定积分习题
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ﻩ
第九章 定 积 分
练 习 题
§１定积分概念
习 题
1．按定积分定义证明：⎰-=b
a a
b k kdx ).(
2．通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分： （1）⎰∑=+=
1
1
22
33
)1(4
1:;n
i n n i dx x 提示 （2)⎰10;dx e x
(3)⎰b
a x
dx e ; （４）12(0).(:)b i i i a dx a b x x x ξ-<<=⎰提示取
§2 牛顿一菜布尼茨公式
ﻩﻩ1.计算下列定积分:
(1）⎰+1
0)32(dx x ； (2）⎰+-1
022
11dx x x ; (３）⎰2ln e e x x dx ;
(4）⎰--1
2
dx e e x
x ; (５)⎰
30
2tan π
xdx
(6）
⎰
+
9
4
;)1(dx x
x
（７)⎰+4
0;1x dx
（8）⎰e e
dx x x 12
)(ln 1 2．利用定积分求极限:
(１));21(13
34lim n n
n +++∞→ （2);)(1)2(1)1(1222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n (3）);21
)2(111(
222lim n n n n n +++++∞
→
（4))1sin 2sin (sin 1lim n n n n n
n -+++∞→ ππ ３．证明：若f 在[a,ｂ］上可积，F 在[a,b]上连续,且除有限个点外
有F ＇（x)＝f (x),则有
()()().b
a f x dx F
b F a =-⎰
§3 可积条件
1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割,则∑∑∆≤∆'
.''T T
i i i i χωχω
2．证明：若ｆ在[a ，b ］上可积,[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂． 3.设f ﹑g 均为定义在［a,b]上的有界函数。证明：若仅在［a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b ］上可积时，g 在[ａ,ｂ］上也可积，且
()().χχχχd g a b
d f a b ⎰⎰=
3．设f 在[a,b]上有界，{}[],
,b a a n ⊂.lim c a
n
n =∞
→证明：在[a ，ｂ]上只有
() ,2,1=n a n 为其间断点，则ｆ在[ａ,b ］上可积。
4．证明：若ｆ在区间∆上有界，则
()()()()"','".sup sup inf f f f f χ
χχχχχχχ∈∆
∈∆
∈∆
-=-。
§4 定积分的性质
1.证明:若ｆ与ｇ都在[a ，ｂ]上可积,则
∑⎰=→=∆n
i b
a
i i i T dx x g x f x g f 1
0,)()()()(lim ηξ
其中i i ηξ,是Ｔ所属小区间△ｉ中的任意两点，ｉ=1,2…，n ．
２.不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小: (1)⎰⎰101
;2
dx x xdx 与
ﻩ(２)⎰⎰20
20
.sin π
π
xdx xdx 与
3.证明下列不等式:
（1）
20
2
;2
211sin 2
dx x π
π
π
<<-⎰
(２）1201x e dx e <<⎰;
(3）2
sin 12;xdx dx x π
π
<<⎰ （4)4ln 3 6.e e x e dx x
<<⎰
４.设ｆ在[a,b]上连续,且ｆ(x)不恒等于零,证明()()
2
0.b
a
f x dx >⎰
５.设f 与g 都在［a,b]上可积,证明
[]
{}[]
{})(),()(,)(),()(min max ,,x g x f x m x g x f x M b a x b a x ∈∈==
在[a,b]上也都可积.
6.试求心形线πθθ20),cos 1(≤≤+=a r 上各点极径的平均值.
７.设f 在［ａ,ｂ］上可积,且在[a,b ］上满足.0)( m x f ≥证明
f
1
在[a,b]上也可积．
８．进一步证明积分第一中值定理（包括定理９.7和定理9.8）中的中值点ξ∈(a ，b).
9．证明:若f 与ｇ都在[ａ，b]上可积,且g(ｘ）在[a,b ］上不变号,Ｍ、m 分别为 ｆ(x)在[a,ｂ]上的上、下确界，则必存在某实数μ(m ≤μ≤M ）,使得
⎰⎰=b
a
b
a
dx x g dx x g x f .)()()(μ
10.证明:若f 在[a,b]上连续,且⎰⎰==b a
b
a
dx x xf dx x f ,0)()(则在（a ，b)内至
少存在两点ｘ1,x 2,使f(x 1）＝ f(x ２）=０.又若⎰=b
a
dx x f x ,0)(2这时f 在(a,b ）
内是否至少有三个零点?
11.设f 在［a,b ］上二阶可导，且"f (x)>0.证明:
(1）⎰-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a
dx x f a
b b a f ;)(12 (2)又若[],,,0)(b a x x f ∈≤则又有
[].,,)(2)(b a x dx x f a b x f b
a ∈-≥⎰
12.证明:
