人教A班版高中数学全概率公式教学设计

1 7.1.1 条件概率教学设计

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主要学习条件概率.

学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对简单的概率模型（如古典概型）已经有所了解。条件概率是学生接触到的又一个全新的概率模型。

一方面，它是对古典概型计算方法的巩固，另一方面，为后续研究独立事件打下良好基础。这一概念比较抽象，学生较难理解。遇到具体问题时，学生常因分不清是P（B|A）还是P（AB）而导致出错。基于此，在本节的教学中，应特别注意对于条件概率概念的生成，借助图示形象直观地展现条件概率概念的生成过程。

教学目标与核心素养

课程目标 学科素养

A.通过实例,了解条件概率的概念；

B.掌握求条件概率的两种方法；

C.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；

D.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法. 1.数学抽象：条件概率的概念

2.逻辑推理：条件概率公式的推导

3.数学运算：运用条件概率公式计算概率

4.数学建模：将相关问题转化为条件概率

重点难点

重点：运用条件概率的公式解决简单的问题

难点：条件概率的概念

课前准备

多媒体

教学过程

2 教学过程 教学设计意图

核心素养目标

一、课前练习

抛掷一枚质地均匀的骰子，求偶数点出现的概率？

二、复习回顾

古典概型的概率如何计算？

三、问题导学

在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生（积事件AB）的概率的问题，当事件A与B相互独立时,有

P(AB)=P（A）P（B）

如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.

四、新知探究

问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示，

在班级里随机选一人做代表，

（1）选到男生的概率是多大？

（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？

团员 非团员 合计

男生 16 9 25

女生 14 6 20

合计 30 15 45

随机选择一人作代表，则样本空间𝛀包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”， B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可以得出𝑛(Ω)=45, 𝑛(𝐴)=30, 𝑛(𝐵)=25.

（1）根据古典概型知识可知选到男生的概率P(B) = 𝑛(𝐵)𝑛(Ω)=2545=59.

通过简单练习

复习旧知

开门见山，提出问题.

通过生活中的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而建立条件概率的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

3

（2）“在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A）.此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含了样本点数𝑛(𝐴𝐵)=16.根据古典概型知识可知：

P（B|A） = 𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)=1630=815.

问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么

（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？

（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？

观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩,则样本空间Ω={𝑏𝑏,𝑏𝑔,𝑔𝑏,𝑔𝑔},且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩” ，B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A ={𝑏𝑔,𝑔𝑏,𝑔𝑔}, B={𝑔𝑔}.

（1） 根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率

P(B) = 𝑛(𝐵)𝑛(Ω)=14.

（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A） ，此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知

P（B|A） = 𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)=13.

五、学习新知

思考：通过问题1和问题2，你能得到什么结论？

在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是

问题3：结合以上两个问题，你能探索出

让学生亲身经历了从特殊到一般，获得条件概率概念的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

AnABnABP|之间的关系吗？、与ABPAPABP 4

这个结论对于一般的古典概型仍然成立.事实上，如图所示，若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即

因为

所以，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过APABP来计算.

条件概率的概念:

一般地,设A，B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

问题4：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地， P（B|A）与P（B）不一定相等。如果P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？

直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，

这等价于P（B|A）=P（B）成立.

事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，

通过概念辨析，让学生深化对条件概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

AnABnABP|APABPnAnnABnAnABnABP|APABPABP| 5 且P(A)>0，则

P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A)P(B)P(A)=P(B)；

反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则

P(B)=P(AB)P(A) ⇒ P(AB)=P(A)P(B)

条件概率与事件独立性的关系:

所以，当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).

追问：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？

概率的乘法公式:

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则

P（AB）=P（A）P（B|A）.

我们称上式为概率的乘法公式.

六、典例解析

例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.

解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。

（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即𝑛(𝛺)=𝐴52=5×4=20。

因为n(AB)= 𝐴31×𝐴21=3×2=6

P（AB） = 𝑛(𝐴𝐵)𝑛(Ω)=620=310.

通过典例解析，让学生，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

6 （2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P（A）=35.利用条件概率公式，得P（B|A） = 𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴)=31035=12.

解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P（B|A）=12.

又P（A）= 35 ，利用乘法公式可得

P（AB）=P（A）P（B|A）= 35 ×12= 310.

从例1可知，求条件概率有两种方法：

方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求P（B|A）；

方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。

问题5：通过以上例题，请问求条件概率有几种方法？

方法1：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A) 和P (AB) ，再利用条件概率公式求P(B|A)；

方法2：另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P (B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率。

条件概率的性质：

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.

设P（A）>0，则

（1）P（Ω|A）=1；

（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；

（3）设B和𝐵̅互为对立事件，则P（ 𝐵̅ |A）=1− P（B|A）.

例2: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：