河北省唐山一中2019届高三下学期(4月)冲刺考试数学理试题Word版含答案

唐山一中2019届高三冲刺卷（四）数学理科试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

卷I （选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1. 不等式011>-x成立的充分不必要条件是( ) A. 1>x B. 1->x C.1-<x 或10<<x D. 10x -<≤或1>x 2. 已知数列{a n }中，11a =，2112a =+，31123a =++，411234a =+++，，11234n a n =+++++，，则数列{a n }的前n 项和S n =（ ）A ． 1n n +B ．1n n + C. 221n n + D ．21n n +3. 若函数()lg(f x x mx =为偶函数，则m =（ ） A.-1B. 1C.-1或1D. 0 4. 若复数z 满足=1z ，则34i z --的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45. 已知点D 是ABC ∆所在平面内一点，且满足4AD DB =-，若(,)CD xCA yCB x y R =+∈，则x y -=（ ）A. 43-B.1C. 53-D. 536.已知sin 32πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）B. C. 12 D. -127.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 10sin ac B C =，7a b +=，且cos2C =，c =（ ） A ．4 B ．5 C. D ．7 8. 如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ,那么空白框中的语句及最后输出的n 值分别是（ ）A. n =n +1和6B. n =n +2和6C. n =n +1和8D. n =n +2和89. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（ ）A ．83π B ．163πC ．483πD ．643π10.双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x E 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作一条直线与两条渐近线分别相交于A ，B 两点，若F F 112=，OB F F 221=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．311. 抛物线)0(2:2>=p px y E 的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线E 上的两个动点，且满足32π=∠AFB ．过弦AB 的中点M 作抛物线E 准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN 的最大值为( ) A ．33 B ．1 C ．332 D ．212. 已知函数()3,21e ,20x x a x xf x a x x ⎧--≤-⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．221,3e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,e 3⎛⎫-- ⎪⎝⎭卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知52501253.......a a x a x a x =++++（x-1），则135a a a ++=14. 设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩，则2z x y =-的取值范围为 .15.已知函数()(2)xf x e x a =+的极小值点为12x =-，则()f x 的图像上的点到直线30x y --=的最短距离为 .16. 如图,点P 是正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1外的一点,过点P 作直线l ,记直线l 与直线AC 1，BC 的夹角分别为1θ，2θ，若1sin(50)θ-︒21cos(140)=2θ=︒-，则满足条件的直线l 有条。

2019届河北省唐山市第一中学高三下学期冲刺(一)数学(理)试题(解析版)2019届河北省唐山市第一中学高三下学期冲刺（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】求解一元二次不等式化简集合A，求值域化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】∵，＝，∴．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法及函数的值域问题，是基础题．2．已知，则在，，，中最大值是简为2i，然后求出z代入，利用二项式定理求出展开式的第7项．【详解】∵，所以（1+z）9＝（1+i）9展开式的第7项是：C9613i6＝﹣84故选A.【点睛】本题考查复数的基本概念，二项式定理，考查计算能力，是基础题．4．设为区间]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意知函数y是分段函数，写出函数解析式，计算y ∈[，3]时x 的取值范围，利用几何概型求对应的概率． 【详解】根据题意知，当x ∈[﹣2，0]时，y ＝2x∈[，1]；当x ∈（0，2]时，y ＝2x +1∈（1，5]； 所以当y ∈[，3]时，x ∈[﹣1，1]，其区间长度为2， 所求的概率为P ．故选：C ． 【点睛】本题考查了程序语言应用问题，也考查了函数与几何概型的概率计算问题，是中档题． 5．在正项等比数列{}na 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2016201820152017a a aa --的值为（ ）A ．3或-1B ．9或1C ．3D ．9 【答案】C【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵13213,,22a a a 成等差数列， ∴a 3=2a 2+3a 1，化为211123a qa q a =+，即q 2﹣2q ﹣3=0，解得q=3． 则2016201820152017a a a a --=()()220162201511a q a q --=q=3， 故选：C ．6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种 【答案】B【解析】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)． 7．过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】根据题意，分析圆的圆心与半径，设直线l 的斜率为k ，写出直线l 的方程，由等边三角形的性质分析可得圆心到直线l 的距离d，则有，解可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆即（x﹣1）2+y2＝4，圆心为（1，0），半径r＝2，设正的高为h，由题意知为正的中心，∴M到直线l的距离d h，又, 即,∴由垂径定理可得：，可得，∴由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k-1＝0，则有，解可得：k＝或0（舍）故选：D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查了一定的逻辑推理能力，属于中档题．8．已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为,是线段的中点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由中线向量定理得到=，=，再将，，都用基底表示，利用向量相等，求得关系.【详解】∵是线段的中点，∴==；∵是线段的中点，∴=；又=；令，则-=（，∴，，解得，，∴，故选C.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了中线向量定理、向量相等的概念及应用，属于中档题.9．设函数满足,当时，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足，当时，，所以，故选A．【考点】抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，本题的解答中函数满足，当时，，利用三角函数的诱导公式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10．已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐近线的对称点P满足∠OPF2＝∠POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】先利用对称求出点P的坐标，结合∠OPF2＝∠POF2可知，利用两点间距离公式可求得离心率.【详解】设是关于渐近线的对称点，则有；解得；因为∠OPF2＝∠POF2，所以，；化简可得，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求之间的关系式.11．三棱锥各顶点均在球上，为该球的直径，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由体积公式求出三棱锥的高，可得到平面，由正弦定理可得三角形的外接圆的半径，由勾股定理可得球半径，从而可得结果.【详解】如图，，三棱锥的体积为，所以，解得三棱锥的高为，设为三角形的外接圆的圆心，连接，则平面，因为为该球的直径，所以，连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为，由勾股定理可得球半径球的表面积为，故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 12．锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，连接，延长交于，由于为重心，故为中点，∵，，∴，由重心的性质得，，即，由余弦定理得，，，∵，，∴，则又因为为锐角三角形，则应该满足将代入可得则，由对勾函数性质可得的取值范围为，故选B.二、填空题13．边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于，将这个结论推广到空间是：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于______.【答案】【解析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比，根据已知“正三角形内任意一点到三边距离之和是个定值且为等边三角形的高”，直接推断出空间几何中关于面的性质：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于正四面体的高．【详解】解：边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，由此可以推测棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到．方法如下，如图，在棱长为a的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4．四面体A﹣BCD的四个面的面积相等，均为，高为．由体积相等得：．所以．故答案为．【点睛】本题是基础题，考查类比推理及正四面体的结构特征，考查空间想象能力，计算能力．14．的值等于 .【答案】【解析】试题分析：,其中表示半径为的圆的面积的,,,因此原式等于,故填.【考点】定积分的计算.15．已知满足，且目标函数的最大值为7，最小值为4，则_________. 【答案】【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．【详解】画出可行域如图：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则2．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．16．已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若,则直线与圆相交所得最短弦的长度为___________.【答案】4【解析】求出A，B坐标，计算，即y 1y2＝﹣4．联立直线与抛物线，根据根与系数的关系可得直线过定点，再根据平面几何知识可得PE时弦最短．利用垂径定理求解即可. 【详解】由题意可知，＝2，＝﹣2，∴•＝﹣4，设，则，∴y1y2＝﹣4．又直线，联立方程组消去x得：y2﹣4ty﹣4n＝0，则y1y2＝﹣4n，y1+y2＝4t，∵y 1y2＝﹣4，∴n＝1．即直线过点E（1，0）．又圆的圆心P（2，-2），半径r=3，∴当弦最短时，PE,弦长=2=4,故答案为:4.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了直线过定点问题的判断，考查了圆中弦长问题，属于中档题．三、解答题17．已知数列满足，，．（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；（2）数列的前项和为,求证:对任意，.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】（1）把已知等式的两边同时除以，然后再依据问题构造一个等比数列，可得到证明并能求；（2）将各项进行放缩后得到一个等比数列，可求和，进而得到证明的问题.【详解】（1）由有数列是首项为，公比为的等比数列.（2），，==【点睛】本题考查了数列的递推式、等比数列的证明、通项公式及求和公式，考查了由递推式构造新数列的方法，考查了放缩的技巧，属于中档题．18．如图，在三棱锥中，底面，，为的中点．（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）由余弦定理求出BC，因为为的中点，得BD＝CD，因为，平方求出AD，利用勾股定理得AB⊥AD，结合PA⊥AD，得AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB得证．（2）分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PA＝a，求出平面PBC的法向量，平面PAB的法向量，利用＝向量法求出a，然后求解V P﹣ABC×PA即可．×S△ABC【详解】（1）在中，由余弦定理得，则．因为为的中点，则．因为，则，所以．因为，则．因为底面，则，所以平面，从而．（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则点，，，所以，．设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以．因为为平面的法向量，则，即．所以，解得，所以．所以．【点睛】本题考查了利用向量法求二面角的平面角，也考查了三棱锥的体积，线面垂直的判定定理，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．19．某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试.①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；②根据直方图试估计这100名学生成绩的平均分．（同一组中的数据用改组区间的中间值代表）【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，根据所给的频率分布直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率．（2）①先求得试验发生包含的事件数是，再求得满足条件的事件数是，根据等可能事件的概率公式，得到结果．②由频率分布直方图的平均数公式直接计算即可.【详解】（1）第3组的频率为；第4组的频率为；第5组的频率为 .（2）按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人.①第3组共有，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件，学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率为.②. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．20．已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点在直线上且不在轴上，直线与椭圆的交点分别为和，为坐标原点. （1）设直线的斜率为，证明：；（2）问直线上是否存在点，使得直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设出P的坐标，表示出斜率，化简可得结论；（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，求出斜率，利用k OA+k OB+k OC+k OD＝0，即可得到结论．【详解】因为椭圆方程为，所以F1（﹣1，0）、F2（1，0）设P（x0，2﹣x0），则，，所以（2）记A、B、C、D坐标分别为（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．设直线PF1：x＝m1y﹣1，PF2：x＝m2y+1联立可得，代入，可得同理，联立PF2和椭圆方程，可得由及m1﹣3m2＝2（由（1）得）可解得，或，所以直线方程为或，所以点P的坐标为（0，2）或【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆位置关系，考查化简计算能力，属于中档题．21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）求证：当时，.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）若a≤0，则f（1）＝﹣a+1＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＞0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减．由此求出函数的最大值，由最大值小于等于0可得实数a的取值范围．（3）由（2）可知，当a＝1时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣x+1≤0．得到﹣xlnx≥﹣x2+x，则e x﹣xlnx+x﹣1≥e x﹣x2+2x﹣1．然后利用导数证明e x﹣x2+2x﹣1＞0（x＞0），即可说明e x﹣xlnx+x＞0．【详解】（1）∵函数f（x）＝（a∈R ）．∴，x＞0，当a＝0时，f′（x）0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x，令f′（x）＜0，解得：x，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．（2）当时，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a<0，由（1）可知，函数f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．∴，又f（x）≤0恒成立，∴f（x）max≤0，即0，令g(a)=,则g(a)单调递增，g(-1)=1，g(-2)=<0，∴a时，g(a) <0恒成立，此时f（x）≤0恒成立，∴整数的最大值-2．（3）由（2）可知，当a＝-2时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣2x2+1≤0．即x lnx﹣2x3+x≤0，恒成立，①又e x﹣x2+2x﹣1+（）∴只需证e x﹣x2+2x﹣1，记g（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），则g′（x）＝e x﹣2x+2，记h（x）＝e x﹣2x+2，则h′（x）＝e x﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0．∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增．∴4﹣2ln2＞0．∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∴g（x）＞g（0）＝e0﹣1＝0，即e x﹣x2+2x ﹣1＞0．结合①∴e x﹣x2+2x﹣1+（）＞0，即＞0成立．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23．已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】（Ⅰ）分x﹣2，﹣2≤x≤2，x2三种情况求解；（Ⅱ）若函数有三个零点，只需与有三个交点即可.【详解】解：（Ⅰ）当时，,,不等式的解集为.（Ⅱ）若函数有三个零点，只需与有三个交点即可，只需的两个分段点位于的两侧即可.,.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题．。

启用前★绝密2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。

不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数，，那么集合中元素)(x f y =[]b a x ,∈[]{}{},(),,(,)2x y y f x x a b x y x =∈= （）的个数为 （ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或22.已知x ∈C ，若关于x 实系数一元二次方程（a ，b ，c ∈R，a ≠0）有一根为20ax bx c ++=1＋i ．则该方程的另一根为 （ ）A ．－1＋i B ．1－i C ．－1－i D ．13．设，则M ，N 大小关系是（ ）)(),161(log );32(,21221R x x N a a a M ∈+=<<-+=A ． M ＞N B ． M =N C ．M ＜N D ． 不能确定4.设向量，，若是实数，且，则的最)25sin ,25(cos=a )20cos ,20(sin =b t b t a u +=u 小值为 （ ）A ．B ．1CD ．2125.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是( ).A ．正方形 B ．矩形 C ． 梯形 D ．菱形6.设函数是二次函数，若的值域是[0，＋∞)，则的值域⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(2x x x x x f )(x g ))((x g f )(x g 是 ( ). A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．[1，＋∞)7.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( ).x A.S =S + n x B.S =S +nx nC.S =S + nD.S =S +10n x 8.函数的图象关于对称，则是（ ）)0(cos sin )(≠-=a x b x a x f 4x π=3()4y f x π=-A ．图象关于点对称的函数 B ．图象关于点对称的函数），（0π302π（，）C ．图象关于点对称的函数 D ．图象关于点对称的函数）（02π），（04π9. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）1-D.1610.f （x ）是集合A 到集合B 的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n∈N *，则f （x ）为单调递增函数的个数是（ ）A ．B ．n 2nC ．（2n ）nD ．11.已知函数，若有且仅有一个整数k ，使得，则实数a 的取值范围是 ()ln 2x axf x x-=()1f k >( )A. (1,3]B. C. D.1111ln 2,ln 34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭11ln 21,ln 3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦12..设点P 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，F 1，F 2分别是其左右焦点，22221(0)x y a b a b+=>>O 为中心，，则此椭圆的离心率为 （ ）2212||||||3PF PF OP b +=A ． BD ．12二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 若实数x ，y 满足约束条件则z ＝ln y －ln x 的最小值是________．41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩14． 展开式中的系数为 ．210(2018)()x y x y +-56x y 15.如图，已知正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为线段A 1B 1的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E﹣FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ．16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，，BD 平分交AC 于点2ABC=3π∠ABC ∠D ，BD=2，则△ABC 面积的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分。

【题文】如图，在锥体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60，PA PD ==PB =2，E ，F 分别是BC ,PC 的中点．（Ⅰ）证明：AD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）求二面角P -AD -B 的余弦值．【答案】【解析】法一：（Ⅰ）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD ．因P A =PD ，有P G A D ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥又PB //EF ，得A D E F ⊥，而DE //GB 得AD ⊥DE ，又F E D E E ⋂=，所以AD ⊥平面DEF 。

(5)（Ⅱ）,PG AD BG AD ⊥⊥，PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，在2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=中， 在3sin 60Rt ABG BG AB ∆⋅中,==，222734cos27PG BG PBPGBPG BG+-+-∴∠===-⋅ (12)法二：（Ⅰ）取AD中点为G，因为,.PA PD PG AD=⊥又,60,AB AD DAB ABD=∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD⊥，从而AD⊥平面PBG．延长BG到O且使得PO⊥OB，又PO⊂平面PBG，PO⊥AD，,AD OB G⋂=所以PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为x轴，z轴，平行于AD的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．设11(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).22P m G n A n D n-则||||sin60GB AB=︒=11(,0,0),((,0),(,).22222422n mB nC n E n F∴++++由于3(0,1,0),(,0,0),(,0,)2242n mAD DE FE===+-得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E⋅=⋅=⊥⊥⋂=AD∴⊥平面DEF．（Ⅱ）1(,,),()2PA n m PB n m =--=+-22,1,2m m n ====解之得 取平面ABD 的法向量1(0,0,1),n =-设平面P AD 的法向量2(,,)n a b c =由2230,0,0,0,22b b PA n ac PD n c ⋅=--=⋅=+-=得由取2(1,0,2n = 12cos ,7n n -∴<>==- 12分 【标题】河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（四）数学（理）试题【结束】。

唐山一中2019届高三冲刺卷（一）数学文科试卷注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

卷I （选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合2{|210}A x x x =-+>，212B y y x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ）A ．1[,)2+∞B ．(1,+∞)C ．1[,1)2D ．1[,1)(1,)2+∞2. 已知10<<<a b ，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是 （ ） A.a bB.a aC.b aD.b b3.已知复数2i2i 5a z -=+-的实部与虚部和为2，则实数a 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34. 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x ，y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（ ） A.227 B. 4715 C.5116 D. 53175.在正项等比数列{}n a 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2016201820152017a a a a--的值为（ ）A. 3或 1-B. 9或 1C. 3D. 96.已知锐角α满足π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1225 B ．1225± C ．2425D ．2425±7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.376+ B.310+ C.312+ D.128.过点(1,1)P --且不垂直于y 轴的直线l 与圆22:230M x y x +--=交于,A B 两点，点C 在圆M 上，若ABC ∆是正三角形，则直线l 的斜率是 （ ）A. 34B. 32C. 23D. 439. 在△ABC 中，,AB a AC b ==， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN =( )A ．1233a b +,B ．1132a b +C ．1124a b +D ．1142a b +10.设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+. 且当0x π≤<时，()0f x =，则23()6f π=（ ）A. 12B. 2C. 0D. 12-11. 已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若点F 1关于双曲线渐近线的对称点P 满足∠OPF 2＝∠POF 2（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为 （ ）A B ．2 C D 12.若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数x xx a x g -=2cos 2sin 2)(的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ( )A.(,[2,)-∞+∞ B．1⎡-⎢⎣⎦C ．12122⎛⎡⎤--∞+∞ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦，，D ．112⎤⎥⎣⎦， 卷Ⅱ(非选择题共90分)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于；将这个结论推广到空间是：棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和等于 _________ .（具体数值）14. 已知实数x ，y 满足约束条件10,220,2,x y x y y -+≥-+≤⎧⎪⎩≤⎪⎨则2z x y =+的最大值为__________．15.已知向量a 与b 的夹角是3π，||1a =，1||2b =，则向量2a b-与a 的夹角为 ．16. 如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为 . 三．解答题：本大题共6小题，共70分.17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c , 且c a >, 若)sin(2tan C B b B a +=. （1）求角B 的大小；（2）若7=b , 且△ABC 的面积为433, 求sin A 的值. 18. 如图，四边形ABCD 为菱形，ACEF 为平行四边形，且平面ACEF ⊥平面ABCD ，设BD 与AC 相交于点G，H 为FG 的中点. （Ⅰ）证明：BD ⊥CH ； （Ⅱ）若AB =BD =2，AECH =2，求三棱锥F -BDC 的体积.19.(本小题满分12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所示．（Ⅰ）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率． 20.（本题满分12分）如图，P 是抛物线上位于第四象限点，直线,,PA PB PC 分别与抛物线24y x =交于点,,A B C ，与x 轴的正半轴分别交于点,,L M N ，且LM MN =，直线PB 的方程为240x y --=．（Ⅰ）设直线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，求证：1212k k k k +=；（Ⅱ）求PABPBCS S ∆∆的取值范围．21.(本题满分12分）已知x n x mx f ln 1)(++=（m ，n 为常数），在1x =处的切线方程为20x y +-=．（Ⅰ）求)f x （的解析式并写出定义域； （Ⅱ）若1,1x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得对1,22t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦上恒有32)22f x t t at ≥--+（成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若)(12)()(R a x ax x f x g ∈+--=有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>. 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），直线l 的方程为y kx =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）曲线C 和直线l 交于,A B两点，若OA OB +=求k 的值. 23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数m x x x f +--+=22)( ).(R m ∈ （Ⅰ）若m =1，求不等式0)(≥x f 的解集；（Ⅱ）若函数x x f x g -=)()(有三个零点，求实数m 的取值范围．唐山一中2019届高三冲刺卷（一）数学文科答案一.选择题1-5DCDBC 6-10CCDDA 11-12BA 二．填空题14. 6 15. 3π 16. 6π 三．解答题 17. （1ABC 中，sin(B+C) = sinA , 由正弦定理和已知条件得：sinAtanB = 2sinBsinA , 由于sinA0 , sinB0, 则有：cosB =12, 又0<B< , 所以，B =3π…………………4分（2）由题可知：S ABC=12acsinB = 12ac sin 3π=4, ac=3 ,ABC 中由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2accos3π, 即有：7= a 2+c 2- ac , 整理得： (a+c)2 - 3ac = 7 , 代入得：(a+c)2 =16 ， a + c = 4 ,解方程组⎩⎨⎧=+=43c a ac , 又a>c ，得：a=3,c=1 , 由正弦定理得：A sin 33sin 7=π , sinA =14213………………12分18. （1）证明： 四边形ABCD 为菱形AC BD ⊥∴，………………1分 又Q 面ACFE ⋂面ABCD =ACABCD BD 平面⊂∴………………2分面ABCD ⊥面ACFE C ………………3分ACFE BD 面⊥∴,………………4分Q ACFE CH 面⊂ ………………5分CH BD ⊥∴………………………………6分 （2）在FCG ∆中，GF CH CH CF CG ⊥===,23,3 所以︒=∠120GCF ,………………6分3=GF ………………8分ACFE BD 面⊥ ，ACFE GF 面⊂GF BD ⊥∴,………………9分3322121=⨯⨯=⋅=∆GF BD S BDF ………………………… 又BD CH ⊥∴,GF CH ⊥,G GF BD =⋂∴,BDF GF BD 平面⊂∴,∴CH ⊥平面BDF . . . . . . . . .232333131=⋅⋅=⋅⋅==∆--CH S V V BDF BDF C BDC F ……………………………12分19.解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5=10，所以n =10÷0.1=100，…（1分） 第2组人数100×0.2=20，所以a =20×0.9=18，…（2分） 第3组人数100×0.3=30，所以x =27÷30=0.9，…（3分） 第4组人数100×0.25=25，所以b =25×0.36=9…（4分） 第5组人数100×0.15=15，所以y =3÷15=0.2．…（5分） （Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1， 所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（8分）（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a 1，a 2，第3组的记为b 1，b 2，b 3，第4组的记为c ，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 1，c ），（a 2，b 1）， （a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 2，c ），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 1，c ）， （b 2，b 3），（b 2，c ），（b 3，c ）．…（10分）其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 1，c ），（a 2，b 1）， （a 2，b 2），（a 2，b 3），（a 2，c ）．故所求概率为53159=．…（12分）20.【详解】（Ⅰ）联立，解得，由图象可知，易知，由题意可设，∴（），,, 故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，， 联立，得:，同理，得2,42)t +C((2+t) 设A 点到PB 的距离为，C 点到PB 的距离为，∴，∴ ．因为 ，所以 的取值范围是．21.解：（Ⅰ）由f （x ）=1+x m +nlnx 可得x n x m x f ++-=2')1()(，由条件可得14)1('-=+-=n mf ，把x=-1代入x+y =2可得，y =1， ∴12)1(==m f ，∴m=2，21-=n ，∴x x x f ln 2112)(-+=，x ∈（0，+∞）， （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）在]1,1[e 上单调递减，∴f （x ）在]1,1[e上的最小值为f （1）=1，故只需t 3-t 2-2at +2≤1，即t t t a 122+-≥对任意的]2,21[∈t 上恒成立，令t t t t m 1)(2+-=，易求得m （t ）在]1,21[单调递减，[1，2]上单调递增，而47)21(=m ，25)2(=m ，∴2a ≥m （t ）max=g （2），∴45≥a ，即a 的取值范围为),45[+∞（Ⅲ）∵bx x x g --=ln 21)(，不妨设x 1＞x 2＞0，∴g （x 1）=g （x 2）=0，∴11ln 21bx x =-，22ln 21bx x =-，相加可得，相减可得，由两式易得：21212121ln ln ln x x x x x x x x -+=+；要证221e x x >，即证明2ln ln 21>+x x ，即证：2ln 212121>-+x x x x x x ，需证明2121212ln x x x x x x +->成立，令t x x =21，则t ＞1，于是要证明1)1(2ln +->t t t ，构造函数1)1(2ln )(+--=t t t t φ，∴0)1()1()1(41)(222'>+-=+-=t t t t t t φ，故ϕ（t ）在（1，+∞）上是增函数，∴ϕ（t ）＞ϕ（1）=0，∴1)1(2ln +->t t t ，故原不等式成立．22.解：（1）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩ 2分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.4分（2）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ1212OA OB +=+=+=ρρρρ8分1cos 2θ∴=±满足0∆>16πθ∴=或56π，l 的倾斜角为6π或56π， 则1tan k θ==3. 10分23. 解：（1）3(2)1,()21(22)35(2)1()0,42152x m f x x x x f x x x x -<-⎧⎪==+-≤≤⎨⎪>⎩>∴≥-⎧⎫∴≥-⎨⎬⎩⎭当时分分不等式的解集为分（2）()():4(2)()2(22)74(2)().42,221042g x f x x m x f x x m x y x m x y f x y x m m m =--<-⎧⎪=+-≤≤=⎨⎪+>⎩==-<-⎧∴∴-<<⎨+>⎩若函数有三个零点，只须与有三个交点即可分只须的两个分段点位于的两侧即可分。

河北省唐山市第一中学2019届高三数学下学期冲刺（仿真模拟）试题（五）理 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。

不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数)(x f y =，[]b a x ,∈，那么集合[]{}{},(),,(,)2x y y f x x a b x y x =∈=（）中元素的个数为 （ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 2.已知x ∈C ，若关于x 实系数一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c ∈R ，a ≠0）有一根为1＋i ．则该方程的另一根为 （ ） A ．－1＋i B ．1－i C ．－1－i D ．1 3．设)(),161(log );32(,21221R x x N a a a M ∈+=<<-+=，则M ，N 大小关系是（ ） A ． M ＞N B ． M =N C ．M ＜N D ． 不能确定4.设向量)25sin ,25(cos=a ，)20cos ,20(sin =b ，若t 是实数，且b t a u +=，则u 的最小值为 （ ）A ．2B ．1C 2D ．125.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是( ). A ．正方形 B ．矩形 C ． 梯形 D ．菱形6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(2x x x x x f )(x g 是二次函数，若))((x g f 的值域是[0，＋∞)，则)(x g 的值域是 ( ). A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．[1，＋∞)7.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( ). A.S =S +n x B.S =S +nx nC.S =S + nD.S =S +10nx8.函数)0(cos sin )(≠-=a x b x a x f 的图象关于4x π=对称，则3()4y f x π=-是（ ） A ．图象关于点），（0π对称的函数 B ．图象关于点302π（，）对称的函数C ．图象关于点），（02π对称的函数D ．图象关于点），（04π对称的函数9. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A.1B.)241πC.)241πD.1610.f （x ）是集合A 到集合B 的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n ∈N *，则f （x ）为单调递增函数的个数是（ ） A．B ．n 2nC ．（2n ）nD．11.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是 ( ) A. (1,3]B.1111ln 2,ln 34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.11ln 21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D.11,1e e⎛⎤-- ⎥⎝⎦12..设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任意一点，F 1，F 2分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为 （ ）A ．12 B．2 C.2 D ．4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 若实数x ，y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z ＝ln y －ln x 的最小值是________． 14． 210(2018)()x yx y +-展开式中56x y 的系数为 ．15. 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为线段A 1B 1的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E ﹣FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ．16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，2ABC=3π∠，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 面积的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分。

2019届河北省唐山市第一中学高三下学期冲刺（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】求解一元二次不等式化简集合A，求值域化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．【详解】∵，＝，∴．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法及函数的值域问题，是基础题．2．已知，则在，，，中最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在，，，的最大值．【详解】∵，∴y＝和y＝均为减函数，∴＞，＜，又∵y＝在（0，+∞）为增函数，∴＞，即在，，，中最大值是，【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性和幂函数的单调性的应用，属于基础题．3．设复数，则的二项展开式的第7项是（）A．84 B．C．36 D．【答案】A【解析】将分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，复数化简为2i，然后求出z代入，利用二项式定理求出展开式的第7项．【详解】∵，所以（1+z）9＝（1+i）9展开式的第7项是：C9613i6＝﹣84故选A.【点睛】本题考查复数的基本概念，二项式定理，考查计算能力，是基础题．4．设为区间]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意知函数y是分段函数，写出函数解析式，计算y∈[，3]时x的取值范围，利用几何概型求对应的概率．根据题意知，当x ∈[﹣2，0]时，y ＝2x∈[，1]； 当x ∈（0，2]时，y ＝2x +1∈（1，5]；所以当y ∈[，3]时，x ∈[﹣1，1]，其区间长度为2， 所求的概率为P ．故选：C ． 【点睛】本题考查了程序语言应用问题，也考查了函数与几何概型的概率计算问题，是中档题． 5．在正项等比数列{}n a 中，若13213,,22a a a 成等差数列，则2016201820152017a a a a --的值为（ ） A ．3或-1 B ．9或1 C ．3 D ．9 【答案】C【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵13213,,22a a a 成等差数列， ∴a 3=2a 2+3a 1，化为211123a q a q a =+，即q 2﹣2q ﹣3=0，解得q=3．则2016201820152017a a a a --=()()220162201511a q a q --=q=3， 故选：C ．6．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种 【答案】B【解析】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)． 7．过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】根据题意，分析圆的圆心与半径，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，由等边三角形的性质分析可得圆心到直线l的距离d，则有，解可得k 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆即（x﹣1）2+y2＝4，圆心为（1，0），半径r＝2，设正的高为h，由题意知为正的中心，∴M到直线l的距离d h，又, 即,∴由垂径定理可得：，可得，∴由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y+1＝k（x+1），即kx﹣y+k-1＝0，则有，解可得：k＝或0（舍）故选：D．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，考查了一定的逻辑推理能力，属于中档题．8．已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为,是线段的中点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由中线向量定理得到=，=，再将，，都用基底表示，利用向量相等，求得关系.【详解】∵是线段的中点，∴==；∵是线段的中点，∴=；又=；令，则-=（，∴，，解得，，∴，故选C.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了中线向量定理、向量相等的概念及应用，属于中档题.9．设函数满足,当时，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：因为函数满足，当时，，所以，故选A．【考点】抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，本题的解答中函数满足，当时，，利用三角函数的诱导公式，即可求解的值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10．已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点F1关于双曲线渐近线的对称点P满足∠OPF2＝∠POF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【答案】B【解析】先利用对称求出点P的坐标，结合∠OPF2＝∠POF2可知，利用两点间距离公式可求得离心率.【详解】设是关于渐近线的对称点，则有；解得；因为∠OPF2＝∠POF2，所以，；化简可得，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求之间的关系式.11．三棱锥各顶点均在球上，为该球的直径，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由体积公式求出三棱锥的高，可得到平面，由正弦定理可得三角形的外接圆的半径，由勾股定理可得球半径，从而可得结果.【详解】如图，，三棱锥的体积为，所以，解得三棱锥的高为，设为三角形的外接圆的圆心，连接，则平面，因为为该球的直径，所以，连接，由正弦定理可知三角形的外接圆的直径为，由勾股定理可得球半径球的表面积为，故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12．锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，连接，延长交于，由于为重心，故为中点，∵，，∴，由重心的性质得，，即，由余弦定理得，，，∵，，∴，则又因为为锐角三角形，则应该满足将代入可得则，由对勾函数性质可得的取值范围为，故选B.二、填空题13．边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于，将这个结论推广到空间是：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于______.【答案】【解析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比，根据已知“正三角形内任意一点到三边距离之和是个定值且为等边三角形的高”，直接推断出空间几何中关于面的性质：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于正四面体的高．【详解】解：边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，由此可以推测棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到．方法如下，如图，在棱长为a的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4．四面体A﹣BCD的四个面的面积相等，均为，高为．由体积相等得：．所以．故答案为．【点睛】本题是基础题，考查类比推理及正四面体的结构特征，考查空间想象能力，计算能力．14．的值等于.【答案】【解析】试题分析：,其中表示半径为的圆的面积的,,,因此原式等于,故填.【考点】定积分的计算.15．已知满足，且目标函数的最大值为7，最小值为4，则_________.【答案】【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．【详解】画出可行域如图：由题意得：目标函数z＝2x+y在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴A（1，﹣1），B（3，1），∴直线AB的方程是：x﹣y﹣2＝0，∴则2．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．16．已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若,则直线与圆相交所得最短弦的长度为___________.【答案】4【解析】求出A，B坐标，计算，即y1y2＝﹣4．联立直线与抛物线，根据根与系数的关系可得直线过定点，再根据平面几何知识可得PE时弦最短．利用垂径定理求解即可.【详解】由题意可知，＝2，＝﹣2，∴•＝﹣4，设，则，∴y1y2＝﹣4．又直线，联立方程组消去x得：y2﹣4ty﹣4n＝0，则y1y2＝﹣4n，y1+y2＝4t，∵y1y2＝﹣4，∴n＝1．即直线过点E（1，0）．又圆的圆心P（2，-2），半径r=3，∴当弦最短时，PE,弦长=2=4,故答案为:4.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了直线过定点问题的判断，考查了圆中弦长问题，属于中档题．三、解答题17．已知数列满足，，．（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；（2）数列的前项和为,求证:对任意，.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】（1）把已知等式的两边同时除以，然后再依据问题构造一个等比数列，可得到证明并能求；（2）将各项进行放缩后得到一个等比数列，可求和，进而得到证明的问题.【详解】（1）由有数列是首项为，公比为的等比数列.（2），，==【点睛】本题考查了数列的递推式、等比数列的证明、通项公式及求和公式，考查了由递推式构造新数列的方法，考查了放缩的技巧，属于中档题．18．如图，在三棱锥中，底面，，为的中点．（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）由余弦定理求出BC，因为为的中点，得BD＝CD，因为，平方求出AD，利用勾股定理得AB⊥AD，结合PA⊥AD，得AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB得证．（2）分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PA＝a，求出平面PBC的法向量，平面PAB的法向量，利用向量法求出a，然后求解V P﹣ABC＝×S△ABC×PA即可．【详解】（1）在中，由余弦定理得，则．因为为的中点，则．因为，则，所以．因为，则．因为底面，则，所以平面，从而．（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则点，，，所以，．设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以．因为为平面的法向量，则，即．所以，解得，所以．所以．【点睛】本题考查了利用向量法求二面角的平面角，也考查了三棱锥的体积，线面垂直的判定定理，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．19．某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组得到的频率分布直方图如图所示：（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试.①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；②根据直方图试估计这100名学生成绩的平均分．（同一组中的数据用改组区间的中间值代表）【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）根据频率分布直方图的性质，根据所给的频率分布直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率．（2）①先求得试验发生包含的事件数是，再求得满足条件的事件数是，根据等可能事件的概率公式，得到结果．②由频率分布直方图的平均数公式直接计算即可.【详解】（1）第3组的频率为；第4组的频率为；第5组的频率为.（2）按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人.①第3组共有，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件，学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率为.②.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．20．已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点在直线上且不在轴上，直线与椭圆的交点分别为和，为坐标原点.（1）设直线的斜率为，证明：；（2）问直线上是否存在点，使得直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设出P的坐标，表示出斜率，化简可得结论；（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，求出斜率，利用k OA+k OB+k OC+k OD＝0，即可得到结论．【详解】因为椭圆方程为，所以F1（﹣1，0）、F2（1，0）设P（x0，2﹣x0），则，，所以（2）记A、B、C、D坐标分别为（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．设直线PF1：x＝m1y﹣1，PF2：x＝m2y+1联立可得，代入，可得同理，联立PF2和椭圆方程，可得由及m1﹣3m2＝2（由（1）得）可解得，或，所以直线方程为或，所以点P的坐标为（0，2）或【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆位置关系，考查化简计算能力，属于中档题．21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）求证：当时，.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）若a≤0，则f（1）＝﹣a+1＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＞0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减．由此求出函数的最大值，由最大值小于等于0可得实数a的取值范围．（3）由（2）可知，当a＝1时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣x+1≤0．得到﹣xlnx≥﹣x2+x，则e x﹣xlnx+x﹣1≥e x﹣x2+2x﹣1．然后利用导数证明e x﹣x2+2x﹣1＞0（x＞0），即可说明e x﹣xlnx+x＞0．【详解】（1）∵函数f（x）＝（a∈R ）．∴，x＞0，当a＝0时，f′（x）0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x，令f′（x）＜0，解得：x，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．（2）当时，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a<0，由（1）可知，函数f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．∴，又f（x）≤0恒成立，∴f（x）max≤0，即0，令g(a)=,则g(a)单调递增，g(-1)=1，g(-2)=<0，∴a时，g(a) <0恒成立，此时f（x）≤0恒成立，∴整数的最大值-2．（3）由（2）可知，当a＝-2时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣2x2+1≤0．即x lnx﹣2x3+x≤0，恒成立，①又e x﹣x2+2x﹣1+（）∴只需证e x﹣x2+2x﹣1，记g（x）＝e x﹣x2+2x﹣1（x＞0），则g′（x）＝e x﹣2x+2，记h（x）＝e x﹣2x+2，则h′（x）＝e x﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0．∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增．∴4﹣2ln2＞0．∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∴g（x）＞g（0）＝e0﹣1＝0，即e x﹣x2+2x﹣1＞0．结合①∴e x﹣x2+2x﹣1+（）＞0，即＞0成立．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程代入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.23．已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】（Ⅰ）分x﹣2，﹣2≤x≤2，x2三种情况求解；（Ⅱ）若函数有三个零点，只需与有三个交点即可.【详解】解：（Ⅰ）当时，,,不等式的解集为.（Ⅱ）若函数有三个零点，只需与有三个交点即可，只需的两个分段点位于的两侧即可.,.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题．。