圆柱与圆锥的等积变形问题

证明圆锥的体积是和他同底等高圆柱的三分之一圆锥和同底等高圆柱是常见的几何图形，在上学时我们学习到了圆锥和同底等高圆柱的表面积和体积的计算公式，这里我们就来谈一下证明圆锥的体积是和他同底等高圆柱的三分之一这个问题。

首先，我们来介绍一下圆锥和同底等高圆柱的表面积和体积的计算公式：圆锥的表面积：S=πrl+πr²圆锥的体积：V=1/3πr²h同底等高圆柱的表面积：S=2πrh+2πr²同底等高圆柱的体积：V=πr²h通过上面的公式，我们可以发现，圆锥和同底等高圆柱的表面积和体积有着很大的区别。

接下来，我们来证明一下圆锥的体积是和他同底等高圆柱的三分之一。

首先，我们假设有一个底面半径为r，高为h的圆锥和一个底面半径为r，高为h的同底等高圆柱。

通过观察圆锥和同底等高圆柱的图形，我们可以发现，同底等高圆柱可以被划分成n个与圆锥相似的小圆锥，其中n表示同底等高圆柱的高与圆锥的高的比值。

这些小圆锥的底面积都是圆锥的底面积的1/n，高都是同底等高圆柱的高的1/n。

那么，这n个小圆锥的体积分别为：V1=1/3π(r/n)²(h/n)V2=1/3π(r/n)²(2h/n)V3=1/3π(r/n)²(3h/n)…Vn=1/3π(r/n)²(nh/n)将这n个小圆锥的体积相加，可以得到：V=V1+V2+V3+ (V)V=1/3πr²h/n(1+2+3+…+n)我们知道，1+2+3+…+n=n(n+1)/2，将其代入上式中，可以得到：V=1/3πr²h/n(n+1)/2V=1/3πr²h(1/2)(n/n+1)因为同底等高圆柱的高与圆锥的高的比值为n，所以：V=1/3πr²h(1/2)(1/n+1)V=1/3πr²h(1/2)(h/h+r)V=1/3πr²h/3可以得出，圆锥的体积是和他同底等高圆柱的三分之一。

圆柱等积变形的易错题和好题1．如图，把纸盒里的牛奶倒入圆柱体容器中正好倒满，这纸盒中的牛奶有多少毫升？2．一个底面内半径和高分别是12cm、20cm的空心圆锥和空心圆柱组合成如图①所示的容器。

若在这个密封容器内注入一些细沙，则不仅能填满圆锥，还能填注部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高5cm。

若将这个容器如图①倒立，则沙子的高度是多少厘米？3．一个小圆锥体玩具被芳芳一不小心掉进了一个底面积为3平方分米，高4分米的圆柱体量杯中，她发现正好水面上升了1分米。

你能求出这个小圆锥体玩具的体积吗？4．下图中圆柱杯子与圆锥杯子底面积相等，把圆锥杯子装满水倒进圆柱杯子，至少需要倒（）杯才能把圆柱杯子装满。

请在下面用你喜欢的方式描述你的思考过程。

5．如图所示，一个长方体礼盒刚好能容纳6个圆柱形茶叶罐（单位：厘米）（1）一个圆柱形茶叶罐的体积是多少立方厘米？（2）做一个长方体礼盒至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处不计）（3）能容纳这6个茶叶罐的长方体礼盒还可以设计出不同的方案，你所设计的礼盒长是（），宽是（），高是（）。

6．一个底面半径是10厘米的圆柱形玻璃杯，原来水深15厘米，现在把一块长和宽都是8厘米，高是42厘米的长方体铁块垂直放入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？7．袁隆平爷爷，世界上第一个成功利用水稻杂交优势的科学家，被誉为“杂交水稻之父”，发展杂交水稻，造福世界人民是袁降平院士毕生的追求。

目前，我国杂交水稻年种植积约2.57亿亩，非杂交水稻年种植面积约1.94亿亩，2020年我国稻谷总产量约为120亿千克，其中杂交水稻产量与非杂交水稻产量的比为13①7，杂交水稻每年增产的稻谷，可为中国多养活8000万人。

（1）2020年杂交水稻产量约多少亿千克？，那么问题为___________________。

（2）根据上面的信息，如果列式为1.94 2.57（3）如下图，已知圆锥形谷堆的底面直径是圆柱形铁桶底面直径的2倍，它们的高一样，把这些稻谷装在铁桶中（铁桶厚度忽略不计），装得下吗？请把你的想法写下来。

人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。

包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。

圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。

教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。

几何知识一向是小学生学习的难点。

特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。

造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。

不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。

我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。

围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。

“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。

生活中大量存在其身影。

在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。

围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。

“面积变形”是为了使计算简便。

“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。

利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。

教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。

2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。

3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。

体会转化的思想价值。

教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。

难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。

圆柱与圆锥的等积变形问题1.一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？2.把三角形ABC沿着边AB或BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），（单位：厘米）谁的体积大？大多少立方厘米？3.一个圆锥形钢锭，底面直径6分米，高5分米，体积多少？如果每立方分米重3千克，这个钢锭重几千克？4.两个盛满水的底面半径为10厘米、高30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器中，求水深。

5、有一个圆柱形钢材。

它的高是1.2米，它的侧面积是7.536平方米。

问：它的质量是多少吨？（每立方厘米钢重7.8克，得数保留整数吨）6、有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，以知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的长度为多少厘米？7 、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方分米。

现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。

问：瓶内现有饮料多少立方分米？8、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。

皮球的直径为15厘米，水桶底面直径厘米。

皮球又4/5的体积浸在水里，问：皮球吊进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（半径为r的球的体积是4/3∏r³。

）9、有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内的液面高度是7厘米。

当将这个容器倒过来放时，从圆锥的见到液面的高是多少厘米？10有一种酒瓶，容积为495立方厘米，当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是15厘米，瓶口向下时，余下部分的高是5厘米，求瓶内酒有多少立方厘米？11、一个封闭的圆柱体容器横放时长12厘米，侧面圆直径4厘米，现里面水位高2厘米，若竖放水位多高？12.一个圆锥与一个圆柱的底面积比是3:2，体积比是2:5，如果圆柱的高与圆锥之和是36厘米，求圆锥的高是多少厘米？。

六年级数学下册典型例题系列之第一单元圆柱与圆锥提高篇（二）（原卷版）编者的话：《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第一单元圆柱与圆锥提高篇（二）。

本部分内容主要选取圆柱与圆锥单元较有难度的题型，也是期末考试常见的考点考题，建议把该部分作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。

【考点一】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题一。

【方法点拨】等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。

【典型例题】把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铅块和一个棱长是5厘米的正方体铅块，铸成一个圆柱。

这个圆柱的底面直径是20厘米，高是多少厘米？【对应练习1】15cm，高为6cm的圆柱形铁块熔铸成一个长为5cm、宽为4cm 把一个底面积为2的长方体铁块，铸成的长方体铁块高多少cm？【对应练习2】下图中的圆柱与长方体的体积相等。

这个圆柱的高是多少分米？（单位：dm）【对应练习3】如下图所示，要在实验室铸造出一个无盖的青铜盒子，盒子的外形是一个长方体，内部挖空，外部尺寸长为30cm，宽为15cm，高为10cm，壁和底部的厚度都为1cm。

现有一份形状为圆柱的实心青铜材料，其底面直径为10cm，高为20cm。

若熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子吗？通过计算说明。

【考点二】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题二。

【方法点拨】等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。

【典型例题】甲圆柱形瓶子中有2厘米深的水。

乙长方体瓶子里水深6.28厘米。

将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？（如图）【对应练习1】甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深多少厘米？【对应练习2】下图中，圆柱形（甲）瓶子里有2厘米深的水。

等积变形法等积变形法是指几何形体的形状发生变化后，变化后的物体和原物体相比较，体积与原来相等。

练习：1、一个圆柱形铁块的底面半径是10厘米，高是5厘米，把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥形铁块的高是多少厘米？2、一个圆锥形的沙堆，底面积是12.56平方米，高是6米。

用这堆沙在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？3、一个圆锥形的麦堆，底面半径为2米，高1.5米，如果把这些小麦装入一个圆柱形粮囤里，只占粮囤容积的94。

已知粮囤底面积是9平方米，粮囤的高是多少米？4、将一个底面半径是20厘米，高是27厘米的圆锥形铝材和一个底面半径是30厘米，高是20厘米的圆柱形铝材熔铸成一个底面半径是15厘米的圆柱形铝材，这个圆柱形铝材的高是多少厘米？5、一个圆柱形容器与一个圆锥形容器的底面积都是15平方厘米，用圆锥形容器盛水倒入圆柱形容器中，4次正好装满。

已知圆锥形容器的高是9厘米，圆柱形容器的高是多少？6、把一块长为18.84厘米，宽为8.4厘米，高为6厘米的长方体铝块和一块底面直径为8.4厘米，高为10厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为4.2厘米的圆锥形铝块，这块圆锥形铝块的高是多少厘米？不规则物体体积的计算方法1、一个圆柱形量杯，底面直径是10厘米，杯中浸没一块不规则的铁块，当铁块取出时，水面下降了4厘米，这块铁块的体积是多少立方厘米？2、在一个圆柱形水桶里，把一段底面是5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，水面就上升9厘米。

把圆柱形钢材竖着拉出水面8厘米长后，水面就下降4厘米。

这个圆柱形钢材的体积是多少？3、如下图，a、b是两个棱长为8厘米的正方体盒子。

a盒中放入一个直径为8厘米、高为8厘米的圆柱形铁块，b盒中放入四个直径为4厘米、高为8厘米的圆柱形铁块。

现在把两个盒子注满水，哪个盒子中的水多？。

人教版六年级数学下册第三单元专项训练《等积变形》（含答案）1．把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。

这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？2．把一个棱长是8分米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是10分米的圆柱，这个圆柱的高大约是多少？（得数保留一位小数）3．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，将水池的水全部倒入一个长8米、宽3米、深2米的长方体水池，长方体的水面高是多少米？4．把一个棱长8分米的正方体木块加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？5．一个圆柱体，如果把它的高截短2厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？6．将一个底面直径是20厘米，高为12厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是20厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？7．一个圆锥形沙堆，底面积12.56平方米，高1.2米。

用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？8．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。

用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？9．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？10．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。

则这个圆柱体体积是多少立方分米？11．在底面半径为5厘米、高为18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径3厘米、高为10厘米的圆锥形铅块，放水将铅块全部淹没。

当铅块取出后，玻璃缸中的水面下降了多少厘米？12．学校的跳远沙池长6.28米，宽2米，学校运来一堆沙子（堆放如图）。

如果把这些沙子均匀地铺在跳远沙池中，可以铺多厚？13．把一个棱长6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，需要削去多少立方分米的木头？14．把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱。