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2017年市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一记下后放回，再随机抽取一记下，则两次抽取的卡片中至少有一个为偶数的概率为．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f （x）在区间上单调递减，则m的最小值为．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则•的值为．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2 14．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+16．对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n成立，其中n∈N *，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．2017年市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．函数f（x）=lnx+的定义域为{x|0＜x≤1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+，∴，解得0＜x≤1；∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17 ．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18=17人，故答案为：17．4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，可得α+β=﹣1，αβ=p．利用|α﹣β|=，即可得出．【解答】解：方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，则α+β=﹣1，αβ=p．∴|α﹣β|===3，解得p=﹣2故答案为：﹣2．5．盒中有3分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一记下后放回，再随机抽取一记下，则两次抽取的卡片中至少有一个为偶数的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．【解答】解：设事件A为：两次抽取的卡片中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f （x）在区间上单调递减，则m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m的最小值．【解答】解：将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，可得y=sin（2x+2m+）的图象，由2kπ+≤2x+2m+≤2kπ+，可得kπ﹣m+≤x≤kπ+，故函数y=sin（2x+2m+）的减区间为[kπ﹣m+，kπ﹣m+]，k∈Z．∵得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，∴kπ﹣m+≤﹣，≤kπ﹣m+，求得 m≥kπ+，且m≤kπ+，∴m的最小值为，故答案为：．7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出满足条件的n值，再求常数项．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=•（3x2）n﹣r•=•3n﹣r••x2n﹣5r；令2n﹣5r=0，且n∈N*，r≥0，解得n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：•35﹣2•=．故答案为：．8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．【考点】OX：矩阵的应用．【分析】根据题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，从而问题可解．【解答】解：由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解∴，∴∴sinθ﹣sin3θ≠0∴sinθ≠0或sin2θ≠1∴故答案为9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是14 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=|x|+2y得y=﹣|x|+z，平移曲线y=﹣|x|+z，由图象可知当曲线y=﹣|x|+z经过点A，曲线y=﹣|x|+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（﹣4，5），代入z=|x|+2y=4+2×5=14．即目标函数z=|x|+2y最大值为14．故答案为：1410．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则•的值为﹣2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法的三角形法以及向量的数量积的定义计算即可．【解答】解：∵ =﹣，∴•=（+）•，=（+）•，=（+﹣）（﹣），=（+）（﹣），=（•+﹣2），=（3×3×+32﹣2×32），=﹣2，故答案为：﹣2．11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= 4 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】化简f（x），再设g（x）=，（﹣1≤x≤1），判断g（x）的奇偶性，可得g（x）的最值互为相反数，即可得到所求最值之和．【解答】解：f（x）===2+，设g（x）=，（﹣1≤x≤1），g（﹣x）==﹣=﹣g（x），即g（x）为奇函数，可设g（x）的最大值为t，则最小值为﹣t，可得M=t+2，m=﹣t+2，即有M+m=4．故答案为：4．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是{， } ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2（q﹣1）=（q﹣1）（q+1）．又q≠1，则可得 q2=q+1，又q＞0解得q=；②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q（q﹣1）（q+1）=q﹣1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得 q=．综上所述，q=．故答案为：{， }．二.选择题13．直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】直线的参数方程消去参数t，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角．【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得直线的普通方程为2x+y﹣=0，∴直线的斜率k=﹣2，∴直线的倾斜角α=π﹣arctan2．故选：D．14．“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．【解答】解：“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C16．对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n成立，其中n∈N *，则称{an}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】8B：数列的应用；2E：复合命题的真假．【分析】利用等差数列、等比数列和数列{a n}的通项公式为的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．【解答】解：①∵{a n}是等比数列，∴a n=，a n+1=qa n，∴∃k=1，λ=q，使a n+k=qa n+k﹣1成立，∴{a n}为1阶递归数列，故①成立；②∵{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，∴∃k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使a n+2=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2成立，∴{a n}为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{a n}的通项公式为，∴∃k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使a n+3=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+λ3a n+k﹣3成立，∴{a n}为3阶递归数列，故③成立．故选D．三.简答题17．若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9Q：数量积的坐标表达式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（I）利用函数求出向量的数量积，利用二倍角公式以及两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过对称中心到对称轴的最小距离为，求出函数的周期，得到ω，利用的最大值为1．求出t，得到函数的解析式．（II）利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间，即可．【解答】（本小题满分12分）解：（I）由题意得====∵对称中心到对称轴的最小距离为∴f（x）的最小正周期为T=π∴，∴ω=1…∴，∴3+t，∴3+t=1，∴（II）…∴18．如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，求出A，C的坐标，即可求居民区A与C的距离；（2）①分类讨论，求出铺设三条分光缆的总费用，即可求w关于θ的函数表达式；②换元，利用基本不等式，可求w的最小值及此时tanθ的值．【解答】解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（﹣5，5），∴AC==5；（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=m=525m，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=m=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k﹣10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤﹣2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=m，此时，t=﹣，tanθ=k=10﹣．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．求出平面PBC 的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于垂直面PBC的法向量．【解答】解：（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．∴=（2，2，﹣2，）， =（﹣1，2，0），=（0，﹣2，2）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，可取=（2，1，3）．设平面PBE的法向量为=（a，b，c），由，可取=（0，1，1），∴=由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．（2）由（1）可知面PBC的法向量为=（2，1，3），“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于；∵=（0，2，﹣2），=（0，2λ，﹣2λ），λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），=（0，2λ﹣4，2﹣2λ）．由=2λ﹣4+6﹣6λ=0．解得λ=，所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，求出圆的圆心，然后求圆M的方程；（2）①因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程（1+k2）x2﹣（2x0+2ky0）x+x02+y02﹣=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点M（x0，y0）在椭圆C上，证明k1k2=﹣．②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过4k1k2+1=0，推出y12y22=x12x22，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，推出OP2+OQ2=5，即可求出OP•OQ的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，∴圆M的方程：（x﹣）2+（y）2=；（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以直线OP：y=k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣=0同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣=0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣=0的两个不相等的实数根，∴k1k2=，因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2=1﹣，所以k1k2==﹣；（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为4k1k2+1=0，所以+1=0，即y12y22=x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22=（1﹣）（1﹣）=x12x22，整理得x12+x22=4，所以y12+y22=1所以OP2+OQ2=5．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=5，综上：OP2+OQ2=5所以OP•OQ≤（OP2+OQ2）=2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．21．已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．【考点】8H：数列递推式；88：等比数列的通项公式．【分析】（1）由于单调递增，可得A i=2i，B i=2i+1，即可得出r i=A i﹣B i，1≤i≤m﹣1．（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，可得A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，根据单调性即可得出A i=a i，B i=a i+1，可得r i=a i ﹣a i+1=﹣2．利用等差数列的通项公式即可得出．（3）构造a n=n﹣，其中b n=n，c n=﹣，根据单调性可得：A i=a i=i﹣，B i=a i+1=i+1﹣，r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，通过作差证明数列{a n}满足题意即可得出．【解答】解：（1）∵单调递增，∴A i=2i，B i=2i+1，∴r i=A i﹣B i=2i﹣2i+1=﹣2i，1≤i≤m﹣1．（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i=1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i=a i，B i=a i+1，所以r i=a i﹣a i+1=﹣2，即a i+1﹣a i=2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，1≤i≤m﹣1；（3）构造a n=n﹣，其中b n=n，c n=﹣，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n=n﹣，所以数列{a n}单调递增，所以A i=a i=i﹣，B i=a i+1=i+1﹣，所以r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，因为r i+1﹣r i=[﹣1﹣]﹣[﹣1﹣]=＞0，所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）。
2016—2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷一。
填空题1．函数f（x）=的定义域为．2．已知复数z满足z+i=1﹣iz（i是虚数单位），则z= ．3．以抛物线y2=4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是（），若该方程组无解,则实数m的值为．5．已知定义域为R的函数y=f（x）的图象关于点（﹣1,0）对称，y=g(x）是y=f（x)的反函数,若x1+x2=0,则g（x1）+g（x2）= ．6．已知x,y∈R+，且4x+y=1，则的最小值是．7．若二项式（x+）n展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是．8．等比数列｛a n｝前n项和，n∈N＊,则= ．9．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗,将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤．10．已知函数f（x）=，记a n=f（n）（n∈N＊）,若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．11．已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为常数），若对于任意x∈R 都有f（x）≥f（),则方程f(x）=0在区间［0，π]内的解为．12．对于具有相同定义域D的函数f(x)和g（x），若存在函数h(x）=kx+b（k,b为常数）,对任给的正数m，存在相应的x0∈D,使得当x ∈D且x＞x0时,总有，则称直线l：y=kx+b为曲线y=f （x)和y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为D={x|x＞1｝的四组函数如下:①f(x)=x2,g(x）=;②f（x）10﹣x+2，g(x）=;③f（x)=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2(x﹣1﹣e﹣x）其中,曲线y=f（x）和y=g(x）存在“分渐近线”的是．二。
选择题13．设全集U=R，已知A={x｜＞0}，B=｛x||x﹣1|＜2},则(∁A)∩B=（）UA．（﹣，﹣1）B．(﹣1，﹣2］ C．（2，3］D．[2,3）14．已知a、b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的( ）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．非充分非必要15．下列命题中，正确的个数是(1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行;(2）a,b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；(3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥( ）A．0 B．1 C．2 D．316．已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数，g（x）=f(x）﹣f（ax)（a＞1），则（）A．sgn［g（x)］=sgnx B．sgn［g(x）］=﹣sgnx C．sgn[g（x）］=sgn[f （x）］D．sgn［g(x）]=﹣sgn［f（x)]17．已知f（x）=Asin(wx+θ),(w＞0）,若两个不等的实数x1,x2∈，且｜x1﹣x2｜min=π,则f(x）的最小正周期是( ）A．3πB．2πC．π D．18．已知O是正三角形△ABC内部的一点，+2+3=，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是（）A．B． C．2 D．1三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AA1=BC=AB=2，AB ⊥BC．（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．已知△ABC的三个内角分别为A,B，C，且．(Ⅰ)求A的度数；（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．21．平面直角坐标系中，点A（﹣2，0）、B（2，0），平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2=﹣，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C1的上下两顶点M，N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线QN的斜率k4．(1）求曲线C1的方程；(2）如果k1k2+k3k4≥0，求双曲线C2的焦距的取值范围．22．设各项均为正数的数列{a n｝的前n项和为S n，且满足：a1=1,4S n=（a n+1）2（n∈N*）．(1）求数列｛a n}的通项公式；（2）设b n=+（∈N＊)，试求（b1+b2+…+b n﹣2n）的值；（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=300?若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．23．已知函数f(x)=log2（x+a）．（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜,当a=1时，求x的取值范围；(2）若定义在R上奇函数g（x)满足g(x+2）=﹣g（x)，且当0≤x≤1时，g（x)=f（x），求g（x)在[﹣3，﹣1］上的反函数h(x）; (3）对于(2）中的g（x），若关于x的不等式g(）≥1﹣log23在R上恒成立，求实数t的取值范围．2016—2017学年上海市复旦大学附中浦东分校高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一。
上海市复旦附中2017-2018学年高二下学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 在的展开式中，系数为有理数的系数为A．336项B．337项C．338项D．1009项2. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是D．A．B．C．3. 定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有A．18个B．16个C．14个D．12个4. 已知椭圆方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，满足的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为，则A．B．D．，无明确大小关系C．二、填空题5. 已知a，1，2，，则不同的复数的个数是______．6. 一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______．7. 已知则______．8. 已知球的体积是V，则此球的内接正方体的体积为______．9. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．10. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是__________．11. 从集合2，，中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．12. 在正三棱锥中，，，记二面角，的平面角依次为，，则______．13. 如图，顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线，O是底面圆心，B是底面圆内一点，且，C为PA的中点，，垂足为D，当三棱锥的体积最大时，______．14. 已数列，令为，，，中的最大值2，，，则称数列为“控制数列”，数列中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”的“阶数”为2的所有数列的首项和是______．15. 已知的展开式中，的系数为，则常数的值为_________．三、解答题16. 已知空间向量与的夹角为，且，，令，．求，为邻边的平行四边形的面积S；求的夹角．17. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？名女生排在一起；名女生次序一定，但不一定相邻；名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；每两名女生之间至少有两名男生；名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．18. 在正四棱锥中，正方形ABCD的边长为，高，E是侧棱PD上的点且，F是侧棱PA上的点且，G是的重心如图建立空间直角坐标系．求平面EFG的一个法向量；求直线AG与平面EFG所成角的大小；求点A到平面EFG的距离d．19. 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等腰直角三角形且，平面ADE且．求异面直线AE和DF所成角的大小；求二面角的平面角的大小．20. 设点，分别是椭圆C：的左、右焦点，且椭圆C上的点到的距离的最小值为，点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．求椭圆C的方程；当时，求的面积；当时，求直线的方程．。
……○……学校:____……○……绝密★启用前2017届上海市复旦大学附属中学高三毕业考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．直线24x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）的倾角是（ ）A ．1arctan(2-B ．arctan(2)-C ．1arctan2π- D ．arctan 2π-2．“0x >，0y >”是“2y xx y+≥”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为（ ）A ．1BC ．2+D ．14．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．函数()ln f x x =+________.6．若双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 .7．某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______8．若方程20x x p ++=有两个虚根α、β，且||3αβ-=，则实数p 的值是________. 9．盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．10．将函数sin(26y x π=+的图象向左平移m （0m >）个单位长度，得到的函数()y f x =在区间,1212π5π[-上单调递减，则m 的最小值为_______ .11．若231(3)2n x x-的展开式中含有常数项，则当正整数n 取得最小值时，常数项的值为______.12．若关于x y z ，，的三元一次方程组21232sin 3x z x ysin z x z θθ+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则θ的取值的集合是____．13．若实数x 、y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥，则||2z x y =+的最大值是_______.○…………外……线…………○…………内……线…………14．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ．15．已知1122arcsin ()22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=______.16．已知四个数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比()0q q >不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q 的取值集合是_______ 三、解答题17．若向量(3sin ,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->，在函数()()f x m m n t =⋅++的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,,()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()f x 的单调递增区间．18．如图，O 为信号源点，A 、B 、C 是三个居民区，已知A 、B 都在O 的正东方向上，10OA km =，20OB km =，C 在O 的北偏西45°方向上，CO =，现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A 、B 、C 分别铺设三条最短分支光缆连接到总光缆EF ，假设铺设每条分支光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为1元/2km ，设AOE θ∠=，（0θπ≤<），铺设三条分支光缆的总费用为w （元）.……装…………○……○…………线……※不※※要※※在※※装※※订※……装…………○……○…………线……（1）求w 关于θ的函数表达式； （2）求w 的最小值及此时tan θ的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，//BE CD ，BE AD ⊥，2PA AE BE ===，1CD =.（1）求二面角C PB E --的余弦值；（2）在线段PE 上是否存在点M ，使得//DM 平面PBC ？若存在，求出点M 的位置，若不存在，说明理由.20．如图，在平面直角坐标系 中，设点 是椭圆上一点，从原点 向圆 作两条切线分别与椭圆 交于点 ，直线 的斜率分别记为 ．（1）若圆 与 轴相切于椭圆 的右焦点，求圆 的方程； （2）若．①求证：； ②求 的最大值21．设数列 共有 项，记该数列前 项 中的最大项为 ，该数列后 项 中的最小项为 ， ． （1）若数列 的通项公式为 ，求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ， ，求数列 的通项公式；（3）试构造一个数列 ，满足 ，其中 是公差不为零的等差数列， 是等比数列，使得对于任意给定的正整数 ，数列 都是单调递增的，并说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】直线的参数方程消去参数t ，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角． 【详解】由直线24x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）消去参数得到直线的普通方程：20x y +-=, 则直线的斜率为2k =-.设直线的倾斜角为α，则tan 2k α==- ， 所以直线的倾斜角为arctan 2απ-= 故选：D 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程的求法，考查直线的倾斜角的求法，是中档题． 2．A 【解析】当x 0,y 0>>时，由均值不等式y x 2x y +≥成立．但y x2x y+≥时，只需要0xy >,不能推出x 0,y 0>>．所以是充分而不必要条件．选A. 3．C 【解析】 【分析】根据题意，画出原来的平面图形，结合图形，得出原来是直角梯形，平面图形的上底与下底、高，从而求出它的面积． 【详解】根据平面图形的斜二测直观图的画法，作出图形原来的平面图形图形，如图所示图1平面图形的斜二测直观图，图2为图形原来的平面图形. 根据平面图形的斜二测直观图的画法,则原来的平面图形2为直角梯形，且上底是1，下底是2，它的面积是2故选：C ． 【点睛】本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，属于基础题． 4．D 【解析】对于①,令k=1得，11n n a a λ+=,又{}n a 是等比数列，所以存在1q λ=，①正确． 对于②，令k=2得2112n n n a a a λλ++=+，因为{}n a 是等差数列，所以122122n n n n n n a a a a a a ++++=+⇒=-，故存在122,1λλ==-，②正确．对于③，令k=3得312213n n n n a a a a λλλ+++=++，因22222123(3)(2)(1)n a n n n n n λλλ=+=++++为，所以22123121269()(42)4n n n n λλλλλλλ++=++++++，123112212313{426{3491λλλλλλλλλλ++==+=⇒=-+==,所以③正确 5．(0,1] 【解析】 【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.【详解】函数()ln f x x =+10x x >⎧⎨-≥⎩解得01x <≤所以函数()ln f x x =(0,1] 故答案为：(0,1] 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题．． 6．【解析】试题分析：双曲线 的右焦点为 抛物线 的焦点 所以考点：双曲线焦点及抛物线焦点 7．17 【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 考点：分层抽样 8．52【解析】 【分析】方程20x x p ++=有两个虚根αβ，，由求根公式可解出方程的根，然后代入||3αβ-=即可得出答案. 【详解】实系数方程20x x p ++=有两个虚根α、β， 则140p =-<，则14p >,由求根公式有x =,则3αβ-====解得：52p =故答案为：52【点睛】本题考查求实系数一元二次方程的虚根，属于中档题． 9．59【解析】试题分析：没有偶数的概率为224339⨯=⨯，所以所求概率为45199P =-= 考点：古典概型概率 10．4π【解析】 【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()y f x =的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m 的最小值． 【详解】将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移m （0m >）个单位长度， 可得到()sin(2+2)6f x x m π=+，其减区间满足:32222,262k x m k k Z πππππ+≤++≤+∈即2,63k m x k m k Z ππππ-+≤≤+-∈ 所以函数()sin(2+2)6f x x m π=+的减区间为2[,],63k m k m k Z ππππ-++-∈ 又()y f x =在区间,]1212π5π[-上单调递减，则,]1212π5π[-⊆2[,],63k m k m k Z ππππ-++-∈ 则612k m πππ-+≤-且25,312k m k Z πππ+-≥∈, 即4m k ππ≥+且(0)4m k m ππ≤+>，所以m 的最小值为：4π. 故答案为：4π 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 11．67.5 【解析】 【分析】用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于0,求出满足条件的n 值，再求常数项． 【详解】231(3)2nx x-展开式的通项为： 2251311(3)()()322r n r r r n r r n rr n n T C x C xx ---+=-=- 由231(3)2n x x -的展开式中含有常数项，即250n r -=且*,,n N r N ∈∈有解. 则当正整数n 取得最小值时,5,2n r ==, 此时常数项为：252251135()3=22C -- 故答案为：67.5. 【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题，是基础题． 12．{|}2k k Z πθθ≠∈， 【解析】 【分析】由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，从而问题可解． 【详解】根据题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，∴21012sin 30sin 01θθ≠，∴2sin 32sin 001sin 0θθθ+≠，∴sin θ﹣sin 3θ≠0，∴sin θ≠0或sin 2θ≠1，∴,2k k Z πθ≠∈. 故答案为|,2k k Z πθθ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了矩阵的应用，考查三元一次方程组有唯一解，关键是转换为三元一次方程组的系数行列式不为0，属于基础题． 13．14 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图由||2z x y =+，得11||22y x z =-+， z 表示曲线11||22y x z =-+在y 轴上的截距的2倍，将曲线11||22y x z =-+平移经过可行域, 由图可知，当曲线11||22y x z =-+经过点A 时，曲线在y 轴的截距最大，由510y x y =⎧⎨+-=⎩得(4,5)A -所以z 的最大值为：|4|2514z =-+⨯= 故答案为：14 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法． 14．2- 【解析】 试题分析：2()()3221[()]()()333AD BC AC CD BC AC CB BCAC AB AC BC AB AC AC AB ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅=+⋅-222116132333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-考点：向量数量积 15．4 【解析】 【分析】 化简arcsin ()222x x x f x -=++ ，再设arcsin ()22x xxg x -=+，可得()g x 为奇函数，可得()g x 的最值互为相反数，即可得到所求最值之和． 【详解】由1122arcsin ()22x x x xxf x +--++=+有： 2(22)arcsin arcsin ()22222x x x x x xx xf x ---++==+++ 设arcsin ()22x x x g x -=+，则arcsin()()()22x xx g x g x ---==-+所以()g x 为奇函数,若()g x 在定义域内的最大值为t ，则其最小值为t -， 所以()f x 最大值2M t =+，最小值2m t =-， 则224M m t t +=++-=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用奇函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16．⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】因为公比不为1，所以不能删去1a 和4a ，设{}n a 的公差为d ，分类讨论，即可得出结论。
四校八大历年自招真题答案目录2013年上中自招试卷2014年上中自招试卷2015年上中自招试卷2011年华二自招试卷2012年华二自招试卷2014年华二自招试卷2013年华二冬令营数学试卷2015年年华二自招试卷2017年年华二自招试卷2013年复附自招试题2014年复附自招试题一2014年复附自招试题二2015年复附自招试题一2015年复附自招试题二2012年交附自招试题2013年交附自招试题2014年交附自招试题2015年交附自招试题2016年交附自招试题2014年七宝自招试题2016年七宝自招试题2016年南模自招试题2016年建平自招试题2017年建平自招试题建平数学培训资料试卷2015年控江自招试题2013年华二冬令营数学试卷1、“帽子函数”的图像如图所示：(1)求此函数的解析式；(2)若有抛物线23(),4y x a a =-+<求它与“帽子函数”图像的交点个数； (3)请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有2个交点，横坐标分别为5722，．【解析】：⑴1,211,12x k x k y x k k x k ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪-+++≤<+⎪⎩⑵0a <时，无交点0a =时，一个交点304a <<时，两个交点 ⑶考虑到34a =时，抛物线234y x =-+与帽子函数交于11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭、11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭两点， 所以可以将234y x =-+向右平移3个单位，即满足条件 该抛物线解析式为()2334y x =--+2、在一个8×8的正方形方格纸中，一个角剪去一个2×2的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L ”型(如图)纸片，若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由。
【解析】（一道基础的染色问题）如图进行黑白相间染色，那么L 型放入方格纸中，必定可以盖住1个黑格子和3个白格子，或者3个黑格子和1个白格子。
复旦附中2017学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，满分48分）1.两条异面直线所成角的取值范围是________2.设()()4511i z +=-+，则Im z =________3.若复数z 是纯虚数，且满足226z z -++=，则z =__________4.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1B 到平面11AA C C 的距离是__________5.如图，三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，SA ⊥平面ABC ，则在四面体S ABC -的四个面中，共有______对互相垂直的平面.6.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）7.关于x 的实系数方程210x x -+=的一个根为α，则arg α=________8.已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30︒；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.9.空间四边形ABCD 中，1AB AC AD BC BD CD ======，则二面角B AC D --的大小为_______（用反余弦函数表示）10.若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =_________．11.已知()()111...1n z i n Z +⎛⎛⎛=++++∈ ⎝⎝⎝，则20172018z z -的值是____12.已知11z i =-+，235z i =+，32z i =+，44=-z i ，若在复平面中1z ，2z ，3z ，4z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，3Z ，4Z ，过直线12Z Z 作一个与复平面所成的锐角为30︒的平面α，则线段34Z Z 在平面α内的射影长为____________二、选择题（每题4分，满分16分）13.对于以下四个命题：①两条异面直线有无数条公垂线；②直线在平面内的射影是直线；③如果两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.414.设(),z a bi a b R =+∈，那么11z z -+为纯虚数的充要条件是（）A.1a = B.1a =且0b ≠ C.1z = D.1z =且0b ≠15.对不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，有下面四个命题：①对于任意(),x y D ∈，都有22x y +≥-；②存在(),x y D ∈，使得22x y +≥；③对于任意(),x y D ∈，都有23x y +≤；④存在(),x y D ∈，使得21x y +≤-，其中的真命题是（）A.②③B.①②C.①④D.①③16.给出下列两个命题：（1）设a ，b ，c 都是复数．如果222a b c +>，则2220a b c +->；（2）设a ，b ，c 都是复数，如果2220a b c +->，则222a b c +>．那么，下述说法正确的是A.命题（1）正确，命题（2）也正确B.命题（1）正确，命题（2）错误C.命题（1）错误，命题（2）也错误D.命题（1）错误，命题（2）正确三、解答题（满分56分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =；（1）求证：平面11//AB D 平面1BDC ；（2）求11A B 与平面11AB C D 所成的角．18.复数z 满足224z iz ti -=+，t R ∈，（1）当2t =时，求z ；（2）若复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数t 的取值范围．19.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，（如图）E 是棱11C D 的中点，F 是侧面11AA D D 的中心.（1）求三棱锥11A D EF -的体积；（2）求异面直线1A E 与AB 的夹角；（3）求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）20.若关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，满足7αβ-=.（1）若1z ，2z ，m 均是实数，且212416z z -=，求m 的值；（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且21241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值．21.已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=.（1）求m 的值；（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.复旦附中2017学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，满分48分）1.两条异面直线所成角的取值范围是________【答案】(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．2.设()()4511i z +=-+，则Im z =________【答案】16-【分析】先对根据复数的运算法则，得到11616=-z i ，即可得出其虚部.【详解】()()()()42521(2)131616121+=====--+---i i z i因此其虚部为16-.故答案为16-【点睛】本题主要考查复数的运算，以及复数的概念，熟记复数运算法则，以及复数的概念即可，属于基础题型.3.若复数z 是纯虚数，且满足226z z -++=，则z =__________【答案】【分析】先设复数z bi =，其中b ∈R ，且0b ≠，根据题意得到226-+++=bi bi ，根据复数的计算公式，即可求出结果.【详解】设复数z bi =，其中b ∈R ，且0b ≠，由226z z -++=得226-+++=bi bi ，6=，即3=，解得b =.所以=z ；故答案为【点睛】本题主要考查由复数的模求复数，熟记复数模的计算公式即可，属于常考题型.4.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1B 到平面11AA C C 的距离是__________【答案】2【分析】连结11B D 交11A C 于点O ，根据线面垂直的判定定理，证明11B D ⊥平面11AA C C ；再根据题中数据，即可求出结果.【详解】连结11B D 交11A C 于点O ，所以在正方体1111ABCD A B C D -中，1111B D A C ⊥；又侧棱1AA ⊥底面1111D C B A ，所以111⊥B D AA ；因为1111AA AC A ⋂=，且1AA ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，所以11B D ⊥平面11AA C C ；因为正方体的棱长为1，所以11=B D ，因此点1B 到平面11AA C C 的距离是111122==B O B D .故答案为22【点睛】本题主要考查求点到平面距离，熟记线面垂直的判定定理，以及正方体的结构特征即可，属于常考题型.5.如图，三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，SA ⊥平面ABC ，则在四面体S ABC -的四个面中，共有______对互相垂直的平面.【答案】3【分析】根据线面垂直，面面垂直的判定定理，直接判断，即可得出结果.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，SA ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAB ，所以平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面ABC ；又三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，即⊥CB CA ，又SA ⊥平面ABC ，所以⊥SA CB ；因为SA AC A ⋂=，所以CB ⊥平面SAC ；又CB ⊂平面SBC ，所以平面SAC ⊥平面SCB ；综上，共3对互相垂直的平面.故答案为3【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，熟记线面垂直，面面垂直的判定定理即可，属于常考题型.6.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）【答案】10arccos5【分析】记F 为棱CD 的中点，连结1C F ，EF ，BE ，根据题意得到11//C F B E ，所以1FC B Ð即是异面直线1B E 与1BC 所成角，设正方体棱长为2，结合余弦定理求解，即可得出结果.【详解】记F 为棱CD 的中点，连结1C F ，EF ，BE ，因为正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱AB 的中点，所以EF 与11B C 平行且相等，即四边形11EFB C 为平行四边形，所以11//C F B E ，因此1FC B Ð即是异面直线1B E 与1BC 所成角，设正方体棱长为2，则2211415C F CC CF =+=+=，22114422C B CC CB =+=+=，22415BF CB CF =+=+=，所以158510cos 52522FC B +-Ð==×，所以110arccos5FC B Ð=.即异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为10arccos5.故答案为10arccos5【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角，结合余弦定理求解即可，属于常考题型.7.关于x 的实系数方程210x x -+=的一个根为α，则arg α=________【答案】3π±【分析】先设αa bi =+（,a b R ∈）为方程210x x -+=的一个根，根据复数相等的充要条件，得到1322αi =，根据arg α表示复数αa bi =+的辐角，结合辐角的概念，即可求出结果【详解】设αa bi =+（,a b R ∈）为方程210x x -+=的一个根，则()210+--+=a bi a bi ，整理得：()()22120-++--=a b a ab b i ，所以221020a b a ab b ⎧--+=⎨-=⎩，解得122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即1322αi =因为arg α表示复数αa bi =+的辐角，记为θ，因此tan θ==ba又复数的辐角是复数所对应的向量与x 轴正方向的夹角，因此3πθ=±.故答案为3π±【点睛】本题主要考查求复数的辐角，以及解复数系下的方程，熟记复数相等的充分条件，以及复数辐角的概念即可，属于常考题型.8.已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30︒；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.【答案】无数【分析】明确异面直线的定义，夹角及距离，即可作图分析出结果.【详解】作出平面α，β，其中//αβ，不妨令a α⊂，b β⊂，且直线a 与直线b 满足题中条件；则平面β内任一条与b 平行的直线，都能满足题意.因此这样的直线b 有无数条.故答案为无数【点睛】本题主要考查异面直线，熟记异面直线的定义即可，属于常考题型.9.空间四边形ABCD 中，1AB AC AD BC BD CD ======，则二面角B AC D --的大小为_______（用反余弦函数表示）【答案】1arccos3【分析】先取AC 中点为O ，连结,OB OD ，根据题意得到OB AC ⊥，OD AC ⊥，推出BOD ∠即是二面角B AC D --的平面角，再由题中数据，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】取AC 中点为O ，连结,OB OD ，因为AB BC AD CD ===，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥，因此BOD ∠即是二面角B AC D --的平面角，又1AB AC AD BC BD CD ======，所以213122⎛⎫==-= ⎪⎝⎭BO OD ，因此222331144cos 32324--+-∠===⋅⨯OB OD BD BOD OB OD .所以1arccos 3∠=BOD ，即二面角B AC D --的大小为1arccos 3.故答案为1arccos3【点睛】本题主要考查求二面角的大小，根据题意作出二面角的平面角，结合余弦定理即可求解，属于常考题型.10.若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =_________．【答案】2-【详解】试卷分析：画出如图所示的可行域，由可得，由图像可知当直线经过点A时，直线截距最小，即最小，则目标函数为因为解得即，因为点A也在直线上，所以11.已知()()111...123n z i n Z n +⎛⎛⎛=++++∈ ⎝⎝⎝，则20172018z z -的值是____【答案】1【分析】先由题意得到()20172018112017201...11823⎛⎛⎛=++++- ⎪ ⎝⎝-⎝⎝z z i ，根据复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】由题意，()2017111...1⎛⎛⎛=++++ ⎝⎝⎝z i ，()2018111...1⎛⎛⎛=++++⎝⎝⎝z i ，所以()20172018111...1⎛⎛⎛=++++- ⎝⎝-⎝⎝z z i ，因此20172018111...1z z i -=+⋅++⋅+-...1==故答案为1【点睛】本题主要考查复数模的计算，熟记公式即可，属于常考题型.12.已知11z i =-+，235z i =+，32z i =+，44=-z i ，若在复平面中1z ，2z ，3z ，4z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，3Z ，4Z ，过直线12Z Z 作一个与复平面所成的锐角为30︒的平面α，则线段34Z Z 在平面α内的射影长为____________【答案】【分析】先由题意，得到1(1,1)-Z ，()23,5Z ，()32,1Z ，()44,1-Z ，根据题意，得到直线34Z Z 与平面α所成角为30︒；进而可求出结果.【详解】由题意可得：1(1,1)-Z ，()23,5Z ，()32,1Z ，()44,1-Z ，则121=Z Z k ，121=-Z Z k ，所以1234⊥Z Z Z Z ；又12Z Z ，34Z Z 都在复平面内，过直线12Z Z 所作的平面α与复平面所成的锐角为30︒，所以直线34Z Z 与平面α所成角为30︒；因此线段34Z Z 在平面α内的射影长为343cos302== Z Z .故答案为【点睛】本题主要考查线段在平面内的投影，以及复数的几何意义，熟记复数的几何意义，以及线面角的概念即可，属于常考题型.二、选择题（每题4分，满分16分）13.对于以下四个命题：①两条异面直线有无数条公垂线；②直线在平面内的射影是直线；③如果两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据异面直线的概念与性质，以直线与平面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】①任意两条异面直线的公垂线有且仅有一条；故①错；②当直线与平面垂直时，直线在平面内的射影是点，故②错；③当两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线可能平行，或异面；故③错；④过两条异面直线的一条如果有两个平面与已知直线平行，则第一条直线即是这两个平面的交线，且第二条直线与两平面都平行，则第二条直线平行与两平面的交线，即两直线平行，与两直线异面矛盾，所以过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；故④正确；故选A【点睛】本题主要考查直线与直线，以及直线与平面位置关系的判定，熟记直线与直线，以及直线与平面的位置关系即可，属于常考题型.14.设(),z a bi a b R =+∈，那么11z z -+为纯虚数的充要条件是（）A.1a =B.1a =且0b ≠ C.1z = D.1z =且0b ≠【答案】D【分析】先由题意，根据复数的运算得到()222211211-+-+=+++z a b bi z a b ，再由11z z -+为纯虚数，得到221020a b b ⎧+-=⎨≠⎩，进而可得出结果.【详解】因为(),z a bia b R =+∈，所以()()()()11111111a bi a bi z a bi z a bi a bi a bi -++---+==++++++-()2222121+-+=++a b bia b，又11z z -+为纯虚数，所以221020a b b ⎧+-=⎨≠⎩，即1z =且0b ≠.故选D【点睛】本题主要考查复数是纯虚数的充要条件，熟记复数的运算法则，以及复数的类型即可，属于常考题型.15.对不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，有下面四个命题：①对于任意(),x y D ∈，都有22x y +≥-；②存在(),x y D ∈，使得22x y +≥；③对于任意(),x y D ∈，都有23x y +≤；④存在(),x y D ∈，使得21x y +≤-，其中的真命题是（）A.②③B.①②C.①④D.①③【答案】B【分析】先作出不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域，根据图像，逐项判断，即可得出结果.【详解】作出不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域如下：由图知，区域D 为直线1x y +=与24x y -=相交的上部角型区域；显然区域D 所有的部分都在直线22+=-x y 的上方，有一部分在22x y +=的上方；显然①②正确；区域D 有一部分在23x y +=的下方，故③错误；区域D 所有的部分都在直线21x y +=-的上方，所以21+≥-x y ；故④错误；综上①②正确.故选B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及不等式所表示的平面区域，熟记二元一次不等式所表示的平面区域即可求解，属于常考题型.16.给出下列两个命题：（1）设a ，b ，c 都是复数．如果222a b c +>，则2220a b c +->；（2）设a ，b ，c 都是复数，如果2220a b c +->，则222a b c +>．那么，下述说法正确的是A.命题（1）正确，命题（2）也正确B.命题（1）正确，命题（2）错误C.命题（1）错误，命题（2）也错误D.命题（1）错误，命题（2）正确【答案】B【详解】命题（1）是正确的.222a b c +>表明22a b +与2c 都是实数，因此，根据移项法则有2220a b c +->.命题（2）是错误的.2220a b c +->仅表明222a b c +-是实数，并不能保证22a b +与2c 都是实数，故222a b c +>不一定成立.例如，取2a i =+，b i =，c =，则有()()222341420a b c i i +-=++--=>，但并没有222244a b i i c +=+>=.三、解答题（满分56分）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =；（1）求证：平面11//AB D 平面1BDC ；（2）求11A B 与平面11AB C D 所成的角．【答案】（1）证明见详解；（2）3arctan4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点1A 作1A O ⊥1AB 于点O ，证明1A O ⊥平面11AB C D ，得到11∠A B A 为11A B 与平面11AB C D 所成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，易知：11//BB DD 且11BB DD =，11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，四边形11ABC D 也是平行四边形；因此11//BD B D ，11//AD BC ；又BD ⊂平面1C BD ，11B D ⊄平面1C BD ；1BC ⊂平面1C BD ，1AD ⊄平面1C BD ；所以11//B D 平面1C BD ；1//AD 平面1C BD ；又11B D ⊂平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，1111AD B D D ⋂=，所以平面11//AB D 平面1BDC ；（2）过点1A 作1A O ⊥1AB 于点O ，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，易知：AD ⊥平面11B BAA ，所以1⊥AD A O ，又1AB ⊂平面11AB C D ，AD ⊂平面11AB C D ，所以1A O ⊥平面11AB C D ，因此，11∠A B A 为11A B 与平面11AB C D 所成的角；又在长方体1111ABCD A B C D -中，13BB BC ==，4AB =，因此111113tan 4∠==A A A B A A B ，所以113arctan4∠=A B A ；即11A B 与平面11AB C D 所成的角为3arctan4.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.18.复数z 满足224z iz ti -=+，t R ∈，（1）当2t =时，求z ；（2）若复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，求实数t 的取值范围．【答案】（1或；（2）()0,4.【分析】先设z a bi =+，（,a b R ∈），（1）根据题意，得到222()42+-+=+a b i a bi i ，根据复数相等的充要条件，列出方程组222422a b b a ⎧++=⎨-=⎩，求解，即可得出结果；（2）先由题意得到222()4+-+=+a b i a bi ti ，根据复数相等的充要条件，得到22242a b b a t ⎧++=⎨-=⎩，再由复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，得到00b a >⎧⎨<⎩，推出2200b b a ⎧+>⎨<⎩，从而可得出结果.【详解】设z a bi =+，（,a b R ∈），（1）当2t =时，224z iz ti -=+可化为：222()42+-+=+a b i a bi i ；整理得：()222242++-=+a b b ai i ，所以222422a b b a ⎧++=⎨-=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或13a b =-⎧⎨=-⎩，因此==z；（2）由224z iz ti -=+，可得：222()4+-+=+a b i a bi ti ，整理得：()22224++-=+a b b ai ti ，所以22242a b b a t ⎧++=⎨-=⎩，解得：222442t b b ta ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，所以00b a >⎧⎨<⎩，因此2200b b a ⎧+>⎨<⎩，即240402t t ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得：04t <<；即实数t 的取值范围为()0,4.【点睛】本题主要考查求复数的模，以及已知复数对应点的位置求参数，熟记复数模的计算公式，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.19.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，（如图）E 是棱11C D 的中点，F 是侧面11AA D D的中心.（1）求三棱锥11A D EF -的体积；（2）求异面直线1A E 与AB 的夹角；（3）求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）13；（2）arccos 5；（3）2.【分析】（1）对三棱锥11A D EF -换底，换成以F 为顶点，11A D E 为底的三棱锥，求出底面11A D E 的面积和对应的高，得到所求的体积.（2）找到异面直线1A E 与AB 所成的角，在11EA B 内由余弦定理求出.（3）取11A D 中点M ，连接MF ，通过证明MF ⊥平面1111D C B A ，找到FEM ∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角，求解即可.【详解】（1）11111113A D EF F A D E A D E V V S h --==⋅⋅=111211323⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭（2）11A B AB ，11EA B ∴∠或其补角即为异面直线1A E 与AB 所成角，在11EA B，11A E EB ==，112A B =，222111111111cos 25A E AB EB EA B A E A B +-∴∠==⋅，∴异面直线1A E 与AB 所成角为5arccos 5（3）取11A D 中点M ，连接MF ，1MF A A 且1A A ⊥平面1111D C B A ，MF ∴⊥平面1111D C B A ，FEM ∴∠即为EF 与底面1111D C B A 所成的角，1112MF AA ==,ME=tan 2MF FEM ME ∠===，EF ∴与底面1111D C B A所成的角的大小为arctan2.【点睛】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，熟记棱锥的体积公式，异面直线所成的角，以及线面角的求法即可，属于中档题.20.若关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，满足αβ-=.（1）若1z ，2z ，m 均是实数，且212416z z -=，求m 的值；（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且21241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值．【答案】（1）3m =-；（2）7，最小值为7【分析】（1）先由题意，根据根与系数关系得到1αβz +=-，2αβz m =+，求出12284()2+-=z z m ，再由题意，得出42816+=m ，即可得出结果；（2）先由题意设m a bi =+，（,a b R ∈），得到[]212444(4)(5)--=-+-z z m a b i ，再结合题中条件，得到222(4)(5)7-+-=a b ，将复数模的问题，转化为圆上的点到与定点的距离问题，进而可求出结果.【详解】（1）因为1z ，2z ，m 均是实数，关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，所以1αβz +=-，2αβz m =+，又αβ-=，所以()2428αβαβ=-+，即12284()2+-=z z m ，即1228442=+-z z m ，又212416z z -=，所以42816+=m ，解得：3m =-；（2）因为1z ，2z ，m 均是复数，设m a bi =+，（,a b R ∈），则[]212441620444(4)(5)--=+--=-+-z z m i a bi a b i ，由αβ-=得228αβ-=，即()2428αβαβ+-=，所以1228442-=-z z m ，即(4)(5)7-+-=a b i ，所以222(4)(5)7-+-=a b ，即复数m 对应的点(,)a b 在圆222(4)(5)7-+-=a b 上，该点与原点距离的最大值为77+=+，最小值为：77=因此=m 的最大值为7+，最小值为7【点睛】本题主要考查根与系数关系的应用，以及复数模的计算，熟记复数的运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.21.已知非零复数(),z x yi x y R =+∈，(),x y i x y R ω''''=+∈，()010z mi m =->；若z ，ω，0z 满足0z z ω=⋅，2z ω=.（1）求m 的值；（2）若z 所对应点(),x y 在圆2240x y x +-=，求ω所对应的点的轨迹；（3）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，ω对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，若不存在，说明理由.【答案】（1（2）ω所对应的点的轨迹是以(为圆心，以4为半径的圆；（3）这样的直线l 存在，且有两条y =或3y x =.【分析】（1）先由题意，得到02==z ，求解，即可得出结果；（2）先由0z z ω=⋅得到()()1''+=+-x y i x yi ，推出3434x x y y ''⎧'=⎪⎪⎨+='-⎪⎪⎩代入2240x y x +-=，得到()(22216''-+-=x y ，进而可得出结果；（3）先设直线l 存在，且为y kx b =+，根据()()1''+=+-x y i x yi得到'=+x x，'=-y y ；再由ω对应点也在直线l 上，y kx b ''=+，推出()-=++y k x b，得到k b ⎧=⎪=⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为2z ω=，0z z ω=⋅得002=⋅=z z z z z ，又()010z mi m =->，所以02==z ，所以m =；（2）由(),x y i x y R ω''''=+∈，0z z ω=⋅，得()()1''+=+-x y i x yi ，即44''''''+--==+x y x yi ，所以3434x x y y ''⎧'=⎪⎪⎨+='-⎪⎪⎩，因为2240x y x +-=，所以2233340444⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''+-+++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x ，即2240''''+--=x y x ，即()(22216''-+-=x y ；所以ω所对应的点的轨迹是以(为圆心，以4为半径的圆；（3）设直线l 存在，且为y kx b =+，由()()1''+=+-x y i x yi得'=+x x，'=-y y ；因为ω对应点也在直线l 上，所以y kx b ''=+，()-=++y k x b，所以=-y因此k b ⎧=⎪=⎪⎩，解得0b k =⎧⎪⎨=⎪⎩或03b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以这样的直线l存在，且有两条y =或3y x =.【点睛】本题主要考查复数代数形式的混合运算，以及点的轨迹问题，熟记复数的运算法则，复数的几何意义，以及点的轨迹方程的求法等即可，属于常考题型.。
2017学年度第二学期 高三数学测试卷1一、填空题1. 已知集合7|03x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，函数()lg 4y x =-的定义域为集合B ，则A B ⋂=____________ 2, 若11abi i=--，其中,a b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=____________ 3. 已知角α的终边过点()()4,30P a a a ->，则2sin cos αα+的值是____________4. 若二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a 的值是____________5. 圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与轴所成的角的大小是____________6. 已知()7270127x m a a x a x a x -=++++，其中435a =-，m ∈R ，则01237a a a a a +++++=____________7. 以抛物线28x y =上的一点A 为圆心作圆，如果该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么点A 到此抛物线的准线的距离为____________8. 设,x y 满足约束条件：320200,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则11a b+的最小值为____________ 9. 若矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式a b c d 的值为正数的概率为____________10. 在ABC 中，边BC=2，AB =C 的取值范围是____________11. 设()f x 和()g x 是定义在R 上的两个函数，12,x x 是R 上任意两个不等的实数，给出下列命题：（1）若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()y f x =是奇函数，则函数()y g x =是奇函数；（2）若()()()()1212f x f x g x g x -≥-恒成立，且()y f x =是周期函数，则函数()y g x =是周期函数；（3）若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，且()y f x =是R 上的增函数，则函 数()()()h x f x g x =+与函数()()()'h x f x g x =-在R 上都是单调增函数. 则正确命题的序号是____________（写出所有正确序号） 12. 已知集合(){12,,,|0n n j A a a a a ==或1，()}1,2,,,2j n n =≥，对于(),,,n U V A d U V ∈表示U 和V 中相对应的元素不同的个数，若给定6U A ∈，则所有的(),d U V 和为____________二、选择题13. “0a b +>”是“任意的[]0,1x ∈，0ax b +>恒成立”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 14. 若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 15. 函数ln 1y x =-的图像与函数()cos 24y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 6 B. 5C. 4D. 316. 已知x 、y 均为实数，记{},max ,,x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，{},min ,,y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩，若i 表示虚数单位，且11a x y i =+，22b x y i =+，1122,,,x y x y ∈R ，则（ ） A. {}{}min ,min ,a b a b a b +-≤ B. {}{}max ,max ,a b a b a b +-≤ C. {}2222min ,a b a bab +-≥+D. {}2222max ,a b a bab +-≥+三、解答题17. 如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，AP=BC=2，30CBA ∠=︒，D ，E 分别是BC ，AP 的中点.（1）求异面直线AC 与ED 所成的角的大小；（2）求PDE 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的表面积.18. 已知函数()222cos f x x x a =-+（,a R a ∈为常数）. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为4，求a 的值.19. 对于函数()()()12,,f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得()()()12h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为()()12,f x f x 的生成函数.（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为()()12,f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：()1sin f x x =，()2cos f x x =，()sin 3h x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； 第二组：()21f x x x =-，()221f x x x =++，()21h x x x =-+；（2）设()12log f x x =，()212log f x x =，2a =，1b =，生成函数()h x ，若不等式()()420h x th x +<在[]2,4x ∈上有解，求实数t 的取值范围.20. 已知()()122,0,2,0F F -，点T 满足122TF TF -=，记点T 的轨迹为曲线E ，法向量为(),1n a =的直线l 过点2F ，直线l 与曲线E 交于P 、Q 两点. （1）求曲线E 的方程；（2）过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB ，垂足分别记为A 、B ，若PQ AB λ=，试确定λ的取值范围；（3）在x 轴上是否存在点M ，无论直线l 绕点2F 怎样转动，MP MQ ⊥都成立？如果存在，求出定点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21. 已知无穷数列{}n a 为等差数列，无穷数列{}n b 为等比数列. （1）如果112a b ==，4416a b ==，1212111n n n na a a c nab b b +++=++++，求lim n n c →∞；（2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使得对一切*n N ∈，都有1n n na b a +=，并说明理由； （3）已知110a b a ==>，22a b a =>，求证：当*2,n n N >∈时，n n b a >.参考答案1、()3,4 2 3、25- 4、2- 5、30 6、07、3 8、3+ 9、13 10、0,3π⎛⎤⎥⎝⎦11、（1）（2）（3） 12、19213-16、DBAD17、（1）arccos4；（2）π18、（1）π；,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；（2）7a =19、（1）第一组是，1,2a b ==；第二组：不是；（2）43t <-20、（1）2213y x -=，()1x ≥；（2）1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()1,0M - 21、（1）32；（2）{}n a 为非零常数列，1n b =；（3）证明略。
上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+， 代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________． 【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________． 【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <， 此时函数1y 的对称轴404mx -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <； 若04m ≤<，此时20y ≤， 则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立； 综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=； 球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。
复旦大学附属中学2017学年第一学期高二年级数学期末考试试卷一、填空（每题4分，共48分）1、准线方程为10y +=的抛物线标准方程为 .2、已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 圆的切线方程为 .3、若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为 . 4、参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，且R θ∈）化为普通方程是 . 5、已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为 . 6、设1F 和2F 为双曲线22421x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1260F PF ∠=，则12F PF 的面积是 .7、已知抛物线24y x =的焦点F 和点()1,1A ，点P 为抛物线上的动点，则PA PF +取得最小值时点P 的坐标为 .8、椭圆2211612x y +=上的点到直线2120x y --=的距离最大值为 . 9、双曲线22214x y b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1126,0PF PF PF =⋅=，则双曲线渐近线的夹角为 .10、已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 与圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程 .11、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 .12、已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最小值是 .二、选择题：（每题4分，共16分）13.当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（ ）A.焦点在x 轴的椭圆B. 焦点在x 轴的双曲线C. 焦点在y 轴的椭圆D. 焦点在y 轴的双曲线14、已知圆O 的方程为()2220x y r r +=>，点()(),0P a b ab ≠是圆O 内一点，以P 为中点的弦所在的直线为m ，直线n 的方程为2ax by r +=，则（ ） A.//m n ，且n 与圆O 相离 B. //m n ，且n 与圆O 相交 C. m 与n 重合，且n 与圆O 相离D. m n ⊥，且n 与圆O 相离15、椭圆2211615x y +=上有n 个不同的点123,,,...n P P P P ，椭圆的右焦点F ，数列{}nP F 是公差大于12018的等差数列，则n 的最大值为（ ）A.2017B.2018C.4036D. 403716、如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，以AB 为直径的圆与准线l 的公共点为M ，若60AMF ∠=，则MFO ∠的大小为（ ） A.15 B.30 C.45 D.不确定三、解答题（共56分）17.（满分10分，各小题5分）已知抛物线2:4C y x =与直线l 交于,A B 两点。
