第五章 平均指标

例1：某公司下属各店职工按工龄分组情况（1）（年）（2）例2：水果甲级每元1公斤，乙级每元1.5公斤，丙级每元2公斤。

问：（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？ （2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？（3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？ （4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？ （1）（2）（3） （4）例3：自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速是多少？例4：某牛群不同世代的规模分别为：0世代200头，1世代220头，2世代210头，3世代190头，4世代210头。

试求其平均规模。

例5：假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。

请问此5年内该地平均储蓄年利率。

75.64155.75.31=+++==∑nx一店平均工龄)(425.3205.681361011535.765.3101年五店平均工龄==+++⨯+⨯+⨯+⨯==∑∑fxf )/(38.11667.23215.111131元公斤==++==∑nnH )/(38.10833.145.195.6215.65.115.6115.65.65.61元公斤==⨯+⨯+⨯++==∑∑fxf H )/(24.183.4612125.113111231元公斤==⨯+⨯+⨯++==∑∑fxf H 元）（公斤/5.1325.11=++==∑nxx )/(2.2581.236002002012002812003012002002001小时公里==⨯+⨯+⨯++==∑∑fx f H )/(266156222220228230fxf x 小时公里==++⨯+⨯+⨯==∑∑11111152002202101902101205()()H ==++++头1.5 2.5(1)100%1)100% 3.43%G +=-⨯=-⨯=该地平均储蓄年利率例1：从10000盒火柴中,随机抽取50盒,算得样本平均数为49根,样本均方差为2根.求其抽样平均误差。

• 其他求和的法则或公式 P62-63
第二节算术平均数
• 一、 算术平均数的基本公式
• 平均数是社会经济统计中最常用的一种平均指标。
▪计算公式
总体标志总量 算术平均数= ————————
总体单位总数
• 该基本公式具有两个特点: • ①分子和分母必须属于同一个总体。 • ②分子和分母有一一对应的数量关系。
• 在统计实践中,直接应用调和平均数的情况较少,大 多数情况下是将调和平均数作为算术平均数的变 形来应用的,即在计算平均指标时,由于掌握资料的 原因,不能直接按算术平均数的方法计算出平均数, 而以调和平均数的形式计算平均指标。
• 二、调和平均数的计算公式
• 调和平均数的计算公式也分为简单调和平均数 和加权调和平均数两种。
第五节中位数和众数
• 前面所讲的几种平均指标,都是根据统计总体中的 全部标志值或变量值计算的。当数列中出现极大 值或极小值时,它们最易受到极端值的影响,从而减 弱了平均指标在总体中的代表性。
• 众数和中位数则是另一种类型的平均指标,它们是 根据其在总体中所处的位置或地位确定的,故不受 数列中极端值的影响。
• 二、几何平均数的计算方法 • 1.简单几何平均数
• 简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根
G nX 1•X 2•X 3• •X n n X
• 式中： 【Xi —数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)
•
n —变量值个数
•
∏—连乘符号】 例如P72
• 2.加权几何平均数 • 当各个变量值出现的次数不相同时,计算几何
n —— 总体单位总数；
∑ —— 总和符号。
• 三、加权算术平均数
• 当总体单位数量较多时,统计资料 就需要整理成变量分配数列,或在 已编制好分配数列的条件下,计算 平均数就应采用加权算术平均数 的方法。

第五章平均指标与变异指标教学目的与要求：本章主要介绍了经济统计中广泛应用的一种综合指标，即平均指标。

并在此基础上，详细论述了反映总体特征的另一指标，即标志变异指标。

通过本章的学习和应用能力的训练，重点要求是：1、深刻理解平均指标和变异指标的基本理论和分析方法2、掌握计算平均指标的各种方法及运用原则3、对平均指标进行分析，阐述影响平均指标大小的原因4、明确平均指标与变异指标的区别与联系5、掌握变异指标的计算方法，并能运用标志变异指标说明平均数的代表性基本理论和分析方法。

重点掌握：1、平均制表的分析方法。

2、变异指标的计算意义。

教学方式：用多媒体课件讲练结合。

课时安排：理论4学时，实训2学时第一节平均指标的概念和作用一、平均指标的概念1、定义平均指标又称平均数，它是统计分析中最常用的统计指标之一。

它反映了社会经济现象中某一总体各单位某一数量在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，或者反映某一总体、某一指标在不同时间上发展的一般水平。

2、特点第一，同质性，即总体内各单位的性质是相同的。

第二，抽象性，即总体内各同质单位虽然存在数量差异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即把这种差异平均掉了。

第三，代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，但我们可以用平均数这一指标值来代表所有标志值。

二、平均指标的作用1、可以用来比较同类现象在不同地区、部门、单位（即不同总体）发展的一般水平，用以说明经济发展的高低和工作质量的好坏。

2、可以用来对统一总体某一现象在不同时期上进行比较，以反映该现象的发展趋势或规律。

如对同一地区人均年收入逐年进行比较来反映该地区居民生活水平的发展趋势或规律。

1、可以作为论断事物的一种数量标准。

2、可以用来分析现象之间的依存关系。

3、可以估算和推算其他有关数字三、平均指标的种类平均指标按其性质可分为静态平均数和动态平均数。

静态平均数反映的是同质总体内各单位某一数量标志在一定时间地点条件的一般水平，动态平均数反映的是某一总体某一指标值在不同时间上的一般水平。

lg X G
f lg X 50.9002 2.0360 25 f

1、平均数与总体单位数的积等于标志总量
x X
n
Xn x

2、若每个变量值 X 加减一任意常数，则平均数也增减一个。 3、若每个变量值 X乘以一任意常数，则平均数也乘以一个。 4、若每个变量值 X除以一任意常数，则平均数也除以一个。 5、各个变量值X与算术平均数 X 的离差和为零。 6、各个变量值X与算术平均数 X 的离差平方和为最小值。
• 下面是一个小故事： 一个人到某公司求职，经过调查，得 出关于该公司工资的一些数据，如果是 你，应该如何选择？
挠头的数值
公司员工的月薪如下：
经理
员工
月薪 （元）
副经 理
4000
职员 A
1700
职员 B
1300
职员 C
1200
职员 D
1100
职员 E
1100
职员 F
1100
职员 G
500
6000
0.06
0.12 0.30
80 – 90
90 – 100 100 – 110 110 以上 合 计
85
95 105 115 -
36
27 14 8 164
0.22
0.16 0.09 0.05 1.00
f f 3.3 7.8 22.5 18.7 15.2 9.45 5.75 82.7

四、算术平均数的若干数学性质




2、加权算术平均法 计算公式：
x1f1 x 2f 2 ... x n f n xf X f1 f 2 ... f n f

2015年《统计学》第五章平均指标习题及满分答案（一）填空题1．平均数可以反映总体各单位标志值分布的（集中趋势）。

2．社会经济统计中，常用的平均指标有（算术平均指标）、（调和平均指标）、（几何平均指标）、（中位数）和（众数）。

3．算术平均数不仅受（标志值）大小的影响，而且也受（权数）多少的影响。

4．各变量值与其算术平均数离差之和等于（零），各变量值与其算术平均数离差平方和为（最小）。

5．调和平均数是平均数的一种，它是（标志值倒数）的算术平均数的（倒数），又称（倒数）平均数。

6．几何平均数是计算平均比率和平均速度最适用的一种方法，凡是变量值的连乘积等于（总比率）或（总速度）的现象，都可以使用几何平均数计算平均比率或平均速度。

7．众数决定于（分配次数）最多的变量值，因此不受（极端值）的影响，中位数只受极端值的（位置）影响，不受其（大小）的影响。

（二）单项选择题1．平均数反映了（A）。

A、总体分布的集中趋势B、总体中总体单位的集中趋势C、总体分布的离中趋势D、总体变动的趋势2．加权算术平均数的大小（D）。

A、受各组标志值的影响最大B、受各组次数的影响最大C、受各组权数系数的影响最大D、受各组标志值和各组次数的共同影响3．在变量数列中，如果变量值较小的一组权数较大，则计算出来的算术平均数（B）。

A、接近于变量值大的一方B、接近于变量值小的一方C、不受权数的影响D、无法判断4．权数对于算术平均数的影响，决定于（D）。

A、权数的经济意义B、权数本身数值的大小C、标志值的大小D、权数对应的各组单位数占总体单位数的比重5．各总体单位的标志值都不相同时（A）。

A、众数不存在B、众数就是最小的变量值C、众数是最大的变量值D、众数是处于中间位置的变量值6．凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象，要计算其平均比率或平均速度都可以采用（ C ）。

A、算术平均法B、调和平均法C、几何平均法D、中位数法7．如果次数分布中，各个标志值扩大为原来的2倍，各组次数都减小为原来的1/2，则算术平均数（D）。

0.5 0.2 0.1
以公式表示
H
n
n
1 1 1
1
x1 x2
xn
x
2、加权调和平均数
例5前进化工厂2004年11月购进三批A原料，每批的 价格及金额如下,则这三批原料的平均价格是:
A原料的购入价格和金额资料
批次
第一批 第二批 第三批 合计
价格（元/公斤） 金额（元） 购进数量（公斤）
x
m
m /x
平均收益率＝114.91%-100％=14.91%
几何平均数(加权)
•一笔存款存入银行十年，前两年的年利率 为6%，第三年至第五年的年利率为5%，后 五年的年利率为3%。如果按照复利计算， 这笔存款的年平均利率为多少？
G 10 1.062 1.053 1.035 1.042
1.042-1=4.2%，即年平均利率为4.2%
5、 平均数与变异分析相结合
离中趋势
1.数据分布的另一个重要特征； 2.反映各变量值远离其中心值的程度(离散 程度)； 3.从另一个侧面说明了集中趋势测度值的 代表程度；
第五节 标志变异指标
一、标志变异指标的概念和作用
1、概念 2、作用 （1）标志变异指标是衡量平均数代表性大小的尺度 （2）标志变异指标可以反映社会经济活动过程的节奏性、均衡性和稳定性 （3）标志变异指标是科学地确定必要的抽样单位数应考虑的重要因素 二、标志变异测定指标
1、全距： 总体各单位变量值中最大值与最小值之差 极差 = 最大变量值 – 最小变量值 例 11 某生产班组26名工人的日产量资料
日产量（件）
12 14 16 18 20 22 合计
工人数（人）
2 4 8 7 3 2
26

第五章平均指标第五章平均指标⼀、本章学习要点（⼀）平均指标⼜称统计平均数，⽤以反映社会经济现象总体各单位某⼀数量标志在⼀定时间、地点条件下所达到的⼀般⽔平。

平均指标的特点是：把总体各单位标志值的差异抽象化了；它是⼀个代表值，代表总体各单位标志值的⼀般⽔平。

常⽤的平均指标有算术平均数、调和平均数、⼏何平均数、众数和中位数五种。

前三种称为数值平均数，后两种称为位置平均数。

平均指标可以反映总体各单位变量分布的集中趋势；可以⽤来⽐较同类现象在不同单位的发展⽔平，以说明⽣产⽔平、经济效益或⼯作质量的差距；可⽤来分析现象之间的依存关系。

（⼆）算术平均数是计算平均指标的最常⽤⽅法，它的基本公式是总体标志总量除以总体单位总量。

在实际⼯作中，由于资料的不同，算术平均数有两种计算形式：即简单算术平均数和加权算术平均数 nx X ∑=- f f x X f xf X ∑∑=∑∑=或加权算术平均数的⼤⼩受两个因素的影响，⼀个是各组变量值的⼤⼩，⼀个是各组变量值出现的次数或⽐重。

由于各组变量值出现次数的多少或⽐重的⼤⼩对平均数的形成起着权衡轻重的作⽤，因此把它称为权数。

当各组的权数相等时，加权算术平均数就等于简单算术平均数，因此可以把简单算术平均数理解为加权算术平均数的特例。

在实际应⽤加权算术平均数时，需注意权数的正确选择。

调和平均数是各个标志值倒数的算术平均数的倒数，⼜称为倒数平均数。

在实际⼯作中，有时由于缺乏总体的单位数资料，⽽不能直接计算平均数，这时就可采⽤调和平均数计算。

因此在统计⼯作中，调和平均数常常被作为算术平均数的变形来使⽤。

调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种形式。

X n X 1∑=- Xm m X ∑∑=- 如果设：m=xf ，则f=xm 这时x m m f xf X ∑∑=∑∑=- （三）众数和中位数是两个位置平均数，在⼀定条件下⽤它们反映变量数列的⼀般⽔平是⾮常有效的。

众数是总体中出现次数最多的变量值。

第五章 平均指标
第三节 调和平均数
是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，
又叫倒数平均数。 【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可 由定义计算如下：
⒈求各标志值的倒数 ：
1 ，1 ， 1 ，1
24 68
⒉再求算术平均数： 1 1 1 1 4
2 4 6 8
⒊再求倒数：
4 1 1 1 1 2 4 6 8
成成数数
指是非标志总体中具有某种表现或不具有某种 表现的单位数占全部总体单位总数的比重
具具有有某某种种标标志志表表现现的的 单单位位数数所所占占的的成成数数
P
N1 N
不不具具有有某某种种标标志志表表现现 的的单单位位数数所所占占的的成成数数
Q
N0 N
且有 P Q
N1 N
N0
N
N1 N0 N
N N
【例】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品380件， 不合格品20件。求产品质量分布的集中趋势与离中趋势。
己知N 400件，N1 380件，N0 20件，
则P N1 380 95﹪，Q N0 20 5﹪，
N 400
N 400
所以有： X P P 0.95
p PQ 0.95 (1 0.95) 0.218
X H
m1 m2 mm m1 m2 mm
m 1m
X1 X2
Xm
X
式中：X i 为第i 组的变量值；mi为第 i
组的标志总量。
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
调和平均数的应用
——当己知各组变量值和标志总量时，作为算术 平均数的变形使用。
因为：
设m
Xf
,则 X H

第五章平均指标一、本章重点1.平均指标反映了总体分布的共性或一般水平，和标志变异指标一起分别从集中趋势和离中趋势两个方面来描述总体分布的特征。

平均指标有动态上的平均指标和静态上的平均指标之分。

静态上的平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数。

2.算术平均数是平均数的基本形式，是总体标志总量与总体单位总量之比。

有简单算术平均数和加权算术平均数之分。

权数的大小，并不是以权数本身值的大小而言的，而是指各组单位数占总体单位数的比重，即权重系数。

每一个标志值与其算术平均数离差之和为零，每一个标志值与其算术平均数离差的平方和为最小，是算术平均数两个最重要的性质。

3.调和平均数也叫倒数平均数，是根据标志值的倒数计算的，它是标志值倒数的算术平均数的倒数。

是在缺乏算术平均数基本公式分母部分的资料时所采用的。

4.几何平均数是计算平均比率和平均速度最适用的一种方法。

是n个标志值连乘积的n次方根，有简单调和平均数与加权调和平均数之分。

5.中位数和众数是根据标志值的位置计算的，所以也叫位置平均数。

把标志值从小到大排列起来处于中间位置上的数就是中位数，在一个变量数列中出现次数最多的哪个数就是众数。

要掌握组距数列确定中位数和众数的方法。

众数、中位数、算术平均数存在一定的关系，无论左偏还是右偏，中位数总是居于两者中间。

在偏斜适度的情况下，中位数与算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的1/3。

6.只有在同质总体内才能计算和应用平均指标；用组平均数补充说明总平均指标；用分配数列补充说明平均数是计算和应用平均指标的三个基本原则。

二、难点释疑1.算术平均数通常用来反映总体分布的集中趋势，调和平均数往往只作为算术平均数的变形来使用，即在已知标志总量而未知总体单位总量的情况下计算调和平均数；而几何平均数较适用于计算平均比例和平均速度。

2.调和平均数虽然是根据标志值的倒数计算的，但其结果不等于算术平均数的倒数。

在计算和应用平均指标时，除了考虑数理方面的要求外，更重要的是要考虑其现实的经济意义。

第五节 众数和中位数
某次数学考试，婷婷得到78分。 全班 共30人, 其他同学的成绩为1个100分，4 个90分, 22个80分,以及一个2分和一个10 分。婷婷计算出全班的平均分为77分，
所以婷婷告诉妈妈说，自己这次成绩在班 上处于“中上水平”。
一、中位数
将被研究总体各单位的标志值按大小顺 序排列，位于中间位置的那个标志值就 是中位数。在变量数列中，有一半单位 的标志值小于中位数，另一半单位的标 志值大于中位数，因而中位数也叫分割 值。
(一)标志变异指标的概念 标志变异指标是反映统计数列中以平均数为中 心，总体各单位标志值的差异大小范围或离差程 度的指标。
(二)标志变异指标的作用 （1）标志变异指标反映总体数据分布的离中趋势 （2）标志变异指标可以衡量平均数的代表性 （3）标志变异指标可以说明现象总体变动的均衡性、 稳定性 （4）标志变异指标是确定必要抽样单位数和计算抽 样误差的必要依据
2、平均指标的特点
1
将数量差异抽象化
2 将总体各个单位差异抽象化
3
反映总体分布的集中趋势
二、平均指标的作用
1、利用平均指标，可用于同类现象在不同空间条 件下的对比
2、利用平均指标，可用于同一现象在不同时间的 对比
3、利用平均指标，可以概括说明总体的一般水平 4．利用平均指标，可以分析现象之间的依存关系 5.利用平均指标，可以进行数量上的估算
X
n
n
［公式5—2］
［例5—1］ 某机械厂某生产班组有10名工人，生产 某种零件，每个工人的日产量分别为45件，48件，52 件，62件，69件，44件，52件，58件，38件，64件。 试用简单算术平均数法计算工人平均日产量。
X X n 45 48 52 62 69 44 52 58 38 64

第五章 平均指标与标志变异指标一、判断题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案××√√××××××二、单选题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBADADCAD三、多选题：应用能力训练题：⒈试根据下列某大型商场销售员日工资资料，计算该商场销售员的日平均工资：解：根据已知条件，计算有关数据资料如下表：所以：)(35.741007435件===∑∑f xf x⒉某公司下属10个企业，某年合格率资料如下表：要求：计算该产品的平均合格率解：根据题意，将有关数据计算入下表：%14.85140000119200===∑∑f xf x ⒊某市场上有三种鸡蛋，每公斤分别为16元、18元、20元，试计算： ⑴各买10公斤，平均每公斤多少钱？ ⑵各买10元，平均每公斤多少钱？ 解：⑴元）(1830102010181016............3213332211=⨯+⨯+⨯=++++++++=n n f f f f f x f x f x f x x⑵元）(85.17201018101610101010111=++++===∑∑∑∑m x m mm x x h ⒋某企业生产一种产品需顺次经过四个程序，这四个程序的废品率分别为1.2%、1.5%、1.3%和1.8%，该企业生产的平均废品率是多少？解：首先，计算该企业生产的平均合格率：%18.95%)8.11(%)3.11(%)5.11(%)2.11(......421=-⨯-⨯-⨯-=∏==n n n g x x x x x 该企业生产的平均废品率=1-95.18%=4.82%⒌某企业的销售额2011年比2010年增长7.5%，2012年比2011年增长9.8%，2013年比2012年增长6.3%，2014年比2013年增长11.4%。

计算2010年至2014年该企业销售额的平均增长速度。

第五章平均指标1、权数的实质是各组单位数占总体单位数的比重。

（）2、在算术平均数中，若每个变量值减去一个任意常数a,等于平均数减去该数a。

（）3、各个变量值与其平均数离差之和可以大于0,可以小于0,当然也可以等于0。

（）4、各个变量值与任意一个常数的离差之和可以大于0,可以小于0,当然也可以等于0。

（）5、各个变量值与其平均数离差的平方之和一定等于0。

（）6、各个变量值与其平均数离差的平方之和可以等于0。

（）7、各个变量值与其平均数离差的平方之和为最小。

（）8、已知一组数列的方差为9,离散系数为30%,则其平均数等于30o（）9、交替标志的平均数等于Po（）10、对同一数列，同时计算平均差和标准差，两者数值必然相等。

（）11、平均差和标准差都表示标志值对算术平均数的平均距离。

（）12、某分布数列的偏态系数为0.25,说明它的分布曲线为左偏。

（）1、平均数反映了总体分布的（）。

c集中趋势c离中趋势c长期趋势‘基本趋势2、下列指标中，不属于平均数的是（）。

c某省人均粮食产量‘某省人均粮食消费量‘某企业职工的人均工资收入c某企业工人劳动生产率3、影响简单算术平均数大小的因素是（）变量的大小变量值的大小变量个数的多少权数的大小4、一组变量数列在未分组时，直接用简单算术平均法计算与先分组为组距数列，然后再用加权算术平均法计算，两种计算结果（）。

「一定相等c一定不相等c在某些情况下相等c在大多数情况下相等5、加权算术平均数的大小（）。

c受各组标志值的影响最大c受各组次数影响最大「受各组权数比重影响最大「受各组标志值与各组次数共同影响6、权数本身对加权算术平均数的影响，取决于（）。

’总体单位的多少＜’权数的绝对数大小c权数所在组标志值的数值大小c各组单位数占总体单位数的比重大小7、在变量数列中，当标志值较大的组权数较小时，加权算术平均数（）。

'偏向于标志值较小的一方偏向于标志值较大的一方不受权数影响c上述说法都不对8、平均差的主要缺点是（）。

第五章平均指标一、名词1、平均指标：又称平均数，它是反映总体内各单位某一数量标志不同数值一般水平的综合指标。

2、算术平均数：是用总体标志总量与总体单位总量对比而求得的平均数。

3、调和平均数：各个标志值倒数的算术平均数的倒数，又称为倒数平均数。

4、中位数：将总体中某一数量标志的各个数值按大小顺序排列，处于中间位置的标志值就是中位数。

5、众数：是现象总体中出现次数最多的那个标志值。

6、标志变异指标：是说明总体各单位标志值差异程度的综合指标，也称标志变动度。

7、平均差：是总体各单位标志值与其平均数之离差绝对值的算术平均数。

8、标准差：是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方和的算术平均数的平方根。

9、标志变动系数：是用相对数表现的标志变异指标，又称离散系数。

10、交替标志：将现象的总体单位划分为具有某一属性的单位和不具有某一属性的单位两组，并以“是”或“非”、“有”或“无”反遇单位属性或性质的标志，称为交替标志，也称是非标志。

二、填空。

1、平均指标是反映总体内各个（单位）某一（数量标志）不同数值的（一般水平）的综合指标。

2、平均指标用一个（代表性数值）说明被研究总体各单位标志值的一般水平，反映事物变动的（集中趋势）。

3、算术平均数的分子分母具有（一一对应）关系。

4、加权算术平均数的大小，受两个因素的影响：一个是受（各组变动值x）的影响；另一个是受（各组变量值出现的次数）的影响。

5、权数不仅可以用（频数）表示，而且也可以用（频率）表示。

6、调和平均数是各个（标志值倒数）的算术平均数的（倒数），它分为（简单调和平均数）和（加权调和平均数）。

7、平均指标说明分配数列中变量值的（一般水平），而标志变异指标则说明变量值的（差异状况）。

8、在变量数列中，哪一组单位数所占比重大，哪一组单位数所占比重大，哪一组标志对（平均数）的影响就大。

因此，当各组单位数所占比重相等时，加权算术平均数等于（简单算术平均数）。

9、标志变异指标主要有（全距）、（平均差）、（标准差）。