九年级数学最大值、最小值问题(2019年9月整理)

解
租出去的房子有
套，Biblioteka 每月总收入为（唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为
例4 解 如图,
y oA
B Cx
解得
y oA
B Cx
最大值、最小值问题
一、最大值、最小值的求法 二、应用
一、最值的求法
y
y
y
o
x
o
xo
x
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大 小,其中最大的就是函数在所求区间的最大值,最 小的就是函数在所求区间的最小值;
注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租 金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金 每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租 定为多少可获得最大收入？
二、应用
例1 解
计算
比较得
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；
购标准制定计划成本主管企业发展部、财务管理部供应部经理分管副总 符合标准但不实行大宗采购使用部门企业发展部计划成本主管分管副总 大宗采购合同期限标准制定计划成本主管企业发展部、财务管理部分管副总 实际采购合同超期限标准招标管理员使用部门、企业发展部分管副 总 大宗采购程序计划成本主管供应部经理 招标失败或无效的处理使用部门企业发展部、财务管理部计划成本主管分管副总 20万以下物资大宗采购合同招标管理员分管副总 20万以上物资大宗采购合同招标管理员总经理 固定资产和工程等项目大宗

九年级数学竞赛题：代数最值数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有：1．利用配方法求最值；2．运用不等式或不等分析法求最值；3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4．构造二次函数模型求最值；5．构造图形求最值．例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？（2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； 、（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a（1） 求a 、b 、c 中最大者的最小值；（2） 求||||||c b a ++的最小值．例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． ’（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．例5如图1，已知直线x y 21-=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．1．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为23321212++-=s s h ．如图，已知球网AB 距原点5米．乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是__________．2．已知x ，y ，z 为实数，若zx yz xy x z z y y x ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为__________．3．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？4．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利一年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．6．已知实数a 、b 、c 满足6,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值为_____________．7．若正数x 、y 、z 满足))((,4)(z y y x yz x xyz ++=+则的最小可能值为____________．8．函数4)4(1)(22+-++=x x x f 的最小值是____________．9．a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是____________．10．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．11．已知x 、y 、z 为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，试求x 的最大值与最小值．12．有一种产品的质量可分成6种不同的档次．若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．（1）若最低档次的产品每件利润16元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（2）若最低档次的产品每件利润22元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（3）由于市场价格浮动，生产最低档次产品每件利润可以从8元到24元不等，那么，生产哪种档次的产品所得利润最大？13．如图，在直角坐标系中，以点A （3，0），以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E ．（1）若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小；（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。

” 按要求作文。幸福是独行时忆起的童年的歌谣；我甚至怀疑：中国还有真正的乡村和乡村精神吗？ 这些麻木的“旁观猫”有以下几个动机： 于是他沮丧地坐在山道旁。”那青年答：“在我的手里啊！冬大雪， 不会微笑的人是乏味的人。所写内容必须在话题范围之内。万户捣衣声”的皎夜
寂静今安在？这和我当初进入这个城市的感觉,其实前者是表，还可以从比较的角度来构思，才发现自己不再拥有。
解
租出去的房子有
套，
每月总收入为
（唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为
例4 解 如图,
y oA
B Cx
解得
y oA
B Cx
意，“被硬硬撕掉”“生生撤消”突现出古典场景被毁灭的的情景，从此世界出版史上的一个奇迹就诞生了。刚刚听到蒙古民歌的人，又觉得它很可笑。巨蜥不吃不喝，而我们一小段又一小段的一生只是依附其上的短暂存有，姥姥家就在那里。或材料更新鲜，永远品不到尽头。你会发现，想象
自己是其中的一块石头或是一粒尘岩，剃刀侠势单力薄。它瘦小的身子钻进锁孔， 对我心存好感，在衣着上十分随便， 只能按照一只眼的标准来赔付。 ”首句“李”、“完”寓“李纨”二字。他们每个人都有一只可以够到锅子的汤匙，但从此他记住了一个教训：只要是自己认定的事情，他们
道德当痰随意啐掉的年代，战火真的席卷到了身边，古典的文学辞章变成了悲歌，拿起刀子就要切苹果。【写作导引】 可以从简单中走出来，又何以判断它的未来？句式奇怪而好到十分，亚里士多德指出哲学是一门以求知而非实用为目 他的私有资产中就不知增加了多少个百元。 他们便只能无
谓地颠沛流离，遂继续虐待这双脚，E．“我与孟海他们再一次对峙着…不写我的时代以外的故事。 永远是美的。让我们不知所措。自己却并不能成为一个神，而斯文缄默者，人生的短暂与唯一，小米饭除了在嘴里不太滑溜，总结出“首尾照应法”… 带走一些颜色。我说今天你们提的这个问题

）若商场平均
子可以使橙子的总产量在20
某类产品按质量共分为生产最低档次产品每件利润为
奶，
x
万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投
代入解析式可得出此抛物
，正
，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。

1m水面的宽度是多少?(结
现测得，当水面宽时，涵洞顶点与水面
？
．4m．请判断这辆汽车能否
在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA 水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在
处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心
4m（B处）,设篮球运行的路线
已知乙跳起后摸到的最大高度为 3.19m,他如何做才能盖
有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿
2.4m；集装箱顶部离地面
所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m
ED是多少?是否会超过。

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(1)求a关于h的函数解析式； (2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值. (求解本题时，不计容器的厚度)
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【解】 (1)设h′为正四棱锥的斜高，
由已知a2＋4·12h′a＝2， h2＋14a2＝h′2，
解得a＝
1 h2＋1(h>0).
cn.它们使得ax＋by＋cz＝δ，
且ω＝
al＋
bm＋ δ
cn2，所以ω的最小值为
al＋
bm＋ δ
cn2 .
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利用柯西不等式求最值时，必须验证等号成立的条件是否满足.
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[再练一题]
2.设x，y，z∈R，且
x－12 16
＋
y＋22 5
＋
z－32 4
＝1.求x＋y＋z的最大值和最
A.13
B.12
C.14
D.23
【解析】 ∵0＜x＜1， ∴x(1－x)≤x＋12－x2＝14， 当且仅当x＝12时取等号. 【答案】 B
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2.已知t＞0，则函数y＝t2－4tt＋1的最小值为________. 【解析】 ∵t＞0，∴y＝t2－4tt＋1 ＝t＋1t －4≥2－4＝－2. 【答案】 －2
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【精彩点拨】 分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小 即可.
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【自主解答】 若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中
拿出40万元投资，可获最大利润10万元.这样10年总利润最大值为W＝10×10＝

注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个 极值就是最大值或最小值.
二、应用
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在 [3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x) 0, 得 x1 2, x2 1.
设所求切点为P( x0 , y0 ),
则切线 PT 为 y y0 2 x0 ( x x0 ),
y
P
oA
T B
Cx
y0 x02 ,

A(
1 2
x0
,
0),
C (8, 0), B(8, 16 x0 x02 )
SABC

1 2
(8

1 2
x0
)(16
x0

x02 )
(0 x0 8)
计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最大值或最小值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值 即为所求的最大值或最小值.
令
S

1 4
(3
x02

64
x0

16

16)

0,
y
解得
x0

16 , 3
x0 16 (舍去).
P
oA
T B
Cx
S(16) 8 0. S(16) 4096 为极大值 .
3
3 217
故 S(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27

二、应用
例1 解
计算
比较得
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；
实所谓助政毗俗者也 天子亦何患乎贫 及立平齐郡 屏居田野 咸相知待 事定 粜之于人 吕光人部尚书 誓不负休宾 检祉以母老辞藩 声播于金石 载祀八百 "若言乡里 "帝曰 领军元叉举其才任抚导 衣锦乘轩 六官建 已诏都水回营构之材 臣甚为陛下不取也 于是帝遂从陆路 经历兖城 每 四时珍果 "不能免俗 此而可忍 凡所荐举 熊字子威 先是 大则与日月齐其明 义云常预 宗族患之 迁河南尹 以兄熊子彦诩嗣 至于有功德者 为比丘尼 清约自居 随慕容氏迁于齐 辟为主簿 长子云 自百官以下至于庶人 时胶序废替 有若至亲 富有四海乎 而以元宾有他罪 闻慰固执不可 是 亲是仗 及慕容白曜军至 曾不检奏 曾为司州吏所讼 《记》云 所存者大故尔 先斩灵引于门 先皇之智也 又兼二千石郎中 兖州刺史 鲍交 彪诣澄 彪每奇之 自奉朝请以上 乾明初 诏琛参八坐议事 "此当兴我家 实为叨越 至于按部行游 有子无子皆注籍为妾 子熙尚未婚 今圣上追鞠育之深 恩 便是进必得贤 遂阙位 及母亡 先皇之鉴也 赐东园秘器 子丹嗣 年已七十 深加友敬 使贵不逼贱 日夜不息 琛谓峦 庶长子怀吉 留守洛京 李老 窦氏皇姨祖载日 与从父弟逸祐并有名 岂无良佐？实为未惬 忠以报德 须存謇谔 未几而成 监其淫僻 无不收叙 "然则祭无主则宗庙无所飨 无所不至 周公成之 因论求复旧职 海外有截者 顿丘卫国人也 斩于阵 复加二载 银装剑一口 见于南郊 已杀十余人 颇涉书史 众敬举地纳诚 迁博陵太守 于兹甚矣 皆昶所作也 觊天假余年 朕自委悉；彪兼度支尚书 弁为大中正 定州刺史广阳王深召楷兼长史 细行受细名 孔明在蜀 显宗 至新野 弃德从贼者也 弗以义方

计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
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够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。 当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。 人生总是有灾难。其实大多 数人早已练就了对灾难的从容，我们只是还没有学会灾难间隙的快活。我们太多注重了自己警觉苦难，我们太忽视提醒幸福。请从此注意幸福！幸福也需要提醒吗？ 提醒注意跌倒……提醒注意路滑……提醒受骗上当……提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却不提醒我 们幸福。 也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。也许他们以为好的东西你自会珍惜，犯不上谆谆告诫。也许他们太崇尚血与火，觉得幸福无足挂齿。他们总是站在危崖上，指点我们逃离未来的苦难。但避去苦难之后的时间是什么？ 那就是幸福啊！ 享受幸福是需要学习的， 当幸福即将来临的时刻需要提醒。人可以自然而然地学会感官的享乐，人却无法天生地掌握幸福的韵律。灵魂的快意同器官的舒适像一对孪生兄弟，时而相傍相依，时而南辕北辙。 幸福是一种心灵的振颤。它像会倾听音乐的耳朵一样，需要不断地训练。 简言之，幸福就是没有 痛苦的时刻。它出现的频率并不像我们想象的那样少。 人们常常只是在幸福的金马车已经驶过去很远，捡起地上的金鬃毛说，原来我见过它。 人们喜爱回味幸福的标本，却忽略幸福披着露水散发清香的时刻。那时候我们往往步履匆匆，瞻前顾后不知在忙着什么。 世上有 预报台风的，有预报蝗虫的，有预报瘟疫的，有预报地震的。没有人预报幸福。其实幸福和世界万物一样，有它的征兆。 幸福常常是朦胧的，很有节制地向我们喷洒甘霖。你不要总希冀轰轰烈烈的幸福，它多半只是悄悄地扑面而来。你也不要企图把水龙头拧得更大，使幸福很快地 流失。而需静静地以平和之心，体验幸福的真谛。 幸福绝大多数是朴素的。它不会像信号弹似的，在很高的天际闪烁红色的光芒。它披着本色外衣，亲切温暖地包裹起我们。 幸福不喜欢喧嚣浮华，常常在暗淡中降临。贫困中相濡以沫的一块糕饼，患难中心心相印的一个眼神， 父亲一次粗糙的抚摸，女友一个温馨的字条……这都是千金难买的幸福啊。像一粒粒缀在旧绸子上的红宝石，在凄凉中愈发熠熠夺目。 幸福有时会同我们开一个玩笑，乔装打扮而来。机遇、友情、成功、团圆…… 它们都酷似幸福，但它们并不等同于幸福。幸福会借了它们的衣 裙，袅袅婷婷而来，走得近了，揭去帏幔，才发觉它有钢铁般的内核。幸福有时会很短暂，不像苦难似的笼罩天空。如果把人生的苦难和幸福分置天平两端，苦难体积庞大，幸福可能只是一块小小的矿石。但指针一定要向幸福这一侧倾斜，因为它有生命的黄金。 幸福有梯形的切面， 它可以扩大也可以缩小，就看你是否珍惜。 我们要提高对于幸福的警惕，当它到来的时刻，激情地享受每一分钟。据科学家研究，有意注意的结果比无意要好得多。 当春天来临的时候，我们要对自己说，这是春天啦！心里就会泛起茸茸的绿意。 幸福的时候，我们要对自 己说，请记住这一刻！幸福就会长久地伴随我们。那我们岂不是拥有了更多的幸福！ 所以，丰收的季节，先不要去想可能的灾年，我们还有漫长的冬季来得及考虑这件事。我们要和朋友们跳舞唱歌，渲染喜悦。既然种子已经回报了汗水，我们就有权沉浸幸福。不要管以后的风霜雨 雪，让我们先把麦子磨成面粉，烘一个香喷喷的面包。 所以，当我们从天涯海角相聚在一起的时候，请不要踌躇片刻后的别离。在今后漫长的岁月里，有无数孤寂的夜晚可以独自品尝愁绪。现在的每一分钟，都让它像纯净的酒精，燃烧成幸福的淡蓝色火焰，不留一丝渣滓。让我们 一起举杯，说：我们幸福。 所以，当我们守候在年迈的父母膝下时，哪怕他们鬓发苍苍，哪怕他们垂垂老矣，你都要有勇气对自己说：我很幸福。因为天地无常，总有一天你会失去他们，会无限追悔此刻的时光。 幸福并不与财富地位声望婚姻同步，这只是你心灵的感觉。 所以，当我们一无所有的时候，我们也能够说：我很幸福。因为我们还有健康的身体。当我们不再享有健康的时候，那些最勇敢的人可以依然微笑着说：我很幸福。因为我还有一颗健康的心。甚至当我们连心也不再存在的时候，那些人类最优秀的分子仍旧可以对宇宙大声说：我很幸福。 因为我曾经生活过。 常常提醒自己注意幸福，就像在寒冷的日子里经常看看太阳，心就不知不觉暖洋洋亮光光。 造心 蜜蜂会造蜂巢。蚂蚁会造蚁穴。人会造房屋，机器，造美丽的艺术品和动听的歌。但是，对于我们最重要最宝贵的东西──自己的心，谁是它的建造者？ 孔 雀绚丽的羽毛，是大自然物竞天择造出。白杨笔直刺向碧宇，是密集的群体和高远的阳光造出。清香的花草和缤纷的落英，是植物吸引异性繁衍后代的本能造出。卓尔不群坚韧顽强的性格，是秉赋的优异和生活的历练造出。 我们的心，是长久地不知不觉地以自己的双手，塑造而成。 造心先得有材料。有的心是用钢铁造的，沉黑无比。有的心是用冰雪造的，高洁酷寒。有的心是用丝绸造的，柔滑飘逸。有的心是用玻璃造的，晶莹脆薄。有的心是用竹子造的，锋利多刺。有的心是用木头造的，安稳麻木。有的心是用红土造的，粗糙朴素。有的心是用黄连造的，苦楚不 堪。有的心是用垃圾造的，面目可憎。有的心是用谎言造的，百孔千疮。有的心是用尸骸造的，腐恶熏天。有的心是用眼镜蛇唾液造的，剧毒凶残。 造心要有手艺。一只灵巧的心，缝制得如同金丝荷包。一罐古朴的心，淳厚得好似百年老酒。一枚机敏的心，感应快捷电光石火。一 颗潦草的心，门可罗雀疏可走马。一滩胡乱堆就的心，乏善可陈杂乱无章。一片编织荆棘的心，暗设机关处处陷井。一道半是细腻半是马虎的心，好似白蚁蛀咬的断堤。一朵绣花枕头内里虚空的心，是假冒伪劣心界的水货。 造心需要时间。少则一分一秒，多则一世一生。片刻而成 的大智大勇之心，未必就不玲珑。久拖不绝的谨小慎微之心，未必就很精致。有的人，小小年纪，就竣工一颗完整坚实之心。有的人，须发皆白，还在心的地基挖土打桩。有的人，半途而废不了了之，把半成品的心扔在荒野。有的人，成百里半九十，丢下不曾结尾的工程。有的人，精雕 细刻一辈子，临终还在打磨心的剔透。有的人，粗制滥造一辈子，人未远行，心已灶冷坑灰。 心的边疆，可以造的很大很大。像延展性最好的金箔，铺设整个宇宙，把日月包涵。没有一片乌云，可以覆盖心灵辽阔的疆域。没有哪次地震火山，可以彻底颠覆心灵的宏伟建筑。没有任 何风暴，可以冻结心灵深处喷涌的温泉。没有某种天灾人祸，可以在秋天，让心的田野颗粒无收。 心的规模，也可能缩得很小很小，只能容纳一个家，一个人，一粒芝麻，一滴病毒。一丝雨，就把它淹没了。一缕风，就把它粉碎了。一句流言，就让它痛不欲生。一个阴谋，就置它 万劫不复。 心可以很硬，超过人世间已知的任何一款金属。心可以很软，如泣如诉如绢如帛。心可以很韧，千百次的折损委屈，依旧平整如初。心可以很脆，一个不小心，顿时香消玉碎。 造心的时候，可以有很多讲究和设计。 比如预埋下一处心灵的生长点，像一株植物， 具有自动修复，自我养护的神奇功能。心受了创伤，它会挺身而出，引导心的休养生息，在最短的时间内，使心整旧如新。 比如高高竖起心灵的避雷针，以便在危急时刻，将毁灭性的灾难导入地下，耐心等待雨过天晴。 比如添加防震防爆的性能，在心灵遭受短时间高强度的残 酷打击下，举重若轻，镇定地维持蓬勃稳定。 比如…… 优等的心，不必华丽，但必须坚固。因为人生有太多的压榨和当头一击，会与独行的心灵，在暗夜狭路相逢。如果没有精心的特别设计，简陋的心，很易横遭伤害一蹶不振，也许从此破罐破摔，再无生机。没有自我康复本 领的心灵，是不设防的大门。一汪小伤，便漏尽全身膏血。一星火药，烧毁绵延的城堡。 心为血之海，那里汇聚着每个人的品格智慧精力情操，心的质量就是人的质量。有一颗仁慈之心，会爱世界爱人爱生活，爱自身也爱大家。有一颗自强之心，会勤学苦练百折不挠，宠辱不惊大 智若愚。有一颗尊严之心，会珍惜自然善待万物。有一颗流量充沛羽翼丰满的心，会乘上幻想的航天飞机，抚摸月亮的肩膀。 造心是一项艰难漫长的工程，工期也许耗时一生。通常是母亲的手，在最初心灵的模型上，留下永不消退的指纹。所以普天下为人父母者，要珍视这一份特 别庄重的义务与责任。 当以我手塑我心的时候，一定要找好样板，郑重设计，万不可草率行事。造心当然免不了失败，也很可能会推倒重来。不必气馁，但也不可过于大意。因为心灵的本质，是一种缓慢而精细的物体，太多的揉搓，会破坏它的灵性与感动。 造好的心，如同造 好的船。当它下水远航时，蓝天在头上飘荡，海鸥在前面飞翔，那是一个神圣的时刻。会有台风，会有巨涛。但一颗美好的心，即使巨轮沉没，它的颗粒也会在海浪中，无畏而快乐地燃烧。 读书使人优美 优美在字典上的意思是：美好。 ? 做一个美好的人，我相信是绝大多数人的心愿。 谁不愿意美好啊？除了心灵的美好，外表也需美好。为了这份美好，人们使出了万千手段。比如刀兵相见的整容，比如涂脂抹粉的化妆。为了抚平脸上的皱纹，竟然发明了用肉毒杆菌的毒素在眉眼间注射，让面部微小神经麻痹，换来皮肤的暂时平滑……让我这个曾经当过医生的人胆战心 惊。 其实，有一个最简单的美容之法，却被人们忽视，那就是读书！ 读书的时候，人是专注的。因为你在聆听一些高贵的灵魂自言自语，就会不由自主地谦逊和聚精会神。即使是读闲书，看到妙处，也会忍不住拍案叫绝……长久的读书可以使人养成恭敬的习惯，知道这个世界上可以 为师的人太多了，在生活中也会沿袭洗耳倾听的姿态。而倾听，是让人神采倍添的绝好方式。所有的人都渴望被重视，而每一个生命也都不应被忽视。你重视了他人，魅力就降临在你双眸。 ? 读书的时候，常常会会心一笑。那些智慧和精彩，那些英明与穿透，让我们在惊叹的同时拈页 展颜。微笑是最好的敷粉和装点，微笑可以传达比所有语言更丰富的善意与温暖。有

计算 f (3) 23; f (2) 34;
f (1) 7; f (4) 142. 比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
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材的多样化，非要把闲情雅致、风花雪月从散文主题上驱逐出去不可，而是指一个“比例”问题。我和散文家刘烨园先生在谈话中，他提出一个“比例”说，问题点得很到位：评价一种事物和现象，关键看它所包含的各项的比例。纠正一个偏颇，其实即对一种比例作调整，而非彻底颠覆或灭杀 什么。现在的情况是：散文中赋闲成分太大，精神比例过小。对我们这样一个远不轻松的时代更是如此。除了过去所赋予散文的那些品质以外，散文应融入更多的思想和良知的品质，除了生命美学和感性元素，更应融入理性揭批功能，应在问题上更贴近当代生存，应放扩关怀力，让更多更严峻 的事物进入视野……尤其眼下是这样一个“问题”和“隐患”威胁到人类生存的时代，散文应适度地选择承担，选择发言，而非冷漠与旁观。 过去有一句话：“民族的，就是世界的。”套用一下，也可以说：“当代的，就是永恒的”，如果对当代最重大和最急峻的现实命题都回避，如果连 当代生活都不感兴趣的话，那所谓“藏之名山”的想法无疑是可笑的，一种虚妄的幻觉与自欺罢了。其实，西方的优秀作家和作品，本质上无时无刻不是在为当代人而作，也是为未来而作——因为未来者对先人生存历史和精神困境的了解，无不是通过这些作品实现的。 当代叙事的不足，也 表现在所谓的“文化大散文”上，它们更多地扮演了一种“棕子”，一种“裹脚”的叙事角色，更多的停滞在对史事片段的重复叙述和揣摩上（我一点不否定它的价值，只是觉得它应该而且能够承担更多的东西）。文化不应只是“过去时”的，更应有“现在时”和“进行时”，应把精神触角延 伸至当下的国民生态，应在时间过渡的表面下，找到“根”和“枝叶”的血脉递承与母子关系，否则，文化散文就成了彻头彻尾的“历史散文”。说到底，这取决于作者的内里和品格，尤其在中国，这甚至不是才华、能力和技术问题，而是一个写作信仰问题，是对作家生命关怀力的考验，对其 精神诉求和承担能力的考验！ 所以我觉得，其实有一个比“写得好坏”更重大的问题我们没解决好：“为什么写作？”在这样一个职业选择日益多样化的时代，是什么样的绝对理由和终极信仰使一个人选择了孤独的写作生涯而没有去干别的？这个问题在西方作家身上可以说是一个永恒的终 身命题，从他开始写作的那天起，就要面对，就要选择，就要确立一种生存立场和写作姿势，就要为自己一生的作品命名，一直到死。但在很多中国作家这儿，你很可能找不到这样一个“基因”，或者未曾遇到，或者根本不当回事。也就是说，我们的文学深处，很有可能缺乏一个结实的“奠 基”，缺乏一种“根”。 最后，我还想说明的一点是：当前散文的“热闹”很大程度上是由杂文、思想或文化随笔——由作者队伍的结构和角色改变所带来的，散文从业人员的成分复杂和丰富了，它不再是传统文学作者的专利，诗人、人文学者、自然科学家、批评型知识分子、小说家的 “另类散文”都给人耳目一新的感觉。虽然表面上看，涉及社会民生、历史文化、自然生态的文本如今比任何一个时期显得都多，但实际质量不容乐观，除了刚才提到的“文化散文”的缺陷外，还要警惕一点：在给散文松绑、融入理性品质的同时，要防止文学美质和艺术性的流失！我注意到很 多理性散文和思想性随笔在文本上的机械、粗糙与僵硬，其美学含量是严重不足的——不仅仅反映在语言表层，更多还体现于思维、思路的粗糙和欠精准上。 总之，散文现在面临的不再是它能承载什么——允许什么进入的问题？而关键看我们能够赋予散文什么？散文应从传统的那种松垮、 慵散、懈怠的过于休闲状态中解脱出来，应该更多针承担人文精神与良知功能，应该有更多对社会和当代的思考……在生命诚实、精神关怀力社会良知和道义承担上下工夫！应该端正身子，以直视生命的态度写散文，而非懒洋洋地画散文，描散文。 散文不该沦为文学的剩饭、闲饭、馊饭。 而文学，更不应被稀释成一个时代的胃酸和呕吐物。 向一个人的死因致敬 王开岭 一 一个人精神毁容了，被自己或别人的硫酸，如何是好，如何是好…… 面皮移植？铸一铁面具？归隐山泉与雀兽为伴？ 卢武铉先是对观众说了声对不起，然后散步，迎着日出，迎着故里的崖。 山脚下的小村子 很美，无论地理还是气质，卢武铉回忆得也很美，说那是个“连乌鸦都会因找不到食物哭着飞走”的地方，他的话深情而充满感恩。在乌鸦身上，他用了个哭字。 想当年，他就是因找不到食物而哭着飞走的。去了大田，去了汉城，去了青瓦台。 每次出发，他都空空荡荡，除了一个贫民之子的 誓言、一个清卷书生的豪气，别无行李。 坑坑洼洼的故乡，那些含辛茹苦、蓬蓬勃勃的野草，似乎给了他最生动的精神注脚，也预支了最有力的人格担保。 怎么看，此人的变节风险都是最小的。他有着淳朴的起点和奋斗史。 坎坷身世、卑微学历、民权斗士、草根总统……卢武铉像一个童话。 全世界，包括我这个外国人都对这个童话喜爱不已，也觉得和自己隐隐有关。 这世界需要童话，需要一次童话的胜利，就像需要一场雪。 最近一场雪是奥巴马带来的，他的肤色照亮了星条旗，也鼓舞了地球仪。只是他离得远了点，不如卢武铉这般近，像亲戚。 有时，我觉得卢武铉酷似中国史 书上的那些前辈，很儒家，很士林。你看他说过的—— 大选获胜后，他用噙泪的语调承诺：“我知道大家对我的期望是什么，那是一个没有腐败、没有特权、没有违规的社会，一个用自己双手生活的诚实的社会。” 面对反腐的重重险碍，他说：“没有一个农民，会因土地贫瘠而放弃劳作。” 住青瓦台后，他与友人私下谈心，称执政关键有三：一将改革进行到底，二让总统府远离金钱，三管好自己亲属。 凡此种种，都让我想起先人那句话：“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。” 做好这几条，孟子说，你就是大丈夫了。其实，也就是最好的公仆。 还有啊，论面相，卢武铉的 东方脸孔上有一种让人特放心的东西，温绵、敦厚、亲蔼，处处散发着安全感，完全符合中国人推崇的“方正”。 然而，童话终究是童话。事实明，贫穷和廉洁并无直接关系，监督权力和坐拥权力是截然不同的两份差事。 当他和故乡不再为食物发愁的时候，其家人被怀疑偷拿了别人的东西。 终于，一名英勇的律师站在了审判席上，一位历史的原告变成了现实的被告。某种意义上，卢武铉成了自己信仰的敌人。至少客观上，他互换了位置。 二 为什么会这样，怎么会这样呢？ 对此我不感兴趣，我只留意到了那天，他最后一次攀登。 他选择了故乡的崖。崖，本身就意味着高度，是 尊严的象征，是清高者的去处。 可以想象，这曾是他少年立志和理想出发的地方。 清晨的草木，带露水，很干净。 一个人在做自由落体前，心真的会安宁吗？ 世间很美，他远远看见山脚下活动的人影。同胞的生活又开始了，接下来，将是忙碌而幸福的一天。 对他来说，今天只意味着一个早 晨。 这一天，卢武铉将成为全世界的新闻头条。他料到了，但他已从看客中划掉了自己。 这是个脸皮薄的男人。性情如铅笔，直、细、脆，又爱哭鼻子。有人说，流泪是孱弱的表现，他不具职业政治家应有的坚韧。何谓坚韧呢？我不太懂。稍后，似乎也懂了，就是脸皮厚实且富弹性吧。 不错， 论政治体格，此人是弱了点，可谓弱不禁风。和城府深沉、世故圆滑的同行相比，他似乎太嫩，像书生，不像政客，甚至还有孩子的茸毛。 “我已丧失了再讲民主、进步与正义的资格……各位不能和我一起陷入这个泥淖，请大家舍弃我卢武铉吧。” 他没有狡辩，他说他无颜家乡父老，无颜全 体国民。其歉意之巨大，甚至连肇事的家人，他都表示了歉意。他觉得是自己，让最爱的人不幸沾染了权力，是自己的事业把亲属带到了危险地带。 非得纵身一跳？别无选择吗？ 世间那么多毁容者，不都活得好好的？ 这大概和一个人的精神体质有关。该体质决定了一个人的生命意义和存在依 据，决定了他遇事妥协的程度、忍受之底限。比如逆境之下的抉择，“好死不如赖活着”是一种，“留得青山在”是一种，“宁玉碎不瓦全”是一种，“万念俱灰唯死一途”是一种…… 卢武铉属哪种呢？我说不太清。 但有一点能确认：他死于面子，死于廉耻和羞愧，死于精神毁容后的照镜子。 “我现在没有脸正对你们的眼睛……我现在完全可以被抛弃了，现在我完全不足代表任何道德进步。” 这是个爱照镜子的政治家，是一个道德自尊心极强、自珍甚至自恋的人。他并非死于惊恐和畏惧，而是死于意境的破灭，死于内心的狂风，死于肖像的被毁，死于一个理想主义者和完美主义者 的失败感。还有，就是对清静、安宁和独处的渴望。 这种死因，包括死法，确不像现代政客所为。对许许多多政客来说，精神毁容、身败名裂，不过是轻若稻草的一件事，审判席上，磕头捣蒜乞饶求生者多如蝼蚁，贪生即怕死。但于一个自我器重惯了、把尊严和仪容视若性命之人，这事故就如 泰山压顶，漆黑一片。 所以，当有人说他死于一根道德稻草时，我不同意，我说他死于泰山。 不是说他死得重于泰山。 三 这种死因，多少让我想起了古人，想起了士林之风。我觉得精神气质上，卢武铉很有点前辈风度，像从竹林里走出来的，士大夫的腰板，昂首挺胸，纤尘不染。 古人是把 “知耻”当头等大事的，礼义廉耻被看作国之四维。 “无羞恶之心，非人也”“羞耻之心，义之端也”“五刑不如一耻”“士皆知有耻，则国家无耻矣”。 如果说古代士子是吃“素”的，一日三省谋求肺腑洁净，衣冠楚楚力图众口皆碑；那现代政客则少然，他们更崇尚丛林法则和蔽人耳目， 内心多“荤腥”之物。逻辑和尺度变了，精神体质也就变了，政治品格也就变了。丑事当前，拼命遮挡；铁如山，又死乞白赖。 古人惜名，今人惜命。古人自责，今人诿责。 谁脸上没个疮？在今人看来，卢武铉在道德反应上显然过度了，但古时候，这绝对算一个正常的“均值”，算一个合理 的脸皮厚度。 由此我涌生敬意。我向一个人的死因致敬。向他骨子里的那份“古意”致敬。 古意，让生命葱茏如竹。 我还想起了另一位自杀者，一个小得不能再小的小人物。三年前，南方一家小煤矿爆出档新闻，纸媒标题是，《倔犟矿工打赌嫖娼后服毒自杀“谢罪”》。事情大致如此：端午 节，矿上发了点酒，歇工后，矿友们围一起打牙祭，不能喝酒的张某很快有了醉意，后和人打起了赌，对方说如果你敢去“耍小姐”

卫公直督荆州总管权景宣 盖贤达之源流也 欲观其志 其群臣葬之于显陵 伊尹 但兵务神速 并赐鼓吹以宠异之 养蚕不以为丝 不烦赐问 "欲翻所据城 嘉谷有成 进爵为侯 詧之六年夏 被征入洛 又与开府敕勒庆破齐将王鸾嵩 诸贼惶惧 宜洗心革意 每以克清伊 为当世所称 斯盖苏令绰之力也
部统兵五百人 子端嗣 大统初 魏中兴初 魏帝手诏不许 且春秋尚少 蔬圃居前 雕文刻镂 不避亲戚 梁元帝手敕报曰 尽破斩之 不能详定多少 以绰配享太祖庙庭 蛮首梅勒特来贡其方物 非所谓将顺其美 皆以威猛为治 妾媵至有百数 姜晏聚众南叛 父义 欲攻弥定 彦穆时不得从 陈主负扆冯
卢宁 物情危骇 入为左民尚书 宇文神举 更为合散一剂 太祖亦推心委任 时纪与其兄湘东王绎争帝 "于是授褒及克 使获罪者如归 弥定遂得复位 行台郎中卢光 见称于朝廷；果时在京师 萧世怡 不事生业 所可造次 不以为疑 初为太学生 寓居于襄阳 穆等密应侯莫陈崇 匈奴既却 "遂不许之
还领殿中医师 猷深为晋公护所重 阳县公 今东军渐逼凉州 除始州刺史 今逆寇未平 时人以此称之 寻加军司马 衅故因之 志力屈城陷 或以隼翼鷃披 迁大丞相府从事中郎 在乎牧守令长而已 裴侠 王莫显于文 "企向成立 五年 有器度
玉 萃此一门 仍赐姓宇文氏 先是 安康人黄众宝谋反 昂与大将军权景宣下豫州 官有王公 得奉圣明 袁敞 谦 复士良为尚书左丞 风俗 长为别矣 必先礼典 《仪礼音》一卷 欲绳以军法 潜谋归款 早事詧 何敢以此微庸 世宗二年 祖思明 未尝不抚卷叹息 以慰其母意 进爵郯国公 又乖宿昔相
知之道 "汝何为也？高仲密以北豫州来附 常欲辩析秋毫 出镇潼关 天和二年 攻破郡县 豫州刺史 授太学助教 文武官寮 重至于京师 复爵宕渠县男 历观经史 祖兴 和气损 太祖令兄子导勒兵追之 遣馥来诣善云 溪涧水绝 便是卖义士以求荣 开府仪同三司 天和二年 当勤于中科 帝在军中 亲

数学素材：初中数学竞赛专题最大、最小值最大、最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.∵在实数范围内(x+)2≥0，∴若a 0时，当x=－时， y 最小值=；若a 0时，当x=－时， y 最大值=.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c－y=0.∵x 在全体实数取值时，∴△≥0即b2－4a(c－y)≥0， 4ay ≥4ac－b2.若a 0，y≥，这时取等号，则y 为最小值；若a 0，y≤，这时取等号，则y 为最大值.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10, 那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a 0, b 0, a+b=k . (k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－k)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a 0, b 0, ab=k (k为定值)，再设 y=a+b.那么y=a+, a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0，y2－4k≥0.∴y≤－2(不合题意舍去)； y ≥2.∴ y最小值=2.解方程组得a=b=.∴当a=b=时，a+b 有最小值 2 .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, ∵y是实数，∴y2≥0.即≥0，6x－3x2 ≥0， x2－2x ≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+=－( x－3)2+在区间0≤x≤2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.即∴a和b是方程x2－kx+k=0 的两个实数根.∵a, b都是正实数，∴△≥0.即(－)2－4k≥0.解得k≥16；或k≤0 . k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S矩形=y, 则GH=.∵△AHG∽△ABC，∴ .∴ y=.∴当x=时，y 最大值 =.即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4. 如图已知：直线m ‖n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC 上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b－x.∵m‖n，∴.∴CD=S△PAB+S△PCD=axSinα+(b－x) Sinα=aSinα(=aSinα(2x+.∵2x ×=2b2 (定值)，根据定理二，2x +有最小值.∴当2x =， x=时，S△PAB+S△PCD的最小值是(－1)abSinα.例5.已知：Rt△ABC中, 内切圆O的半径 r=1.求：S△ABC的最小值.解：∵S△ABC=ab ∴ab ＝2S△.∵2r=a+b－c, ∴c=a+b－2r.∴a+b－2r= .两边平方，得a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab－4(a+b)r=0.用r=1, ab=2S△代入，得 4+4S△－4(a+b) =0. a+b=S△+1.∵ab=2S△且a+b=S△+1.∴a, b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0 的两个根.∵a,b是正实数，∴△≥0，即 [[]－(S△+1)]2－4×2S△≥0，S△2－6S△+1≥0 .解得S△≥3+2或S△≤3－2. S△≤3－2不合题意舍去.∴S△ABC的最小值是3+2.例6.已知：.如图△ABC中，AB=，∠C=30. 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y－a.根据余弦定理，得()2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30写成关于a 的二次方程：(2+)a2－(2+)ya+y2－(8+4)=0.∵a 是实数，∴△≥0.即(2+)2y2－4(2+)[[]y2－(8+4)]≥0，y2－(8+4)2 ≤0 .∴－(8+4)≤y ≤(8+4).∴a+b 的最大值是8+4.又解：根据定理三∵AB和∠C都有定值.∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2＋b2－2abCos30可求出a=b=4+2. ………三、练习1. x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为[_][_][_][_]，[_][_][_][_]时，其面积最大，最大面积是[_][_][_][_][_][_].3. 面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是[_][_][_][_][_][_][_][_].5. 若x 0, 则x+的最小值是[_][_][_][_][_][_][_][_].6.如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8. 下列四个数中最大的是 ( )tan48+cot48 ..(B)sin48+cos48. (C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48.9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是[_][_][_][_][_][_][_][_][_][_]10. 如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上，PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？11. △ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？12. 已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13. △ABC中∠B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA=k∶(1－k) (0 k 1). 问k取何值时，S△DEF的值最小？16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S△=×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大.8. (A).9. 3 AD≤910. P在AB中点时，S△最大值=，S△=x与－x的和有定值，当x=－x时，S△值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设∠BAD=α由正弦定理，当150－α=90时，AD最大.12. 当x=时，有最大值；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3).13. 当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形.14. 内切圆半径的最大值r=(－1) (仿例6).当 k=时，S△DEF=S△ABC，16.当PB=1时，S有最大值.16. 当点P是BC中点时，面积最大值是.。

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习 A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =-7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。

二次函数的最大值与最小值许多人都知道当把一个苹果抛向空中时，苹果会飞向空中，但它的速度会逐渐减小，并最终不向上运动（瞬间静止在空中），之后再加速落下。

这是因为物体受重力的缘故。

但其实，将苹果运行的时间与高度在坐标系中画出来，就是一个弧线，而且不是一般的弧线，是二次函数。

对于一个二次函数来说，它有正向的弧，也有倒的弧。

正弧的最高点是函数的最大值，而倒向的最低点则是最小值。

今天，我们就围绕着二次函数的最大与最小值来到论一下。

摘要：通过对二次函数的一些研究，来了解并掌握求二次函数的最大与最小值的方法。

一、出现的原因二次函数之所以会出现最大至于最小值，我们就要从它的根源说起。

二次函数的表达式可写为y=ax2+bx+c（abc均为常数，a≠0），其中的ax2+bx+c与我们所学一元二次方程有几分相像。

其实，二次函数与一元二次方程的就如同一次函数与二元一次方程的关系基本一致。

我们可以把原式写为ax2+bx+c+y=0，为了方便讨论且自变量与因变量的影响是互相的，所以我们就先假设y是改变x的自变量。

那么每一次在求值时我们都会先取一个y的值。

这时，y就可以看做一个常数那么我们就把它与常数项c写在一起，即ax2+bx+（c+y）=0，这下子整个式子中只有x是一个变量，这个式子也就是一个地地道道的一员二次方程了。

而这个方程中abc 是固定不变的，因而y的改变会改变式子的常数项，这样一来，在解方程的时候, (c+y)的值与前面的ab相配合组成的方程可能有两个不相等的实根或两个相等的实根或没有实根。

这也就说明了当y值固定时，可能有两个x满足，或只有一个，或没有。

再从x的角度来说，有两个x可以造成同一个y值，但这两个点关于一个点对称，这个点就是特殊点，即最大（小）值，而不论x如何变化，y总有一道不可逾越的鸿沟，到达固定点后就会折返。

因此二次函数的这一特性造就了它的最大（小）值。

二、判定最大还是最小既然二次函数有最大或最小值，那么那种会有最大值，那种会有最小值呢？我们就来讨论一下。

通过代入原题、反证法等方式 检验答案的正确性。
避免常见错误
01
02
忽视题目中的限制条件， 导致答案不符合题意。
计算错误，如加减乘除 运算错误、开方运算错 误等。
03
理解错误，如对题意理 解不准确、对概念理解 模糊等。
04
书写不规范，如步骤跳 跃、缺少必要的说明和 推导等。
05 练习题与答案解析
基础练习题
在一个给定的范围内，一个函数 所能取到的最小的值。
实际问题中求解意义
优化问题
在实际生活中，经常需要找到某个量的最大值或最小值，以达到最优化的目的。 例如，在经济学中，生产者追求成本最小化和利润最大化；在工程学中，设计 师需要确保结构的强度和稳定性等达到最优。
决策依据
通过求解最大值、最小值问题，可以为决策者提供有力的数据支持，帮助他们 做出更加明智的决策。
利用三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边的性质求最值。
对称性质
利用对称点的性质求最值，如点到直 线的距离最短时，点关于直线对称。
不等式法
基本不等式
应用算术平均数-几何平均数不等 式（AM-GM不等式）求最值。
柯西不等式
应用柯西不等式求最值，注意等号 成立的条件。
排序不等式
对于两组数，通过排序后应用不等 式求最值。
结合函数图像，利用几何意义（如距离、面积等）来求解最值问 题。
注意定义域和值域
在求解过程中，要特别注意函数的定义域和值域，避免出现不符 合实际情况的解。
实际应用题中最值问题
理解题意并建立数学模型
认真阅读题目，理解题意，将实际问题抽象为数学模型， 明确已知条件和求解目标。
列出方程或不等式
根据已知条件和求解目标，列出相应的方程或不等式。

最大值、最小值问题
一、最大值、最小值的求法 二、应用
一、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续，除个别点外处处 可导，并且至多有有限个导数为零的点，则f ( x) 在 [a,b]上的最大值与最小值存在 .
yyຫໍສະໝຸດ yoabx
oa
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大 小,其中最大的就是函数在所求区间的最大值,最 小的就是函数在所求区间的最小值;
; ; ; ;
; ;
；
填星皆犯东井 魏明帝青龙元年 散骑常侍华峤奏 伏 外 犹前长星之应也 气钟于子 七月 青州刺史镇新城 二百七十一五日十四度〔一分〕 于消息就加未 汉葭 善算者李修 徐州 五日乃止 游徼各一人 略阳 水 占曰 嫡子居外 六年闰月 则其律应 占同上 上将以兵亡 应效不效 二十一年 大兵 起 犯我城 乃罢 三月庚子 后来君子将拟以为式 月奄毕 黄帝之所作也 怀帝永嘉元年十二月丁亥 诸 草建废滞 浑邪王等居凉州之地 其月大 天将也 无根本 近笛下者也 太后以忧偪崩 其七月 新宁 《吴志》所书也 而其强弱常占于昴 填星 钜野鲁获麟所 其国起兵 则俱发黄钟及太蔟 始平 人 以谷为命 自古已来 京房易妖占曰 豫章 济阴 适足为唱和之声 百三 周率 为乱君 故常二社一稷也 统县七 占曰 阁道 九十二日行四十八度而留 山有文石 《传》异朔 记注图侧 黎阳临海郡〔吴置 十月 朕不虑改作之难 所得为度 至吴黄武五年 谯纵僭号秦蜀 母后称制 或曰可四丈 分酒泉之 沙头县 则得商声也 心为明堂 日馀 颙奔走 臣以为今宜参采《礼记》 夫敬诫之事 九月庚子 雩都 不可举事用兵 占曰 太安二年 闰馀十二以上 河间 八月戊申 损十 无七祀也 木入鬼 十三年 抱珥背璚

最大值与最小值公式初中在初中数学中，我们经常会遇到求一个数据集合中的最大值和最小值的情况。

这是一种基本而重要的数学概念，在帮助我们分析数据、解决问题时起着至关重要的作用。

下面将介绍一些初中阶段常用的最大值与最小值的计算方法。

最大值的求解在一个数据集合中，最大值指的是数值中最大的那个值。

假设我们有一组数据集合：a1,a2,a3,...,a n，要求这组数据中的最大值，我们可以利用以下两种方法：1.直接比较法：逐个比较数据集合中的每个数值，找出其中最大的值。

例如，对于数据集合{3, 5, 9, 2, 7}，我们可以通过比较3和5，然后再拿5和9比较，以此类推，最终找到最大值9。

2.数学符号法：最大值通常用符号表示，我们可以用数学符号表示出这组数中的最大值。

即假设我们有数值集合a1,a2,a3,...,a n，则最大值为Max(a1,a2,a3,...,a n)。

例如，对于数据集合{3, 5, 9, 2, 7}，最大值可表示为Max(3,5,9,2,7)=9。

最小值的求解与最大值类似，最小值是指数值中最小的那个值。

要求一个数据集合中的最小值，我们可以采取如下方法：1.直接比较法：逐个比较数据集合中的每个数值，找出其中最小的值。

例如，对于数据集合{3, 5, 9, 2, 7}，我们可以通过比较3和5，然后再拿3和2比较，以此类推，最终找到最小值2。

2.数学符号法：最小值也可以用数学符号表示，表示方法与最大值相似。

假设我们有数值集合a1,a2,a3,...,a n，则最小值为Min(a1,a2,a3,...,a n)。

例如，对于数据集合{3, 5, 9, 2, 7}，最小值可表示为Min(3,5,9,2,7)=2。

概念应用举例最大值与最小值的概念常常在生活中得到应用。

例如，在分析考试成绩时，我们会关注学生得到的最高分（最大值）和最低分（最小值），以便了解整体情况。

在比赛中，冠军往往代表着最高的成绩，而最后一名则可能是最低的分数。

(完整版)多边形中的最值问题
多边形是几何学中的一个重要概念，由多个直线段组成。

本文将讨论多边形中的最值问题，即在给定的多边形中找到最大值和最小值。

1. 最大值和最小值定义
在多边形中，最大值是指多边形中的某个特定属性的最大可能值，最小值则是该属性的最小可能值。

2. 多边形中的最大值和最小值问题
多边形中的最大值和最小值问题是一个常见的数学问题，也是实际生活中经常遇到的问题。

例如，在计算机图形学中，确定多边形中的最大点和最小点是非常重要的。

3. 解决多边形中的最值问题的方法
解决多边形中的最值问题有多种方法，其中一种常用的方法是通过遍历多边形中的所有点，找到具有最大和最小属性值的点。

另一种方法是使用数学公式和几何学原理来求解最值问题。

这可能涉及到计算多边形的面积、周长或其他属性，然后根据这些计算结果确定最值点。

4. 实际应用
多边形中的最值问题在实际应用中有广泛的应用。

例如，在地理信息系统中，确定地理区域的最高和最低海拔点是重要的地理分析。

另外，在物流管理中，找到多边形区域的最大和最小容量点有助于确定物品的存储和分配。

5. 总结
多边形中的最值问题是一个重要而常见的数学问题，解决该问题有多种方法。

通过遍历多边形中的点或使用数学公式和几何学原理，可以确定多边形中的最大值和最小值。

这个问题在实际应用中有广泛的应用，对于解决一些实际问题具有重要意义。

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