专题10.1 椭圆(解析版)文科生

椭圆知识点总结文科一、椭圆的基本概念1. 定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，线段F1F2的长度等于2c，椭圆的离心率e定义为e=c/a。

2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

3. 对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的轴对称性，以及关于两个焦点和长轴中点的中心对称性。

4. 参数方程：设椭圆的长半轴和短半轴分别为a和b，焦点与x轴的夹角为α，则椭圆的参数方程为x = a*cos(θ)，y = b*sin(θ)，其中θ为参数。

二、椭圆的性质1. 焦点和直径：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的直径。

换句话说，对于椭圆上任意一点P，有FP1 + FP2 = 2a。

其中F1和F2是椭圆的焦点，a是椭圆的长半轴。

2. 关系式：设椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，则椭圆上任意一点P(x,y)的坐标满足x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

同时，椭圆的离心率e满足0<e<1。

椭圆上的点满足等式x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，这个等式被称为椭圆的标准方程。

3. 弦和焦点定理：设在椭圆上有一条过焦点F1和F2的弦L，且经过椭圆上的任意一点P，则弦L的两个端点P1和P2与焦点的距离之和保持不变，即FP1 + FP2 = 2a。

4. 焦点外一点到椭圆的切线和法线：设点P在椭圆上，直线L经过点P且与椭圆相切，则直线L的斜率k和椭圆上点P的坐标(x,y)满足以下关系式：y = kx ± b*sqrt(a^2*k^2 +a^2 - b^2)。

而点P到椭圆的法线方程为y = -(x/k) ± (b/a)*sqrt((a^2+k^2*b^2)/(k^2+1))。

5. 椭圆的离心率和长半轴、短半轴的关系：椭圆的长半轴和短半轴分别为a和b，椭圆的离心率满足e=sqrt(1 - b^2/a^2)。

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25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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高考文科数学练习题含解析 椭圆
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第5节椭圆考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a ≤x ≤a－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率e ＝ca ∈(0，1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21.点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； (2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； (3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.2.若点P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则 (1)b ≤|OP |≤a ； (2)a －c ≤|PF |≤a ＋c .3.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫作焦点三角形，r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2a .5.AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( ) (3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F 1F 2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于|F 1F 2|时，不存在这样的图形. (2)因为e ＝ca ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e 越大，则ba 越小，椭圆就越扁.2.(易错题)(2022·济南联考)“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示的曲线为椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 若方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示的曲线为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，解得2<m <6，且m ≠4， 故“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12C.9D.6答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立.4.(2021·洛阳模拟)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A.长轴长为12 B.焦距为34 C.短轴长为14 D.离心率为32答案 D解析 把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1，所以a＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.5.(易错题)已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝105，则m 的值为________. 答案 3或253解析 若a 2＝5，b 2＝m ，则c ＝5－m . 由c a ＝105，即5－m 5＝105，解得m ＝3.若a 2＝m ，b 2＝5，则c ＝m －5. 由c a ＝105，即m －5m＝105，解得m ＝253. 综上，m ＝3或253.6.(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________. 答案 8解析 根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形.设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋(8－m )2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2－b 2)＝48，得m (8－m )＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|·|PF 2|＝m (8－m )＝8.第一课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的定义及其应用1.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案 A解析 连接QA (图略). 由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.2.(2022·合肥模拟)已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，椭圆E 上一点P (2，1)关于原点的对称点为Q ，若△PQF 的周长为42＋25，则a －b ＝( ) A. 2 B.22C. 3D.32答案 A解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可知，△PQF 的周长为2a ＋2×22＋12＝2a ＋2 5. 又△PQF 的周长为42＋25， 所以2a ＝42，解得a ＝2 2. 又点P (2，1)在椭圆上，所以22（22）2＋12b 2＝1，解得b ＝2，所以a －b ＝ 2.3.设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________. 答案 433解析 由题意知，c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|F 1P |＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|F 1P |＋|PF 2|)2－2|F 1P |·|PF 2|－2|F 1P |·|PF 2|cos 60° ＝4a 2－3|F 1P |·|PF 2|＝4a 2－16， ∴|F 1P |·|PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|F 1P |·|PF 2|sin 60° ＝12×163×32＝433.4.已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________. 答案 6＋2 6－ 2解析 椭圆方程化为x 29＋y 25＝1， 设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2，0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1三点共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋ 2.感悟提升 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系. 考点二 椭圆的标准方程例1 (1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.答案 (1)B (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1解析 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点.如图，不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y22＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ).由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110， ∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(3)法一(待定系数法) 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得 （－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二(定义法) 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋ （3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.感悟提升 根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可. (3)椭圆系方程①与x 2a 2＋y 2b 2＝1共焦点的椭圆系为x 2a 2－k ＋y 2b 2－k＝1(k <b 2).②与x 2a 2＋y 2b 2＝1有共同的离心率的椭圆系为x 2a 2＋y 2b 2＝λ或y 2a 2＋x 2b 2＝λ(λ>0). 训练1 (1)与椭圆x 23＋y 22＝1有相同离心率且经过点(3，2)的椭圆标准方程为______________.(2)(2021·赣中南五校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点(0，3)，过其中一焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若|AB |＝1，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 2＋y23＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 236＋y 23＝1 D.x 23＋y 236＝1答案 (1)x 26＋y 24＝1或y 2132＋x 2133＝1 (2)C解析 (1)若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 23＋y 22＝a (a >0)， 将点(3，2)代入，得a ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 26＋y 24＝1. 若焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 23＋x 22＝λ(λ>0)， 将点(3，2)代入，得λ＝136. 故所求椭圆方程为y 2132＋x 2133＝1.(2)由题意知，椭圆C 的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 由椭圆C 经过点(0，3)，得b ＝ 3. 不妨设A (c ，y 1)，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 21b 2＝1，解得y 21＝b 4a 2， 所以|AB |＝2b 2a ＝1，由此解得a ＝6， 所以椭圆C 的标准方程为x 236＋y 23＝1.考点三 椭圆的几何性质 角度1 椭圆的离心率例2 (1)(2022·昆明诊断)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是椭圆短轴的端点，点N 在椭圆上，若MF 1→＝3NF 2→，则椭圆E 的离心率为( ) A.13B.12C.22D.63(2)(2021·兰州调研)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆C 上一点，且PF 1与x 轴垂直，直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q .若直线PQ 的斜率为－34，则椭圆C 的离心率为( ) A.24B.12C.22D.32答案 (1)C (2)B解析 (1)设M (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，N (x ，y )， 因为MF 1→＝3NF 2→，所以(－c ，－b )＝3(c －x ，－y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43c ，y ＝b 3，代入椭圆方程并化简，得169e 2＋19＝1，解得e ＝22.(2)由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 由PF 1与x 轴垂直，PQ 的斜率为－34， 可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，由k PQ ＝kPF 2＝b 2a－2c＝－34，整理得a 2－c 22ac ＝34，即2c 2＋3ac －2a 2＝0， 得2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去). 感悟提升 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程求解. (3)利用公式e ＝1－b 2a 2求解. 角度2 与椭圆几何性质有关的最值范围问题例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1(2)已知点A (0，2)及椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点P ，则|P A |的最大值是________.答案 (1)A (2)2213解析 (1)设左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则|－4b |32＋（－4）2＝4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，故选A.(2)设P (x 0，y 0)，则－2≤x 0≤2，－1≤y 0≤1，∴|P A |2＝x 20＋(y 0－2)2. ∵x 24＋y 20＝1，∴|P A |2＝4(1－y 20)＋(y 0－2)2＝－3y 20－4y 0＋8＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋232＋283.∵－1≤y 0≤1，∴当y 0＝－23时，|P A |2max＝283， 即|P A |max ＝2213.感悟提升 利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.(2)将所求范围用a ，b ，c 表示，利用a ，b ，c 自身的范围、关系求范围.训练2 (1)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，3]∪[4，＋∞)(2)(2022·成都质量检测)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，点C 是点A 关于原点O 的对称点，若CF ⊥AB 且CF ＝AB ，则椭圆的离心率为________.答案 (1)A (2)6－ 3解析 (1)①当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m ≥tan ∠AMB 2＝3，∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. ②当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB 2＝3，∴m ≥9， 综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).(2)设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，CF ′，由题意和对称性，得四边形F AF ′C 为矩形，三角形ABF ′为等腰直角三角形，设AF ′＝AB ＝x (x >0)，则x ＋x ＋2x ＝4a ，解得x ＝(4－22)a ，则AF ＝(22－2)a ，在直角三角形AFF ′中，由勾股定理得AF ′2＋AF 2＝(2c )2，所以e 2＝9－62，e ＝6－ 3.1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( ) A.5 B.3 C.5或3D.8答案 C解析 由题意知椭圆焦距为2，即c ＝1，又满足关系式a 2－b 2＝c 2＝1，故当a 2＝4时，m ＝b 2＝3；当b 2＝4时，m ＝a 2＝5.2.(2022·西安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1答案 D解析 由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.3.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1答案 D解析 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8， 所以a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43，故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.22C.23D.63答案 D解析 如图，由题意可得，2b ＝c ，则2b 2＝c 2，即2(a 2－c 2)＝c 2， 则2a 2＝3c 2， ∴c 2a 2＝23，即e ＝c a ＝63.5.(2021·盐城调研)已知F 1，F 2为椭圆x 28＋y 24＝1的左、右焦点，P 是椭圆上一点，若S △F 1PF 2＝4，则∠F 1PF 2等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90°答案 D解析 由x 28＋y 24＝1，可得a ＝22，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝2. 设P (x 1，y 1)且y 1>0，所以S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·y 1＝12×4×y 1＝4，解得y 1＝2， 此时点P 的坐标为(0，2)， 所以|PF 1|＝|PF 2|＝2 2. 又因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 所以∠F 1PF 2＝90°.6.设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 答案 D解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，m ，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 由线段PF 1的中垂线过点F 2 得|PF 2|＝|F 1F 2|，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＋m 2＝2c ， 得m 2＝4c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －c 2＝－a4c 2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13.又0<e <1，故33≤e <1.7.与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆标准方程为_________________.答案 y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y 26＝1解析 若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为 x 24＋y 23＝t (t >0)，将点(2，－3)代入，得t ＝224＋（－3）23＝2， 故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ>0)代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.8.(2021·皖北协作体联考)“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，“天问一号”探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，“天问一号”探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11 945公里，火星半径约为3 400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为________(精确到0.1).答案 0.6解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ，最大值为a ＋c ，根据题意可得近火点满足a －c ＝3 400＋265＝3 665，远火点满足a ＋c ＝3 400＋11 945＝15 345，解得a ＝9 505，c ＝5 840，所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝5 8409 505≈0.6.9.已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.答案 5解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎨⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.10.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0.而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5，∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410，∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝ 1. 11.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.12.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1，1)，B (0，－1)，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A.5B.4C.3D.2答案 A解析 ∵椭圆的方程为y 24＋x 23＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴B (0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C (0，1)，如图所示.根据椭圆的定义知，|PB |＋|PC |＝4，∴|PB |＝4－|PC |，∴|P A |＋|PB |＝4＋|P A |－|PC |≤4＋|AC |＝5.13.(2022·绵阳诊断)已知F (0，1)为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过E 的下顶点B 和F 的直线与E 的另一个交点为A ，若4BF →＝5F A →，则a ＝________.答案 3解析 如图，设椭圆的左焦点为F ′，则F ′(－1，0).连接AF ′，BF ′，则|BF |＝|BF ′|＝a .由4BF →＝5F A →，得|AF |＝4a 5.由椭圆的定义可知，|AF ′|＝2a －|AF |＝65a ，设∠AFF ′＝θ，则∠BFF ′＝π－θ，则cos θ＝|AF |2＋|FF ′|2－|AF ′|22×|AF |×|FF ′|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45a 2＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫65a 22×45a ×2＝4－2025a 2165a＝5－a 24a ①，而cos(π－θ)＝|BF |2＋|FF ′|2－|BF ′|22×|BF |×|FF ′|＝a 2＋4－a 22×a ×2＝1a②， 由①＋②得1a ＋5－a 24a ＝0，解得a ＝3.14.已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.(1)若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；(2)如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.解 (1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，于是2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)c ，故C 的离心率为e ＝c a ＝3－1.(2)由题意可知，满足条件的点P (x ，y )存在当且仅当12|y |·2c ＝16，y x ＋c ·y x －c＝－1，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 即c |y |＝16，①x 2＋y 2＝c 2，②x 2a 2＋y 2b 2＝1.③由②③及a 2＝b 2＋c 2得y 2＝b 4c 2.又由①知y 2＝162c 2，故b ＝4. 由②③及a 2＝b 2＋c 2得x 2＝a 2c 2 (c 2－b 2)，所以c 2≥b 2，从而a 2＝b 2＋c 2≥2b 2＝32， 故a ≥4 2.当b ＝4，a ≥42时，存在满足条件的点P ， 所以b ＝4，a 的取值范围为[42，＋∞).。

文科椭圆的知识点总结一、定义椭圆是平面上一点到两个固定点的距离之和为常数的所有点的轨迹。

设点F1（x1，y1）和F2（x2，y2）是平面上给定的两点，离心率为e（0<e<1），则椭圆E是满足下面条件的点P（x，y）的轨迹：PF1+PF2=2a其中PF1和PF2分别表示点P到点F1和点F2的距离，a为常数，称为椭圆的半长轴。

在离心率e已知的情况下，椭圆的半短轴b可以表示为：b=a√(1-e^2)根据椭圆的定义，椭圆是两个焦点之间距离的轨迹，通常可以通过图形来直观地理解椭圆的定义。

二、性质1. 对称性：椭圆相对于长轴和短轴都具有对称性。

关于长轴、短轴、焦点、中心对称均为椭圆的性质。

2. 离心率：椭圆的离心率e定义为焦点之间的距离除以长轴的长度，即e=c/a。

离心率描述了椭圆的扁平程度，如果离心率接近于1，椭圆趋向于是一条直线；如果离心率接近于0，椭圆趋向于是一个圆。

3. 参数方程：椭圆也可以通过参数方程进行描述。

设椭圆的参数方程为x=a*cosθ,y=b*sinθ，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。

θ为参数在0到2π之间变化。

4. 直径：椭圆有两个特殊的直径，即长轴和短轴。

长轴的两个端点称为椭圆的顶点，短轴的两个端点称为椭圆的辅顶点。

5. 焦点：椭圆上与长轴两端的两点叫做椭圆的焦点。

椭圆的焦点与长轴的关系可以通过数学公式x^2/a^2+y^2/b^2=1推导得出。

6. 相交角：椭圆上两条相交弦的夹角的两个端点在同侧。

设椭圆的两条相交弦的直线方程为ax+by+c=0，ax+by+d=0，其中a、b不同时为0，亦即两条线的斜率不相等。

两条直线分别和椭圆相交于四点，设在第一个方程上交于P1、P2，第二个方程上交于P3、P4。

那么P1P2P3P4是一个凸四边形，<P1P2P3=P，<P1P3P4=Q。

请问P和Q是多少。

7. 圆环面积公式：椭圆上两点P、Q，有两条相交弦OP、OQ，设切线OP´、OQ´。

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考点全通关 7
椭圆
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2.速率是瞬时速度的大小,但平均速率不是平均速度 的大小,因为平均速率是路程与时间的比值,它与平 均速度的大小没有对应关系.
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椭圆 考点二 椭圆的几何性质
1.椭圆的两种标准方程的比较
范围 对称性 焦点 几 何 性 质 顶点 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 F1(-c,0),F2(c,0) A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) |F1F2|=2c 焦距与长轴长的比:e∈(0,1) c2=a2-b2 F1(0,-c),F2(00),B2(b,0)
线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴;长轴长为2a,短轴长为2b
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考点全通关 6
椭圆 考点二 椭圆的几何性质
2.椭圆的几何性质分类
(1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率等;
(2)与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等.
在解题时要特别注意第二类性质,先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条 坐标轴上,再进行求解.
椭圆
考纲解读
考查内容
椭圆的定义和
考查频次
3 年4 考
考查题型
选择题、 填空题 选择题、
所占分值
4分或5分
命题规律
标准方程

圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点FI、F2的距离之和等于定长2a( 2a FIF2)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

注1 :在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和(记作2a)大于这两个定点之间的距离FIF2(记作2c)，否则点的轨迹就不是一个椭圆。

具体情形如下:(i)当2a 2c时，点的轨迹是椭圆；(ii)当2a 2c时，点的轨迹是线段FIF2;(iii)当2a 2c时，点的轨迹不存在。

注2 :若用M表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为MFI MF2 2a( 2a 2c,F1F2 2c)即MF i MF2 F1F2注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条,,, MF1 MF2 2a 工―r宀、r件： 1 2千万不可忘记。

2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数椭圆。

、椭圆的标准方程(1) 焦点在X轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是(2) 焦点在y轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是e( 0 e 1)的点的轨迹叫做Xb2b 0);2注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在X 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。

长半轴跟X 走，椭圆的焦点在 X 轴；长半轴跟y走，椭圆的焦点在 y轴。

（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。

若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设2 2 2 2X y Iy X I其方程为^b（a b 0）或（a b 0）;若题目未指明椭圆的焦2 2 λ点究竟是在 X 轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 mX ny 1(m 0，n O ,且 m n )三、椭圆的性质2X-2以标准方程a对称性：关于X 轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称;长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c；(1) 范围：a）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。

专题10.1 椭圆试题 文【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B2. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A3．【2016高考新课标2文数】已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当AM AN =时，证明：32k <<.【解析】（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=，解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故2212121||1|2|34k AM k x k +=++=+.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k =-+，故同理可得22121||43k k AN k +=+.由2||||AM AN =得2223443kk k =++，即3246380k k k -+-=.设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<.4．【2016高考北京文数】已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.5．【2016高考天津文数】设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率. 【解析】（1）设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.6. 【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．7.【2015高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．32 D ．3[,1)4【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221a c -≥，203c <≤， 03c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是3(0,]2，故选A ．8．【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 【答案】229. 【2015高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 5（Ⅰ）求E 的离心率e ;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 【解析】（Ⅰ）由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=OM k 从而1052=a b .进而b b ac b a 2,522=-==，故552==a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2b a ，可得⎪⎭⎫⎝⎛=65,6b a NM .又()b a ,-=，从而有()22225616561a b b a -=+-=⋅，由（Ⅰ）得计算结果可知,522b a =所以0=⋅，故AB MN ⊥.10. 【2014大纲，文9】已知椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A. 22132x y +=B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y +=【答案】A11.【2014辽宁，文15】 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 【答案】12【解析】设MN 的中点为G ，则点G 在椭圆C 上，设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12·|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.12.【2014新课标2，文20】设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直．直线1MF 与C 的另一交点为N ． （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b【解析】（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34， ∴2324b ac =，又222a b c =+，解之：12c e a ==或2-（舍）， 故：直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12；（Ⅱ）由题意知：点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac =+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac=⨯-+，得24b a =……①∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a =--，∴21(,)24c b F N a =--，∴23(,)24c b N a--，又∵23(,)24c b N a --在椭圆C 上，∴4222291641b c a a b+=……② 联立①、②解得：7a =，27b =. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系是高考考试的热点，考查方面离心率是重点，其它利用性质求椭圆方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求椭圆的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．预测2017年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2017年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用设而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【2017年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a +=(122||a F F >). 注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>.给定椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>，要根据,m n 的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中,,a b c 关系为：222a b c =+. 【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 【2016届淮南市高三第二次模】以双曲线2213x y -=的左右焦点为焦点，离心率为12的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211216x y += B ．221128x y += C ．2211612x y += D ．221812x y +=【答案】C【解析】由题意得，双曲线的焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，即2c =，又离心率为12，即12c a =，解得4a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆的方程为2211612x y +=，故选C ． 2. 【2016届广西柳州高中高三4月高考模拟】已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的面积为222b ，则12cos F PF ∠= . 【答案】13.【考点2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>>焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a顶点长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b )长轴顶点(0，±a )，短轴顶点(±b,0)对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率e ＝ca∈(0，1)，其中c ＝a 2－b 2 2.点00(,)P x y 与椭圆22221x y a b +=关系（1）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔2200221x y a b +=；（3）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222a b c =+化出关于,a c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：222222c a b e a a -===221b a -⇒21b e a=-. 4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[,a c a c -+].4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值. 【考点针对训练】1. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】椭圆()22211y x b b+=<的左焦点为,F A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O 的右侧，若FAB ∆的外接圆圆心为(),P m n ，且0m n +>，椭圆离心率的范围为（ ） A ．20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为2,1F F ，过2F 作直线l 垂直于x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，若若1F AB ∆为等腰直角三角形，且0190=∠B AF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A 21B ．212-C ．22．22【答案】A【解析】∵2AF x ⊥ 轴，∴2b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭， ．∵1F AB 为等腰直角三角形，∴122||F F AF = ，∴222222221b c ac b a c e e a=∴==-∴=-，， ，化为()22100e e e +-=>， ．解得22212e -+== ．故选：A ．【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知椭圆C:22193x y +=，直线:l 2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，点()0,1P ，且PA =PB ，则直线l 的方程为 ． 【答案】20x y --=或20x y ++=2. 【2016届湖北省八校高三二联】定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(22212x y -+=及点()2,0A -，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.k k【应试技巧点拨】１．焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①椭圆的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．２．离心率的求法椭圆的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出,a c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出,a c的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于,a c或,a b的方程，通过这个方程解出ca或b a ，利用公式cea=求出，对双曲线来说，221bea=+，对椭圆来说，221bea=-.3．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算．①斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长21212||1||PP k x x =+-或122121||1||P P y y k=+-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： ()2121212||4x x x x x x -=+-，()2211212||4y y y y y y -=+-.②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4.直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件. 5.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.6．注意椭圆的范围，在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标(),P x y 时，则x a ≤，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因．7．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间，最值有重要意义． 二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三第九次月考】设斜率为22的直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点P,Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A 、22 B 、23 C 、21 D 、31【答案】B2. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知某椭圆的方程为()22211x y a a+=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 是椭圆上的任意一点，且PAB ∆21，若已知()3,0M -，)3,0N ，点Q 为椭圆上的任意一点，则14QN QM+的最小值为（ ） A ．2 B ．94C ．3D ．322+【答案】B【解析】设(cos ,sin ),AB:1xP a y aθθ+=-，因此PAB ∆面积为221|cos sin 1|211221a a aθθ--++=≤+2a =，24QM QN a +==，1414()14149=()(5)(52)4444QM QN QN QM QN QM QN QM QN QM QM QN QM QN +++=++≥+⋅=，当且仅当2QM QN =时取等号，选B.3. 【2016届河北省衡水中学高三下练习五】椭圆()222:106x y C a a +=>6则实数a 为（ ）A ．6555．6555．555【答案】C4. 【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A ．2[,1]3 B ．[1,9] C ．2[,9]3 D ．6[,3]3【答案】B【解析】设),(00y x A ,因22200()(1)MA BA MA BM MA MA x y ⋅=⋅+==-+,且2020411x y -=,故2000322(11)4MA BA x x x ⋅=-+-≤≤，所以min 342()221493MA BA ⋅=⨯-⨯+=， max 3()42(2)294MA BA ⋅=⨯--+=,故应选B.5. 【2016届福建省泉州市高三5月质检】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>,其长轴长为4且离心率为32,在椭圆1C 上任取一点P , 过点P 作圆()222:32C x y ++=的两条切线,PM PN ,切点分别为,M N ,则22C M C N ⋅的最小值为（ ） A ．2- B ．32- C ．1813- D ．0 【答案】B6. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】若P 为椭圆1151622=+y x 上任意一点，EF 为圆4)1(22=+-y x 的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是______.【答案】[]215，【解析】因为()()PE PF NE NP NF NP ⋅=-⋅-()2NE NF NP NE NF NP =⋅-⋅++22cos 04NE NF NP NP π=-⋅-+=-+．又因为椭圆2211615x y +=的4,15,1a b c ===，()10N ，为椭圆的右焦点，∴[][],3,5NP a c a c ∈-+=∴[]521PE PF ⋅∈，．故答案为：[]521，． 7. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知2F 为椭圆()22401mx y m m +=<<的右焦点, 点()0,2A ,点P 为椭圆上任意一点, 且2PA PF -的最小值为43-,则m = ． 【答案】29【解析】由224mx y m +=，得22144x y m+=，由于01m <<，所以椭圆的焦点在x 轴上.设椭圆的左焦点为1F ，则()1214,44,0PF PF F m +=--，那么21144PA PF PA PF AF -=+-≥-42243m =-=-，解得29m =．8. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，12,A A 为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,Q ,,QA A OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT+= .【答案】149. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为12，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，ABF ∆的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 过点(4,0)M -，求当ABF ∆面积最大时直线AB 的方程.【解析】（1）设椭圆的右焦点为'F ，由椭圆的定义，得''||||||||2AF AF BF BF a +=+=，而ABF ∆的周长为''||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++=，当且仅当AB 过点'F 时，等号成立，所以48a =，即2a =，又离心率为12，所以1,3c b ==22143x y +=. （2）设直线AB 的方程为4x my =-，与椭圆方程联立得22(34)24360m y my +-+=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则222576436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，且1222434my y m +=+，1223634y y m =+，所以212211843||234ABF m S y y m ∆-=⋅-=+②，令24(0)t m t =->，则②式可化为21818331631616323ABF t S t t t t t∆==≤=++⋅.当且仅当163t t =，即221m =±时，等号成立. 所以直线AB 的方程为22143x y =-或22143x y =--. 10. 【2016届天津市和平区高三第四次模拟】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为()40,,,33b A b P ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且x 轴上存在着两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1，求出这两个定点的坐标．（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理，得()222214220kx kmx m +++-=．由2216880k m ∆=-+=，得2221m k =+．假设存在着定点()()1122,0,,0M M λλ满足题设条件．1M 、2M 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，则由()()()()2121212122221111k km k m k m d d k k λλλλλλ++++++⋅===++，对于k R ∀∈恒成立，可得121221,0,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得121,1,λλ=⎧⎨=-⎩或121,1.λλ=-⎧⎨=⎩故()()121,0,1,0M M -满足条件．当直线l 的斜率不存在时，经检验，12,M M 仍符合题意．11.【2015届湖北省襄阳市第五中学高三第一学期11月质检】若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（ ）A ．2211220x y += B．221412x y += C ．221128x y += D ．221812x y += 【答案】D【解析】椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），所以椭圆的焦点在y 轴上，且422=-b a ，故能排除A ，B ，C 答案为D.12.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】设1F 、2F 是椭圆)10(1222<<=+b b y x 的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若||3||11B F AF =，且x AF ⊥2轴，则=2b （ ） A ．41 B ．31 C ．32 D ．43 【答案】C13. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】已知点(,4)P m 是椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，若12∆PF F 的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为 ．1F 2F yxP【答案】35；【解析】一方面12∆PF F的面积为1(22)2a c r+⋅；另一方面12∆PF F的面积为122⋅py c，11(22)222+⋅=⋅pa c r y c，∴()+⋅=⋅pa c r y c，∴+=pya cc r，∴(1)+=pyac r，又4=py ∴4511332pyac r=-=-=，∴椭圆的离心率为35==cea.14.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，2），且离心率等于32，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设||||=||||PM MQPN NQλ=，试求λ的取值范围．（Ⅱ）设11(,)P x y，22(,)Q x y，00(,)N x y，若直线l与y轴重合，则00||||22||||22PM MQPN NQ y y===-+，得1y=，得2λ=l与y轴不重合，则设直线l的方程为2y kx=+，与椭圆方程联立消去y得22(14)1680k x kx+++=，得1221614kx xk+=-+①，122814x xk=+②，由|||| |||| PM MQ PN NQ=得12100200x xx x x x--=--，整理得120122()x x x x x=+，将①②代入得1xk=-，又点00(,)N x y在直线l上，所以1()21y kk=⨯-+=，于是有112y<<，因此1111121111111y yy y yλ--+===----，由112y<<得11211y>+-，所以2λ>，综上所述，有2λ≥．15.【2015届清华附中考前适应性练习】已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的上顶点为A，两个焦点为1F、2F，21FAF∆为正三角形且周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知圆O:222Ryx=+，若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆O相切于点N；求||MN的最大值．拓展试题以及解析1. 已知椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的离心率为e，直线2y x=与以C的长轴为直径的圆交于A B、两点,且曲线C恰好将线段AB三等分,则2e的值为( )A．12B．18C．1011D．34【答案】C【入选理由】本题考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力．以及运算求解能力，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题.2．如图，已知椭圆22 221(0)x ya ba b上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF BF⊥，当π12ABF∠=时，椭圆的离心率为___________.xyOAFB【答案】6【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，解直角三角形，三角恒等变形，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，椭圆的简单几何性质，是高考考查的热点，故选此题.3.已知椭圆22221(0)yx a ba b+=>>2，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点122015,,,M M M，过1M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于12,P P两点，1P点在x轴上方；过2M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于34,P P两点，3P点在x轴上方；以此类推，过2015M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于40294030,P P两点，4029P点在x轴上方，则4030条直线124030,AP AP AP，，的斜率乘积为_______.【答案】20151.2-【解析】因为椭圆的离心率为22，所以22=2a c ，又222=a b c +，所以22=2a b ，设1P ),(11P P y x ，由椭圆对称性知22111222140301111112P P P AP AP AP BP P P P y y y b k k k k x a x a x a a⋅⋅⋅==-=-+--==,从而4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积配成2015组，每组乘积皆为12-，因此结果为20151.2-【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线的斜率，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题初看似乎很难，细细分析，利用椭圆的对称性很容易解出，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.4.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，定义椭圆C 的“隐圆”方程为222222a b x y a b+=+，若抛物线214x y =-的准线恰好过椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程和“隐圆”E 的方程；（Ⅱ）过“隐圆”E 上任意一点P 作“隐圆”E 的切线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点. (i)证明:AOB ∠为定值；(ii)连接PO 并延长交“隐圆”E 于点Q ，求ABQ 面积的取值范围.（Ⅱ）（i ）当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 方程为63x =，则6666,,3333A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以2AOB π∠=，当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组2212y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得222()2x kx m ++=,即222(12)4220k x kmx m +++-=,△=222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m -+-=-+>,即22210(*)k m -+>，12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为直线与隐圆相切，所以2222131m m d k k ===++22322m k ∴=+ ，22222221212121222(1)(22)4(1)()1212k m k m x x y y k x x km x x m m k k+-∴+=++++=-+++222322012m k k --==+OA OB ∴⊥2AOB π∴∠=为定值 ； 【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,新定义,圆的性质,焦三角等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点到直线320x y -+=的距离为5,且椭圆的一个长轴端10 （1）求椭圆C 的方程；M N，与以椭圆短轴为直径的圆分别交于（2）如图，连接椭圆短轴端点A与椭圆上不同于A的两点,P恰好经过圆心O，求AMN,P Q两点，且Q∆面积的最大值．【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,基本不等式等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题. 6.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的离心率为e ，直线:l y ex a =+与,x y 轴分别交于B A 、点.（Ⅰ）求证：直线l 与椭圆C 有且仅有一个交点； （Ⅱ）设T 为直线l 与椭圆C 的交点，若AT eAB =，求椭圆C 的离心率；（Ⅲ）求证：直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质, 函数最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，第二问出题形式新颖，故选此题.7.已知1F 、2F 分别是离心率为21的椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，M 是椭圆E 上一点，线段M F 1的中点为N ，△O NF 1（O 为坐标原点）的周长为3. (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)过1F 作与x 轴不垂直的直线l 交椭圆E 于B A ,两点，)0,(m Q ，若||||QB QA =，求实数m 的取值范围.【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，求参数范围是高考考试的重点，故选此题.8.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆C 上任意一点，12||||PF PF -的最大值4，离心率为22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过M （0,1）作一条直线l 与椭圆C 相交于两点B A ,，求△AOB 面积的取值范围．【解析】（Ⅰ）由题知⎪⎩⎪⎨⎧==2242a c c ，解得2,22==c a ，所以222c a b -==4，所以椭圆C 的方程为14822=+y x . （Ⅱ）可设直线AB 的方程为1+=kx y ，代入方程8222=+y x 整理得，064)21(22=-++kx x k ,设直【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,三角形的面积,函数与导数,函数的单调性,函数的最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，但综合性比较强,特别是与导数结合出题,是一个好题，故选此题.。

文科高考椭圆知识点总结椭圆作为数学中的重要概念之一，在文科高考中占据着重要的位置。

它不仅在数学中有着广泛的应用，还贯穿于几何、物理、经济等领域。

本文将对文科高考中的椭圆知识点进行总结，帮助考生更好地理解和应用这一概念。

一、椭圆的定义和基本特点椭圆的定义较为简单，它是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为椭圆的焦点，而等于常数的距离称为椭圆的长轴。

椭圆的特点可以归纳如下：1. 焦点和长轴：椭圆上的每一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数就是椭圆的长轴。

焦点的位置与椭圆的形状密切相关，不同的椭圆有不同的焦点位置。

2. 离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，它是焦距与长轴的比值。

离心率接近于0的椭圆形状接近于一个圆，离心率接近于1的椭圆形状则呈现出拉长的特点。

3. 曲率半径：椭圆上每一点的曲率半径是指在该点处椭圆曲线的曲率半径大小。

曲率半径由椭圆的离心率和曲线的斜率共同决定。

二、椭圆的方程和参数表示椭圆有多种表示方式，常见的有极坐标方程和参数方程。

1. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程形式为(r=a/(1+εcosθ))，其中a是椭圆的半长轴，ε是离心率。

2. 参数方程：椭圆的参数方程是用参数t对椭圆上的点进行参数化表示。

常见的参数方程形式为(x=a*cos t, y=b*sin t)，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

三、椭圆的性质和应用椭圆作为一种特殊的曲线形状，具有很多独特的性质和应用。

1. 焦点和直径性质：椭圆上任意一条直径的中点都与椭圆的焦点重合。

这一性质在椭圆的应用中具有重要的意义，例如在太阳能聚光器中，通过使反射面成为一个椭圆曲线，可以使反射后的光线汇聚于焦点，从而实现能量的聚集。

2. 投影性质：在几何光学中，光线通过椭圆反射后，其焦点位置发生改变。

这一性质被广泛应用于光学仪器设计中，例如椭圆反射镜。

3. 运动轨迹：当一个物体沿着一个椭圆轨迹运动时，不仅能够保持速度大小恒定，还可以实现周期性的往返运动。

2019-2020年高考数学总复习专题10.1 椭圆试题（含解析）【三年高考】1．【xx江苏】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．【答案】（1）；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：，①直线的方程：．②由①②，解得，所以．因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．又在椭圆E上，故．由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得；220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．2. 【xx江苏，理17】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率的值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系的两个等量关系，本题中椭圆过点，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于的方程，另外，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于的一个等式，题设条件是，即，，要求，必须求得的坐标，由已知写出方程，与椭圆方程联立可解得点坐标，则，由此可得，代入可得关于的等式，再由可得的方程，可求得.试题解析：（1）由题意，，，2BF a ===（2）直线方程为，与椭圆方程联立方程组，解得点坐标为，则点坐标为，133222232223F C b b a c k a c a c c c a c +==+++，又，由得，即，∴，化简得． 3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若，则椭圆C 的离心率为__________．【答案】【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为，即bx ＋cy －bc ＝0.于是可知，22222a a c b d c c c c-=-==. ∵，∴，即.∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝.∴.4．【xx 浙江，2】椭圆的离心率是A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：，选B．【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．5.【xx课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).6．【xx课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【解析】试题解析：（1）由于，两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过，两点.又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得. 故C 的方程为.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.7．【xx 高考新课标1文数改编】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为 ． 【答案】【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且,代入解得,所以椭圆得离心率得．考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a ,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .8．【xx 高考新课标Ⅲ文数改编】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得1||||2||||OE OB FM BC =，即，整理，得，所以椭圆离心率为．考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．9．【xx 高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线的值求乘积为定值即可. 试题解析：（I ）由题意得，，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．（II ）设（，），则．又，，所以，直线的方程为．令，得，从而．直线的方程为．令，得，从而．所以四边形的面积00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+．从而四边形的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.10．【xx 高考山东文数】(本小题满分14分)已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .【解析】试题分析：(Ⅰ)分别计算即得.(Ⅱ)(i)设，利用对称点可得得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，即可证得.(ii)设，分别将直线PA的方程，直线QB的方程与椭圆方程联立，应用一元二次方程根与系数的关系得到、及用表示的式子，进一步应用基本不等式即得. 试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知，所以，所以椭圆C 的方程为.(Ⅱ)(i)设，由，可得所以 直线PM 的斜率 ，直线QM 的斜率.此时，所以为定值.(ii)设，直线PA 的方程为，直线QB 的方程为.联立 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 整理得()222214240k x mkx m +++-=.由可得 ，所以()()211202221k m y kx m m k x -=+=++，同理()()()()222222002262,181181m k m x y m k x k x ---==+++. 所以()()()()()()()222221222200022223221812118121m m k m x x k x k x k k x-----=-=++++， ()()()()()()()()2222212222000622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ， 所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由，可知，所以 ，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为 .考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.11．【xx 高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.12．【xx 高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为，点O 为坐标原点，点A 的坐标为，点B 的坐标为，点M 在线段AB 上，满足，直线OM 的斜率为. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为，求E 的方程.【解析】（I）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得,2a c b ==，故.（II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线的方程为，点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为.又点在直线上，且,从而有11744171x b b b +-++=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩解得，所以，故椭圆的方程为. 13.【xx 高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若1222PF PF ==，求椭圆的标准方程 （2）若求椭圆的离心率【解析】 (1)由椭圆的定义，((122|PF ||PF |224a a =+=+-=，故=2.设椭圆的半焦距为c ，由已知，因此122|FF |c ==即从而，故所求椭圆的标准方程为.(2)解法一：如图(21)图，设点P 在椭圆上，且，则22222000022y +=1,x x y c a b +=，求得200=y .b xc±=±由,得,从而()(22222221|PF |=22.b a b a c ⎛⎫⎫+=-+=+ ⎪⎪⎭⎝⎭由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF|，有，又由，知，因此，于是((24.a a=解得e ==. 解法二：如图(21)图由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有，又由，知，因此,,从而21|PF |=2-|PF |21)a a a a =-=由,知22222122|PF ||P F ||PF |(2)4c c +===，因此ce a =14.【xx 高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且，．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带．动．绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）设点，，依题意，，且，所以，且，即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为 （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.当直线的斜率存在时，设直线， 由 消去，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即. ① 又由 可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，. 当时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当时，2224128()8(11414OPQk S k k ∆+==-+--.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.15.【xx 高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点， 的直线的距离为． （I ）求椭圆的离心率；（II ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【解析】（I ）过点，的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆的方程为. (1)依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=，设则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++由，得解得.从而.于是12|AB ||x x =-==由，得，解得.故椭圆的方程为.解法二：由（I ）知，椭圆的方程为. (2)依题意，点，关于圆心对称，且.设则，，两式相减并结合得()1212-4()80x x y y -+-=.易知，不与轴垂直，则，所以的斜率因此直线方程为，代入(2)得所以，.于是12|AB ||x x =-==由，得，解得.故椭圆的方程为.【xx年高考命题预测】纵观xx各地高考试题，对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分. 展望xx年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战xx年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【xx年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点.【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上的椭圆的标准方程为；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为.给定椭圆，要根据的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中关系为：.【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理. 2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 已知椭圆 的焦距为2,过M （1,1）斜率为-直线交曲线C 于且M 是线段AB 的中点，则椭圆的标准方程为_____________. 【答案】【解析】由题知，2c=2，c=1，即，① 设A ，，则=2，=2，③，④， ③-④得=1212121222()()()()x x x x y y y y a b-+-++==0， ∴===-⑤，由①⑤解得，，故椭圆C 的标准方程为，.2.在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点F （2，0）. （Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程. 【解析】（Ⅰ）由于直线经过点和F （2，0）， 则根据两点式得，所求直线的方程为 即从而直线的方程是（Ⅱ）设所求椭圆的标准方程为，由于一个焦点为F （2，0）， 则①， 又点在椭圆上， 则② 由①②解得所以所求椭圆的标准方程为 【考点2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质2.点与椭圆关系（1）点在椭圆内；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆外.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围.离心率与的关系为：=.4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[].4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【考点针对训练】1.椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为________【答案】【解析】横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=2.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为___________． 【答案】【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则(1022nm cm c n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，所以，，将其代入椭圆方程可得22223441c ca b+=，化简可得，解得．【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离. 【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础．2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为． （Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程． 【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为．根据题意知, 解得,故椭圆的方程为2214133x y +=． （Ⅱ）容易求得椭圆的方程为．当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为．由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=．设,则 对任意都成立，2212121111222242(1)(1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， ，因为,所以,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ , 解得,即．故直线的方程为或．2.在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论．【解析】（Ⅰ）由题意可得，所以，即，即，即动点的轨迹的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为,，则．由消整理得， 则，即． ． 直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+，212221()y y y x x y x x -∴=-++，2222122121()4()4x x y x x x x x -∴=-++，2221212211221, y 44444x x x x x x x x x y x x x ---∴=-+∴=+，即所以，直线恒过定点．【两年模拟详解析】1. 【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】已知椭圆的左、右焦点分别为，是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则 ． 【答案】【解析】mn n m n c b OF PO PF PF -=--=-=-=⋅2)(22212212. 【xx年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，将代入椭圆方程可得，故可设，由,可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，，由，即有，解得，故.3. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）xx届高三年级第三次调研考试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】解:(1) 因为，，所以，所以的坐标为（1,0），设，，直线的方程为，代入椭圆方程，得，则，．若，则，解得，故直线的方程为．（2）由（1）知，，，所以，所以，故存在常数，使得．4.【xx学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点.①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；②若（为原点），求面积的取值范围.【答案】（1）（2）①②【解析】解：（1）由题设知，，，，，：.（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.设，，直线代入椭圆得，整理得，，，.由，知，，（定值）.②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积， 当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：， 设，，将代入椭圆得到， ，，同理，， 的面积 . 令 ， ， 令，则 . 综上所述，.5. 【南京市、盐城市xx 届高三年级第一次模拟】(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于两点，为弦的中点，，记直线的斜率分别为，当时，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】解：（1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距， ……………3分 所以，即，所以椭圆的方程为. ……………6分 （2）方法一：设，，，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以，又，所以，所以，， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. …………14分 方法二：设，，， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又，，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴， 又，在直线上，∴，∴，① 又在直线上，∴，②由①②可得，. ……………10分 以下同方法一.6.【镇江市xx 届高三年级第一次模拟】已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且， 求面积的最大值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1 【解析】解：（1）由已知得，， 解得，， ……2分椭圆的方程是. ……4分 （2）设l 与x 轴的交点为，直线，与椭圆交点为，， 联立，，得222(4)240m y mny n +++-=，1,2y =∴ ，， ∴12122()24224x x m y y n nm +++==+，即， ……6分由，得， ……10分 则S △POQ 121211||||||22OD y y n y y =-=-，令22222121212224()[()4]1216(16)m T n y y n y y y y m +=-=+-=⋅⋅+， ……12分设，则2222411144(16)241444824m t m t t t t+==+++++…， ……14分当且仅当，即，S △POQ ， ……15分所以△面积的最大值为1. ……16分7.【xx 年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，焦点到相应准线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上两不同点,线段的中点为.当三角形面积等于时，求的取值范围. 【解析】解：（1）设椭圆的焦距为.则22,1c a c a c b a c =-=⇒==== ， 因此椭圆方程为.………………………4分 （2）①若直线垂直轴，则由22221||2||1(1)122,024P P P P P M M x x y x x x y ⨯=⇒⋅-=⇒=⇒== ，即………………………6分②若直线不垂直轴，设直线1122:(0),(,),(,),PQ y kx m m P x y Q x y =+≠ 由 得222(14)8440k x kmx m +++-=所以2121222844,,01414km m x x x x k k --+==∆>++ ，………………………8分因此12211||||||22214OPQO PQ m Sd PQ x x k-=⨯⨯=-=⨯+1≤=，当且仅当22||42m k m =+=时取等号. …………12分此时221224221,2142M M Mx x km k k m x y kx m k m m m+---+====+==+ ，因此||OM ===，.综合①②得的取值范围为.………………………16分 8.【xx 年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为，上、下顶点分别为．为直线上一个动点(与轴交点除外)，直线交椭圆于另一个点 （1）求椭圆方程；（2）若直线的斜率分别为求证：为定值； （3）求的取值范围．【解析】（1）由题意得，因此椭圆方程为．……………………2分 （2）设，则，因此2111112212111113(1)133y y y y k k x x x x x --+--=⋅=⋅=⋅， 因为，所以为定值．………………………8分 （3）由（2）得1121212121111(,3)(,2)()3(2)()11x xPB PM x x x y x x x y x y y ⋅=-⋅-+=--++=++++ 221111*********(1)4(1)113(2)(1)3(2)(1)3(2)4(1)11111x y y y y y y y y y y y --+=+++=+++=-+++++++，因为121188(6)101(1)y y y '-+=--<++，且，所以……………16分 9.【xx 年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为，上顶点为，离心率为.椭圆上一点满足：在轴上方，且轴. （1）若∥，求的值；（2）连结并延长交椭圆于另一点.若，求的取值范围.【解析】（1）设椭圆的焦距为. 因为轴，则可设.因为在椭圆上，所以，解得，即.……………2分 因为∥，所以，即.……………4分 所以.……………6分 （2）设，.由（1）知，又,故，， 由得，，且.解得，所以，……………9分 因为点在椭圆上，所以，变形得，因为，所以()22211413343e λλλλλλ--===-++++，……………13分因为，所以， 解不等式得，所以的取值范围为.……………16分10. 【江苏省扬州中学xx 学年第二学期质量检测】已知是椭圆：与双曲线的一个公共焦点，A ，B 分别是，在第二、四象限的公共点．若，则的离心率是 ．【答案】【解析】设双曲线的实轴长为，为椭圆：与双曲线的另一个公共焦点，则由对称性知,因此由22222()()2()8AF AF AF AF AF AF c '''-++=+=得22244832a a e +=⨯⇒=⇒==．11．【江苏省苏中三市xx 届高三第二次调研测试】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为．为椭圆上异于顶点的一点，点满足．（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点的一条直线交椭圆于两点，且，直线的斜率之积，求实数的值．【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，而， 所以．代入椭圆方程，得，① 又椭圆的离心率为，所以，② 由①②，得， 故椭圆的方程为．（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ， 因为，所以．因为，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--， 即于是32132112,12,m x x x m m m y y y m m -⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程，得2221212212121m m x x y y m m m m a b --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 即()()222221222121222222222214141m m x y x y x x y y m a b m ab m a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③。

高考文科椭圆知识点椭圆是高考文科数学中的一个重要知识点，其在平面几何和解析几何中都有广泛的应用。

椭圆的性质和公式是考试中常见的考点，下面我们将详细讲解椭圆的相关知识。

一、基本定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

定义中，F1和F2称为焦点，线段F1F2的长度为2c，2a为焦点到椭圆的任意点P的距离之和，a为椭圆的半长轴，c为椭圆的焦距。

二、标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² = 1，其中(x0,y0)为椭圆的中心坐标，a为椭圆的半长轴长度，b为椭圆的半短轴长度。

三、焦点及焦距的计算对于椭圆，焦点到椭圆上任意点P的距离之和等于2a。

根据焦点定义和距离公式，可以得到焦点F1的坐标为(x0-c,y0)，焦点F2的坐标为(x0+c,y0)，焦距等于2c。

四、离心率的计算离心率是一个衡量椭圆形状的参数，可以通过离心率e的计算公式e=c/a来求得。

离心率的范围是0到1，当e=0时，表示椭圆退化成一条线段；当e=1时，表示椭圆退化成一个抛物线。

五、常见性质1. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过焦点并且垂直于长轴的直线段，短轴是通过焦点并且垂直于短轴的直线段。

2. 对称性：椭圆具有两个重要的对称轴，分别是长轴和短轴，对称轴相交于椭圆的中心。

3. 离心率与形状：离心率越接近于0，椭圆的形状越扁平；离心率越接近于1，椭圆的形状越接近于圆形。

4. 弦长定理：椭圆上两点A、B之间的弦长等于焦半径之和。

5. 切线方程：椭圆上的切线方程可以通过代入标准方程和求导得到。

六、解析几何中的应用1. 椭圆的直径：椭圆上任意两点之间的线段称为椭圆的直径，直径的长度等于长轴的长度。

2. 焦点和直角：椭圆的焦点和椭圆上任意一点及其到直径的垂足构成的三角形是一个直角三角形。

3. 椭圆与直线的交点：椭圆与直线的交点可以通过将直线方程代入椭圆的方程组来求解。

椭圆一．椭圆定义：⑴第一定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和为常数212F F a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21,F F 叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21,F F 为端点的线段⑵椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线L (定点F 不在定直线L 上)的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆 【例】⑴已知21,F F 为椭圆192522=+y x的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+BF AF ，则AB =__________⑵已知圆Q ：0556-22=-+x y x ，动圆M 与已知圆内切，且过定点P （-3，0），求圆心M 的轨迹方程二．椭圆的方程与几何性质:见上表【例1】⑴已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P ，(2P ，求椭圆方程5⑶已知椭圆A 和椭圆2212420xy+=共准线，且离心率为12，求椭圆A 的方程⑷已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为33P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程，求椭圆方程 【例2】⑴椭圆1422=+myx的离心率为21，则m=_________⑵短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为21,F F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ） A.3B.6C.12D.24⑶设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424-，求此椭圆方程⑷如图，把椭圆1162522=+yx的长轴AB 分成8等份，过每个分点作X 轴的垂线交椭圆的上半部分于7654321,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点,则=++++++7654321FP FP FP FP FP FP FP ________⑸在ABC ∆中,3,2,30===∠∆ABC S AB A ,若以A,B 为焦点的椭圆经过点C,该椭圆的离心率e=___⑹如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是_______【例3】⑴椭圆191622=+yx上的点到直线L:x+y-9=0的距离的最小值为_________⑵已知13422=+yx内有P（1，-1），F 是椭圆的右焦点，①求离心率 ②在椭圆上求一点M ，使MF MP 2+的值最小，并求出这个最小值三．位置关系 1.点),x (00y P 与椭圆12222=+by ax 的位置关系:当12222>+by ax 时,点P 在椭圆外; 当12222<+by ax 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by ax 时,点P 在椭圆上2.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔; 直线与椭圆相切0=∆⇔; 直线与椭圆相离0<∆⇔ 3.弦长公式：21222122221),,(),,()0(1:,:1x x kAB y x B y x A b a b y a x m kx y l -⋅+=>>=++=则，交点为椭圆已知直线212221222211),,(),,()0(1:,:1y y kAB y x B y x A b a bx ay m kx y l -⋅+=>>=++=则，交点为椭圆已知直线四.点差法：适用：求平行弦的中点轨迹，求过定点的弦中点的轨迹，求被定点平分的弦所在直线的方程 【例】⑴求椭圆方程1222=+y x 中斜率为2的平行弦的中点轨迹方程⑵求椭圆方程1222=+y x中过定点P （0，2）的弦AB 的中点M 的轨迹方程⑶在椭圆12422=+yx中，过点P(1,1)的弦AB 恰被点P 平分，求弦AB 所在直线的方程【习题】1.已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1P F 与2P F 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.221169xy+= B.2211612xy+= C.22143xy+= D.22134xy+=2.离心率为黄金比12的椭圆称为“优美椭圆”.设22221(0)x y a b ab+=>>是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个顶点，则FBA ∠等于（ ）A.60B.75C.90D.1203.点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左准线上，过点P 且方向向量为(2,5)a =-的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）313C.2D.124. 已知(1,0)A -,(1,0)B ,点(,)C x y 12=，则AC BC +=( ).A 6 .B 4 .C 2 .D 不能确定 5.如图，把椭圆2212516xy+=的长轴A B 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567P F P F P F P F P F P F P F ++++++= . 6.已知P 是椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_____________ 7.直线l 过点()1,1M ，与椭圆22143xy+=相交于A 、B 两点，若A B 的中点为M ，试求直线l 的方程.8.已知椭圆1422=+y x 及直线y=x+m,⑴当m 为何值时，直线和椭圆有公共点 ⑵若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程9．椭圆C:1162522=+yx内有一点A （2，1）F 是椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，求PF PA 35+的最小值10.椭圆C:1162522=+yx内有一点A （2，1）F 是椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，求PF PA +的最大值与最小值11. 椭圆C:1162522=+yx外有一点A （5，6），l 为椭圆的左准线，P 为椭圆C 上的动点，点P 到的l 距离为d,求d PA 53+的最小值12.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P,Q 两点，且210,=⊥PQ OQ OP ,求椭圆方程。

高二文科椭圆知识点及例题在高二文科数学中，椭圆是一个重要的几何概念。

它是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

本文将介绍高二文科椭圆的基本概念、性质和求解方法，并附上一些例题进行实际运用。

一、椭圆的定义和性质1. 定义：椭圆是平面上距离两个固定点F1和F2的距离之和为常数2a（a>0）的点P的集合。

2. 焦点和准线：F1和F2是椭圆的两个焦点，它们距离直线l （过椭圆中心的直线，与椭圆相切于两点）的距离为a。

3. 长轴和短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，而短轴是通过椭圆中心且与长轴垂直的直线段。

长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

4. 离心率：离心率（e）是描述椭圆形状的一个重要参数，它等于焦距的比值：e=c/a（其中c为焦距的长度）。

离心率小于1时，椭圆是闭合曲线；等于1时，椭圆是一条抛物线；大于1时，椭圆是一条双曲线。

二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程是 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a>b>0），其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

此方程表示了椭圆上所有点的坐标。

三、椭圆的方程变化通过适当的平移和旋转，椭圆的标准方程可以转化为其他形式的方程。

例如，通过平移平面上的原点到椭圆的中心，可以得到以中心为原点的椭圆标准方程。

通过旋转坐标轴，可以得到以斜线为长轴的椭圆标准方程。

四、椭圆的求解方法1. 椭圆的焦点和准线的求解：已知椭圆的长轴和离心率，可以根据焦点与准线的定义，计算出焦点和准线的坐标。

2. 椭圆的参数方程求解：已知椭圆的标准方程和参数a、b，可以通过参数方程x=a*cosθ 和y=b*sinθ，其中θ为参数，求解出椭圆上每个点的坐标。

3. 椭圆的轨迹和图形绘制：根据椭圆的标准方程，可以通过给定的参数a和b，绘制出椭圆的轨迹和图形。

五、例题解析1. 题目：已知椭圆的长轴长度为12，离心率为1/2，求其焦点的坐标和准线的方程。

解析：根据给定信息，我们可以得到离心率 e=1/2 和长轴长度2a=12，由此可计算出焦距 c=a*e=12*(1/2)=6。

椭圆命题解读考向考查统计1.高考对椭圆的考查，重点是(1)椭圆的定义、几何图形、标准方程。

(2)椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

(3)直线和椭圆的位置关系及综合应用。

椭圆的定义和弦长2022·新高考Ⅰ卷，16椭圆的离心率2023·新高考Ⅰ卷，5直线与椭圆的应用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5椭圆的轨迹方程2024·新高考Ⅱ卷，5命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。

Ⅱ卷考查了椭圆的轨迹方程求法，难度较易。

椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。

预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。

试题精讲一、单选题1(2024新高考Ⅱ卷·5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为()A.x216+y24=1(y>0) B.x216+y28=1(y>0) C.y216+x24=1(y>0) D.y216+x28=1(y>0)【答案】A【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M(x,y)，则P(x,y0),P (x,0)，因为M为PP 的中点，所以y0=2y，即P(x,2y)，又P在圆x2+y2=16(y>0)上，所以x2+4y2=16(y>0)，即x216+y24=1(y>0)，即点M的轨迹方程为x216+y24=1(y>0).故选：A一、单选题1(2023新高考Ⅰ卷·5)设椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1),C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1,e 2．若e 2=3e 1，则a =()A.233B.2C.3D.6【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由e 2=3e 1，得e 22=3e 21，因此4-14=3×a 2-1a2，而a >1，所以a =233.故选：A2(2023新高考Ⅱ卷·5)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-23【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用Δ>0，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 的方程，解出即可.【详解】将直线y =x +m 与椭圆联立y =x +mx 23+y 2=1，消去y 可得4x 2+6mx +3m 2-3=0，因为直线与椭圆相交于A ,B 点，则Δ=36m 2-4×43m 2-3 >0，解得-2<m <2，设F 1到AB 的距离d 1,F 2到AB 距离d 2，易知F 1-2,0 ,F 22,0 ，则d 1=|-2+m |2，d 2=|2+m |2，S △F 1AB S △F 2AB =|-2+m |2|2+m |2=|-2+m ||2+m |=2，解得m =-23或-32(舍去)，故选：C .二、填空题3(2022新高考Ⅰ卷·16)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x 24c 2+y 23c2=1，即3x 2+4y 2-12c 2=0，根据离心率得到直线AF 2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x =3y -c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2-12c 2=0，整理化简得到：13y 2-63cy -9c 2=0，利用弦长公式求得c =138，得a =2c =134，根据对称性将△ADE 的周长转化为△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a =13.【详解】∵椭圆的离心率为e =c a =12，∴a =2c ，∴b 2=a 2-c 2=3c 2，∴椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2-12c 2=0，不妨设左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示，∵AF 2=a ，OF 2=c ，a =2c ，∴∠AF 2O =π3，∴△AF 1F 2为正三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段AF 2的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE 的方程：x =3y -c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2-12c 2=0，整理化简得到：13y 2-63cy -9c 2=0，判别式Δ=63c 2+4×13×9c 2=62×16×c 2，∴DE =1+3 2y 1-y 2 =2×Δ13=2×6×4×c13=6，∴c =138，得a =2c =134，∵DE 为线段AF 2的垂直平分线，根据对称性，AD =DF 2，AE =EF 2，∴△ADE 的周长等于△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F 2DE 周长为DF 2 +EF 2+DE = DF 2+ EF 2+ DF 1+ EF 1= DF 1+ DF 2+ EF 1+ EF 2 =2a +2a =4a =13.故答案为：13.4(2022新高考Ⅱ卷·16)已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．【答案】x +2y -22=0【分析】令AB 的中点为E ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，利用点差法得到k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，利用点差法得到k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；解：令AB 的中点为E ，因为MA =NB ，所以ME =NE ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 126+y 123=1，x 226+y 223=1，所以x 126-x 226+y 123-y 223=0，即x 1-x 2 x 1+x 2 6+y 1+y 2 y 1-y 23=0所以y 1+y 2 y 1-y 2 x 1-x 2 x 1+x 2=-12，即k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，令x =0得y =m ，令y =0得x =-m k ，即M -mk,0 ，N 0,m ，所以E -m 2k ,m2 ，即k ×m 2-m 2k=-12，解得k =-22或k =22(舍去)，又MN =23，即MN =m 2+2m 2=23，解得m =2或m =-2(舍去)，所以直线AB :y =-22x +2，即x +2y -22=0；故答案为：x +2y -22=0[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，则M -m k ,0 ，N 0,m ，E -m 2k ,m2，因为MN =23，所以OE =3联立直线AB与椭圆方程得y=kx+mx26+y23=1消掉y得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0其中Δ=(4mk)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,x1+x2=-4mk1+2k2，∴AB中点E的横坐标x E=-2mk1+2k2,又E-m2k,m2，∴x E=-2mk1+2k2=-m2k∵k<0，m>0，∴k=-22,又OE=-m2k2+m2 2=3，解得m=2所以直线AB:y=-22x+2，即x+2y-22=0一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：P||PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；当2a<2c时，点的轨迹不存在．二、椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0y2a2+x2b2=1a>b>0统一方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)参数方程x=a cosθy=b sinθ,θ为参数(θ∈[0,2π])x=a cosθy=b sinθ,θ为参数(θ∈[0,2π])第一定义到两定点F1 、 F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点Α1-a,0、Α2a,0Β10,-b、Β20,bΑ10,-a、Α20,aΒ1-b,0、Β2b,0轴长长轴长=2a，短轴长=2b长轴长=2a，短轴长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2(0<e<1)准线方程x=±a2 c点和椭圆的关系x20a2+y20b2>1=1<1⇔点(x0,y0)在椭圆外上内y20a2+x20b2>1=1<1⇔点(x0,y0)在椭圆外上内切线方程x0xa2+y0yb2=1((x0,y0)为切点)y0ya2+x0xb2=1((x0,y0)为切点)对于过椭圆上一点(x0,y0)的切线方程，只需将椭圆方程中x2换为x0x，y2换为y0y可得切点弦所在的直线方程x0xa2+y0yb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)y0ya2+x0xb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)焦点三角形面积①cosθ=2b2r1r2-1,θmax=∠F1BF2，(B为短轴的端点)②SΔPF1F2=12r1r2sinθ=b2tanθ2=c|y0|,焦点在x轴上c|x0|,焦点在y轴上(θ=∠F1PF2)③当P点在长轴端点时,(r1r2)min=b2当P点在短轴端点时,(r1r2)max=a2焦点三角形中一般要用到的关系是|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)SΔPF1F2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2焦半径左焦半径：MF1=a+ex0又焦半径：MF1=a-ex0上焦半径：MF1=a-ey0下焦半径：MF1=a+ey0焦半径最大值a+c，最小值a-c通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2b2a(最短的过焦点的弦)弦长公式设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，k AB=k，则弦长AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+1k2(y 1+y 2)2-4y 1y 2=1+k 2Δ|a |(其中a 是消y 后关于x 的一元二次方程的x 2的系数，Δ是判别式)【椭圆常用结论】1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2b 2a．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a +c ，距离的最小值为a -c ．2、椭圆的切线①椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点P (x 0 ， y 0)处的切线方程是x 0x a 2+y 0y b2=1；②过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)外一点P (x 0 ， y 0)，所引两条切线的切点弦方程是x 0x a 2+y 0y b 2=1；③椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)与直线Ax +By +C =0相切的条件是A 2a 2+B 2b 2=c 2．一、单选题1(2024·湖北荆州·三模)已知椭圆C ：x 28+y 2k =1的一个焦点为0,2 ，则k 的值为()A.4B.8C.10D.12【答案】D【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.【详解】由题意得，c 2=4，a 2=k ，b 2=8，所以k =4+8=12．故选：D ．2(2024·山东烟台·三模)若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b2=1(b >1)的离心率相同，则实数b 的值为()A.233B.43C.52D.54【答案】A【分析】由离心率相等列出关于b 的方程求解即可.【详解】若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b 2=1(b >1)的离心率相同，则4-34=b 2-1b 2，解得b =233>1满足题意.故选：A .3(2024·江西九江·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为π6的直线交C 于第一象限内一点A .若线段AF 1的中点在y 轴上,△AF 1F 2的面积为23,则C 的方程为()A.x 23+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 29+y 23=1D.x 29+y 26=1【答案】D【分析】根据题意得到Rt △AF 1F 2，∠AF 1F 2=π6, ,设AF 2 =t ，其它边全部用t 表示,运用面积为23构造方程求出t .再用椭圆定义求出a ,进而求出c ,b 即可.【详解】如图,∵O 为线段F 1F 2的中点,B 为线段AF 1的中点,∴OB ∥AF 2,又OB ⊥x 轴,∴AF 2⊥x 轴.在Rt △AF 1F 2中,∠AF 1F 2=π6,设AF 2 =t ,则AF 1 =2t ,F 1F 2 =3t .∵△AF 1F 2的面积为23,∴12×3t ×t =23,t =2.∴2a =AF 1 +AF 2 =3t =6,a =3,2c =F 1F 2 =3t =23,c =3,b 2=a 2-c 2=6,则C 的方程为x 29+y 26=1.故选：D .4(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴长为23，点M 在椭圆上，若|MF |的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为()A.3 B.4 C.1 D.2【答案】D【分析】利用椭圆的几何性质得到关于a ,c 的方程组，解之即可得解.【详解】依题意，椭圆短轴长为23，得b =3，则a 2-c 2=b 2=3，又|MF |的最大值是最小值的3倍，即a +c =3(a -c )，所以a =2c ，所以a =2,c =1，则其焦距为2c =2.故选：D5(2024·浙江绍兴·三模)已知直线y =kx k ≠0 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的左焦点F 1，若F 1A =2F 1B ，则椭圆C 的离心率是()A.52B.54C.53D.59【答案】C【分析】由题意可得四边形AF 1BF 2为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将F 1A +F 1B 分别用a 和c 表示，即可得离心率.【详解】取右焦点F 2，连接AF 2、BF 2，由F 1在以线段AB 为直径的圆上，故AF 1⊥BF 1，结合对称性可知四边形AF 1BF 2为矩形，有AF 2 =BF 1 ，有OA =OB =OF 1=c ，又F 1A =2F 1B ，由F 1A 2+F 1B 2=2c 2，则F 1A =455c ，F 1B =255c ，由椭圆定义可得F 1A +AF 2 =2a ，故F 1A +F 1B =455c +255c =655c =2a ，则e =c a =2655=53.故选：C .6(2024·江西鹰潭·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，倾斜角为45°且过原点的直线l 交椭圆于M ,N 两点.若MN =F 1F 2 ，设椭圆的离心率为e ，则e 2=()A.2-1B.2-2C.3-1D.3-3【答案】B【分析】根据题意MN =F 1F 2 =2c ，得到四边形NF 1MF 2为矩形，由直线l 过原点且倾斜角为45°，在△MOF 2和△MOF 1中，利用余弦定理计算得MF 1 ,MF 2 ，结合椭圆的定义2a =MF 1 +MF 2 ,求得离心率，进而计算出e 2.【详解】如图所示，因为MN =F 1F 2 =2c ，且O 分别为MN 和F 1F 2的中点，OM =OF 2 =ON =OF 1 =c ，所以四边形NF 1MF 2为矩形，又直线l 过原点且倾斜角为45°，即∠MOF 2=45°，∠MOF 1=135°，且△MOF 2为等腰三角形，所以，在△MOF 2中，根据余弦定理可得MF 2 2=c 2+c 2-2×c ×c ×cos45°=(2-2)c 2，即MF 2 =2-2c ，同时，在△MOF 1中，根据余弦定理可得MF 1 2=c 2+c 2-2×c ×c ×cos135°=(2+2)c 2，即MF 1 =2+2c ，所以2a =MF 1 +MF 2 =2-2c +2+2c ，可得e =ca=22-2+2+2，e 2=22-2+2+22=42-2+22+2+2=22+2=2- 2.故选：B .7(2024·天津河西·三模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则e 21+e 22的最小值为()A.3+3 B.5+32C.2+32D.4【答案】C【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：x 2a 21+y 2b 21=1，x 2a 22-y 2b 22=1，易得a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，利用椭圆和双曲线的定义得到m =a 1-a 2,n =a 1+a 2，然后在△PF 1F 2中，利用余弦定理得到1e 21+3e 22=4，然后利用基本不等式求解.【详解】解：如图所示：设椭圆和双曲线的方程分别为：x 2a 21+y 2b 21=1，x 2a 22-y 2b 22=1，由题意得a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，则m +n =2a 1,n -m =2a 2，解得m =a 1-a 2,n =a 1+a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos ∠F 1PF 2，即2c 2=a 1-a 2 2+a 1+a 2 2-a 1-a 2 a 1+a 2 ，化简得4c 2=a 21+3a 22，则1e 21+3e 22=4，所以e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=14e 22e 21+3e 21e 22+4，≥142e 22e 21⋅3e 21e 22+4=2+32，当且仅当e 22e 21=3e 21e 22，即e 22=3e 21时，等号成立；故选：C8(2024·四川·三模)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 是椭圆上一点，若△PF 1F 2的内心为M ，连接PM 并延长交x 轴于点Q ，且PM =3QM ，则椭圆的短轴长为()A.2 B.22C.23D.463【答案】D【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到PF 2QF 2=2a2c ，再求短轴长度即可.【详解】如图，连接MF 1,MF 2,在△PF 1Q 和△PF 2Q 中，利用角平分线定理可得PMQM =PF 1QF 1=PF 2QF 2=3,由等比定理可得PF 2QF 2=PF 1+PF 2QF 1+QF 2=2a 2c ,从而c =233,b =263.故椭圆的短轴长为2b =463，故B 正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到PF 2QF 2=2a2c ，再求解短轴长度即可．9(2024·广东汕头·三模)已知椭圆C ：x 216+y 212=1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，则下列不正确的是()A.C 的离心率为12B.PF 1 的最小值为2C.PF 1 ⋅PF 2 的最大值为16D.可能存在点P ，使得∠F 1PF 2=65°【答案】D【分析】求出椭圆C 的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可.【详解】椭圆C ：x 216+y 212=1的长半轴长a =4，短半轴长b =23，半焦距c =a 2-b 2=2，对于A ，C 的离心率e =c a =12，A 正确；对于B ，由PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 ≤2c，得a -c ≤|PF 1|≤a +c ，因此|PF 1|min =a -c =2，B 正确；对于C ，|PF 1|⋅|PF 2|≤|PF 1|+|PF 2|22=a 2=16，当且仅当|PF 1|=|PF 2|=4时取等号，C 正确；对于D ，当P 不在x 轴上时，cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(2a )2-(2c )22|PF 1||PF 2|-1，=24|PF 1||PF 2|-1≥2416-1=12，当且仅当|PF 1|=|PF 2|=4取等号，当P 在x 轴上时，cos ∠F 1PF 2=1，上述不等式成立，因此∠F 1PF 2最大为60°，D 错误.故选：D10(2024·河北衡水·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2向圆x 2+y 2=14b 2引切线交椭圆于点P ,O 为坐标原点，若OP =OF 2 ，则椭圆的离心率为()A.12B.32C.53D.23【答案】C【分析】先画出图形，由OP =OF 2 =OF 1 得PF 1⊥PF 2，进而得OM ⎳PF 1，PF 1 =2OM =b ，然后由椭圆的定义可得PF 2 =2a -b ，由勾股定理b a =23，从而即可得到离心率.【详解】由题意画出图形，如下图：设切点为M ，连接PF 1，由已知OP =OF 2 =OF 1 ，∴PF 1⊥PF 2，∵OM ⊥PF 2，∴OM ⎳PF 1，又O 是F 1F 2的中点，圆x 2+y 2=14b 2的半径为12b ，PF 1 =2OM =b ，PF 2 =2a -b ，∴b 2+2a -b 2=4c 2=4a 2-b 2 ，即2a =3b ，得b a =23，e =c a=a 2-b 2a 2=1-b a 2=53.故选：C .11(2024·浙江·三模)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆Γ相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ．连接F 1C ，F 1A ．若O 为坐标原点，F 1C ⊥F 1A ，，则椭圆Γ的离心率为()A.105B.55C.1010D.510【答案】A【分析】由三角形面积关系得出F 2C =4t =F 1C ，再由勾股定理及椭圆定义求出t ，利用余弦定理及cos ∠AF 2F 1+cos ∠CF 2O =0求解即可.【详解】设F2A =t ，由可得，由于△F 1CF 2与△AF 1F 2等高，所以F 2C =4t =F 1C ，又F1C⊥F1A，AC=5t，∴F1A=3t，又AF1+AF2=2a=4t，∴t=a 2，在中，cos∠CF2O=c2a，∵cos∠AF2F1+cos∠CF2O=0，∴cos∠AF2F1=-c2a在中，cos∠AF2F1=AF22+F1F22-AF122F2A⋅F1F2=2c2-a2ac=-c2a，化简可得2a2=5c2，解得e=c2a2=105，故选：A．【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出F2C=F1C=4t，其次需要根据cos∠AF2F1 +cos∠CF2O=0建立a,c关系.二、多选题12(2024·河南开封·三模)椭圆C:x2m2+1+y2m2=1m>0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2=π3，则()A.C的焦距为2B.C的短轴长为23C.C的离心率为32D.△ABF2的周长为8【答案】ABD【分析】根据∠F1AF2=π3以及椭圆的对称性可得b2a2=322=m2m2+1，进而可求解a=2,b=3,c=1，即可根据选项逐一求解.【详解】由于∠F1AF2=π3，所以∠F1AO=∠OAF2=π6,故cos∠F1AO=cos π6=AOAF1=bc2+b2=ba=32，因此b2a2=322=m2m2+1，故m2=3，所以椭圆C :x 24+y 23=1，a =2,b =3,c =1对于A ，焦距为2c =2，故A 正确，对于B ，短轴长为2b =23，B 正确，对于C ，离心率为e =c a =12，C 错误，对于D ，△ABF 2的周长为4a =8，D 正确，故选：ABD13(2024·全国·模拟预测)已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a 、2b 和2c 的椭圆Ω，点A 是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B 是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点F 1和F 2为其焦点，AB ⊥BF 1．点P 在椭圆Ω上，若∠F 2PF 1=π3，则()A.a ，b ，c 成等差数列B.a ，b ，c 成等比数列C.椭圆Ω的离心率e =5+1D.△ABF 1的面积不小于△PF 1F 2的面积【答案】BD【分析】AB 选项，根据垂直关系得到k BF 1k AB =-1，求出b 2=ac ，得到A 错误，B 正确；C 选项，根据b 2=ac 得到c 2+ac -a 2=0，进而求出离心率；D 选项，计算出△ABF 1和△PF 1F 2的面积，作差法结合基本不等式求出答案.【详解】AB 选项，椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，不妨设A a ,0 ，B 0,b ，故F 1-c ,0 ，因为AB ⊥BF 1，且直线AB ,BF 1的斜率存在，所以k BF 1k AB =-1，即b c ⋅-ba=-1，故b 2=ac ，a ,b ,c 成等比数列，A 错误，B 正确；C 选项，因为b 2=a 2-c 2，b 2=ac ，所以c 2+ac -a 2=0，方程两边同除以a 2得，e 2+e -1=0，解得e =-1±52，负值舍去，故离心率为e =5-12，C 错误；D 选项，由椭圆定义得PF 1 +PF 2 =2a ，F 1F 2 =2c ，因为 F 2PF 1=π3，所以PF 1 2+PF 2 2-PF 1 PF 2 =4c 2，PF 1 +PF 2 =2a 两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2，故3PF 1 ⋅PF 2 =4b 2，S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 ⋅32=3b 23，S △ABF 1=12AF 1 ⋅OB =12a +c ⋅b =ab +bc2，又b 2=ac ，且a >c ，由基本不等式得ab +bc 2-b 2=b 2a +c -2b =b2a +c -2ac >0，所以S △ABF 1=ab +bc2>b 2> S △PF 1F 2即△ABF 1的面积不小于△PF 1F 2的面积，D 正确.故选：BD14(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (2,1)，且离心率为22．记C 在P 处的切线为l ，平行于OP 的直线l 与C 交于A ，B 两点，则()A.C 的方程x 24+y 22=1B.直线OP 与l 的斜率之积为-1C.直线OP ，l 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形D.直线P A ，PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形【答案】ACD【分析】根据题干列出方程组，解方程组可判断A ；根据直线与椭圆相切的可求出直线l 的方程即可判断B ，C ；通过计算k P A +k PB =0可判断D .【详解】c a =222a 2+1b 2=1ab 2=b 2+c 2 , ∴a =2b =2c =2∴ 椭圆方程为：x 24+y 22=1，故A 正确；如图，因为点P 在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：y =2-x 22，则y=122-x 22 -12·2-x 22=-x8-2x 2，所以k PM =yx =2 =-22，所以k OP ⋅k PM =-b 2a2=-12，故B 错误；k PM +k OP =0，则△POM 为等腰三角形，故C 正确；AB :y =22x +m ,y =22x +m x 24+y 22=1，消y 可得x 2+2mx +m 2-2=0，x 1+x 2=-2m , x 1x 2=m 2-2, k P A +k PB =y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=22x 1+m -1x 1-2+22x 2+m -1x 2-2=2x 1x 2+(m -2)x 1+x 2 -22m +22x 1-2 x 2-2=0P A ,PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D 正确.故选：ACD15(2024·全国·二模)已知圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，且P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，且△PF 1F 2的面积为1，则下列结论正确的是()A.椭圆C 的长轴长为2B.椭圆C 的短轴长为2C.椭圆C 的离心率为12 D.点P 的坐标为33,263【答案】BD【分析】根据圆的方程确定c 的值，再由△PF 1F 2的面积可得点P 的坐标，从而可得a ,b 的值，再逐项判断即可得答案.【详解】因为圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，所以c =3，又P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，则S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅x P =12×23⋅x P =1，故x P =33，代入圆方程可得x 2P +y 2P =3，所以y P =263，故点P 的坐标为33,263，故D 正确；将点P 的坐标33,263代入椭圆方程可得83a 2+13b2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+3，解得a =2,b =1，故椭圆C 的长轴长为4，短轴长为2，故A 不正确，B 正确；则椭圆C 的离心率为e =c a =32，故C 不正确.故选：BD .16(2024·江西南昌·三模)将椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，则下列说法中正确的是()A.a =23B.椭圆C 2的离心率为33C.(2,2)是椭圆C 2的一个焦点D.θ=π4【答案】ACD【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得a ,b ,c ，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，设点P x ,y 在该椭圆上，则其关于y =x 的对称点P y ,x 代入椭圆方程有y 2+x 2-yx =6，即x 2+y 2-xy =6，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于y =-x 的对称点P -y ,-x 代入椭圆方程有-y2+-x 2--y -x =6，即x 2+y 2-xy =6，则该对称点位于椭圆方程上，则x 2+y 2-xy =6关于y =±x 对称，所以θ=π4，故D 正确；将y =x 代入x 2+y 2-xy =6可得x 2=6，可得椭圆长轴的顶点为6,6 ,-6,-6 ，所以a =6+6=23，故A 正确；将y =-x 代入x 2+y 2-xy =6可得x 2=2，可得椭圆长轴的顶点为2,2 ,-2,-2 ，所以b =2+2=2，则c =12-4=22，则e =c a =2223=63，故B 错误；所以焦点坐标为2,2 或-2,-2 ，所以C 正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键通过证明该非标准椭圆的对称性，从而得到θ的值，再按照普通椭圆a ,b ,c 的定义计算即可，也可将该过程想象成坐标系的旋转.17(2024·江西宜春·三模)设椭圆C ：x 28+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，坐标原点为O ．若椭圆C 上存在一点P ，使得|OP |=7，则下列说法正确的有()A.cos ∠F 1PF 2=35B.PF 1 ⋅PF 2 =5C.△F 1PF 2的面积为2D.△F 1PF 2的内切圆半径为2-1【答案】ACD【分析】根据已知求出P 点坐标，根据两点间距离公式分布求出PF 1 ,PF 2 ，在△F 1PF 2中利用余弦定理可判定A ，利用向量数量积公式可判定B ，三角形面积公式可判定C ，根据等面积法可判定D .【详解】法1：由题意得a =22，|F 1F 2|=2c =28-4=4，则F 1(-2,0)，F 2(2,0)．由对称性可设P (x 0,y 0)(x 0>0，y 0>0)，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，∠F 1PF 2=θ，由x 208+y 204=1x 20+y 20=7，解得x 0=6y 0=1，又F 1(-2,0)，F 2(2,0)，所以m =(6+2)2+12=11+46，n =(6-2)2+12=11-46，所以mn =11+46⋅11-46=112-(46)2=5．由椭圆的定义得m +n =2a =42，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=m 2+n 2-2mn cos θ，即42=(m +n )2-2mn -2mn cos θ=(42)2-2×5-2×5cos θ，解得cos θ=35，故A 正确；PF 1 ⋅PF 2 =mn cos θ=5×35=3，故B 错误；△F 1PF 2的面积为S △F 1PF 2=12mn sin θ=12×5×1-352=2，故C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，由△F 1PF 2的面积相等，得S △F 1PF 2=12(m +n +|F 1F 2|)r ，即2=12(42+4)r ，解得r =2-1，故D 正确．故选：ACD ．法2：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，∠F 1PF 2=θ．易知a =22，c =8-4=2，由极化恒等式，得PF 1 ⋅PF 2=|OP |2-|OF 1|2=7-4=3，故B 错误；由中线长定理得m 2+n 2=2(|OP |2+|OF 1|2)=22，由椭圆定义得m +n =2a =42，所以(m +n )2=m 2+n 2+2mn =22+2mn =32，所以mn =5，所以cos θ=PF 1 ⋅PF 2 mn =35，故A 正确；由cos θ=35，得sin θ=1-cos 2θ=45，所以S △F 1PF 2=12mn sin θ=12×5×45=2，故C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，由△F 1PF 2的面积相等，得S △F 1PF 2=12(m +n +|F 1F 2|)r ，即2=12(42+4)r ，解得r =2-1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题18(2024·上海·三模)已知椭圆C 的焦点F 1、F 2都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，△PF 1F 2的周长为6，且PF 1 ，F 1F 2 ，PF 2 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为．【答案】x 24+y 23=1【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出a ,c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，PF 1+ PF 2+ F 1F 2 =6PF 1+ PF 2=2 F 1F 2，即2a +2c =62a =4c，解得a =2,c =1，则椭圆短半轴长b =a 2-c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.故答案为：x 24+y 23=119(2024·四川攀枝花·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ,F 1M ⊥F 2N ，则椭圆C 的离心率为．【答案】5-2/-2+5【分析】延长F 1M ,F 2N 交于点B ,由题意可求出M -c 3,2c 3，因为点M 在C 上，代入椭圆的方程，化简即可得出答案.【详解】延长F 1M ,F 2N 交于点B ，因为F 1F 2 =3MN ，所以NM =2c3，所以点B 在y 轴上，因为F 1M ⊥F 2N，所以△BF 1F 2为等腰直角三角形，所以∠MF 1P =π4，过点M 作MP ⊥F 1F 2交F 1F 2于点P ，所以MP =F 1P =2c 3，所以M -c 3,2c 3，因为点M 在C 上，所以c 29a 2+4c 29b 2=1，即c 2a 2+4c 2a 2-c 2=9，则c 2a 2-c 2 +4a 2c 2=9a 2a 2-c 2 ，即14a 2c 2-c 4-9a 4=0，即e 4-14e 2+9=0，所以e 2=14±4102=7±210，因为0<e <1，所以e 2=7-210，所以e =5- 2.故答案为：5- 2.20(2024·山西·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，若C 上存在一点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则C 的离心率的最小值是．【答案】13【分析】由题意可知：PF 2 =F 1F 2 =2c ，可得a -c ≤2c ≤a +c ，运算求解即可.【详解】设椭圆C 的半焦距为c ∈0,a ，由题意可知：PF 2 =F 1F 2 =2c ，根据存在性结合椭圆性质可知：a -c ≤2c ≤a +c ，解得13a ≤c <a ，可得C 的离心率e =c a ∈13,1 ，所以C 的离心率的最小值是13.故答案为：13.21(2024·陕西咸阳·三模)已知椭圆C :x 25+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线E :x 2+y 2-6x -4y +12=0上任意一点，则MP +MF 2 的最小值为.【答案】22-1【分析】求出点F 2的坐标，求出圆E 的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.【详解】椭圆C :x 25+y 24=1中，右焦点F 2(1,0)，圆E :(x -3)2+(y -2)2=1的圆心E (3,2)，半径r =1，显然椭圆C 与圆E 相离，由点P 在圆E 上，得|MP |min =|ME |-1，于是|MP |+|MF 2|≥|ME |-1+|MF 2|≥|EF 2|-1=(3-1)2+22-1=22-1，当且仅当M ,P 分别是线段EF 2与椭圆C 、圆E 的交点时取等号，所以MP +MF 2 的最小值为22-1.故答案为：22-122(2024·湖南长沙·三模)已知椭圆y 29+x 2=1，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线l 1:y =3x 和l2:y =-3x 平行的直线，分别交l 2，l 1交于M ，N 两点，则MN 的最大值为.【答案】3【分析】根据题意画出示意图，可得四边形PMON 为平行四边形，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，根据MN与OP 的中点相同，换算出关系式x 2-x 1=y 03y 2-y 1=3x 0，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.【详解】设过点P 分别作直线l 3,l 4，由题意，画示意图如下：设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).则y 1=-3x 1，y 2=3x 2，由题意可知四边形PMON 为平行四边形，所以x 1+x 2=x 0+0=13y 2-y 1 y 1+y 2=y 0+0=3x 2-x 1 ，即x 2-x 1=y 03y 2-y 1=3x 0，又因P 为椭圆上任意一点，所以y 209+x 20=1，即y 209=1-x 20，所以MN =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=y 209+9x 20=9x 20+1-x 20 =8x 20+1，因为-1≤x 0≤1，所以0≤x 20≤1，所以由函数性质知：当x 20=1时，有|MN |max =8×1+1=3.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系.23(2024·重庆·三模)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，若椭圆上存在不在x 轴上的两点A ，B 满足F 1A +F 1B =F 1F 2 ，且sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB ，则椭圆离心率e 的取值范围为.【答案】13,1 【分析】由F 1A +F 1B =F 1F 2 =2F 1O 判断出四边形AF 1BF 2为平行四边形，由正弦定理BF 1 =2AF 1 ，利用AF 2 -AF 1 <F 1F 2 可得答案.【详解】由F 1A +F 1B =F 1F 2 =2F 1O 知，O 为AB 中点，四边形AF 1BF 2为平行四边形，由∠F 2AB =∠F 1BA 与sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB 可知，在△ABF 1中由正弦定理知，BF 1 =2AF 1 ，在△AF 1F 2中，有AF 2 =BF 1 =2AF 1 ，又因为AF 1 +AF 2 =2a ，可得AF 1 =23a ，AF 2 =43a ，由AF 2 -AF 1 <F 1F 2 ，得e >13，故离心率的取值范围为13,1.故答案为：13,1.式)，进而求解离心率或范围.。

文科数学椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1. 定义：椭圆是一个平面上点的集合，其到两个给定点的距离之和等于常数的情形。

这两个给定点称为焦点，这个常数称为椭圆的半径和。

椭圆是一种特殊的圆锥曲线。

2. 要素：椭圆包括两个焦点F1、F2和椭圆的半长轴a、半短轴b。

定义F1F2=2a，F1P+F2P=2a+b，其中P为椭圆上的任意一点。

二、椭圆的性质1. 关于对称性：椭圆具有关于x轴、y轴和原点的对称性。

对于椭圆上的任意一点P(x, y)，都有P(-x, y)、P(x, -y)、P(-x, -y)在椭圆上。

2. 弧长和扇形面积：椭圆的弧长计算公式为L=4aE(e)，其中E(e)是第二类椭圆积分，并且扇形的面积计算公式为A=πab。

3. 离心率和焦点：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它决定了椭圆的形状。

e=c/a，其中c是焦点到中心的距离，a是半长轴的长。

4. 判别式：在解析几何中，一般地，椭圆方程Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0可以化为标准型x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a、b和离心率e=√(a^2-b^2)/a，可以通过判别式B^2-4AC来判别椭圆方程的类型。

5. 焦直线和其它性质：椭圆的焦直线可以表示为x=a/c或x=-a/c，其中c=√(a^2-b^2)。

椭圆上的任意一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

三、椭圆的方程1. 标准方程：椭圆的标准方程可以表示为 x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a>b>0。

当椭圆的中心位于原点时，方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1；当椭圆的中心不位于原点时，方程为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。

2. 参数方程：椭圆的参数方程可以表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t是参数，a、b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。

3. 焦点方程和直角坐标方程：椭圆的焦点方程可以表示为x^2+y^2=a^2,e^2=a^2-b^2；椭圆的直角坐标方程可以表示为y=a*√(1-x^2/a^2)。

椭圆的知识点总结文科一、椭圆的定义椭圆是平面上点的集合，其到两个给定点的距离之和等于常数的性质。

这两个给定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆的定义可以用数学语言描述为：给定两个不重合的焦点F1和F2，以及一个常数a，a>0，椭圆是平面上所有到F1和F2距离之和等于2a的点P的集合。

椭圆也可以通过一个简单的实验来理解其定义：在平面上选取两个不同的点F1和F2，然后在平面上画一根绳子，并在绳子两端分别固定在F1和F2处，然后用一支铅笔拉紧绳子，绕F1和F2画出圆周，当绳子拉到一定长度时，圆周不再是圆，而是变成了一个椭圆。

二、椭圆的性质1. 焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的重要元素，它性质决定了椭圆的形状和大小，焦点的位置不同，椭圆的形状也不同。

而椭圆的离心率是确定椭圆形状的一个重要参数，它是椭圆的离心距和长轴之比。

2. 长轴和短轴：椭圆由两个焦点和长轴组成，其中长轴是连接两个焦点且通过椭圆的最长直径，而短轴则是长轴的垂直且通过椭圆的最短直径。

椭圆的长轴、短轴和焦点之间有一定的关系，可以通过数学推导进行求解。

3. 四边形的性质：椭圆具有一些特殊的四边形性质，比如对焦四边形、对称四边形等，在几何方面有重要的应用价值。

4. 对称性：椭圆具有水平和垂直对称性，即椭圆关于水平轴和垂直轴对称的性质。

5. 参数方程：椭圆可以通过参数方程来描述，参数方程是一种用参数表示一个曲线的方程，通过参数t的取值范围和具体的参数方程表达式，可以得到椭圆在平面上的形状。

6. 极坐标方程：椭圆也可以用极坐标方程来描述，极坐标方程是用极坐标(x，y)表示平面曲线的方程，通过极坐标的半径r和角度θ的变化，可以得到椭圆在极坐标下的表达式。

7. 基本性质：椭圆在数学上还有一些基本的性质，比如焦点、直径、半焦距、半径等，这些性质在理论和实际中都有重要的应用价值。

三、椭圆的方程椭圆可以通过数学方程来表示，其标准方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1给定椭圆的长轴和短轴，可以通过标准方程来表示椭圆的形状和大小。

第六节 椭圆 强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案:B解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c. 又222b a c =-,所以222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35c e a ==.2.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =u u u r u u u r,则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12答案:D解析:对于椭圆,∵AP 2PB =u u u r u u u r,则OA 2OF =u u u r u u u r , ∴a=2c.∴12e =.3.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 . 答案:(211)-,解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221sin PFF sin PF F PF PF ||||=,∠∠则由已知,得1211a c PF PF =,||||即a|1PF |=c|2PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |22a c a=,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |<a+c,则22a c a<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >-.又(01)e ∈,,故椭圆的离心率(211)e ∈,.4.椭圆22192y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |= ;12F PF ∠的大小为 .答案:2 120o解析:∵2292a b =,=,∴22927c a b =-=-=∴|12F F |7=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6, ∴|2PF |=2.又由余弦定理,得cos 2221224(27)12242F PF +-∠==-,⨯⨯∴12120F PF ∠=o ,故应填2,120o .5.已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的离心率3e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为(-a,0). ①若|AB|42=求直线l 的倾斜角;②若点0(0)Q y ,在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB ⋅u u u r u u u r=4.求0y 的值.解:(1)由32c e a==得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b. 由题意可知12242a b ⨯⨯=,即ab=2.解方程组 22a b ab =,⎧⎨=,⎩ 得a=2,b=1.所以椭圆的方程为2214x y +=. (2)①由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+,⎧⎪⎨+=.⎪⎩ 消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.由212164214k x k --=,+得2122814k x k -=+.从而12414k y k =+. 所以|AB|22222241284(2)()1414k k k k k +-=--+=++由|AB|42=24142k +=. 整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34π.②设线段AB 的中点为M,由①得M 的坐标为22282()1414k k k k-,++. 以下分两种情况:(ⅰ)当k=0时,点B 的坐标是(2,0),线段AB 的垂直平分线为y 轴,于是0QA (2)y =-,-,u u u r 0QB (2)y =,-u u u r. 由QA QB ⋅u u u r u u u r=4,得022y =±.(ⅱ)当0k ≠时,线段AB 的垂直平分线方程为222281()1414k k y x k k k -=-+++.令x=0,解得02614k y k =-+.由0QA (2)y =-,-,u u u r QB u u u r110()x y y =,-, QA QB ⋅u u u r u u u r10102()x y y y =---222222(28)646()14141414k k k k k k k k --=++++++ 42224(16151)4(14)k k k +-==,+整理得272k =.故147k =±,所以02145y =±.综上022y ,=±或02145y =±.课后作业巩固提升见课后作业A题组一 椭圆的离心率问题1.椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )A.2(0]2,B.1(0]2,C.[211)-,D.1[1)2,答案:D解析:|AF|22a b c c c=-=,而|PF|a c ≤+,所以2b a c c+≥, 即2210e e +-≥,解得112e ≤<.2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.21-D.2答案:C解析:根据题意:2145AF F ∠=o 2222b c e e a,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-.3.设椭圆22221(0y x m m n+=>,n>0)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为( )A.2211216y x += B.2211612y x +=C.2214864y x += D.2216448y x += 答案:B解析:由题意可知:c=2,且焦点在x 轴上.由12e =,可得m=4,∴22212n m c =-=.故选B.题组二 椭圆的定义4.设P 是椭圆2212516y x +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则|1PF |+|2PF |等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 答案:D解析:因为a=5,所以|1PF |+|2PF |=2a=10.5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆2214y x +=的交点为A 、B,点P 是椭圆上的动点,则使△PAB 面积为13的点P的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案:D解析:联立方程组 2222014x y y x +-=,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 消去y 整理解得:02x y =,⎧⎨=⎩ 或 10x y =,⎧⎨=,⎩|AB|= 结合图象知P 的个数为4.题组三 椭圆的综合应用6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为 .答案:221369y x += 解析:212e a a ==,=6,b=3,则所求椭圆方程为221369y x +=. 7.已知1F 、2F 是椭圆C:22221(y x a b a b+=>>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥u u u u u u u r u u u u u u u r .若△12PF F 的面积为9,则b= .答案:3解析:依题意,有 1212222122184PF PF a PF PF PF PF c ||+||=,⎧⎪||⋅||=,⎨⎪||+||=,⎩ 可得2436c +24a =,即229a c -=,∴b=3.8.在平面直角坐标系xOy 中1212A A B B ,,,,为椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 .答案:5-解析:直线12A B 的方程为:1yx ab+=-;直线1B F 的方程为:1y x c b +=-;二者联立解得点()2()b a c ac T a c a c+,,--则OT 中点()()2()b a c ac M a c a c +,--在椭圆22221(y x a b a b+=>>0)上, 222222()11030()4()a c c c ac a a c a c ++=,+-=,--3e +10e-3=0,解得275e =-.9.已知椭圆C:2212x y +=的两焦点为12F F ,,点00()P x y ,满足2200012x y <+<,则|1PF |+|2PF |的取值范围为,直线02x x+01y y =与椭圆C 的公共点个数为 .答案:[222), 0解析:延长1PF 交椭圆C 于点M,故|12F F |≤|1PF |+|2PF |<|1MF |+|2MF |=2a,即2≤|1PF |+|2PF |22<;当00y =时2002x ,<<,直线0012x xy y +=为x=02(2)(2)x ∈-∞,-⋃,+∞与椭圆C 无交点; 当00y ≠时,直线0012x xy y +=为0012x xy y -=,代入2212x y +=中有 222000()222x y x x x +-+-2020y =. ∵2222000044()(22)2x x y y ∆=-+-22008(1)02x y =+-<,∴直线与椭圆无交点. 10.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且2BF FD =,u u u r u u u r则椭圆C的离心率为 .答案:33解析:如图,不妨设B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y).由2BF FD =,u u u r u u u r得(c,-b)=2(x-c,y),即 2()2c x c b y =-,⎧⎨-=,⎩ 解得 322c x b y ⎧=,⎪⎨⎪=-,⎩ 3()22c b D ,-.由2BF FD =,u u u r u u u r 可得|FD u u u r |12=|BF u u u r |2a =, ①又由椭圆第二定义知,|FD u u u r |2233()()22a c a c c e c c a=-⋅=-⋅. ②由①②解得223a c =,即213e =,∴33e =11.如图,椭圆C:22221y x a b+=的顶点为1212A A B B ,,,,焦点为12F F ,,|11A B |7=,1122B A B A S Y 11222B F B F S =Y .(1)求椭圆C 的方程;(2)设n 为过原点的直线,l 是与n 垂直相交于P 点.与椭圆相交于A,B 两点的直线,|OP u u u r|=1.是否存在上述直线l 使0OA OB ⋅=u u u r u u u r成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)由|11A B |7=知227a b +=, ① 由112211222B A B A B F B F S S =Y Y 知a=2c, ②又222b a c =-, ③由①②③,解得2243a b =,=,故椭圆C 的方程为22143y x +=. (2)设A,B 两点的坐标分别为1122()()x y x y ,,,,假设使0OA OB ⋅=u u u r u u u r成立的直线l 存在,①当l 不垂直于x 轴时,设l 的方程为y=kx+m ,由l 与n 垂直相交于P 点且|OP u u u r|=1得 211m k ||=,+即221m k =+. 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r得12120x x y y +=.将y=kx+m 代入椭圆方程,得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=, 由求根公式可得122834km x x k-+=,+ ④212241234m x x k -=+. ⑤ 121212120()()x x y y x x kx m kx m =+=+++221212(1)()k x x km x x m =++++,将④⑤代入上式并化简得222222(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++=. ⑥ 将221m k =+代入⑥并化简得25(1)0k -+=,矛盾. 即此时直线l 不存在.②当l 垂直于x 轴时,满足|OP u u u r|=1的直线l 的方程为x=1或x=-1, 则A,B 两点的坐标为33(1)(1)22,,,-或(-133)(1)22,,-,-,当x=1时33(1)(1)22OA OB ,⋅=,⋅,-=u u u r u u u r504-≠;当x=-1时3(1)(12OA OB ,⋅=-,⋅-,u u u r u u u r32-5)04=-≠,∴此时直线l 也不存在.综上可知,使0OA OB ⋅=u u u r u u u r成立的直线l 不存在.12.如图,已知椭圆22221yxa b+=（a>b>0)过点2(1)2,,离心率为22,左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为A B,和C, D,O.为坐标原点(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线1PF,PF2的斜率分别为1k,k2.(ⅰ)证明:12312k k-=.(ⅱ)问直线l上是否存在点P,使得直线OA OB OC OD,,,的斜率kOA,kOB,kOC,kOD满足+OAk+0OB OC ODk k k+=?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由.解:(1)因为椭圆过点22(1e,=所以2221112caa b+=,=.又222a b c=+,所以21a b c==,=1.故所求椭圆的标准方程为2212x y+=.(2)(ⅰ)证明:方法一:由于1(10)F-,,F21(10)PF,,,PF2的斜率分别为1k,k2,且点P不在x轴上,所以121200k k k k≠,≠,≠.又直线12PF PF,的方程分别为12(1)(1)y k x y k x=+,=-,联立方程解得122112212k kxk kk kyk k+⎧=,⎪-⎪⎨⎪=,-⎪⎩所以121221212()k k k kPk k k k+,--.由于点P在直线x+y=2上,所以12122122k k k kk k++=-.因此1212230k k k k+-=,即12312k k-=,结论成立.方法二:设00()P x y,,则00120011y yk kx x=,=+-.因为点P不在x轴上,所以0y≠.又002x y+=,所以00001213(1)422312x x x y k k y y y y +---=-===. 因此结论成立.(ⅱ)设()()()A A B B C C A x y B x y C x y ,,,,,,()D D D x y ,.联立直线1PF 与椭圆的方程得 122(1)12y k x x y =+,⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 化简得2222111(21)4220k x k x k +++-=,因此221122114222121A B A B k k x x x x k k -+=-,=,++由于OA,OB 的斜率存在,所以00A B x x ≠,≠,因此2101k ≠,. 因此11(1)(1)A B A B OA OB A B A By y k x k x k k x x x x +++=+=+ 211112142(2)22A B A B x x k k k k x x k +=+=--12121k k =--. 相似地,可以得到220001C D x x k ≠,≠,≠,,22221OC OD k k k k +=-,- 故1222122()11OA OB OC OD k k k k k k k k +++=-+-- 2212112222122(1)(1)k k k k k k k k -+-=--- 121222122(1)()(1)(1)k k k k k k -+=---. 若0OA OB OC OD k k k k +++=,须有120k k +=或121k k =.①当120k k +=时,结合(ⅰ)的结论,可得22k =-,所以解得点P 的坐标为(0,2);②当121k k =时,结合(ⅰ)的结论,解得23k =或21(k =-此时11k =-,不满足12k k ≠,舍去),此时直线CD 的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得5344x y =,=.因此53()44P ,.综上所述,满足条件的点P 的坐标分别为(0532)()44,,,.文档鉴赏。