南昌大学第七届高等数学竞赛(文科类)试题

高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。

第三届高等数学竞赛（文科类）试题参考答南昌大学第三届高等数学(文科类)竞赛试题参考答案一、填空（每个问题3分，共15分）1.100！2．21132711? x3.xsinx（cosx？lnx？sinxx）dx4.（0,1），（，）5。

？4.2、多项选择题（每题3分，共15分）1？B2．?C3．? C4．? D5．? A.3、（这个问题的满分是10分）？解决方案12：Lim？十、0辛克斯？十、cosxsincosx？＝林？222x？0xxsinx？2倍？1234xsin4x2222xx？21＝lim2？十、044xsin2x2？01＝limx？0＝lim＝43x？02212xcos4x？4＝lim2sin4x？424xx？0四、（本题满分为10分）dydt？？解决方案：DXDTDY1？11? T22？t2，1？tdydx22？D阿迪？D阿迪？dtd？阿迪？1.DX？dx？dt？dx？dxdt？dx？dtd？Tdt？2.12t1？t211？T22t2？1.1.T4.T第1页，共3页五、（本题满分10分）解：?x(xdx4?1)x2??xxdx43(x?1)4?14lnx?1x44?c?(1?x)xedxxed(x11?x)??xex1?x??1?x1(1?x)edxx??xex1?x4?e?c?xxex1?x?c所以，原式?14lnx?1x4?e1?x?c六、（本题满分10分）证明:设f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2,x.1?x1?xx?1?x22则f?(x)?ln(x?1?x)?x??ln(x?1?x)22?x1?x2令f?(x)?0得驻点为x?0.由于f??(x)?f(x)的最小值为f(0)?0.11?x2?0.知x?0为f(x)的极小值点,即最小值点.于是,对一切x?(??,??),有f(x)?0,即有不等式1?xln(x?1?x)?21?x,x.2第2页，共3页七、（本题满分10分）解：令u?2t,du?2dt,t?x?u?2x,t?0?u?00则2?tf(2t)dt＝x120?uf(u)du2x原式两边对x求导得：2x?032f(t)dt?x?2f(2x)?2x?f(2x)?8x?6x2x??0232f(t)dt?8x?6x?2f(2x)?24x?12x2?f(x)?3x?3x令f'(x)?6x?3?0?x?f?0??0,f?2??6,12所以最大值为八、（本题满分10分）3?1?f4?2?36，最小值为?4证明:(ⅰ)令f(x)?f(x)?x?1，则f(0)?f(0)?1??1?0，f(1)?f(1)?1?0?由零点定理，0,1?,有f(?)?0，即f(?)?1??(ⅱ)在?0,??上用中值定理.??1?(0,?),f?(?1)?f(?)?f(0)??0?1f(1)?f(?)1在??,1?上也用中值定理，??2?(?,1),f?(?2)??f?(?1)?f?(?2)?1?1??九、（本题满分10分）332解：?(x0?x)f\'(x)dx2＝?(x20?x)df\(x)＝(x＝(x＝(x?x)f\(x)|?x)f\(x)|?x)f\(x)|3303－?03f\(x)(2x?1)dx20－?(2x?1)df'(x)0230－(2x?1)f'(x)|0+?2f'(x)dx033＝12f\?3?－7f'(3)?f'(0)?2f(3)?2f(0)由(3,2)是拐点?f\(3)?0f'(3)?4?22?3??2，f'(0)?4?02?0?2（?l,l的斜率）12?原式＝20第3页，共3页。

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________.解:令⎰=2d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx exe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

南昌大学第三届高等数学（文科类）竞赛试卷南昌大学第三届高等数学(文科类)竞赛试题参考答案1．!100 2．x-113． dx xxx x x x)sin ln (cos sin +⋅ 4．)2711,32(),1,0( 5．ππ-4二、选择题(每题3分，共15分)1．()B 2．()C 3．()C 4． ()D 5．()A三、（本题满分10分）解：22201cos lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭＝x x x x x x 222220sin sin cos lim -→＝22401sin 204lim 0x x x x →-⎛⎫⎪⎝⎭＝3044s i n 212lim x x x x -→＝201244cos 212lim xx x ⋅-→ ＝x x x 2444sin 2lim 0⋅→＝34四、（本题满分10分）解： 21211122t t t t dt dx dt dydx dy =++-== ， dtdxdx dy dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx y d 122⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=+⋅=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t t t t t t dt d 1412121121222五、（本题满分10分）解： C xx x x dx x x x dx ++=+=+⎰⎰4444341ln 41)1()1(一、填空题(每题3分，共15分)⎰⎰⎰++++-=+-=+dx e x x x xe x d xe dx x xe x x xx )1(111)11()1(2C e x xe xx +++-=1C xe x ++=1所以，原式C x e x x x++++=11ln4144六、（本题满分10分）证明: 设 .,1)1ln(1)(22+∞<<∞-+-+++=x x x x x x f则 22221111)1ln()(xx xx x x x x x x f +-++++⋅+++=')1ln(2x x ++=令0)(='x f 得驻点为0=x .由于011)(2>+=''xx f .知0=x 为)(x f 的极小值点, 即最小值点.)(x f 的最小值为0)0(=f .于是, 对一切),(+∞-∞∈x ,有0)(≥x f , 即有不等式.,1)1ln(122+∞<<∞-+≥+++x x x x x七、（本题满分10分）解：令t u 2=,2du dt =,x u x t 2=⇒=,00=⇒=u t则 ⎰0)2(2x dt t tf ＝⎰02)(21xdu u uf原式两边对x 求导得：232068)2(2)2(2)(x xx f x x f x dt t f x-=⋅-⋅+⎰⇒232068)(x x dt t f x-=⎰⇒x x x f 1224)2(22-=⇒x x x f 33)(2-= 令036)('=-=x x f ⇒21=x ()()1300,26,24f f f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以最大值为6，最小值为34-八、（本题满分10分）证明: (Ⅰ) 令1)()(-+=x x f x F ，则011)0()0(<-=-=f F ，01)1()1(>==f F∴由零点定理，()1,0∈∃ξ,有0)(=ξF ，即()1f ξξ=-(Ⅱ) 在[]ξ,0上用中值定理.ξξξξηξη-=--='∈∃10)0()()(),,0(11f f f在[]1,ξ上也用中值定理，2(,1)ηξ∃∈,ξξξξη-=--='11)()1()(2f f f1)()(21='⋅'∴ηηf f九、（本题满分10分）解：⎰+32)('")(dx x f x x ＝⎰+32)(")(x df x x＝|302)(")(x f x x +－⎰+3)12)(("dx x x f＝|302)(")(x f x x +－⎰+3)(')12(x df x＝|302)(")(x f x x +－|30)(')12(x f x ++⎰3)('2dx x f＝())0(2)3(2)0(')3('73"12f f f f f -++－ 由)2,3(是拐点⇒0)3("=f23224)3('-=--=f ，20204)0('=--=f （l l 21, 的斜率） ∴原式＝20。

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。