同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程

高等数学知识点第一篇：微积分基础知识微积分是数学的一门重要分支，它包含了很多基本概念和重要定理。

在此，我们将介绍微积分的一些基础知识。

1. 限制与极限在微积分中，我们常常需要研究一个函数在某个点附近的行为。

为了描述这种行为，我们引入了“极限”的概念。

如果一个函数在某个点处的取值可以无限地接近某个值，那么我们称该点处的极限等于那个值。

例如，当$x$接近于$0$时，$\frac{1}{x}$的值可以无限地接近正无穷或负无穷，因此我们说$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$不存在。

2. 导数与微分导数是描述函数在某个点处的变化率的概念，它可以用来探讨函数的很多性质。

具体地，如果$f(x)$在$x$处有导数，那么它可以用$f'(x)$来表示。

导数还可以被解释为函数在$x$处的切线的斜率。

微分是导数的一个紧密相关的概念，它描述了函数在某个点处的微小变化。

具体地，如果$f(x)$在$x$处有导数$f'(x)$，那么函数在该点处的微分为$df =f'(x)dx$。

3. 积分积分是求解函数的面积或体积的一种方法。

它由定积分和不定积分两部分组成。

定积分求解的是函数在一个区间内的面积。

不定积分则是求出一个函数的原函数，即求解$f(x)$的导函数为$F(x)$的过程。

4. 泰勒公式泰勒公式是一种将函数表示为无限次可导的多项式的方法。

它可以在一定程度上简化对函数的分析。

具体地，泰勒公式将$f(x)$在$x=a$处展开成一个无限次可导的多项式，它的前若干项可以近似地代表函数在该点附近的行为。

总之，微积分是数学中的一门非常关键的学科，涉及到许多重要的概念和定理。

掌握微积分的基础知识将为进一步学习和应用它打下坚实的基础。

第二篇：多元微积分在微积分的基础上，我们还可以推广到多元函数的微积分，即多元微积分。

下面介绍一些相关的知识点。

1. 二元函数的导数二元函数$f(x,y)$的导数可以用偏导数或者方向导数来描述。

高等数学同济教材上下册高等数学是大学理工科专业的重要基础课程之一。

同济大学编写的高等数学教材从上册到下册内容丰富全面，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念、原理和方法。

本文将对高等数学同济教材上下册进行简要介绍。

上册内容主要包括函数与极限、一元函数微分学、一元函数积分学。

其中，“函数与极限”一章是高等数学的基础，涵盖了极限的概念、运算法则以及函数的连续性等内容。

学生通过学习此章可以加深对函数性质的理解，为后续章节打下坚实基础。

“一元函数微分学”一章主要介绍了导数的概念、性质和求导法则，并通过一些实例应用帮助学生理解导数的几何意义。

“一元函数积分学”一章则是导数的逆运算，介绍了不定积分的概念、基本性质和常用积分法等，通过解决一些微分方程的问题，培养学生的应用能力。

下册内容则进一步深入，包括多元函数微分学、多元函数积分学以及常微分方程。

其中，“多元函数微分学”一章介绍了多元函数的极限、连续性以及偏导数的概念和性质，为后续章节打下基础。

“多元函数积分学”一章则介绍了重积分、曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并通过具体的应用问题，帮助学生理解积分的几何意义。

“常微分方程”一章则介绍了常微分方程的基本概念和解法，通过求解一些具体的常微分方程问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

高等数学同济教材上下册内容丰富全面，配有大量习题和例题，供学生进行练习和巩固。

在学习过程中，学生可以结合课本中的例题进行思考和分析，理解数学概念和方法的应用。

通过反复的习题练习可以加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力。

此外，高等数学同济教材上下册的排版整洁美观，语句通顺，表达流畅，给读者带来良好的阅读体验。

章节内容之间的联系和逻辑顺序清晰明了，帮助学生逐步建立起完整的高等数学知识体系。

综上所述，高等数学同济教材上下册是一本具有权威性、全面性和应用性的教材。

通过系统学习和实践，学生能全面掌握高等数学的基本理论和方法，为将来的学习和科研打下坚实的数学基础。

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。

同济版高等数学教材详解同济大学出版社出版的《高等数学》教材是大学教学中常用的一本教材。

本篇文章将对该教材进行详解，帮助读者更好地理解和学习高等数学知识。

一、教材结构《高等数学》教材由全书目录、前言、正文和附录四部分组成。

其中，正文部分包括基础篇、提高篇和拓展篇，共分为十二章。

每一章都由若干节组成，每一节又包含了重要的概念、原理和解题方法等。

二、基础篇详解基础篇包括了数列与级数、函数与极限、微分学、积分学等内容，这些内容是高等数学学习的基础，对于理解后续章节的内容至关重要。

1. 数列与级数数列与级数是数学中重要的内容之一，本书对其进行了详细的讲解。

其中包括等差数列与等比数列的概念、性质及求和公式；级数的概念、性质及常见的级数判别法等。

通过学习这一章的内容，读者可以深入理解数列与级数的概念，掌握求和公式和级数求和的方法。

2. 函数与极限函数与极限是微积分的基础。

本章主要介绍了函数的极限及其性质，包括无穷小量、无穷大量和函数极限的运算法则等。

此外，还介绍了常见的极限计算方法，如洛必达法则等。

通过学习这一章的内容，读者可以建立对函数极限的概念和运算法则的理解，并能熟练地应用到实际问题中。

3. 微分学微分学是函数学的一部分，主要研究函数的变化率和变化规律。

本章主要介绍了函数的导数及其应用，包括导数的定义、性质、导数的运算法则以及相关的微分中值定理等。

此外，还介绍了常见的函数的极值判断方法，如一阶导数、二阶导数的判别法等。

通过学习这一章的内容，读者可以掌握函数的导数及其应用，并能灵活运用到实际问题中。

4. 积分学积分学是微积分的另一部分，主要研究函数的积分与求面积、求体积等问题。

本章主要介绍了不定积分和定积分的定义与性质，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

此外，还介绍了常见的定积分应用，如求曲线的弧长、平面图形的面积等。

通过学习这一章的内容，读者可以理解积分的概念与性质，并能应用到实际问题中。

三、提高篇详解提高篇是在基础篇的基础上进一步拓展和深化数学知识的内容。

高等数学同济第三版教材高等数学是大学数学中的一门重要课程，对于理工类专业的学生来说尤为关键。

同济大学的高等数学第三版教材是在前两版基础上进一步改进和完善的，本文将对该教材进行全面介绍和评价。

第一部分：教材概述高等数学同济第三版教材共分为七个章节，内容涵盖了微积分、多元函数微分学、级数、曲线积分、曲面积分、常微分方程和矢量代数。

每个章节都以实例引入概念、理论和方法，并配有大量的例题和习题供学生练习。

第二部分：教材特点1. 结构合理：教材按照知识递进的方式组织，从基础的微积分开始，逐步引入更复杂的概念和方法，确保学生能够渐进地掌握知识。

2. 内容详尽：教材对每个概念都进行了详细的解释和推导，给出了充分的例题和习题，帮助学生加深理解和掌握。

3. 理论与实践结合：教材在理论部分注重给出具体的实例，将抽象概念与实际问题相结合，帮助学生理解数学的实际应用价值。

4. 清晰的图示和表格：教材配有清晰的图示和表格，以帮助学生更好地理解和记忆概念、定理和公式。

第三部分：教材优点1. 完善的练习题：教材除了提供例题外，还给出了大量的习题供学生练习。

习题的难度和类型有所变化，以帮助学生巩固和拓展相关知识。

2. 精选典型例题：教材中选取了一些典型的例题，这些例题既能展示出数学方法的美妙之处，又能培养学生的分析和解决问题的能力。

3. 知识扩展和延伸：教材在每个章节的末尾都给出了一些扩展和延伸内容，旨在培养学生的创新思维和能力。

第四部分：教材改进意见尽管高等数学同济第三版教材在很多方面都有突出的优点，但也有一些可以改进的地方。

比如，在一些较为复杂的定理和推导过程中，可以增加更多的步骤和解析，以帮助学生更好地理解。

此外，可以增加一些与实际应用相关的例题和思考题，以更好地激发学生对数学的兴趣。

总结高等数学同济第三版教材是一本经典而优秀的教材，它系统地讲解了高等数学的基本概念和方法，并通过大量的例题和习题帮助学生巩固和应用所学知识。

高等数学同济教材高等数学是大学本科数学专业的重要课程之一，对于培养学生的数学思维、提高逻辑推理能力和抽象思维能力起到了关键作用。

同济大学数学系编写的高等数学教材以其系统性、严谨性和实用性而备受广大学生的喜爱和好评。

该教材共分为十章，分别是数列与极限、一元函数微分学、一元函数积分学、微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学的应用、曲线与曲面积分、常微分方程。

第一章数列与极限，从数列的概念入手，逐渐引入极限的概念和性质。

通过引入极限的概念，使学生能够更加深入地理解函数的连续性和可导性，为后续章节奠定了坚实的基础。

第二章一元函数微分学，介绍了单变量函数的微分概念、微分法、高阶导数等。

通过学习一元函数微分学，学生能够了解函数在点上的切线性质、函数极值的判定方法等重要内容。

第三章一元函数积分学，主要介绍了定积分、不定积分和定积分的应用。

学生通过学习这一章内容，不仅可以掌握积分的计算方法，还可以了解到积分在几何、物理等领域的重要意义。

第四章微分方程，介绍了一阶线性微分方程、可分离变量方程和齐次方程等。

通过学习微分方程，学生可以应用微分方程解决实际问题，比如描述物理过程、生态模型等方面的问题。

第五章多元函数微分学，引入了多元函数的概念和性质，包括偏导数、全微分和方向导数等内容。

通过学习多元函数微分学，学生可以掌握多元函数的微分计算方法，为理解多元函数的极值、梯度等概念打下基础。

第六章多元函数积分学，介绍了二重积分和三重积分的计算方法和性质。

学生通过学习多元函数积分学，可以了解到积分在空间几何、质心计算等领域的应用。

第七章向量代数与空间解析几何，引入了向量的概念和性质，并介绍了向量的内积、外积和混合积等内容。

通过学习向量代数与空间解析几何，学生可以了解到向量在几何和物理中的重要应用。

第八章多元函数微分学的应用，介绍了拉格朗日乘数法和泰勒展开等内容。

通过学习这一章，可以帮助学生掌握应用多元函数微分学解决最优化问题的方法。

微分方程的通解包含方程的全部解微分方程是数学中的一个重要分支，主要研究变量之间的关系以及方程的解。

通解是微分方程的解的一般形式，包含了方程的全部解。

下面将从微分方程的基本概念、求解方法以及通解的含义等方面进行介绍，希望能够对你有所帮助。

一、微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示。

例如，一阶线性常微分方程可以写成形式如下的方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中，dy/dx是y关于x的导数，P(x)和Q(x)是给定的已知函数。

二、微分方程的求解方法1. 变量分离法：将微分方程中的变量分离到方程的两边，然后对两边进行积分，最后得到方程的通解。

2. 齐次方程法：当方程等号右边为零时，可以使用齐次方程法求解。

首先将方程转化为dy/dx = f(x)/g(y)的形式，然后通过变量代换将其变为分离变量的方程，最后进行积分求解。

3. 一阶线性常微分方程法：对于一阶线性常微分方程，可以使用积分因子法求解。

首先将方程转化为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后求出方程的积分因子μ(x)，并将方程两边同时乘以积分因子，最后进行积分求解。

4. 变量替换法：当微分方程具有特殊形式时，可以通过变量替换将其转化为一种更简单的形式，然后使用已知的求解方法求解。

三、微分方程的通解的含义微分方程的通解是指包含方程的全部解的一般形式，它可以通过求解微分方程得到。

对于一些简单的微分方程，可以直接通过积分求得通解。

但是对于一些复杂的微分方程，通解往往比较难以求得，需要使用一些特殊的方法或者定理。

需要注意的是，通解中包含任意常数，这些常数的取值可以通过附加条件或者边界条件来确定。

通过给定特定的条件，可以从通解中确定出方程的特解。

四、相关参考内容1. 《高等数学》（下册）（同济大学数学系编著）：这本教材详细介绍了微分方程的基本概念、求解方法以及通解的相关知识，适合初学者学习。

2. 《数学分析》（任继愈著）：这本教材全面系统地介绍了微分方程的相关理论和方法，内容较为深入，适合深入学习微分方程的人士参考。

高等数学同济大学下册教材高等数学是大学数学中的一门重要学科，对于理工科专业的学生而言，具有极高的学习价值和实践应用意义。

而同济大学下册的高等数学教材则是这门学科中的经典教材之一，本文将对该教材的内容进行全面介绍和评价。

同济大学下册的高等数学教材由同济大学数学系编写，共分为11章。

每一章都包含了相应的理论知识、典型例题和习题。

整个教材体系结构合理，逻辑性强，内容涵盖了高等数学的核心概念和方法，既有基础知识的解释，也有应用技巧的讲解，能够帮助学生全面系统地掌握数学知识。

第一章是多项式函数与微分学，介绍了多项式函数的性质和变化规律，并引入了微分学的基本概念和方法。

这一章节中的例题和习题涉及了多项式函数的图像、零点、极值等问题，并对微分的概念、微分法则进行了详细说明。

第二章是一元函数的积分学，主要介绍了积分的概念、基本性质和计算方法。

通过对定积分、不定积分和反常积分的讲解，学生可以了解到积分在求面积、求曲线长度等应用中的重要作用。

第三章是微分方程，介绍了微分方程的基本概念、解的存在唯一性定理和一阶线性微分方程的解法。

这一章节中通过典型的例题，让学生了解到微分方程是许多自然现象和工程问题的数学描述工具。

第四章是多元函数微分学，包括多元函数极限、偏导数、全微分、方向导数和梯度等内容。

通过这些内容的学习，学生可以掌握多元函数的导数及其相关性质，为后续章节的学习打下坚实的基础。

第五章是多元函数的积分学，主要介绍了多重积分的概念、性质和计算方法。

通过对二重积分和三重积分的讲解，学生可以了解到积分在二维和三维区域的面积、体积计算中的应用。

第六章是曲线与曲面积分学，包括曲线积分和曲面积分两个部分。

通过对曲线积分的参数表示和曲面积分的参数化表示的介绍，学生可以掌握曲线和曲面上矢量场及标量场的积分计算方法。

第七章是无穷级数，介绍了级数的收敛性与敛散性、常见级数的收敛性判定方法等内容。

这一章的学习能够帮助学生理解无穷级数的性质，并能够熟练地运用级数的基本性质和方法进行计算。

同济大学高等数学C 教材高等数学C教材是同济大学为理工科相关专业学生编写的一本重要教材。

它涵盖了许多数学的重要概念、定理和方法，帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。

第一章导数与微分高等数学C教材的第一章主要讲述了导数与微分的概念与性质。

在这一章中，学生将学习如何计算函数的导数，以及导数在几何和物理问题中的应用。

通过学习导数的性质，学生将掌握函数的极值、凹凸性以及函数图像的性质等重要概念。

第二章不定积分第二章主要介绍了不定积分的基本概念和计算方法。

学生将学习如何求出函数的不定积分，并了解积分的线性性质和曲线下面积的计算方法。

此外，该章还会讨论反常积分以及更高级的积分方法，如分部积分和换元积分等。

第三章定积分与其应用第三章主要讲述了定积分的概念与性质。

学生将学习如何计算函数在给定区间上的定积分，并了解定积分的几何和物理应用。

在该章中，学生将遇到求曲线长度、曲线面积和旋转体体积等问题，并学会通过定积分解决这些实际问题。

第四章微分方程第四章介绍了微分方程的基本理论和解法。

学生将学习如何求解一阶和二阶常微分方程，并了解微分方程在自然科学和工程科学中的广泛应用。

此外，该章还涵盖了一些重要的高阶微分方程及其特殊解法。

第五章无穷级数第五章着重讲述了无穷级数的定义和性质。

学生将学习如何判断级数的敛散性，以及如何计算常见级数的和。

此外，该章还讨论了幂级数的性质以及如何利用幂级数求解常微分方程的解。

第六章空间解析几何与向量代数第六章主要介绍了三维空间解析几何和向量代数的基本概念和方法。

学生将学习如何计算向量的模、方向和数量积，并了解向量在平面和空间几何问题中的应用。

此外，该章还会介绍向量的叉乘、混合积以及直线和平面的方程和性质等内容。

第七章多元函数微分学第七章讲述了多元函数的导数和微分。

学生将学习如何计算多元函数的偏导数以及全微分，并了解多元函数的极值和条件极值的判定方法。

此外，该章还讨论了多元函数的隐函数和参数方程，以及二重积分的计算方法。

高等数学同济大学第五版引言：高等数学作为一门重要的基础课程，对于各个理工科的学生来说都是必修的一门课程。

同济大学出版社出版的《高等数学同济大学第五版》是一本经典的教材，已经成为了国内许多高校教学的主要教材之一。

本文将就《高等数学同济大学第五版》的内容、特点以及其在数学教学中的重要作用进行详细介绍。

一、《高等数学同济大学第五版》的内容《高等数学同济大学第五版》全书共分为十四章，每章都包含了该章内容的理论点和典型例题，同时附有习题以供巩固知识和拓展思维。

首先是初等函数与极限，这一章主要介绍了数列的极限概念，以及各种初等函数的极限计算方法。

接下来是导数与微分，这一章内容涉及到函数的导数概念，各种导函数的求法以及微分的应用等。

第三章是一元函数的微分学应用，主要介绍了函数的极值与最值、函数的单调性与曲线的凹凸性等内容。

第四章是不定积分，该章内容讲解了不定积分的基本概念和计算方法，以及变量代换法等重要技巧。

接下来是定积分，这一章主要介绍了定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法和应用等。

第六章是概率论与数理统计的基本概念，该章内容涵盖了概率论与数理统计的基本概念与计算方法，以及常见的离散型和连续型随机变量的概率分布等。

第七章是数项级数，主要介绍了数项级数的收敛性质、收敛判别法和常用的数项级数的和的计算等。

第八章是幂级数与函数展开，该章内容涵盖了幂级数的收敛性和展开式的计算方法。

第九章是常微分方程，主要介绍了常微分方程的基本概念、解法和应用等。

第十章是空间解析几何，该章内容涵盖了空间坐标系的建立、空间直线和平面的方程及其相互位置关系等。

接下来是向量代数与空间解析几何的应用，该章内容介绍了向量的内积和叉积的计算方法，以及向量与平面的垂直、平行关系等。

第十二章是多元函数微分学，主要涵盖了多元函数的极值和条件极值等。

第十三章是重积分，该章内容讲解了二重积分和三重积分的定义和性质，以及计算技巧和应用等。

最后一章是曲线积分和曲面积分，该章内容涵盖了曲线积分和曲面积分的定义、计算方法和应用等。

常微分方程在有阻尼自由振动中的应用羊士林（数学科学学院,2008（4）班,08211439号）1 引言在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支.这不是偶然的,因为许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达.实际上,微分方程的应用已深入到许多学科之中.比如物理学科中的许多公式的推导以及一些题目的计算,就需用到微分方程的有关知识.微分方程来源于生活实际,研究微分方程的目的就在于掌握他所反应的客观规律,能动的解释所出现的现象并预测未来可能发生的情况.下面我们将简单的介绍常微分方程的几种解法及其在物理学中的应用.2 二阶常系数常微分方程的几种解法2.1特征方程法例1 求微分方程220d x dx p qx dt dt++=的通解. 解 特征方程02=++q p λλ的根21,λλ,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解12,t t e e λλ,故通解为1212t t x c e c e λλ=+（21,c c 为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状1112t t x c e c te λλ=+（21,c c 为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根z a bi =±,则该方程的通解具有形状12(sin cos )at x e c bt c bt =+（21,c c 为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据.1 特征根是两个实根的情形设12,λλ是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解12,t t e e λλ,我们指出这两个解在a t b ≤≤上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时 121212()121211()t tt t t e e w t e e e λλλλλλλλλλ+==,而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde ）行列式,它等于21()λλ-.由于假设21λλ≠,故此行列式不等于零,从而()0w t ≠,于是 12,t t e e λλ线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为1212t t x c e c e λλ=+（其中12,c c 为任意数）.如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设1i λαβ=+是一特征根,则2i λαβ=-也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ+=+,()(cos sin )i t t e e t i t αβαββ-=-.根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±,我们可求的方程220d x dx p qx dt dt++=的两个实值解 cos ,sin t t e t e t ααββ.2 特征根有重根的情形 设特征方程有k 重根1,λλ=则众所周知'(1)111()()()0,k F F Fλλλ-====()1()0k F λ≠, 先设10λ=,即特征方程有因子k λ,于是110n n n k a a a --+====,也就是特征方程的形状为110n n k n k a a λλλ--+++=,而对应的方程[]11110n n n n n n d x d x L x a a a x dt dt ---≡++++=变为1110n n k n kn n k d y d y d y a a dx dx dx ---+++=. 易见它有k 个解1,21,,,k t t t -,而且它们是线性无关的.这样一来,特征方程的k 重零根就对应方程的k 个线性无关的解1,21,,,k t t t -.如果这个k 重根10λ≠,我们作变量变换1t x ye λ=,注意到11()()()(1)2(2)111(1)()2!t t m m m m m m m m xye e y m y y y λλλλλ---⎡⎤==++++⎢⎥⎣⎦， 可得[]1111111()n n t t t n n n d y d y L ye b b y e L y e dt dt λλλ--⎡⎤=+++=⎣⎦,于是对应方程化为[]11110n n n n n d y d y L y b b y dt dt --=+++=,其中123,,,,n b b b b 仍为常数,而相应的特征方程为111()0n n n n G b b b μμμμ--≡++++=, 直接计算易得1111()()()11()()t t t t t F eL e L e e G e μλμλλμλμμλμ+++⎡⎤⎡⎤+===⎣⎦⎣⎦, 因此1()()F G μλμ+=,从而1()()j j F G μλμ+=，1,2,,j k =,这样,问题就化为前面讨论过的情形了. 2.2常数变易法对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.例2 求常微分方程 22()d x dx p qx f t dt dt++=的通解. 解 方程22()d x dx p qx f t dt dt++=对应齐次方程为 220d x dx p qx dt dt++=, 其特征方程为02=++q p λλ. （1）由于方程22()d x dx p qx f t dt dt++=的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.情形1：若λ为方程（1）的实根,则tx e λ=是方程220d x dx p qx dt dt ++=的解.由常数变易法设22()d x dx p qx f t dt dt++=的一个解为*()t x c t e λ=,代入原方程并化简得"'()(2)()()t c t p c t e f t λλ-++=,这是关于 '()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为()(2)()()()p tp t c t e e f t dt dt λλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰, 从而得方程（1）的一个特解为 *(2)()(())t p t p t x e e e f t dt dt λλλ-++⎡⎤=⎣⎦⎰⎰. 情形2：若λ为方程（1）的复根,我们可以设,,a bi a b R λ=+∈且0b ≠，则*sin atx e bt =是方程22()d x dx p qx f t dt dt ++=的解，根据常数变易法可设其一个特解为*()sin atx c t e bt =，与情形1的解法类似得方程22()d x dx p qx f t dt dt ++=的一个特解为 (2)(2)*2()sin sin .sin p a p a t at e f t e btdtx e bt dt bt -++=⎰⎰由于*x 是特解,则积分常量可以都取零.2.3拉普拉斯变换法常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解,这往往比较简单.由积分()()0st F s e f t dt -+∞=⎰. 所定义的确定于复平面（Re σ>）上的复变数s 的函数()F s ,称为函数()f t 的拉普拉斯变换,我们称()f t 为原函数,而()F s 称为像函数.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面s 的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数.例3 求解方程 2'22,(1)(1)0t d x dx x e x x dt dt-++===. 解 先使1t τ=-，将问题化为2(1)'22,(0)(0)0t d x dx x e x x dt dt--++===, 再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到211()2()()1s X s sX s X s s e++=⋅+, 因此 311()(1)X s s e=⋅+, 查拉普拉斯变换表可得 211()2x e τττ--=, 从而 21()(1)2t x t t e -=-, 这就是所要求的解. 当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了.3常微分方程在有阻尼自由振动中的简单应用一般求解物理问题主要是分三步：1.分析问题建立方程并确定定解条件;2.求出方程满足初始条件的特解或讨论解的性质;3.对解做定性分析,反过来解释原问题,其中关键在于列出方程,主要有两种方法:1.瞬时变化率;2.微元分析法.在研究阻尼振动时,运动方程的求解问题较为复杂,一般教科书没有给出求解过程.下面分别用特征值法,常数变易法,拉普拉斯变换法来求动力学方程.3.1特征方程法例4 一弹簧振子系统，物体的质量 1.0m kg =,弹簧的劲度系数175k N m -=⋅,阻尼系数110.0s δ-=，设质点由静止开始运动,求位移方程.解 根据牛顿第二运动定律有kx cv ma --=, （2） 或 220d x dx m c kx dt dt++=, （3） 对一给定的振动系统,,,m k c 均为常量.若令20,2k m c m ωδ==,则上式可写成220220d d dt dtξξδωξ++=, （4） 将数据代入（4）得 2220750d x dx x dt dt++=. （5） 根据观察可以用特征值法求解.这里特征方程为220750λλ++=,有两个根1215,5λλ=-=-,则(5)的两个根为51512,t t e e ξξ--==. （6）计算可得振动子固有角频率数值为052k m ω==，而阻尼系数数值为10δ=,即220δω<,则方程(5)的解为515t t Ae Be ξ--=+（,A B 由初始条件决定）. （7） 上式是一个非振动状态的,这种情况下质点仅仅是从非平衡位置恢复到平衡位置,而不具备周期振动的特点.我们更关心的是0δω<情况下,质点的衰减振动.由于阻尼的作用,一个自由振动系统的振动不能维持很久,它要逐渐衰减直至停止.要使振动持续不停,就需要不断地从外界获得能量,这种受到外部持续作用而产生的振动就称为强迫振动例5 设有一个外力100cos(30)F t N =作用在上面振动系统上,式中100A F =为驱动力的幅值,30ω=为驱动力的圆频率,f 为驱动力的频率.解 将驱动力加到质点振动系统,得到系统振动方程为22d x dx m c kx F dt dt++=, (8) 或写成22022cos(30)d x dx x H t dt dtδω++=. (9) 式中A F H m=为作用在单位质量上的外力幅值.方程(8)和方程(9)都是质点强迫振动方程.强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程,其一般解为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和.我们已经获得了对应的自由振动方程的一般解,关键就是寻找(9)的一个特解.将数据代入（9）得222075100cos(30)d x dx x t dt dt++=, （10） 我们设（10）有形如1sin 30cos30x A t B t =+的特解，将它代入（10）并化简得到(3324)sin30(2433)cos304cos30A B t A B t t -++-=,比较同类项系数得3244,555555A B ==-,于是13244sin30cos30555555x t t =-,而原方程的通解为5153244()sin 30cos30555555t t x t Ae Be t t --=++-. 上式中,A B 由初始条件决定,前两项项称为瞬态解,它描述了系统的自由衰减振动,仅在振动的开始阶段起作用,当时间足够长以后,它的影响逐渐减弱并最终消失.后二项称为稳态解,它描述了系统在驱动力的作用下进行强制振动的状态,因为它的幅值恒定,因此称为稳态振动.从上式可以看到,当外力施加到质点振动系统以后,系统的振动状态比较复杂,它是自由衰减振动和稳态振动的合成,这种振动状态描述了强迫振动中稳态振动逐步建立的过程.当一定时间以后,瞬态振动消失,系统达到稳态振动.3.2 常数变易法情形1 已知5t x e -=为上面例5中特征方程220750λλ++=的实根,则5t x e -=是方程（10）的一根.由常数变易法设*5()t x c t e -=,则*x 也是方程的一个解.代入（10）并化简得"'5()10()100cos30t c t c t e t +=.这是关于'()c t 的一阶线性微分方程,其一个特解为'55184()sin 30cos3033t t c t e t e t c =++, 从而得出（10）的一个特解为（取120c c ==）*5551284()((sin 30cos30))33t t t x t e e t e t dt c -=++⎰ 3244sin 30cos30555555t t =-, 从而可得（10）的通解5153244()sin 30cos30555555t t x t Ae Be t t --=++-. 情形2 例6 一弹簧振子系统，物体的质量 1.0m kg =，弹簧的劲度系1400k N m -=⋅,阻尼系数110.0s δ-=，有一个外力cos(2)F t N =.作用在上面振动系统上,设质点由静止开始运动.求位移方程.解 由例5可知22d x dx m c kx F dt dt++=. （11）代入数据得 2220400cos(2)d x dx x t dt dt++=. （12） 根据观察可以用常数变易法求解，首先求（12）的齐次线性方程的根.有前面的研究可得（12）齐次线性微分方程的特征方程为2204000μμ++=.我们可设特征方程的根为10103i μ=-±.则10()sin(103)t x t e t -=是（12）的一个解.由常数变易法可设为*10()()sin(103)t x t c t e t -=.与情形1中的解法类似，将*()x t 代入（12）并化简得*1099()sin(2)cos(2)3960439604x t t t =+.由于*x 是特解,则积分常量可以都取零. 3.3 拉普拉斯变换法若仍然以例6为例，由牛顿第二运动定律得22d x dxm c kx F dt dt ++=,代入数据得2220400cos(2)d x dxx t dt dt ++=, (13)由于质点由静止开始运动.则00,0t dxx dt ===,对方程(13)施行拉普拉斯变换,得到22()20()400()4ss X s sX s X s s ++=+,即221()420400s X s s s s =+++,把上式右端分解为部分分式2210299()396044396044sX s s s =+++22221013103991011881239604(10)(103)(10)(103)s s s +--++++, 由拉普拉斯变换表可得 1099()sin(2)cos(2)3960439604x t t t =+ 1010101399sin(103)cos(103)11881239604t t e t e t ----.参考文献[1]王高雄.周之铭.宋思铭.等.常微分方程.北京高等教育出版社.2001.[2]美R.布朗森.（全美经典学习指导）微分方程.北京科学出版社.1998.[3]同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社.2002.[4]常微分方程（第三版）. 高等教育出版社.2004.[5]复旦大学物理系.上海师范大学物理系.物理学.上海科技出版社.1997.[6]刘克哲.物理学.北京：高等教育出版社.2000.总结综上所述,本文首先介绍二阶微分方程的三种求解方法：特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法.然后列举了阻尼振动的几个具体例题,分别利用三种方法解题.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.。

高等数学第六版教材同济大学高等数学是一门重要的基础学科，对于大学理工类专业的学生来说，掌握高等数学的知识非常重要。

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第一章微积分微积分是高等数学的核心内容。

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第二章近似计算与误差分析在科学计算和实际问题求解中，近似计算是非常重要的。

本章介绍了泰勒公式、函数的近似计算和误差估计等内容。

学习者通过本章的学习能够灵活运用泰勒公式进行函数的逼近计算，理解误差的来源和计算方法，并能够在实际问题中进行误差分析。

第三章微分学应用微分学是数学的一个重要分支，也是物理学、工程学等应用科学的基础。

本章主要介绍微分学在实际问题中的应用，包括相关变化率、微分方程和最优化等内容。

学习者通过本章的学习能够熟练应用微分学方法解决实际问题，如最优化问题、变化率问题等。

第四章不定积分不定积分是微积分的重要内容，通过不定积分可以求出函数的原函数。

本章重点介绍了不定积分的基本性质和计算方法，包括换元积分法、分部积分法和有理函数的积分等。

学习者通过本章的学习能够掌握不定积分的计算方法，能够灵活运用积分法解决实际问题。

第五章定积分定积分是微积分的核心概念之一，它表示曲线下面的面积或曲线的弧长。

本章主要介绍了定积分的定义、性质和计算方法，包括定积分的几何和物理意义以及应用。

学习者通过本章的学习能够理解定积分的概念和性质，并能够灵活运用定积分解决实际问题。

第六章微分方程微分方程是描述自然界中变化规律的一种数学工具。

本章介绍了常微分方程的基本理论和常见的解法，包括一阶常微分方程和二阶常系数线性齐次微分方程等内容。