南京市2009---2010学年第一学期期末调研测试卷(高三数学

2023—2024学年第一学期10月六校联合调研试题高三数学2023.10一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{}|ln(1)B x y x ==+，则A B = （ ）A. (1,)-+∞B. ∅C. RD. (0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A ，B ，然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知，()0,A =+∞，由10x +>得1x >-，所以()1,B =-+∞，所以()()()0,1,0,A B ∞∞∞⋂=+⋂-+=+.故选：D2. 设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．3. 下列求导正确的是（ ）A. ππsin sin cos sin 66x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ B. ()()221221x x '⎡⎤+=+⎣⎦C. ()21log ln 2x x '= D. ()2222x x x x'+=+【答案】C 【解析】【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【详解】对于A ，()ππsin sin sin sin cos 66x x x ''⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，根据复合函数的求导法则，()()()()22122121421x x x x ''⎡⎤+=++=+⎣⎦，故B 错误；对于C ，()21log ln 2x x '=，故C 正确；对于D ，()()()22222ln 22x x x x x x '''+=+=+，故D 错误.故选：C.4. 已知角α终边上有一点5π5π(sin ,cos 66P ，则πα-是（ ）A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据5π6所在象限可判断点P 所在象限，然后根据对称性可得.【详解】因为5π6是第二象限角，所以5π5πsin0,cos 066><，所以点P 在第四象限，即角α为第四象限角，所以α-为第一象限角，所以πα-为第三象限角.故选：C5. 已知直线:10l x y λλ--+=和圆22:40C x y y +-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 过定点()1,1，再利用弦长公式即可得到最小值.【详解】():110l x y λ--+=，令1x =，则1y =，所以直线l 过定点()1,1，当1,1x y ==得22114120+-⨯=-<，则()1,1在圆内，则直线l 与圆必有两交点，因为圆心()0,2到直线l 的距离d ≤=，所以AB =≥故选：D .6. 已知样本数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +，631x +的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的方差为（ ）．A.467B.477C.487D. 7【答案】C 【解析】【分析】由均值、方差性质求数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为x ，方差为2s ，由3116x +=，299s =，得61156i i x x ===∑，2261(56)11i i x s ==-=∑，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的平均数为561267⨯+=，方差为()6221(6)1267ii x =-+-∑621(51)367ii x =--+=∑66211(5)2(5)16367ii i i x x ==---+⨯+=∑∑66211(5)21027ii i i x x ==--+=∑∑26261024877s x -⨯+==．故选：C7. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=-+，则下列说法正确的是（ ）A 3522f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数()f x 的一个周期为2C. ()20230f =D. 函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】C.【解析】【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.【详解】()()11,f x f x -=-+∴ 函数()f x 关于点()1,0中心对称，因此选项D 不正确；又因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，由()()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x f x -=-+⇒+=--=-⇒+=，所以函数()f x 的周期为4，所以选项B 不正确；因为函数()f x 是周期为4的偶函数，所以355222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此选项A 不正确；在()()11f x f x -=-+中，令0x =，得()10f =，因为函数()f x 的周期为()()()()4,20233110f f f f ∴==-==，因此选项C 正确，故选：C8. 已知点,M N 是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足23MFN π∠=，弦MN 的中点P 到直线1:16l y =-的距离记为d ，若不等式22λ≥MN d 恒成立，则λ的取值范围（ ）A. (-∞ B. (],2-∞C. (,1-∞+ D. (],3-∞【答案】D 【解析】【分析】令||,||MF a NF b ==，利用余弦定理表示出弦MN 的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出d ，然后利用均值不等式求解作答.【详解】在MFN △中，令||,||MF a NF b ==，由余弦定理得222||||||2||||cos MN MF NF MF NF MFN =+-⋅∠，则有222||MN a b ab =++，显然直线1:16l y =-是抛物线24y x =的准线，过,,M P N 作直线l 的垂线，垂足分别为,,A B C ，如图，而P 为弦MN 的中点，PB 为梯形MACN 的中位线，由抛物线定义知，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+，因此22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++，当且仅当a b =时取等号，又不等式22λ≥MN d 恒成立，等价于22MN dλ≤恒成立，则3λ≤，所以λ的取值范围是(,3]-∞.故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 设复数z 满足3i 1z z +=--，则下列说法错误的是（ ）A. z 为纯虚数B. z 的虚部为2iC. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限D. ||z【答案】ABC 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z ，再对选项一一判断即可得出答案.【详解】设复数i z a b =+，由3i 1z z +=--得()3i 1z z +=--，则()()()()22i 31i i 3i i 33i 4i 2=2i 11i 1i 1i 1i 2z -----+-====-++--，故A错误；z 的虚部为2，故B 错误；复平面内，z 对应的点为()1,2--，z 对应的点位于第三象限，故C 错误；z ==D 正确.故选：ABC .10 已知向量()1,3a =-，(),2b x = ，且()2a b a -⊥ ，则（ ）A. ()1,2b =B. 225a b -=C. 向量a 与向量b的夹角是45 D. 向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量b判断A ，利用向量模的坐标运算判断B ，利用数量积的夹角坐标公式求解判断C ，利用数量积的几何意义求解判断D.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),2b x = ，所以()212,1a b x -=---，由()2a b a -⊥ 得1230x +-=，解得1x =，所以()1,2b =，故A 正确；又()23,4a b -=-r r ，所以25a =r ，故B 错误；设向量a 与向量b的夹角为θ，因为()1,3a =- ，()1,2b = ，所以cos a b a bθ⋅===⋅ ，又0180θ≤≤ ，所以45θ= ，即向量a 与向量b的夹角是45 ，故C 正确；向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2a b b b b b⋅⋅==，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>，下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的值域为[]22-,B. 若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为2πωC. 若函数()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.D. 若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，则ω的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，可知其值域为[]22-,，故选项A 正确；若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以12x x -的最小值为π2T ω=，故选项B 错误；函数()f x 的单调递增区间为πππ2π2π232k x k ω-≤+≤+，()5ππ2π2π66,Z k k x k ωω⎡⎤-+⎢⎥∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以5π2ππ66π2ππ63k k ωω⎧-⎪≤-⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，令0k =，则10,2ωω<≤∴的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选项C 正确；若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由如图可得：5ππ138π3π2363ωω<+≤⇒<≤，ω∴的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦，故选项D 正确；故选：ACD12. 已知函数()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，则下列说法正确的是（ ）A. 当0a >时，()f x 在(1,)+∞上单调递增B. 若()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，则实数34a =C. 当10a -<<时，()f x 不存在极值D. 当0a >时，()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且121=x x 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用导数即可判断；对于B ，根据导数的几何意义可判断；对于C ，取12a =-，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D ，结合函数单调性，利用零点存在定理说明()f x 有且仅有两个零点12,x x ，继而由()0f x =可推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可证明结论，即可判断.【详解】因为()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，定义域为{|0x x >且1}x ≠，所以()()2121af x x x '=+-，对于A ，当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，故A 正确；对于B ，因为直线250x y +-=的斜率为12-，又因为()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，故令1(2)222f a '=+=，解得34a =，故B 正确；对于C ，当10a -<<时，不妨取12a =-，则()()()222113111x x f x x x x x -+'=-=--，令()0f x '=，则有231=0x x -+，解得123322x x =-=+，当0,32x ⎛∈- ⎝时，()0f x ¢>，()f x 在0,32⎛ ⎝上单调递增；当331,22x ⎛⎫⎛∈⋃+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝时，()0f x '<，()f x在33,1,22⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝上分别单调递减；所以此时函数有极值，故C 错误；对于D ，由A 可知，当0a >时，()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，当1x >时，22(e )10e 1e 1aa aaf a a ⎛⎫=-+=-< ⎪--⎝⎭，()()()()313131313131e 1e 12e 311e 1e 1a a a a a a a f a a ++++++--+⎛⎫=+-+-=⎪-⎝⎭()()()31313131313e 1e 12e20e 1e 1a a a a a a a a +++++--+->=>--，所以()f x 在(1,)+∞上有一个零点，又因为当01x <<时，22(e 10e 1e 1aa a af a a --⎛⎫--+=> ⎪--⎝⎭=) ，()1313313122e e311311e 11e a a a a f a a a a -+---+⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()3131313131311e e 11e 311e 1e a a a a a a a a a ++++++-+++=---⋅=---()()31313131e e 11e a a a a a +++-++=--()3131313122e 42e01e e 1a a a a a a a ++++--=-=<--，所以()f x 在(01),上有一个零点，所以()f x 有两个零点，分别位于(01),和(1,)+∞内；设1201x x <<<，令()0f x =，则有()1ln 01a x x x +-=-，则1f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11111ln ln ln 1111x a a a x x x x x x x x x x⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭-=--=-+---()1[ln ]01a x x x +=--=-，所以()0f x =的两根互为倒数，所以121=x x ，故D 正确．故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D 的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明121=x x 时，要注意推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而证明结论三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为______．【答案】240【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可.【详解】在()5+2x 的展开式中，3x 的系数为325C 2=40⋅；在()41y -的展开式中，2y 的系数为224C 1=6⋅；所以在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为32254C 2C =240⋅；故答案为：24014. 2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_______种.【答案】80【解析】分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有1245C A 454=⨯⨯80=种.故答案为：80.15. 已知22,1()e ,1xx x f x x ->-⎧=⎨≤-⎩，若a b <，()()f a f b =，则实数2a b -的取值范围是______．【【答案】(1,3e ⎤-∞--⎥⎦【解析】【分析】作出函数图象，设()()t f a f b ==，数形结合可知t 的范围，2a b -转化为关于t 的函数，利用导数求最值即可.【详解】作函数()f x 图象，如图，设()()t f a f b ==，则10et <≤，e ,,2e 1112a b a b +<∴≤-<≤ ，又()(),e 22af a t f b b t ===-= ，()1ln 2,2a t b t ∴==+，2ln 2a b t t ∴-=--，设()()110,,1ln 21e t g t t t t g t t t -'=--<≤=-=，当10et <≤时，()0g t '>，函数()g t 为增函数，()1111ln 23e e e e g t g ⎛⎫∴≤=--=-- ⎪⎝⎭，即实数2a b -的取值范围是(1,3e ⎤-∞--⎥⎦故答案为：(1,3e ⎤-∞--⎥⎦16. 在正三棱锥A BCD -中，底面BCD △的边长为4，E 为AD 的中点，AB CE ^，则以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．π【解析】【分析】首先证明,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.【详解】记CD 中点为F ，作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，由正三棱锥性质可知，O 为正三角形BCD 的中心，所以O 在BF 上，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥，由正三角形性质可知，BF CD ⊥，又BF AO O ⋂=，,BF AO ⊂平面ABO ，所以CD ⊥平面ABO ，因为AB ⊂平面ABO ，所以AB CD ⊥，又,,,CE AB CE CD C CE CD ⊥⋂=⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，所以AC AB⊥由正三棱锥性质可知，,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ==，则AD ==，如图，易知以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D 为圆心，AD 为半径的三段圆弧，则π4ADC ADB ∠=∠=，π3BDC ∠=，则其圆心角分别为πππ,,443，所以其交线长为πππ443⨯⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足52215a a =+，981S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）21n a n =- （2）129928n n n +--+【解析】【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.【小问1详解】（1）设数列等差数列{}n a 的公差为d ，因为981S =，所以()59199812a a a +==，则59a =，因为52215a a =+，即21815a =+，所以23a =，所以52932523a a d --===-，121a a d =-=，所以()112n a n =+-⨯，即21n a n =- .【小问2详解】因为,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以21,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()()24221353433nn T n =++++⋅⋅⋅+-+()()2421543333n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()231919n ⨯-=+-129928n n n +-=-+．18. 已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,（1）求函数()f x 的最值；（2）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．【答案】（1）最大值为2，最小值为2-（2【解析】【分析】(1)把()f x 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x ，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A ，由余弦定理得到关于,a c 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含,a c 的方程，联立方程组即可解出,a c 的值，再代入三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为()sin 2cos sin 122f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 12cos 2x x x x x=-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-．【小问2详解】结合(1)可知()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为()0,A π∈，所以112,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则263A A ππ-==．由余弦定理得2222241cos 242b c a c a A bc c +-+-===，化简得2224a c c =-+①．又2sin sin B C A +=，由正弦定理可得2b c +=，即4c +=②．结合①②得3a c ==或23a c ==．3c =时，1sin 2ABC S bc A == 23c =时，1sin 2ABC S bc A ==△．综上，ABC ．19. 在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，M 、N 分别为AB SB 、的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接SO ，OB ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO ，BO 交于点O ，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，于是可知AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,那么(00)(200)(000)(0B C S M N -,,,,,,,,,，∴(30),(10CM MN ==- ,，设(),,n x y z = 为平面CMN 的一个法向量，那么30=0CM n x MN n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ ，取1z =，那么==x y ，∴n = ，又(0,0,OS = 为平面MBC一个法向量，的1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴==，sin ,n OS ∴= ，即二面角N CM B --.20. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响．（1）求甲班在项目A 中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）6481（2）分布列见解析，209162【解析】【分析】（1）记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在项目B 中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X 的分布列，即可算出期望【小问1详解】记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，则()222223422221221264C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以甲班在项目A 中获胜的概率为6481【小问2详解】记“甲班在项目B 中获胜”为事件B ，则()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，X 的可能取值为0，1，2，则()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=，()()()()64132281281P X P AB P A P B ====⨯=，()()()111022P X P X P X ==-=-==．所以X 的分布列为X 012P 17162123281()17132209012162281162E X =⨯+⨯+⨯=．所以甲班获胜的项目个数的数学期望为20916221. 已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a <-.如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，f (x )在（0，+∞）（2）a ≤－2【解析】【详解】（1） f (x )的定义域为(0，+∞)，2121()2a ax a f x ax x x '+++=+=.当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x .当x ∈(0)时，()f x '＞0；x ∈，+∞)时，()f x '＜0， 故f (x )在（0，+∞）单调减少.（2）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f (x )在（0，+∞）单调减少.所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于21()()f x f x -≥4x 1－4x 2，，即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ，则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-22. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>过点(4,3)A，离心率e =.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点(1,0)B 的直线l 交双曲线C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线1x =于点P ，Q ，求||||PB QB 的值.【答案】（1）22143x y -= （2）||=1||PB QB 【解析】【分析】（1）根据已知列关于a ,b ,c 的方程组求解即可；（2）直线联立双曲线方程，写出直线MA ，NA 的方程，然后可得点P ，Q 坐标，将比值问题转化为纵坐标关系，利用韦达定理可得0P Q y y +=，然后可得.【小问1详解】由题知222221691a b c a a b c⎧-=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，27c =，22143y x ∴-=；【小问2详解】.设直线:(1)l y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，则2222(34)84120k x k x k -+--=，则2=144144k ∆-，2122834k x x k -+=-，212241234k x x k --=- ，设直线113:3(4)4y MA y x x --=--，223:3(4)4y NA y x x --=--，令1x =，113334P y y x -=--，223334Q y y x -=--，则12123363()44P Q y y y y x x --+=-+--，因为121212121233(3)(4)(4)(3)44(4)(4)y y y x x y x x x x ----+--+=----1212122(35)()8(3)=(4)(4)kx x k x x k x x -++++--222222222(412)(35)(8)8(3)(34)7272==2(412)4(8)16(34)3636k k k k k k k k k k k ---+-++--=----+--所以12123363()=044P Q y y y y x x --+=-+--，B 为PQ 的中点，所以||=1||PB QB .【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明0P Q y y +=的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向.。

z南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 A. B. C. D.2. 已知复数z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数值域为，则a 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 5. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A.B.C.D.2{|230}A x x x =--<2{|log 2}B x x =<A B Ç=(1,4)-(1,3)-(0,3)(0,4)2i3iz +=-()222,0,0x x x f x x a x ì-+>=í-+£î的[)1,+¥()()cos 0,2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø()fx ,03p æöç÷èø,03p æ-öç÷èø5,06p æöç÷èø5,06p æö-ç÷èø()222210x y a b a b+=>>()1,0F -A B y C C F AB 22165x y +=22154x y +=22132x y +=22143x y +=z6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A.B.C.D.8. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( ) A.B.C.D.10. 已知动点M 到点的距离M 的运动轨迹为，则（ ）P ABCD -t E PD PB CE ()()ln e f x x x =+()()2131a g x x -=--2y xb =+()y f x =()y g x =a 54171617817e8G ()222210,0x y a b a b-=>>F y kx =G A B A AF P O OA OF=2OP =G 4--3--3-4-+()()11,2,,i i z x x i n s=-=L i x x s 115x =10.8s =m s 115m =0m =10.8s =1s =(2,1)N k k -GA. 直线把分成面积相等的两部分B. 直线与没有公共点C. 对任意的，直线被截得的弦长都相等D. 存在，使得与x 轴和y 轴均相切 11. 已知等比数列满足，公比，且，则（ ）A.B. 当时，最小C. 当时，最小D. 存在，使得 12 已知函数，则（ ）A. 曲线在点处的切线方程为B. 曲线的极小值为C. 当时，仅有一个整数解 D 当时，仅有一个整数解三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若，则______． 14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．15. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为___________.16. 有一张面积为矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外12xy =-G 230x y -+=G k ÎR 2xy =G k ÎR G {}n a 10a >1q >1220211220221,1a a a a a a <>!!20221a >2021n =12n a a a !1011n =12n a a a !1011n <12n n n a a a ++=()e xf x x =()y f x =()0,0y x =()y f x =e -2213e 2ea £<()()1f x a x <-223e 2e 2a £<()()1f x a x <-π0,2a æöÎç÷èøsin 1a a -=cos 2=a []1,4x Î234x x a x x ->-+a ABCD O AB 1O CD ABCD 1OO 1OO M BC AM O 4EF AD BC A EFM -A EFM -z接球的表面积为___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.18. 已知数列的前n 项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n ，恒成立，求证：. 19. 随着生活节奏加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.ABC !A B C a b c 2cos cos b c Ca A-=3a =A D AC 1233BD BA BC =+"""BCD △{}n a 22n n nS +={}n a {}n b 2312123(1)n nb b b b n a a a a ××××××××=+4n b ³的yx y x y xz参考数据：，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为.（1）证明：； （2）若求二面角的正弦值.21. 已知椭圆的离心率为，且点在C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设，为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若内切圆的半径求直线l 的方程. 22. 已知函数． （1）证明：当时，；（2）记函数，判断在区间上零点的个数．()510.06 1.34+»()610.06 1.42+»()710.06 1.50+»!!y abx =+!()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-åå!a y bx =-$$ABCD ,1,2AB AC AB BC ^==ACD △AC D P PB AC a a !PAC m =a !ABC n =//m n PB =A PBC --()2222:10x y C a b a b +=>>22P æççèø1F 2F 2F 1ABF !()sin cos f x x x x =-()0,x p Î()0f x >()()g x f x x =-()g x ()2,2p p -南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】AC三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.【13题答案】 【答案】【14题答案】 【答案】【15题答案】【答案】 【16题答案】 【答案】四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】 【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】【答案】（1）；（2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 【20题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【21题答案】7916()(),16,-¥-È+¥412p 3pn a n =11.460.24y x =+$5【答案】（1）（2）或. 【22题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）个零点2212x y +=10x +-=10x -=5。

一、填空题 1． {x | 0 x 1} 5． 2 7 9．充分而不必要 13．③④ 2．三 6．360 10． 3． 0 7． 1 2 4．40 8．二
4 2 9
11．
5 2
12．
3 3 2
14． [15, )
二、解答题 15．解： （1）因为∠BCD 90 60 150 ， CB AC CD ， 所以∠CBE 15 ．

AB 2 ．
（1）求 cos CBE 的值； （2）求 AE AB 的值．
D C E A B

16． （本小题满分 14 分） 如 图 ， 正 方 形 ADEF 与 梯 形 ABCD 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ， AD CD ， AB ∥ CD ，
AB AD 2 ， CD 4 ， M 为 CE 的中点．
（1）求证： BM ∥平面 ADEF ； （2）求证：平面 BDE 平面 BEC ．
E F M D A B C
17． （本小题满分 14 分） 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n n ，数列 bn 满足 bn1 2bn 1 (n N * ) ，且 b1 5 ．
所求椭圆方程为
x2 y 2 1 ． 4 b2
又点 (1,
3 ) 在椭圆上，可得 b2 1 ． 2
所求椭圆方程为
x2 y2 1 ． 4
„„„„„„„4 分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知： A(2,0), B(2,0) ． 设 P(4, t ) ， M ( xM , yM ) ． 则直线 PA 的方程为： y
所以 ED 平面 ABCD ． 所以 ED BC ． 在直角梯形 ABCD 中， AB AD 2 ， CD 4 ，可得 BC 2 2 ． 在△ BCD 中， BD BC 2 2, CD 4 ，所以 BC BD ． 所以 BC 平面 BDE ． 又因为 BC 平面 BCE ， 所以平面 BDE 平面 BEC ．„„„„„„„„„„„„„„„„14 分

2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学2024.10.22注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x| x2－2x－8＜0}，B＝{x| x≤4 }，则“x∈A”是“x∈B”A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件2．若复数z满足－z＝2－i3＋i，则|z|＝A　B C D．1 23．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为A．6 B．12 C．18 D．244．已知等比数列{a n}满足a4a5a6＝64，则a2a4＋a6a8的最小值为A．48B．32C．24D．8 5．已知函数f(x)＝{－13x3＋a x2－a－4(x≥0)ax－sin x(x＜0)在R上单调，则实数a的取值范围为A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．[－4，－1) D．[－4，－1]6．已知圆(x－2)2＋y2＝1与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线交于A，B两点，且|AB|＝1，则该双曲线的离心率为A．2B C D7．已知函数f(x)＝(x－4)3 cosωx(ω＞0)，存在常数a∈R，使f(x＋a)为偶函数，则ω的最小值为A．π12B．π8C．π4D．π28．已知2024m＝2025，2023m＝x＋2024，2025m＝y＋2026，则A．0＜x＜y B．x＜y＜0 C．y＜x＜0 D．x＜0＜y二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是A ．若随机变量X ~B (10，p )，且E (X )＝3，则D (X )＝2.1B ．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，7，9，5，这组数据的75百分位数为7C ．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜－1)＝p ，则P (1≤ξ≤3)＝12－pD ．若变量y 关于变量x 的线性回归方程为^y ＝x ＋t ，且－ x ＝4，－ y ＝2t ，则t ＝4310．已知棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 是该正方体的内切球，E ，F ，P 分别是棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，M 是正方形BCC 1B 1的中心，则A ．球O 与该正方体的表面积之比为π6B ．直线EF 与OMC ．直线EP 被球O 截得的线段的长度为D ．球O 的球面与平面APM 的交线长为4π11．已知函数f (x )＝x 3＋mx ＋1，则A ．当m ＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f (x )的图象相切B ．对任意实数m ，函数f (x )的图象都关于(0，1)对称C ．若f (x )存在极值点x 0，当f (x 1)＝f (x 0)且x 1≠x 0，则x 1＋32x 0＝0D ．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f (x )的图象上，则m ＝－三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(2，1)，a －b ＝(－2，4)，则|a |－|b |＝_______．13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列A ＝(a 1，a 2，a 3，···)升级为新序列A*＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，···)， A*中的第n 项为a n +1－a n ， 若(A*)*的所有项都是3，且a 4＝11， a 5＝18，则a 1＝_______．14．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点D (－1，0)的直线l 在第一象限与C 交于A ，B 两点，且BF 为∠AFD 的平分线，则直线l 的方程为_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，AB ⊥AD ，PA ＝PD ，AB ＝2，AD ＝8，AC ＝CD ＝5(1)求证：平面PCD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．16．（本题满分15分）已知△ABC 的角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，2b cos A ＝2c (1)求B ；(2)若cos A ＝sin C －1，CA → ＝4CD →，BD △ABC 的面积．17．（本题满分15分）某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X 的分布列和数学期望；(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p ，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p 的值．18．（本题满分17分）已知f(x)＝ln(x＋1)(1) 设h(x)＝x f(x－1)，求h(x)的极值．(2) 若f(x)≤ax在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．(3) 若存在常数M，使得对任意x∈I，f(x)≤M恒成立，则称f(x)在I上有上界M，函数f(x)称为有上界函数．如y＝e x是在R上没有上界的函数，y＝ln x是在(0，＋∞)上没有上界的函数；y＝－e x，y＝－x2都是在R上有上界的函数．若g(n)＝1＋12＋13＋···＋1n(n∈N*)，则g(n)是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．19．（本题满分17分）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为B，左右顶点分别为A1、A2，左焦点为F1，离心率为12．过F1作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且| DE |＝3．(1)求C的方程；(2)若M，N是C上任意两点①若点M(1，32)，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA1G和△NA2G 的面积分别为S1，S2，若2S1－2S2＝3，求线段MN的长度；②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求证：线段MN2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学参考答案2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．C 3．A 4．B 5．D6．D7．B 8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9． AC10．ACD11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．013．814．y四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面PAD ^平面ABCD ，且平面PAD Ç平面ABCD AD =，且AB AD ^，AB Ì平面ABCD ，∴AB ^平面PAD ，………………...........................2分∵PD Ì平面PAD ，∴AB PD ^，又PD PA ^，且PA AB A =I ，,PA AB Ì平面PAB ，∴PD ^平面PAB ；…………................................……..4分又PD Ì平面PAD ，所以平面^PCD 平面PAB ………………..6分（2）取AD 中点为O ，连接CO ，PO 又因为PD PA =，所以AD PO ^则4==PO AO 因为5==CD AC ，所以AD CO ^，则322=-=AO AC CO 以O 为坐标原点，分别以OP OA OC ,,所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -则)4,0,0(),0,4,0(),0,0,3(),0,4,2(),0,4,0(P D C B A -,)4,4,0(),4,0,3(--=-=PD PC ，)4,4,2(-=PB ......................................……..8分设),,(z y x n =是平面PCD 的一个法向量，则,00⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅PD n PC n 得⎩⎨⎧=+=-0043z y z x ，令,3=z 则3,4-==y x ，所以)3,3,4(-=n ……………............................................…..10分设PB 与平面PCD 所成的角为θ则sin 所以PB 与平面PCD 所成的角的正弦值为51344………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为2cos 2b A c =2sin cos 2sin B A C A=-2sin cos 2sin()2sin cos 2cos sin B A A B A A B A B A=+-=+所以B A A cos sin 2sin 3=…………..3分在ABC ∆中，0sin ≠A ,所以23cos =B ，所以6π=B …………..5分（2）由1sin cos -=C A ，得1sin -65cos -=C C ）（π，1sin sin 65sin cos 65cos-=+C C C ππ，13sin(=+πC ………..7分因为π<<C 0,所以3433πππ<+<C ，所以23ππ=+C ，所以6π=C …………..9分所以cb A ==32π在ABD ∆中, ,4CD CA =所以bAD 43=A AD AB AD AB BD cos 237222⋅-+==21(43216922-⋅⋅-+=b b b b ，得4==c b ，…………………………………………………………....13分所以ABC ∆的面积.34234421sin 21=⋅⋅⋅=⋅=A AC AB S ………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X 的所有取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 15C 33C 4 8＝570＝114P (X ＝2)＝C 2 5C 23C 48＝3070＝37P (X ＝3)＝C 3 5C 13C 48＝3070＝37P (X ＝4)＝C 4 5C 0 3C 48＝570＝114，………………………………8分故X 的分布列为：X 1234P1143737114则E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52．………………………………9分（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，记“输入的问题有语法错误”为事件B ，记“回答被采纳”为事件C ，…………………………………………………………10分由已知得，P (C )＝0.7，P (C |A )＝0.8，P (C |B )＝0.4，P (B )＝p ，P (A )＝1－p ， 所以由全概率公式得P (C )＝P (A )·P (C |A )＋P (B )·P (C |B )＝0.8(1－p )＋0.4p ＝0.8－0.4p ＝0.7，…………14分解得p ＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分）解：(1) h ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)令h ′(x )＝0则x ＝1e ……………………………………………………………2分所以在(0，1e)上h ′(x ) ＜0，h (x )递减；在(1e，＋∞)上，h ′(x )＞0，h (x )递增；所以函数h (x )有极小值h (1e )＝－1e，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分(2)设m (x )＝ln(x ＋1)－ax (x ≥0)，m (0)＝0m ′(x )＝1x +1－a当a ≤0时, m ′(x )＞0, m (x )单调递增，m (x )≥0，显然不满足. …………………………6分当0＜a ＜1时,令 m ′(x ) ＝0, x 0使m ′(x 0)＝0，在(0，x 0)上，m (x )单调递增；在( x 0，＋∞)上，m (x )单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分当a ≥1时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减，m (x )≤m (0)=0；…………………………………10分综上：a ≥1. ………………………………………………………………………………11分(3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x ＋1)≤x 在[0，＋∞)上恒成立，令x ＝1n ，则ln(1n ＋1)≤1n ，…………………………………………………………………13分所以ln(11＋1)＜11，ln(12＋1)＜12，ln(13＋1)＜13．．．ln(1n ＋1)＜1n，…………………………15分将上式相加，ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋．．．＋1n＝g (n )由于ln(n ＋1)没有上界，故g (n )也没有上界. …………………………………………17分19．（本小题满分17分）解：（1）由离心率为12，得b 2a 2＝34，由DE ＝3得2b 2a ＝3，解得a ＝2，b所以故椭圆C 的方程为 x 24＋ y 23＝1…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A 2(2,0)，连接MA 2，因为S 1－S 2=S △MA 1A 2－S △MNA 2= 32，S △MA 1O =32，所以S △NGA 2=S △MOG ，得S △NMA 2=S △MOA 2;所以ON ∥MA 2，所以直线ON 的方程为，y ＝－32x,……………………………………6分由{y ＝－32x ， x 24＋y 23＝1．得N (1,－ 32)，N (－1, 32)（舍去）.所以|MN |=3 …………………………………………………8分（3）设直线MN :y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2),P (x 3，y 3)，H (x 0，y 0)则Q (－x 3，－y 3).联立{y ＝kx ＋m ， x 24＋ y 23＝1．可得，(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2－12＝0，所以，x 1＋x 2＝－ 8mk 4k 2+3，x 1x 2＝4m 2－124k 2+3，………………………………………10分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2+3Δ＝64m 2k 2＋16(m 2－3)(4k 2+3)＞0,得m 2－3－4k 2<0．所以中点H 的坐标为(－ 4mk 4k 2+3， 3m 4k 2+3)，所以k OH ＝－34k ,故直线OH ：y ＝－34k x.………………………………………12分由P ，Q ，M ，N 四点共圆，则|HM |·|HN |＝|HP |·|HQ |,………………………………14分由|HM |·|HN |= 14|MN |2= 14(1+k 2)[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]=12(1+k 2).4k 2+3－m 2(4k 2+3)2;联立{y ＝－ 34k x ， x 24＋y 23＝1．可得，x 2＝ 16k 24k 2+3，所以x 23＝16k 24k 2+3，所以|HP|·|HQ|=(1+916k2)|x20－x23|=(9+16k2).4k2+3－m2(4k2+3)2,所以12(1+k2)=9+16k2得，k分所有m2<3+4k2=6，得m∈(，|MN|2=48(1+k2).4k2+3－m2(4k2+3)2=42－7m23≤14即|MN|分。