第 1 节只好安排语文、数学、英语三门中的一门,第 8 节只好安排选修课或自修课 ,且选修课与自修课、自修课与自修课均不可以相邻,则所有不一样的排法共有种.(结果用数字表示 )答案 12965.(2017 浙江稽阳联谊学校高三 4 月联考 ,16)将 7 人分红 3 组 ,要求每组至多 3 人 ,则不一样的分组方法种数是.答案1756.(2017 浙江测试卷 ,15)如下图 ,某货场有两堆集装箱,一堆 2 个,一堆 3 个,现需要所有装运,每次只好从此中一堆中取最上边的一个集装箱进行装运,则在装运的过程中不一样取法的种数是.(用数字作答 )答案107.(2016 河南安阳模拟 ,14)各高校在高考录取时采纳专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的 7 个专业中 ,选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿,此中甲、乙两个专业不可以同时兼报,则该考生不一样的填报专业志愿的方法有种 .答案1808.(2016 湖北黄冈质检 ,14)在高三某班进行的演讲竞赛中 ,共有 5 位选手参加 ,此中 3 位女生 ,2 位男生 ,假如 2 位男生不连续出场 ,且女生甲不可以排第一个,那么出场的次序的排法种数为.答案60C 组2016—2018 年模拟·方法题组方法 1两个基来源理的应用的解题策略1.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2, ,9 的 9 个小正方形 ,使得随意相邻 (有公共边 )的小正方形所涂颜色都不同样 ,且标号为 1,5,9 的小正方形涂同样的颜色,则切合条件的涂法共有种.1 2 34 5 67 8 9答案108方法 2 摆列、组合及其应用的解题策略2.(2017 浙江高考模拟训练冲刺卷四 ,9)在 G20 杭州峰会时期 ,6 名志愿者被安排到A,B,C 三个岗位进行服务 ,每个岗位安排两名志愿者 ,此中甲志愿者一定到 A 岗位 ,乙和丙志愿者均不可以到C 岗位 ,则不一样的安排方法种数为 ( )A.12B.9C.6D.5答案 B3.(2017 浙江湖州期末调研 ,15)A,B,C,D,E 共 5 名同学坐成一排照相 ,要修业生 A,B 不可以同时坐在两旁 ,也不可以相邻而坐 ,则这 5 名同学坐成一排的不一样坐法共有种.(用数字作答 )答案604.(2017 浙江模拟训练冲刺卷五 ,15)有写好数字1,1,2,2,3,3,4,4的 8 张卡片 ,任取 4 张,则能够构成不一样的四位数的个数为.(用数字作答 ) 答案204。

10.2 排列与组合[知识梳理]1．排列与组合的概念2．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质4．常用结论(1)①A m n＝(n－m＋1)A m－1n；②A mn ＝n n －mA mn －1； ③A mn ＝nA m －1n －1. (2)①nA nn ＝A n ＋1n ＋1－A nn ； ②A mn ＋1＝A mn ＋mA m －1n .(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n ＋1)！－1. (4)①C mn ＝n －m ＋1m C m －1n ；②C m n ＝n n －mC mn －1； ③C mn ＝n m C m －1n －1.(5)①kC kn ＝nC k －1n －1；②C rr ＋C rr ＋1＋C rr ＋2＋…＋C rn ＝C r ＋1n ＋1. [诊断自测] 1．概念思辨(1)从1,2,3，…，9任取两个不同的数，分别填入和式□＋□中求和有多少个不同的结果？此题属于排列问题．( )(2)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log □□”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题．( )(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ，则x ＝m 成立．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(选修A2－3P 18例3)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ) A ．720种 B ．360种 C ．240种 D ．120种 答案 C解析 先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A 55种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有A 22种排法，因此所求不同排法总数为A 55A 22＝240.故选C.(2)(选修A2－3P 28A 组T 17)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )A ．18B ．24C ．30D ．36 答案 C解析解法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.解法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.故选C.3．小题热身(1)某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，那么不同的发言种数为( )A．840 B．720 C．600 D．30答案 B解析由题知可分两种情况．第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为C12·C35·A44＝480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为C25·A44＝240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480＋240＝720.故选B.(2)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．答案300解析符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排．按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被5整除的四位数有A11·(C14C24)A33＝144个；②0排在十、百位，但5必须排在个位有A12·A11(C14C13)·A22＝48个；③不含0，但5必须排在个位有A11· (C13C24)A33＝108个．由分类加法计数原理得所求四位数共有300个．题型1 排列问题典例7位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解(1)其中甲站在中间的位置，共有A66＝720种不同的排法．(2)甲、乙只能站在两端的排法共有A 22A 55＝240种． (3)7位同学站成一排，共有A 77种不同的排法； 甲排头，共有A 66种不同的排法； 乙排尾，共有A 66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有A 55种不同的排法； 故共有A 77－2A 66＋A 55＝3720种不同的排法．(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A 66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A 22种方法，所以这样的排法一共有A 66A 22＝1440种．(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A 25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A 44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A 22种方法，所以这样的排法一共有A 25A 44A 22＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素．若丙站在排头或排尾有2A 55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A 66－2A 55)·A 22＝960种方法． 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A 14种方法．再将其余的5个元素进行全排列共有A 55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A 14A 55A 22＝960种方法．(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 解法一：(间接法)A 77－A 66·A 22＝3600种．解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A 55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A 26种方法，所以一共有：A 26·A 55＝3600种．(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有A 77A 22＝2520种．[结论探究1] 若将本例结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？ 解 先将其余四个同学排好，有A 44种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有A 44A 35＝1440种方法．[结论探究2] 若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？ 解 7位同学站成一排，共有A 77种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有A 55A 33＝720种． 故共有A 77－A 55A 33＝4320种不同的排法．[结论探究3] (1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？解(1)站成两排(前3后4)，共有A77＝5040种不同的排法．(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法．方法技巧1．求解有限制条件排列问题的主要方法2.解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．提醒：(1)分类要全，以免遗漏．(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数．(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．冲关针对训练(2018·北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析记其余两种产品为D，E，将相邻的A，B视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．题型2 组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334＝5984种．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100种．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555种．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090种．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．方法技巧1．组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题．见本例(4)．2．两类带有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．见本例(2)，(5)．冲关针对训练(2018·武汉模拟)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 答案 D解析 共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种)．故选D.题型3 排列组合的综合应用角度1 排列组合的简单应用典例 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解 解法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C 14种选法；0可在后两位，有C 12种方法；最后剩下的三张中任取一张，有C 13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C 14C 12C 1322个．②取1不取0，同上分析可得不同的三位数C 24·22·A 33个． ③0和1都不取，有不同的三位数C 34·23·A 33个． 综上所述，共有不同的三位数：C 14C 12C 13·22＋C 24·22·A 33＋C 34·23·A 33＝432个．解法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C 35·23·A 33个，其中0在百位的有C 24·22·A 22个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C 35·23·A 33－C 24·22·A 22＝432个．角度2 分组分配问题典例 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．答案 90解析 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法．方法技巧1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路 (1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列． (3)由分类加法计数原理计算总数，见角度1典例． 2．分组、分配问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题．①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．见角度2典例．③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．冲关针对训练将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种 答案 A解析 2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C 24种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A 22种方案，故不同的安排方案共有C 24A 22＝12种，故选A.1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 答案 D解析 由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D.2．(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有( )A．72种 B．36种 C．24种 D．18种答案 B解析A12(C23C13＋C13C23)＝36(种)．故选B.3．(2017·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法有( )A．10种 B．16种 C．20种 D．24种答案 C解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人的两旁均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A25＝20(种)坐法．故选C.4．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案660解析只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·泉州模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种 B．24种 C．36种 D．72种答案 C解析分两类，甲乙在一路口，其余3人中也有两人在一路口，则有C23A33种．当有3人在一路口时只能是甲、乙和其余三人中一个在一起，则有C13A33，所以共有C23A33＋C13A33＝36种，故选C.2．某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为( )A．600 B．288 C．480 D．504答案 D解析对六节课进行全排列有A66种方法，体育课排在第一节课有A55种方法，数学课排在第四节课也有A55种方法，体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有A44种方法，由排除法得这天课表的不同排法种数为A66－2A55＋A44＝504.故选D.3．某班级举办的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生、2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )A．90 B．60 C．48 D．36答案 B解析先排3位女生，3位女生间及两端有4个空，从4个空中选2个排男生，共有A24A33＝72种排法．若女生甲排在第一个，则3位女生间及一端有3个空，从3个空中选2个排男生，有A23A22＝12种排法，所以满足条件的排法种数为72－12＝60.故选B.4．(2018·山西质量监测)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A．60种 B．48种 C．30种 D．24种答案 B解析由题意知，不同的座次有A22A44＝48(种)，故选B.5．(2018·福建福州八中模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A．12种 B．24种 C．48种 D．120种答案 B解析甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A44A22种排法，甲乙相邻且在两端有C12A33A22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A44A22－C12A33A22＝24(种)．故选B.6．(2017·黔江模拟)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．6答案 B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解．①当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位．∴排成的三位奇数有C23A22＝6个．②当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C23种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．∴排成的三位奇数有C23C12A22＝12个．∴由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数．故选B.7．(2018·河北衡水模拟)某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每辆车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( ) A．24种 B．18种 C．48种 D．36种答案 A解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有C23C12C12＝12种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则有2名同学来自同一个年级，另外2名分别来自不同年级，有C13C12C12＝12种，所以共有24种乘坐方式，故选A.8．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．34种 B．48种 C．96种 D．144种答案 C解析由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A12＝2种结果．∵程序B和C在实施时必须相邻，∴把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C.9．(2018·福建漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )A．540 B．480 C．360 D．200答案 D解析由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．故选D.10．(2018·赣州摸底)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有( ) A．36种 B．39种 C．42种 D．45种答案 B解析当甲安排在10月2日值班时，则丙可以安排在1,3,4日中某一天，乙可以在剩余的3日中选一天，有C13C13＝9种排法，同理可得甲安排在10月3日，4日中的一天值班时，有C13C13＋C13C13＝18种排法；当甲安排在10月5日值班时，有A24＝12种排法，所以不同的安排方法有9＋18＋12＝39种，故选B.二、填空题11．(2017·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________．(用数字作答) 答案20解析从5人中任选3人有C35种，将3人位置全部进行调整，有C12·C11·C11种，故有N＝C35·C12·C11·C11＝20种调整方案．12．(2018·江西宜春模拟)将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法．答案150解析标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C 35＋C 25·C 23A 22＝25种分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A 33＝150种放法．13．(2017·河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有________种．答案 720解析 由题意知2,3,4,5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2,3,4,5，有A 45种方法，故一共有6·A 45＝720种．14．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．答案 24解析 第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A 33种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24种．三、解答题15．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，求甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数？解 由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．解法一：(直接法)甲、乙两人均入选，有C 22C 17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C 12C 27种选法． ∴由分类加法计数原理，共有C 22C 17＋C 12C 27＝49种选法．解法二：(间接法)从9人中选3人有C 39种选法，其中甲、乙均不入选有C 37种选法．∴满足条件的选派方法有C 39－C 37＝84－35＝49种．16．(2018·保定调研)已知集合M ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ，B ，C 为M 的非空子集，若∀x ∈A ，y ∈B ，z ∈C ，x<y<z 恒成立，则称“A —B —C ”为集合M 的一个“子集串”，求集合M 的“子集串”共有多少个．解 由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C 66种取法，第二步，分成三组，共C 25种分法，所以共有C 66C 25个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C56种取法，然后将这5个元素分成三组共C24种分法，所以共有C56C24个子集串；同理含4个元素的子集串数为C46C23；含3个元素的子集串数为C36C22.所以集合M的子集串共C66C25＋C56C24＋C46C23＋C36C22＝111个．。

1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24【答案】D【解析】3人中每两人之间恰有一个空座位，有A33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法。

2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种【答案】B3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168【答案】B【解析】依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B。

4．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对【答案】C【解析】方法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对。

所以全部共有48对。

方法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直，平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48。

5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，故共有C26·C15＝6×5 2×1×5＝75种选法，选C。