高等代数线性变换PPT课件

线性变换的数量乘法满足以下运算规律：
(1) (kl)A = k(lA) (2) (k+l)A = kA + lA (3) k(A + B) = kA + kB (4) 1A = A
结论3 设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和
数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。
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线性变换
二、线性变换乘法
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
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线性变换
§3 线性变换的矩阵
线性变换的幂 设 A∈L(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，
因此对任意取定的正整数n，n个A 的乘积AA…A是一个确定的 线性变换，记为: An。 若A是可逆的，定义A-n = (A-1)n。对任意的A∈L(V)，定义A0=E。
根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：
A m n A m A n , ( A m ) n A m ,n m ,n N
称为线性变换 A 的多项式。
结论6 设f(x), g(x)∈P[x], A ∈L(V), 若h(x)=f(x)+g(x), p(x)=f(x)g(x) 则h(A) = f(A)+g(A), p(A) = f(A)g(A)。特别地, f(A)g(A)=g(A)f(A)， 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。
特别：当W = V时，A 称为线性空间V的一个线性变换。
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线性变换
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； (2) 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； (3) 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； (4) 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
注意：线性变换的 乘积不满足交换律。
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB )
例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的
线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
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线性变换
三、可逆的线性变换
§2 线性变换的运算
§2 线性变换的运算
定义3 设 A, B∈L(V)，对A 与 B 的乘积 AB 定义为：
(A )B A (B ), V
结论4 对∀A, B ∈L(V)，有 AB ∈L(V)。
线性变换的乘法满足以下运算规律：
(1) A ( B + C ) = AB + AC (2) ( B + C )A = BA + CA (3) A ( BC ) = ( A B )C
定义4 设 A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，且B 是 A 的逆变换，记为：B = A-1。 结论5 若A∈L(V)，且 A 是可逆的，则A-1唯一，且 A-1∈L(V)。
简单性质：
(1) ( A-1)-1 = A
(2) ( AB)-1 = B-1A-1
性变换。证明：
A L (1 ,2 , ,r ) L ( A 1 , A 2 , , A r )
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线性变换
§2 线性变换的运算
§2 线性变换的运算
一、线性变换的加法和数量乘法
定义1 设A，B∈L(V)，对A 与B 的和 A + B 定义为：
( A B ) A B , V
结论1 对∀A，B ∈L(V)，有 A +B ∈L(V)。
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线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A (0 ) 0 ,A () A ()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2,,r是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意： 由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB )n ≠ AnBn。
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线性变换
§2 线性变换的运算
定义5 设 f( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 P [ x ]
则对∀A∈L(V) ， f( A ) a n A n a n 1 A n 1 a 1 A a 0 E
例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) A ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) ( x 1 x 2 ,x 2 x 3 ,x 3 x 1 ) (2) A (x 1 ,x 2,x 3) (1 ,x 1 x 2x 3 ,1 )
(3) A (x 1 ,x 2 ,x 3 ) (0 ,x 1 x 2 x 3 ,0 ) (4) A (x 1 ,x 2 ,x 3 ) (x 1 2 ,x 2 x 3 ,x 3 2 )
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (2) A + B = B + A
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线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(k A ) kA , V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。பைடு நூலகம்
例2 设1,2,,n是线性空间V的一组基，A 是V的一个线性
变换，证明：A 可逆当且仅当 A1,A2,,An线性无关。
例3 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换，V1与V2是V的子空 间，且 VV1V2,证明：A 可逆当且仅当 VAV 1 AV 2.
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线性变换
四、线性变换的多项式
§2 线性变换的运算
线性变换
第七章 线性变换
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线性变换
§1 线性变换的定义
§1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
定义1 设V与W是数域P上的线性空间，A 是V到W的一个映射，
如果下列两个条件满足，则称 A 是V到W的一个线性映射：
(1) , V ,A ( ) A () A ()
(2) V ,k P ,A ( k) k A ()