2020版高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲学案理解析版

第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示名称定义表示向量在平面中,既有又有的量用a,b,c ,…或,,…表示向量的模向量a的,也就是表示向量a的有向线段的(或称模)或零向量长度为的向量用表示单位向量长度等于个单位的向量用e表示,|e|=平行向量方向或相反的非零向量(或称共线向量)a∥b相等向量相等且方向的向量a=b相反向量相等,方向的向量向量a的相反向量是说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量的运算法则(1)加法交换律:a+b= ;(2)加法结合律:(a+b)+c=法则减法减去一个向量相当于加上这个向量的法则a-b=数乘实数λ与向量a的积是一个,这种运算叫作向量的,记作(1)|λa|=.(2)当λ>0时,λa与a的方向;当λ<0时,λa与a的方向;当λ=0时,λa=(1)对向量加法的分配律:λ(a+b)= ;(2)对实数加法的分配律:(λ1+λ2)a=3.向量的共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使.常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0⇔P为△ABC的重心.4.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图4-24-1所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论:(1)++=0;(2)=(+);(3)=(+),=(+).图4-24-15.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.题组一常识题1.[教材改编]-+-+++= .2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.图4-24-23.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则= .4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ=.题组二常错题◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是 ()A.a=2bB.a∥bC.a=--bD.a⊥b(2)给出下列说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是.[总结反思] 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC 上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.①④B.③④C.②③D.①②探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶1(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.[总结反思] 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,图4-24-4在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A. B. C. D.[总结反思] 向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4[2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m 的值为()A.-2B.-4C.1D.4[总结反思] 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|= .5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O 的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n= .图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ= ()A.-B.-2C.D.2[总结反思] 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.考向2三点共线的问题6 (1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2[总结反思] (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数. (2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b 共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.±14.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=()A. B. C. D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算向a b a+b a-bλa量坐(x1,y1) (x2,y2)标(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||= .3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为,;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为,.题组一常识题1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为.图4-25-13.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量= .4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y= .题组二常错题◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为.6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m= .课堂考点探究探究点一平面向量的基本定理1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=,e2=(1,-2)(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC 上一点,且=λ,则λ的值为()A.4B.5C.6D.7[总结反思] (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=()A. B.2 C. D.1探究点二平面向量的坐标运算2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-2,1)(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)[总结反思] (1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.式题 (1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.B.C.D.探究点三平面向量共线的坐标表示3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()A. B.-C. D.-[总结反思] (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.式题 (1)若A(-2,3),B(3,-2),C,m三点共线,则m=()A. B.-C.-2 D.2(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()A.-2B.2C.-D.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课前双击巩固1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= ,并规定零向量与任一向量的数量积为,即.(2)几何意义①向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.②向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积.(3)向量的夹角已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b 的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ.①交换律:;②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);③分配律:(a+b)·c= .3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.①e·a=a·e= .②a⊥b⇔.③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .特别地,a·a= 或|a|= .④cos θ= .⑤|a·b| |a||b|.4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).向量表示坐标表示向量a的|a|=模|a|=a,b的数a·b=|a||b|cos θa·b=量积a与b垂直a⊥b⇔a·b=0a⊥b⇔a,b的夹cos θ=角cos θ=常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)= .2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为.3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|= .4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ=.5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题◆索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= .7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x= .(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·= .[总结反思] 向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题 (1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=()A. B.-C. D.-(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b= . 探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为()A.1B.C.D.[总结反思] (1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:①a2=a·a=|a|2或|a|=;②|a±b|==;③若a=(x,y),则|a|=.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.a⊥bB.a∥bC.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=()A.-9B.9C.6D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为.图4-26-1[总结反思] (1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时, 要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考向3平面向量的夹角4 (1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为()A. B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m= .(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c与b的夹角相等,则m= .[总结反思] (1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ=求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足=2,=3,向量a与b的夹角为60°,则|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,,b=(,-1),则a与b的夹角为()A. B.C. D.3.【考向3】[2018·益阳调研]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b 的夹角为θ,则tan θ=.4.【考向2】[2018·德州期中]已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=1,若=λ+,且⊥,则实数λ的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】△ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2++=0,||=||,则·= .探究点三平面向量与三角函数的综合5 [2018·洛阳期中]已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若a⊥b,求tan 2x的值;(2)令f(x)=a·b,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心.[总结反思] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].(1)若(a+b)∥c,求x的值;(2)若a·b=,求sin x+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+b i为实数;若,则a+b i为虚数;若,则a+b i为纯虚数.(2)复数相等:a+b i=c+d i⇔ (a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+b i与c+d i共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作或,即|z|=|a+b i|= .2.复数的几何意义(1)复数z=a+b i←复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)←平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)= ;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)= ;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)= ;④除法:=== (c+d i≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .常用结论1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|z n|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.[教材改编]若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.[教材改编]复数z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.[教材改编]已知i是虚数单位,则复数= .题组二常错题◆索引:将复数a+b i(a,b∈R)的虚部误认为是b i;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z= .6.若复数z满足=i2018+i2019(i为虚数单位),则z= .课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)[2017·河南六校联考]设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部是 ()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b= .[总结反思] 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题 (1)[2017·烟台一模]设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=() A.-1 B.1C.-2D.2(2)已知复数z=是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)[2017·保定一模]在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i[总结反思] (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+b i(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+b i(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题 (1)[2017·赣州二模]已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.B.C.D.(2)[2017·南宁二模]复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a<0B.0<a<1C.a>1D.a<-1探究点三复数的代数运算3 (1)[2017·全国卷Ⅱ] (1+i)(2+i)= ()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)若复数(1+m i)(3+i)(i是虚数单位,m∈R)是纯虚数,则=()A.1B.2C.3D.4[总结反思] (1)把i看作一个字母,复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算;(2)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(3)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+b i,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.式题 (1)[2017·合肥质检]已知i为虚数单位,则=()A. B.C.D.(2)[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A. B.C.D.2第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入1.编写意图本单元内容是高中数学中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强学生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识网络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.2.教学建议本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.3.课时安排本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.第24讲平面向量的概念及其线性运算考试说明 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.2.理解向量的几何意义.3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析考点考查方向考例考查热度平面向量的概念概念辨析、应用等★☆☆平面向量的线性运算加、减、数乘运算及其应用2016全国卷Ⅱ3,2015全国卷Ⅰ7★★☆共线向量根据向量共线确定参数值、应用等2015全国卷Ⅱ13 ★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-[解析] A由题意知=+=+=+(-)=-+.2.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=. [答案][解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.■ [2016-2015]其他省份类似高考真题[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析] D若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.【课前双基巩固】知识聚焦1.大小方向大小长度|a| || 001 1相同长度相同长度相反-a 不确定的任意的平行2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘λa|λ||a|相同相反0λa+λbλ1a+λ2a3.b=λa对点演练1.[解析] -+-+++=(++++)-(+)=.2.(4)[解析] 根据向量的概念可知(4)错误.3.(a+b)[解析] ∵+=,+=,=-,∴=(+)=(a+b).4.2[解析] 因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得所以λ=2.5.②[解析] 对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.6.等腰梯形[解析] =表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.7.[2,6][解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b 不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b 方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)C(2)①②[解析] (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.变式题(1)D(2)A[解析] (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.例2[思路点拨] (1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定△ABC的形状.(1)D(2)直角三角形[解析] (1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB与△AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB与△AOC的面积之比为2∶1.(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故⊥,即△ABC为直角三角形.。

《平面向量》全章复习与巩固【学习目标】1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示;2.向量的线性运算(1)通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义;(2)通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义;(3)了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义;(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;(3)会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系;(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一:向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:a b c等.(1)字母表示法:如,,,(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.,x y,则(3)坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为() (),x y称为OA的坐标,记为OA＝(),x y.3.相等向量:=.长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为a b4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量. 7.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 要点二、向量的运算 1.运算定义OB OA -＝(x 2-xcos a b a b =⋅a b ⋅＝x 1x 2+y 1y 22.运算律 加法:①a b b a +=+(交换律); ②()()a b c a b c ++=++(结合律) 实数与向量的乘积:①()a b a b λλλ+=+; ②()a a a λμλμ+=+;③()()a a λμλμ= 两个向量的数量积:①a →·b →＝b →·a →; ②(a λ→)·b →＝a →·(b λ→)＝λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →＝a →·c →+b →·c →3.运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理:如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+,称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则→--OA ＝(x,y);当向量起点不在原点时,向量→--AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则→--AB ＝(x 2-x 1,y 2-y 1)(2)两个向量平行的充要条件 符号语言:)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ坐标语言为:设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==,则a →∥b →⇔(x 1,y 1)＝λ(x 2,y 2),或x 1y 2-x 2y 1＝0. (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言:⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a坐标语言:设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==,则⇔⊥→→b a 02121=+y y x x (4)两个向量数量积的重要性质:①22||→→=a a 即 2||→→=a a (求线段的长度);②⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a (垂直的判断); ③cos a b a bθ⋅=⋅ (求角度).要点诠释: 1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算,将数和形有机结合,并能利用向量运算完成简单的几何证明;(2)向量的加法表示两个向量可以合成,利用它可以解决有关平面几何中的问题,减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点),指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路:先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式,再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用:①证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件)0(//→→→→→→≠=⇔b b a b a λ⇔(x 1,y 1)＝λ(x 2,y 2)②证明垂直问题,常用垂直的充要条件⇔⊥→→b a 0=⋅→→b a ⇔02121=+y y x x③求夹角问题,利用cos a b a bθ⋅=⋅222221212121y x y x y y x x +++=④求线段的长度,可以利用2||→→=a a 或12(PP x =【典型例题】类型一:平面向量的概念 例1.给出下列命题: ①若|a |＝|b |,则a ＝b ;②若A,B,C,D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若a ＝b ,b ＝c ,则a ＝c ;④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a //b ; ⑤ 若a //b ,b //c ,则a //c ; 其中正确的序号是 .(2)设0a 为单位向量,(1)若a 为平面内的某个向量,则0a a a =⋅;(2)若a 与0a 平行,则0a a a =⋅;(3)若a 与0a 平行且1a =,则0a a =.上述命题中,假命题个数是( )A.0B.1C.2D.3【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。

第四章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算[考纲解读] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2020年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□01b ＝λa .1．概念辨析(1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，则AE →＝14(AC →＋AB →)．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0答案 C解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若a ＝b ，则a 与b 方向相同，故a ∥b ；D 错误，若|a |＝0，则a ＝0.(2)如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A.AP →＝13AB →B.AQ →＝23AB →C.BP →＝－23AB →D.AQ →＝BP →答案 D解析 由题意得，AQ →＝－BP →，故D 错误．(3)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA →＝a ＋2b ，BC →＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析 因为BA →＝a ＋2b ，所以AB →＝－a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－a －2b )＋(4a －4b )＝3a －6b ＝－3(－a ＋2b )＝－3CD →.所以AC →∥CD →，所以A ，C ，D 三点共线．(4)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以DC →＝AB →，OC →＝－OA →＝－a ， 所以DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－a －b .题型 一 平面向量的基本概念1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB →＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b . 答案 ①②③④⑤解析 对于①，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同． 对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0时，λ不存在． 对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b .故①②③④⑤均错误．有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1．给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四个点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中正确说法的序号是( )A ．①④B ．③④C ．②③D ．①② 答案 A解析 ①④正确；②错误，因为a ，b 的方向不一定相同；③错误，AB →＝－BA →.2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中正确命题的序号为________． 答案 ②解析 ①错误，例如△ABC 中，AB →与CB →有公共终点，但不是共线向量；②正确；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线．题型 二 向量的线性运算1．下列四个结论： ①AB →＋BC →＋CA →＝0； ②AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝0； ③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝0. 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①正确；②错误，AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →≠0；③正确，AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →－AC →)＋(BD →＋DC →)＝CB →＋BC →＝0，④正确，NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0.2．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a|>|b| 答案 A解析 解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2. ∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b . ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.条件探究1 把举例说明3的条件改为“点D 在BC 边上且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ”，试用AB →，AC →表示CE →.解 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得 CE →＝AE →－AC →＝13AD →－AC →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →－AC →＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋13(AC →－AB →)－AC →＝29AB →－89AC →.条件探究2 把举例说明3的条件改为“D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0”，试用AB →，CD →表示AE →.解 因为D 为AB 的中点， 所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋12AB →， 所以AC →＝12AB →－CD →.又因为2CE →＋BE →＝0，所以2(AE →－AC →)＋(AE →－AB →)＝0， 所以3AE →＝2AC →＋AB →， 所以AE →＝23AC →＋13AB →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－CD →＋13AB →＝23AB →－23CD →.1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．向量线性运算的两个常用结论(1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)，如举例说明3.(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0.1．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB → C ．2OA →－OB → D ．－OA →＋2OB →答案 C解析 因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.2．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接CD ，OC ，由题意得∠CDA ＝∠BAD ＝∠CAD ，所以CD ∥AB ，CD ＝AC ，易证△AOC 为等边三角形，所以AC ＝12AB ，所以CD →＝12AB →，所以AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋12AB →＝b ＋12a ＝12a ＋b .题型 三 共线向量定理的应用角度1 证明向量共线或三点共线1．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上D ．点P 在△ABC 外部 答案 C解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →，所以A ，P ，C三点共线，且P 是线段AC 的三等分点(靠近A )．角度2 由向量共线求参数的值2．(2018·贵州适应性测试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB →＝e 1＋m e 2，AC→＝n e 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1 答案 A解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB →＝λAC →，所以有e 1＋m e 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎨⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．(5)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对答案 C解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，所以AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．2．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →.又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2，∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，∴⎩⎨⎧ λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.。

第2节　平面向量基本定理及其坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.[考纲展示]考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a = .我们把不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解.不共线λ1e 1+λ2e 2互相垂直单位向量3.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个i ,j 作为基底,a 为坐标平面内的任意向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a =x i +y j ,这样,平面内的任一向量a 都可由x,y唯一确定,我们把实数对 叫作向量a 的坐标,记作 .(2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1).4.平面向量的坐标运算(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b = ;(2)若a =(x,y),则λa =(λx,λy).(x,y)a =(x,y)(x 1±x 2,y 1±y 2)5.向量共线的充要条件的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ .x1y2-x2y1=0对点自测B1.已知e 1,e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是( )(A)e 1+e 2和e 1-e 2 (B)3e 1-2e 2和4e 2-6e 1(C)e 1+2e 2和e 2+2e 1 (D)e 2和e 1+e 2解析:因为4e 2-6e 1=-2(3e 1-2e 2),所以3e 1-2e 2与4e 2-6e 1共线,又作为一组基底的两个向量一定不共线,所以它们不能作为一组基底.故选B.D2.(2018·三明月考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( )(A)(5,7)(B)(5,9)(C)(3,7)(D)(3,9)解析:2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.A 3.(2018·湖南省永州市一模)已知a =(1,-1),b = (1,0),c=(1,-2),若a 与m b -c平行,则实数m等于( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3解析:由题m b -c=(m-1,2),又因为a 与m b -c平行,所以1×2=-(m-1),m=-1,故选A.4.(教材改编题)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为 .答案:(1,5)5.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 .答案:-3考点专项突破 在讲练中理解知识考点一　平面向量基本定理及其应用反思归纳(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.考点二　平面向量的坐标运算【例2】 (1)向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b为( ) (A)(-3,4)(B)(3,4)(C)(3,-4)(D)(-3,-4)答案:(1)A　(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .答案:(2)(2,4).反思归纳(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.【跟踪训练2】 (1)(2018·福州模拟)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( )(A)(5,7)(B)(5,9)(C)(3,7)(D)(3,9)解析:(1)2a+b=2×(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.(2)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c等于( )(A)(-23,-12)(B)(23,12)(C)(7,0) (D)(-7,0)解析:(2)3a-2b+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=-12,故选A.考点三　共线向量的坐标表示答案:(1)B　(2)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .反思归纳(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(b≠0),则a=λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.答案:(1)A(2)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)∥(m-n),则λ= .解析:(2)因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0.答案:(2)0备选例题【例2】 已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意得a+b=(2,2+m),由m=-6得a+b=(2,-4),因为(-1)×(-4)=-2×2=0,所以a∥(a+b);由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件,故选A.点击进入应用能力提升。

第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节　平面向量的概念及线性运算[考纲传真]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b三角形法则a －b ＝a ＋(－b )的差数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .[常用结论]1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋A n －1A n ＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而A 1A 2→ A 2A 3→ A 3A 4→ A 1An →成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则＝(＋)．OP → 12OA → OB →3.＝x ＋y (x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1.OA → OB → OC →4．△ABC 中，＋＋＝0⇔点P 为△ABC 的重心．PA → PB → PC →[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则＝(＋)．( )AD → 12AC → AB →[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )A.＝B.与共线EF → CD →AB → DE →C.与是相反向量D.＝||BD → CD →AE → 12AC →D [选项D 中，＝，故D 错误．]AE → 12AC →3．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由a ＋b ＝0得a ＝－b ，根据向量共线定理知a ∥b ，但a ∥b D ⇒/a ＋b ＝0，故选A.]4．(教材改编)如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若＝a ，＝b ，用a ，b 表示为AB → AD → MD →( )A.a ＋bB.a －b 12121212C ．－a －bD ．－a ＋b12121212D [＝＝＝＝－a ＋b ，故选D.]MD → 12BD → 12(AD → －AB → )12(b －a )12125．(教材改编)化简：(1)(＋)＋＋＝________.AB → MB → BO → OM →(2)＋＋－＝________.NQ → QP → MN → MP →(1)　(2)0　[(1)原式＝＋＋＋＝.AB → AB → BO → OM → MB → AB → (2)原式＝＋＝0.]NP → PN →平面向量的有关概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且＝，则ABCD 为平行四边形；AB → DC →③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A ，B ，C ，D 是不共线的四AB → DC → AB → DC → AB → DC →点，所以四边形ABCD 为平行四边形．③是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．]2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a|a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.][规律方法]　辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量是长度都是一个单位长度的向量.,(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.平面向量的线性运算【例1】　(1)在四边形ABCD 中，＝，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中BC → AD →点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则( )A.＝＋B.＝＋AF → 13AC → 23BD →AF → 23AC → 13BD → C.＝＋ D.＝＋AF → 14AC → 23BD →AF → 23AC → 14BD →(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC .若＝λ1＋λ21223DE → AB →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．AC →(1)B (2)　[(1)在四边形ABCD 中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD 为平12BC → AD →行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF ∽△BEA ，则＝，所以＝＝DE → 13EB → DF → 13AB → CF → 23CD → 23＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选(OD → －OC → )23BD → －AC → 2BD → －AC → 3AF → AC → CF → AC →BD → －AC → 323AC → 13BD →B.(2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，DE → DB → BE → 12AB → 23BC → 12AB → 23BA → AC →16AB → 23AC → 1623即λ1＋λ2＝.]12[规律方法]　向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，＝3，则( )BC → CD →A.＝－＋B.＝－AD →13AB → 43AC → AD → 13AB → 43AC → C.＝＋ D.＝－AD → 43AB → 13AC →AD → 43AB → 13AC →(2)在△ABC 中，点M ，N 满足＝2，＝.若＝x ＋y ，则x ＝AM → MC → BN → NC → MN → AB → AC →________；y ＝________.(1)A (2)　－　[(1)因为＝3，1216BC → CD →所以＝，CD → 13BC →所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A.AD → AC → CD → AC → 13BC → AC → 13AC → AB →13AB → 43AC →(2)由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x ＋yMN → MC → CN → 13AC → 12CB → 13AC → 12AB → AC → 12AB → 16AC → AB → ，所以x ＝，y ＝－.]AC →1216共线向量定理的应用【例2】　设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；AB → BC → CD →(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解]　(1)证明：∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，AB → BC → CD →∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )BD → BC → CD →＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5.AB →∴，共线，又∵它们有公共点B ，AB → BD →∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.[规律方法]　共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A ，B ，C 三点共线．AB → AC →(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．(1)已知向量＝a ＋3b ，＝5a ＋3b ，＝－3a ＋3b ，则( )AB → BC → CD →A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)(2019·黄山模拟)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )A ．－4B ．－ C. D ．41414(1)B (2)B [(1)∵＝＋＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2，∴，共线，又有公共BD → BC → CD → AB → BD → AB →点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由题意知m ＝k n ，即4a ＋b ＝k (a －λb )．∴Error!解得Error!故选B.]1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则＝( )EB →A.－B.－34AB → 14AC →14AB → 34AC → C.＋ D.＋34AB → 14AC →14AB → 34AC →A [由题可得＝＋＝－(＋)＋＝－，故选A.]EB → EA → AB → 14AB →AC → AB → 34AB → 14AC →2．(2014·全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则＋EB → FC→＝( )A. B.BC →12AD → C. D.AD →12BC →C [如图，＋＝＋＋＋EB → FC → EC → CB → FB → BC→＝＋＝(＋)EC → FB → 12AC → AB →＝·2＝.]12AD →AD → 3．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.　[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，12即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴Error!解得Error!]。

高考数学一轮复习第4章第1节平面向量的概念及其线性运算学案文【考纲下载】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a (a≠0)与b共线的充要条件是当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反．2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．3．λ＝0与a ＝0时，λa 的值是否相等？提示：相等，且均为0.4．当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立吗？提示：成立．1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )A ．有不相等的模B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析：选C 若a 与b 都是零向量，则a ＝b ，故选项C 正确．2．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线解析：选D 可举特例，当n ＝0时，满足m ∥n ，n ∥k ，故A 、B 、C 选项都不正确，故D 正确．3．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD 等于( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BA C ．BC －12BA D ．BC ＋12BA 解析：选A如图，由于D 是AB 的中点，所以CD ＝CB ＋BD ＝CB ＋12BA ＝－BC ＋12BA 4．(教材习题改编)化简OP －QP ＋MS －MQ 的结果为________．解析：OP －QP ＋MS －MQ ＝(OP ＋PQ )＋(MS －MQ )＝OQ ＋QS ＝OS . 答案：OS5．已知a 与－b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为________．解析：∵a ＋λb 与－(b －3a )共线，∴存在实数μ，使a ＋λb ＝μ(3a －b )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3μ，λ＝－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝13，λ＝－13.答案：－13易误警示(四)平面向量的线性运算中的易误点[典例] (2013·广东高考)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解题指导] 利用三角形法则和平行四边形法则逐项作出判断．[解析] 对于①，因为a 与b 给定，所以a －b 一定存在，可表示为c ，即c ＝a －b ，故a ＝b ＋c 成立，①正确；对于②，因为b 与c 不共线，由平面向量基本定理可知②正确；对于③，由题意必有λb 和μc 表示不共线且长度不定的向量，由于μ为正数，故λb ＋μc 不能把任意向量a 表示出来，故③错误；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |，故④错，因此正确的个数为2.[答案] B[名师点评] 1.本题若对向量加法的几何意义理解有误或作图不准，易误认为③也是正确的，从而错选C.2．进行向量的线性运算时，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解．下列命题中正确的是( )A ．向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB ＋BC ＋CA ＝0C ．不等式||a |－|a ＋b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立D ．向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线解析：选D 若a ＝0，b ≠0，此时a ，b 共线，但对任意实数λ都不满足b ＝λa ，故选项A 不正确；AB ＋BC ＋CA ＝0而不是0，故选项B 不正确；当a ，b 中至少有一个为0时，两个等号同时成立，故选项C 不正确；因为向量a 与b 不共线，所以a ，b ，a ＋b 与a －b 均为非零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a＝(1＋λ)b ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，方程组无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线，故选D.。

2020年高考数学一轮复习第四章第1节平面向量的概念及其线性运算1.给出以下六个命题：①两个向量相等，那么它们的起点相同，终点相同；②假设|a|＝|b|，那么a＝b；③假设AB＝DC，那么四边形ABCD为平行四边形；④在▱ABCD中，一定有AB＝DC；⑤假设m＝n，n＝p，那么m＝p；⑥假设a∥b，b∥c，那么a∥c，其中不．正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5解析：两向量起点相同，终点相同，那么两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，因此a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，假设b＝0，那么a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的选项是③④⑤.答案：B2．以下四个命题，其中正确的个数有()①关于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb②关于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na③假设ma＝mb(m∈R)，那么有a＝b④假设ma＝na(m，n∈R，a≠0)，那么有m＝nA．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有③不正确，∵a≠b，m＝0时，ma＝mb也成立，其余①②④均成立．答案：C向量的线性运算3.假设A、B、C、D是平面内任意四点，给出以下式子：①AB＋DC＝BC＋DA；②AC＋BD ＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB ，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC ＋CB ＝AD ＋DB ＝AB 成立；③式的等价式是－DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立．答案：C4．如下图，D 是△ABC 的边AB 的中点，那么向量CD ＝ ( )A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BA C ．BC －12BA D. BC ＋12BA 解析：CD ＝CB ＋BD ＝－BC ＋12BA . 答案：A5．(2018·安徽高考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分不是边CD 和BC 的中点．假设AC ＝λAE ＋μAF ，其中，λ，μ∈R ，那么λ＋μ＝________.解析：如图，∵ABCD 为▱，且E 、F 分不为CD 、BC 中点．∴AC ＝AD ＋AB＝(AE －DE )＋(AF －BF )＝(AE ＋AF )－12(DC ＋BC ) ＝(AE ＋AF )－12AC ， ∴AC ＝23(AE ＋AF )， ∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案：436．如图，假设四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分不是DC ，AB 的中点，＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .解：AB ＝BA ＋AD ＋DC ＝－a ＋b ＋c .∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ， MN ＝MC ＋CB ＋BN ，∴2MN ＝MD ＋DA ＋AN ＋MC ＋CB ＋BN ＝DA ＋CB ＝－AD ＋CB ＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c ，∴MN ＝12a －b －12c . DN ＋CN ＝DM ＋MN ＋CM ＋MN＝2MN ＝a －2b －c .7.(2018·湖南高考)关于非零向量 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ＝0明白a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立. 由a ∥b 知a ＝λb.λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立．答案：A8．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 1、b ＝－e 1＋e 2，那么向量e 1＋e 2能够表示另一组基向量a 、b 的线性组合，那么e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：设e 1＋e 2＝xa ＋yb ，即e 1＋e 2＝(x －y )e 1＋(2x ＋y )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，2x ＋y ＝1.∴x ＝23，y ＝－13. 答案：23 －139.平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .假设OA －4OB ＋3OC ＝0，那么AB BC ＝________A.13B.12 C ．2 D ．3解析：∵OA －4OB ＋3OC ＝0，∴(OA －OB )－3OB ＋3OC ＝0，即OA －OB ＝3(OB －OC )，∴BA ＝3CB ，∴AB BC ＝3.答案：D 10．非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB ，假设PA ＝λAB (λ∈R)，那么点Q (x ，y )的轨迹方程是 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ) OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ消去λ得x ＋y ＝2. 答案：A11．(2018·湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．假设AD ＝x AB ＋y AC ，那么x ＝________，y ＝________.解析：法一：以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2.那么AB ＝(2,0)，AC ＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线为F ，由得DF ＝BF ＝3，那么AD ＝(2＋3，3)．∵AD ＝x AB ＋y AC ，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )． 即有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎨⎧ x ＝1＋32，y ＝32.法二：过D 作DF ⊥AB 交DB 的延长线为F .由可求得BF ＝DF ＝32AB ， AD ＝AF ＋FD＝(1＋32)AB ＋32AC ， 因此x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 3212．(文)如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ， 在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取 点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP ＝QA ，试确定λ的值．解：∵AP ＝NP －NA ＝12(BN －CN ) ＝12(BN ＋CN )＝12BC ， QA ＝MA －MQ ＝12BM ＋λMC ，又∵AP ＝QA ，∴12BM ＋λMC ＝12BC ， 即λMC ＝12MC ，∴λ＝12. (理)如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD的中点，过点G 任作一直线MN 分不交AB 、AC 于M 、N 两点，假设AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求1x ＋1y的值． 解：设AB ＝a ，AC ＝b ，那么AM ＝xa ，AN ＝yb ，AG ＝12AD ＝14(AB ＋AC )＝14(a ＋b )．∴MG ＝AG －AM ＝14(a ＋b )－xa ＝(14－x )a ＋14b ， MN ＝AN －AM ＝yb －xa ＝－xa ＋yb .∵MG 与MN 共线，∴存在实数λ，使MG ＝λMN . ∴(14－x )a ＋14b ＝λ(－xa ＋yb )＝－λxa ＋λyb . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧ 14－x ＝－λx ，14＝λy .消去λ，得1x ＋1y ＝4，∴1x ＋1y为定值．。

4．1 平面向量的概念及线性运算[知识梳理]1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b ＝λa . 特别提醒：(1)限定a ≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． (2)零向量与任何向量共线． (3)平行向量与起点无关．(4)若存在非零实数λ，使得AB →＝λAC →或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →，则A ，B ，C 三点共线．[诊断自测] 1．概念思辨(1)△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 的中点，则AE →＝14(AC →＋AB →)．( )(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 78A 组T 5)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.(2)(必修A4P 92A 组T 12)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．小题热身(1)(2017·周口模拟)设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.(2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，且a ＝e 1＋λe 2与b ＝－13e 2－e 1共线，则实数λ＝________.答案 13解析 ∵a ＝e 1＋λe 2与b ＝－13e 2－e 1共线，∴存在实数t ，使得b ＝t a ，即－13e 2－e 1＝t (e 1＋λe 2)，－13e 2－e 1＝t e 1＋tλe 2，∴t ＝－1，tλ＝－13， 即λ＝13.题型1 平面向量的基本概念典例 判断下列各命题是否正确： (1)单位向量都相等；(2)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关；(3)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (4)若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；(5)两向量a ，b 相等的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .根据向量的相关概念判定．解 (1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．(3)正确，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC . 又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC ，且AB →与DC →方向相同．因此AB →＝DC →.(4)不正确，当b ＝0时，a 与c 可以不共线．(5)不正确，当a ∥b ，但方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b . 方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． 2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．4．非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．冲关针对训练 下列4个命题：(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行； (3)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； (4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件． 其中错误命题的序号为________． 答案 (1)(2)(3)解析 (1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由零向量方向性质可得0与任一向量平行． (3)不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可能不共线．(4)正确．题型2 平面向量的线性运算典例1 (2017·长沙模拟)若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →向量加、减法定义．答案 B解析 利用向量加、减法的运算性质易知，选B.典例2 如图所示，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.12AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 综合利用向量的加法、减法和数乘运算．答案 D解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 是DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →.故选D. [条件探究] 若典例1中加入EA →＝AF →，则如何用OE →，OF →表示OA →. 解 如图，OA →＝OE →＋EA →＝OE →＋12EF →＝OE →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫OF →－OE →＝12(OE →＋OF →)．方法技巧平面向量线性运算问题的求解策略1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．3．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．冲关针对训练1．(2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b答案 A解析 PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .故选A.2．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13 D.23答案 D解析 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.故选D.题型3 共线向量定理及其应用角度1 解决三点共线问题典例 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.本题用转化法、向量问题实数化．证明 (1)若m ＋n ＝1， 则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵B P →与B A →有公共点B ，∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.角度2 利用共线求参数的取值典例 (2018·南京模拟)已知如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 相交于P ，连接DP ，并延长交AB 的延长线于点G ，若AP →＝xAE →，BP →＝yBF →，AG →＝zAB →，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.本题需作辅助线．答案 45 25 43解析 如图，过E 作EQ 平行于AB ，交BF 于点Q ，因为E 为BC 的中点，所以EQ 平行于CD ，且EQ ＝12CF ，又因为点F 为CD 的中点，所以QP PB ＝EP PA ＝EQ AB ＝12CFAB ＝14，所以AP →＝45AE →，所以x ＝45.因为点Q 为FB 的中点， 所以BP →＝44＋1＋5BF →＝25BF →，所以y ＝25.因为DF BG ＝FP PB ＝64，所以BG →＝23DF →＝13AB →，所以AG →＝43AB →，即z ＝43.所以x ＝45，y ＝25，z ＝43.角度3 共线定理与三角形的面积典例 (2017·沈阳一模)在△ABC 中，O 为其内部一点，且满足OA →＋OC →＋3OB →＝0，则△AOB 和△AOC 的面积比是( )A ．3∶4B ．3∶2C ．1∶1D ．1∶3本题采用并项法．答案 D解析 根据题意，如图，在△ABC 中，M 为AC 的中点，则OA →＋OC →＝2OM →，又由OA →＋OC →＋3OB →＝0， 则有2OM →＝－3OB →；从而可得B ，O ，M 三点共线，且2OM ＝3BO ； 由2OM ＝3BO 可得，S △AOC S △ABC ＝OM BM ＝35， S △AOB ＋S △BOC ＝25S △ABC ，又由S △AOB ＝S △BOC ，则S △AOB ＝15S △ABC ，则S △AOB S △AOC ＝13.故选D. 方法技巧1．证明向量共线，对于向量a ，b (b ≠0)，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．见角度1典例．2．证明三点共线，若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线．见角度1典例． 3．利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决．冲关针对训练1．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足A D →＝15A B →－45C A →，若△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 由A D →＝15A B →－45C A →，得5AD →＝A B →＋4A C →，所以A D →－A B →＝4(A C →－A D →)，即B D→＝4D C →.所以点D 在边BC 上，且|B D →|＝4|D C →|，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.2．(2017·大观区校级期末)设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足，AP →＝AD →＋25BC →，则S △APDS △ABC＝( )A.35B.25C.15D.310 答案 C 解析 如图，∵AD →＋25BC →＝AD→＋DP →＝AP →，∴D P →＝25B C →，∠ADP ＝∠ABC ，∵D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB .∴S △APD S △ABC ＝12·AD ·DP sin ∠ADP12·AB ·BC sin ∠ABC ＝15.故选C. 1．(2017·郴州三模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1 答案 A解析 设BM →＝tBC →，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋12tBC →＝12AB →＋t2(AC →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2AB →＋t 2AC →∴λ＝12－t 2，μ＝t2∴λ＋μ＝12.故选A.2．(2018·淮南模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 D解析 设C O →＝yBC →，则AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →， ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 故选D.3．(2018·湖北模拟)若M 为△ABC 内一点，AM →＝13AB →＋14AC →，则△ABM 和△ABC 的面积之比为( )A.14B.13C.12D.23 答案 A解析 设AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADME ，延长EM 交BC 与F ，连接BM .则EF ∥AB ，∴S △ABM S △ABC ＝AE AC ＝14.故选A. 4．(2014·全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 由AO →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90°.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.EO →D.FO → 答案 D解析 在方格纸上作出OP →＋OQ →，如图所示，则容易看出OP →＋OQ →＝FO →.故选D.2．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则下列结论正确的是( )A.OA →＝13AB →＋23BC →B.OA →＝23AB →＋13BC →C.OA →＝13AB →－23BC →D.OA →＝－23AB →－13BC →答案 D解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AC →)＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－13BC →.故选D.3．(2017·衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB→＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4 答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝－1.故选B.4．(2018·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞) C．(1，2] D ．(－1,0) 答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1.故选B.5．(2018·广东模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP →＝3OA →－OB→2，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 答案 B解析 OP →＝3OA →－OB →2＝32OA →－12OB →＝OA →＋12(OA →－OB →)＝OA →＋12BA →，即OP →－OA →＝AP →＝12BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.6．(2017·广东七校联考)已知向量i ，j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应满足的条件是( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1答案 C解析 因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →∥AD →，存在非零实数λ，使得AB →＝λAD →，即i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，所以(1－λn )i ＋(m －λ)j ＝0，又因为i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λn ＝0，m －λ＝0，则mn ＝1.故选C.7．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0； ⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③ 答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．②成立．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立． ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →，∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0. ∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，∴该命题不成立．故选D.8．(2018·泉州模拟)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA→＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 答案 D解析 由BC →＝a ，CA →＝b ，则AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b .BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b .所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，所以命题②③④正确．故选D.9．(2018·兰州模拟)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 如图，连接AM ，BM ，延长AC 到D 使AD ＝3AC ，延长AM 到E 使AE ＝5AM ，因为5AM →＝AB →＋3AC →，所以AB →＝5AM →－3AC →＝AE →－AD →＝DE →.连接BE ，则四边形ABED 是平行四边形(向量AB 和向量DE 平行且模相等)．由于AD →＝3AC →， 所以S △ABC ＝13S △ABD .因为AM →＝15AE →，所以S △AMB ＝15S △ABE ，在平行四边形ABED 中，S △ABD ＝S △ABE ＝12S ▱ABED ，故S △ABM S △ABC ＝15S △ABE13S △ABD ＝35.故选C. 10．若O 为△ABC 所在平面内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝( ) A ．3∶2∶1 B ．2∶1∶3 C ．1∶3∶2 D ．1∶2∶3 答案 D解析 如图所示，延长OB 到D ，使得BD ＝OB ，延长OC 到E ，使得CE ＝2OC .连接AD ，DE ，AE .∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0， ∴点O 为△ADE 的重心．∴S △OBC ＝16S △ODE ＝16×13S △ADE ＝118S △ADE ；S △AOC ＝13S △OAE ＝13×13S △ADE ＝19S △ADE ； S △ABO ＝12S △OAD ＝12×13S △ADE ＝16S △ADE .∴S △OBC ∶S △AOC ∶S △ABO ＝118∶19∶16＝1∶2∶3.故选D. 二、填空题11．(2018·广西模拟)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB→＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线，因此有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m＝511.12．(2017·泉州四校联考)设e1，e2是不共线的向量，若AB→＝e1－λe2，CB→＝2e1＋e2，CD→＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________．答案 2解析∵CB→＝2e1＋e2，CD→＝3e1－e2，∴BD→＝CD→－CB→＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，又A，B，D三点共线，则AB→与BD→共线，存在μ∈R使得AB→＝μBD→，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共线的向量，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，－λ＝－2μ，解得λ＝2.13．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝2 3.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．答案 6解析如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝23，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA 1|＝|B 1C |＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.14．(2018·沈阳模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连接AO ，∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.∴m ＋n ＝2. 三、解答题15．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解 (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线． 又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.16．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b . 又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① 又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线，∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1，得4m ＋n ＝1.②由 ①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .。