专题3.14位置与坐标（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)，(17，190)，(21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.【知识点2】平面直角坐标系的概念在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：【知识点3】平面直角坐标系（1）各象限内点的坐标的符号特征点(,)P x y 在第一象限⇔0x >，0y >；点(,)P x y 在第二象限⇔0x <，0y >；点(,)P x y 在第三象限⇔0x <，0y <；点(,)P x y 在第四象限⇔0x >，0y <.（2）坐标轴上点的坐标特征点在横轴上⇔y ＝0；点在纵轴上⇔x ＝0；点在原点⇔x ＝0，y ＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数.（4）平行于坐标轴的直线上点的坐标特征①平行于x 轴的直线上的点的纵坐标都相等；②平行于y 轴的直线上的点的横坐标都相等.【知识点4】点的距离问题（1）点到坐标轴、原点的距离点(,)M a b 到x 轴的距离为b ；点(,)M a b 到y 轴的距离为a ；点(,)M a b 到原点的距离OM .（2）平行于x 轴，y 轴的直线上两点间的距离①水平线段12AB x x =-，铅锤线段12CD y y =-；②两点之间的距离公式：d =③中点公式：1212(,22x x y y ++.【知识点5】点的平移与对称（1）点(,)P x y 平移的坐标特征向左平移a 个单位的坐标为(,)P x a y -；向右平移a 个单位的坐标为(,)P x a y +；向上平移b 个单位的坐标为(,)P x y b +；向下平移b 个单位的坐标为(,)P x y b -；口诀：“右加左减，上加下减”.（2）点(,)P x y 的对称点的坐标特征关于x 轴对称的点P 1的坐标为1(,)P x y -；关于y 轴对称的点P 2的坐标为2(,)P x y -；关于原点对称的点P 3的坐标为3(,)P x y --．口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号.【考点一】平面直角坐标系➼➻有序数对【例1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图为某县区几个公共设施的平面示意图，小正方形的边长为1．（1）请以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系；（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各设施的坐标．【答案】（1）见分析；（2）图书馆：()2,3-，商场：()5,2，医院：()3,1--，车站：()2,4-【分析】（1）以学校为原点建立直角坐标系即可；（2）以学校为原点建立直角坐标系，根据图形可得其余各设施的坐标．（1）解：如图：以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系如下：（2）解：其余各设施的坐标分别为：图书馆：()2,3-，商场：()5,2，医院：()3,1--，车站：()2,4-．【点拨】本题主要考查的是用坐标确定位置，准确写出其余各设施的坐标是解决本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·八年级课时练习）下列数据中不能确定物体位置的是（）A ．电影票上的“5排8号”B ．小明住在某小区3号楼7号C ．南偏西37°D ．东经130°，北纬54°的城市【答案】C【分析】根据以坐标确定位置需要两个数据对各选项进行判断即可．解：A ．电影票上的“5排8号”，位置明确，故本选项不符合题意；B ．小明住在某小区3号楼7号，位置明确，故本选项不符合题意；C ．南偏西37°，位置不明确，故本选项符合题意；D ．东经130°，北纬54°的城市，位置明确，故本选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解答本题的关键．【变式2】（2023春·七年级课时练习）如图，点A 在射线OX 上，OA 等于2cm ，如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转30°到OA ′，那么点A ′的位置可以用（2，30°）表示．若OB ＝3cm ，且OA ′⊥OB ，则点B 的位置可表示为．【答案】（3，120°）【分析】根据题意得出坐标中第一个数为线段长度，第二个数是逆时针旋转的角度，进而得出B点位置即可．解：∵OA等于2cm，如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA′，那么点A′的位置可以用（2，30°）表示，∵OA′⊥OB，∴∠BOA=90°+30°=120°，∴OB=3cm，∴点B的位置可表示为：（3，120°）．故答案为：（3，120°）．【点拨】此题主要考查了用有序数对表示位置，解决本题的关键是理解所给例子的含义．【考点二】平面直角坐标系➼➻象限内点的坐标的符号特征【例2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知平面直角坐标系中有一点P（2m+1，m﹣3）．（1）若点P在第四象限，求m的取值范围；（2）若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．【答案】（1）12-＜m＜3；（2）点P的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．【分析】（1）直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案；（2）利用点P到y轴的距离为3，得出m的值．（1）解：由题知21030 mm+>⎧⎨-<⎩，解得：13 2m-<<；（2）解：由题知|2m+1|＝3，解得m＝1或m＝﹣2．当m＝1时，得P（3，﹣2）；当m＝﹣2时，得P（﹣3，﹣5）．综上，点P的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．【点拨】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握点在各象限内的特点以及点到坐标轴的距离是解题关键．【举一反三】【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）不论m 取何实数，点()2,3P m m -+都不在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【分析】先判断点P 的纵坐标、横坐标之和为5，大于0，然后根据各象限内点的坐标特征解答．解：∵()()232350m m m m -++=-++=＞，∴点P 的纵坐标、横坐标之和为5，大于0，∵第三象限的点的横坐标是负数，纵坐标是负数，∴纵坐标、横坐标之和必然小于0，∴点P 一定不在第三象限，故选：C ．【点拨】本题考查了点的坐标，利用作差法求出点P 的横坐标大于纵坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．【变式2】（2023春·七年级单元测试）经过点Q （1，﹣3）且垂直于y 轴的直线可以表示为直线．【答案】y ＝﹣3【分析】垂直于y 轴的直线，纵坐标相等，为-3，所以为直线：y =-3．解：由题意得：经过点Q （1，﹣3）且垂直于y 轴的直线可以表示为直线y ＝﹣3，故答案为：y ＝﹣3．【点拨】本题考查了点的坐标，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y 轴的直线的特点：纵坐标相【考点三】平面直角坐标系➼➻坐标轴点的坐标的符号特征【例3】（2020秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知点P （8﹣2m ，m +1）．（1）若点P 在y 轴上，求m 的值．（2）若点P 在第一象限，且点P 到x 轴的距离是到y 轴距离的2倍，求P 点的坐标．【答案】（1）4；（2）P （2，4）．【分析】（1）直接利用y 轴上点的坐标特点得出m 的值；（2）直接利用P 点位置结合其到x ，y 轴距离得出点的坐标．（1）解：∵点P （8﹣2m ，m +1），点P 在y 轴上，∴8﹣2m ＝0，解得：m ＝4；（2）解：由题意可得：m +1＝2（8﹣2m ），解得：m ＝3，则8﹣2m ＝2，m +1＝4，故P （2，4）．【点拨】此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点是解题关键．【举一反三】【变式1】（2023春·七年级课时练习）下列说法不正确的是（）A ．点()21,1A a b --+一定在第二象限B ．点()2,3P -到y 轴的距离为2C ．若(),P x y 中0xy =，则P 点在x 轴上D ．若(),P x y 在x 轴上，则0y =【答案】C【分析】A ：第二象限的点满足（-，+），B ：找出P 点坐标即可确定与y 轴的距离，C ：xy =0，可确定x 、y 至少有一个为0来确定，D ：根据x 轴上点的坐标特征即可判定．解：A ：21a --＜0，1b +＞0，本选项说法正确；B ：P 点到y 轴距离是2，本选项说法正确；C ：xy =0，得到x 、y 至少有一个为0，P 可能在x 轴上，也可能在y 轴上，本选项说法错误；D ：点P 在x 轴上，则y =0，本选项说法正确.故选：C ．【点拨】本题考查坐标上点的特征．确定各个象限的点和坐标轴上点的特征是解决本题的关键．【变式2】（2021春·重庆巫溪·七年级统考期末）若点()2,3M a a -+在y 轴上，则点M 的坐标是．【答案】()0,5【分析】根据y 轴上点的坐标的特点即可求得．解：∵点()2,3M a a -+在y 轴上，∴a -2=0，解得a =2，故a +3=2+3=5，故点M 的坐标为()0,5，故答案为：()0,5．【点拨】本题考查了y 轴上点的坐标的特点，熟练掌握和运用y 轴上点的坐标特点是解决本题的关键．【考点四】平面直角坐标系➼➻角平分线上点的坐标特征【例4】（2018秋·八年级单元测试）（1）若点M （5＋a ，a －3）在第二、四象限角平分线上，求a 的值；（2）已知点N 的坐标为（2－a ，3a ＋6），且点N 到两坐标轴的距离相等，求点N 的坐标．【答案】（1）a ＝－1；（2）点N 的坐标为（3，3）或（6，－6）．【分析】（1）分析题目中点M 、N 的坐标特征，第二、四象限角平分线上点的横纵坐标互为相反数，即可得到5+a=-（a-3），求解可得a 的值；（2）点到两坐标轴的距离相等，则点的横纵坐标相等或互为相反数，据此列式求解，即可得到a 的值，进而确定点N 的坐标.解：（1）由题意可得5＋a ＋a －3＝0，解得a ＝－1.（2）由题意可得|2－a|＝|3a ＋6|，即2－a ＝3a ＋6或2－a ＝－（3a ＋6），解得a ＝－1或a ＝－4，所以点N 的坐标为（3，3）或（6，－6）．【点拨】本题考查了坐标的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握象限内点的坐标的特征.【举一反三】【变式1】（2021秋·九年级单元测试）已知坐标平面内一点()12A -,，若A 、B 两点关于第一、三象限内两轴夹角平分线对称，则B 点的坐标为．【答案】()2,1-【分析】画出相关图形可得纵横坐标交换位置即可．解：由图中可得答案为（-2，1）．故答案为（-2，1）．【点拨】本题考查了两点关于坐标轴夹角平分线对称的关系；用到的知识点为：点（a ，b ）关于第一、三象限角平分线的对称点的坐标为（b ，a ）．【变式2】（2018秋·八年级单元测试）已知A （2x －1，3x ＋2）是第一、三象限角平分线上的点，则点A 的坐标是．【答案】（－7，－7）【分析】根据第一、三象限的角平分线上点的特点：横坐标等于纵坐标，可得方程，根据解方程，可得答案．解：由A （2x －1，3x ＋2）在第一、三象限的角平分线上，得2x-1=3x+2，解得x=-3，则点A 的坐标为（－7，－7），故答案为：（－7，－7）.【点拨】本题考查的是平面直角坐标系中象限角平分线上点的特点，熟练掌握该特点是解题的关键.【考点五】平面直角坐标系➼➻平行于坐标轴上点的坐标特征【例5】（2023春·全国·七年级期末）在平面直角坐标系中，点()0A a ，，()2B b ，，()40C ，，且0a >．（1）若2(2)40a b --=，求点A ，点B 的坐标；（2）如图，在（1）的条件下，过点B 作BD 平行y 轴，交AC 于点D ，求点D 的坐标；【答案】（1）()02A ，，()24B ，；（2）()21D ，【分析】（1）由非负性质得出20a -=，40b -=，得出2a =，4b =，即可得出答案；（2）延长BD 交OC 于M ，由题意得出点D 的横坐标为2，可得点D 是AC 的中点，即可得出答案．（1）解：2(2)0a -= ，20a ∴-=，且40b -=，2a ∴=，4b =，∴点()02A ，，()24B ，；（2）解：延长BD 交OC 于M ，如图所示：，BD x ∥轴，DM OC ∴⊥，点D 的横坐标为2，()02A ，，()40C ，，∴点D 是AC 的中点，()21D ∴，．【点拨】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形等知识，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·福建三明·八年级统考阶段练习）过点(3,2)A 和(1,2)B -作直线，则直线AB （）A ．与x 轴平行B ．与y 轴平行C ．与x 轴相交D ．与x 轴、y 轴均相交【答案】A【分析】根据A ，B 两点的纵坐标相等，得出直线AB 平行于x 轴．解： 点(3,2)A 和(1,2)B -，∴直线AB 为：2y =，直线2y =与x 轴平行，∴直线AB x ∥轴，故A 正确．故选：A ．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，熟记平行坐标轴的直线的特征是解本题的关键．【变式2】（2023春·北京·七年级校联考期中）经过点()3,2M -与点(),N x y 的直线平行干x 轴，且4MN =，则点N 的坐标是．【答案】(1,2)--或(7,2)-【分析】本题根据两点在同一平行于x 轴的直线上确定点N 的纵坐标，继而根据两点距离确定点N 的横坐标．解：由已知得：点N 的纵坐标为2-，设点N 的横坐标为x ，则M 、N 的距离可表示为3x -，∵4MN =，∴34x -=，求解得：7x =或=1x -，故点N 坐标为(1,2)--或(7,2)-．故填：(1,2)--或(7,2)-．【点拨】本题考查点坐标的求法，解题关键在于理清两点之间的位置关系，其次此类型题目通常需要分类讨论，确保结果不重不漏．【考点六】平面直角坐标系➼➻两点之间距离【例6】（2022秋·甘肃白银·八年级校考期中）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点111(,)P x y 、222(,)P x y ，其两点间的距离12PP 所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为21x x -或21y y -．（1）已知(24)A ，、(3,8)--B ，试求A 、B 两点间的距离；（2）已知A 、B 在平行于y 轴的直线上，点A 的纵坐标为4，点B 的纵坐标为-1，试求A 、B 两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为6(1)D ，、(2,2)E -、2(4)F ，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由；（4）在上一问的条件下，平面直角坐标中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求PD PF +的最短长度．【答案】（1）13AB =；（2）5AB =；（3）DEF 为等腰三角形，理由见分析；（4）PD PF +的最短长【分析】（1）由已知两点坐标，根据公式计算即可；（2）由已知两点纵坐标，根据公式计算；（3）由两点间距离公式分别计算三角形三边长，根据三边大小关系可判断；（4）根据轴对称知识，作点F 关于x 轴的对称点F '，则(4,2)F ¢-，连接DF '，与x 轴交于点P ，根据两点间线段最短，此时DP PF +最短，计算DF '即得解．（1）解：∵(2,4)A 、(3,8)--B ，∴13AB =（2）解：∵A 、B 在平行于y 轴的直线上，点A 的纵坐标为4，点B 的纵坐标为1-，∴5|(41)|AB =--=；（3）解：DEF 为等腰三角形，理由为：)6(1,D 、(2,2)E -、(4,2)F ，∴5DE ==，5DF ==，6EF =，即DE DF =，则DEF 为等腰三角形；（4）解：做出F 关于x 轴的对称点F '，则(4,2)F ¢-，连接DF '，与x 轴交于点P ，此时DP PF +最短，∵PF PF '=，∴PD PF DP PF DF ⅱ+=+==则PD PF +【点拨】本题考查平面直角坐标系内两点间距离计算，轴对称，两点之间线段最短；运用轴对称知识得到线段相等是解题的关键．【举一反三】【变式】（2023秋·全国·八年级专题练习）设点()5P a a -，到x 轴的距离为1m ，到y 轴的距离为2m ．（1）当1a =时，12m m -=；（2）若点P 在第四象限，且12210m km +=（k 为常数），则k 的值为；（3）若127m m +=，则点P 的坐标为．【答案】32()16--，或()61，【分析】（1）当1a =时()14P -，，从而可得出1241m m ==，，代入进行计算即可得到答案；（2）由点P 在第四象限可得050a a >-<，，从而得出125m a m a =-=，，代入12210m km +=得10210a ka -+=，即可求出k 的值；（3）根据题意可得57a a -+=，讨论a 的范围，分三段：当a<0时；当05a ≤≤时；当5a >时，分别进行计算即可得到答案．解：（1）当1a =时，5154a -=-=-，()14P ∴-，，点()5P a a -，到x 轴的距高力1m ，到y 轴的距离为2m ，1241m m ∴==，，12413m m ∴-=-=，故答案为：3；（2） 点P 在第四象限，050a a ∴>-<，，1255m a a m a a ∴=-=-==，，12210m km +=，()2510a ka ∴-+=，10210a ka ∴-+=，2k ∴=，故答案为：2；（3） 点()5P a a -，到x 轴的距高力1m ，到y 轴的距离为2m ，125m a m a ∴=-=，，127m m +=，57a a ∴-+=，当a<0时，57a a --+=，解得：1a =-，()16P ∴--，，当05a ≤≤时，557a a -+=≠，不成立，舍去，当5a >时，57a a -+=，解得：6a =，()61P ∴，，综上所述，点P 的坐标为()16--，或()61，．【点拨】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系中的点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值，到y 轴的距离是横坐标的绝对值，是解题的关键．【考点七】平面直角坐标系➼➻中点坐标公式【例7】（2023春·陕西商洛·七年级校考期末）在平面直角坐标系中，线段AB 平移得到的线段记为线段CD ．其中点A 的对应点是点C ，点B 的对应点是点D ．（1）若()1,2--A ，()41B ，，()2,3C -，则点D 的坐标为．（2）已知13,2A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()6B n -，，1,2C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()7,6D n ，请写出m 和n 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）()7,0；（2）2m n =-；理由见分析【分析】（1）设点D 的坐标为(),D D x y ，根据平移的性质列出方程组()()421132D Dx y ⎧-=--⎪⎨-=---⎪⎩，解方程组即可；（2）根据平移的特点得出()73n n m m --=--，整理即可得出答案．（1）解：设点D 的坐标为(),D D x y ，根据题意得：()()421132D Dx y ⎧-=--⎪⎨-=---⎪⎩，解得：70D Dx y =⎧⎨=⎩，∴点D 的坐标为()7,0．故答案为：()7,0．（2）解：2m n =-；理由如下：∵线段AB 平移得到的线段记为线段CD ，其中点A 的对应点是点C ，点B 的对应点是点D ，∴()73n n m m --=--，整理得：2m n =-．【点拨】本题主要考查了坐标平移的特点，解题的关键是熟练掌握坐标平移的性质，列出相应的等式．【举一反三】【变式】（2021春·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）已知点()00,E x y ，点()22,F x y ，点()11,M x y 是线段EF 的中点，则02021122x x y y x y ++==．在平面直角坐标系中有三个点()()()1,11,10,1A B C ---，，，点()0,2P 关于A 的对称点为1P （即1P A P 、、三点共线，且1PA P A =），1P 关于B 的对称点为2P ，2P 关于C 的对称点为3P ，按此规律以、、A B C 为对称点重复前面的操作，依次得到456P P P 、、，则点2018P 的坐标是（）．A ．()0,0B ．()0,2C ．()2,4-D ．()4,2-【答案】D 【分析】首先利用题目所给公式求出1P 的坐标，然后利用公式求出对称点2P 的坐标，依此类推即可求出7P 的坐标；由7P 的坐标和1P 的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点2018P的坐标．解：设()1P x y ，，()1,1A -，()0,2P ，且A 是1PP 的中点，∴012x +=，212y +=-解得：24x y ==-，，()124P ∴-，同理可得：()()()()()()234567424022000224P P P P P P ----，，，，，，，，，，，，∴每6个点一个循环，201833626＝∴点2018P 的坐标是()201842P -，故选D ．【点拨】本题考查的是平面直角坐标系中点的对称点的坐标，解题的关键在于找出对称点坐标的规律．【考点八】平面直角坐标系➼➻点的平移【例8】（2023春·甘肃武威·七年级校联考期末）在平面直角坐标系中，O 为原点，点()()()022040A B C -，，，，，．（1）如图①，则三角形ABC 的面积为；（2）如图②，将点B 向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D ．①求三角形ACD 的面积；②点()3P m ，是一动点，若三角形PAO 的面积等于三角形CAO 的面积．请直接写出点P 坐标．【答案】（1）6（2）①9；②()43P -，或()43，．【分析】（1）根据题意得出OA OB OC ，，，然后直接计算即可；（2）①连接OD ，根据ACD AOD COD AOC S S S S =+- 解题即可；②根据三角形PAO 的面积等于三角形CAO 的面积列方程求解即可．解：（1）∵()()()022040A B C -，，，，，，∴224OA OB OC ===，，，∴11·62622ABC S BC AO ==⨯⨯= ．故答案为6．（2）①如图②中由题意()54D ，，连接OD ．ACD AOD COD AOCS S S S =+-1112544249222=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=．②由题意：1122422m ⨯⨯=⨯⨯，解得4m =±，∴()43P -，或()43，．【点拨】本题考查了点的平移，三角形的面积，分割法，掌握数形结合的方法是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC 至△A 1B 1C 1的位置．若顶点A （﹣3，4）的对应点是A 1（2，5），则点B （﹣4，2）的对应点B 1的坐标是．【答案】（1，3）【分析】根据点A 和点1A 的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论．解：∵顶点A （﹣3，4）的对应点是A 1（2，5），又352,415-+=+=∴平移ABC ∆至111A B C ∆的规律为：将ABC ∆向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到111A B C ∆∵B （﹣4，2）∴1B 的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）故答案为：（1，3）【点拨】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键．【变式2】（2023春·河北保定·八年级校考期中）将点()3,2P -先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（）A ．()1,4--B ．()1,2--C ．()5,4--D ．()5,2--【答案】B【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．解：将点()3,2P -先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为()32,24-+-，即()1,2--，故选：B ．【点拨】此题主要考查了坐标与图形的变化—平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．。
