(完整版)数学必修3概率测试题(附答案).docx

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一、选择题：1．下列说法正确的是( )．A．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件C．概率的大小与不确定事件有关D．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生2．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为（ )．A．5个 B．8个 C．10个 D．15个3．下列事件为确定事件的有( ）．（1)在一标准大气压下，20℃的纯水结冰(2）平时的百分制考试中,小白的考试成绩为105分（3）抛一枚硬币,落下后正面朝上(4）边长为a,b的长方形面积为abA．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ )．A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球5．从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数,则这个三位数大于400的概率是（ )．A．2/5 B、2/3 C．2/7 D．3/46．从一副扑克牌(54张）中抽取一张牌,抽到牌“K”的概率是( ）．A．1/54 B．1/27 C．1/18 D．2/277．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为（）．A．1/4 B．1/9 C．1/6 D．1/128．在所有的两位数（10~99）中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是（ )． A．5/6 B．4/5 C．2/3 D．1/29．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )．A．60％ B．30％ C．10％ D．50％10．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为（）．A．0.65 B．0.55 C．0。

一、选择题1．在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则cos x π的值介于2与2之间的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15 D ．162．一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X ，则(P X ≤=（ ）．A ．3B ．512C ．56D ．5183．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ．2764B ．916C ．81256D ．7164．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．355．若函数()201)((1)x lnx e x f x e x e ⎧+<<=⎨≤<⎩在区间()0,e 上随机取一个实数x ，则()f x 的值小于常数2e 的概率是（ ） A ．1eB ．11e-C ．2eD ．21e-6．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A．1103156π-B．14π-C．17126π-D．681237π-7．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．498．已知三棱锥P﹣ABC的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（）A．815B．715C．45D．359．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

一、选择题1．继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力.据《惰书》记载，他已算得3.1415926 3.1415927π<<.他还得到圆周率的两个近似分数值355113和227，并称355113为密率，227为约率，他的圆周率小数值则被后世称为祖率.现用随机模拟的方法得到圆周率，从区间[0,1]随机抽取2000个数，构成1000个数对(,)x y ，其中两数的平方和小于1的数对(,)x y 共有785个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A ．31411000B ．355113C ．15750D ．2272．《九章算术》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”问题：“今有池方一丈， 葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．2129B ．2329C ．1112D ．12133．一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X ，则(22)P X ≤=（ ）． A ．23 B ．512C ．56 D ．518 4．从单词“book ”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．345．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．236．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ） A ．16πB ．4π C ．3224π- D ．14π-7．在下列命题中，①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是518； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（ ） A ．② B ．①③ C ．②③D ．①②③8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．159．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为42，现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为（ ）A ．1πB ．2πC 3D ．2π10．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为( )A B ．2πC ．4πD 11．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+ 二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据：①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________．15．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.16．在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =，()1,1b =，则满足1a b -≤的概率是______ .17．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________．18．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.19．已知集合{1,U =2，3，⋯，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ⊆，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______． 20．已知下列命题：①ˆ856yx =+意味着每增加一个单位,y 平均增加8个单位 ②投掷一颗骰子实验，有掷出的点数为奇数和掷出的点数为偶数两个基本事件 ③互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件④在适宜的条件下种下一颗种子，观察它是否发芽，这个实验为古典概型 其中正确的命题有__________________.三、解答题21．某公司结合公司的实际情况针对调休安排展开问卷调查，提出了A ，B ，C 三种放假方案，调查结果如下：”的人中抽取了6人，求n 的值；（2）在“支持B 方案”的人中，用分层抽样的方法抽取5人看作一个总体，从这5人中任意选取2人，求恰好有1人在35岁以上（含35岁）的概率.22．某地区为了解群众上下班共享单车使用情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该地区50名群众，他们的年龄频数及使用共享单车人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用共享单车有差异？年龄低于40岁 年龄不低于40岁 总计经常使用共享单车 不经常使用共享单车 总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.635（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用共享单车的群众中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1人年龄在30~39岁的概率.23．随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为“新四大发明”之一.随着人们消费观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世——蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”消费需求.为了调查使用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如图所示.（1）由大数据可知，在18到44岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比y 与年龄x 成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百分比y 与年龄x 的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字）；（2）该网站年龄为20岁的注册用户共有2000人，试估算该网站20岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数；（3）已知该网店中年龄段在18-26岁和27-35岁的注册用户人数相同，现从18到35岁之间使用花呗“赊购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率.参考答案：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-.24．“绿水青山就是金山银山”，为了响应国家政策，我市环保部门对市民进行了一次环境保护知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的50人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环境保护关注者”，则上图中表格可得22⨯列联表如下：（1）请完成上述22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“环境保护关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环境保护达人”，现在从本次调查的“环境保护达人”中利用分层抽样的方法抽取4名市民参与环保知识问答，再从这4名市民中随机抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环境保护达人”又有女“环境保护达人”的概率.附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82825．为了响应市政府迎接全国文明城市创建活动的号召，某学校组织学生举行了文明城市创建知识类竞赛，为了了解本次竞赛中学生的成绩情况，从中抽取50名学生的分数(满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内)作为样本进行统计，按照[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100，，，，分成5组，并作出如下频率分布直方图，已知得分在[)80,90的学生有5人.()1求频率分布直方图中的的, x y 值，并估计学生分数的众数、平均数和中位数: ()2如果从[)[)[)60,7070,8080,90，，三个分数段的学生中，按分层抽样的方法抽取8人参与座谈会，然后再从[)[)70,8080,90，两组选取的人中随机抽取2人作进一步的测试，求这2人中恰有一人得分在[)80,90的概率.26．班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小相同的红球3个，黄球2个，且这5个球外别标有数字1、2、3、4、5.有如下两种方案可供选择： 方案一：一次性．．．抽取两球，若颜色相同，则获得奖品； 方案二：依次有放回．．．地抽取两球，若数字之和大于5，则获得奖品. （1）写出按方案一抽奖的试验的所有基本事件； （2）哪种方案获得奖品的可能性更大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先作出事件对应的平面区域，再利用几何概型和随机模拟求解.【详解】由题得0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，对应的区域为图中的正方形OABC 区域，事件A ：2201011x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+<⎩对应的区域为图中的扇形OAC 区域，由题得2117851574==10001150ππ⋅∴⨯，. 用随机模拟的方法得到的π的近似值为15750. 故选：C 【点睛】方法点睛：几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代几何概型的概率公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.2．A解析：A 【解析】试题分析：设水深为x 尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 详解： 设水深为x 尺， 则（x+2）2=x 2+52， 解得x=214， 即水深214尺．又葭长294尺， 则所求概率为2129. 故选A ．点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．3．C解析：C 【分析】X k =表示前k 个球为白球，第1k +个球为红球，则((0)(1)(2)P X P X P X P X ≤==+=+=．由此计算可得结论．【详解】X k =表示前k 个球为白球，第1k +个球为红球，42(0)105P X ===，644(1)10915P X ⨯===⨯，21643101(2)6A A P X A ===，所以2415((0)(1)(2)51566P X P X P X P X ≤==+=+==++=， 故选：C ． 【点睛】本题考查古典概型概率计算，属于基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．4．D解析：D 【分析】从四个字母中取2个，列举出所有的基本事件，即得所求的概率. 【详解】从四个字母中取2个，所有的基本事件为：,,,bo bk oo ok ，共有4个； 其中“取到的2个字母不相同”含有,,bo bk ok 3个， 故所求概率为34. 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.5．C解析：C 【分析】列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型的计算方法计算即可. 【详解】解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选：C. 【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法，同时考查了学生的阅读能力和文化素养，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据题意，作出满足题意的图像，利用面积测度的几何概型，即得解. 【详解】分别以A ，B ，C ，D 四点为圆心，1为半径作圆，由题意满足条件的点在图中的阴影部分224ABCD S =⨯=，214144ABCD S S ππ=-⨯⨯=-阴影由几何测度的古典概型，14ABCD S P S π==-阴影 故选：D 【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断. 【详解】对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9872⨯=种可能；满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有54240⨯⨯=种可能； 根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为405729P ==，故①错误； 对②：对341()2x x +写出通项公式可得434124144122rrr r r rr x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1240r -=，解得3r =，即可得常数项为31422C -⋅=，故②正确；对③：由正态分布的特点可知11(10)(1)22P P p ξξ-<<=-≥=-，故③正确. 综上所述，正确的有②③. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题.8．A解析：A 【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解 【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个, 随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P , 故选:A 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题9．A解析：A 【分析】先根据四棱锥的体积求出球的半径，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】因为四棱锥的体积为3，设球半径为R，则1122332R R R R =⨯⨯⨯⨯∴=因此所求概率为3131423ππ=⨯，故选：A 【点睛】本题考查四棱锥体积、球体积以及几何概型概率公式，考查综合分析求解能力，属中档题.10．A解析：A 【分析】设圆的半径为R，且由题意可得是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代入几何概率的计算公式可求． 【详解】解：设圆的半径为R构成试验的全部区域的面积：2S R π=记“向圆O 内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A ， 则构成A22) 由几何概率的计算公式可得， ()224P A R π==故选：A ． 【点睛】本题主要考查了与面积有关的几何概型概率的计算公式的简单运用，关键是明确满足条件的区域面积，属于基础试题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．C解析：C把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求。

一、选择题1．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与另一段GN GN 的比例中项，即满足512MG NG MN MG -==，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点.在矩形ABCD 中，E ，F 是线段AB 的两个“黄金分割”点.在矩形ABCD 内任取一点M ，则该点落在DEF 内的概率为（ ）A ．52- B ．51- C ．52- D ．51- 2．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为（ ） A ．45B ．35C ．25D ．153．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．234．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．35B ．45C ．1D ．655．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个白球的概率为（ ）A ．46801010100C C C ⋅ B ．64208001010C C C ⋅ C ．46208001010C C C ⋅ D ．64801010100C C C ⋅ 6．若函数()201)((1)x lnx e x f x e x e ⎧+<<=⎨≤<⎩在区间()0,e 上随机取一个实数x ，则()f x 的值小于常数2e 的概率是（ ） A ．1eB ．11e-C ．2eD ．21e-7．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．916B ．58C ．181288D ．5128．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．129．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（ ）A．964B．449C．225D．2710．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC内，曲2y x=和曲线y x=围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．12B．14C．13D．1611．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（）A．15B．25C．35D．4512．在二项式42nxx的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．16B．14C．512D．13二、填空题13．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点1O ，2O 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点1O 或2O 的距离不大于1的概率是________.14．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8个小时，假定它们在一昼夜的时间段内随机地到达，则两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待的概率为______.15．某学校高三年级有A 、B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________.16．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．17．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________．18．在区间[,]22ππ-上随机取一个实数x ，则事件“13sin cos 2x x -≤+≤”发生的概率是__________．19．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．20．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是__________三、解答题21．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）22．在这智能手机爆发的时代，大部分高中生都有手机，在手机面前，有些学生无法抵御手机尤其是手机游戏和短视频的诱惑，从而导致无法专心完成学习任务，成绩下滑；但是对于自制力强，能有效管理自己的学生，手机不仅不会对他们的学习造成负面影响，还能成为他们学习的有力助手，我校某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如下表：不使用手机 使用手机 合计 学习成绩优秀人数 28 12 40 学习成绩不优秀人数 14 26 40 合计423880参考数据：22()()()()()n ad bc K a c b d a b c d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用手机对学习有影响？（2）研究小组将该样本中不使用手机且成绩优秀的同学记为A组，使用手机且成绩优秀的同学记为B组，计划从A组推选的4人和B组推选的2人中，随机挑选两人来分享学习经验，求挑选的两人中一人来自A组、另一人来自B组的概率.23．某校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（已知本次测试成绩满分100分，且均为不低于50分的整数），请根据图表中的信息解答下列问题.（1）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在[70，80）之间的矩形的高；（2）为了帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[50，60）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为53分，乙同学的成绩为96分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.24．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）求频率分布直方图中的a，b的值；（2）从阅读时间在[14,18)的学生中任选2人，求恰好有1人阅读时间在[14,16)，另1人阅读时间在[16,18)的概率.25．在一次跳绳活动中，某学校从高二年级抽取了100位同学一分钟内跳绳，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，落在区间[140，150），[150，160），[160，170]内的频率之比为4：2：1.（1）求跳绳次数落在区间[150，160）内的频率；（2）用分层抽样的方法在区间[130，160）内抽取6位同学，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2位同学，求这2位同学跳绳次数都在区间[130，150）内的概率.26．某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识.组织方从参加活动的1000名群众中随机抽取n名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，其中第1组[20,30)有6人，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求m ，n 的值，并估计抽取的n 名群众中年龄在[40,60)的人数；（2）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分别求出对应的面积，进而求得结论． 【详解】解：设正方形ABCD 的边长为1，则51AF BE -==，∴2152EF AF =-=， ∴所求的概率为21522DEFABCDEF ADSP S AD ⨯⨯-===正方形 故选：C ． 【点睛】本题主要考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量” ()N A ，再求出总的基本事件对应的“几何度量” N ，最后根据()N A PN求解，属于中档题． 2．C解析：C 【分析】先利用导数求出函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增时a 的范围，然后再由几何概型的知识解决问题．【详解】∵()'1cos f x a x =+，要使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增，则1cos 0a x +≥对任意实数x 都成立.∵1cos 1x -≤≤，∴①当0a >时，cos a a x a -≤≤，∴1a -≥-，∴01a <≤；②当0a =时适合；③当0a <时，cos a a x a ≤≤-，∴1a ≥-，∴10a -≤<，综上11a -≤≤，∴函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为25P =.选C ． 【点睛】 本题主要考查已知函数的单调性求参数的范围及几何概型问题，属中等难度题．3．C解析：C 【分析】列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型的计算方法计算即可. 【详解】解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选：C. 【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法，同时考查了学生的阅读能力和文化素养，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.5．C解析：C 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从袋中任取10个球，共有10100C 种，其中恰好有6个白球的有468020C C ⋅种即其中恰好有6个白球的概率为46208001010C C C ⋅ 故选：C 【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.6．C解析：C 【分析】首先求出分段函数在各区间段的值域，然后利用几何概型求其概率. 【详解】 由题意得，当01x <<时，2()ln f x x e =+，则恒有2()f x e <，满足题意； 当1x e ≤<时，()xf x e =，若满足2()xf x e e =<，可得12x ≤<； 所以()f x 的值小于常数2e 的概率是2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查长度比值类型的几何概型，同时考查了分段函数值域的求解，属于基础题.7．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩， 则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=，这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.8．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．9．B解析：B 【分析】求得120ADB ∠=︒，在ABD 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解． 【详解】 解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒，在ABD 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=，224()749DEF ABCSS∴==． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解．【详解】联立2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A ）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．B解析：B 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求． 【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据， 从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==， ∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题．12．C解析：C 【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】因为n前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418118,0,1,2,82rr r r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题13．【分析】本题利用几何概型求解先根据到点的距离等于1的点构成图象特征求出其体积最后利用体积比即可得点到点的距离不大于1的概率；【详解】解：由题意可知点P 到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以为球心解析：16【分析】本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点P 到点1O ，2O 的距离不大于1的概率； 【详解】解：由题意可知，点P 到点1O 或2O 的距离都不大于1的点组成的集合分别以1O 、2O 为球心，1为半径的两个半球，其体积为314421233ππ⨯⨯⨯=，又该圆柱的体积为22228V r h πππ==⨯⨯=，则所求概率为41386P ππ==.故答案为：16【点睛】本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．14．【分析】利用几何概型的面积型概率计算作出边长为24的正方形面积求出部分的面积即可求得答案【详解】设甲乙两艘轮船到达的时间分为则记事件为两船中有一艘在停靠泊位时另一艘船必须等待则即∴故答案为：【点睛】解析：59【分析】利用几何概型的面积型概率计算，作出边长为24的正方形面积，求出||8x y -≤部分的面积，即可求得答案. 【详解】设甲乙两艘轮船到达的时间分为,x y ，则024,024x y ≤≤≤≤，记事件A 为两船中有一艘在停靠泊位时、另一艘船必须等待，则||8x y -≤， 即8,8,y x y x ≥-⎧⎨≤+⎩∴2222241625()1()2439S P A S -===-=阴影正方形. 故答案为：59.【点睛】本题考查几何概型，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对概率模型的抽象成面积型.15．【分析】利用乘法计数原理可计算出甲乙丙名学生各自随机选择其中一个教室自习共有种利用分步乘法计数原理计算出甲乙两人不在同一教室上自习的排法种数然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】由解析：1 2【分析】利用乘法计数原理可计算出甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种，利用分步乘法计数原理计算出甲、乙两人不在同一教室上自习的排法种数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种，甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在A、B两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教室自习，则丙可在A、B两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可知，有224⨯=种选择.因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为41 82 =.故答案为：1 2 .【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了分步计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】根据数据统计击中目标的次数再用古典概型概率公式求解【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15所以射击4次至少击中3次的概率为故答案为：【点睛】本题考查古典概型概率公式考查基本分析求解能解析：3 4【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解.【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，所以射击4次至少击中3次的概率为153 204=.故答案为：3 4【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【解析】【分析】列出所有的基本事件并找出事件所取三条线段能构成一个三角形所包含的基本事件再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率【详解】所有的基本事件有：共个其中事件所取三条线段能构成一个三角形 解析：310【解析】 【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】所有的基本事件有：()2,3,5、()2,3,7、()2,3,9、()2,5,7、()2,5,9、()2,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310， 故答案为310． 【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．18．【分析】用辅助角公式化简题目所给不等式解三角不等式求得点的取值范围利用几何概型的概率公式求得所求的概率【详解】由得故解得根据几何概型概率计算公式有概率为【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法考查三角 解析：512【分析】用辅助角公式化简题目所给不等式，解三角不等式求得x 点的取值范围，利用几何概型的概率公式求得所求的概率. 【详解】由1cos x x -≤+≤π12sin 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭1πsin 262x ⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭，故πππ664x -≤+≤，解得ππ312x -≤≤，根据几何概型概率计算公式有概率为ππ5123ππ1222⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查三角函数辅助角公式，考查几何概型的计算，属于基础题.19．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：13【解析】 【分析】取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD 上时，BE BC >，求出劣弧CD 的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A ={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD 的顶点B 为弦的一个端点， 当另一端点在劣弧CD 上时，BE BC >， 设圆的半径为r ，劣弧CD 的长度是23rπ， 圆的周长为2r π，所以()21323rP A r ππ==，故答案为13. 【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.20．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度代入几何概型概率计算公式可得答案【详解】设小明到达时间为当在7：50至8：00或8：20至8：30时小明等车时间不超过10分钟故故答案为【点睛】本题考解析：12【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 【详解】设小明到达时间为y ，当y 在7：50至8：00，或8：20至8：30时， 小明等车时间不超过10分钟， 故201402P ==． 故答案为12． 【点睛】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．三、解答题21．（Ⅰ）25；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【分析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)由题意首先确定X 可能的取值，然后结合超几何概型计算公式得到分布列，然后求解其数学期望即可；(Ⅲ)由题意结合方差的性质和所给的图形确定方差的最大值即可. 【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==；1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==；34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，超几何概型计算公式，离散型随机变量的分布列与期望的计算，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．（1）99.5%；（2）815. 【分析】（1）根据22⨯列联表中的数据，代入卡方计算，即可求解； （2）根据古典概型，列出基本时间，根据概率公式，即可求解. 【详解】 （1）根据公式得2280(28261412)9.8257.87942384040K ⨯⨯-⨯==≥⨯⨯⨯.所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.（2）记A 组推选的4人为a ，b ，c ，d ，B 组推选的2人为e ，f ， 则从这6人中任取两人有15种取法：()()()()(),,,,,a b a c a d a e a f ()()()(),,,,b c b d b e b f ()()()c,,,d c e c f ()(),,d e d f(),e f其中一人来自A 组、另一人来自B 组有8种取法， 故概率为815p =. 【点睛】本题考查（1）独立性检验（2）古典概型概率计算，考查计算能力，属于中等题型. 23．（1）50人，0.04；（2）18【分析】(1)先根据频数计算在[50,60）上的频率,继而求得全班总人数,再根据[70,80）之间的人数求得[70,80）之间的频率与高即可.(2)根据题意求得[50,60）中的人数与[90,100）分数段内的人数,再编号利用枚举法求解即可. 【详解】（1）由茎叶图知分数在[50,60）上的频数为4, 频率为0.008×10＝0.08, 故全班的学生人数为40.08=50人, ∵分数在[70,80）间的频数为：50﹣（4+14+8+4）＝20, ∴频率是200.450=,∴矩形的高是0.410=0.04. （2）成绩在[50,60）分数段内的人数有4人,记为甲、A 、B 、C , 成绩在[90,100）分数段内的人数有4人,记为乙、a ,b ,c , 则“二帮一”小组有以下24种分组办法：甲乙a ,甲乙b ,甲乙c ,甲ab ,甲ac ,甲bc ,A 乙a ,A 乙b , A 乙c ,Aab ,Aac ,Abc ,B 乙a ,B 乙b ,B 乙c ,Bab , Bac ,Bbc ,C 乙a ,C 乙b ,C 乙c ,Cab ,Cac ,Cbc ,其中,甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙a ,甲乙b ,甲乙c , ∴甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P 31248==. 【点睛】本题主要考查了茎叶图与频率分布直方图的应用,同时也考查了枚举法解决古典概型问题,属于基础题.24．(1)a=0.11,b=0.04;(2)23. 【分析】(1)课外阅读时间落在[6，8)的有22人，频率为0.22，由此能求出a ，课外阅读时间落在[2，4)的有8人，频率为0.08，由此能求出b ；(2)课外阅读时间落在[14，16)的有2人，设为m ，n ；课外阅读时间落在[16，18)的有2人为x ，y ，由此利用列举法能求出从课外阅读时间落在[14，18)的学生中任选2人，其中恰好有1人阅读时间在[14，16)，另1人阅读时间在[16，18)的概率． 【详解】(1)课外阅读时间落在[6，8)的有22人，频率为0.22，所以0.220.112a == 课外阅读时间落在[2，4)的有8人，频率为0.08， 所以0.080.042b == (2)课外阅读时间落在[14，16)的有2人，设为m ，n ；课外阅读时间落在[16，18)的有2人为x ，y ，。

必修 3 第三章 概率单元复习一、选择题1．任取两个不一样的 1 位正整数，它们的和是8 的概率是 ()A ．1B ．1C ．3D ．1246812 2．在区间 －π π 上随机取一个数x ， cos x 的值介于 0 到 1之间的概率为 ()2 ，22A ．1B ．2C ．1D ．23π 2 33．从会合 { 1，2，3，4，5} 中，选出由 3 个数构成子集，使得这 3 个数中任何两个数的和不等于6，则拿出这样的子集的概率为 ( )A ．3B ．7C ．3D ．210105 54．在一个袋子中装有分别标明数字1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标明的数字外完好同样．现从中随机拿出2 个小球，则拿出的小球标明的数字之和为3 或 6 的概率是 ()A ．3B ．1C ．1D ．110510 125．从数字 1，2，3，4，5 中，随机抽取3 个数字 ( 同意重复 ) 构成一个三位数，其各位数字之和等于9 的概率为 ()A ． 13B ． 16C ．18D ． 191251251251256．若在圆 ( x － 2) 2 ＋( y ＋ 1) 2＝ 16 内任取一点 P ，则点 P 落在单位圆 x 2＋y 2＝1 内的概率为 ()A ．1B ．1C ．1D ．123 4 16 7．已知直线 y ＝x ＋ b ， b ∈[ － 2， 3] ，则该直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是 ()A ．1B ．2C ．3D ．455558．在正方体 ABCD － 1 1 11中随机取点，则点落在四棱锥 O －ABCD ( O 为正方体体对角线的交点) 内的概率是 ()A B C DA ．1B ．1C ．1D ．263239．投掷一骰子，察看出现的点数，设事件A 为“出现 1 点”，事件B 为“出现 2 点”．已知 P( A) ＝P( B) ＝ 1，则“出6现 1 点或 2 点”的概率为 ()A ．1B ．1C ．1D ．123612二、填空题10．某人午觉悟来，觉察表停了，他翻开收音机想听电台报时，假设电台每小时报时一次，则他等候的时间短于10 分钟的概率为 ___________．11．有 A ， B ，C 三台机床，一个工人一分钟内可照看此中随意两台，在一分钟内A 未被照看的概率是．12．投掷一枚平均的骰子 ( 每面分别有 1～ 6 点 ) ，设事件 A 为“出现 1 点”，事件 B 为“出现 2 点”，则“出现的点数大 于 2”的概率为 ．13．已知函数 f( x) ＝log 2 1，2，在区间1，2上任取一点0 0．x ， x ∈2x ，使 f( x ) ≥ 0 的概率为214．从长度分别为 2，3，4，5 的四条线段中随意拿出三条 , 则以这三条线段为边能够构成三角形的概率是．15．一颗骰子投掷 2 次，察看出现的点数，并记第一次出现的点数为 a ，第二次出现的点数为b ．则 a ＋ b 能被 3整除的概率为．三、解答题16．射手张强在一次射击中射中10 环、 9 环、 8 环、 7 环、 7 环以下的概率分别是、、、、．计算这个射手在一次射击中：( 1) 射中 10 环或 9 环的概率；( 2) 起码射中7 环的概率；( 3) 射中环数小于8 环的概率．17．甲、乙两船驶向一个不可以同时停靠两艘船的码头，它们在一日夜内抵达该码头的时辰是等可能的．假如甲船停靠时间为 1 h，乙船停靠时间为 2 h，求它们中的随意一艘都不需要等候码头空出的概率．18．同时投掷两枚同样的骰子( 每个面上分别刻有1～6 个点数，投掷后，以向上一面的点数为准) ，试计算出现两个点数之和为 6 点、 7 点、 8 点的概率分别是多少？19．从含有两件正品 a1， a2和一件次品 b 的三件产品中，每次任取一件，每次拿出后不放回，连续取两次，求拿出的两件产品中恰有一件次品的概率．参照答案一、选择题1． D分析： 1 位正整数是从 1 到 9 共 9 个数，此中随意两个不一样的正整数乞降有8＋ 7＋6＋ 5＋ 4＋3＋ 2＋ 1=36 种状况，和是 8 的共有 3 种状况，即（1， 7），（ 2， 6），（ 3， 5），所以和是 8 的概率是 1.12 2． A分析：π π上随机取一个数 x ，即 x ∈ － π π的值介于 0 到1之间，需使在区间 － ，2 ， 时，要使 cosx222 2π－ π≤ x ≤－ π或 π≤ x ≤ π，两区间长度之和为π，由几何概型知 cos x 的值介于0 到1之间的概率为3 ＝ 1 ．23 323 2π 3应选 A.3． D分析： 从 5 个数中选出 3 个数的选法种数有 10 种，列举出各样情况后可发现，和等于6 的两个数有 1 和 5，2 和 4两种状况，应选出的3 个数中任何两个数的和不等于6 的选法有 ( 10－ 3×2) 种，故所求概率为 4 ＝ 2．4． A10 5分析：从五个球中任取两个共有10 种情况， 而拿出的小球标明的数字之和为3 或 6 的只有 3 种状况： 即 1＋ 2＝ 3，2＋ 4＝ 6， 1＋ 5＝ 6，，故拿出的小球标明的数字之和为 3 或 6 的概率为3．105． D9， 9 是一个奇数，所以这三个数必定是“三个奇数”或“一个奇数两分析：因为一个三位数，各位数字之和等于个偶数”．又因为每位数字从1， 2， 3， 4， 5 中抽取，且同意重复，所以，三个奇数的状况有两种： ( 1) 由 1， 3，5 组 成的三位数，共有 6 种； ( 2) 由三个 3 构成的三位数，共有 1 种．一个奇数两个偶数有两种： ( 1) 由 1， 4， 4 构成的三位数，共有 3 种； ( 2) 由 3，2， 4 构成的三位数，共有 6 种； ( 3) 由 5， 2，2 构成的三位数，共有 3 种．再将以上各样状况构成的三位数的个数加起来，获得各位数字之和等于 9 的三位数，共有 19 种．又知从数字 1，2， 3， 4，5，中，随机抽取 3 个数字 ( 同意重复 ) 构成一个三位数共有53＝125 种．所以，所求概率为19 ．1256． Dπ 12分析：所求概率为＝ 1 ．7． B π 4216分析：地区 Ω 为区间 [- 2， 3] ，子地区 A 为区间 ( 1， 3] ，而两个区间的长度分别为 5， 2．8． AO －ABCD 与正方体的体积之比．分析：所求概率即为四棱锥9． B分析： A ， B 为互斥事件，故采纳概率的加法公式P( A ＋ B) ＝ P( A) ＋ ( B) ＝1＋ 1＝ 1．663二、填空题10． 1．6 ( 13∶ 00，14∶ 00) ， 分析：因为电台每小时报时一次，我们自然以为这个人翻开收音机时处于两次报时之间，比如并且取各点的可能性同样，要碰到等候时间短于 10 分钟，只有当他翻开收音机的时间正利处于 13∶ 50 至 14∶ 00 之间才有可能，相应的概率是 10 ＝ 1 ． 11． 1．60631 分析：基本领件有 A ， B ；A ， C ； B ，C 共 3 个， A 未被照看的事件是 B ， C ，所以 A 未被照看的概率为.12． 2．33P( A ＋B) ＝ 1 ，1－ P( A ＋ B) ＝ 2．分析： A ， B 为互斥事件，故采纳概率的加法公式得3313． 2．3分析：因为 f( x) ≥ 0，即 log 2 x 0≥ 0，得 x 0≥ 1，故使 f( x) ≥ 0 的 x 0 的地区为 [ 1， 2] ． 14． 3 ．4分析：从长度为2，3， 4，5 的四条线段中随意拿出 3 条共有 4 种不一样的取法，此中可构成三角形的有( 2， 3， 4) ，( 2， 4， 5) ， ( 3， 4， 5) 三种，故所求概率 P ＝ 3．415． 1． 32 次，共有 36 个基本领件．设“ a ＋ b 能被3 整除”为事件 A ，有 ( 1，2) ，( 2，1) ，( 1，5) ， 分析：把一颗骰子投掷( 2， 4) ， ( 3， 3) ， ( 4， 2) ， ( 5， 1) ，( 3， 6) ，( 4， 5) ， ( 5， 4) ， ( 6， 3) ， ( 6， 6) ，共 12 个．P( A) ＝ 1．3三、解答题16．解：设“射中 10 环”、“射中 9 环”、“射中 8 环”、“射中 7 环”、“射中 7 环以下”的事件分别为 A ， B ， C ， D ， E ，则( 1) P( A ∪ B) ＝P( A) ＋ P( B) ＝＋＝．所以，射中 10 环或 9 环的概率为．( 2) P( A ∪ B ∪ C ∪ D) = P( A) ＋ P( B) ＋P( C) ＋ P( D ) ＝＋＋＋＝．所以，起码射中 7 环的概率为．( 3) P( D ∪ E) ＝ P( D ) ＋ P( E) ＝＋＝．所以，射中环数小于 8 环的概率为．17．解：这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船 23抵达码头的时辰分别为x 与 y ， A 为“两船都不需要等候 22码头空出”，则 0≤ x ≤ 24， 0≤ y ≤ 24，要使两船都不需要等候码头空出，当且仅当甲比乙早抵达1h 以上或乙比甲早抵达 2h 以上，即 y － x ≥ 1 或 x － y ≥ 2．故所求事件构成会合 A ＝ {( x ， y) | y － x ≥ 1 或 x － y ≥ 2，x ∈ [ 0， 24] ，y ∈ [ 0，24]} ．A 对应图中暗影部分，所有结果构成会合Ω为边长是 24 的正方形． 由几何概型定义，所求概率为A 的面积( 24－1) 2 1 ( 24－2)21＝22 ＝ ＝ 0.879 34．P( A) ＝的面积 242 57618．解：将两只骰子编号为 1 号、 2 号，同时投掷，则可能出现的状况有 6× 6＝ 36 种，即 n ＝ 36．出现 6 点的状况有( 1， 5) ， ( 5， 1) ， ( 2， 4) ， ( 4， 2) ，( 3， 3) ．∴ m 1＝ 5，∴概率为 P 1＝m 1＝ 5．n 36出现 7 点的状况有 ( 1， 6) ， ( 6，1) ， ( 2，5) ， ( 5，2) ， ( 3， 4) ， ( 4， 3) ．∴ m 2＝ 6，∴概率为 P 2＝m 2＝ 6 ＝ 1 ．n 36 6出现 8 点的状况有 ( 2， 6) ， ( 6，2) ， ( 3，5) ， ( 5，3) ， ( 4， 4) ．∴ m 3＝ 5，∴概率为 Pm 3 ＝ 5．3＝n 3619．解：每次拿出一个，取后不放回地连续取两次，其全部可能的结果构成的基本领件有 6 个，即 ( a 1，a 2) ，( a 1， b) ， ( a 2，a 1) ，( a 2，b) ，( b ，a 1) ， ( b ，a 2) 。

一、选择题1．将曲线22x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ,曲线1x y +=围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（ ） A ．12π+ B ．11π+ C ．22π+ D ．21π+ 2．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A ．110B ．310C ．12D ．353．某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个区间[]0,1上的均匀随机数()*,110i y i N i ∈≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是 A ．()215e + B ．()215e - C ．()315e + D ．()315e - 4．已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12-的概率为（ ） A ．712B ．23C ．34D ．565．甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（ ） A ．58B ．13C ．18D ．386．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．237．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4138．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．169．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+ 10．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．32011．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ） A ．184B ．142C ．128D ．11412．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题13．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．14．如图所示，分别以,,A B C 为圆心，在ABC 内作半径为2的三个扇形，在ABC 内任取一点P ，如果点P 落在这三个扇形内的概率为13，那么图中阴影部分的面积是____________.15．在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =，()1,1b =，则满足1a b -≤的概率是______ .16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E 为正方体内任意一点，则AE 的长度大于3的概率等于_________.18．如图，⊙O 的半径为1，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，从A B C 、、、D E F 、、六点中任意取两点，并连接成线段，则线段的长为3的概率是_____．19．如图，圆柱12O O 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，此点取自圆柱12O O 的概率为______；20．从甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表，则甲被选上的概率为______．三、解答题21．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？22．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.23．口袋里装有编号为1，2，3，4的四个小球，有放回．．．的抽取两次，记录两次取到小球的编号分别为x，y.奖励规则如下：xy≤，则奖励玩具一个；①若3xy≥，则奖励水杯一个；②若8③其余情况奖励饮料一瓶.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.24．某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有1000名工人参加，他们的成绩都分布52,100内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在76分及76分在[]以上的为优秀.（1）求图中t 的值；（2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（3）某工厂车间有25名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于92分的概率.25．某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与平均数；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.26．某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了100人进行调查，其中对该事件关注的女性占23，而男性有10人表示对该事件没有关注.（1）根据以上数据补全22⨯列联表；（2）能否有90%的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？（3）已知在被调查的女性中有10名大学生，这其中有6名对此事关注.现在从这10名女大学生中随机抽取3人，求至少有2人对此事关注的概率. 附表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】画出曲线22x y x y +=+与曲线1x y +=的图像,再根据几何概型的方法求解即可. 【详解】当0,0x y >>时,曲线22x y x y +=+、曲线1x y +=分别为2222111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1x y +=.又22x y x y +=+、1x y +=均关于,x y 轴，原点对称.故两曲线围成的区域Ⅰ（正方形和四个半圆）、Ⅱ(正方形）如图：可知区域Ⅰ的面积为22222S ππ⎛⎫+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭正方形；区域Ⅱ的面积为()222=；∴由几何概率公式得：22p π=+.故选：C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的运用,需要根据题意去绝对值画出一象限的图像,再根据对称性补全图像.同时也考查了几何概型中面积型的问题.属于中档题.2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B.3．D解析：D 【详解】 由题意可得ACB ABCD=10S nS ∆曲线矩形，n 为阴影部分的点的个数，即满足y<lnx,共6个点，即ACB ABCD6=101S S S e ∆=-曲线矩形，所以S=()315e -,选D.4．B解析：B 【分析】 求出满足12y ≥-的角x 的范围，由长度比，即可得到该几何概型的概率. 【详解】1sin ,[,]2y x x ππ=≥-∈-，5[,][,]66x ππππ∴∈--⋃-， 则满足12y ≥-的概率为： 5()()266()3P ππππππ---+--==--.故选：B. 【点睛】本题考查了三角不等式的求解，几何概型的计算，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=，01}y ，写出满足条件的事件是{(,)|01A x y x =，01y ，12y x -≤，}x y ≤，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果． 【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为x ，乙到的时间为y ，则试验包含的所有事件是{(,)|01x y x Ω=，01}y ， 事件对应的集合表示的面积是1S =，满足条件的事件是{(,)|01A x y x =，01y ，12y x -≤，}x y ≤， 则()1,1B ，1,12C ⎛⎫⎪⎝⎭，10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则事件A 对应的集合表示的面积是111131122228⨯⨯-⨯⨯=，根据几何概型概率公式得到33818P ==； 所以甲、乙两人能见面的概率38P =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．6．C解析：C 【分析】列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型的计算方法计算即可. 【详解】解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选：C. 【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法，同时考查了学生的阅读能力和文化素养，属于中档题.7．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.8．C解析：C 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】联立2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）3123120021)()|33x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C 【分析】把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求。

一、选择题1．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．352．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．233．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．344．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-5．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4136．甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ）A ．916B ．58C ．181288D ．5127．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35 C ．34D ．128．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．239．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A ．25B ．35C ．38D ．5810．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+11．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1、2、3、4、5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．310B ．15C ．110D ．32012．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ()3323π- B ()323π-C ()323π+ D ()23323ππ-+二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．15．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．16．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.17．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.18．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x ∈[0,1]的概率为 .19．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．20．在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3AB ，AC 于D ，E.若在△ABC 内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．三、解答题21．某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课.为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；（3）若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求这两个学生的单程时30,40上的概率.间均落在[)22．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15︒，边界忽略不计)即为中奖.乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖.问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？23．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/人)12345（1）确定,x y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间150,(170]的概率.26．已知集合{(,)|[0,2],[1,1]}M x y x y =∈∈-. （1）若,x y Z ∈，求0x y +≥的概率； （2）若,x y R ∈，求0x y +≥的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可以求得sin()1θϕ+=，tan 2ϕ=，求出小正方形的边长和直角三角形两直角边的长，进而得到大正方形的边长，然后根据几何概型概率公式求解即可． 【详解】 由πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得sin 2cos 5θθ+=， 即5sin()5θϕ+=，即sin()1θϕ+=，且tan 2ϕ=，所以2πθϕ+=，所以直角三角形较大的锐角为ϕ，较小的锐角为θ，如图，设小正方形的边长为a ，直角三角形较大的锐角为θ、较大的锐角为为ϕ， 较小的直角的边长b ，则直角三角形较大的直角边长为+a b ，∵tan 2a bbϕ+==， ∴a b =，∴22(2)5a a a +=， 由几何概型概率公式可得，所求概率为2215(5)P a ==． 故选：B ． 【点睛】解答几何概型概率的关键是分清概率是属于长度型的、面积型的、还是体积型的，然后再根据题意求出表示基本事件的点构成的线段的长度（或区域的面积、空间几何体的体积），最后根据公式计算即可．2．A解析：A 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.3．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.4．D解析：D 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．5．C解析：C 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，列出所有基本事件的约束条件，同时列出两艘船停靠泊位时都不需要等待的约束条件，利用线性规划做出平面区域，利用几何概型概率关系转化为面积比. 【详解】设甲、乙到达的时间分别为,x y ，则所有基本事件的构成的区域024{|}024x x y ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩， 则这两艘船停靠泊位时都不需要等待包含的基本事件构成的区域024024{(,)|}46x y A x y y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≥+⎪⎪≥+⎩，做出Ω构成的区域，其面积为224=576，阴影部分为集合A 构成的区域，面积为221(2018)3622+=， 这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率362181()576288P A ==. 故选:C.【点睛】本题考查利用线性规划做出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率，属于中档题.7．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．8．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23P =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.9．D解析：D 【分析】直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。

一、选择题1．继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力.据《惰书》记载，他已算得3.1415926 3.1415927π<<.他还得到圆周率的两个近似分数值355113和227，并称355113为密率，227为约率，他的圆周率小数值则被后世称为祖率.现用随机模拟的方法得到圆周率，从区间[0,1]随机抽取2000个数，构成1000个数对(,)x y ，其中两数的平方和小于1的数对(,)x y 共有785个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A ．31411000B ．355113C ．15750D ．2272．如图，,,A B C 表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（ ）．A ．0.994B ．0.686C ．0.504D ．0.4963．中国是发现､研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为12，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（ ）A ．125B ．19C ．15D ．134．甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（ ） A ．58B ．13C ．18D ．385．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（ ）A ．13B ．49C ．59D ．236．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）A ．35B ．45C ．1D ．657．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1108．如图，长方形的四个顶点为(0,0)O ，(4,0)A ，(4,2)B ，(0,2)C ，曲线y x =经过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．349．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）A．1 2B．3 4C．2 7D．3 810．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（）A．15B．25C．35D．4511．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

一、选择题1．将曲线22x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ,曲线1x y +=围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（ ） A ．12π+ B ．11π+ C ．22π+ D ．21π+ 2．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与另一段GN GN 的比例中项，即满足512MG NG MN MG -==，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点.在矩形ABCD 中，E ，F 是线段AB 的两个“黄金分割”点.在矩形ABCD 内任取一点M ，则该点落在DEF 内的概率为（ ）A ．52- B ．51- C ．52- D ．51- 3．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为（ ） A ．45B ．35C ．25D ．154．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．185．如图，在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=，以4个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在该菱形中任意选取一点，该点落在阴影部分的概率为0p ，则圆周率π的近似值为（ ）A ．07.74pB ．07.76pC ．07.79pD ．07.81p6．4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（ ） A ．49B ．427C ．364 D ．332 7．从含有2件正品和1件次品的产品中任取2件，恰有1件次品的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．238．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin8y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．116D ．189．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．2510．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为( )A ．4πB ．2πC ．4πD ．411．某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则：规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球. 其中对甲、乙公平的规则是（ ） A ．规则一和规则二B ．规则一和规则三C ．规则二和规则三D ．规则二12．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16二、填空题13．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以3:1取得胜利的概率为______________.14．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______15．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为________． 16．中国文化中有很多东西喜欢9或9的倍数.如：九连环、九阴白骨爪、降龙十八掌（1892=⨯）、三十六计（3694=⨯）、孙悟空七十二变（8972⨯=）、八十一难（9981⨯=）等.若一个三位数的各位数字之和为9，如207，126，则这样的三位数共有________.17．一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中．由乙随机取出2个小球后甲再从袋子中剩下的3个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到1号球的概率为__________.18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60︒的概率为________19．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．20．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．三、解答题21．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率．求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由.22．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.23．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．轿车A轿车B轿车C舒适型 100 150 z标准型300450600（1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数a ， 记这8辆轿车的得分的平均数为x ，定义事件{|0.5E a a x =-≤，且函数2() 2.31f x ax ax =-+没有零点}，求事件E 发生的概率．24．在一次跳绳活动中，某学校从高二年级抽取了100位同学一分钟内跳绳，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，落在区间[140，150），[150，160），[160，170]内的频率之比为4：2：1.（1）求跳绳次数落在区间[150，160）内的频率；（2）用分层抽样的方法在区间[130，160）内抽取6位同学，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2位同学，求这2位同学跳绳次数都在区间[130，150）内的概率.25．某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有1000名工人参加，他们的成绩都分布在[]52,100内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在76分及76分以上的为优秀.（1）求图中t 的值；（2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（3）某工厂车间有25名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于92分的概率.26．为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n 人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的34，男生喜欢看该节目的占男生总人数的13．随后，该小组采用分层抽样的方法从这n 份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人．(1) 现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；(2) 若有99%的把握认为“爱看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n 至少为多少？ 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】画出曲线22x y x y +=+与曲线1x y +=的图像,再根据几何概型的方法求解即可. 【详解】当0,0x y >>时,曲线22x y x y +=+、曲线1x y +=分别为2222111222x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1x y +=.又22x y x y +=+、1x y +=均关于,x y 轴，原点对称.故两曲线围成的区域Ⅰ（正方形和四个半圆）、Ⅱ(正方形）如图：可知区域Ⅰ的面积为22 22Sππ⎛⎫+⋅=+⎪⎪⎝⎭正方形；区域Ⅱ的面积为()222=；∴由几何概率公式得：22pπ=+.故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的运用,需要根据题意去绝对值画出一象限的图像,再根据对称性补全图像.同时也考查了几何概型中面积型的问题.属于中档题.2．C解析：C【分析】分别求出对应的面积，进而求得结论．【详解】解：设正方形ABCD的边长为1，则51AF BE-==，∴2152EF AF=-=，∴所求的概率为21522DEFABCDEF ADSPS AD⨯⨯-===正方形故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量” ()N A，再求出总的基本事件对应的“几何度量” N，最后根据()N APN求解，属于中档题．3．C解析：C先利用导数求出函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增时a 的范围，然后再由几何概型的知识解决问题． 【详解】∵()'1cos f x a x =+，要使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增，则1cos 0a x +≥对任意实数x 都成立.∵1cos 1x -≤≤，∴①当0a >时，cos a a x a -≤≤，∴1a -≥-，∴01a <≤；②当0a =时适合；③当0a <时，cos a a x a ≤≤-，∴1a ≥-，∴10a -≤<，综上11a -≤≤，∴函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为25P =.选C ． 【点睛】 本题主要考查已知函数的单调性求参数的范围及几何概型问题，属中等难度题．4．A解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 5．C解析：C 【解析】因为菱形的内角和为360°，所以阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，故由几何概型可知20p =，解得0004.5 1.7327.791p p p π=≈⨯=.选C ． 6．D解析：D 【分析】先求出基本事件总数n ，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率.因为4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，所以基本事件总数n =44,每项活动至少有一名同学参加，因此4名同学分别参加一项活动，共有44A 种不同的情况.因此：每项活动至少一名同学参加的概率为：4443432A p ==. 【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】设正品为12,a a ，次品为b ，列出所有的基本事件，根据古典概型求解即可. 【详解】设正品为12,a a ，次品为b ,任取两件所有的基本事件为12(,)a a ，1(,)a b ，2(,)a b 共3个基本事件， 其中恰有1件次品的基本事件为1(,)a b ，2(,)a b ，共2个， 所以23P =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件的概念，属于容易题.8．D解析：D 【分析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可． 【详解】由已知，可得大圆的直径为y ＝3sin 8πx 的周期，由T 2168ππ==，可知大圆半径为8， 则面积为S ＝64π，一个小圆的周长242l r r π==∴= 故小圆的面积S ′＝π•22＝4π， 在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为： P 2'81648S S ππ===， 故选：D ． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题．9．B解析：B 【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解 【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数 这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8的概率是63105P ==． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题10．A解析：A 【分析】设圆的半径为R，且由题意可得是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代入几何概率的计算公式可求． 【详解】解：设圆的半径为R构成试验的全部区域的面积：2S R π=记“向圆O 内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A ， 则构成A22) 由几何概率的计算公式可得， ()224P A R π==故选：A ． 【点睛】本题主要考查了与面积有关的几何概型概率的计算公式的简单运用，关键是明确满足条件的区域面积，属于基础试题．11．B解析：B 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为12时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项.【详解】对于规则一，每人发球的机率都是12，是公平的；对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1、黑2，则随机取出2个球的所有可能的情况有（红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），（黑1，黑2），共6种，其中同色的情况有2种，所以甲发球的可能性为13，不公平；对于规则三，记3个红球分别为红1、红2、红3，则随机取出2个球所有可能的情况有（红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），（红3，黑），共6种，其中同色的情况有3种，所以两人发球的可能性均为12，是公平的.因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.故选B.【点睛】本题考查利用规则的公平性问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，正确理解题意是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，利用时间的长度比即可求出所求.【详解】解：由题意知这是一个几何概型，∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，由几何概型公式得到151604 P==,故选B．【点睛】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题.二、填空题13．174【分析】设甲在第一二三四局比赛中获胜分别为事件则所求概率为：再根据概率计算公式计算即可【详解】设甲在第一二三四局比赛中获胜分别为事件由题意甲要以取胜的可能是所以=故答案为：0174【点睛】本题解析：174 【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件1A 、2A 、3A 、4A ，则所求概率为：123412341234()()()P P A A A A P A A A A P A A A A =++，再根据概率计算公式计算即可.【详解】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件1A 、2A 、3A 、4A ， 由题意，甲要以3:1取胜的可能是1234A A A A ，1234A A A A ，1234A A A A ， 所以123412341234()()()P P A A A A P A A A A P A A A A =++=0.50.60.30.60.50.40.50.60.50.40.50.60.174⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：0.174. 【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.14．【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答案为解析：13【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163=； 故答案为13． 简单考察古典概型的概率计算，容易题．15．【分析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数再求概率【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有种不同的选法选出的4人中至少有2人来自同一小 解析：2735【分析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率. 【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有4870C=种不同的选法.选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：(1)恰好有2人来自同一小组,有1211432248C C C C=种（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有246C=所以选出的4人中至少有2人来自同一小组有48654+=种选法.则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为54277035 P==故选项为：27 35.【点睛】本题考查组合问题，求古典概率的问题，属于中档题.16．【分析】根据三位数的各位数字之和为9列举出所有符合要求的三位数即可【详解】三位数的各位数字之和为9符合要求的三位数如下所示:1081171261351441531621711802072162252解析：45【分析】根据三位数的各位数字之和为9,列举出所有符合要求的三位数即可.【详解】三位数的各位数字之和为9,符合要求的三位数如下所示:108,117,126,135,144,153,162,171,180,207,216,225,234,243,252,261,270,306,315,324,333,342,351,360,405,414,423,432,441,450,504,513,522,531,540603,612,621,630702,711,720,801,810,900,由以上可知符合各位数字之和为9的三位数共有45个故答案为:45【点睛】本题考查了列举法在求数字排列中的应用,属于中档题.17．【分析】通过分析先计算甲在第一次取得编号为1的概率再计算甲在第二次取得编号为1的概率两者相加即为所求【详解】甲在第一次取得编号为1的概率为；甲在第二次取得编号为1的概率为于是所求概率为故答案为【点睛解析：9 25【分析】通过分析，先计算甲在第一次取得编号为1的概率，再计算甲在第二次取得编号为1的概率，两者相加即为所求.【详解】甲在第一次取得编号为1的概率为15；甲在第二次取得编号为1的概率为24254145325CC⨯⨯=，于是所求概率为149+52525=，故答案为925.【点睛】本题主要考查概率的相关计算，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等. 18．【解析】【分析】正方体的面对角线共有12条能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°得共有12×8对对角线所成角为60°并且容易看出有一半是重复的得正方体的所有对角线中所成角是60°解析：811【解析】【分析】正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是60°的有48对，根据古典概型概率公式求解即可．【详解】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与上平面A1B1C1D1中一条对角线A1C1成60°的直线有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八对直线，总共12条对角线；∴共有12×8＝96对面对角线所成角为60°，而有一半是重复的；∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对．而正方体的面对角线共有12条，所以概率为：212488C11=故答案为811【点睛】本题考查正方体面对角线的关系，考查了古典概型的概率问题，而对于本题知道96对直线中有一半是重复的是求解本题的关键．19．【解析】【分析】将所有的基本事件全部列举出来确定基本事件的总数并确定所求事件所包含的基本事件数然后利用古典概型的概率公式求出答案【详解】所有的基本事件有：（甲乙丙）（乙甲丙）（丙甲乙）（甲乙丙）（甲解析：16【解析】 【分析】将所有的基本事件全部列举出来，确定基本事件的总数，并确定所求事件所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求出答案． 【详解】所有的基本事件有：（甲、乙丙）、（乙，甲丙）、（丙、甲乙）、（甲乙、丙）、（甲丙、乙）、（乙丙、甲）（其中前面的表示派往大武口区调研的专家），共6个， 因此，所求的事件的概率为16，故答案为16． 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解决这类问题的关键在于确定基本事件的数目，一般利用枚举法和数状图法来列举，遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于基础题．20．【解析】【分析】列举出所有的结果选出的所有的结果根据古典概型概率公式可求出函数是增函数的概率【详解】所有取值有：共12个值当时为增函数有共有6个所以函数是增函数的概率为故答案为【点睛】本题主要考查古解析：12【解析】 【分析】 列举出ab所有的结果，选出1a b >的所有的结果，根据古典概型概率公式可求出函数()log a bf x x =是增函数的概率.【详解】a b 所有取值有：135713571157,,,,,,,,,,,222244446266共12个值， 当1a b >时，()f x 为增函数，有357577,,,,,222446共有6个， 所以函数()log a bf x x =是增函数的概率为61122=，故答案为12. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用以及对数函数的性质，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 三、解答题21．（1）2950（2）见解析（3）乘坐高铁，见解析 【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以1~(2,)5X B ，即2211()()(1)55k kk P x k C -==-，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==； （2）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是151755=， 所以022116(0)(1)525P X C ==⨯-=， 12118(1)(1)5525P X C ==⨯⨯-=，22211(2)()525P X C ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为：故()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=； （3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市． 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率模型的判断，属于中档题． 22．（1）2；（2）710；（3）应该选择方案二更优惠. 【分析】（1）由题意可求出金额在[)80,100“水果达人”的人数30人和消费金额在[]100,120“水果达人”的人数20人，然后利用分层抽样的比求出5人中消费金额不低于100元的人数为20523020⨯=+人；（2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在[)80,100的有3人，分别记为A ，B ，C ，消费金额在[]100,120的有2人，记为a ，b ，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，从而可求出概率；（3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付金额，即可得解. 【详解】解：（1）由图可知，消费金额在[)80,100“水果达人”的人数为：200200.007530⨯⨯=人， 消费金额在[]100,120“水果达人”的人数为：200200.00520⨯⨯=人，分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，这5人中消费金额不低于100元的人数为：20523020⨯=+人；（2）由（1）得，消费金额在[)80,100的3个“水果达人”记为A ，B ，C ， 消费金额在[]100,120的2个“水果达人”记为a ，b ， 所有基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10N =种，2人中至少有1人购买金额不低于100元的有7n =种， 所求概率为710n N ==.（3）依题可知该游客要购买110元的水果， 若选择方案一，则需支付()80830102-+=元，若选择方案二，则需支付50300.9200.8100.7100+⨯+⨯+⨯=元， 所以应该选择方案二更优惠. 【点睛】此题考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题. 23．（1）400；（2）710；（3）12【分析】（1）由分层抽样按比例可得z ；（2）把5个样本编号，用列举法列出任取2辆的所有基本事件，得出至少有1辆舒适型轿车的基本事件，计数后可得概率．（3）求出x ，确定事件E 所含x 的个数后可得概率． 【详解】 （1）由题意1050400400600600z=+++，解得400z =； （2）C 类产品中舒适型和标准型产品数量比为40026003=，因此5人样品中舒适型抽取了2辆，标准型抽取了3辆，编号为,,,,A B a b c ，任取2辆的基本事件有：,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Ab Ac ab ac bc 共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Ab Ac 共7个，所求概率为710P =． （3）由题意9.48.69.29.68.79.39.08.298x +++++++==，满足0.5a x -≤的有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个，函数2() 2.31f x ax ax =-+没有零点，则24 2.310a a ∆=-⨯<，解得09.24a <<，再去掉9.3,9.4，还有4个， ∴所求概率为4182P ==． 【点睛】本题考查分层抽样，考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有的基本事件． 24．（1）0.10；（2）23【分析】（1）由图中小矩形的面积之和为1可得[140，170）的频率，再由频率之比即得；（2）先确定[140，150），[150，160），[160，170]三个区间的频率，再分层抽样，最后根据古典概型求出概率。