一元一次方程和解法(移项合并同类项)

《3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在学习一元一次方程时，掌握合并同类项与移项的基本方法。

通过实际操作，提高学生的计算能力和逻辑思维能力，为后续学习一元一次方程的解法打下坚实的基础。

二、作业内容本作业主要包括以下几个部分：1. 复习与巩固：要求学生回顾并复习一元一次方程的基本概念，包括合并同类项的定义和方法。

2. 实践操作：设计一系列练习题，让学生通过实际操作，掌握合并同类项的技巧。

练习题包括填空题、选择题和计算题等。

3. 移项练习：设计一系列关于移项的练习题，包括将常数项移至等式另一侧的练习，以及将未知数项移至等式另一侧的练习。

4. 实际问题应用：设计一些实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题，如购物找零、行程问题等。

三、作业要求为确保学生能够有效地完成本作业，特提出以下要求：1. 学生在完成作业时，需按照步骤和顺序进行，先复习巩固基础知识，再逐一完成实践操作部分的练习题。

2. 学生在合并同类项时，应理解同类项的概念，准确判断同类项并进行合并。

在移项时，应正确运用移项的规则，确保等式两边的平衡。

3. 在实际问题应用部分，学生应理解问题的背景和要求，运用所学知识进行解答。

在解答过程中，应注重解题思路的清晰和解题步骤的规范。

4. 学生在完成作业后，需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。

如有疑问或困难，可向老师或同学请教。

四、作业评价本作业的评价标准主要包括以下几个方面：1. 基础知识的掌握程度；2. 实践操作的准确性和熟练程度；3. 解题思路的清晰度和规范性；4. 实际问题的解决能力和应用能力。

五、作业反馈为确保学生能够及时了解自己的学习情况并加以改进，老师需在批改作业后进行以下反馈：1. 对学生的作业进行逐一评价，指出优点和不足；2. 对学生的解题思路和步骤进行点评和指导；3. 对学生的实际问题的解决能力进行评价和建议；4. 对学生的学习提出进一步的建议和要求。

《解一元一次方程（一）合并同类项与移项》知识解析课标要求1．了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a 的形式），理解解一元一次方程的一般步骤（本节主要是合并同类项与移项），掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；2．能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的相等关系”，体会建立数学模型的思想；3．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．知识结构 内容解析1.合并同类项：本质是分配律的逆运算，原来是在式子中运算，现在是在等式中运算，并且要注意格式上的问题，原来可以写“解：原式=．．．．．．”，现在在方程中不存在这种写法，也可以帮助学生理解合并同类项在两处的却别，还能说明方程是在化简，渗透化归思想．2.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．这是概念，其中移项变号显得尤为重要，而且这也是许多学生极为容易犯错的地方，我认为让学生理解透彻这移项的本质实际上是等式性质1——等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，是帮助学生避免犯错的办法之一．3.合并同类项与移项的作用：合并同类项与移项的目的就是化简方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并逐步使方程向x ＝a 的形式转化，让学生明白，解方程实际上是化简的一个过程，而且可以帮助学生建立解数学题的一种方法：把未解决的问题转化为一个已经解决的问题，这就是重要的数学思想——化归思想，也是一种重要的学习方法！4.解方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为1.5.用一元一次方程分析和解决实际问题的一般过程：表示同一量的两个不同式子相等． 重点难点本节的重点是：利用合并同类项、移项变号法则解方程．教学重点的解决方法：学生在整式加减中已经学会了合并同类项，通过观察类比得出合并同类项与移项的解法，学生积极动手、动脑、动口为主线来完成，设置由浅入深一些练习题，加深对概念的理解与把握．通过题组的学习和训练，归纳出用一元一次方程解题的一般步骤．体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本节的难点是：找相等关系列一元一次方程教学难点的解决方法：要运用一元一次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元一次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发.通过问题情境，建立一元一次方程的数学模型．（1）注意师生互动，提高学生的思维效率．（2）针对学生的盲区，出相应的练习巩固．教法导引本节的重点在于讨论解方程中的“合并同类项”和“移项”两个基本做法，这样就已经可解ax+b=cx+d 类型的一元一次方程．实际问题 一元一次方程 合并 移项 步骤 设未知数，列方程本节中对于“合并同类项”和“移项”的讨论，分别以问题1和问题2为出发点．以较为简单的实际问题作讨论方程解法的背景，一方面可使学生感觉到要讨论的解法来源于实际问题的需要，另一方面可使根据实际问题列方程贯穿于全章，将列方程的教学过程拉长．从而达到由简单问题到复杂问题地逐步提高学生列方程的能力的教学效果．本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780~850年间的阿拉伯数学家阿尔—花拉子米所著的《对消与还原》一书，提问“对消”与“还原”是什么意思，以此作为后面内容的引子．本节在问题1和问题2之后，各安排了两道例题，其中前一例题是单纯解方程，其作用是巩固对相应解法的理解和掌握；后一例题是简单的实际问题，其作用有两个，一是巩固对相应解法的理解和掌握，二是逐步引导学生理解和掌握如何列方程．解方程和列方程是利用方程分析和解决实际问题的基本过程中不可或缺的两个环节．在教学中，要把数学思想和方法的教学贯穿于整个教学中，学生只有及早形成自己的思想和方法，才能学得轻松，从而更加爱学数学.同时及时找出课堂上出现的共性问题，利用辅导课及时纠正，然后做针对性练习来巩固盲区，强化课堂薄弱环节，使课堂走向优质高效化．学法建议通过回顾已学过的整式加减中的合并同类项和等式性质1这些已有知识，为后续的合并同类项与移项学习作好知识储备与铺垫，通过对实际问题的讨论与探究，激发起学生的强烈的求知欲和探索愿望，用方程思想从日常生活情境中借助等量关系，用一元一次方程表示出来，初步建立一元一次方程基本模型．让学生尝试进一步将所学知识运用到解方程中，最后体验到“合并同类项”和“移项”给解方程带来的便利性！并通过应用题组灵活运用所学知识形成技能技巧．让学生自己归纳出用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型.。

3.2解一元一次方程——合并同类项与移项合并同类项解方程的方法与步骤（1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并.（2）系数化为1，即在方程的两边同时除以未知数的系数.注意：（1）解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项一样，它们的依据都是乘法分配律，实质都是系数的合并，目的是运用合并同类项，使方程变得更简单，为运用等式性质2求出方程的解创造条件；（2）系数为1或-1的项，合并时不能漏掉.题型1：解一元一次方程——合并同类项1.解下列方程∶(1)3x+2x+x=24; (2)-3x+6x=18.【答案】（1）x=4 （2）x=6【变式1-1】（1）5x-6x=-57 （2）13x-15x＋x=-3.【答案】（1）x=57 （2）x=3移项解方程的方法与步骤1.移项把等式的某项变号后移到另一边，叫做移项.移项必须变号.2.移项的依据移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边.3.解简单的一元一次方程的步骤（1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1.注意：（1）移项通常把含有未知数的项移到“=”的左边，常数项移到“=”的右边（2）若将2=x变形为x=2，直接利用的是等式性质的对称性，不能改变符号.（3）方程中的每项都包括前面的符号.题型2：解一元一次方程——移项2.将下列方程移项（1）7＋x=13，移项得x=13+7（2）5x=4x＋8,移项得 5x-4x=8（3）3x-2=x+1，移项得 3x-x=2+1（4）8x=7x-2，移项得 8x-7x=-2（5）2x-1=3x+4，移项得 2x-3x=1+4【变式2-1】解下列方程(1)4x+2=3x-3; （2）4y=203y+16【答案】（1）x=-5 （2）y=-6【变式2-2】解下列方程(1)2x+3=4x-5; (2)9x-17=4x-2.【答案】（1）x=4 （2）x=3题型3：绝对值方程3.解方程 |2x-3|=1.【分析】解绝对值方程的关键是把绝对值符号去掉，将方程转化为普通方程求解.【解答】∶因为|2x-3|=1，所以2x-3=1或2x-3=-1，解得x=2或x=1.【变式3-1】如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（ ）A．−23B．−32或1C．−23或﹣2D．−23或﹣4【分析】根据绝对值的意义得到2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵|2x+3|＝|1﹣x|，∴2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），题型4：依题意构建方程求解4.代数式2x＋5与x＋8的值相等，则x的值是 .【答案】3【解析】【解答】解：∵代数式2x＋5与x＋8的值相等，∴2x+5=x+8，解得：x＝3，故答案为：3.【分析】根据已知条件：2x＋5与x＋8的值相等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.【变式4-1】当x= 时，代数式6x+1与-2x-5的值互为相反数。

解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】1．经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。

+=”类型的一元一次方程。

2．学会合并同类项，会解“ax bx c3．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程。

4．初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。

【教学重难点】1．分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程。

+=”类型的一元一次方程。

2．建立方程解决实际问题，会解“ax bx c【教学过程】一、设置情境，提出问题。

（出示背景资料）约公元825年，中亚细亚数学家阿尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。

这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》。

“对消”与“还原”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个问题。

问题1：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。

前年这个学校购买了多少台计算机？设计理念：本节引子与上一节的“阅读与思考”相呼应，同时提出下面几节要讨论的内容，起到承上启下的作用，又有助于增加学习数学的兴趣，扩大知识面，感受数学的历史和文化的陶冶，提高数学素养。

以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系。

二、探索分析，解决问题。

引导学生回忆：设问1：如何列方程？分哪些步骤？师生讨论分析：设未知数：前年购买计算机x 台找相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买量=140台列方程：24140x x x =＋＋设问2：怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x a =的形式？学生观察、思考： 根据分配律，可以把含x 的项合并，即241247x x x x x ==＋＋（＋＋）设问3：以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什么？学生讨论、回答，师生共同整理：“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x a =的形式。

专题5.3 求解一元一次方程（一）-移项、合并同类项（知识讲解）【学习目标】1．会应用移项、合并同类项法则解一些简单的一元一次方程.2．通过具体的实例感知、归纳移项法则，进一步探索方程的解法.3．进一步认识解方程的基本变形，感悟解方程过程中的转化思想.【要点梳理】移项的概念：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

特别说明：通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式。

移项、合并同类项解方程步骤：解方程的步骤及依据分别是：（1）移项（等式的性质1）（2）合并（分配律）（3）系数化为1（等式的性质2）【典型例题】知识点一、解方程1．解方程：(1)x－3＝31；(2)4x＝3x－5；(3)－7x＝21；(4)－32x＝32.【答案】（1）x＝34；（2）x＝－5；（3）x＝－3；（4）-1.【分析】（1）（2）移项合并即可求出解；（3）（4）将x系数化为1，即可求出解．解：(1) 移项，得x＝31+3，x=34；(2)移项，得4x－3x＝－5，x＝－5；(3) 系数化为1，得x＝－3；(4)方程两边同时乘以23⎛⎫-⎪⎝⎭，得x＝32×23⎛⎫-⎪⎝⎭＝－1.故答案为：（1）x＝34；（2）x＝－5；（3）x＝－3；（4）-1.【点拨】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式1】 解方程（1） 4 2.5 1.515x x x -+= （2）5757x x -=+【答案】（1）5；（2）-6【分析】（1）直接合并同类项，系数化1即可解得方程；（2）利用移项，合并同类项，系数化1即可解得方程；解：（1）4 2.5 1.515x x x -+=， 合并同类项得：315x =，系数化1得：x=5；（2）5757x x -=+， 移项得：575+7x x -=， 合并同类项得：212x -=，系数化1得：-6x =【点拨】本题主要考查一元一次方程的解法，解一元一次方程的基本步骤有：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，根据方程的特点，灵活运用相应步骤解方程．【变式2】解方程：（1）36156x x -=--； （2）45173x x +=-； （3） 2.57.5516y y y --=-； （4）11481.5533z z +=-． 【答案】（1）1x =-；（2）66x =-；（3）56y =；（4）407z =- 【分析】（1）（2）（3）（4）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可．解：（1）移项，得36156x x +=-+．合并同类项，得99x =-．系数化为1，得1x =-．（2）移项，得41753x x -=--． 合并同类项，得1223x =-． 系数化为1，得66x =-．（3）移项，得 2.57.5165y y y --+=．合并同类项，得65y =．系数化为1，得56y =． （4）移项，得11841.5533z z -=--． 合并同类项，得7410z =-． 系数化为1，得407z =-． 【点拨】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 知识点二、一元一次方程中“纠错”题2．解方程：1145155x x +=--． 佳佳的解题过程如下：解：移项，得1145155x x +=-．① 合并同类项，得34x =．①系数化为1，得43x =．① 请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来．【答案】有误，从第①步开始出错的．正确的解题过程见解析【分析】根据一元一次方程的解法步骤判断即可．解：有误，从第①步开始出错的．正确的解题过程：移项，得1145155x x +=--， 合并同类项，得36x =-，系数化为1，得2x =-． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．举一反三：【变式1】下面是两位同学的作业.请你用曲线把出错误的步骤画出来，并把正确的写在右边.(1) 解方程: 215x x -=-+.解：215x x -=+，6x =.(2)解方程：715y y =+. 解: 71y y =+，71y y -=，61y =，16y =. 【分析】根据解一元一次方程的步骤:移项,合并同类项,系数化为1,进行解方程即可求解. 解：①215x x -=+ 改正：215x x +=+ 2x =(2) 71y y =+ 改正：755y y =+ 52y = 【点拨】本题主要考查解一元一次方程的步骤,解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的步骤.【变式2】 下面是张铭同学今天做的家庭作业：问题：将等式5x ﹣3y=4x ﹣3y 变形．解：因为5x ﹣3y=4x ﹣3y ，所以5x=4x （第一步）所以5=4（第二步） 上述过程中，第一步是怎么得到的？第二步得出错误的结论，其原因是什么？【答案】第一步是两边都加3y ，第二步错误的原因是x=0时，两边都除以x 无意义 【解析】【分析】根据等式的性质逐步分析即可，等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式.解：第一步是根据等式的性质1，把等式的两边都加3y ，第二步根据等式的性质2可知，错误的原因是x =0时，两边都除以x 无意义.【点拨】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的2条基本性质是解答本题的关键.【变式3】某同学解方程52486x x -=-的过程如下，请你指出他开始出错的一步及错误的原因，并改正.解：移项，得58624x x -=--，①合并同类项，得330x -=-，①方程两边同时除以-3，得10x =.①；【答案】该同学的移项是错误的，原因见解析.【分析】根据解一元一次方程的步骤及移项的定义进行分析，即可得到答案.解：该同学的移项是错误的，原因是-24进行移项后符号没有改变．根据移项的定义可知，正确移项是58624x x -=-+，合并同类项，得318x -=，方程两边同时除以-3， 得6x =-.【点拨】本题考查解一元一次方程——移项，解题的关键是熟练掌握移项.知识点三、一元一次方程中同解原理3、已知2(26)m -与｜n+2｜互为相反数，则求方程m x +3n=6的解． 【答案】4x =【分析】由题意可得()22620m n -++=，然后根据非负数的性质可求出m 、n ，代入原方程后再求解方程即可．解：由题意得：()22620m n -++=，所以260,20m n -=+=，解得3,2m n ==-，则方程mx+3n=6即为366x -=，移项、合并同类项，得3x=12，系数化为1，得x=4．【点拨】本题考查了非负数的性质和一元一次方程的解法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 举一反三：【变式1】已知关于x 的方程3x+2a ＝x+7，某同学在解这个方程时，不小心把右端的+7抄成了－7，解得的结果为x ＝2，求原来方程的解.【答案】x ＝9【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a 的方程，根据解方程，可得a 的值，根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．解：将x=2代入3x+2a=x -7，得6+2a=-5，解得a=-112． 当a=-112时，原方程为3x -11=x+7， 移项、合并同类项，得2x=18，系数化为1，得x=9，原方程的解为x=9．【点拨】本题考查了一元一次方程的解，将方程的解代入方程得出a 的值是解题关键．【变式2】已知关于x 的方程130.58192x a a +=-与方程3122x x -=-的解互为相反数，求a 的值．【答案】3a =【分析】首先解得方程3122x x -=-的解，然后根据相反数的定义将方程3122x x -=-的解的相反数代入第一个方程来求a 的值即可．解：解方程3122x x -=-，得1x =-，∴方程130.58192x a a +=-的解是1x =把1x =代入130.58192x a a +=-，得130.58192a a ， 解之得：3a = 【点拨】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．【变式3】已知关于x 的一元一次方程（m -6）x 2-2x+n=0与x -（3-x ）=1的解相同，求m 、n 的值.【答案】m=6，n=4【分析】先根据等式的性质求出方程x -（3-x ）=1的解;根据两个方程的解相同, 将求得的解代入到一元一次方程（m -6）x 2-2x+n=0中, 不难求出n 的值.解: 利用等式的基本性质求解方程，x -（3-x ）=1, 可得x=2.因为方程（m -6）x2-2x+n=0为一元一次方程，得m -6=0,m=6,因为两方程的解相同,所以x=2也是方程（m -6）x2-2x+n=0的解.将x=2代入-2x+n=0可得: -4+n=0,解得n=4.故答案：m=6，n=4.【点拨】本题是一道关于解方程的问题, 解题的关键是求出第一个方程的解.知识点四、一元一次方程的创新题4、一般情况下a 2+b 3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a =b =0，我们称使得a 2+b 3=a+b 2+3成立的一对数a ，b 为“相伴数对”，记为(a , b).（1）若(1 , b)是“相伴数对”，求b 的值；（2）若(m , n)是“相伴数对”，求代数式m −10n −2(5m −3n +1)的值.【答案】（1）−94；（2）-2【解析】(1)、首先根据“相伴数对”的定义列出关于b 的一元一次方程，从而求出b 的值；(2)、根据“相伴数对”的定义得出关于m 和n 的代数式，然后进行化简得出9m+4n=0，最后将所求的代数式进行化简，利用整体代入的思想进行求解.解 ：（1）∵(1 , b)是“相伴数对”，∴12+b 3=1+b 2+3，解得：b =−94；（2）由(m , n)是“相伴数对”可得：m 2+n 3=m+n 2+3，则15m +10n =6m +6n ，即9m +4n =0，则原式=m −10n −10m +6n −2=−9m −4n −2=−2.举一反三：【变式1】数学课上，高老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、①、①，摆成如图所示的一个等式．然后翻开纸片①是4x 2＋5x ＋6，翻开纸片①是－3x 2－x －2．解答下列问题：（1）求纸片①上的代数式；（2）若x 是方程2x ＝－x －9的解，求纸片①上代数式的值．【答案】（1）244x x ++；（2）1.【分析】（1）由①=①+①即可求解；（2）由方程2x ＝－x －9求出x 值，再代入纸片①上的代数式求值即可.解：（1）222456(32)44x x x x x x =+=+--=+-+①②③＋＋，所以纸片①上的代数式为244x x ++；（2）解2x ＝－x －9得3x =-，将3x =-代入244x x ++得2(3)4(3)491241-+⨯-+=-+=，所以纸片①上代数式的值为1.【点拨】本题考查了整式的加减运算及代入求值，同时涉及了解一元一次方程，灵活掌握整式的加减运算是解题的关键.【变式2】下图是一个运算程序:(1)若2,3x y =-=，求m 的值；(2)若4x =，输出结果m 的值与输入y 的值相同，求y 的值.【答案】（1）-7；（2）-2 【分析】(1)根据x 、y 的值和运算程序得出3m x y =-，代入即可得出答案(2) 根据运算程序分4m >和4m ≤两种情况列出关于m 的方程，解方程即可得出y 的值解: (1)2,3x y =-=，x y ∴≤，32337m x y ∴=-=--⨯=-.(2)由己知条件可得4,x y m ==，当4m >时，由43m m +=，得2m =-，符合题意:当4m ≤时，由43m m -=得1m =，不符合题意，舍掉.2y ∴=-.【点拨】本题考查了代数式求值和一元一次方程的应用，把满足条件的字母的值代入计算得到对应的代数式的值．也考查了观察图表的能力．。