高一数学-高一数学竞赛辅导(第六讲求函数最大值和最小

高中思维训练班《高一数学》第1讲-——-—集合与函数(上)『本讲要点』：复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』:函数的迭代1.定义M与P的差集为M-P={x | x∈M且x不∈P} ,若A=｛y ｜ y=x2｝B=｛x ｜ -3≤x≤3} ,再定义 M△N =（M-N）∪(N—M），求A△B2。

集合A=中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 ________ 。

若A=,3*45。

*6.7。

*8.9101.＜02.=3。

若,58.解:令y=1，得f(x＋1)=f（x)＋x＋1再依次令x=1，2，…，n－1,有f（2）=f(1）＋2f(3)=f(2）＋3……f（n－1)=f(n－2）＋（n－1）f（n)=f(n－1)＋n依次代入，得∴f（x）=（x∈N+)高中思维训练班《高一数学》第2讲——-—-函数（下)『本讲要点』：1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题＊1例f（x）在x>0上为增函数,且。

求:（1)的值.(2）若，解不等式2例f（x）对任意实数x与y都有f(x) + f(y） = f（x+y） + 2,当x〉0时,f(x）〉2(1)求证：f（x）在R上是增函数(2)若f（1)=5/2,解不等式f（2a-3）〈 33练f(x）是定义在x〉0的函数,且f(xy） = f（x） + f（y）；当x>1时有f(x）<0；f(3） = —1。

(1)求f(1）和f(1/9）的值(2)证明f(x）在x>1上是增函数(3)在x 〉 1上，若不等式f(x) + f（2—x） < 2成立，求x的取值范围4例几个关于周期的常见的规律:5练习：f（x）是定义在R上的奇函数，且f(x-2) = -f（x）,以下结论正确的是（多选）:______________A。

f(2) = 0B.f(x） = f（x+4）C。

函数的最大值与最小值在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。

最大值指的是函数在某个区间上取得的最大数值，而最小值则是函数在该区间上取得的最小数值。

求解函数的最大值和最小值在实际问题中具有重要的应用，如寻找最佳解、优化问题等。

本文将介绍如何求解函数的最大值和最小值，并探讨其中的相关概念和方法。

一、局部最值和全局最值函数的最大值和最小值可以分为局部最值和全局最值两种情况。

局部最值指的是函数在某个小区间内取得的最大或最小值，而全局最值则是函数在整个定义域上取得的最大或最小值。

为了更好地理解这两个概念，我们考虑一个简单的例子。

假设有一个函数f(x) = x^2，在闭区间[-1, 1]上进行观察。

当x为-1时，f(-1) = 1；当x为0时，f(0) = 0；当x为1时，f(1) = 1。

可以看出，函数f(x)在这个区间内的最大值和最小值分别为1和0。

因此，在这个例子中，最大值和最小值都是局部最值。

然而，如果我们考虑函数f(x)在整个定义域上的取值情况，就会发现函数f(x)在x等于0时取得了全局最小值0。

因此，全局最值并不一定出现在局部最值处。

二、求解最值的方法在求解函数的最大值和最小值时，有一些常用的方法和技巧。

1. 导数法导数法是一种常见且经典的求解最值的方法。

它基于一个重要的数学定理：在函数的极值点处，导数等于0。

假设有一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，我们想要求解在该区间上的最大值和最小值。

首先，我们可以计算出函数f(x)的导数f'(x)。

然后，我们找到f'(x) = 0的所有解，这些解即为函数f(x)的极值点。

接下来，我们需要判断这些极值点是函数的最大值还是最小值。

可以通过一些判定条件进行判断，如利用二阶导数的符号、导数的变化规律等。

2. 区间法区间法在求解最值时，将区间等分成多个小区间，然后计算函数在每个小区间的取值，并找出最大值和最小值。

具体做法是将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a) / n。

高一数学中如何计算函数的最大值与最小值在高中数学中，我们经常会遇到求解函数最大值和最小值的问题。

这些问题涉及到函数的极值，也就是函数在一定范围内达到的最大值或最小值。

在高一的数学课上，我们通常会接触到这些概念，了解如何通过求导等方法来求解函数的最大值和最小值。

极值的定义首先，让我们回顾一下什么是极值。

对于函数f(x)，如果存在x=a，使得在a点的某一邻域内，当x不等于a时，有f(x) <= f(a)或 f(x)>=f(a)，则称f(a)是函数f(x)的一个极大值或极小值，此时称a是函数f(x)的极值点。

求解方法1. 寻找驻点首先，要找到函数的极值点，我们需要找到函数的驻点，也就是导数为0的点。

设给定函数为f(x)，首先计算其导数f’(x)，然后解方程f’(x)=0，找到导数为0的点，这些点即为可能的极值点。

2. 判断极值在找到可能的极值点后，我们需要进行判断，这些点是否真的是函数的最大值或最小值。

常用的方法是利用二阶导数判别法。

对于函数f(x)，若f’‘(x) > 0，则在x处，f(x)取得极小值；若f’’(x) < 0，则在x处，f(x)取得极大值。

3. 确定最值最后，我们通过比较各个极值点的函数值来确定函数的最小值和最大值。

举例说明让我们通过一个具体的例子来说明如何求解函数的极值。

假设我们有函数f(x) = x^2 - 4x + 5，我们来求解函数f(x)的最大值和最小值。

步骤1：求导首先，计算函数f(x)的导数：f’(x) = 2x - 4。

步骤2：找到驻点解方程f’(x) = 0，得到x=2，这个点就是可能的极值点。

步骤3：判断极值计算二阶导数：f’‘(x) = 2。

由于f’’(2) > 0，所以x=2处函数f(x)取得极小值。

步骤4：确定最值将x=2代入函数f(x)得到f(2) = 1，所以函数f(x)的极小值为1，对应的x值为2。

总结通过以上的步骤，我们可以求解高一数学中函数的最大值和最小值的问题。

高一数学竞赛辅导（第六讲 求函数最大值和最小值）例1、 已知：函数y=|2x-4|+|2x-3|,x ∈[-3,3],试求这个函数的最值。

例2、 当x 取何值时，函数y=2224)1(5+++x x x 取得最小值？取得最大值？例3、 设x 是正实数，求函数y=x x x 32++的最小值？例4、 已知函数f(x)=log )1(2+x ，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点()2,3y x 在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值？例5、 求函数y=1223222++--x x x x 的最大值与最小值？例6、 已知函数y=2622+++x bx ax 的最小值是2，最小值是6，求实数a,b 的值？例7、 求函数f(x)=4814822----x x x x 的最小值和最大值？例8、 求函数y=5212+--x x x ,23≤x ≤2的最小值和最大值？例9、 已知实数x,y 满足1≤x 22y +≤4，求f(x,y)= x 22y xy ++的最小值和最大值？练习题一、 填空题1、 已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a 为常数且满足19<a<96。

当自变量x 的取值范围为a ≤x ≤96时,y 的最大值是 。

2、 函数y=x 2-4x+7在区间[0,3]上的最大值与最小值的和等于 .3、 函数y=312++x x 的最大值为 。

4、 当|x+1|≤6时，函数y=x|x|-2x+1的最大值是 。

二、 解答题1、 设x 是正实数，求函数y=x 2-x+x1的最小值。

2、 x 、y 是正实数，求f(x)= 44y x + 44x y +22y x +22x y +x y +y x 最最小值。

3、 求函数y=2224)1(5+++x x x 的最大值和最小值。

4、 已知x 1,x 2是方程x 2-(k-2)x+(k 2+3k+5)=0（k 是实数）的两个实根，求x 12+x 22的最大值与最小值。

高中数学基本不等式最大值和最小值的求解方法在高中数学中，不等式是一个重要的概念，而求解不等式中的最大值和最小值是解决数学问题中常见的任务之一。

本文将介绍高中数学中常见的基本不等式求解方法，以帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。

不等式的定义不等式是一个数学表达式，其中包含不等号（<、>、≤、≥）的关系。

不等式可以描述值之间的大小关系，如大于、小于、大于等于、小于等于等。

基本不等式之最大值和最小值在高中数学中，我们常见的基本不等式包括Cauchy-Schwarz不等式、AM-GM不等式、柯西不等式等。

这些不等式在求解最大值和最小值问题时发挥着重要作用。

Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz不等式是关于内积空间的一个基本不等式，它可以用来估计两个向量之间的夹角以及它们的长度。

最大值和最小值可以通过Cauchy-Schwarz不等式来确定。

AM-GM不等式AM-GM不等式（算术-几何均值不等式）是数学中的一条基本不等式，它表明对于非负实数的一组数，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数。

利用AM-GM不等式可以求解数列、三角函数等问题中的最大值和最小值。

柯西不等式柯西不等式是关于内积空间中两个向量的夹角和长度之间的一个重要不等式。

通过柯西不等式，我们可以找到向量之间的最大值和最小值。

求解方法在实际问题中，我们常常需要求解函数在一定区间内的最大值和最小值。

一般来说，可以通过对函数求导数，然后令导数为0来找到函数的驻点，再通过二阶导数的符号来判断该点是极大值点还是极小值点。

另外，对于一些特定的函数或不等式，我们可以利用其特性来直接求解最大值和最小值，比如对称性、周期性等性质。

结论本文介绍了高中数学中常见的基本不等式求解方法，包括Cauchy-Schwarz不等式、AM-GM不等式、柯西不等式等。

通过这些不等式的应用，我们可以更好地求解函数的最大值和最小值问题，深化对不等式的理解和运用能力。

第6讲含绝对值的函数一、知识要点和基本方法1.绝对值的意义：（1）代数意义：（1）代数意义：()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，显然，a a a -≤≤；（2）几何意义：a 表示实数a 对应的点与原点O 的距离；x a -表示实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的距离； x a +表示实数x 对应的点与实数-a 对应的点之间的距离.2.绝对值不等式的性质：（1）ab a b =；（2）a a b b=；（3）||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当且仅当ab ≤0时左边等号成立，ab ≥0时右边等号成立；||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当且仅当ab ≥0时左边等号成立，ab ≤0时右边等号成立.3.函数图象的翻折变换：（1）y ＝f (x )―――――――――――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去y ＝|f (x )|.（2）y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像y ＝f (|x |)．二、例题精讲I.函数图象例1.作函数lg y x =的图象.例2.作函数11x y x +=+的大致图象.例3.作函数221y x x =--的图象.II.函数的性质例1.若函数2()1f x x a x =+-在[)0+∞，上单调递增，求实数a 的取值范围.例2.设a 为实数，函数2()1R f x x x a x =+-+∈，.(1)讨论()f x 的奇偶性；(2)求()f x 的最小值.例3.求下列函数的最小值.(1)()13f x x x =-+-.(2)()135f x x x x =-+-+-.(3)()1357f x x x x x =-+-+-+-.例4.设1234a a a a 、、、是实常数，且1234a a a a ≤≤≤，求下列函数的最小值.(1)12()f x x a x a =-+-(2)123()f x x a x a x a =-+-+-(3)1234()f x x a x a x a x a =-+-+-+-例5.设[]01x y z ∈、、，，求M =+的最大值.III 函数与方程、不等式例1.已知0<k <1，试确定关于x 的方程21x kx k -=+的解得个数.例2.求方程213x x -+=的实根个数.例3.设不等式252x x a -<-对所有[]12x ∈，成立，求实数a 的取值范围.。

高中数学中函数的最大值和最小值求解方法
在高中数学中，函数的最大值和最小值是关于函数在定义域内取得的最大和最小值。

为了求解函数的最大值和最小值，我们需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍几种常见的方法：
寻找导数为零点
对于连续可导的函数，其极值点通常出现在导数为零的点。

因此，我们可以通过对函数求导并解方程找到函数的最大值和最小值。

具体步骤如下：
1.求出函数的导数。

2.解方程求出导数为零的点。

3.确定这些点中哪些是最大值，哪些是最小值。

利用一元二次函数的性质
当函数为一元二次函数时，可以利用一元二次函数的性质来求得最大值和最小值。

一元二次函数通常具有一个顶点，顶点处即为函数的最大值或最小值。

求解方法如下：
1.将一元二次函数表示为标准形式。

2.根据顶点公式，求出顶点的横坐标。

3.将横坐标代入函数中，求出最大值或最小值。

利用函数的性质
有些函数具有特定的性质，例如指数函数、对数函数等。

针对这些特定函数，我们可以利用其性质来求解最大值和最小值。

以指数函数为例，指数函数具有非负性，因此最小值为0。

对数函数则要求底数大于1才有定义，因此最小值为正数。

综上所述，求解函数的最大值和最小值是高中数学中的一个重要知识点。

通过掌握导数为零点、一元二次函数的性质以及函数的特性，我们可以灵活应用不同的方法来解决函数最大值和最小值的问题。

希望通过这些方法的介绍，读者能够更好地理解和掌握这一知识点。