三年级奥数4倒推法解题.doc

第4讲倒推法【学习目标】1、学会用倒推法解题；2、激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性。

【知识梳理】1、倒过来思考问题的方法，就是还原法；2、用还原法解题，关键是从最后一步结果出发，依照题意顺次逐步向前推理，每一步运算都变成原来的逆运算。

【典例精析】【例1】某数乘以5，加上3，再除以7，减去4，结果是5，这个数是12．5+4=9 9×7=63 63-3=60 60÷5=12【趁热打铁-1】将一个数做如下运算：乘以4，再加上112，减去20，最后除以4，这时得100．那么这个数是77．100×4=400 400+20=420 420-112=308 308÷4=77【例2】村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个？（2+2）×2=8（个）（8+2）×2=20（个）（20+2）×2=44（个）答：这篮鸡蛋有44个.【趁热打铁-2】艾迪、薇儿和大宽分练习册，艾迪得到了总数的一半，薇儿得到了余下的一半少1本，大宽得到了9本，这些练习册共有32本．（9-1）×2=16（本）16×2=32（本）【例3】两棵树上一共有25只鸟，先是左边树上的鸟有一半儿飞到了右边树上，然后右边树上的8只鸟又飞到了左边树上，这时左边树上的鸟比右边树上多3只．请问最开始左边树上有几只鸟？后左：（25+3）÷2=14（只）后右：（25-3）÷2=11（只）原左：（14-8）×2=12（只）答：最开始左边树上有12只鸟.【趁热打铁-3】王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片送给王亮，这时两人各有24张。

王亮和李强原来各有画片多少张？24÷2=12（张）24+12=36（张）原来李强：36÷2=18（张）原来王亮：12+18=30（张）答：王亮原来有30张画片，李强有18张画片。

奥数之谜乘法倒推法在奥数竞赛中，乘法倒推法是一种非常有效的解题方法。

它通过逆向思维，从问题的答案入手，逐步推导出问题的解决过程，达到解题的目的。

本文将介绍乘法倒推法的基本原理，并通过实例来说明其应用。

乘法倒推法的基本原理是，利用答案推导问题的解法。

一般而言，问题会给出一个乘积和部分已知的因数，要求我们求解缺失的因数。

我们可以从乘积入手，将其不断分解成较小的因数，直到找到所有未知的因数。

这种逆向思维能够帮助我们找到问题的突破口。

为了更好地理解乘法倒推法，我们举一个实际例子。

假设问题描述如下：有一个三位数X乘以一个两位数Y，结果为四位数Z。

已知Z的个位数是6，Y的个位数是4，求X和Y的值。

首先，我们按照题目要求，设Z的个位数为6，根据乘法的计算规则，可以知道一定存在两个整数相乘的结果等于Z。

由于Z是一个四位数，那么它的可能取值范围在1000和9999之间。

接下来，我们观察Y的个位数为4，那么根据乘法的基本原理，可以得出Y的十位数是6。

此时，我们可以组成一个乘法算式：X * 64 = Z。

继续观察Z的个位数是6，我们可以得出X的个位数也是6。

这时，我们可以将X的十位数设为a，百位数设为b，得出新的乘法算式：(10b + a) * 64 = Z。

通过展开计算，我们可以得到以下方程：640b + 64a = Z然后，我们回过头来看题目中的已知条件，Z是一个四位数，且其个位数为6。

那么将Z的个位数6代入方程，可以得出：640b + 64a = 10,000n + 6进一步化简，可以得到：80b + 8a = 1250n + 1在上述方程中，我们可以尝试不同的a和b的取值，逐步推导出符合方程的解。

例如，当a=9，b=2时，方程左边等于649，能够被1250n + 1整除。

因此，我们可以得出一个符合条件的X和Y的解：X= 629，Y = 64。

通过这个例子，我们可以看到乘法倒推法的应用。

通过逆向思维，从问题的答案入手，我们逐步推导出了缺失的因数，解决了问题。

（三年级）备课教员：* * *第四讲错中求解（二）一、教学目标：知识目标在进行计算时，能够利用倒推法，从错误的计算结果中求出正确的结果。

能力目标1. 提高自主分析能力。

2. 锻炼逆向思维能力。

情感目标1.自主探索解决实际问题，并有勇于探索的精神。

2.培养做事认真仔细、严谨的态度。

3. 感悟数学在生活中的应用，以及倒推法的应用。

二、教学重点：1. 在乘法算式中，乘数的扩大（缩小）都直接影响到积的扩大（缩小）。

一个乘数增加几，积就增加另一个乘数的几倍；一个乘数减少几，积就减少另一个乘数的几倍。

2.在除法算式中，被除数扩大（缩小），商也会随着扩大（缩小）；而除数扩大（缩小），商反而缩小（扩大）。

除数和余数都相同时，商增加几，被除数就增加除数的几倍；商减少几，被除数就减少除数的几倍。

三、教学难点：1. 理解应用倒推法。

2. 乘法、除法错中求解时的不同。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：复习第二讲的旧知识，回顾逆运算的含义，用倒推法从错误的解中得到正确的解，为接下来的新授环节做铺垫。

】师：你们还记得上次我们学的加、减运算时的错中求解吗？生：记得。

师：那大家看一下这两个小题目，看看大家能不能自己做出来。

（PPT出示）1.一个加数个位上的8被看成了3，得到的和是235，正确的和是多少？2.被减数十位上的6被看成了9，得到的差是145，正确的差是多少？生：……师：大家都这么快就做出来了，说明大家对之前的知识掌握的很牢，那加、减法的错中求解主要是用了什么方法？生：逆运算和倒推法。

师：既然学了加、减法的错中求解，你们觉得我们今天会学什么内容呢？生：乘、除法的错中求解。

师：没错，我们今天就来学习一下乘、除法的错中求解，看看逆运算还能不能解决这类问题。

师：你们准备好了吗？生：准备好了！师：那就一起进入我们的课堂吧！【探究新知，引入新课：之前我们学习了加、减法的错中求解，学生对于逆运算有了一定的理解。

三年级奥数：倒推法1. 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？分析这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4答：于昆这次数学考试成绩是96分.通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.2. 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？分析马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.解：111－（70—10）＋（7—1）＝57答：正确的答案是57.3. 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？分析倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.4. 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？分析依题意，画图进行分析.解：列综合算式：｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2＝22（个）答：篮子里原有梨22个.5. 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？分析解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.解：①甲乙两桶油共剩多少千克？15×2-14＝16（千克）②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）用倒推法画图如下：④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克）⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克）答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.。

倒推法解题【专题简析】：有些应用题按照一般的方法顺着题目条件一步一步的列式出来解 答过程会比较繁琐，所以有些题我们从后面往前面推会很好的简化题，使题变得 很简单，很容易理解也便于解答？例1、建筑队修一条路，第一天修了全长的51多100米，第二次修了余下的72，还剩下500米，求公路的全长。

练习1、乙队煤上午运走72，下午运走的比余下的31还多6吨，最后还剩下14吨没有运走，这堆煤原有多少吨？例2、某果地里有一些桃树结了一些桃子，有一群调皮猴子每天都去摘果园里的桃子吃，第一天摘下桃子总数的101，第二天摘了剩下总数的91，第三天摘了第二天摘后剩下总数的81……，第八天摘了第七天摘后剩下总数的31，第九天摘了第八天摘后剩下总数的21，这时树上还剩下10个桃子，果园里原来有多少个桃子？练习2、将一根绳子从中间剪开，再取其中的一端再从中间剪开，这样剪了四次，正好剩下一米，这根绳子原来有多长？例3、有甲乙两桶油，从甲桶中倒出31给乙桶后，又从乙桶中倒出51给甲，这时两桶正好各有24千克，原来甲乙两桶各有多少千克油？练习3、甲乙两人个有钱若干，甲拿出自己钱总数的51给乙，乙从自己现在所有的钱中拿出41给甲，这时两人各有12元钱，原来两人个有多少钱？综合练习：1、一个数减去1，乘以3，再加上2，最后除以4，结果是5，这个数是多少？2、猴子摘桃，第一天摘了树上桃子的一半多1个，第二天又摘上了余下桃子的一半多1个，这时树上还有15个桃子，原来树上有多少个桃子?3、兔妈妈带着小白兔和小黑兔去拔萝卜，小白兔把全部的萝卜平均分成三份，运走了其中的一份；小黑兔又把余下的萝卜平均分成三份，运走了其中的一份；兔妈妈运走了剩下的16个萝卜。

小白兔和小黑兔各运走多少个萝卜？4、一条小虫由幼虫长到成虫，每天长大1倍（即第二天是第一天的2倍，第三天是第二天的2倍，……）。

30天能长到20厘米，那么长到2.5厘米时用了多少天？5、有120个队伍进行单循环淘汰赛比赛，最后要决出一个冠军队，问：需要多少场比赛才能决出冠军队？6.一种荷叶每天长大1倍，第100天把整个池塘铺满了，求盖满池塘的一半需要多少天？盖满池塘的四分之一需要多少天？。

1.某数扩大7倍后，再缩小2倍，加上8减去6，等于51，求某数？
2.一根电线一半一半地剪去，剪了4次，剩下的正好是2米。

这根电线原来长
多少米？
3.小明、小军和小华共制作科技模型36件。

如果小明给小军6件，小军给小
华4件，他们三人制作的科技模型的件数正好相等。

问他们原来各制作多少件？
4.瓶内装有酒精，倒进500克以后又倒出一半，又倒进500克，这时瓶内有酒
精1200克。

问瓶内原有酒精多少克？
5.幸福小学暑假毕业学生86人，开学招进新生148人，同时又转入学生7人，
转出3人，这时全校共有学生654人，问暑假前幸福小学有多少学生？
6.一条幼虫长成成虫,每天长大一倍,40天长到40厘米,问第36天长多少厘米?
7.某人去银行取款,第一次取了存款的一半多5元,第二次取了余下的一半多
10元,最后剩下125元,求他原来有多少元?
8. 池塘的水面上生长着浮萍,浮萍所占面积每天增加一倍,经过15天把池溏占满了,求它几天占池塘的4
1?
9.。

倒推法解题一、考点、热点回顾用逆向方法解决问题就是根据问题的叙述过程，从最终结果开始，用逆向方法逐步找到问题的答案。

使用反向法求解问题时，原始加法用于减法，原始减法用于加法，原始乘法用于除法，原始除法用于乘法。

二、典型例题例1：一位农妇有一篮鸡蛋。

她第一次卖一半，第二次卖一半，第三次卖一半。

篮子里还有一个鸡蛋。

问：篮子里有多少个鸡蛋？例2、一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后又倒回瓶中40克，第二次倒出瓶中剩下酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中还剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？例3：一只猴子偷着吃桃子。

第一天，他偷着吃树上1/10的桃子。

在接下来的8天里，他偷吃了1/9，1/8，1/7，。

，每天有1/2的桃子在树上。

此时，树上还剩下10个桃子。

问：树上有多少桃子？例4、甲、乙二人分16个苹果，分完后，甲将自己所得苹果数的1/3分给了乙，乙又将自己苹果数的1/3还给甲，最后甲又将自己现有苹果数的1/3分给了乙，这时两人苹果数恰好相等，问：最初甲分得多少个苹果？三、课堂练习1、有一堆桃子，第一只猴子拿走了这堆桃子的一半多半个，第二只猴子又拿走了剩下桃子的一半多半个，第三只猴子也拿走了剩下桃子的一半多半个，桃子正好被拿完，问：这堆桃子原来有几个？2.工地上有一堆沙子。

第一次，一半以上的砂用于0.5吨以上，第二次，一半以上的剩余砂用于0.5吨以上，第三次，一半以上的剩余砂用于0.5吨以上。

此时，施工现场仍有20吨沙子。

工地上有多少吨沙子？3、小明的存钱盒中有一些钱，小明每次用去盒中钱数的一半多1元，这样一共用了5次，盒中还剩下4元钱，小明的存钱盒中原来有多少元？4.第一次倒出一瓶橙汁，然后再倒回50克，第二次倒出剩余橙汁的2/5，第三次倒出150克。

此时，瓶子里剩下120克。

瓶子里有多少克橙汁？5、修一段公路，第一次修了全长的1/2多2千米，第二天修了余下的1/2少1千米，这时还剩下20千米没有修，这段公路长多少千米？6.一堆西瓜，第一次售出总数的1/4和6，第二次售出剩余的1/3和4，第三次售出剩余的1/2和3。