优选高中数学人教A版选择性必修全概率公式完整版课件

条件概率与全概率公式

一 条件概率的理解

条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．

注意点：

A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝ P(B)．

判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的

二 利用定义求条件概率

利用定义计算条件概率的步骤

(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．

(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝PABPA，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．

三 缩小样本空间求条件概率

利用缩小样本空间法求条件概率的方法

(1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB.

(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点．

(3)算：利用P(B|A)＝nABnA求得结果．

四 概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．

注意点：

(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生；

(2)在P(B|A)中，事件A成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和；

(3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件．

五 互斥事件的条件概率

条件概率的性质

设P(A)>0，则

(1)P(Ω|A)＝1.

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)．

注意点：

(1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；

(2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和．

六 全概率公式

全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝i＝1nP(Ai)P(B|Ai)．

1.定义：

条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

2. 条件概率的定义

设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称

()(|)()PABPABPB

为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是有了以上公式

3. 条件概率的计算

1) 用定义计算:

2)从加入条件后可用缩减样本空间法

1.定义:由条件概率的定义，对任意两个事件A与B ,若P(A)>0，则PABPAPBA,我们称上式为概率的乘法公式.

2.性质：设P(A)>0，则 ,)()()|(BPABPBAPP(B)>0

一般地

条件概率与无条件概率

之间的大小无确定关系

若，

条件概率 无条件概率

（1）1PA

（2）如果B与C是两个互斥事件，则PBCAPBAPCA

（3）设B和B互为对立事件，则1PBAPBA

1.全概率公式

一般地，设12,,nAAA是一组两两互斥的事件，12nAAA，且0iPA＞，1,2,,in，则对任意的事件B,有1niiiPBPAPBA我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一 由条件概率的定义：

若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB)

定理若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)

若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)

全概率公式

全概率就是表示达到某个目的有多种方式(或者造成某种结果有多种原因),求达到目的的概率是多少(或者造成这种结果的概率是多少).

教学设计

课程基本信息

学科 高中数学 年级 高二 学期 春季

课题 《全概率公式》

教科书 书 名：普通高中数学教材

出版社：人民教育出版社 出版日期：2020 年3 月

教学目标

1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程；

2.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率；

教学内容

本节课内容选自普通高中数学教材2019人教A版高中数学选择性必修第三册第二章第一节《条件概率与全概率公式》，共3个课时，《全概率公式》是第二节课，本节课主要是学习全概率公式，并会利用全概率公式计算概率。本节内容是学生上节课学过的条件概率的延续和拓展，又是后续求复杂事件概率的基础。全概率公式为求解一类概率问题提供了有力的工具，它是概率论中最重要的公式之一，且蕴含着深刻的数学思想。

1.教学重点：全概率公式及其应用

2.教学难点：

（1）受多因素影响的复杂事件表示为各因素影响下对应的简单互斥事件的并

（2）运用全概率公式求概率.

学生学情

学生已经学习了有关概率的一些基础知识，对一些简单的概率模型（如古典概型）、事件之间的关系和运算已经有所了解，本节主要是求受多因素影响的复杂事件的概率。本课以“不放回摸球实验”为载体，在条件概率的基础上利用概率的乘法公式和加法公式抽象并推导了全概率公式。公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用，同时注意运用集合的观点理解公式。

教学过程

（一）复习引入

上节课我们学习了条件概率和概率的乘法公式，通过计算得出，在抽奖活动中抽奖次序与中奖的概率无关，知道了求一个复杂事件概率时，需要把它表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 这节课继续来学习解决复杂事件概率的问题.

（二）创设情境

思考：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3 个蓝球，从中不放回地依次随机摸出

2 个球． （1）设Ω 为该试验的样本空间，记1A = “第一 次摸出红球第二次摸出蓝球”，2A= “第一次摸出红球第二次摸出红球”，它们能组成该试验的样本空间吗？如果不能，请说明理由？

专题03条件概率与全概率公式

一、单选题

1．（2021·全国高二课时练习）已知1

()

2PBA∣，3

()

8PAB，则()PA等于（）

A．3

16B．13

16C．3

4D．1

4

【答案】C

【详解】

由()()()PABPBAPA∣，可得()3

()

()4PAB

PA

PBA

∣.

故选：C.

2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（理））已知某种产品的合格率是7

9，合格品中的一级品率是4

5.则这种产品的一级品率为（）

A．28

45B．35

36C．4

5D．2

3

【答案】A

【详解】

设事件A为合格品，事件B为一级品，则7

9PA，4

|

5PBA，则

4728

|

5945PBPAPBA.

故选：A.

3．（2021·全国高三专题练习（理））现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表

示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则PBA（）

A．1

3B．4

7C．2

3D．3

4

【答案】A

【详解】解：由已知得22

43

2

793

()

217CC

PA

C

,2

3

2

731

()

217C

PAB

C，则()PBA1

()17

3()3

7PAB

PA，

故选：A

4．（2020·全国高二课时练习）2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高

考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.

学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的

概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率

为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（）

A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%

【答案】C

【详解】

设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”.

则“某人检验呈阳性时他确实患病”为|BA，

又