高考复习专题立体几何
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立体几何知识点总结
基础梳理
1．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)； ②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)； ③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23
. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，
则d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.
2．立体几何中的向量方法
(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB
→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧
n·a ＝0，n·b ＝0. 三种方法
主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：
(1)平行⎩⎨⎧ 直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
(2)垂直⎩⎨⎧
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
(3)点到平面的距离
求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础．
如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n |
|n |. 基础梳理
1．空间向量与空间角的关系
异面直线所成的角：异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，π2；
(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.
直线平面所成的角：直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2；
(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.
二面角的大小：二面角的范围是[0，π]．
(ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉
．
(ⅱ)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 易误警示
利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补，也可通过观察图形，确定二面角为锐角还是钝角，这是利用向量求二面角的难点、易错点． 证明平行垂直的几何法 1．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α； (3)其他判定方法：α∥β；a ⊂α⇒a ∥β.
2．直线和平面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝l ⇒a ∥l . 3．两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； (2)判定定理：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝M ，a ∥β，b ∥β⇒α∥β；
(3)推论：a ∩b ＝M ，a ，b ⊂α，a ′∩b ′＝M ′，a ′，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.
4．两个平面平行的性质定理 (1)α∥β，a ⊂α⇒a ∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a ，γ∩β＝b ⇒a ∥b . 5．与垂直相关的平行的判定 (1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ； (2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.
6.证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1：
⎭⎬⎫
m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； ③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； 7.证明面面垂直的方法
①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β 高考真题
1、如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ；
(2)PD ⊥平面ABE .
2在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离．
答案：点B 到平面CMN 的距离d ＝42
3.
3、 (2013·江西)如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3. (1)求点A 到平面MBC 的距离；
(2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值． 答案：点B 到平面CMN 的距离d ＝2155. sin θ＝255.
4、（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为
底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==. (Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;
(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.
O
D 1
B 1
C 1
D A
C
B
A 1
5、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（文））如图1,在等腰直角三角
形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,2CD BE ==,O 为
BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中
3A O '=.
(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦
值.
6、（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（文））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在
的平面,C 是圆上的点.
(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；
.
C
O B
D
E
A C
D
O
B
E
'A
图1
图2
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
7、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（文））如图,四棱锥P A B C D
-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3
BC CD AC ACB ACD π
===∠=∠=,F 为PC 的中
点,AF PB ⊥.
(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.。
