【精品】高中数学 选修1-1_双曲线及其标准方程 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)_基础

双曲线及其标准方程【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程．3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线．定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释：1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．要点二：双曲线的标准方程1．双曲线的标准方程2．标准方程的推导如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．（3）列式设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．∵222212||(),||(),MF x c y MF x c y++=-+∴2222()()2x c y x c y a++-+=±(4)化简将这个方程移项，得当焦点在x轴上时，22221x ya b-=(0,0)a b>>，其中222c a b=+；当焦点在y轴上时，22221y xa b-=(0,0)a b>>，其中222c a b=+2a =两边平方得：22222()44()x c y a x c y ++=±-+化简得：2cx a -=±两边再平方，整理得：()()22222222c a x a y a c a --=- ①（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导） 由于方程①形式较复杂，继续化简．由双曲线定义，22c a ＞ 即c a ＞，所以220c a -＞． 令222(0)c a b b -=＞，代入上式得：222222b x a y a b -=， 两边同除以22a b ，得：即22221x y a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+． 这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：22221y x a b-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+．3． 两种不同双曲线的相同点与不同点不 同 点图形标准方程 22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b -=(0,0)a b >> 焦点坐标()10F c ， ，()20F c ，()10F c ， ，()20F c ，相 同 点 a 、b 、c 的关系 222c a b =+焦点位置的判断哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴要点诠释：1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式． 此时，双曲线的焦点在坐标轴上．2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1． 椭圆、双曲线的标准方程对照表：椭圆双曲线图象定义 根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据||MF 1|－|MF 2||=2a a 、b 、c 关系a 2－c 2=b 2（a 最大） （a ＞c ＞0，b ＞0）c 2－a 2=b 2（c 最大） （0＜a ＜c ，b ＞0）标准方程22221x y a b +=，（焦点在x 轴） 22221y x a b +=，（焦点在y 轴） 其中a ＞b ＞022221x y a b -=，（焦点在x 轴） 22221y x a b -=，（焦点在y 轴） 其中a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）标准方程的 统一形式 221x y m n+= （当0,0,m n m n >>≠时，表示椭圆；当0mn <时，表示双曲线）2． 方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件方程Ax 2+By 2=C 可化为221Ax By C C+=，即221x y C C A B+=， 所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线． 当0,0C CA B ><时，双曲线的焦点在x 轴上； 当0,0C CA B<>时，双曲线的焦点在y 轴上．要点四：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a 、b 、c 的值． 其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程． 要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量． 若两种类型都有可能，则需分类讨论．【典型例题】类型一：双曲线的定义例1． 若一个动点P (x ，y )到两个定点A (－1，0)、A ′(1，0)的距离差的绝对值为定值a ，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【解析】∵｜AA ′｜＝2，∴(1)当a ＝2时，轨迹方程是y ＝0(x ≥1或x ≤－1)，轨迹是两条射线． (2)当a ＝0时，轨迹是线段AA ′的垂直平分线x ＝0．(3)当0＜a ＜2时，轨迹方程是2222144x y a a --＝1，轨迹是双曲线．【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点： 一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，二是这个常数要小于12||F F ，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．举一反三：【变式1】已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A ．22197x y -=B ． 22197x y -= (y>0)C ． 22197x y -=或22179x y -=D ． 22197x y -=(x > 0)【答案】D【变式2】已知点F 1(-8， 3 )、F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|-|PF 2|= 7，则P 点的轨迹是( ) A ． 双曲线 B ． 双曲线一支 C ． 直线 D ． 一条射线 【答案】B【变式3】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．y =0B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）C ．x =0（|y |≥13）D ．以上都不对 【答案】C例2． 已知双曲线过点A （-2，4）、B （4，4），它的一个焦点是1(1,0)F ，求它的另一个焦点2F 的轨迹方程．【思路点拨】利用几何法求2F 的轨迹方程：利用双曲线的定义，可知22|5||||5|||AF BF -=-，化简可知2F 的轨迹是一条直线或椭圆，注意限制条件．【解析】因为11||||5AF BF ==，又由双曲线定义知1212||||||||||||AF AF BF BF -=- 所以22|5||||5|||AF BF -=-①225||5||AF BF -=- 即22||||AF BF =，此时点2F 的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x =1(y ≠0) ②225||(5||)AF BF -=-- 即22||||10AF BF +=，此时点2F 的轨迹为以A 、B 为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为22(1)(4)12516x y --+=（y ≠0）． 【总结升华】双曲线的定义应用中要注意绝对值的意义，比如本例中是1212||||||||||||AF AF BF BF -=-，不要产生漏解．举一反三：【变式1】已知点P (x ，y )4，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线中的一支C ．两条射线D ．以上都不对 【答案】B【变式2】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆C ．抛物线D ．双曲线 【答案】A类型二：双曲线的标准方程例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．22(1)142x y -=； 22(2)4936y x -=； 22(3)638x y -=；8=； 22(5)134x y +=； 22(6)1515x y +=-．【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值． 【解析】（1）能．该双曲线焦点在x 轴上，2a =4，2b =2，222=c a b +=6，所以a =2，b，c． （2）能．双曲线可化为：22194x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =9，2b =4，222=c a b +=13． 所以a =3，b =2，c（3）能．双曲线可化为：2214833x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =43，2b =83，222=c a b +=4，所以abc =2． （4）能． 该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则222=b c a =9，所以b =3．． （6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程． （7）不能表示双曲线，该曲线不存在．【总结升华】化双曲线22Ax By C +=为标准方程的步骤为： （1）常数化为1：两边同除以C ，将双曲线化为 221Ax By C C+=；（2）分子上22x y ，的系数化为1：利用1b a b a⨯=，将双曲线化为221x y C CA B +=； （3）注意符号：若双曲线的焦点在x 轴，则将双曲线化为 221x y C CA B =； 若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为 221y x C CB A=． 举一反三：【变式1】双曲线2kx 2-ky 2=1的一个焦点是F （0，4），则k 为（ ） A ．332-B ． 332C ． 316-D ． 316 【答案】A【解析】由题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，故k <0．双曲线2kx 2-ky 2=1的标准方程为221112y x k k-=--， 所以a 2=1k-，b 2=12k -，222=c a b +=1k -12k -=16，解得k =332-． 【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______． 【答案】1± 【解析】当k>0时，双曲线的标准方程为22118x y k k=，此时22183a b c k k =====，，，解得k=1；当k<0时，双曲线的标准方程为22181x y k k=，此时22813a b c k k ====，， ，解得k ＝－1.所以k 的值为1±.例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．【解析】由题意得2a =24，2c =26．∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为22114425x y -=；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为22114425y x -=．【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴． 双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．举一反三：【高清课堂：双曲线的方程 357256例1】 【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）已知两焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8． （2）双曲线的一个焦点坐标为(0,6)-，经过点(5,6)A -．【答案】（1）221169x y -=，（2）2211620y x -=．【变式2】求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线的标准方程．【解析】解法一：依题意设双曲线方程为22x a －22y b=1由已知得22220a b c +==，又双曲线过点2)，∴2224a b-=∴222222012481a b a b b ⎧+=⎧=⎪⇒⎨=-=⎪⎩ 故所求双曲线的方程为221128x y -=．解法二：依题意设双曲线方程为221164x y k k -=-+，将点2)代入221164x y k k-=-+，解得4k =．类型三：双曲线与椭圆例5．讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．【思路点拨】 观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对于221x y m n+=： 当0,0,.m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩时，方程表示椭圆；当0mn <时，方程表示双曲线． 【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．(2)当9<k <25时，25－k >0，9－k <0，所给方程表示双曲线，其标准方程为221259x y k k -=--．此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)．(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．举一反三：【变式1】设k >1，则关于x ，y 的方程(1-k )x 2+y 2=k 2-1所表示的曲线是（ ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的双曲线 【答案】B【变式2】35m <<是方程222156x y m m m +=---表示双曲线的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A方程222156x y m m m +=---表示双曲线≡()()2560m m m ---<≡35m <<或2m < ． 由于{}|35m m <<◊{}|352m m m <<<或 ，所以35m <<是35m <<或2m < 的充分不必要条件.即35m <<是方程222156x y m m m +=---表示双曲线的充分不必要条件. 【变式3】在ABC ∆中，若B A B A sin sin cos cos >，则方程1cos cos 22=+C y A x 表示（ ） A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线【答案】C【解析】0)cos(sin sin cos cos >+⇒>B A B A B A ，即πππ<<⇒<⇒>-C C C 20cos 0)cos(．所以20π<<A ，0cos >A ，所以1cos cos 22=+C y A x 表示焦点在x 轴上的双曲线，故选C ．例6． 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点)0,(c -和)0,(c )0(>c ，若c 是m a ,的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则c a的值为__________．【思路点拨】分别列椭圆和双曲线中a ，b ，c 的关系式，结合由等差中项、等比中项得到的关系式，利用整体的思想，可得a 、c 的关系，从而求得c a的值．【答案】12【解析】由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+==)3()2(22)1(2222222n m c c m n am c由（2）（3）可得2c m =，代入（1）得12c a =．【总结升华】双曲线与椭圆的共焦点的问题要注意区分，区分焦点所在轴． 举一反三：【变式1】设双曲线方程与椭圆2212736x y +=有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点为A ，且A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．【答案】22145y x -=【变式2】若双曲线221x y m n -=(M >0，n >0)和椭圆221x y a b+=(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．【答案】 a －M【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF1|－|MF 2|＝± ① |MF1|＋|MF 2|＝ ②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．类型四：双曲线方程的综合应用【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】例7． 已知A ，B 两地相距2000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 m/s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．【解析】由题知爆炸点P 应满足||||330413202000PA PB -=⨯=<，又||||,PA PB >所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上． 以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，21320,22000a c ==得660,1000,a c ==∴222564400b c a =-=∴点P 所在曲线的方程是221(0)435600564400x y x -=>【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．举一反三：【变式】设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速340a = 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 中点M 的距离． 【答案】米【巩固练习】 一、选择题1．已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1< k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－12．以椭圆22134x y +=的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )A ．2213x y -=B ．2213x y -=C ．22134x y -=D ．22134y x -=3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．)4．设θ∈(34π，π)，则关于x ，y 的方程221sin cos x y θθ-= 所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆5．已知双曲线221259x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A ．23B ．1C ．2D ．46．已知双曲线的两个焦点为F 1(，0)、F 2，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( )A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=二、填空题7．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是则a ＋b ＝________．8．过双曲线22134x y -=的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．9．如果椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，那么a ＝________．10. 设F 1、F 2分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12+PF PF =__________.三、解答题11．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，求动圆圆心的轨迹方程．12．设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．13．P 是双曲线2216436x y -=上一点，12,F F 双曲线的两个焦点，且1||17PF =，求2||PF 的值．14．若椭圆221x y m n +=(M >N >0)和双曲线221x y a b-=(a >0，b >0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，求|PF 1|·|PF 2|的值．15．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当坐标系．求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程．【答案与解析】 1．【答案】A【解析】 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1． 2．【答案】B【解析】 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，双曲线方程为2213x y -=．3．【答案】C【解析】将方程化为标准方程22112y x -=∴213122c =+=，∴c =，故选C ． 4．【答案】C【解析】 方程即是221sin cos x y θθ+=-，因θ∈(34π，π)， ∴si N θ>0，cO sθ<0，且－cO sθ>si N θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C ． 5．【答案】D【解析】 NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ．6．【答案】C【解析】 ∵c，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2， ∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1． 7．【答案】12【解析】由条件知，221a b ⎧-=⎪=∴122a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ 或 122a b a b ⎧+=-⎪⎨⎪-=-⎩，∵a >0，∴a ＋b ＝12． 8．【答案】【解析】 ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c该弦所在直线方程为x，由22134x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得2163y =，∴||y =． 9．【答案】1【解析】 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1．10．【答案】【解析】依题意，△PF 1F 2构成直角三角形，O 为F 1F 2的中点，故|PO |＝12|F 1F 2|，又12+=2PF PF PO ，故1212+=2==2PF PF PO F F c11．【答案】221412x y -=(x ≤－2)【解析】设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得 |PB |－|P A |＝4<|AB |＝8，由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：221412x y -=(x ≤－2)．12．【解析】以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，它的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为22221916x y a a-=．13．【解析】在双曲线221164x y -=中，8,6,a b ==故10c =由P 是双曲线上一点，得12||||||16PF PF -=． ∴2||1,PF =或2||33,PF = 又2||2,PF c a ≥-=得2||33,PF =14．【解析】不妨设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝．∴|PF 1|，|PF 2|．同理可求P 为左支上的点时情况，都能得到： |PF 1|·|PF 2|＝M －a ．15．【解析】解法一：以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)．(如图)则122121 2yx cyx cc y⎧=⎪+⎪⎪=⎨-⎪⎪⋅⋅=⎪⎩解得53233xyc⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩设双曲线方程为2222134x ya a-=-，将点5323,P⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭代入，可得a2＝512．∴所求双曲线方程为22151123x y-=．解法二：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，作P A⊥x轴于A 点．设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)，(y0>0，c>0)(如图所示)因为tan∠MNP＝－2，所以tan∠xNP＝2，故2PAAN=，12PAAM=，即02yAN=，AM＝2y0，所以322c y=，即43y c=，又因为S△PMN＝1，所以12MN·P A＝1，即142123c c⨯⨯=，∴3c=，而2a＝PM－PN=00y==，∴a=，故所求双曲线方程为22151123x y-=．。

§2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数(小于|F1F2|)；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数(小于|F1F2|)，可得到另一条曲线．梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴y 轴标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系式 a 2＋b 2＝c 2(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上． (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × ) 2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( × )3．双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( × )类型一 双曲线的标准方程 命题角度1 双曲线标准方程的认识例1 方程x 22＋m ＋y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A解析 由题意可知，(2＋m )(m ＋1)<0，∴－2<m <－1.反思与感悟 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．跟踪训练1 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 C解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 命题角度2 求双曲线标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.反思与感悟 求双曲线方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论．(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．跟踪训练2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．(2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.(2)椭圆x 227＋y 236＝1的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(－15，4)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.类型二 双曲线的定义及应用 命题角度1 双曲线中的焦点三角形例3 (1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为________．考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 4a ＋2m解析 由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a . 又|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m . (2)设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 12解析 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝2c ＝213，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0，所以△F 1PF 2为直角三角形．12PF F S＝12×|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12. 引申探究本例(2)中，若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积． 解 由双曲线方程为x 2－y 212＝1， 可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13.因为|PF 1|·|PF 2|＝24，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22×24＝4＋2×24－4×1348＝0，所以△PF 1F 2为直角三角形． 所以12PF F S＝12|PF 1|·|PF 2|＝12. 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式12PF F S＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积． 特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|之间的关系．跟踪训练3 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( ) A ．1 B ．4 C ．6 D ．8 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由余弦定理得|F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2， 即m 2＋n 2－mn ＝8，∴(m －n )2＋mn ＝8，∴mn ＝4， 即|PF 1|·|PF 2|＝4.命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程例4 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且2<6＝|C 1C 2|. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1 (x ≤－1)．反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题． (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练4 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 22－y 214＝1(x ≥2) B.x 22－y 214＝1 C.x 214－y 22＝1 D.x 22＋y 214＝1 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 A解析 设动圆M 的半径为r ，则由已知得 |MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， 所以|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，所以|C 1C 2|＝8，所以22<|C 1C 2|，根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支， 因为a ＝2，c ＝4， 所以b 2＝c 2－a 2＝14，所以点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2).1．已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．不存在D ．一条射线考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 B解析 因为|PF 1|－|PF 2|＝4，且4<|F 1F 2|， 由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支．2．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A解析 由题意知，k ＋3>0且k ＋2<0， ∴－3<k <－2.3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， 则12PF F S＝12|PF 1|·|PF 2|＝24. 4．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 D解析 由a >0,0<a 2<4，且4－a 2＝a ＋2，可解得a ＝1，故选D. 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，10)．考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上， 因为点A (－5,6)在双曲线上， 所以2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8.因为过(3，10)点， 所以9a 2－10b 2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.一、选择题1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D．(3，0)考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案 C解析将双曲线方程化成标准方程为x21－y212＝1，所以a2＝1，b2＝12，所以c＝a2＋b2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案 D解析 将方程化为y 2－n m －x 2－n m＝1， 由mn <0，知－n m>0， 所以方程表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．3．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上一点P 到F 1的距离为12，则P 到F 2的距离为( )A ．17B ．22C ．2或22D ．7或17考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 C解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝10，又|PF 1|＝12，则P 到F 2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选C.4．过点(1,1)，且b a ＝2的双曲线的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 D解析 ∵b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线标准方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线标准方程为y 212－x 2＝1.5．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.653 D ．－653考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k＝9，∴k ＝－1，故选B. 6．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.19D.35考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 B解析 设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18. ①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c 22d 1d 2＝18－166＝13. 7．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．9B ．10C ．16D ．20考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 A解析 △ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，∵|AB |＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线定义知，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，∴4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，∴a ＝3，∴m ＝a 2＝9.8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 B解析 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 二、填空题9．若点P 到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________________． 考点 双曲线的标准方程的求法题点 定义法求双曲线的标准方程答案 y 2－x 28＝1(y ≥1) 解析 由题意结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹为双曲线上支，且c ＝3,2a ＝2，a ＝1，b 2＝9－1＝8，故点P 的轨迹方程为y 2－x 28＝1(y ≥1)． 10．双曲线x 264－m 2－y 2m 2＝1(0<m <5)的焦距为________． 考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数答案 16解析 在双曲线x 264－m 2－y 2m 2＝1(0<m <5)中， a 2＝64－m 2，b 2＝m 2.∴a 2＋b 2＝64，可得c ＝8,2c ＝16.11．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)的双曲线的标准方程是________．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 y 225－x 275＝1 解析 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 12．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝3－1＋3＋1＝2 3.三、解答题13.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．考点 双曲线的定义题点 由双曲线的定义确定轨迹方程解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 四、探究与拓展14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________. 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用答案 56解析 设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由双曲线定义，得a －c ＝10，由正弦定理，得sin A －sin C sin B ＝a －c b ＝1012＝56. 15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25， 因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角．故△MF 1F 2为钝角三角形．。

2.2 双曲线2.2.1双曲线及其标准方程1、定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.2、标准方程：12222=-b y a x (a ＞0,b ＞0)或12222=-bx a y (a ＞0,b ＞0) 3、a 、b 、c 三者之间的关系：a 2+b 2=c 24、与椭圆定义对照，比较两者有什么相同点与不同点？两者都是平面内动点到两个定点的距离问题，两者的定点都是焦点，两者定点间的距离都是焦距，所不同的是椭圆是距离之和，双曲线是距离之差的绝对值.5、椭圆是平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹，双曲线是平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.6、双曲线的定义中为什么要强调常数——差的绝对值小于|F 1F 2|呢？如果差的绝对值即常数等于|F 1F 2|，那么图形为两条射线；如果差的绝对差即常数大于|F 1F 2|，那么无轨迹.2.2.2 双曲线的简单几何性质1、范围：双曲线位于x ≥a 与x ≤-a 的区域内；2、对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.3、顶点：双曲线和它的一条对称轴——x 轴有两个交点A 1（-a ,0）,A 2(a ,0),所以双曲线的顶点是（±a ,0）.4、实（虚）轴：双曲线12222=-by a x (a ＞0,b ＞0)与y 轴没有交点，但我们也把B 1（0，-b ),B 2（0，b ）画在y 轴上. 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a ,虚轴的长为2b ，a 是实半轴的长，b 是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.5、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=a c 叫做双曲线的离心率.e=a c且e ∈(1,+∞)，这是因为c ＞a ＞0.6、渐近线：我们把两条直线y=±a bx 叫做双曲线的渐近线.7、等轴双曲线：在方程12222=-b y a x 中，如果a=b ，那么双曲线的方程为x2-y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等于2a,这时四条直线x=±a,y=±a 围成正方形.渐近线方程为y=±x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.8、双曲线的画法：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分.最后根据双曲线的对称性画出完整的双曲线.9、.由等式c2-a2=b2可得11)(2222-=-=-=e a c a a c a b ，所以， e 越大，a b 也越大，即渐近线y=±a b x 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大。

双曲线知识点及题型总结一、知识点解析 1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222by a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21(a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x表示双曲线”的( ) A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( )A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3] 3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。

双曲线及标准方程、几何性质一、双曲线的定义及标准方程【知识要点】1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两定点21,F F 的距离之差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数)),1((+∞∈e e 的点的轨迹叫做双曲线。

2. 双曲线的方程(1)标准方程:12222=-b y a x 或12222=-b x a y ，其中222,0,0b a c b a +=>>。

(2)一般方程：122=+By Ax ，其中0<AB【基础训练】1．已知点)0,5(1-F ，)0,5(2-F ，动点P 满足821=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.线段 2．已知双曲线19422=-y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.1B.9C.1或9D.4或93．到两定点)5,0(),5,0(B A -的距离之差的绝对值为6的动点的轨迹方程为 。

4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)2,3(的双曲线的标准方程是 。

5．已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足3=-PB PA ，O 为AB 的中点，则OP 的最小值为 。

【典例精析】例1．方程13122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是（ ） A. 3<m 且1≠m B.1>m 且3≠m C.31<<mD.3>m 或1-<m例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,分别求满足下列条件的双曲线的方程.(1)一个焦点为)0,4(-，且一条渐近线的方程是023=-y x ;(2)离心率为2,且过点)10,4(-P .例3．求与圆4)2(22=++y x 外切，并过定点)0,2(B 的动圆圆心M 的轨迹方程。

双曲线的简单性质【学习目标】1．知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念．2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质范围221x a ≥，即22x a≥∴x a≥，或x a≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x= -a和x= a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a≥，或x a≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x ya b-=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1c e a=>．由c 2= a 2+b 2，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，ba越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±．我们把直线by x a=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．22||b b MN x a x a a=-- 2222b x a x aabx x a=--=→+-【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】 要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程22221x y a b-=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距2212||2()F F c c a b ==+2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性关于x 轴、y 轴和原点对称要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=⇒0x y a b ±=⇒by x a=±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x y a b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：21211222121122||||||||11||||||||PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a======+>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来；（5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即b k a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >>．【解析】 把方程化为标准方程221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c =，∴双曲线的实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53c e a ==，渐近线方程为34y x =±【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．14- B ．－4 C ．4 D ．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k 的值等于（ ） A ．－2 B ．1 C ．－1 D ．32- 【答案】C例2．方程2215||2x y m m -=--表示双曲线，求实数m 的取值范围． 【解析】由题意得50||20m m ->⎧⎨->⎩或505||2022m m m m m -<>⎧⎧⇔⎨⎨-<<->⎩⎩或或522m m <⎧⎨-<<⎩522m m ⇔>-<<或．∴实数m 的取值范围为{|522}m m m >-<<或． 【总结升华】方程Ax 2+By 2=1表示双曲线时，A 、B 异号． 举一反三：【变式1】求双曲线22221124x y m m-=+-的焦距． 【答案】8【变式2】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C类型二：双曲线的渐近线例3． 根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】（1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b -=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪--=，解得24a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(3,-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴284λ=，解得4λ=，∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（ ）A ．225513654x y -=B ．225513654x y -+= C ．22131318136x y -= D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（ ）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对 【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4． 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴123||2tan30AF c ==，224||2tan30cos30c AF c ===∴21||||2AF AF a -===，∴c e a==【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)，求双曲线的方程． (2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=（2）2241273y x -=【变式2】已知双曲线2222x y a b-=1与x 轴正半轴交于A 点，F 是它的左焦点，设B 点坐标为(0，b )，且AB ⊥BF ，则双曲线的离心率为（ ）A 、B C D 【答案】B【变式3】 若椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的离心率为_______【答案】例5． 已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．【思路点拨】利用1212+PF PF F F ≥构造关于a ，c 的不等式，从而求出离心率e 的取值范围．【解析】由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得：183a PF =，22=3a PF ， 又1212+PF PF F F ≥，即1023ac ≥， 所以53a e c=≤，即e 的最大值为53．【总结升华】离心率的取值范围和最值问题关键是要找到双曲线几何量的不等关系；如定义、韦达定理等；从而求出e 的范围．举一反三：【变式1】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e－2 B ．1<e <2 C ．1<e <3D ．1<e <2【答案】D【变式2】已知过双曲线22221x y a b-=右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．【答案】 (1类型五：双曲线的焦点三角形例6．若F 1，F 2是双曲线221916x y -=的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．【思路点拨】结合双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝6与条件|PF 1|·|PF 2|＝32，利用余弦定理求12cos F PF ∠的值，从而求出∠F 1PF 2的大小．【解析】 由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5． 由双曲线的定义得， ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6． 上式两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝100， 由余弦定理得，22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅1210010002||||PF PF -==⋅，所以∠F 1PF 2＝90°．【总结升华】 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式】已知双曲线2212416x y -=，P 为双曲线上一点，12F F 、是双曲线的两个焦点，并且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．【答案】类型六：直线和双曲线的位置关系例7． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数． 【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解．【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 聚项整理得： (1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ①(1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)， 则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)．(4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点．综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( )A ．⎥⎥⎦⎤⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D例8．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．解：由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x =-=== （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k <<且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y xx y =-， 即2240x y y -+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法． 举一反三：【变式1】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=截得的弦长为3，求直线l 的方程【答案】210y x =±【变式2】双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A ． 12-=x y B ． 22-=x y C ． 32-=x y D ． 32+=x y 【答案】C【巩固练习】 一、选择题1．已知双曲线与椭圆221925x y +=共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是( )A ．221124x y -=B ．221412x y -= C ．221124x y -+=D ．221412x y -+= 2．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y x =-，则双曲线的离心率为( )A ．2296x y -=B ． 22160y x -=C ． 2280x y -=D ． 2224y x -=3．过双曲线2222by a x -=1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q =90︒，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．1+2C ．2+2D ．34． 已知双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝±C ．y ＝±4xD ．y ＝±3x5．与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且经过点(-3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．16．以椭圆14416922y x +=1的右焦点为圆心，且与双曲线16922y x -=1的渐近线相切的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2-10x +9=0B ．x 2+y 2-10x -9=0C ．x 2+y 2+10x -9=0D ．x 2+y 2+10x +9=0二、填空题7．双曲线2214x y b +=的离心率e ∈(1，2)，则b 的取值范围是________． 8．椭圆22214x y a+=与双曲线2221x y a -=焦点相同，则a ＝________．9．双曲线以椭圆221925x y +=的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．10．双曲线22163x y -=的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________． 三、解答题11． 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围12． 设F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．13．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)过点A ，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43．求此双曲线方程． 14．已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为12F F 、，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．15．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由． (1)渐近线方程为x ＋2y ＝0及x －2y ＝0；(2)点A (5，0)到双曲线上动点P ．【答案与解析】 1．【答案】 C【解析】∵椭圆221925x y +=的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为144102555-==， ∴双曲线方程为：221412y x +=．2．【答案】 D【解析】 设双曲线方程为22(0)y x λλ-=≠∵焦点(0,±∴0,λ>又22(43)λ=，24λ= 3． 【答案】B【解析】因为|PF 2|=|F 2F 1|， P 点满足2222b y a c -=1，∴22b y c a a=-，∴222b c c a a =-，即 2ac=b 2=c 2-a 2， ∴12e e=-，故e=1+2．4． 【答案】 B 【解析】如图，分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ，∴13OA AB OF FC ==， ∴13a c =，∴22ba= 故渐近线方程为：2y x =±．5． 【答案】C【解析】设所求方程为22916x y k -=，代入(-3，23)得14k =， 52c =， ∵双曲线221916x y -=的渐近线为43y x =±， ∴焦点5(,0)2到渐近线43y x =±的距离d=2．6． 【答案】A ．【解析】由题意知圆心为（5，0）． 圆心到双曲线渐近线的距离为圆的半径r ，∴4r ==，∴所求圆的方程为(x -5)2+y 2=16，即 x 2－10x +y 2+9=0． 7． 【答案】 －12<b <0 【解析】 ∵b <0，∴离心率e =∈(1，2)， ∴－12<b <0． 8．【答案】2【解析】； 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a9．【答案】221253944y x -= 【解析】 椭圆221925x y +=中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16， 焦点为(0，±4)，离心率45c e a ==， ∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴111485c a a ==，∴a 1＝52， ∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394， ∴双曲线的方程为221253944y x -=． 10． 【答案】【解析】 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．双曲线22163x y -=的渐近线方程为2y x x ==±，∴20y ±=，由题意，得r ==11． 【解析】由条件知焦点在y 轴上，22c =，2ca=；可求222,2a b c a ==-=；所以双曲线的方程为221,44y x -=渐近线方程为y x =±12．【解析】由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解．消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0． 242210.02 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<<≠⎨+->⎪⎩所以解得且双曲线的离心率22111.021,6226(,2)(2,).a e a a a e e e +==+<<≠∴>≠+∞且且即离心率的取值范围为12． 【解析】过F 2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知 F 2A ＝2a ， F 1F 2＝2c ，则 AF 1＝2b ，∴ PF 1＝4b ，而 PF 1－ PF 2＝2a ，∴4b －2c ＝2a ， c ＝2b －a ， c 2＝(2b －a )2，a 2＋b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得43b a =， ∴双曲线的渐近线方程为43y x =±．13．【解析】 双曲线22221x y a b-=的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0．点A 到两渐近线的距离分别为122|145|b a d a b +=+，222|145b ad a b -=+已知d 1d 2＝43，故2222|145|43b a a b -=+ (ⅰ)又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4．故所求双曲线方程为22142x y -=．14． 【解析】解法一： 由双曲线的方程知a=2， b=1， ∴5c =．因此12||225F F c ==．由于双曲线是对称图形，如图所示，设P 点坐标为(x ，142-x )，由已知F 1P ⊥F 2P ，∴111F P F P k k ⋅=-， 即221144155x x x x --⋅=-+-，得2245x =，∴1221211||12512425F PF x S F F ∆=⋅⋅-=⨯⨯= 解法二：∵(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2=16，又由勾股定理得|PF 1|2+|PF 1|2=(2c)2=20，∴|PF 1||PF 2|=21[|PF 1|2+|PF 2|2-(|PF 1|-|PF 2|)2]=21(20-16)=2，∴121F PF S ∆=．15．【解析】假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．(1)若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程为12y x =±，所以由条件(1)，设双曲线方程为222214x y b b -=，设动点P 的坐标为(x ，y )，则||AP ==由条件(2)，若2b ≤4，即b ≤2，则当x ＝4时，||AP ==最小b 2＝－1，这不可能，无解；若2b >4，则当x＝2b 时，|||25|AP b =-=最小，解得b =2<，应舍去），此时存在双曲线方程为221=． (2)若双曲线的焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为222214y x a a-=(x ∈R )，所以||AP =因为x ∈R ，所以当x ＝4时，||AP ==最小．所以a 2＝1，此时存在双曲线方程为2214x y -=．。

2.2双曲线2．2.1双曲线及其标准方程1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．(难点)[基础·初探]教材整理1双曲线的定义阅读教材P45～P46思考与讨论，完成下列问题．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是两条射线．()【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2双曲线的标准方程阅读教材P 46思考与讨论下面第一行～P 47例1以上部分，完成下列问题． 双曲线的标准方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(2)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( )(3)双曲线x 2－y 23＝1的焦点在y 轴上．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型]。

－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。

庖丁巧解牛知识·巧学1.范围：双曲线在不等式x≥a 与x≤-a 所表示的区域内. 由双曲线的标准方程2222by a x -=1可得x 2≥a 2，当|x|≥a 时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值.这说明从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的.坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心称为双曲线的中心.3.顶点：双曲线的顶点为A 1(a,0),A 2(-a,0).辨析比较 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异.4.渐近线：直线y=±a bx （by a x ±=0），叫做双曲线的渐近线.当a=b 时，双曲线方程变成x 2-y 2=a 2(或b 2），它的实轴和虚轴长都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为y=±x ，它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.知识拓展 共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为y=ab x ，那么此双曲线方程就一定是：2222by a x -=λ. 方法点拨 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=ac a c =22，叫做双曲线的离心率. 深化升华 双曲线形状与e 的关系：双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约.由于k=1122222-=-=-=e ac a a c a b ，因此e 越大，渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.6.双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 e=ac (c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线.其中定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率.问题·探究问题 已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：2222by a x -写出具有类似特性的性质，并加以证明.探究：类似的性质为若MN 是双曲线2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m ，n ），则点N 的坐标为（-m ，-n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x ，y ），由k PM =m x n y --，k PN =m x n y ++，得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y -- ,将y 2=22a b x 2-b 2,n 2=22a b m 2-b 2, 代入得k PM ·k PN =22ab . 典题·热题例1求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.思路分析：本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线的几何性质包含双曲线的x 的取值的范围、双曲线图象的对称性、双曲线的顶点、双曲线图象的渐进线、双曲线的离心率及第二定义等.解：把方程16x 2-9y 2=-144化为标准方程222234x y -=1 由此可知,实半轴长a=4，虚半轴长b=3；c=22b a +=5；焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；离心率e=45=a c ；顶点坐标为(0，-4)，(0，4)；渐近线方程为y=±34x 深化升华 双曲线2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的渐近线为y=±a b x ，双曲线2222b x a y -=1 的渐近线为x=±a b y ，即y=±ba x ，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.例2已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2且过点(4，10-).(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x=3与双曲线交于M 、N 两点，求证：F 1M ⊥F 2M.思路分析：本题主要考查双曲线性质的应用.通过双曲线的离心率及其上面的一点求双曲线的标准方程是我们要掌握的一种常见技巧. (1)解：由双曲线的离心率为2，即2=a c ，则222a b a +,∴a=b ，即双曲线为等轴双曲线. 设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0).由于双曲线过点(4，10-)，则42-(10-)2=λ.∴λ=6.∴双曲线方程为6622y x -=1. (2)证明：由(1)可得F 1、F 2的坐标分别为(32-，0)、(32，0)，M 、N 的坐标分别为(3，3)、(3，3-).∴M F k 1=3223+，M F k 2=3233-. 故M F k 1·M F k 2=3223+·3233-=-1.∴F 1M ⊥F 2M. 方法归纳 给定离心率的双曲线问题应先研究a 、b 的关系，简化设方程的字母个数.λ≠0时，方程x 2-y 2=λ，既可表示焦点在x 轴上也可表示焦点在y 轴上的双曲线.例3已知双曲线2222by a x -=1(a>0，b>0)的焦点坐标是F 1(-c ，0)和F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)是双曲线上的任一点，求证：|PF 1|=|a+ex 0|，|PF 2|=|a-ex 0|，其中e 是双曲线的离心率.思路分析：本题主要考查双曲线第二定义的应用.双曲线的第二定义可以算作双曲线的一种简单性质来应用.解：双曲线2222by a x -=1的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,，0)，相应的准线方程分别是x=c a 2-和x=ca 2. ∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率， ∴||||201c a x PF +=e,||||202ca x PF -=e.化简得|PF 1|=|a+ex 0|，|PF 2|=|a-ex 0|. 深化升华 |PF 1|、|PF 2|都是双曲线上的点到其焦点的距离，通常称作焦半径.|PF 1|=|a+ex 0|，|PF 2|=|a-ex 0|称作焦半径公式.例4求证：双曲线2222by a x -=1(a>0，b>0)上任何一点到两条渐近线的距离之积为定值. 思路分析：本题考查双曲线几何性质的综合应用.将双曲线有关的性质综合起来在解题中综合考查，对于这类问题，我们要有良好的基本功才能对付好.证法一：设P(x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两条渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0可得：P 到bx+ay=0的距离d 1=2200||b a ay bx ++;P 到bx-ay=0的距离d 2=2200||b a ay bx +-.∴d 1·d 2=2200||b a ay bx ++·2200||ba ay bx +-=22202202||b a y a x b ++. 又P 在双曲线上，∴220220by a x -=1 ,即b 2x 02-a 2y 02=a 2b 2.∴d 1·d 2=2222b a b a +，即点P 到两条渐近线的距离之积为定值. 方法归纳 所谓定值，是与P 点在曲线上的位置无关，为了达到目标明确，可先通过特殊的情况求出一个常数，猜想其定值.。

2021-2022年高中数学双曲线知识精讲文苏教版选修1-1【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线二. 重点、难点：重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程．难点：理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．三. 主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．当|MF1|－|MF2|＝2a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，双曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.2、标准方程的推导（1）建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的.以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图）．设|F1F2|＝2c（c＞0），M（x，y）为双曲线上任意一点，则有F1（－c，0），F2（c，0）．（2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为：P＝{M||MF1－MF2|＝2a}.=±（32a（4）化简方程（其中c2＝a2+b2）条件 标准 方程－＝1（a>0，b>0）－＝1（a>0，b>0）图形范围 |x|≥a|y|≥a对称性 x 轴，y 轴，原点 顶点 坐标 （±a ，0） （0，±a ） 实轴 虚轴 x 轴，实轴长2a y 轴，虚轴长2b y 轴，实轴长2a x 轴，虚轴长2b 焦点 坐标 （±c ，0）c ＝ （0，±c ）c ＝ 离心率 e ＝， e >1 渐近线y ＝±xy ＝±x 4、方法小结（1）由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数），再由题设条件确定参数值，应特别注意：①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；②已知渐近线的方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ（λ≠0），根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞0，则焦点在x 轴上，若求得λ＜0，则焦点在y 轴上．（2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错．（3）双曲线中有一个重要的Rt △OAB （如下图），它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2+b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝＝．xyOF F a b cB A 21（4）参数a 、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a ＞0，b ＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2+b 2；在方程Ax 2+By 2＝C 中，只要AB ＜0且C ≠0，就是双曲线的方程．（5）给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±＝0，则可把双曲线方程表示为－＝λ（λ≠0），再根据已知条件确定λ的值，求出双曲线的方程．【典型例题】例1. 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2）； （2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）.（3）求中心在原点，两对称轴为坐标轴，并且经过P （3，）Q （，5）．剖析：设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为－＝1，由题意得2243(3) =1 b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩ 解得a 2＝，b 2＝4．所以双曲线的方程为－＝1． （2）设双曲线方程为－＝1. 由题意易求c ＝2． 又双曲线过点（3，2）， ∴－＝1.又∵a 2+b 2＝（2）2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线的方程为－＝1． 解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0）， 将点（－3，2）代入得λ＝， 所以双曲线方程为－＝． （2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k ＝4，所以双曲线方程为－＝1．评述：求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e ）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ（λ≠0）．与－＝1同焦点的可设为－＝1（3）设双曲线方程为（mn>0）将PQ 两点坐标代入求得m ＝－16，n ＝－9. 故所求方程为说明：若设－＝1或－＝1两种情况求解，比较繁琐．例2. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B （－1，0），C （1，0），求满足sinC －sinB ＝sinA 时，顶点A 的轨迹方程，并画出图形．解：根据正弦定理得c－b＝a＝1即AB－AC＝1，所以点A的轨迹为双曲线又c＝1，a＝，∴b＝c2－a2＝故双曲线方程为2211344x y-=（x>）例3. （xx年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y 轴距离之比为2，求m的取值范围．剖析：由|PM|－|PN|＝2m，得||PM|－|PN||＝2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P 到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围.解：设点P的坐标为（x，y），依题意得＝2，即y＝±2x（x≠0）．①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|＝2．∵||PM|－|PN||＝2|m|>0，∴0<|m|<1．因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上．故－＝1．②将①代入②，并解得x2＝，∵1－m2>0，∴1－5m2>0．解得0<|m|<，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）．评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是用好双曲线的定义．例4. （xx年春季上海）已知椭圆具有的性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C’：－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为若MN是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值．设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（－m，－n），其中－＝1．又设点P的坐标为（x，y），由k PM＝，k PN＝，得k PM·k PN＝·＝，将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得k PM·k PN＝．评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求．【模拟试题】（完成时间60分钟，满分100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）A. 椭圆B. 线段C. 双曲线D. 两条射线2. 方程表示双曲线，则的取值范围是（）A. B. C. D. 或3. 双曲线的焦距是（）A. 4B.C. 8D. 与有关4.（xx年天津，4）设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|＝3，则|PF2|等于A. 1或5B. 6C. 7D. 95. （xx年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax2+by2＝1为双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件6. 焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）A. B. C. D.7. 若，双曲线与双曲线有（）A. 相同的虚轴B. 相同的实轴C. 相同的渐近线D. 相同的焦点8. 过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（）A. 28B. 22C. 14D. 129. 已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条10. 给出下列曲线：①4x+2y－1＝0；②x2+y2＝3；③④，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题（每小题5分，共20分）11.（xx年上海）给出问题：F1、F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上．______________________________________________________．12. 过点A（0，2）可以作_________条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点．13. 直线与双曲线相交于两点，则＝__________________．14. 过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线的方程为．三、解答题（40分）15. （本题满分14分）、已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．16. （本题满分14分）、已知双曲线x2－＝1与点P（1，2），过点P作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.17. （本题满分12分）、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/ s：相关各点均在同一平面上）．【试题答案】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11. |PF 2|＝17 12. 4 13. 14. 三、解答题（40分）15. 解：（1）由16x 2－9y 2＝144得－＝1，…………2' ∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1（－5，0），F 2（5，0），…………4' 离心率e ＝，…………6'渐近线方程为y ＝±x.…………8'（2）||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝ …………10'＝|PF ||PF |2|F F ||PF ||PF |2|)PF ||PF (|2122121221-+-＝ ＝0. …………12'∴∠F 1PF 2＝90°。

庖丁巧解牛知识·巧学一、双曲线的定义平面内到两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫双曲线. 即||MF 1|-|MF 2||=2a.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关.在同样的距离差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔；两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄.深化升华 双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|-|MF 2||=2a ，其中2a ＜|F 1F 2|，这与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|-|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；轻轻告诉你当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a=|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.二、双曲线的标准方程在双曲线的标准方程中a,b,c 有关系式c 2=a 2+b 2成立，且a ＞0,b ＞0,c ＞0；其中a 与b 的大小关系：可以为a=b,a ＜b,a ＞b. 1.2222by a x -=1,它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F 1(-c,0),F 2(c,0)，其中c 2=a 2+b 2； 2.2222bx a y -=1它所表示的双曲线的焦点在y 轴上，焦点是F 1(0,-c)，F 2(0,c)其中c 2=a 2+b 2. 从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x 2、y 2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴.而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上.要点提示 若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如将2222by a x -=1 中的x,y 互换，则可得到2222bx a y -=1，这也是双曲线的标准方程. 知识拓展 推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程.过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明.问题·探究问题 如何理解双曲线的定义？探究：双曲线用集合语言叙述为：“平面内点集P={M||MF 1|-|MF 2||=2a ，a>0，2a<|F 1F 2|}，其中两定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.若没有“绝对值”，则动点的轨迹是双曲线的一支；当|MF 1|-|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支.（2）0<2a ＜|F 1F 2|，当2a=|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在；当2a=0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线.典题·热题例1已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.思路分析：本题主要考查双曲线的标准方程的求法.一般情况下，要求双曲线的标准方程，我们可以根据题给条件设a ，b 或c ，然后再又已知条件计算出a 、b 、c 的值.解：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a=24，2c=26.∴a=12，c=13，b 2=132-122=25.当双曲线的焦点在x 轴上时,双曲线的方程为2514422y x -=1. 若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为2514422x y -=1. 方法归纳 求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系.求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正、负.例2在△MNG 中，已知NG=4，当动点M 满足条件sinG-sinN=21sinM 时，求动点M 的轨迹方程.思路分析：本题主要考查双曲线的定义及标准方程的应用.根据双曲线的标准方程及题给条件，我们可以把已知关系进行转化，从而得到所要求的点的轨迹方程.解：如右图以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系. ∵sinG-sinN=21sinM, ∴由正弦定理,得|MN|-|MG|=21×4. ∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点). ∴2c=4，2a=2，即c=2，a=1.∴b 2=c 2-a 2=3.∴动点M 的轨迹方程为x 2-32y =1(x>0,且y≠0). 方法归纳 求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支并且去掉一个点.这种情况一般在求得方程的后面给以说明，并把说明的内容加上括号.例3双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)与直线x=6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20，求该双曲线的方程.思路分析：本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程.根据题目中给定的条件，我们可以求出双曲线中a 、b 、c 的相关关系，从而得解.解：将x=6代入双曲线方程，得22226by a -=1，则y=±226a a b -, 设一个交点P 的坐标为(6，226a -)，则由题意， 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-++-=222222222,30)6()6(,20302b a c a a b c a 解之得a=5，b 2=3658925⨯. 故所求的双曲线方程为36589252522⨯-y x =1. 方法归纳 求双曲线方程就是求出a 、b 的值，然后代入计算，其中利用已知条件列出关于a 、b 的方程组是关键.例4求与两圆(x+5)2+y 2=49，(x-5)2+y 2=1都外切的动圆圆心的轨迹方程.思路分析：本题主要考查双曲线方程及定义的简单应用.根据题目给出的相关条件判断所求的曲线的形状后再进行代值计算是关键.解：由已知，两圆的圆心分别为A(-5，0)、B(5，0)，两圆的半径分别为r 1=7，r 2=1， 设动圆圆心为P ，半径为R ，则|PA|=7+R ，|PB|=1+R ，∴|PA|-|PB|=(7+R)-(1+R)=6. 又6<10，∴动圆圆心P 的轨迹为以A 、B 为焦点，2a=6的双曲线的右支； 故所求动圆圆心的轨迹方程为16922y x -=1(x>0).。

双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F F |21)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程及简单几何性质3.等轴双曲线(1)定义: 实轴和虚轴长相等的双曲线, 叫做等轴双曲线.其方程的一般形式. 性质: ①渐近线方程: ；②离心率. 4.有共同渐近线的双曲线方程(1)当已知双曲线的渐近线方程x a b y ±=,可设双曲线方程为)0(by a x 2222≠λλ=-.(2)与双曲线1b y a x 2222=-有相同的渐近线的双曲线方程可设为)0(by a x 2222≠λλ=-.基础巩固:1.双曲线216x-29y=1的左、右焦点分别为F1,F2,P在双曲线上,且|PF1|=2,则|PF2|等于___________.2.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6,该曲线方程是________________.3.已知方程23xk-+25yk-=1表示双曲线,则k的取值范围为____________________.4.双曲线24x-25y=1的离心率e等于__________.5.已知双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为____________.6.已知双曲线过点),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为.7.椭圆24x+22ym=1与双曲线22xm-22y=1有相同的焦点,则m的值是___________.8.已知双曲线225x-29y=1的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于_________.例题讲解:例1双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,求双曲线的渐近线方程变式训练:设双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,求双曲线的渐近线的斜率例2已知中心在原点,x-y=0,求双曲线的离心率.变式训练:过双曲线C:22xa-22yb=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.例3已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为(2,0),右顶点为(1)求双曲线C的方程;(2)若直线C恒有两个不同的交点A和B,且OA·OB>2(其中O为原点),求k的取值范围.变式训练:已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-22y=1于A,B两点,且ON=12(OA+OB).(1)求直线AB的方程;(2)若过N的直线交双曲线于C,D两点,且CD·AB=0,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?课后作业:1.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且|AB|=5,若实轴长为8,则△ABF2的周长为( )(A)16 (B)18 (C)21 (D)262.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )(A)1 (B)17 (C)1或17 (D)以上答案均不对3.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是( )(A)(-3,-2) (B)(-∞,-3) (C)(-∞,-3)∪(-2,+∞) (D)(-2,+∞)4.已知双曲线22xa-23y=1(a>0)的离心率为2,则a等于( )(A)2 (B) (C) (D)15.以椭圆24x+22y=1的长轴端点为焦点,以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为_____________.6.设F1,F2是双曲线C的两焦点,点M在双曲线上,且∠MF2F1=,若|F1F2|=8,|F2M|=,则双曲线C的实轴长为_______________.7.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为_____________8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.9.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线AB,其中A,B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为___________.10.F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为( )(A)(B) (C) (D)。

高二数学选修一双曲线的知识点双曲线是高二数学选修一中的重要内容，它在几何和代数两方面有着广泛的应用。

掌握双曲线的知识点，不仅可以理解它的几何特性，还可以解决一些与双曲线相关的问题。

本文将从定义、方程、性质和应用几个方面介绍双曲线的知识点。

一、定义双曲线是一条平面曲线，其定义基于离心率。

对于给定的两个焦点F1和F2及离心率e，双曲线是到F1和F2的距离的差的绝对值等于常数2ae的所有点的集合。

二、方程双曲线的标准方程有两种形式，一种是横轴为实数轴的标准方程，另一种是纵轴为实数轴的标准方程。

1. 横轴为实数轴的标准方程若给定双曲线的中心坐标为(h, k)，横轴长度为2a，纵轴长度为2b，则双曲线的标准方程为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 12. 纵轴为实数轴的标准方程若给定双曲线的中心坐标为(h, k)，纵轴长度为2a，横轴长度为2b，则双曲线的标准方程为：(y-k)²/a² - (x-h)²/b² = 1三、性质双曲线有许多独特的性质，包括离心率、渐近线、焦点和直线与双曲线的关系等。

1. 离心率双曲线的离心率e是一个重要的参数，它决定了双曲线的形状。

离心率e的计算公式为：e = c/a其中c为两个焦点之间的距离，a为半轴长。

2. 渐近线对于纵轴为实数轴的双曲线，其两条渐近线的方程分别为：y = k ± a/b · (x-h)对于横轴为实数轴的双曲线，其两条渐近线的方程分别为：y = k ± b/a · (x-h)3. 焦点和直线与双曲线的关系双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2ae。

双曲线上的两条短轴与两个焦点的连线垂直，并且交于双曲线的中心点。

四、应用双曲线在物理、经济学和工程学等领域有广泛的应用。

以下是双曲线在不同领域中的应用举例。

1. 物理学中的双曲线双曲线常用于描述光的折射、反射和散射等现象。