最新高等数学(下)复习题(、6有答案)

一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值． 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分） 设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。

高数第二学期复习题及答案1. 求球面222x y z R ++=与x z a +=的交线在x o y 面上的投影曲线的方程.()2222x y a x R z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩2. 判断方程22220,24x y z z x y +-=++=所表示的几何图形.（旋转抛物面，圆锥面） 3. 判断平面:230x y z ∏+-+=与直线112:311x y z l -+-==-的位置关系.（线在面内）4. 求过点()1,1,0且与125:214x y z l ---==垂直相交的直线方程.1121x y z --⎛⎫==⎪-⎝⎭5. 求通过点(1,2,1)-且通过23:212x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩的平面方程.()2450x y z --+=6. 求过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z==的平面方程.()726180x y z -+=7. 判断函数1sin ,0(,)0,0x y y f x y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)点与(1,0)点的连续性.（在(0,0)点连续，在(1,0)点不连续）8. 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy→+.()09. 求()()()2222(,)(0,0)221cos limexyx y x y xy+→-++.()010. 求(,)(0,0)lim24x y xy xy →-+.()4-11. 若00(,)0x y f x∂=∂，00(,)0x y f y∂=∂，判断(,)f x y 在点00(,)x y 的连续性和可微性.（不一定连续也不一定可微）12. 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，且00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，判断函数(,)f x y 在00(,)x y 处有无极值，如果有，判断是极大值还是极小值.（可能有极值，也可能无极值）13. 设222(,)z x yf x y xy =-，其中f 具有连续偏导数，求d z .()()()3222223121222d 2d xyf x y f x y f x xf x y f x y f y ''''+++-+14. 设(),z z x y =是由e2e 2xyzz -+-=所确定，求d z .()e d d 2exyzy x x y -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭15. 设()222,u f x y z xyz =++，其中f 具有二阶连续的偏导数，求2u x y∂∂∂.()22221112222422u xyf x z y z f xyz f zf x y ⎛⎫∂'''''''=++++ ⎪∂∂⎝⎭16. 求曲面222z x y =+在(0,1,1)-处指向下侧的单位法向量.()()0,2,1-- 17. 求曲面arctany z x=在1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处指向上侧的法向量.()()1,1,2-18. 求函数()22ln u x y z=++在点()1,0,1A 处的梯度.11,0,22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19. 求曲面2222321x y z ++=平行于平面460x y z ++=的切平面方程.()4621x y z ++=±20. 求曲线2222223472x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在点()2,1,6-处的切线和法平面方程.切线：21627284x y z +--==法平面：2728420x y z +++=21. 求曲线2322y xz x x⎧=⎪⎨=+⎪⎩在点()1,2,3处的切线和法平面方程.切线：123145x y z ---==法平面：45240x y z ++-=22. 在螺旋线()2cos ,sin ,02x y z θθθθπ===≤≤上求一点，使该点处螺旋线的切线平行于平面24x z +=.（2(2,,)24π或23(2,,)24π-）23. 交换二重积分21101d (,)d x xI x f x y y --=⎰⎰的积分次序. 21101d (,)d y yy f x y x --⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰ 24. 交换二重积分e ln 1d (,)d x I x f x y y =⎰⎰的积分次序.()1e 0ed (,)d yy f x y x ⎰⎰25. 把220d (,)d a ax x xI x f x y y -=⎰⎰化为极坐标形式.()2cos 24d cos ,sin d a f πθπθρθρθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 26. 把22222d ()d y y I y f x y x -=+⎰⎰化为极坐标形式. ()2sin 2200d d f πθθρρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 27. 把21110d (,)d y yI y f x y x +-=⎰⎰化为极坐标形式.()2cos 400d cos ,sin d f πθθρθρθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 28. 求22d d Dx y x y +⎰⎰，其中区域D 为由222x y y +=及0x =所围在第一象限内的区域.169⎛⎫⎪⎝⎭29. 求()22ln 1d d Dx yx y ++⎰⎰，其中区域D为由221,0,0x y x y +≤≥≥所围成的区域.()ln 414π⎛⎫-⎪⎝⎭30. 求arctand d Dy x y x⎰⎰，其中区域D 为22224,1,,0x y x y y x y +≤+≥≤≥所围成的区域.2364π⎛⎫⎪⎝⎭31. 求224d d Dx y x y --⎰⎰，其中区域D 为以222x y x +=为边界的上半圆域.41639π⎛⎫-⎪⎝⎭32. 求2d d Dx y x y ⎰⎰，其中区域D 为1,,2xy y x x ===所围成的区域.118⎛⎫⎪⎝⎭33. 求22d d Dxx y y ⎰⎰，其中区域D 为2,x y x ==及双曲线1xy =所围成的区域.94⎛⎫⎪⎝⎭34. 设积分区域:Ω2222(0)x y z az a ++≤>，把三重积分22()d x y v Ω+⎰⎰⎰化为球面坐标下的三次积分. 22cos 432000d d sin d a r r ππϕθϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰35. 设有一物体，占有空间闭区域Ω是由圆柱面22y x x =-及平面0,0y z ==和1z =围成的，在点(,,)x y z 处的密度为22(,,)x y z z x y ρ=+，计算该物体的质量. 89⎛⎫⎪⎝⎭36. 设有一物体，占有空间闭区域Ω是以221z x y =--及0z =围成的，在点(,,)x y z 处的密度222(,,)x y z x y z ρ=++，计算该物体的质量. 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭37. 利用三重积分计算由曲面221()2z x y =+与平面0z =和2z =所围成的介于两平面之间的立体的体积. ()4π38. 设222:1,0,0,0x y z x y z Ω++≤≥≥≥，求4d v Ω⎰⎰⎰.23π⎛⎫⎪⎝⎭39. 设L 为椭圆2212yx +=，其周长为a ，求22(2)d Lx y s +⎰ .()2a40. 设空间曲线22222:x y z x y⎧+=⎪Γ⎨=+⎪⎩，求22e d x ys +Γ⎰ .()22eπ41. 求d xyz s Γ⎰ ，其中Γ是点()1,0,2A 与()2,3,1B 之间的直线段.13114⎛⎫⎪⎝⎭42. 求()2d d 2L xxy x x y ++⎰其中L 沿222x y R +=顺时针从()0,A R 到(),0B R .22R ⎛⎫⎪⎝⎭43. 求()()esin d e cos d xxLy my x y my y -+-⎰其中L 为22x y ax +=从点(),0A a 到()0,0O 的上半圆弧，m 为常数.28m a π⎛⎫⎪⎝⎭44. 求()()22d sin d Lxy x x y y --+⎰其中L 是22y x x =-由点()0,0到()1,1的一段弧.sin 2746⎛⎫-⎪⎝⎭45. 设2222:x y z a ∑++=，求2d S ∑⎰⎰.()28a π46. 求(e cos 5)d (e sin 5)d x xCy y x y y --+-⎰，其中C 为222x y x +=自(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧. 25(e 1)2π⎛⎫+- ⎪⎝⎭47. 计算22d d d d d d x y z xy z x y x y ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+被4z =所截下部分的下侧. ()4π-48. 计算()d d ()d d ()d d y z y z z x z xx y x y ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为圆锥面22z x y=+被1z =所截下部分的下侧.()049. 计算22222()d d I x y z x y x y ∑=+++⎰⎰，∑为下半球面221z x y=---的下侧.23π⎛⎫- ⎪⎝⎭50. 设级数21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑均收敛，判断以下结论是否成立（()21n n n u v ∞=+∑收敛成立 ）1n n u ∞=∑收敛；1n n n u v ∞=∑条件收敛；()21n n n u v ∞=+∑收敛； ()211nn n u ∞=-∑条件收敛.51. 判别下列级数的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛.21(1)sin ln(1)nn n ∞=⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦∑（条件收敛），11(1)1ln n n n n n-∞=-+∑（绝对收敛），31arctan n n n ∞=∑（绝对收敛），()111n n n n ∞=+-∑（发散），()()12111n n n n ∞-=-+∑（条件收敛），()()111ln 1n n n -∞=-+∑（条件收敛）. 52. 判断1!nn n n∞=∑的敛散性.（收敛）53. 判断1!21nn n ∞=+∑的敛散性.（发散）54. 判断13!nnn nn ∞=∑的敛散性.（收敛）55. 求幂级数2321(1)2nn nn xn∞-=-∑的收敛域. ()2,2⎡⎤-⎣⎦56. 求幂级数21212n nn n x∞=-∑的收敛域. ()(2,2)-57. 求幂级数()112(1)nn n x n∞-=+-∑的收敛域.(]()3,1--58. 求幂级数()21211nnn x n ∞=-+∑的收敛域.13,22⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭59. 微分方程323e x y y y x -'''++=的特解形式为________.()e ()x x Ax B -+ 60. 微分方程369(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式为________.()23e ()x x Ax B + 61. 微分方程244e x y y y x '''-+=的特解形式为________.()()22e x Ax B x +62. 求以12e (cos 2sin 2)xy C x C x =+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.()250y y y '''-+=63. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解为212e ,e x xy y -==，求其方程.()20y y y '''+-=64. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解为12e ,e x xy y x ==，求其方程.()20y y y '''-+=65. 求以12e xy C C =+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.()0y y '''-=66. 已知123,,y y y 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，且2131y y y y -≠-常数，则方程的通解为________.()()()1212311C y y C y y y -+-+ 67. 求微分方程2d 1d 0xy x x y +-=满足初始条件1e x y ==的特解.()211e xy +-=68. 求解2110x y y x x y =⎧'=-+⎪⎨⎪=⎩.ln x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭69. 求解32cos xy y x x '-=.()()2sin y x x C =+70. 求解004306,10x x y y y y y =='''-+=⎧⎪⎨'==⎪⎩.()32e 4e x x y =+1.求过直线1123:11x y z L ---==-且平行于直线221:211x y z L +-==的平面方程．解：直线1L 上的一点(1,2,3)A ，方向向量1(1,0,1)s =-，2L 的方向向量2(2,1,1)s = 从而所求平面的法向量121013211ijkn s s i j k =⨯=-=-+∴所求平面的方程为：(1)3(2)(3)0x y z ---+-=即320x y z -++=2.设()22,,z f xy x y=+其中f具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．解：121222z f y f x yf xf x∂''''=⋅+⋅=+∂()()2111122122222z z f y f x f y x f x f y x yy x ∂∂∂⎛⎫'''''''''==+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭()221112122224f xyf x y f xyf '''''''=++++ 3.求曲线e cos ,e sin ,e t t t x t y t z ===在0t =时的法平面与切线方程. 解：()e (cos sin ),()e (sin cos ),()e t t t x t t t y t t t z t '''=-=+= ∴在0t =处的切向量为：()(0),(0),(0)(1,1,1)T x y z '''==又 0t =时对应曲线上的点(1,0,1)，∴切线方程：101111x y z ---==，法平面方程：1010x y z -+-+-=，即20x y z ++-= 4.计算22()d d ,Dx y x y +⎰⎰其中 22:24,02D x x y x x -≤≤-≤≤．解：:0,2cos 22D πθθρ≤≤≤≤22223202cos ()d d d d d d DDx y x y πθρρρθθρρ+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()42041cos d πθθ=-⎰20312+2cos2+cos 4d 22ππθθθ⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰20312+sin2+sin 4)28ππθθθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦54π=5.计算()22d ,x y v Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面222x y z +=与平面2z =所围成的空间闭区域．解：2:02,02,22z ρθπρΩ≤≤≤≤≤≤，则()223d d d d x y v z ρθρΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222232d d d z πρθρρ=⎰⎰⎰2246230162(2)d 222123ρρρππρρπ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰6.计算22()d (sin )d ,LI x y x x y y =--+⎰其中L 是圆周22y x x =-由点(0,0)到 (1,1)的一段弧．解：22,sin P x y Q x y =-=--，则1P Q yx∂∂=-=∂∂ ∴曲线积分与路径无关取折线:0,:01;:1,:01OB y x BA x y =→=→∴OBBAI =+⎰⎰1122d (1sin )d x x y y =+--⎰⎰131sin 2324⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭71sin 264=-+7.计算()()()222d d d d d d ,y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰其中∑为锥面22(0)z x y z h =+≤≤的外侧．解：补*222:()z h x y h ∑=+≤取上侧，则2P y z =-，2Q z x =-，2R x y =-， 0P Q R xyz∂∂∂===∂∂∂由Gauss 公式得，*0d 0v Ω∑+∑==⎰⎰⎰⎰⎰**22()d d ()d d xyD x y x y x y x y ∑∑=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224d (cos sin )d 4h h ππθρθρθρρ=-=⎰⎰故**44044h h ππ∑∑+∑∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.判定级数12ln 2n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性． 解：0lim2n n n→∞= n ∴→∞时，ln 122n n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴由比较审敛法知：1ln 12n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑与12n n n ∞=∑有相同的敛散性.下面只要判定12nn n ∞=∑的敛散性1121lim 122nn n n n +→∞+⋅=< ，故由比值法，知12n n n∞=∑收敛 ∴12ln 2n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛 9.求幂级数12121(1)n nn n xn∞-=+-∑的收敛域．解：()2121121211nn nn n n n xxnn∞∞-==++-=∑∑，令221nn n u xn+=，则22212(23)limlim1(21)n n nn n nn xu n x u n n x++→∞→∞+=⋅=++当21x <，即1x <时，2121nn n xn∞=+∑收敛，21x>，即1x >时，2121nn n xn∞=+∑发散，当1x =时，121n n n∞=+∑发散；1x =-时，121n n n∞=+∑发散， ∴原级数的收敛域：()1,1-10.求微分方程cos d cot 5ed xy y x x+=的通解．解： 对应的齐次线性方程：d cot 0d y y x x+=，即1cos d d sin x y x yx=-两端积分，得ln ln(sin )ln y x C =-+ sin Cy x∴=用常数变易法，设原方程的通解为：()sin C x y x=代入原方程，得cos 2()sin ()cos ()cos 5e sin sin x C x x C x x C x x x x'-+=cos ()5sin e xC x x '∴= 从而cos ()5e xC x C =-+∴原方程的通解：cos 5esin xCy x-+=1.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042:z y x z y x l 在平面14:=+-∏z y x 上的投影直线的方程．解：过直线l 的平面束()092342=---++-z y x z y x λ即()()()0921432=--++-+λλλλz y x ，又l 的投影直线与l 确定的平面与平面∏垂直()()01,1,421,4,32=-⋅---+∴λλλ 即01311=+λ，解得1113-=λ所以投影直线⎩⎨⎧=+-=--+140117373117z y x z y x 。

高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。

答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。

答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。

计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。

极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。

2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。

答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。

欢迎阅读《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥b3. （A ）6π4.A.=⋅b a 5.函数z A.2 6.设z =A.227. 级数（A 8.幂级数=1n nA.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2(22)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰Ñ____________. 5. .级数n ∞三.1.设z =2.3.计算D⎰⎰4. .一.二.1.2-y x 2.(xy cos 3.62-y x 4. ()n n n n ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin .2.12,12+=∂∂+-=∂∂z y y z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.2.31x y =一.1.点(1M A.12 2.A.6π 3.点(-P A.3 4.A.1≤r 8.幂级数A.[]1,1- B.[)1,1- C.(]1,1- D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10. ．考虑二元函数(,)f x y 的下列四条性质：（1）(,)f x y 在点00(,)x y 连续； （2）(,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 连续（3）(,)f x y 在点00(,)x y 可微分； （4）0000(,),(,)x y f x y f x y 存在. 若用“P Q ⇒”表示有性质P 推出性质Q ，则有（ ） （A ）(2)(3)(1)⇒⇒； （B ）(3)(2)(1)⇒⇒ （C ）(3)(4)(1)⇒⇒； （D ）(3)(1)(4)⇒⇒ 二.填空题（4分⨯5）1. 级数(3)nn x ∞-∑的收敛区间为____________.2.函数z3.曲面z4.211x+三.1.设i a =2.设z =3.4. 设∑四.一.二.填空题1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +. 3.488=--z y x . 4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-. 2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.332a 5.C y =四.1.316. 2. x =1A 、10 2、设A 、3、点P A 、2 4、函数z=xsiny 在点（1，4）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,-6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=0(n 9A 、一阶10A 、-2，1、直线 直线2、（0.9834512、求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. 3、计算⎰⎰===Dx y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.4、问级数∑∞=-11sin )1(n n ？，？n 收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗5、将函数f(x)=e 3x 展成麦克劳林级数6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a 2而体积最大的长方体体积。

大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

大学高等数学下考试题库(附答案)一、填空题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间I上单调递增，若a < b，则必有__________。

【答案】f(a) < f(b)2. 函数y = e^x在区间（-∞，+∞）上的最小值为__________。

【答案】03. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x) =__________。

【答案】3x^2 - 64. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的行列式det(A) = __________。

【答案】a_{11}a_{22}...a_{nn} -a_{11}a_{23}...a_{n2} + a_{12}a_{21}...a_{n3} - ... + (-1)^(n+1)a_{1n}a_{21}...a_{n1}5. 向量组α = (α1, α2, α3)和β = (β1, β2, β3)垂直的条件是__________。

【答案】α1β1 + α2β2 + α3β3 = 06. 设线性方程组Ax = b的解集为N，则N是__________。

【答案】向量空间7. 若函数f(x)在区间（a，b）上连续，且f(a) = f(b)，则函数f(x)在区间（a，b）上必有零点，此结论称为__________。

【答案】零点定理8. 设函数f(x)在区间I上单调递减，若a < b，则必有__________。

【答案】f(a) > f(b)9. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) =__________。

【答案】1/x10. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的逆矩阵A^-1 = __________。

【答案】(1/det(A))[c_{ij}]，其中c_{ij} = (-1)^(i+j)det(A)/a_{ii}a_{jj}二、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数在区间（0，1）上单调递增的是__________。

高等数学下考试题库(附答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，且f(a) = 1，f(b) = 2，则下列不等式成立的是：A. f(x) ≥ 1，a ≤ x ≤ bB. f(x) ≤ 2，a ≤ x ≤ bC. f(x) ≥ f(a)，a ≤ x ≤ bD. f(x) ≤ f(b)，a ≤ x ≤ b答案：C2. 设函数f(x) = x^3 - 3x，其导函数f'(x) =3x^2 - 3，则f'(x)的符号变化点为：A. x = -1 和 x = 1B. x = 0 和 x = 2C. x = -1 和 x = 1D. x = 0 和 x = 1答案：A3. 下列关于极限的叙述正确的是：A. 当x → 0时，sinx → 0B. 当x → ∞时，e^x → ∞C. 当x → -∞时，|x| → ∞D. 当x → a时，x^2 → a^2答案：B4. 设函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)的极值点为：A. x = 1B. x = -1C. x = 0D. x = 2答案：A5. 下列关于积分计算的叙述正确的是：A. 定积分与不定积分具有相同的计算法则B. 定积分的计算结果为数值，不定积分的计算结果为函数C. 被积函数为偶函数时，定积分的计算结果为非负数D. 被积函数为奇函数时，定积分的计算结果为0答案：D二、填空题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，其导函数为f'(x) = ______。

答案：3x^2 - 32. 函数y = e^x的导数为y' = ______。

答案：e^x3. 定积分$$ ∫_{ a }^{ b }$$f(x)dx的定义为f(x)在[a, b]上的______。

答案：面积4. 设函数f(x) = x^2，则f(x)的极值点为______。

答案：x = 05. 设函数f(x) = sinx，则f(x)的周期为______。

高数下试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案：A2. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）A. e^x+CB. e^x-CC. xe^x+CD. xe^x-C答案：A3. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是（）A. x=-1B. x=1C. x=0D. x=2答案：A4. 函数f(x)=x^3-3x+1的拐点是（）A. x=-1B. x=1C. x=0D. x=2答案：C5. 函数f(x)=x^2+2x+1的二阶导数是（）A. 2x+2B. 2x+1C. 2D. 2x答案：C6. 函数f(x)=x^3-3x+1的泰勒级数展开式是（）A. x^3-3x+1+o(x^2)B. x^3-3x+1+o(x^3)C. x^3-3x+1+o(x^4)D. x^3-3x+1+o(x^5)答案：B7. 函数f(x)=e^x的泰勒级数展开式是（）A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^3)B. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^4)C. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^5)D. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^6)答案：A8. 函数f(x)=x^2+2x+1的不定积分是（）A. x^3/3+x^2+CB. x^3/3+x+CC. x^3/3+x^2+CD. x^3/3+x^2+C答案：C9. 函数f(x)=x^3-3x+1的不定积分是（）A. x^4/4-3x^2/2+x+CB. x^4/4-3x^2/2+x+CC. x^4/4-3x^2/2+x+CD. x^4/4-3x^2/2+x+C答案：A10. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）A. e^x+CB. e^x-CC. xe^x+CD. xe^x-C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的二阶导数是_________。

《高等数学（下）》习题答案一、单选题1、向量、垂直，则条件：向量、的数量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件2、当x→0时，y=ln(1+x)与下列那个函数不是等价的（C）Ay=x By=sinx Cy=1-cosx Dy=e^x-13、如果在有界闭区域上连续，则在该域上（C）A只能取得一个最大值B只能取得一个最小值C至少存在一个最大值和最小值D至多存在一个最大值和一个最小值4、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件5、向量与向量平行，则条件：其向量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件6、当x→0时,下列变量中（D）为无穷小量Aln∣x∣ Bsin1/x Ccotx De^(-1/x^2)7、为正项级数，设，则当时，级数（C）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛8、设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（D）。

A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无穷9、已知向量，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分量（A）A27，51 B25，27 C25，51 D27，2510、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件11、下面哪个是二次曲面中椭圆柱面的表达式（D）A B C D12、曲线y=x/(x+2)的渐进线为(D)Ax=-2 By=1 Cx=0 Dx=-2,y=113、向量、的夹角是，则向量、的数量积是（A）A BC D14、当x→0时,函数(x²-1)/(x-1)的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞15、平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则（C）A BC D16、设φ(x)=(1-x)/(1+x)，ψ(x)=1-³√x则当x→0时（D）Aφ与ψ为等价无穷小 Bφ是比ψ为较高阶的无穷小Cφ是比ψ为较低阶的无穷小 Dφ与ψ是同价无穷小17、在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量（D）A B C D18、当x→0时，1/（ax²+bx+c）～1/(x+1)，则a,b,c一定为（B）Aa=b=c=1 Ba=0,b=1,c为任意常数 Ca=0,b,c为任意常数 Da,b,c为任意常数19、对于复合函数有，，则（B）A B C D20、y=1/(a^2+x^2)在区间[-a,a]上应用罗尔定理, 结论中的点ξ=(B).A0 B2 C3/2 D321、设是矩形：，则（A）A B C D22、对于函数的每一个驻点，令，，，若，，则函数（A）A有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定23、若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数（D）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛24、交错级数，满足，且，则级数（B）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛25、若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数（C）A发散B收敛 C条件收敛 D绝对收敛26、微分方程的通解是（B）A B C D27、改变常数项无穷级数中的有限项，级数的敛散性将会（B）A受到影响 B不受影响 C变为收敛 D变为发散28、设直线与平面平行，则等于（A）A2 B6 C8 D1029、曲线的方向角、与，则函数关于的方向导数（D）A BC D30、常数项级数收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛31、为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛32、下面哪个是二次曲面中椭圆抛物面的表达式（A）A B C D33、已知向量垂直于向量和，且满足于，求（B）A B C D34、平面上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与垂直，则（B）A B C D35、下面哪个是二次曲面中双曲柱面的表达式（C）A B C D36、若为无穷级数的次部分和，且存在，则称（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛37、已知向量两两相互垂直，且求（C）A1 B2 C4 D838、曲线y=e^x-e^(-x)的凹区间是(B)A(-∞,0) B(0,+∞) C(-∞,1) D(-∞,+∞)39、下面哪个是二次曲面中双曲抛物面的表达式（B）A B C D40、向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向（C）A BC D41、下面哪个是二次曲面中单叶双曲面的表达式（A）A BC D42、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D343、曲线y=lnx在点（A）处的切线平行于直线y=2x-3A(1/2,-1n2) B(1/2,-ln1/2) C(2,ln2) D(2,-ln2)44、若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在x=x0处（C）A可导 B不可导 C连续但未必可导 D不连续45、y=√x-1 在区间[1, 4]上应用拉格朗日定理, 结论中的点ξ=(C).A0 B2 C44078 D346、arcsinx+arccos=(D)A∏ B2∏ C∏/4 D∏/247、函数y=ln(1+x^2)在区间[-1,2]上的最大值为（D）A4 B0 C1 Dln548、函数y=x+√x在区间[0,4]上的最小值为（B）A4 B0 C1 D349、当x→1时，函数(x²-1)/(x-1)*e^[(1/x-1)]的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞50、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D3二、判断题1、由及所确定的立体的体积（对）2、y=∣x∣在x=0处不可导（对）3、设，，，且，则（错）4、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）5、二元函数的极小值点是（对）6、若函数f(x)在x0处极限存在，则f(x)在x0处连续（错）7、设是由轴、轴及直线所围城的区域，则的面积为（错）8、函数f(x)在[a,b]在内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数根（对）9、若积分区域是，则（对）10、下列平面中过点（1,1,1）的平面是ｘ＝1（对）11、设，其中，，则（对）12、若函数f(x)在x0的左、右极限都存在但不相等，则x0为f(x)的第一类间断点（对）13、函数的定义域是（对）14、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）15、二元函数的两个驻点是，（对）16、y=ln(1-x)/(1+x)是奇函数（对）17、设表示域：，则（错）18、若函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处极限存在（对）19、设是曲线与所围成，则（对）20、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）21、设，则（错）22、函数在一点的导数就是在一点的微分（错）23、函数在间断（对）24、罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件（对）25、设不全为0的实数使，则三个向量共面（对）26、函数z=xsiny在点（1，∏/4）处的两个偏导数分别为1,1（错）27、微分方程的一个特解应具有的形式是（对）28、设圆心在原点，半径为R，面密度为a=x²+y²的薄板的质量为RA（面积A=∏R²）（错）29、函数的定义域是整个平面（对）30、1/(2+x)的麦克劳林级数是2（错）31、微分方程的通解为（错）32、等比数列的极限一定存在（错）33、设区域，则在极坐标系下（对）34、函数极限是数列极限的特殊情况（错）35、,,则（对）36、sin10^0的近似值为017365（对）37、二元函数的极大值点是（对）38、定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义（对）39、将在直角坐标下的三次积分化为在球坐标下的三次积分，则（对）40、微分是函数增量与自变量增量的比值的极限（错）41、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）42、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为1,2（错）43、f〞(x)=0对应的点不一定是曲线的拐点（对）44、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的法平面方程为（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0（对）45、1/x的极限为0（错）46、y=e^(-x^2) 在区间(-∞,0)(1,∞)内分别是单调增加，单调增加（错）47、导数和微分没有任何联系，完全是两个不同的概念（错）48、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）49、求导数与求微分是一样的，所以两者可以相互转化（对）50、在空间直角坐标系中，方程x²+y²=2表示圆柱面（对）。

高数下册复习题及答案一、选择题1. 函数f(x)=\( e^x - 1 \)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. \( e \)2. 曲线y=\( x^2 \)在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. -1D. 03. 函数f(x)=\( \sin x \)的二阶导数是：A. \( \cos x \)B. \( -\sin x \)C. \( -\cos x \)D. \( \sin x \)二、填空题1. 函数f(x)=\( x^3 - 2x^2 + 3x \)的一阶导数是_________。

2. 若f(x)=\( \ln x \)，求f'(1)的值为_________。

3. 曲线y=\( x^3 \)在点(2,8)处的法向量是_________。

三、计算题1. 求函数f(x)=\( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的极值点。

2. 求曲线y=\( x^2 + 2x - 3 \)在x=1处的切线方程。

3. 证明函数f(x)=\( x^3 \)在R上是严格递增的。

四、解答题1. 已知函数f(x)=\( 3x^2 - 5x + 2 \)，求其在区间[1,3]上的最大值和最小值。

2. 解微分方程：\( (x^2 + 1)y'' - 2xy' + 2y = 0 \)。

3. 讨论函数f(x)=\( \ln(1 + x) \)的连续性和可导性。

五、证明题1. 证明罗尔定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2. 证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c∈(a,b)，使得\( f'(c) =\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。

六、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=\( 0.5x^2 - 100x + 500 \)，求该工厂生产x件产品时的最低成本。