初高中数学衔接知识(数与式)

第一章数与式的运算1、1 绝对值知识清单1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

3.两个数的差的绝对值的几何意义：ba-表示在数轴上，数a和数b之间的距离。

4.两个重要绝对值不等式：axaxaaxax＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0axaa；问题导入：问题1：化简：（1）：12-x（2) : 31-+-xx问题2：解含有绝对值的方程（1）642=-x; （2）: 5223=--x、问题3：至少用两种方法解不等式 41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：（1）！（2）x y =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x{巩固拓展：1.（1）若等式a a -= , 则成立的条件是----------（2）数轴上表示实数 x 1,x 2 的两点A,B 之间的距离为--------2.已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和 3.<4.如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______5.化简：（1）3223+=-x x ; （2）31--x6.已知 x= -2是方程612-=--m x 的解，求m 的值。

;6.已知a ，b ，c 均为整数，且 1=-+-a c b a ,求: c b b a a c -+-+-的值)方法指导学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。

1、2 二次根式与分式知识清单1.二次根式（1）二次根式的定义：形如a (a ≥0）的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义。

专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。

2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。

三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。

初高中数学衔接知识点专题（一）★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作0)x a =≥，其(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．例2 计算：（1）221()3x + （2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x +的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3） （4）例6设x y ==，求33x y +的值．例7 化简：（1）11xx x x x -+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 ．【巩固练习】1． 解不等式 327x x ++-<2．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4． 设x=，求4221x x x ++-的值．5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1)3÷ (2)(4) ÷+1AC |x －1||x －3|● 各专题参考答案 ●专题一数与式的运算参考答案例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =； ①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB |可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．例2（1）解：原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=33331111()()521258m n m n -=-（3）原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=-（4）原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++ 例3解：2310x x -== 0x ∴≠ 13x x∴+= 原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x+-+=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab+++⋅+⋅+⋅222()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① 33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abcabc-=-例5解：（1）原式6==- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3）原式ab =（4） 原式===例6解：22(277 14,123x y x y xy ===+=-⇒+==- 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】1．43x -<< 2． 3．3-或2 4．3-5．444222222222x y z x y x z y z ---+++ 6．()(((13,23,4-。

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。

初高中知识衔接——数与式的运算1．绝对值（1）绝对值的代数意义： ．即 ． （2）绝对值的几何意义： 的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． （4）两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．例1：解不等式：（1）21x -< （2）12>-x（3）32+<-x x x （4）2323-<-x x（5）x x ≤-1 （6）13x x -+-＞4 2．根式（1）0)a ≥的代数式，性质：2= ；= ；=b a ；=ab ．（2） 无理式：根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子，如32a b21x ++，22x y +（3）分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母（子）有理化方法：分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式． 例1：化简：（1（2）（31)x << （4）20042005⋅例2：试比较下列各组数的大小：154173819++-（1（23．分式（1）分式的意义：形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式． 当M ≠0时，分式的基本性质：（1）A A M B B M ⨯=⨯ ；（2）A A MB B M÷=÷．（2）繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，如2m n pm n p+++，繁分式的化简常用以下两种方法：① 利用除法法则；② 利用分式的基本性质．例1：化简：（1） （2） （3）11xx x x x-+-例2：（1）若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值；（2）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（3）计算：1111223910+++⨯⨯⨯初高中知识衔接——因式分解一、定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解。

目录第一讲数与式 (2)第二讲因式分解 (8)第三讲一元二次方程根与系数的关系 (12)第四讲二次函数 (19)第一讲 数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 【公式2】完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 【公式3】完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±【公式4】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（完全平方公式）证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=. ∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x222222432111()()()2(22()33381.339x x x x x x x =++++⨯+⨯⨯=-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式5】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+. 【公式6】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)证明：22223333()()[()][()()]()a b a ab b a b a a b b a b a b -++=+---+-=+-=-.【例2】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++解：（1）原式=333644m m +=+.（2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-.（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a .（4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=. 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【例3】已知2310x x -+=，求331x x +的值．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．本题则根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、指数式当n N ∈时，an na a a a 个⋅⋅⋅=. 当n Q ∈时，⑴零指数01(0)a a =≠， ⑵负指数1(0)n n a a a-=≠.⑶分数指数 0,,n maa m n =>为正整数).幂运算法则：(1),(2)(),(3)() (,0,,)mnm nm n mn n n n a a aa a ab a b a b m n Z +⋅===>∈.【例4】求下列各式的值：328，21100-，43)8116(-解: 422)2(8233323232====⨯；101)10(110011002121212===-；8272332)32()8116(3333444343====----． 【例5】计算下列各式⑴)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； ⑵8)(8341-q p ． 解: ⑴a ab bab a b a b a 444)3()6)(2(0653121612132656131212132===-÷--+-+；⑵3232888)()()(83418341q p qp qp q p ===---．三、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥||a =0,0)a b =≥≥0,0)a b =>≥ 如果有nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数．当n a =，当n {,0||,0a a a a a ≥==-<. 【例6】化简下列各式：1)x +≥解：(1) 原式=2|1|211-+=-+=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(3) -+解：(1) 原式23(2623-==--(2) 原式(3) 原式=-+=-说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母()．这时形式() ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中2+与2-)．四、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例8】化简11xxxxx-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x xx x x x xx x x x xx x x xx xxxx xx xx++=====--⋅+-+-+++--+解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x xx x x xx x x x x xx x xxx xxxx xx++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例9】化简233396162279x x x xxx x x++-+-+--解：原式=22339611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x xx x x x xx x x x x++--+-=--+-+-+-++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x+-------===+-+-+.说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．A 组1a =-成立的条件是( ) A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <|6|x -的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－9 D ．93．化简： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：(2) a+5．化简：102m + 0)x y >>B 组1．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．2．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．3．设12x =，求4221x x x ++-的值．4．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----5．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-第一讲 数与式答案A 组1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．2 12a b -----5．B 组1．3,2-2． 3 3．3-4．43210355024x x x x -+-+5．444222222222x y z x y x z y z ---+++第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】因式分解：(1) 38x +(2) 30.12527b -解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+. (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++.说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()nnnab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】因式分解：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()().a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+766622422422222222222()()()()[()]()()()().a ab a a b a a b a a b b a a b a b a b a a b a b a ab b a ab b -=-=-++=-+-=+-++-+二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--.说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+.【例5】把2222428x xy y z ++-分解因式． 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++- 222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-.三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++.因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++. 【例6】因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．(2) 21336(4)(9)x x x x ++=++.【例7】因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-.(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-.2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【例8】因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +- 解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+. 324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-.1 254-⨯【例9】因式分解：(1) 22(2)7(2)8x x x x +-+- (2)a ax x x 51522---+分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.解：(1)原式)82)(12(22-+++=x x x x )4)(2()1(2+-+=x x x .(2)原式)5()152(2a ax x x +--+=)5()5)(3(+-+-=x a x x )3)(5(a x x --+=.四、配方法【例10】因式分解 (1) 2616x x +- （2）2244x xy y +-解：(1)222616(3)5x x x +-=+-(8)(2)x x =+-.(2)2222244(44)8x xy y x xy y y +-=++-22(2)8(2)(2)x y y x y x y =+-=+++-.说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．五、拆(添)项法【例11】因式分解3234x x -+ 解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-.说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．A 组1．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-2．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+(2) 2245m mn n --(3)2673x x --(4) 2()11()28a b a b -+-+3．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+(2) 22(2)9x x --(3) 2282615x xy y +-(4) 22(67)25x x --4．把下列各式分解因式：(1) 233ax ay xy y -+-(2) 251526x x xy y -+-(3) 224202536a ab b -+-(4) 66321x y x --+B 组1．把下列各式分解因式： (1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x +(4) 32113121x x x -+-2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．第二讲 因式分解答案A 组1．2222(1)()(),(2)()().n x x y x xy y x x y x xy y +-+-++2．(1)(2)(1),x x --(2)(5)(),(3)(23)(31),m n m n x x -+-+(4)(4)(7).a b a b -+-+ 3．32(1)(2)(8),(2)(3)(1)(23),ax x x x x x x ---+-+2(3)(2)(415),(4)(21)(35)(675).x y x y x x x x -++--+4.3333(1)()(3),(2)(3)(52),(3)(256)(256),(4)(1)(1).x y a y x x y a b a b x y x y -+-+---+---+B 组1．22(1)()(),(2)(42)(2),(3)(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ (4)(1)(3)(7).x x x --- 2．283.第三讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+=(1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根： x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：24b ac ∆=-.【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) 22310x x -+=(2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=解：(1) 2 (3)42110∆=--⨯⨯=>， ∴ 原方程有两个不相等的实数根．(2) 原方程可化为：241290y y -+=2 (12)4490∆=--⨯⨯=， ∴ 原方程有两个相等的实数根．(3) 原方程可化为：256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程有实数根；(4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-.(1) 141203k k ->⇒<； (2) 141203k k -=⇒=； (3) 141203k k -≥⇒≤；(4) 141203k k -<⇒>．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：把方程看作是关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=.由于x 是实数，所以此方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==.所以：12b x x a+=+=-，12244ac cx x a a⋅====.定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b cx x x x a a+=-=. 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．【例4】若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．解：由题意，由根与系数的关系得：12122,2009x x x x +=-=-.(1) 2222121212()2(2)2(2009)4022x x x x x x +=+-=---=.(2)121212112220092009x x x x x x +-+===-. (3) 121212(5)(5)5()2520095(2)251974x x x x x x --=-++=---+=-.(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体代换思想．【例5】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 解：法一 设这两个数分别是x ，y ，则{412x y xy +==-1126x y =-⎧⇒⎨=⎩或2262x y =⎧⎨=-⎩.因此，这两个数是－2和6．法二 由韦达定理知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解方程得：x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6．【例6】已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．解： 2213[(1)]4(1)23042k k k k ∆=-+-+=-≥⇒≥. (1) 21211544x x k k =+=⇒=±. 所以，当4k =时，方程两实根的积为5．(2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =302k ⇒∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，不合题意，舍去．综上可知，32k =时方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．【例7】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=有两个实数根.∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⨯+=-≥⎩.(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <．∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． (2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++.∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．A 组1．已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，求1211x x +的值.3．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，请您写出,,a b c 之间的关系．4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，求这个直角三角形的斜边的长．5．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，请问k 的值是多少．6．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，请您求出p ，q 的值．7．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=．(1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ．(1) 请您求出求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11． 求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案A 组1． 2,1k k <≠且2． 23．2,a c b b c +=≠且 4． 35． 9或3-6．1,3p q =-=-7．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=-B 组1．13(1)112k k <≠且 (2) 不存在 2．1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．第四讲 二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中，大家已经知道二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况.本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题.一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像和性质（1）当0a >时，函数2y ax bx c =++图象开口向上，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线2bx a=-.在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当2bx a=-时，函数取最小值244ac b y a -=． （2）当0a <时，函数2y ax bx c =++图象开口向下，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线2bx a=-.在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小；当2bx a=-时，函数取最大值y ＝244ac b a -． 今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题．【例1】 请您求出二次函数2361y x x =--+的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象．解：∵223613(1)4y x x x =--+=-++. ∴函数图象的开口向下，对称轴方程x ＝－1，顶点坐标为(－1，4)， 当1x =-时，max 4y =.在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小 (如图) .x yO x ＝－2baA 24(,)24b ac b a a-- xy Ox ＝－2baA 24(,)24b ac b a a-- x ＝－1二、二次函数的三种表示方式 1．一般式：2(0)y ax bx c a =++≠.2．顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标是),(k h ．3．交点式：12()() (0)y a x x x x a =--≠，其中1x ，2x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．【例2】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为2(0)y ax bx c a =++≠．由条件得2228124288a b c a c b a b c c -+=-=-⎧⎧⎪⎪=-⇒=⎨⎨++==-⎪⎪⎩⎩ .所求的二次函数为22128y x x =-+-．【例3】 已知二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线1y x =+上，并且图象经过点（3，－1），求此二次函数的解析式．解：由条件易知顶点坐标是（1，2），设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵图像经过点（3，－1），∴ 21(32)12a a -=-+⇒=-．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即2287y x x =-+-．【例4】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．解：法一 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为(3)(1) (0)y a x x a =+-≠，即223y ax ax a =+-.顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， ∵二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2，∴1|4|22a a -=⇒=±． ∴二次函数的表达式为21322y x x =+-或21322y x x =-+． 解：法二 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴对称轴为直线1x =-．又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2或－2．∴可设二次函数为2(1)2y a x =++或2(1)2y a x =+-.∵函数图象过点(1，0)， ∴12a =±． ∴二次函数的表达式为21322y x x =+-或21322y x x =-+．说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、二次函数的最值问题【例5】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例6】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，max 1y =-，当2x =时，min 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：A 组1．选择题：（1）函数22(1)2y x =-+是将函数22y x =（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （2）函数21y x x =-+-图象与x 轴的交点个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定 （3）函数21(1)22y x =-++的顶点坐标是（ ） （A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)2．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．3．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值、最小值，并求对应的x 的值．4．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上． (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．第五讲 二次函数的最值问题答案A 组1．（1）D （2）A （3）C 2. 4 14或2，323．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =． 4．5y ≥-B 组1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-． 2．14a =-或1a =-．。

初升高中衔接教程数学第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念}6x<．【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等， 即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集第6讲集合的基本运算变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.知识点三、补集【内容概述】1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.3.对补集定义的理解要注意以下几点：（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.4.集合图形，理解补集的如下性质：（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B【典型例题】例5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.变式2：设集合}123|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.例6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.变式1：已知集合},0624|{2R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.变式2：已知集合}50|{≤-<=a x x A ，}62|{≤<-=x a x B . （1）若A B A = ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.例7.学校50名学生调查对A 、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对第7讲集合的综合复习第8讲函数的概念与定义域。