多体系统动力学3-相对运动和绝对运动

动力学的历史与发展在我们生活的这个世界中，从微观粒子的运动到宏观天体的运行，从简单的机械装置到复杂的生物系统，一切物体的运动都遵循着一定的规律。

而研究这些运动规律的学科，就是动力学。

动力学作为物理学的一个重要分支，其历史源远流长，并且在不断的发展和完善中，为人类认识世界和改造世界提供了强大的理论支持。

早在古希腊时期，哲学家们就开始对物体的运动进行思考和探讨。

亚里士多德是其中的代表人物之一，他提出了一些关于物体运动的观点，例如物体下落的速度与其重量成正比。

然而，这些观点在后来被证明是错误的。

直到 17 世纪，意大利科学家伽利略通过一系列的实验和观察，对亚里士多德的观点提出了质疑。

他发现，在没有空气阻力的情况下，物体下落的速度与重量无关。

伽利略的工作为动力学的发展奠定了重要的基础。

而真正将动力学推向一个新高度的是英国科学家牛顿。

牛顿在其巨著《自然哲学的数学原理》中，提出了著名的牛顿运动定律。

第一定律指出，任何物体都要保持匀速直线运动或静止的状态，直到外力迫使它改变运动状态为止；第二定律表明，物体的加速度与作用在它上面的力成正比，与物体的质量成反比；第三定律则阐述了作用力与反作用力大小相等、方向相反。

牛顿运动定律的提出，使得人们能够精确地描述和预测物体的运动，成为了动力学发展的里程碑。

在牛顿之后，动力学在各个领域得到了广泛的应用和发展。

在天文学领域，科学家们利用动力学原理来研究天体的运动。

例如，通过对行星运动的观测和分析，人们发现了海王星的存在。

在工程领域，动力学的知识被用于设计各种机械和结构，以确保其稳定性和可靠性。

19 世纪，热力学和电磁学的发展也为动力学带来了新的视角。

热力学中的能量守恒定律与动力学中的机械能守恒定律相互补充，使得人们对能量的转化和守恒有了更全面的认识。

而麦克斯韦方程组的建立，则将电磁现象与动力学联系起来，为研究带电粒子的运动提供了理论基础。

进入 20 世纪，相对论和量子力学的出现给动力学带来了革命性的变革。

10、运动和静止的相对性与绝对性（1）、运动的相对性如果一个物质系统的位置，由某一个观察者来测量是随时间而运动着，就称此系统是相对于该观察者而运动着。

因此，绝对运动是没有意义的，只有相对运动才可以有意义；由某一个观察者测得是静止的物质系统，对处于另一个参考系的观察者就可能是运动着的。

人们不能决定在不同时间发生的两个事件是否发生在空间的同一位置。

例如，假定在火车上我们的乓乒球直上直下地弹跳，在一秒钟前后两次撞到桌面上的同一处。

在铁轨上的人来看，这两次弹跳发生在大约相距100米的不同的位置，因为在这两回弹跳的间隔时间里，火车已在铁轨上走了这么远。

这样，绝对静止的不存在意味着，不能像亚里士多德相信的那样，给事件指定一个绝对的空间的位置。

事件的位置以及它们之间的距离对于在火车上和铁轨上的人来讲是不同的，所以没有理由以为一个人的处境比他人更优越。

Einstein说：“可惜我们不能置身于太阳与地球之间，在那里去证明惯性定律的绝对有效性以及观察一下转动着的地球。

”【2】“我们不知道有什么法则可以找出一个惯性系。

可是，如果假定出一个来，我们便可以找到无数个。

”【3】狭义相对性原理认为，所有惯性参考系都是完全等价的，不存在一个优越的特殊的惯性参考系；在一个惯性参考系内部做的任何物理实验都无法发现该惯性系相对任何别的惯性系的运动速度。

Einstein说：“如果世界上只有一个物体存在，是不能考察它的运动的，因而只存在一个坐标系和另一个坐标系的相对运动。

”【5】“取定两个物体，例如太阳和地球，我们观察到的运动也是相对的，既可以用关联于太阳的坐标系来描述，也可以用关联于地球的坐标系来描述。

根据这个观点来看，哥白尼的成就就在于把坐标系从地球转到太阳上去，任何坐标系都可以用，似乎没有任何理由认为一个坐标系会比另一个坐标系好些。

【6】Einstein承认：“关联于太阳的坐标系比关联于地球的坐标系更像一个惯性系，物理定律在哥白尼系统中用起来比托勒密系统好得多。

第2章多体系统动力学基本理论本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。

通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。

2.1 多体系统动力学研究状况多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。

从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。

本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。

2.1.1 多体系统动力学研究的发展机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。

计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。

数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。

计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。

两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。

多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。

多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。

它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。

10、运动和静止的相对性与绝对性（1）、运动的相对性如果一个物质系统的位置，由某一个观察者来测量是随时间而运动着，就称此系统是相对于该观察者而运动着。

因此，绝对运动是没有意义的，只有相对运动才可以有意义；由某一个观察者测得是静止的物质系统，对处于另一个参考系的观察者就可能是运动着的。

人们不能决定在不同时间发生的两个事件是否发生在空间的同一位置。

例如，假定在火车上我们的乓乒球直上直下地弹跳，在一秒钟前后两次撞到桌面上的同一处。

在铁轨上的人来看，这两次弹跳发生在大约相距100米的不同的位置，因为在这两回弹跳的间隔时间里，火车已在铁轨上走了这么远。

这样，绝对静止的不存在意味着，不能像亚里士多德相信的那样，给事件指定一个绝对的空间的位置。

事件的位置以及它们之间的距离对于在火车上和铁轨上的人来讲是不同的，所以没有理由以为一个人的处境比他人更优越。

Einstein说：“可惜我们不能置身于太阳与地球之间，在那里去证明惯性定律的绝对有效性以及观察一下转动着的地球。

”【2】“我们不知道有什么法则可以找出一个惯性系。

可是，如果假定出一个来，我们便可以找到无数个。

”【3】狭义相对性原理认为，所有惯性参考系都是完全等价的，不存在一个优越的特殊的惯性参考系；在一个惯性参考系内部做的任何物理实验都无法发现该惯性系相对任何别的惯性系的运动速度。

Einstein说：“如果世界上只有一个物体存在，是不能考察它的运动的，因而只存在一个坐标系和另一个坐标系的相对运动。

”【5】“取定两个物体，例如太阳和地球，我们观察到的运动也是相对的，既可以用关联于太阳的坐标系来描述，也可以用关联于地球的坐标系来描述。

根据这个观点来看，哥白尼的成就就在于把坐标系从地球转到太阳上去，任何坐标系都可以用，似乎没有任何理由认为一个坐标系会比另一个坐标系好些。

【6】Einstein承认：“关联于太阳的坐标系比关联于地球的坐标系更像一个惯性系，物理定律在哥白尼系统中用起来比托勒密系统好得多。

1. 绝对节点坐标法传统有限元方法建立的单元为非等参数单元，其使用节点处的位移梯度来描述物体的无限小的转动，但在物体发生大变形时，节点处的位移梯度已不能准确描述物体的转动变形，从而极大影响到计算的精度。

Shabana [1]提出了绝对节点坐标法（Absolute nodal coordinate formulation, ANCF ），其理论基础主要是有限元和连续介质力学理论。

该方法将物体的单元节点坐标定义在全局坐标系下，使用节点处的斜率(slope)矢量作为节点坐标而不是节点处的无限小转动[2]，不需要另外计算刚体位移与柔性变形之间的耦合，能较精确地计算大变形的多体系统动力学问题。

其最终推导出的多体系统的微分代数方程组（DAEs ）中，质量矩阵是一个常数矩阵，但刚度矩阵将是一个非线性的时间函数。

1.1梁单元的绝对节点坐标法Shabana 首先推导出一维梁单元的绝对节点坐标法模型[1][3]。

在这种模型中，梁单元用中性轴来简化，如图1所示，其上面任意一点P 在全局坐标系下的坐标表达为：23101232320123r =Se r a a x a x a x r b b x b x b x ⎡⎤+++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦图1其中，x 为沿轴线的单元局部坐标，[]0,x l ∈，l 为梁单元初始长度；S 为单元形函数；e 为含有8个单元节点坐标的广义坐标矢量。

123456781102205162e []|,|,|,|,Tx x x l x l e e e e e e e e e r e r e r e r ========= 1212304078,,,x x x l x l r r r r e e e e x x x x ====∂∂∂∂====∂∂∂∂最终，通过绝对节点坐标法得到的无约束的单元动力学方程为：k e Me+Q =Q 其中，M 为常数质量矩阵，Q k 为广义弹性力矩阵，Q e 为广义外力矩阵。

名词解释：1. 旋转参考系：生活在地球上的人们自然是在地球上观察大气运动的，而地球以常值角速度Ω绕地轴旋转，所以任何一个固定在地球上并与它一道运动的参考系，就是一个旋转参考系 2. 气压梯度力：当存在气压梯度时，作用于单位质量空气上的力 3. 科氏力：由于地球自转而使地表上运动的物体发生方向偏转的力。

4. 尺度：各物理量具有代表意义的量值称为该物理量的特征值。

这一特征值就是尺度。

5. 尺度分析：依据表征某类运动系统各场变量的特征值，来估计大气运动方程中各项量级大小的一种方法。

6. 基别尔数：100惯性特征时间运动平流时间i a Vf T fV T τετ−====基别尔参数大小可以反映运动变化过程的快慢程度 7. 罗斯贝数：200特征惯性力项特征科氏力项V L R fV ==表示大气运动的准地转程度00010,特征惯性力很小，加速度很小，可忽略满足准地转；10，非地转。

R R ⎧<<⇒⎪⎨≥⇒⎪⎩ 8. f 平面近似在中纬度地区，若运动的经向水平尺度远小于地球半径时1La ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，可以取0f f ≈ 9. β平面近似在中高纬地区，对于大尺度运动，则fyβ∂=∂，即0f f y β=+ 10. 重力位势和位势高度⚫ 重力位势：单位质量空气由海平面上升到z 高度时，克服重力所做的功表达式为： 0zgdz φ=⎰，单位：焦耳/千克⚫ 位势高度：单位：位势米（gpm ）11. 自由大气和平衡运动：⚫ 自由大气：指距离地球表面1-2km 以上的大气层，它是大气的主体部分。

在此层， 摩擦力比起其它力来说，可以忽略不计。

⚫ 平衡运动：各种力的平衡下，大气风场、气压场、温度场之间的关系。

12. 地转平衡：自由大气中，水平气压梯度力与科氏力二者的平衡称为地转平衡 13. 地转偏差'g v v v =−，实际风与地转风的矢量之差，地转偏差与加速度相互垂直，在北半球指向水平加速度的左侧。

2006.61.简要按形成原因汽车空气阻力怎么分类？简单概述各种阻力的形成。

(P82）汽车空气阻力分为形状阻力、干扰阻力、内循环阻力、诱导阻力以及摩擦阻力；1）形状阻力占压差阻力的大部分,主要与边界层流态和车身后的流体分离产生的尾涡有关；2）干扰阻力是由于车身表面凸起物、凹坑和车轮等局部的影响着气流的流动而引起的空气阻力；3）内循环阻力是流经车身内部的气流对通道的作用以及流动中的能量损耗产生的；4)诱导阻力是在侧面由下向上的气流形成的涡流的作用下,车顶上面的气流在后背向下偏转,产生的实际升力中一向后的水平分力；5）摩擦阻力是由于空气粘性使其在车身表面产生的切向力.2.简述汽车的楔形造型在空气动力特性方面的特点。

1）前端低矮，进入底部的空气量少,底部产生的空气阻力小；2）发动机罩与前风窗交接处转折平缓，产生的空气阻力小;3）后端上缘的尖棱,使得诱导阻力较小;4)前低后高，‘翼形’迎角小，使空气升力小;5）侧视轮廓图前小后大，气压中心偏后，空气动力稳定性好。

3.假设某电动汽车的质心位置在前后轮轴中间位置，且前后车轮的侧片刚度相同,电池组放在中间质心位置，试问该车稳态转向特性类型属于哪一类?在以下三种情况下,该车的稳态转向也行会如何变化？1）将电池组移到前轴放置;2）将电池组移到后轴放置；3）将电池组分为两部分（质量相等），分别放在前后轴上.根据稳定性因数公式该车稳态转向特性属于中性转向。

1）电池组移至前轴上放置,质心前移，变为不足转向；2）将电池组移到后轴上放置，质心后移,变为过多转向;3）质心位置不变，仍为中性转向。

4.什么是被动悬架、半主动悬架、主动悬架？说明采用天棚阻尼的可控悬架属于哪一类悬架及其理由。

被动悬架是悬挂刚度和阻尼系数都不可调节的传统悬架;半主动悬架的阻尼系数可自动控制，无需力发生器,受减振器原理限制，不能实现最优力控制规律;主动悬架的悬架力可自动控制,需要增设力发生器,理论上可实现最优力控制规律.采用天棚阻尼的可控悬架属于主动悬架，因为其天棚阻尼是可调节的，同时具有自动控制悬架力的力发生器。

多体动力学运动方程一、引言多体动力学是研究多体系统运动规律和动态行为的学科。

多体系统是由多个刚体或柔体通过约束联系在一起的复杂系统，广泛应用于机械工程、航空航天、车辆工程等领域。

多体动力学运动方程是多体动力学的基础，是描述多体系统运动规律的关键方程。

二、牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动规律的基本定律，表述为：物体加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比。

数学表达式为：F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

三、角动量守恒定律角动量守恒定律表述为：在没有外力矩作用的情况下，一个转动系统的角动量保持不变。

数学表达式为：L=Iω，其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。

四、动量守恒定律动量守恒定律表述为：一个孤立系统的总动量保持不变。

数学表达式为：Δp=0，其中Δp表示系统动量的变化量。

五、弹性力学方程弹性力学方程是描述弹性体内应力、应变和位移之间关系的方程。

对于小变形问题，弹性力学方程可简化为胡克定律：σ=Eε，其中σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。

六、接触与碰撞模型接触与碰撞模型是多体动力学中的一个重要问题，涉及到接触力、碰撞响应和能量损失等方面的计算。

常用的接触与碰撞模型有Hertz 接触模型、Persson接触模型等。

七、约束与约束力约束是描述多体系统中各物体之间相对运动的限制条件。

约束力是多体系统中的内力，用于保持各物体之间的相对位置关系。

常见的约束类型有方位约束、速度约束和加速度约束等。

八、相对运动与绝对运动相对运动是指两个物体之间的相对位置和相对速度。

绝对运动是指整个多体系统相对于某个参考系的位置和速度。

相对运动和绝对运动的关系是多体动力学中的一个重要问题。

九、运动学与动力学关系运动学主要研究多体系统的位置、速度和加速度等运动参数，而动力学则研究多体系统的受力、力矩和能量等动态参数。

运动学与动力学之间的关系是多体动力学中需要考虑的重要因素。

工程力学知识点总结工程力学是一门研究物体机械运动和受力情况的学科，它对于解决工程实际问题具有重要的意义。

以下是对工程力学一些关键知识点的总结。

一、静力学静力学主要研究物体在静止状态下的受力平衡问题。

1、力的基本概念力是物体间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。

力的单位是牛顿（N）。

2、力的合成与分解遵循平行四边形法则，可以将一个力分解为多个分力，也可以将多个力合成为一个合力。

3、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力是约束对物体的反作用力。

常见的约束有柔索约束、光滑接触面约束、铰链约束等。

4、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。

要明确研究对象，画出其受力图，包括主动力和约束力。

5、平衡方程对于平面力系，有∑Fx ＝ 0、∑Fy ＝ 0、∑Mo(F) ＝ 0 三个平衡方程；对于空间力系，则有六个平衡方程。

二、材料力学材料力学主要研究杆件在受力作用下的变形和破坏规律。

1、内力与应力内力是杆件内部由于外力作用而产生的相互作用力。

应力是单位面积上的内力，分为正应力和切应力。

2、应变应变是杆件变形量与原始尺寸的比值，分为线应变和切应变。

3、拉伸与压缩杆件在受到轴向拉伸或压缩时，会产生轴向变形和横截面上的应力分布。

4、剪切与挤压在剪切面上会产生切应力，在挤压面上会产生挤压应力。

5、扭转圆轴扭转时，横截面上会产生切应力，其分布规律与扭矩有关。

6、弯曲梁在弯曲时，会产生弯矩和剪力，横截面上会有正应力和切应力分布。

7、强度理论用于判断材料在复杂应力状态下是否发生破坏，常见的有第一、第二、第三和第四强度理论。

三、运动学运动学研究物体的运动规律，而不考虑引起运动的力。

1、点的运动描述点的运动可以用直角坐标法、自然法和极坐标法。

2、刚体的平动和转动平动时刚体上各点的运动轨迹相同，速度和加速度也相同；转动时刚体绕某一固定轴旋转。

3、角速度和角加速度用于描述刚体转动的快慢和变化率。

4、点的合成运动包括牵连运动、相对运动和绝对运动，通过速度合成定理和加速度合成定理来分析。

计算机辅助工程与分析读书报告院系：机电工程学院专业：机械工程年级： 2011级学生姓名：张敏明学号： 20117030252012年6月多体动力学读书报告机械工程张敏明 20117030251多体动力学研究对象多体系统动力学是研究由多个柔性体和（或）刚性体所构成的系统的运动规律的学科。

它主要研究系统的动力学建模、分析、求解和控制等问题。

随着科技的发展，在航空、航天、机器人、车辆等工程领域，对一些较为复杂的多体系统的设计和分析提出来更高的要求。

例如：如何较准确地预测系统在一定输入条件下的动态响应以及如何使系统满足人们预先给定的运动要求等，尤其是当采用了更轻更柔的材料，并且所要求的运转速度和运动精度更高时，研究系统的动态特性愈加困难。

多体系统动力学的产生为解决这种多维、时变、高度非线性的复杂动力学问题提供了一种新的理论分析方法。

2多体动力学研究现状多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。

从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义近年来，多动力学在汽车技术领域的应用不断增多。

汽车本身是一个复杂的多体系统。

外界载荷的作用更加复杂，加上人-车-环境的相互作用，给汽车系统动力学的研究带来了很大困难。

由于理论方法和计算手段的限制，该学科曾一度发展较为缓慢。

汽车系统动力学发展的主要障碍在于无法有效地解决复杂的受力条件下多自由度分析模型的建立和求解问题。

多体系统动力学的出现为解决上述问题提供了有效的途径。

经过30多年的努力，现在有许多大型通用多体动力学软件可以对汽车进行分析和计算。

绝对运动规律绝对运动规律是描述物体在绝对参照系中运动的规律，是经典物理学中的基本原理之一。

它是由伽利略和牛顿等科学家在研究物体运动过程中提出的，也是牛顿力学的基础。

根据绝对运动规律，物体在没有外力作用下，将保持其速度和方向不变的状态。

这意味着，在惯性参照系中观察一个自由运动的物体，它的运动状态将保持不变，即匀速直线运动。

首先，我们需要了解参照系的概念。

参照系是我们用来观察物体运动的基准。

在绝对运动规律中，绝对参照系是指一个不存在于物体附近，以物体为中心做匀速直线运动的参照系。

对于一个自由运动的物体，无论我们处于何种参照系中观察，其运动状态都应保持不变。

这是因为物体的运动是相对于参照系来描述的，而不是相对于其他物体。

伽利略在其《关于力的对话》中提到了一个经典的实验来证明绝对运动规律。

他使用一艘上面没有有刻度的船，上面有一个塔和一个水平的甲板。

他请人同时去甲板的两端测量塔的位置，然后让船沿着水平线匀速前进。

实验的结果是测量结果一致，无论船是停靠或者是以恒定的速度行驶，塔的位置都没有变化。

牛顿进一步发展了绝对运动规律，并将其应用到经典力学中。

他的第一运动定律也称为惯性定律，即一个物体在没有外力作用时将保持静止或匀速直线运动的状态。

这个定律实际上就是绝对运动规律在牛顿力学中的表达。

绝对运动规律的应用非常广泛。

它为我们研究物体运动提供了一个简单而有效的方法，特别是在惯性参照系中。

在实际应用中，我们常常利用绝对运动规律来研究天体运动、机械运动和流体运动等。

例如，在天文学中，我们通常以地球为参照系来观察其他天体的运动。

根据绝对运动规律，即使我们观察天体的位置发生变化，实际上是由于地球自转和公转带来的相对运动，而不是天体自身的运动。

在机械工程中，绝对运动规律可以用来分析机械系统的运动。

通过选择合适的参照系和坐标系，我们可以描述物体的运动状态和运动参数，从而进行力学性能和动力学的分析。

此外，绝对运动规律还对物体碰撞、运动轨迹和速度变化等方面的研究提供了重要的指导。

多柔体系统动力学理论概述考虑部件柔性效应的多体系统称为多柔体系统。

多柔体系统动力学主要研究部件的大范围刚体运动和部件本身的弹性形变互相耦合作用下的系统动力学响应。

它是多刚体系统动力学的自然发展，同时也是多学科交叉发展而产生的新学科。

多柔体系统动力学在某种特定假设下可以退化为多刚体系统动力学和结构动力学问题，但其本质是一个高度非线性的耦合复杂问题。

对于多柔体系统动力学建模方法和数值求解的研究，目前已取得了不少成果。

其主要思想是基于多刚体系统动力学，对柔性结构变形进行描述，通常使用有限段方法和模态综合法，在对位形的描述上又分为相对坐标方法和绝对坐标方法。

有限段方法仅适用于细长结构体，其本质是用柔性梁描述结构体的柔性效应，即将柔性结构体离散成有限段梁，每段梁之间用扭簧、线弹簧和阻尼器连接，建立梁段间相对角速率和体间相对（角）速度的广义速率的动力学方程。

模态综合法适合小变形大规模多体系统分析，其将柔性结构体等效成有限元模型节点的集合，将柔性结构体变形处理成模态振型的线性叠加。

同时，每个节点的线性局部运动近似看为振型和振型向量的线性叠加。

一、柔性体运动学描述假设某柔性体如图1所示，在柔性体上建立随体坐标系Oxyz。

图1 柔性体上节点P的位置则在全局坐标系中表示节点P的矢径的列阵为式中，u′o为物体变形时P点相对于o点位矢动坐标的列阵，为常数列阵；u′f为P点相对位移矢量在动坐标系中的列阵。

应用模态综合法，u′f可以表示为式中，Φ＝［Φ1Φ2…ΦN］为模态向量矩阵；q f＝［q f1q f2…q fN］为模态坐标。

将其代入可得对式（1.31）求一阶导数和二阶导数，得到P的速度和加速度表达式：二、多柔体系统的动力学方程本小节使用第一类Lagrange方程建立多柔体系统的动力学方程。

1.柔性体的动能柔性体的动能用广义速度表达为式中，ρ和V分别为柔性体密度还有体积；为柔性体上一点的绝对速度；为广义速度；M为质量（mass）矩阵，可以写成分块形式：2.柔性体的弹性势能柔性体的弹性势能可以由模态刚度矩阵表示：3.阻尼力阻尼力的大小和广义速度相关，通过损耗函数对广义速度的偏导数得到。