重庆市康德卷2020年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学(三) (解析版)

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合，集合，则A. B. 2， C. D.2.命题“，”的否定为A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知复数，则A. B. C. D.4.已知向量，，，且，则实数A. B. 0 C. 1 D. 任意实数5.已知，且，三个数、、的大小关系是A. B.C. D.6.不等式的解集为，则的展开式中常数项为A. B. C. D.7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 38.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. B. C. D.9.山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，O为坐标原点，以为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B为圆O与y轴正半轴的交点，若，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.11.已知定义域为R的函数，对任意有是函数的导函数，若为奇函数，则满足不等式的x的取值范围是A. B. C. D.12.已知a，，，则当取最小值时，的值为A. 2B.C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.不等式组所表示的平面区域的面积为______．14.设数列的前n项和为，若，则______．15.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则a的值为．16.已知直线：，：及圆M：，设直线，分别与圆M交于点A，B和点C，D，现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在四边形ABCD中，，，，．Ⅰ当的面积最大时，求的面积；Ⅱ若，求AB．18.李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行．英语听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读共4题时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出1，2，5选A，丢出3选B，丢出6选D已知4道题的正确答案依次为A，C，D，求李华同学听力的6分的概率；记随机变量李华做阅读E时做对的题数为，求的分布列与期望．19.设数列的前n项和，已知，，．求数列的通项公式；是否对一切正整数n，有？说明理由．20.已知椭圆的离心率为，且过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点P作两直线与分别交椭圆C于A，B两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值．21.已知定义域为的函数满足其中是的导函数，，．Ⅰ求函数的最大值；Ⅱ若对于任意正实数a，b都有成立，求x的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；Ⅱ若直线l被曲线C所截得的弦长为，求a的值；23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ若不等式对恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：1，，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：命题“，”是特称命题，命题的否定为：，．故选：A．根据命题“，”是全称命题，其否定为特称命题，将“”改为“”，““改为“”即可得答案．本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．3.答案：B解析：解：，，，，故选：B．先求出共轭复数，再求出，再代入所求式子，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：B解析：解：向量，，，且，，则实数，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.答案：A解析：解：设函数，，，在上是增函数，，；令，，且，则；同理，设，，，在上是增函数，，；令，，且，，即；综上，．故选：A．构造函数，，利用导数判断的单调性，得出，令得；同理，设，，得出，即得．本题考查了构造函数的应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性以及利用函数的单调性比较大小的应用问题，是综合性题目．6.答案：D解析：解：不等式的解集为，和2是的两个实数根，，，即，，故，即，它的展开式的通项公式为，令，求得不合题意，故展开式中常数项为，故选：D．由题意求得a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得的展开式中常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．7.答案：C解析：解：抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，可得：，可得，所以，因为，所以双曲线的离心率为，故选：C．求出抛物线的焦点坐标，渐近线方程，利用已知条件，列出关系式，求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力是中档题．8.答案：B解析：解：由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列的前10项的和．，所以．故选：B．由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列的前10项的和，采用裂项相消法可求解．本题考查了程序框图及裂项法求数列的和的问题，要注意首项和项数不要算错．属于中档题．9.答案：A解析：解：若甲说的是真话，则乙，丙说的也是真话，矛盾；则甲说的是假话，不是丁，则丙说的也是假话，乙丙说的是真话，因为乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”，且不是丁，所以是甲盗的．故选：A．假设甲说的话是真话，推出来矛盾，则甲说的话是假话，然后判断其他人说的话即可．本题考查简单的合情推理，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的简单几何性质，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．联立圆与双曲线的方程，求得P的坐标，，化简即可求得双曲线的离心率．【解答】解：，，双曲线的一条渐近线方程为，则，由题意可知：以线段为直径的圆的方程，联立，解得，，，，即，，，解得，故选：D．11.答案：A解析：解：令，又，则，函数在R上单调递增．为奇函数，，．不等式，即的解集为：．故选：A．令，根据，可得，可得函数在R上单调性．利用单调性即可得出不等式的解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：由得，，等号成立时，即，此时故选：C．由已知可利用基本不等式进行配凑即可求解．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．属于基础题．13.答案：8解析：解：不等式组等价于或，画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示；计算阴影部分的面积为．故答案为：8．不等式组等价于或，画出不等式组表示的平面区域，计算它的面积即可．本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的问题，也考查了转化与数形结合思想，是基础题．14.答案：1008解析：解：由题意，可知当n为奇数时，设，，则，数列的奇数项是常数列．．当n为偶数时，设，，则，当，，即时，，当，，即时，，数列的偶数项为，5，，9，，，，，，，．．故答案为：1008．本题根据通项公式中正弦函数的性质可先分奇数项与偶数项分别分析，数列的奇数项是常数列，偶数项经过代入计算后又分为4的倍数项和非4的倍数项进行分析，再分别计算出前2018项中奇数项与偶数项分别的和，最后相加即可得到结果．本题主要考查数列的三角函数的综合问题．考查了正弦函数的性质，分类讨论思想，转化与化归思想的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：8解析：【分析】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，，可得利用，化为，又，解得b，由余弦定理可得：即可得出．【解答】解：，，，，化为，又，解得，，由余弦定理可得：．解得．故答案为8．16.答案：解析：解：直线：，：及圆M：，圆M：；，且两直线的交点为恰为圆M的圆心，所以ACBD为正方形，且对角线AB为圆的直径4，即正方形ACBD边长为．现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为：，故答案为：．由题可得，且两直线的交点为恰为圆M的圆心，把问题转化为正方形的面积与圆的面积之比即可．本题主要考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据求解．17.答案：解：Ⅰ由知当时，最大，此时，，此时为等腰直角三角形；Ⅱ，由余弦定理所以，解析：Ⅰ根据题意选择的面积公式，由于面积最大，可求角，然后求的面积；Ⅱ选择合理的余弦定理，求AC，再求AB．本题考查解三角形，注意公式的合理选择，属于中等题．18.答案：解：根据题意，听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，则听力得6分的概率为；由题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4；则，，，，；则的分布列为：01234 P的期望值为．解析：每题2分，做对一题的概率为，得6分即做对3道题，利用，计算即可；由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，再写出的分布列，求出期望值值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是难题．19.答案：解：，，当时，，由，得，，，，数列是以首项为1，公差为1的等差数列．，，当时，上式显然成立．，．对一切正整数n，有．证明：当时，，可得，由，可得，即有，则当时，不等式成立；检验，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n，有．解析：运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；对一切正整数n，有考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．20.答案：解：Ⅰ由题意有：，解得，椭圆C的方程为：；Ⅱ设直线AP为，则直线BP为，联立方程有：，，则，同理可得：，．所以．解析：Ⅰ根据题意，列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的方程；Ⅱ设直线AP为，则直线BP为，联立直线AP与椭圆方程，利用韦达定理求出点A的坐标，同理求出点B的坐标，再利用基本不等式即可求出的最大值．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：Ⅰ，所以在上单调递增，在上单调递减，．Ⅱ，等号成立时即，由题由Ⅰ，得，又得，单调递减，所以式等价于，即．解析：Ⅰ对求导，并且把已知代入可得：，利用其单调性即可得出的最大值．Ⅱ两次利用基本不等式的性质可得，等号成立时即，由题，由Ⅰ，得进而得出函数单调递减，即可得出x的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ，曲线C：，直线l：，Ⅱ圆心为到直线l的距离，圆C：的半径为，直线l被曲线C所截得的弦长，解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ即为，，即，，解得或，不等式的解集为；Ⅱ即恒成立，由时等号成立，可知，解得，或，即实数m的取值范围为．解析：Ⅰ由得，两边平方后，化为一元二次不等式，解出即可；Ⅱ问题即为恒成立，利用绝对值不等式的性质可得，解出即可．本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，属于基础题．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．212ii+=-（ ） A ．i - B ．i C ．1i + D ．1i -+2．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．函数()21x xe ef x x --=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量()1,2a =，2b =，且a b ⊥，则2a b +=（ ）A B C ．13 D ．175．若直线0x y -=与圆224690x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）A ．2BC ．3D 6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 3a B =，cos 4b A =，则c =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()71mod3≡．执行该程序框图，则输出的n 为（ ）A ．20B ．38C ．47D ．538．某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（ ） A ．712 B ．23 C ．56 D ．11129．直角ABC中，AB AC ==D 为BC 边上一点，沿AD 将ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H 恰好在AB 上，若1AH =，则二面角C AD B --的余弦值是（ ） A ．13 BCD10．若函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在(),a a -上没有最小值，则a 的最大值为（ ） A ．12πB ．6πC ．512πD ．712π11．已知函数()[](]123,1,21,2,82x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（ ） A ．()()27f f = B ．函数()f x 有5个零点C ．函数()f x 在[]3,6上单调递增D ．函数()f x 的值域为[]2,4-12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线l 与y 轴相交于点M ，与C 的右支相交于点P ，且M 为线段1PF 的中点，若C 的渐近线上存在一点N ，使得2MN NP =，则C 的离心率为（ ）AB ．53C ．2 D二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()132cos x f x f x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________． 14．若x ，y 满足约束条件2044054200x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≥⎩．则3z x y =+的最小值为________．15．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos 2αα+=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16．三棱台111ABC A B C -中，111112A A B B C C A B ====，4AB =，侧面11A B BA ⊥底面ABC ，M 为AB 的中点，线段MC 的长为________（2分）；该三棱台的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________（3分）．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是其前n 项和，若39S =，且5a 是2a 与14a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记2log n n n b a a =-，n N +∈，证明：1n n b b +<．18．（12分）近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据：（1）求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16C ︒，估计当天的热饮销售量； （2）根据表格中的数据计算2R （精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响． 参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；()()212211niii nii y y R y y ==-=--∑∑．19．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>，直线l 经过点()2,0P p ，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）判断AOB 的形状，并说明理由；（2）若513OA OB OP +⋅=AOB 的面积为5，求l 的方程．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2PD PB ==，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ．（1）若//BD 面AMHN ，求证：MN PC ⊥；（2）若3PA PC ==，AC =AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值． 21．（12分）已知函数()()()21ln 2112f x x x a x =--+-，其中1a ≥． （1）证明：函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，并求2212x x +的取值范围；（2）若曲线()y f x =在点()1,0处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a 的所有可能值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2224111k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若P 为曲线C 上一点，求P 到直线l 距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()12f x x x a =-++． （1）若2a =，求()8f x ≤的解集；（2）若()31f x x ≥--，x R ∈，求a 的取值范围．参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．A 10．C 11．C 12．B二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．32-14．50715．2- 16．2，16π 三．解答题：共70分． （一）必考题：共60分． 17．设{}n a 的公差为d ，0d ≠．（1）由条件，得123252149a a a a a a ++=⎧⎨=⎩．即()()()12111339413a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩． 解得：11a =，2d =，所以()121n a n =+-，21n a n =-． 5分 （2）由（1）得：()221log 21n b n n =---，n N +∈，()1221log 21n b n n +=+-+，12212log 21n n n b b n +-⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭因为n N +∈，所以2112113n n +≤-<，2221log 3log 021n n -⎛⎫-≤< ⎪+⎝⎭．从而12242log 3log 03n n b b +-≥-=>，故1n n b b +<． 12分 18．（1）由条件，5x =，135y =，从而()()61504iii x x y y =--=-∑，()261168ii x x =-=∑，解得：()()()1213niii nii x x y y b x x ==--==--∑∑，150a y bx =-=．所以，气温预报销售量的回归直线方程为：3150y x =-+． 5分 当16x =时，102y =．因此，某天白天的平均气温为16C ︒时，估计可以卖出102杯热饮．7分 （2）()6152iii y y =-=∑，()2611564ii y y =-=∑．()()2212152110.9671564niii ni i y y R y y==-=-=-≈-∑∑． 所以，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）． 12分19．设直线l 的方程为；2x my p =+，代入22y px =， 化简得：22240y pmy p --=，2242160p m p ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，2124y y p =-，（1）因为2221212244y y x x p p==，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=． 故AOB 是直角三角形，斜边为AB ． 5分 （2）4OA OB OP AB OP p +===AOB 的面积()121212252S p y y p y y p =⋅+=-==，解得：1p =，294m =． 故直线l 的方程为：2340x y --=或2340x y +-=． 12分 20．（1）证明：连接AC ，BD 交于点O ， 因为//BD 面AMHN ，面AMHN面PBD MN =，BD ⊄面AMHN ，则//BD MN ．因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点． 因为PB PD =，所以PO BD ⊥， 又因为ACPO O =，所以BD ⊥面P AC ，PC ⊂面P AC ，所以PC BD ⊥，由//BD MN ，故MN PC ⊥． 5分 （2）因为PA PC =，所以PO AC ⊥，由（1）知，PO BD ⊥，AC BD ⊥， 以O 为原点，以OA ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为AC =3PA =，PO =1BO =，所以)A，()C，(P，H ⎛ ⎝⎭，()0,1,0D ，从而22AH ⎛=- ⎝⎭，(0,DP =-，()AD =-，()AC =- 设()01DM DP λλ=≤≤，()AM AD DP λλ=+=--设面AMH 的法向量(),,n x y z =，则00n AH n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()02210x z y z λ⎧-+=⎪⎨⎪+-+=⎩．令x =)312,,61n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭设θ为直线AC 与面AMHN 所成角，所以2sin 23831AC n AC nθλ⋅==⎫+⎪-⎭，当13λ=时，sin θ取得最大值19．经检验，此时点N 在线段PB 上，符合题意． 12分21．（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()221121ax a x f x a x x x-++'=-+-=，设()()221g x ax a x =-++， 因为()222440a a a ∆=+-=+>且20a a +>，10a>，所以()0g x =在()0,+∞上有两个不等实根1x ，()212x x x <，且当()10,x x ∈，()2,x +∞时，()0g x >，()0f x '>； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<．所以()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 故1x ，2x 是()f x 的两个极值点，且12221a x x a a ++==+，121x x a=． 从而()222212121222242211x x x x x x a a a a⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭，又因为[)1,a ∈+∞，所以(]10,1a∈，故(]22121,7x x +∈． 5分 （2）由()11f '=-知曲线在()1,0处切线方程为1y x =-+， 原问题等价于方程()1f x x =-+只有一个实根， 设()()()()211112ln x h x f x x a x x =+-=+---， ()()()()11111x x ax h a x x x--'=+--=． ①当1a =时，()()210x h x x-'=≥，()h x 在()0,+∞上单增，而()10h =，所以()h x 只有一个零点1x =，符合题意． ②当1a >时，令()0h x '=得1x a =或1，11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0h x '>；当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．从而()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，()f x 在11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()h x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个零点1x =， 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，因为()110h h a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，设()()1121a a ea a ϕ+=->，则()1121102a e a ϕ+'=->，()a ϕ在()1,+∞单调递增， 所以()0a ϕ>，即112a ea +>，从而11210a ea--<<， 取11200,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()200011111111102222h x a a x x a a <--+---<--++=．∴存在101,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，此时()h x 有两个零点，不符题意．综上，a 可取得的所有值为1． 12分22．（1）由2211k y k -=+得211y k y -=+，代入241k x k =+得()21x k y =+，又由211y k y -=+，得()221141x yyy -=++， 整理得曲线C 的普通方程为()22114x y y +=≠-； 直线l的极坐标方程为1cos sin 222ρθρθ-=， 因为cos x ρθ=及sin y ρθ=，所以直线l的普通方程为40x -=．（2）设点()2cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为=因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以点P 到直线l的距离的取值范围为4422⎡-⎢⎣⎦． 10分23．（1）由2a =，1228x x -++≤，当1x ≥时，1228x x -++≤，解得73x ≤，所以713x ≤≤， 当11x -<<时，1228x x -++≤，解得5x ≤，所以11x -<<， 当1x ≤-时，1228x x ---≤，解得：31x -≤≤-， 综上可得：733x -≤≤，所求的解集为73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）()312223f x x x a x ≥--⇒++-≥恒成立， 又()()()2222222g x x a x x a x a =++-≥+--=+， ()min 2323g x a a ∴-+≥⇒+≤-，或235a a +≥⇒≤-或1a ≥，所求的a 的取值范围是：(][),51,-∞-+∞．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 6解：有下列（1，7）（2，6）（3，8）（4，4）2.复数113i -的虚部是 A. 310- B. 110- C. 110D. 310解：1131313101010i z i i +===+-3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 解：B4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531--=+t K I t e，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69()()()()()0.23530.23530.2353-10.951100511====1995951930010.2353=3,53132323153136623解：则，则------==++--===+≈t t t KI t Kee e t t t5. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)=>C y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)1212222122212124y y 0又由点在曲线2上y =4,y =4(y y )16,y y 44,1OD OEOD OE y px p p P p p →→⊥•=+====-=-=6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b += A. 3135-B. 1935-C. 1735D. 1935222解：（）=++2253612497()19cos(,)5735a b a b a b a b a a b a a a ba ab a a b+•=+-=+=•+•+•+===⨯+7. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 23222222222解：由余弦定理得：AB =AC +BC -2AC BC cos 216924393AB 3由余弦定理得：AB AC3341cosB=23392AB BCC BC=+-⨯⨯⨯==+-+-==⨯⨯8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+表面积122221222sin 602323S VAB S VAC S ABC S VBC S ∆∆∆∆===⨯⨯==⨯⨯⨯= 9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 222221tan 解：原式=2tan 71tan 则2tan -2tan -1-tan 77tan 则2tan -8tan +8=0则tan -4tan +4=（tan 2)0则tan 2θθθθθθθθθθθθθ+-=-=--==10.若直线l 与曲线y x =2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+设00000000000设的切点P(x ,x )(x 0)111,,则切线方程为：y-x (x )222化为：-2x 0x 1又与圆相切则：d=x 114x 511直线方程为：y=22y x y k x 解：xx x x x y x =>'===-+==⇒=+∴+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．82222121212121222212121212222222222解：,则+=（2c)414,82又-=2a,-24164,4又5,54,1,1PF PF PF PF cS PF F PF PF PF PFPF PF PF PF PF PF PF PFc a c ace c a a a a aa∆⊥=====+-=-=-===⇒=-===12. 已知5458<，45138<，设5a log3=，8b=log5，13c log8=，则A. a b c<<B. b a c<<C. b c a<<D. c a b<<5445544588131381381325822222解;58,138,则log5log8,log13log8445log54,45log8;log5,log8,则55lg3lg5lg3lg8lg5log3log5lg5lg8lg5lg8lg3lg8lg24lg252lg5lg30,lg80,lg3lg8()()()()lg52222c ba b<<<<<<<>>•--=-=-=•+>>•<=<== 0,a b a b-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈N *，y ≥x}，B ＝{(x ，y)|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.62.复数113i -的虚部是 A.－310 B.－110 C.110 D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B.p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C.p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D.p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.24.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数。

当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3) A.60 B.63 C.66 D.695.设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A.(14，0) B.(12，0) C.(1，0) D.(2，0) 6.已知向量a ，b 满足|a|＝5，|b|＝6，a ·b ＝－6，则cos<a ，a ＋b>＝A.－3135 B.－1935 C.1735 D.19357.在△ABC 中，cosC ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cosB ＝A.19B.13C.12D.238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A.6＋2B.4＋2C.6＋3D.4＋3 9.已知2tan θ－tan(θ＋4π)＝7，则tan θ＝ A.－2 B.－1 C.1 D.210.若直线l 与曲线y x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为 A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x ＋12 C.y ＝12x ＋1 D.y ＝12x ＋1211.设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C上一点，且F 1P ⊥F 2P 。

2020届重庆市高三高考模拟调研（三）（康德卷）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2230,N A x x x x =--<∈，集合{}2xB y y ==，则A B =I ( )A ．{}1,2B ．{}1,2,8C ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．∅【答案】A【解析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B I .【详解】{}{}{}2230,N 13,N 0,1,2A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=Q ，{}{}20x B y y y y ===>，因此，{}1,2A B =I .故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解以及指数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（ ）A ．0x ∃>，tan sin x x ≤B ．0x ∃≤，tan sin x x >C ．0x ∀>，tan sin x x ≤D ．0x ∀≤，tan sin x x ≤【答案】A【解析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】命题“0x ∀>，tan sin x x >”为全称命题，其否定为“0x ∃>，tan sin x x ≤”，故选：A.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.3．已知复数12z i =+，则55zz iz-+=（ ） A ．12i + B ．2i +C ．12i -D ．2i -【答案】B【解析】利用复数的乘法和除法法则可计算出结果.【详解】12z i =+Q ，则2125z z ⋅=+=，因此，()()()5125552121212i i zz i ii z i i i --+===+++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数的乘法和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．已知向量()1,2a =r，()11b =-r ,，(),2c m =r ，且()2-⊥r r r a b c ，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．任意实数【答案】B【解析】计算出向量2a b -r r的坐标，由()2-⊥r r r a b c 得()20a b c -⋅=r r r ，结合向量数量积的坐标运算可求得实数m 的值.【详解】()1,2a =rQ ，()11b =-r ,，()23,0a b ∴-=r r ，(),2c m =rQ ，()2-⊥r r r a b c ，则()230a b c m -⋅==r r r ，解得0m =.故选：B.【点睛】本题考查利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题.5．已知n *∈N ，且1n >，三个数1lnn n +、11n +、1n的大小关系是（ ） A ．111ln 1n n n n +>>+ B ．111ln1n n n n +>>+C ．111ln1n n n n+>>+ D ．111ln1n n n n+>>+ 【答案】A【解析】试题分析：令()ln(1)f x x x =+-，则1()111xf x x x'=-=-++，当0x >时，()0f x '<，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =+-<=恒成立，即ln(1)x x +<恒成立，令1x n=得，11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即11ln n n n+⎛⎫< ⎪⎝⎭；令()ln(1)1x g x x x =+-+，则()()2211()0111x x x g x x x x +-'=-=>+++，所以()g x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()ln(1)(0)01x g x x g x =+->=+，即ln(1)1x x x +>+，令1x n=得11ln 111n n n⎛⎫+> ⎪⎝⎭+，即11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭.综上所述有111ln 1n n n n +>>+，故选A. 【考点】1.导数与函数单调性；2.函数与数列不等式.6．不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则6x a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为( )A ．64-B ．16027-C ．2027D ．803【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解可求得实数a 的值，进而写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.【详解】由题意可知，1、2是二次方程20x ax b -+=的两根，由韦达定理得123a =+=，所以63x x ⎫-⎪⎭的展开式通项为633621661233rrrr r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=，得2r =，因此，二项展开式中常数项为22436180233T C ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于中等题.7．抛物线24y x =的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线的距离是32，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】C【解析】求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求出ba的值，再利用离心率公式可求得双曲线的离心率的值.【详解】抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线的渐近线方程为by x a=±，由题意得2231b a d b a ==+，解得3ba=， 因此，该双曲线的离心率为222212c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查抛物线和双曲线几何性质的应用，在涉及利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为方便，考查计算能力，属于中等题. 8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．919B ．1021C ．1819D ．2021【答案】B【解析】根据程序框图得出2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L ，利用裂项相消法可求得输出的S 的值.【详解】()()21111141212122121i i i i i ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭Q，由程序框图可知，输出的S 的值为2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L 1111111012335192121⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭L . 故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.故选：A.【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．35B 35+C ．15+ D 15+ 【答案】D【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为b y x a=，以12F F 为直径的圆O 的方程为222x y c +=．由222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故点P 的坐标为(,)a b ； 由22222221x y a b x y c ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得22x b c by c ⎧=+⎪⎨=⎪⎩Q 的坐标为22)a b c bc +． ∵2POF QOB ∠=∠，∴2sin sin POF QOB ∠=∠，∴222b b c c c+=，整理得2b ac =， ∴22c a ac -=，故得210e e --=，解得152e +=．选D ． 点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于,,a b c 等式或不等式，再由222c a b =+及ce a=可得到关于e 的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围）．解题时要注意平面几何知识的运用，如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键．11．已知定义域为R 的函数()f x ，对任意x ∈R 有()()f x f x '>（()f x '是函数()f x 的导函数），若()1y f x =-为奇函数，则满足不等式()x f x e >的x 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【答案】C【解析】根据函数()1y f x =-为奇函数推导出()01f =，构造函数()()xf xg x e =，利用导数可判断出函数()y g x =的单调性，将所求不等式变形为()()0g x g >，再利用函数()y g x =的单调性即可得解.【详解】由于函数()1y f x =-为奇函数，则()010f -=，可得()01f =，构造函数()()xf xg x e=，则()()0001f g e==，且()()()0xf x f xg x e-''=>，所以，函数()y g x =在R 上单调递增，由()x f x e >得()1xf x e>，即()()0g x g >，解得0x >.因此，满足不等式()xf x e >的x 的取值范围是()0,+∞.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12．已知a 、0b >，21b a b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则当1a b +取最小值时，221a b +的值为( )A ．2B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由21b a b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得出2212a b a b b a +=+，进而可得出214a b a b b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出21a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用等号成立的条件求得2b a =，进而可得出221a b +的值. 【详解】由222112a b a a b b b a ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭得，2212a b a b b a +=+， 2221122244a a b a a b a a b b b b a b b a ⎛⎫+=++=++=+≥ ⎪⎝⎭，等号成立时4a b b a =，即2b a =，此时22123a ba b b a+=+=. 故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．不等式组222y x y ⎧≤⎨-≤⎩所表示的平面区域的面积为______.【答案】8【解析】作出不等式组所表示的平面区域，进而可求得区域的面积.【详解】不等式组2220y x y ⎧≤⎨-≤⎩即为()()220y x y x y -≤≤⎧⎨-+≤⎩，则不等式组2220y x y ⎧≤⎨-≤⎩所表示的平面区域由不等式组2200y x y x y -≤≤⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩和2200y x y x y -≤≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域合并而成，如下图所示：平面区域为两个全等的等腰直角三角形，且腰长为22因此，所求平面区域的面积为(2122282S =⨯⨯=.故答案为：8.【点睛】本题考查可行域面积的计算，解答的关键就是根据不等式组画出可行域，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+⎪⎝⎭，则2018S =______. 【答案】1008【解析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N*∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=， 201845042=⨯+Q ，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008.【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.【考点】余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.16．已知直线1:222l x y a -=-，2:24l x y a +=+及圆222:420M x y x ay a +--+=，设直线1l 、2l 分别与圆M 交于点A 、B 和点C 、D ，现随机向圆M 内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD 内的概率为______.【答案】2π【解析】求出直线1l 、2l 的交点，恰为圆M 的圆心，且12l l ⊥，进而可得知AB 、CD 是圆M 两条相互垂直的直径，由此计算出四边形ACBD 的面积以及圆M 的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】直线1l 的斜率为112k =，直线2l 的斜率为22k =-，则121k k =-，12l l ∴⊥， 将圆M 的方程化为标准方程得()()2224x y a -+-=，圆心为()2,M a ，半径为2.联立直线1l 、2l 的方程22224x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩，解得2x y a =⎧⎨=⎩，两直线的交点为圆心M ，所以，AB 、CD 是圆M 两条相互垂直的直径，四边形ACBD 的面积为2114822S AB CD =⋅=⨯=， 因此，所求的概率为2822P ππ==⨯. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，AC BC =，2AD =，6CD =.（Ⅰ）当ACD ∆的面积最大时，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若3cos B =，求AB . 【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）8. 【解析】（Ⅰ）由ACD ∆的面积最大可知2ADC π∠=，利用勾股定理求出AC ，可判断出ABC ∆的形状，进而可求得ABC ∆的面积；（Ⅱ）利用二倍角余弦公式求出cos D ，在ACD ∆中利用余弦定理求出AC ，然后在ABC ∆中利用余弦定理求出AB .【详解】（Ⅰ）由1sin 2ACD S AD CD ADC ∆=⋅⋅∠知当2ADC π∠=时，ACD ∆的面积ACD S ∆最大，此时22210AC AD CD +=，4B π=，此时，ABC ∆为等腰直角三角形，其面积为1202ACD S AC BC ∆=⋅=；（Ⅱ）21cos cos 22cos 13D B B ==-=-， 在ACD ∆中，由余弦定理2222cos 48AC AD CD AD CD D =+-⋅=，43AC ∴=，AC BC =Q ，2ACB B π∴∠=-，则()1cos cos 2cos 23ACB B B π∠=-=-=，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 64AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，因此，8AB =.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.18．李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行.英语听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为34，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读E （共4题）时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出1、2、5选A ，丢出3选B ，丢出4选C ，丢出6选D （已知4道题的正确答案依次为A 、C 、D 、D ）（I ）求李华同学听力的6分的概率；（II ）记随机变量李华做阅读E 时做对的题数为ξ，求ξ的分布列与期望.【答案】（I ）135512；（II ）分布列见解析，随机变量ξ的期望值为1. 【解析】（I ）由题意可知，李华同学做对3道听力题，利用独立重复试验的概率公式可求出所求事件的概率；（II ）由题意可知随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，分别计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出其分布列，并利用期望公式计算出()E ξ.【详解】（I ）根据题意，听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为34， 则听力得6分的概率为323533135144512P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （II ）由题意，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3、4，则李华做对4道阅读题的概率分别为12、16、16、16， 则()31112501126432P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()321311111200111126266432P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-+⋅-⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()221233111111902111266266432P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅-+⋅-⋅⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2323111111631126626432P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅-+-⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()3111426432P ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭. 所以，随机变量ξ的分布列为：ξ1 234P125432 200432 90432 16432 1432因此，随机变量ξ的期望值为()12520090161012341432432432432432E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立重复试验的概率问题，同时也考查了随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查计算能力，属于中等题.19．设数列{}n a 的前n 项和n S .已知2*112121,,33n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+？说明理由. 【答案】（1）2n a n =；（2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+. 【解析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+， 考虑当3n ≥时，22111111(1211n a n n n n =<=---+），再由裂项相消求和，即可得证。

AB =C ．{C ．第三象限cB ．a c b <<C ．c a b <<．已知非零向量,a b 满足：2||7||2||a b a b ==−,则a 与b 的夹角为2π C ．3π7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +−=，则ABC 的面积为 A ．1B ．3C ．2D ．238．函数2cos ()x xx xf x e e −=−的图象大致是A ．B ．C ．D ．9．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()23()()g x f x f x '=+在,[]0x π∈内的单调递增区间是 A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知在锐角ABC 中，3A π=，||2CA CB −=,则CA CB ⋅的取值范围是A ．1,4⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,04⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．(0,)+∞D ．(0,12)11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()||f x f x =，()()2f x f x =+，且当1[]0,x ∈时，()2xf x =，则函数()()()2log 1g x f x x =−+的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．412．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n S a =−，设12n n T a a a =，1n n nb T =，则33n n a b +的最小值为 A ．23B ．92C ．3322+D ．316二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 2f x x x =−在点()()11f ,处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________.Sn++的最大值及取最大值时n位于C，B两点之间，且时，求APC的面积的面积的最大值．21．已知函数()2ln 4f x x ax x =+−存在两个极值点12,x x ，且12x x <，（1）求实数a 的取值范围；（2）若21x >，求1()f x 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为323x ty t⎧=+⎪⎨=−−⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程： （2）若射线(0)3πθαα=<<与直线l 交于点A ，与曲线C 交于O ，B 两点，求OA OB ⋅的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()221f x x x =−++． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x R ∈，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求a b +的最小值．2020年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷 理科数学参考答案一、选择题1～6BCDBDA………7～12BACDBC 第7题：1sin cos sin sin sin sin()2A CBC B A C +===+ 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，解得1cos 2A =，即3A π=，2BA c ==又锐角ABC 中，cos CA CB ab ⋅=由14b <<可得题：由()(f x f x =+()(f x f =当,1[1x ∈−即得()f x 一个周期内的图像，()g x 的零点个数即为(6πα∈−sin(4α∴+sin 4sin α=12n S n ++=时取到最大值．4π，AC ∴APCS=）由题知COP ∠12AOCPOB POCSSSr ++=131sin cos sin 222θθ⎛++ ⎝1680a a =−⎧⎨>⎩2121x x x −−，………………29≤解得2x ≤时，49x +≤解得9≤解得3−≤综上，不等式解集为[33]−,；………………5时()04f =。

重庆市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．13．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．244．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．465．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．2169．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．重庆市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【分析】首先化简集合A和B，然后根据V enn图求出结果．【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}图中的阴影部分表示集合N去掉集合M∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}故选：B．2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可．【解答】解：复数z=1+=1+=i．1+z+z2+…+z2016=1+i+i2+…+i2016=1．故选：D．3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．24【考点】二项式系数的性质．【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1，即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．【解答】解：由题意（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024，故选：A．4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】程序框图．【分析】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n﹣1，然后判断p＞2016是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n﹣1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于2016时，输出n的值．【解答】解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（2×2﹣1）=1+3=4；判断4＞2016不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3﹣1）=1+3+5=9；判断9＞2016不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4﹣1）=1+3+5+7=16；…由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，由p=＞2016，且n∈N*，得n=45．故选：C．5．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故为假命题，故错误；②若x，y∈R，当“x≥2或y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，当“x2+y2≥4”时，“x≥2或y≥2”不一定成立，故“x ≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故正确；③当x=0时，y=log a（x+1）+1=1恒成立，故函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1），故正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故错误；故选：C6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，分2步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团，2种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44=24种情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C42•A33=36种情况，则除甲外的4人有24+36=60种情况；故不同的参加方法的种数为3×60=180种；故选C．9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos （β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|F1A|﹣|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|=2a，得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，解得x=a，∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）==a，∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．故选：A．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】二次函数的性质．【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，当x=1时，使F（1）=≠0；当x≠1时，解得a=，∴a′==0，得x=2或x=，（＜1，舍去），x （1，2） 2 （2，4）a′+0 ﹣a ↗最大值↘∴当x=2时，a最大==，所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，b===0.3，a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，当y=2时，x=8，故答案为：8．16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，即：2ax+2by=a2+8．O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA 的值，代入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B﹣3C，代入A+B+C=π得，B=+C，所以sinB=cosC＞0，∵，∴由正弦定理得，，则，①又sin2C+cos2C=1，②由①②得，cos2C=，则cosC=；（2）∵，b=3，∴c=，由（1）知sinB=cosC=，且B=+C，∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+（﹣）×=∴△ABC的面积S===．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．（Ⅱ）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100…．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM是二面角Q﹣BD ﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），从而得到满足题意的定点只能是（，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（，0）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，∴由题设，得，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），当A（1，），B（1，﹣）时，P（4，），直线BP：y=x﹣，当A（1，﹣），B（1，）时，P（4，﹣），直线BP：y=﹣x+，∴满足题意的定点只能是（，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．设A（x1，y1），B（x2，y2），∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y1）在直线BD上，由，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∵△=144（1+m2）＞0，∴，，①∵k DB﹣k DP=﹣=﹣==，①式代入上式，得k DB﹣k DP=0，∴k DB=k DP，∴点P（4，y1）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF 的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AD．…∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM•MB=DF•DA…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．把代入上述方程即可化为直角坐标方程．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）f（x）=|x﹣4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|=|2x+1|，当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|=9，所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，即a的取值范围是（9，+∞）．。

2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试（2020届康德卷6月三诊考试）理科数学试卷★祝考试顺利★一、选一择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。

已知集合2{|31},{|lg()},x x B x y x x -≤≤==-则A∩B=A ．(]0,1B ．(0,1) [].0,1C [).3,1D -2．在复平面内,复数z 对应点Z (x,y),若||||,z i z i -=+则A.0y = B ．[]0,0,1y x =∈ C ．0x = D ．[]0,0,1x y =∈3．命题p ：∀x ∈N,|2|3x +≥的否定为A ．∀x ∈N,|2|3x +<B ．∀x N,|2|3x +<C ．∃x ∈N,|2|3x +≥D ．∃x ∈N,|2|3x +<4．已知 2.122312log ,,225a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ． b a c <<5．设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为n S ,若92727,a a a ++=且89,S S =则d=A ．-3B ．-1C ．1D ．36.若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>则(||)0.6806,(||2)0.9544,(||3)0.9974.P X P X P X μσμσμσ-≤≈-≤≈-≤≈已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布()10100,N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为A ．159B ．46C ．23D ．137．已知向量()()12,34a b =-=r r ，，/,若向量→c 与→a 共线,且→c 在→b 则|→c |=A ．1B ．2C ．58．设α,β是空间中的两个平面,,m 是两条直线,则使得α∥β成立的一个充分条件是A ． ⊂α,m ⊂β,∥mB ．⊥m ,∥α,m ⊥αC ． ⊂α,m ⊂α,∥β,m ∥βD ．∥m ,⊥α,m ⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术,明代的律学家朱载填创建了十二平均律,并把十二平均律计算得十分精确,与当今的十二平均律完全相同,其方法是将一个八度音程(即相邻的两个具有相同名称的音之间,如图中88键标准钢琴键盘的一部分中,c 到1c 便是一个八度音程)均分为十二等分的音律,如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是c,d,e,f,g,a,b,则多出来的5个音符为c#(读做“升c”),d#,f#,g#,a#;12音阶为：c,c#,d,d#,e,f ．f#,g,g#,a,a#,b,相邻音阶的频率之比为1如图,则键盘c 和d 的频率之比为21即1键盘e 和f 的频率之比为1键盘c 和1c 的频率之比为1：2,由此可知,图中的键盘1b 和2f 的频率之比为A ．1B ．C :1D :1。

2020年高考（理科）数学第三次模拟试卷一、选择题.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，8}C．D．∅2．命题“∀x＞0，tan x＞sin x”的否定为（）A．∃x＞0，tan x≤sin x B．∃x≤0，tan x＞sin xC．∀x＞0，tan x≤sin x D．∀x≤0，tan x≤sin x3．已知复数z＝1+2i，则＝（）A．1+2i B．2+i C．1﹣2i D．2﹣i4．已知向量，，，且，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．任意实数5．已知n∈N*，且n＞1，三个数ln、、的大小关系是（）A．＞ln＞B．ln＞＞C．＞＞ln D．＞＞ln6．不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则的展开式中常数项为（）A．﹣64B．C．D．7．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．38．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．B．C．D．9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，以F1F2为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B为圆O与y轴正半轴的交点，若∠POF2＝∠QOB，则双曲线C的离心率为（）A．3+B．C．1+D．11．已知定义域为R的函数f（x），对任意x∈R有f'（x）＞f（x）（f'（x）是函数f（x）的导函数），若y＝f（x）﹣1为奇函数，则满足不等式f（x）＞e x的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）12．已知a，b＞0，，则当取最小值时，的值为（）A．2B．C．3D．4二、填空题13．不等式组所表示的平面区域的面积为．14．设数列{a n}的前n项和为S n，若，则S2018＝．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c＝2，cos A＝﹣，则a的值为．16．已知直线l1：x﹣2y＝2﹣2a，l2：2x+y＝4+a及圆M：x2+y2﹣4x﹣2ay+a2＝0，设直线l1，l2分别与圆M交于点A，B和点C，D，现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为．三、解答题17．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，AC＝BC，AD＝2，CD＝6．（Ⅰ）当△ACD的面积最大时，求△ABC的面积；（Ⅱ）若，求AB．18．李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行．英语听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读E（共4题）时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出1，2，5选A，丢出3选B，丢出6选D（已知4道题的正确答案依次为A，C，D，D）（1）求李华同学听力的6分的概率；（2）记随机变量李华做阅读E时做对的题数为ξ，求ξ的分布列与期望．19．设数列{a n}的前n项和S n，已知a1＝1，＝a n+1﹣﹣n﹣，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否对一切正整数n，有？说明理由．20．已知椭圆的离心率为，且过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作两直线l1与l2分别交椭圆C于A，B两点，若直线l1与l2的斜率互为相反数，求|AB|的最大值．21．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足（其中f'（x）是f（x）的导函数，e＝2.71828…），．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若对于任意正实数a，b都有成立，求x的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l被曲线C所截得的弦长为，求a的值；[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N}，集合B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，8}C．D．∅【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{1，2}．故选：A．2．命题“∀x＞0，tan x＞sin x”的否定为（）A．∃x＞0，tan x≤sin x B．∃x≤0，tan x＞sin xC．∀x＞0，tan x≤sin x D．∀x≤0，tan x≤sin x【分析】根据命题“∀x＞0，tan x＞sin x”是全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改为“∃”，“＞“改为“≤”即可得答案．解：∵命题“∀x＞0，tan x＞sin x”是特称命题，∴命题的否定为：∃x＞0，tan x≤sin x．故选：A．3．已知复数z＝1+2i，则＝（）A．1+2i B．2+i C．1﹣2i D．2﹣i【分析】先求出共轭复数，再求出z，再代入所求式子，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．解：∵z＝1+2i，∴，∴＝6，∴＝＝＝2+i，故选：B．4．已知向量，，，且，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．任意实数【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，解：∵向量，，，且，∴（﹣2）•＝（3，0）•（m，2）＝3m+0＝0，则实数m＝0，故选：B．5．已知n∈N*，且n＞1，三个数ln、、的大小关系是（）A．＞ln＞B．ln＞＞C．＞＞ln D．＞＞ln【分析】构造函数f（x）＝x﹣ln（1+x），x＞0，利用导数判断f（x）的单调性，得出x＞ln（1+x），令x＝得＞ln；同理，设g（x）＝ln（1+x）﹣，x＞0，得出ln＞，即得＞ln＞．解：设函数f（x）＝x﹣ln（1+x），x＞0，∴f′（x）＝1﹣＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）＞f（0）＝0，∴x＞ln（1+x）；令x＝，n∈N*，且n＞1，则＞ln（1+）＝ln；同理，设g（x）＝ln（1+x）﹣，x＞0，∴g′（x）＝﹣＝＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∴g（x）＞g（0）＝0，∴ln（1+x）＞；令x＝，n∈N*，且n＞1，∴ln（1+）＞，即ln＞；综上，＞ln＞．故选：A．6．不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则的展开式中常数项为（）A．﹣64B．C．D．【分析】由题意求得a的值，再利用二项展开式的通项公式，求得的展开式中常数项．解：∵不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，∴1和2是x2﹣ax+b＝0的两个实数根，∴1+2＝a，1×2＝b，即a＝3，b＝2，故，即，它的展开式的通项公式为T r+1＝••26﹣r•，令r﹣3＝0，求得r＝2 （不合题意），故展开式中常数项为••16＝，故选：D．7．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】求出抛物线的焦点坐标，渐近线方程，利用已知条件，列出关系式，求解双曲线的离心率即可．解：抛物线y2＝4x的焦点（1，0）到双曲线的渐近线bx﹣ay ＝0的距离是，可得：，可得b2＝3a2，所以c2＝4a2，因为e＞1，所以双曲线的离心率为e＝＝2，故选：C．8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列{}的前10项的和，采用裂项相消法可求解．解：由循环体的算法功能可知，该程序求的是数列{}的前10项的和．∵＝，所以＝＝．故选：B．9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】假设甲说的话是真话，推出来矛盾，则甲说的话是假话，然后判断其他人说的话即可．解：若甲说的是真话，则乙，丙说的也是真话，矛盾；则甲说的是假话，不是丁，则丙说的也是假话，乙丙说的是真话，因为乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”，且不是丁，所以是甲盗的．故选：A．10．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，以F1F2为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B为圆O与y轴正半轴的交点，若∠POF2＝∠QOB，则双曲线C的离心率为（）A．3+B．C．1+D．【分析】联立圆与双曲线的方程，求得P的坐标，tan∠QOF2＝tan∠POB，化简即可求得双曲线的离心率．解：∵∠POF2＝∠QOB，∴∠QOF2＝∠POB，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则tan∠QOF2＝，由题意可知：以线段F1F2为直径的圆的方程x2+y2＝c2，联立，解得x＝，y＝，∴tan∠POB＝，∴＝，即2+＝，∵e2＝1+，∴2+＝（e2﹣1）2，解得e＝，故选：D．11．已知定义域为R的函数f（x），对任意x∈R有f'（x）＞f（x）（f'（x）是函数f（x）的导函数），若y＝f（x）﹣1为奇函数，则满足不等式f（x）＞e x的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】令g（x）＝，根据f'（x）＞f（x），'可得g′（x）＝＞0，可得函数g（x）在R上单调性．利用单调性即可得出不等式g（x）＜g（0）的解集．解：令g（x）＝，又f'（x）＞f（x），'则g′（x）＝＞0，∴函数g（x）在R上单调递增．∵y＝f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1＝0，∴g（0）＝＝1．∴不等式＜1，即g（x）＜g（0）的解集为：{x|x＜0}．故选：A．12．已知a，b＞0，，则当取最小值时，的值为（）A．2B．C．3D．4【分析】由已知可利用基本不等式进行配凑即可求解．解：由得，，等号成立时，即b＝2a，此时故选：C．二、填空题13．不等式组所表示的平面区域的面积为8．【分析】不等式组等价于或，画出不等式组表示的平面区域，计算它的面积即可．解：不等式组等价于或，画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示；计算阴影部分的面积为S＝×4×4＝8．故答案为：8．14．设数列{a n}的前n项和为S n，若，则S2018＝1008．【分析】本题根据通项公式中正弦函数的性质可先分奇数项与偶数项分别分析，数列{a n}的奇数项是常数列，偶数项经过代入计算后又分为4的倍数项和非4的倍数项进行分析，再分别计算出前2018项中奇数项与偶数项分别的和，最后相加即可得到结果．解：由题意，可知①当n为奇数时，设n＝2k﹣1，k∈N*，则a n＝a2k﹣1＝（2k﹣1）•sin（π）+1＝（2k﹣1）•sin kπ+1＝1，∴数列{a n}的奇数项是常数列．∴a1+a3+…+a2017＝1+1+…+1＝1×1009＝1009．②当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则a n＝a2k＝2k•sin（π）+1＝2k•sin（kπ+）+1，（i）当k＝2m，m∈N*，即n＝4m时，a n＝a2k＝a2•2m＝2•2m•sin（2mπ+）+1＝4m+1＝n+1，（ii）当k＝2m﹣1，m∈N*，即n＝4m﹣2时，a n＝a2k＝a2•（2m﹣1）＝2•（2m﹣1）•sin（2mπ﹣）+1＝﹣（4m﹣2）+1＝﹣n+1，∴数列{a n}的偶数项为﹣1，5，﹣5，9，﹣9，…∵a4m+a4m+2＝4m+1﹣（4m+2）+1＝0，∴a4+a6＝0，a8+a10＝0，…，a2016+a2018＝0，∴a2+a4+…+a2018＝a2+（a4+a6）+（a8+a10）+…+（a2016+a2018）＝﹣1+0+0+…+0＝﹣1．∴S2018＝a1+a2+…+a2018＝（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2018）＝1009﹣1＝1008．故答案为：1008．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c＝2，cos A＝﹣，则a的值为8．【分析】由cos A＝﹣，A∈（0，π），可得sin A＝．利用S△ABC＝＝，化为bc＝24，又b﹣c＝2，解得b，c．由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A 即可得出．解：∵A∈（0，π），∴sin A＝＝．∵S△ABC＝＝bc＝，化为bc＝24，又b﹣c＝2，解得b＝6，c＝4．由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝36+16﹣48×＝64．解得a＝8．故答案为：8．16．已知直线l1：x﹣2y＝2﹣2a，l2：2x+y＝4+a及圆M：x2+y2﹣4x﹣2ay+a2＝0，设直线l1，l2分别与圆M交于点A，B和点C，D，现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为．【分析】由题可得l1⊥l2，且两直线的交点为（2，a）恰为圆M的圆心，把问题转化为正方形的面积与圆的面积之比即可．解：∵直线l1：x﹣2y＝2﹣2a，l2：2x+y＝4+a及圆M：x2+y2﹣4x﹣2ay+a2＝0，∴圆M：（x﹣2）2+（y﹣a）2＝4；∴l1⊥l2，且两直线的交点为（2，a）恰为圆M的圆心，所以ACBD为正方形，且对角线AB为圆的直径4，即正方形ACBD边长为．∴现随机向圆M内抛掷一粒黄豆，则黄豆落入四边形ACBD内的概率为：＝＝，故答案为：．三、解答题17．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，AC＝BC，AD＝2，CD＝6．（Ⅰ）当△ACD的面积最大时，求△ABC的面积；（Ⅱ）若，求AB．【分析】（Ⅰ）根据题意选择△ACD的面积公式，由于面积最大，可求角，然后求△ABC 的面积；（Ⅱ）选择合理的余弦定理，求AC，再求AB．解：（Ⅰ）由知当时，S△ACD最大，此时，，此时△ABC为等腰直角三角形；（Ⅱ），由余弦定理AC2＝CD2+AD2﹣2CD•AD cos D＝48所以AB2＝AC2+BC2﹣AC•BC cos∠ACB＝64，AB＝818．李华同学将参加英语考试，英语听力考试与笔试分开进行．英语听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，而后又进行了笔试，李华同学在做阅读E（共4题）时，没有看懂文章，李华同学十分纠结，决定用丢色子的方法选出答案，若丢出1，2，5选A，丢出3选B，丢出6选D（已知4道题的正确答案依次为A，C，D，D）（1）求李华同学听力的6分的概率；（2）记随机变量李华做阅读E时做对的题数为ξ，求ξ的分布列与期望．【分析】（1）每题2分，做对一题的概率为，得6分即做对3道题，利用X～B（5，），计算P（X＝3）即可；（2）由题意知随机变量ξ的可能取值，计算对应的概率值，再写出ξ的分布列，求出期望值值．解：（1）根据题意，听力一共五题，每题2分，李华同学做对一题的概率为，则听力得6分的概率为P＝••＝；（2）由题意，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4；则P（ξ＝0）＝×××＝，P（ξ＝1）＝×××+×××+×××+×××＝，P（ξ＝2）＝×××+×××+×××+×××+×××+×××＝，P（ξ＝3）＝×××+×××+×××+×××＝，P（ξ＝4）＝×××＝；则ξ的分布列为：ξ01234Pξ的期望值为E（ξ）＝0×+1×+2×+3×+4×＝1．19．设数列{a n}的前n项和S n，已知a1＝1，＝a n+1﹣﹣n﹣，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否对一切正整数n，有？说明理由．【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）对一切正整数n，有．考虑当n≥3时，＝＜＝（﹣），再由裂项相消求和，即可得证．解：（1）∵＝a n+1﹣﹣n﹣，∴2S n＝na n+1﹣n3﹣n2﹣n＝na n+1﹣，①∴当n≥2时，2S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣，②由①﹣②，得2S n﹣2S n﹣1＝na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），∵2a n＝2S n﹣2S n﹣1，∴2a n＝na n+1﹣（n﹣1）a n﹣n（n+1），∴﹣＝1，∴数列{}是以首项为1，公差为1的等差数列．∴＝1+1×（n﹣1）＝n，∴a n＝n2（n≥2），当n＝1时，上式显然成立．∴a n＝n2，n∈N*．（2）对一切正整数n，有．证明：当n≥3时，＝＜＝（﹣），可得++…+＝1++（﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝+﹣（+）＝﹣（+），由（+）﹣＝（﹣）＝＞0，可得（+）＞，即有﹣（+）＜﹣，则当n≥3时，不等式成立；检验n＝1，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n，有．20．已知椭圆的离心率为，且过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P作两直线l1与l2分别交椭圆C于A，B两点，若直线l1与l2的斜率互为相反数，求|AB|的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题意，列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AP为y＝k（x﹣2）+1，则直线BP为y＝﹣k（x﹣2）+1，联立直线AP 与椭圆方程，利用韦达定理求出点A的坐标，同理求出点B的坐标，再利用基本不等式即可求出|AB|的最大值．解：（Ⅰ）由题意有：，解得，∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）设直线AP为y＝k（x﹣2）+1，则直线BP为y＝﹣k（x﹣2）+1，联立方程有：⇒（2k2+k）x2+（4k﹣8k2）x+（8k2﹣8k﹣4）＝0，，则，同理可得：，．所以．21．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足（其中f'（x）是f（x）的导函数，e＝2.71828…），．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若对于任意正实数a，b都有成立，求x的取值范围．【分析】（Ⅰ）对g（x）求导，并且把已知代入可得：g′（x）＝e x•，利用其单调性即可得出g（x）的最大值．（Ⅱ）两次利用基本不等式的性质可得++≥f（），等号成立时即，由题，由（Ⅰ），得进而得出函数f（x）单调递减，即可得出x的取值范围．解：（Ⅰ）＝，所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，∴．（Ⅱ），等号成立时即，由题①由（Ⅰ），得，又得f'（x）≤0，f（x）单调递减，所以①式等价于，即．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l被曲线C所截得的弦长为，求a的值；【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．解：（Ⅰ），曲线C：x2+y2﹣2ax+2ay＝4，直线l：y＝x﹣3a，（Ⅱ）圆心为（a，﹣a）到直线l的距离，圆C：（x﹣a）2+（x+a）2＝2a2+4的半径为，直线l被曲线C所截得的弦长，解得a＝±2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由f（x）＞0得|2x﹣1|＞|x﹣3|，两边平方后，化为一元二次不等式，解出即可；（Ⅱ）问题即为m2﹣4|m|＞|2x﹣1|﹣|2x﹣6|恒成立，利用绝对值不等式的性质可得m2﹣4|m|＞5，解出即可．解：（Ⅰ）f（x）＞0即为|2x﹣1|＞|x﹣3|，∴|2x﹣1|2＞|x﹣3|2，即4x2﹣4x+1＞x2+9﹣6x，∴3x2+2x﹣8＞0，解得或x＜﹣2，∴不等式的解集为；（Ⅱ）m2﹣4|m|+|x﹣3|＞|2x﹣1|﹣|x﹣3|即m2﹣4|m|＞|2x﹣1|﹣|2x﹣6|恒成立，由||2x﹣1|﹣|2x﹣6||≤|（2x﹣1）﹣（2x﹣6）|＝5（x＝3时等号成立），可知m2﹣4|m|＞5，解得|m|＞5，∴m＞5或m＜﹣5，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．。

绝密★启用前2020届重庆市高三高考模拟调研（三）（康德卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{}2230,N A x x x x =--<∈，集合{}2xB y y ==，则A B =I ( )A ．{}1,2B ．{}1,2,8C ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．∅答案A求出集合A 、B ，利用交集的定义可得出集合A B I . 解：{}{}{}2230,N 13,N 0,1,2A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=Q ，{}{}20x B y y y y ===>，因此，{}1,2A B =I .故选：A. 点评：本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解以及指数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．命题“0x ∀>，tan sin x x >”的否定为（ ） A ．0x ∃>，tan sin x x ≤ B ．0x ∃≤，tan sin x x > C ．0x ∀>，tan sin x x ≤ D ．0x ∀≤，tan sin x x ≤答案A利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果. 解：命题“0x ∀>，tan sin x x >”为全称命题，其否定为“0x ∃>，tan sin x x ≤”， 故选：A. 点评：本题考查全称命题否定的改写，属于基础题. 3．已知复数12z i =+，则55zz iz-+=（ ）A ．12i +B ．2i +C ．12i -D ．2i -答案B利用复数的乘法和除法法则可计算出结果. 解：12z i =+Q ，则2125z z ⋅=+=，因此，()()()5125552121212i i zz i ii z i i i --+===+++-. 故选：B. 点评：本题考查复数的计算，涉及复数的乘法和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．已知向量()1,2a =r，()11b =-r ,，(),2c m =r ，且()2-⊥r r r a b c ，则实数m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．任意实数答案B计算出向量2a b -r r的坐标，由()2-⊥r r r a b c 得()20a b c -⋅=r r r ，结合向量数量积的坐标运算可求得实数m 的值. 解：()1,2a =rQ ，()11b =-r ,，()23,0a b ∴-=r r ，(),2c m =rQ ，()2-⊥r r r a b c ，则()230a b c m -⋅==r r r ，解得0m =.故选：B. 点评：本题考查利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题. 5．已知n *∈N ，且1n >，三个数1ln n n +、11n +、1n的大小关系是（ ） A ．111ln 1n n n n +>>+ B ．111ln 1n n n n +>>+ C ．111ln1n n n n +>>+ D ．111ln1n n n n+>>+ 答案A试题分析：令()ln(1)f x x x =+-，则1()111xf x x x'=-=-++，当0x >时，()0f x '<，所以()f x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以当0x >时，()ln(1)(0)0f x x x f =+-<=恒成立，即ln(1)x x +<恒成立，令1x n=得，11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即11ln n n n+⎛⎫<⎪⎝⎭；令()ln(1)1xg x x x =+-+，则()()2211()0111x x x g x x x x +-'=-=>+++，所以()g x 在区间[0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()ln(1)(0)01x g x x g x =+->=+，即ln(1)1x x x +>+，令1x n=得11ln 111n n n⎛⎫+> ⎪⎝⎭+，即11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭.综上所述有111ln 1n n n n +>>+，故选A. 【考点】1.导数与函数单调性；2.函数与数列不等式.6．不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则6x a ⎫-⎪⎭的展开式中常数项为( ) A ．64- B ．16027-C ．2027D ．803答案D利用一元二次不等式的解可求得实数a 的值，进而写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解. 解：由题意可知，1、2是二次方程20x ax b -+=的两根，由韦达定理得123a =+=，所以63x ⎫-⎪⎭的展开式通项为633621661233rr rr r r r r x T C C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=，得2r =，因此，二项展开式中常数项为22436180233T C ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭. 故选：D. 点评：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于中等题.7．抛物线24y x =的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．3答案C求出抛物线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求出ba的值，再利用离心率公式可求得双曲线的离心率的值. 解：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 由题意得2231b a d b a ==+，解得3ba=， 因此，该双曲线的离心率为222212c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 点评：本题考查抛物线和双曲线几何性质的应用，在涉及利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为方便，考查计算能力，属于中等题. 8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．919B ．1021C ．1819D ．2021答案B根据程序框图得出2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L ，利用裂项相消法可求得输出的S 的值. 解：()()21111141212122121i i i i i ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭Q，由程序框图可知，输出的S 的值为2221114114214101S =+++⨯-⨯-⨯-L 1111111012335192121⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭L . 故选：B. 点评：本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.9．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁答案A分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果． 解：①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.故选：A.点评：本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．10．已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，O为坐标原点，以12F F为直径的圆O与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P、Q，点B 为圆O与y轴正半轴的交点，若2POF QOB∠=∠，则双曲线C的离心率为（）A．35+B．352+C．15+D．152+答案D画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为by xa=，以12F F为直径的圆O的方程为222x y c+=．由222by xax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x ay b=⎧⎨=⎩，故点P的坐标为(,)a b；由22222221x ya bx y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得22x b cbyc⎧=+⎪⎨=⎪⎩，故点Q的坐标为22()a b c bc+．∵2POF QOB∠=∠，∴2sin sinPOF QOB∠=∠，∴222b b cc c+=，整理得2b ac=，∴22c a ac-=，故得210e e--=，解得152e+=．选D．。