2021届高三五校联考(一)数学模拟试题含解析【11份合集】

绝密★启用前浙江省五校联考联盟(杭州高中 杭州二中 学军中学 绍兴一中 效实中学) 2022届高三毕业班上学期第一次联考质量检测数学试题2021年10月考生须知：1.本卷满分150分,考试时间120分钟；2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效；4.考试结束后,只需上交答题卷。

参考公式：若事件A,B 互斥,则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)若事件A,B 相互独立,则P(AB)＝P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0,1,2,…,n)台体的体积公式：V ＝13(S 1＋S 2)h 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式：V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式：V ＝13Sh 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式：S ＝4πR 2球的体积公式：V ＝43πR 3 共中R 表示球的半径第I 卷(选择题部分,共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|0<x<2},B ＝{x|x 2＋4x －5>0},则AI(∁R B)等于A.{x|0<x ≤1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|－1≤x<2}2.已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方,则实数b 的取值范围为A.b>－3B.b<－3C.－3<b<0D.b>0或b<－33.若a>b>0,m<0。

则下列不等式成立的是A.am 2<bm 2B.m b a ->1C.a m a b m b -<-D.22a m b m a b --> 4.已知sin(4π＋α)＝13,则cos(2π－2α)＝ A.－79 B.79C.－429D.429 5.函数f(x)＝(1－x21e +)cosx(其中e 为自然对数的底数)的图象大致形状是6.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台。

河北省衡水市五校2021届高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|−4<x<1}，B={x|−3<x<2}，则A∩B等于()A. {x|−3<x<1}B. {x|1<x<2}C. {x|x>−3}D. {x|x<1}2.(−1+√3i2)2015=()A. −1+√3i2B. −1−√3i2C. −1D. 13.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷500次，那么第499次出现正面朝上的概率是()A. 1499B. 1500C. 499500D. 124.已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是()A. y=0.9576B. y=0.9576100xC. y=(0.9576%) xD. y=1−0.04245.函数f(x)=2sin|x|−1x2的部分图象大致为()A. B.C. D.6.已知cosα<0，tan2α>0，则在(0,π)内，α的取值范围是()A. (0,π4) B. (π2,3π4) C. (3π4,π) D. (π2,π)7.在△ABC中，若∠B=30°，AB=2√3，AC=2，则△ABC的面积为()A. √3B. 2√3或√2C. 2√3或√3D. 2√38.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x 3−x，则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A. 6B. 7C. 8D. 9二、多选题（本大题共4小题，共12.0分） 9.已知由样本数据(x 1,y 1)(i =1,2，3，…，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为y ̂=2x −0.4且x −=2，去除两个歧义点(−2,7)和(2,−7)后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是( )A. 相关变量x ，y 具有正相关关系B. 去除歧义点后的回归直线方程为y ̂=3x −3.2C. 去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D. 去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1(附：e ̂1=y 1−y i ̂)10. 函数y =f(x)图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x)为奇函数．有同学据此推出以下结论，其中正确的是( )A. 函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是为奇函数B. f(x)=x 3−3x 2的图象的对称中心为(1,−2)C. 函数y =f(x)的图象关于x =a 成轴对称的充要条件是函数y =f(x −a)是偶函数D. g(x)=|x 3−3x 2+2|是关于x =1对称11. 已知函数f(x)=2lnx +1x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，a n+1=f(a n )(n ∈N ∗)，则下列有关数列{a n }的叙述正确的是( )A. a 2<a 1B. a n >1C. S 100<100D. a n ⋅a n+1+1<2a n12. 已知抛物线C 1 ： y 2=2x ，C 2 ： y 2=2ax(a >0)，C 3 ： y 2=2bx(b >0)，若直线l ：y =kx与C 1交于O ，A 两点、与C 2交于O ，B 两点、与C 3交于O ，M 两点，则下列说法正确的是( )A. b =1+a 2时，|OM|=|OA|+|OB|2B. b =√a 时，|OM|2=|OA|⋅|OB|C. b =2a 1+a 时，1|OM|=1|OA|+1|OB| D. b =√1+a 22时，|OM|2=|OA|2+|OB|22三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 已知双曲线x 2m−y 2=1和椭圆x 212+y 24=1焦点相同，则该双曲线的方程为______．14. 已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到A ，B 两个班级，若甲必须在A 班，且每班至少有这五名中的2人，则不同的分配方案有______种．15. 已知函数f(x)=lnx −x 3与g(x)=x 3−ax ，若函数f(x)图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数g(x)图象上，则实数a 的取值范围为______． 四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知点P(3,4)和圆C ：(x −2)2+y 2=4，A ，B 是圆C 上的两个动点，且|AB|=2√3，则圆心到直线AB 的距离d = (1) ；OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(O 为坐标原点)的取值范围是 (2) ． 五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 中的周长为√2+1，且sinB +sinC =√2sinA (1)求边BC 的长；(2)若△ABC 面积为16sinA ，求角A 度数．18. 已知数列{a n }是以1为首项的等差数列，数列{b n }是以q(q ≠1)为公比的等比数列，且a 2=b 1，a 3−a 1=b 2−b 1，a 2b 2=b 3． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)若S n =a 1b n +a 2b n−1+⋯+a n−1b 2+a n b 1，求S n ．19. 在三棱锥S −ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =√13，SB =√29． (1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．20. 2019年春节期间，当红影视明星翟天临“不知‘知网’”学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的2019年部门预算中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文6000篇，预算为800万元，国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3为同行专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学位论文”；有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2为复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0<p<1)，且个篇论文是否被评议为“不合格”相互独立．(1)相关部门随机抽查了300位博士硕士论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的部分数据如表所示：通过计算说明是否有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系？(2)若p=12，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为p0，求p0的值；(3)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元，现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d临界值表：21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，且AB=2，离心率为√32，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆C上的两个动点(不与A，B重合)，且关于y轴对称，M，N分别是OP，BP的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D.求证：D，N，Q三点共线．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2，g(x)=f′(x)．(1)若a≥12，试判断函数g(x)的零点个数；(2)若函数f(x)在定义域内不单调且在(2,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|−4<x<1}，B={x|−3<x<2}，∴A∩B={x|−3<x<1}．故选：A．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：(−1+√3i2)2015=[(−12+√32i)3]671⋅(−12+√32i)2=1×(−12+√32i)2=−12−√32i．故选：B．由−12+√32i为1的一个立方虚根，把要求值的式子变形化简．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了互为共轭复数的概念，是基础的计算题．3.答案：D解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第499次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现由古典概率的等可能性知，每一次出现正面向上的概率都相等．故所求概率为12故选：D简化模型，只考虑第499次出现的结果，有两种结果，第499次出现正面朝上只有一种结果，即可求本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．4.答案：A解析：解：设衰变率为a，则(1−a)100=0.9576，得1−a=0.95761100，则．故答案选：A．5.答案：A解析：解：因为f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C，D；∵f(π6)=0，且0<x<π6时，f(x)<0，∴排除B．故选：A．由函数为偶函数，排除CD，由f(π6)=0，且0<x<π6时，f(x)<0，排除B．本题考查由函数解析式确定函数图象，通常从单调性，奇偶性，特殊点等角度，运用排除法求解，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵cosα<0，∴2kπ+π2<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴在(0,π)内，α的取值范围是(π2,π)∵tan2α>0，∴2kπ<2α<2kπ+π2，或2kπ+π<2α<2kπ+3π2，k∈Z，可解得：kπ<α<kπ+π4或kπ+π2<α<kπ+3π4，k∈Z∴在(0,π)内，α的取值范围是(0,π4)∪(π2,3π4)综上可得，在(0,π)内，α的取值范围是(π2,3π4).故选：B．由cosα<0，可解得在(0,π)内，α的取值范围是(π2,π)，由tan2α>0可解得在(0,π)内，α的取值范围是(0,π4)∪(π2,3π4)，取交集即可得到在(0,π)内，α的取值范围是(π2,3π4).本题主要考察了三角函数值的符号的确定，属于基本知识的考查．7.答案：C解析：解：∵△ABC中，B=30°，AB=2√3，AC=2，∴2√3sinC =2sin30°，∴sinC=√32，∴C=60°或120°，∴A=90°或30°，∴△ABC的面积为12⋅AB⋅AC⋅sinA=2√3或√3．故选：C．利用正弦定理，求出C ，从而可求A ，利用△ABC 的面积12⋅AB ⋅AC ⋅sinA ，即可得出结论 本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：B解析：当0≤x <2时，令f (x )=x 3−x =0，得x =0或x =1． 根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2， 可知y =f (x )在[0,6)上有6个零点， 又f (6)=f (3×2)=f (0)=0，所以f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7．9.答案：ABD解析：解：由x −=2，代入y ̂=2x −0.4，得y −=2×2−0.4=3.6， ∴去除两个歧义点(−2,7)和(2,−7)后， 得到新的x −=2×86=83，y −=3.6×86=4.8，又得到新的回归直线的斜率为3，∴新的线性回归方程的a ̂=4.8−3×83=−3.2，则去除两个歧义点后的线性回归方程为y ̂=3x −3.2，故B 正确； 又由斜率3>1，相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；且去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变大，故C 错误；当x =4时，y ̂=3×4−3.2=8.8，则去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为8.9−8.8=0.1，故D 正确． 故选：ABD ．由已知求得y −，进一步求出去除歧义点后的x 与y 的平均数，结合新的回归直线的斜率求a ̂，则线性回归方程可求，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．10.答案：BD解析：解：对于A ，函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是是为奇函数，说法错误，比如函数y=(x−1)3的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数y=(x−1)3不是奇函数，A 错误；对于B，f(x)=x3−3x2=(x−1)3−3(x−1)−2，函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称，而函数f(x)=x3−3x2的图象是由函数y=x3的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，故f(x)=x3−3x2的图象的对称中心为(1,−2)，B正确；对于C，因为函数y=f(x)的图象关于x=0成轴对称的充要条件是函数y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)是偶函数，因此C不正确；对于D，作出函数的图象，如图所示：由图可知，D正确．故选：BD．对于A，说法错误，比如函数y=(x−1)3的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数y=(x−1)3不是奇函数；对于B，f(x)=x3−3x2=(x−1)3−3(x−1)−2，函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称，根据平移变换即可判断出正误；对于C，因为函数y=f(x)的图象关于x=0成轴对称的充要条件是函数y=f(x)是偶函数，即可判断出正误；对于D，作出函数的图象，如图所示：即可判断出正误．本题主要考查充要条件的判断，以及函数对称性，奇偶性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：AB解析：解：A选项，a2=2ln2+12=ln4+12<lne32+12=2，A正确；B选项，因为f′(x)=2x −1x2=2x−1x2，所以当x>1时，f(x)单增，所以f(x)>f(1)=1，因为a1=2>1，所以a n+1=f(a n)>1，所以a n>1，B正确；C选项，因为a n>1，所以S100>100，C错误；D选项，令ℎ(x)=lnx+1x −1(x>1)，ℎ′(x)=1x−1x2=x−1x2>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以lna n +1a n−1>0，则2lna n +2a n−2>0，所以(2lna n +1a n)+1a n>2，即a n+1+1a n>2，所以a n a n+1+1>2a n ，所以D 错误． 故选：AB ．利用数列与函数的关系，推出第二项与第一项的关系，判断A ；通过函数的导数，判断函数的单调性，推出a n >1，判断B ；利用数列的和判断C ；利用函数的导数判断函数的单调性，结合数列与函数的关系推出a n a n+1+1>2a n ，判断D ．本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题．12.答案：ABD解析：解：联立{y =kx y 2=2x 可得k 2x 2=2x ，所以可得A(2k 2,2k )；同理可得B(2a k 2,2ak)，M(2b k 2,2b k)，A 中，b =1+a 2，所以可得2b =a +1，因为|OM|=√4b 2k 4+4b 2k 2=2b k 2√1+k 2， 而|OA|=√4k 4+4k 2=2k 2√1+k 2，|OB|=√4a 2k 4+4a 2k 2=2a k 2√1+k 2，所以|OA|+|OB|2=1+a k 2√1+k 2=2bk 2√1+k 2=|OM|，所以A 正确；B 中，由b =√a ，所以b 2=a ，因为|OM|2=4b 2k 4(1+k 2)=4ak 2(1+k 2)，而|OA|⋅|OB|=2k 2√1+k 2⋅2ak 2√1+k 2=4ak 4(1+k 2)， 所以|OM|2=|OA|⋅|OB|，所以B 正确； C 中，b =2a 1+a，所以1b =1+a2a，所以1|OM|=22b√1+k 2=24a√1+k 2， 而1|OA|+1|OB|=22√1+k 2+22a√1+k 2=22a√1+k 2， 显然1|OM|≠1|OA|+1|OB|，所以C 不正确； D 中，b =√1+a 22所以b 2=1+a 22，所以|OM|2=(√4b 2k 4+4b 2k 2)2=(2b k 2√1+k 2)2=4b 2(1+k 2)k 4=2(1+a 2)(1+k 2)k 4，而|OA|2+|OB|22=4(1+k2)k4+4a2(1+k2)k42=2(1+a2)(1+k2)k4，所以|OM|2=|OA|2+|OB|22，所以D正确．故选：ABD．将直线l与3个抛物线联立求出A，B，M的坐标，分别由给出的b与a的关系求出|OM|，|OA|，|OB|的值，进而判断所给命题的真假．本题考查直线与抛物线相交求交点的方法及两点间的距离的求法，命题的真假的判断方法，属于中档题．13.答案：x27−y2=1解析：本题考查椭圆和双曲线的概念和几何性质，属于简单题．根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得m+1=8，解可得m的值，将m的值代入双曲线的方程，即可得答案．解：根据题意，椭圆x212+y24=1的焦点在x轴上，且其焦点坐标为(±2√2,0)，若双曲线x2m −y2=1和椭圆x212+y24=1焦点相同，则有m+1=8，解得m=7；则双曲线的方程为：x27−y2=1．故答案为：x27−y2=1．14.答案：10解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，有C52=10种分法，②，将甲所在的组安排到A班，剩下的1组安排到B班，有1种情况，则有10×1=10种不同的安排方法；故答案为：10．根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，②，将甲所在的组安排到A班，剩下的1组安排到B班，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.答案：(−∞,1e].解析：解：函数f(x)=lnx −x 3与g(x)=x 3−ax 的图象上存在关于x 轴的对称点，∴f(x)=−g(x)在(0,+∞)上有解，即lnx −x 3=−x 3+ax 在(0,+∞)上有解，∴lnx =ax ，在(0,+∞)上有解，分别设y =lnx ，y =ax ，若y =ax 为y =lnx 的切线，则y′=1x ， 设切点为(x 0,y 0)，则a =1x 0，ax 0=lnx 0， ∴x 0=e ，∴a =1e ，结合图象可知，a ≤1e ．故答案为：(−∞,1e ].由题意可知f(x)=−g(x)有解，即y =lnx 与y =ax 有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围．本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y =lnx 与y =ax 有交点，属于中档题． 16.答案：1[2,22]解析：解：①圆C ：(x −2)2+y 2=4的圆心为C(2,0)，半径为2，弦长|AB|=2√3，则圆心C 到直线AB 的距离为d =√22−(√3)2=1；②由题意知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(M 是AB 的中点)，|CM|=1， 所以M 的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆，且M 的轨迹方程为：(x −2)2+y 2=1，令{x =2+cosθy =sinθ， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(3,4)⋅(2+cosθ,sinθ)=12+(6cosθ+8sinθ)=12+10sin(θ+α)，tanα=34；所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大值22，最小值2，其取值范围是[2,22]．故答案为：①1；②[2,22]．①根据圆C 的圆心到直线AB 的距离与半径和弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求得结果； ②由题意知AB 的中点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，利用参数法求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大、最小值即可．本题考查了平面向量的综合应用问题，是中档题．17.答案：解：(1)∵sinB +sinC =√2sinA∴由正弦定理，得b +c =√2a又∵△ABC 的周长a +b +c =√2+1，∴a +√2a =√2+1，解之得a =1，即BC 的长为1；(2)∵△ABC 面积为16sinA ，∴12bcsinA =16sinA ，可得bc =13由(1)的结论，得b +c =√2a =√2∴b 2+c 2=(b +c)2−2bc =43由余弦定理，得cosA =b 2+c 2−a 22bc =43−12×13=12 结合A 为三角形的内角，可得A =60°．解析：(1)利用正弦定理化简已知等式，得b +c =√2a ，与三角形的周长为√2+1联解可得a =1，即BC 的长为1；(2)根据三角形的面积公式算出bc =13，结合(1)的结论b +c =√2a =√2，算出b 2+c 2=43.再利用余弦定理的式子解出cos A 的值，即可得到角A 度数．本题给出三角形的周长和角的关系式，求边BC 的长并依此求角的大小．着重考查了正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题． 18.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n =1+(n −1)d ，b n =b 1q n−1．依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得d =1，b 1=2，q =2，所以a n =n ，b n =2n ．(2)S n =1×2n +2×2n−1+⋯+n ×21，①所以2S n =1×2n+1+2×2n +⋯+n ×22，②②−①可得，S n =2n+1+(2n +2n−1+⋯+22)−n ×21 =2n+2−42−1−2n =2n+2−(2n +4)． 解析：(1)根据依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得即可，(2)利用错位相减法即可求出．本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和错位相减法，考查了运算能力，属于中档题 19.答案：解法一：如图，取A 为原点，AC 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC =2，BC =√13，SB =√29，∴B(0,√17,0)、S(0,0，2√3)、C(2√1317,4√17,0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√1317,√17,−2√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√1317,√17,0)．(1)∵SC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴SC ⊥BC ． (2)设SC 与AB 所成的角为α，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√17,0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，|SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√17，∴cosα=√1717，即为所求． 解法二：(1)∵SA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，AC 是斜线SC 在平面ABC 内的射影，∴SC ⊥BC ．(2)如图，过点C 作CD//AB ，过点A 作AD//BC 交CD 于点D ，连接SD 、SC ，则∠SCD 为异面直线SC 与AB 所成的角．∵四边形ABCD 是平行四边形，CD =√17，SA =2√3，SD =√SA 2+AD 2=√12+13=5，∴在△SDC 中，由余弦定理得cos∠SCD =√1717，即为所求． 解析：本题考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及面面垂直的判定定理，体现了转化的思想方法，利用综合法求异面直线所成的角，关键是找出这个角，把空间角转化为平面角求解，体现了转化的思想，属中档题．解法一：(1)建立坐标系，写出有关点的坐标，B ，C ，S ，(1)要证SC ⊥BC ；只要证EF ⊥面PAB ，只要证SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可； (2)要求异面直线SC 与AB 所成的角的余弦值，只要求SC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值即可；解法二：综合法证明，(1)要证SC ⊥BC ，只要证AC ⊥BC 即可；(2)要求SC 与AB 所成角的余弦值，通过平移找到SC 与AB 所成角，解三角形即可．20.答案：50解析：解：(1)根据题意，填写列联表如下；计算K 2=300×(150×50−50×50)2200×100×200×100=300×5000×5000200×100×200×100=18.75>10.828，所以有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系；(2)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32⋅p 2⋅(1−p)+C 33⋅p 3=3×(12)3+(12)3=12；一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31⋅p ⋅(1−p)2⋅[1−(1−p)2]=3×(12)3×[1−(12)2]=932；所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为p 0=12+932=2532；(3)设每篇学位论文评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500；则P(X =1500)=C 31⋅p ⋅(1−p)2，P(X =900)=1−C 31⋅p ⋅(1−p)2；所以E(X)=900×[1−C 31⋅p ⋅(1−p)2]+1500×C 31⋅p ⋅(1−p)2=900+1800p(1−p)2； 令g(p)=p(1−p)2，p ∈(0,1)；则g′(p)=(1−p)2−2p(1−p)=(3p −1)(p −1)；所以当p ∈(0,13)时，g′(p)>0，g(p)在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g′(p)<0，g(p)在(13,1)上单调递减；所以g(p)的最大值为g(13)=427；所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800(万元)．(1)根据题意，填写列联表，计算K 2的值，对照临界值得出结论；(2)分别计算一篇学位论文初评和复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求和；(3)根据每篇学位论文评审费X 的可能取值，计算对应的概率值，求出E(X)，利用函数计算E(X)的最大值即可．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了概率与数学期望的计算问题，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，所以b=1，ca =√32.所以由a2=b2+c2，得a2=4．所以椭圆C的标准方程是x24+y2=1．(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0)，所以Q的坐标为(−x0,y0).因为M，N分别是OP，BP的中点，A(0,1)，B(0,−1)，所以M点的坐标为(x02 ,y02)，N点的坐标为(x02,y0−12)．所以直线AD的方程为y=y0−2x0x+1．代入椭圆方程x24+y2=1中，整理得[x02+4(y0−2)2]x2+8x0(y0−2)x=0．所以x=0，或x=8x0(2−y0)x02+4(y0−2)2=2x0(2−y0)5−4y0．所以y=y0−2x0⋅2x0(2−y0)5−4y0+1=−2y02+4y0−35−4y0．所以D的坐标为(2x0(2−y0)5−4y0,−2y02+4y0−35−4y0)．所以k QN=y0−12−y0x02+x0=−y0+13x0．又k QD=−2y02+4y0−35−4y0−y0 2x0(2−y0)5−4y0+x0=(y0+1)(2y0−3)3x0(3−2y0)=−y0+13x0=k QN．所以D，N，Q三点共线．解析：(Ⅰ)通过椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设点P 的坐标为(x 0,y 0)，所以Q 的坐标为(−x 0,y 0).求出M 点的坐标为(x 02 ,y02)，N 点的坐标为(x 02,y 0−12)，得到直线AD 的方程，代入椭圆方程．求出D 的坐标然后根据斜率相等证明D ，N ，Q 三点共线． 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)g(x)=f′(x)=lnx −2ax +1，令g(x)=0，即lnx =2ax −1，函数g(x)的零点个数即y =lnx 和y =2ax −1的图象的交点个数，设两者相切时的切点是(x 0,y 0)，则由2a =y′|x=x 0=1x 0且lnx 0=2ax 0−1得a =12， 如图所示：，由图象得a >12时，两函数的图象无交点，g(x)无零点， a =12时，两函数图象有1个交点，g(x)有1个零点． (2)由(1)得a ≥12时，g(x)无零点或1个零点，g(x)≤0，函数f(x)在定义域内递减，函数f(x)在定义域内不单调时，a <12，f(x)在(2,+∞)递减时，f′(x)≤0即g(x)≤0恒成立，由g(x)≤0得a ≥lnx+12x ，令ℎ(x)=lnx+12x ，则a ⩾ℎ(x)恒成立， ∵ℎ′(x)=−lnx 2x 2，∴x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，g(x)<ℎ(2)，由a ⩾ℎ(x)恒成立，得a ≥ℎ(2)，解得：a ≥ln2+14，综上可得，实数a的取值范围是{a|ln2+14≤a<12}．解析：(1)首先求得函数g(x)的解析式，然后结合函数的解析式讨论函数的交点的个数即可；(2)结合(1)的结论将原问题转化为恒成立的问题，然后结合题意整理计算即可求得最终结果．本题考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。

茂名市2021届五校联盟高三级第一次联考数学试题本试卷共4页。

总分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡对应位置上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数2i1i+，的虚部为 A.－1 B.1 C.i D.－i 2.已知集合A ＝{x|x 1x 1-+≤0}，B ＝{x ∈Z|y ＝ln(6＋x －x 2)}，则A ∩B ＝ A.{0，1} B.{－1，0，1} C.(－1，1] D.[－1，1] 3.己知向量|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角为60°，则|2a ＋b |＝4.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映。

在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起。

为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是 A.8 B.12 C.16 D.205..若a ＝(23)－1，b ＝log 23，c ＝(12)0.3，则 A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b 6.在△ABC 中，B ＝4π，AD 是BC 边上的高，且CD ＝2AD ，则cos ∠BAC ＝A.10 B.10 C.－10 D.－107.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础。

著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区[0，13]，[23，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段。

2021届浙江五校第一次联考一、选择题：每小题4分，共40分1.已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()A B =R ð（）A ．()1,2B ．()0,1C ．()0,+∞D ．(),2-∞2.“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件3.若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．9B ．8C ．7D ．64.已知()1,2=a ，()1,7=-b ，2=+c a b ，则c 在a 方向上的投影为（）A．5-B．10-C．10D．55.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin tan 12cos C A C =-，2c b =，则cos B的值为（）A ．23B ．23C ．34D ．786.函数()2e e x xf x x --=的图象是下列图中的（）7.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈Ν，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为摆动数列C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--8.已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（）A ．45-B ．44125C ．44125-D ．459.已知抛物线2:3C x y =，过点()3,4P m m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭R 作抛物线的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值为（）A ．3B ．32C．2D．410.已知函数()()11f x x a x a x a x=++-+∈-R ，()()()20g x p f x q pq =->⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题：①函数()f x 图象关于点()0,0对称；②对于任意a ∈R ，存在实数m ，使得函数()f x m +为偶函数；③对于任意a ∈R ，函数()f x 存在最小值；④当1a =时，关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}3,1,1,2--，其中正确命题为（）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①③④二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.不等式231133xx x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是；不等式()24log 2log x x -<的解集是．12.函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[],ππ-的图象如下图，则()f x 的最小正周期为；()f π=．13.已知双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F P 为双曲线上一点，12120F PF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为；若双曲线C 的实轴长为4，则12F PF △的面积为．14.已知函数()132e 4,13,1x x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩（其中e 是自然对数的底数），则()()2f f =；若()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是．15.某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．16.已知a ，b ，c 是非零向量，-=a b ，()()2-⋅-=-c a c b ，λ为任意实数，当-a b 与a 的夹角为3π时，λ-c a 的最小值是．17.若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则324a bab +的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18.（本题满分14分）已知()sin (sin )f x x x x =，ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()32f A =，2a =，求ABC △周长的取值范围．19.（本题满分15分）已知四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，2PA AD ==，AB =．（1）作AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N ，求证：PC ⊥平面AMN ；（2）求二面角D PC A --的正切值．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 与{}n b 满足()1131nn n n n b a b a +++=-+，2,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，*n ∈N ，且12a =．（1）设2+121n n n c a a -=-，*n ∈N ，求1c ，并证明：数列{}n c 是等比数列；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求2n S ．21.（本题满分15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，M 为AB 中点，()1,0N -，当△AOB （点O 为坐标原点）的面积S 最大时，求MN 的取值范围．22.（本题满分15分）已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a ∈R ．（1）若2a =，求函数()f x 在()0,π上的单调区间；（2）若1a =，不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的最大整数b ．2020学年第一学期浙江省高三“五校联考”考试参考答案1-10.CBCADCDBBA11.{|1}x x ≠，{|12}x x <<12.43π，1213.y =，83314.54e -，(27,12](11,)---+∞ 15.4316.1217.335[,]41218.解：1cos 2()sin (sin cos )sin 2222-=+=+x f x x x x x 1sin(2)62π=-+x ……3分由3222262πππππ+≤-≤+k x k ，∈k Z 得536ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k k Z ππππ++∈……………6分（2）∵13()sin(2)622π=-+=f A A ，则sin(2)16π-=A ，∵0π<<A ，∴112666πππ-<-<A ，262ππ-=A ，解得3π=A .……………8分法一：∵2=a ，3π=A ，由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即224b c bc +-=……10分∴2()43b c bc +-=，则22()43()2b c b c ++-≤…………12分又∵2b c +>，∴24b c <+≤…………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8]…………14分法二：由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C====∴sin )b c B C +=+…………10分∵23sin sin sin sin()sin cos )3226B C B B B B B ππ+=+-=+=+………12分又∵2(0,3B π∈，∴1sin((,1]62B π+∈，∴(4,6]b c +∈…………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8]…………14分19．（1）BC ABAM PB PA ABCD BC PABC PAB AM BC AM PBC BC ABCD AB PA A PB BC B AM PAB PC PBC ⊥⊥⎫⎫⎫⎫⊥⎫⎪⎪⎪⎪⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎬⎬⎬⊂⎭⎪⎪⎪⎪==⊂⊂⎭⎭⎭⎭面面面面面面 =PC AM PC AN PC AMN AM AN A ⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭面………7分（2）方法一：作DE AC E ⊥于，EF PC F ⊥于，连DF ，PA ABCD ⊥ 面，PAC ABCD∴⊥面面DE PAC ∴⊥面，DE PC ∴⊥，EF PC ⊥ ，EF DE E = ，PC DEF ∴⊥面，DF PC ∴⊥，DFE ∴∠是二面角D PC A --的平面角， (11)分2PA AD ==，AB =，AC ∴=，30PCA ∴∠=︒3DE ∴=，3CE =，233EF =，tan DE DFE EF ∴∠==DFE ∴∠是二面角D PC A --.………15分方法二：建立坐标系（以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴）.(0,0,0),(0,(2,(2,0,0),(0,0,2)A B C DP (0,(2,2),(0,0,2)DC PC AP ==-=平面DPC 的法向量1(1,0,1)n = ，平面APC的法向量21,0)n =-设二面角D PC A --的平面角为α，12cos |cos ,|3n n α=<>=，tan α=20.（1）证明：1222a a +-＝，23210a a +＝，两式作差得112c =…………3分对任意*n N ∈，21212231n n n a a ---++＝①，2221231n n n a a ++＝＋②…………2分②－①，得21212134n n n a a -+-⨯-=，即2134n n c -⨯=，于是14n nc c +=.所以{}n c 是等比数列．…………7分（2）证明当*n N ∈且2n ≥时，2113153752123()()()()n n n a a a a a a a a a a =+-+-+-+⋅⋅⋅-+－－－22131(19)92922129n n --=+++++⋅⋅⋅=⋅+…………10分由(1)得112339321922n n n a --⋅++=-⋅+，所以2194n n a -=…………12分12123(19)4n n n a a --+=-，得2391()48n n S n -=-…………15分21.解：（1）由已知22c e a ==，2b =，222a b c =+得2b a ==，故椭圆C 的22142x y +=；……………………5分（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x mkx m +++-=2121222424,2121mk m x x x x k k -⇒+=-=++，点O 到直线l的距离d =，1122S d AB =⋅⋅=()222242221m k m k ++-=≤=+S ，当且仅当22242m k m =+-即2221m k =+，①……………10分此时21200022221,221x x mk k k x y kx m m k m m m+==-=-=+=-+=+，法一：即00001,22x m m k x y y ==-=-代入①式整理得()22000102x y y +=≠，即点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠………13分且点N 恰为椭圆1C 的左焦点，则MN 的范围为)1-+……………15分法二：MN =由①得kMN m===-………13分设kt m=代入2221m k =+得22221m m t =+，即22(12)1t m -=，221012m t =>-∴2222t -<<，即2222k m -<<∴)1MN ∈……………15分22、解答：（Ⅰ）当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+，于是()2cos 2cos 22(1cos )(2cos 1)f x x x x x '=+=+-…………3分于是()0f x '>，解得(0,3x π∈；()0f x '<，解得(,)3x ππ∈即(0,)3x π∈函数()f x 单调递增，(,)3x ππ∈函数()f x 单调递减…………6分（Ⅱ）当1a =时，()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意2(0,3x π∈恒成立首先考察(0,2x π∈时，易得0b >∵()sin sin 2sin (12cos )cos f x x x x x bx x=+=+≥∴2(,)23x ππ∈时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立…………9分于是只考察()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意(0,)2x π∈恒成立由(14242f b ππ=+≥⋅，于是2128b +≤21238+>，所以3b ≤…11分下证：()sin sin 23cos f x x x x x =+≥对任意(0,2x π∈恒成立考察函数()tan 2sin 3g x x x x =+-，(0,2x π∈32222212cos 3cos 1(cos 1)(2cos 1)()2cos 30cos cos cos x x x x g x x x x x-+-+'=+-==>于是()g x 在(0,)2x π∈上单调递增，则()(0)0g x g >=即tan 2sin 30x x x +->，则sin sin 23cos x x x x +≥综上可知，max 3b =………15分。

浙江省五校2021届高三数学上学期联考试题（含解析）1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2 D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出集合,A B 后可得两个集合的交集. 【详解】()1,A =+∞，[]2,2B =-，故(]1,2AB =，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.已知向量1a =，2b =，且a 与b 的夹角为60︒，则（ ） A. ()a ab ⊥+B. ()b a b ⊥+C. ()a ab ⊥-D.()b a b ⊥-【答案】C 【解析】 【分析】逐项采用向量数量积的公式进行验证即可【详解】解析：对A ：()20a a b a a b +=+⋅≠，故不垂直，A 错； 对B ：()20b a b b a b +=+⋅≠，故不垂直，B 错； 对C ：()2110a a b a a b -=-⋅=-=，故垂直，C 对； 对D ：()2140b a b a b b -=⋅-=-≠，故不垂直，D 错； 故选C【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量垂直的判断，是基础题型3.函数()332xx xf x =+的值域为（ ） A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. (]0,1D. ()0,1【答案】D 【解析】 【分析】需要先对函数式进行化简，化简成()3132213xxx xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭形式，再进行值域求解 【详解】()3132213xx x xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵2210110133213xxx⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选D【点睛】本题考查复合函数的值域求解，一般复合函数值域求解需要先求内层函数的值域，形如()()f g x ，先求()g x 的值域D 再求()f D 的取值范围4.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则（ ） A. 0d <时，n S 一定存在最大值 B. 0d >时，n S 一定存在最大值C. n S 存在最大值时，0d <D. n S 存在最大值时，0d >【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的特点来判断n S 与d 的关系即可【详解】对A ：因为0d <，所以数列单调递减，故n S 一定存在最大值，A 正确； 对B ：因为0d >，所以数列单调递增，故n S 不存在最大值，B 错； 对C ：因为当0d =，10a <时，n S 存在最大值1S ，C 错； 对D ：由C 的解析知，D 错； 故选A【点睛】本题考查等差数列n S 与d 的关系，我们可以通过21=22n n S d d n a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭来加强理解，当公差0d =，数列为常数列，1n S na =，当10a >时，n S 有最小值，10a <时，n S 有最大值；当公差0d ≠时，0d >，n S 有最小值，0d <，n S 有最大值5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. ⎛-∞ ⎝⎭B. 4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. ⎫∞⎪⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可【详解】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x>=，当且仅当x =所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A【点睛】本题考查不等式与对应函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法 6.已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a bb ab a a b>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论7.定义{}max ,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则关于实数,x y 的不等式组{}22max ,0x y x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】D 【解析】 【分析】通过对新定义的解读，需要先求解{}max ,0x y x y +-≥，即0,00,0x y y x y y +≥≥⎧⎨-≥<⎩，再通过分类讨论形式表示不等式组，画出对应的线性规划区域，再求解对应面积即可【详解】解析：{}0,0max ,00,0x y y x y x y x y y +≥≥⎧+-≥⇒⎨-≥<⎩， 即{}22220220max ,000x x x y y y x y x y x y x y ⎧⎧⎧≤≤≤⎪⎪⎪≤⇔≤≤-≤<⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-≥+≥-≥⎩⎩⎩或 由图像可得：平面区域面积：11642122S =-⨯⨯=，故选D【点睛】本题考查根据新定义表示线性规划区域，对可行域面积的求解，难点在于通过分类讨论合理表示出符合条件的区域8.函数()()sin 22cos 0f x x x x π=+≤≤，则()f x （ ） A. 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 B. 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C. 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D. 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 【答案】C 【解析】 【分析】由于常规方法无法进行化简，故需要对()f x 进行求导，根据导数来研究函数的增减性 【详解】()()()()22cos 22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故151sin 0,,266x x πππ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，即在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 答案选C【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质9.三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan A =，则tan B =（ ）B. C.3D.2【答案】D 【解析】 【分析】 先将sin cos 0sin AC B+=化简，得到sin cos sin A C B =-，此时需要用到()sin sin A B C =+进行代换，化简得到关于B 与C 的正切公式，由于题中求的是角B ，故需将tan C 代换成()tan A B -+，进而化简求值【详解】解析：()sin cos 0sin cos sin sin 2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，()tan tan 2tan tan tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=- 故选D .【点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功 10.若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A.23B.56C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】将不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭看作两个因式，x a b --和sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，先讨论sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，确定x 对应区间，再对x a b --的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解【详解】解析：法一：由题意可知：当15 , 66x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin06xππ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当151,,166x⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin06xππ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，故当15,66x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b--≤，当151,,166x⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b--≥，即有5165316126a b aa bba b⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B；法二：由sin6xππ⎛⎫+⎪⎝⎭右图像可得：显然有5165316126a b aa bba b⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究11.已知集合{}2210A x x x=--<，{}B x a x b=<<，若{}21A B x x⋃=-<<，则a=______；若(){}13RA B x x⋂=≤<，则b=______.【答案】 (1). 2a=- (2). 3b=【解析】【分析】先化简集合A，根据题设条件，画出数轴图，根据交并补关系进行求解即可【详解】{}21210,12A x x x⎛⎫=--<=-⎪⎝⎭，因为{}B x a x b=<<，{}21A B x x⋃=-<<所以2a=-，如图所示[)1,1,2RC A⎛⎤=-∞-+∞⎥⎝⎦，(){}13RA B x x⋂=≤<所以3b=.如图：【点睛】本题考查根据集合的交并补的结果求解参数，最好的方式是结合数轴图加以理解，更具体，更直观12.已知0,6aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2sin sin21a a+=，则tan a=______；sin2a=______.【答案】 (1).12(2).45【解析】【分析】将右式的“1”化成“22sin cosαα+”，再化简求值【详解】22221sin sin21sin cos sin2cos tan2a a a a a a a+==+⇒=⇒=；22tan14sin211tan514aaa===++所以1tan2a=，4sin25a=【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“1”的代换很关键，22tan sin 21tan aa a=+为万能公式的使用，应当熟记 13.不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是______；不等式()212log 31log 4x -<的解集是______.【答案】 (1). {}0x x < (2). 15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】将1212x-⎛⎫ ⎪⎝⎭化简成212x -，再利用指数函数性质解不等式；同理对于12log 4化简成21log 4，但要注意310x ->，再进行求解即可 【详解】123121122312102xx x x x x ---⎛⎫<=⇒-<-⇒< ⎪⎝⎭，所以不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是{}0x x <()2122310115log 31log 4log 214312314x x x x ->⎧⎪-<==-⇒⇒<<⎨-<⎪⎩ 不等式()212log 31log 4x -<的解集是15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()112nnn n S a n N *⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则3a =______，7S =______.【答案】 (1). 116- (2). 1256- 【解析】 【分析】再写一个下标减一的递推式，两式作差，表示出n a 的关系式，再根据n 为奇数和偶数求解具体数值即可【详解】当1n =时，1111124S a a =--⇒=-； 当2n ≥时，()()()()()()1111111112111111122112nn n nn n n n n n n n n n n n n n n S a a a a a a S a -------⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤⇒=---+⇒--=-+⎨ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩当n 为偶数时，112nn a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即n 为奇数时112n n a +=-，所以3411216a =-=-； 7812a =-，()7787811111222256S ⎛⎫=---=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据递推数列求解具体通项和n S 的方法，涉及题设包含()1n-这种形式时，一定要分类讨论奇偶性 15.定义{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知(){}max 11,2f x x x =++，()g x ax b =+.若()()f x g x ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，则2a b +的最小值是______.【答案】5 【解析】 【分析】画出()()=11,2m x x h x x ++=的图像，根据题意，表示出()f x 的表达式，再根据()f x 与()g x 的位置关系，进行求解【详解】如图：()(]()11,222,x xf xx x⎧++∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，，若()()f xg x≤对[)1,x∈+∞恒成立，此时()[]()2,1,22,2,x xf xx x⎧+∈⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则2a≥，2ax b x+≥+在[]1,2上恒成立，所以3a b+≥()2235a b a a b+=++≥+=当且仅当2a=，1b=时等号成立.即图中的红色直线为临界状态.则2a b+的最小值是5【点睛】本题考查根据新定义写出表达式，根据函数图像求不等式的最值，准确画出函数图像并从临界点切入是解题关键16.已知向量,,a b c，其中2a b-=，a c-=1，b与c夹角为60︒，且()()1a b a c-⋅-=-.则a的最大值为______.221【解析】【分析】可设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，a c CA -=，则2BA =，1CA =，进而可求出BA 与CA 夹角，根据几何关系能得出四点共圆，再根据正弦定理求得圆的半径即可 【详解】设OA a =，OB b =，OC c =，则2BA =，1CA =，1BA CA ⋅=- 所以1cos ,2BA CABA CA BA CA⋅<>==-,即BA 与CA 的夹角为120︒，而OB 与OC 的夹角为60︒, 所以四点,,,O B A C 共圆， 于是a OA =为圆的直径时最大，2212122172BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，72212sin1203BC r 2===︒则a 的最大值为221【点睛】本题考查向量模长的求法，通过构造向量的形式表示a b BA -=，a c CA -=是解题关键，借助几何图形能帮助我们快速解题17.已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点(),a b 到直线20a b -=问题若相切，则()22224b b z -+=有唯一解222440b zb z +++=，()2221684042z z z z =-+=⇒=⇒=两平行线20a b -=与20a b z --=的距离d ==所以22a b -== 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by ++≥+()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy ++≥+⇔+++≥++()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by --≤-()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy --≤-⇔--+≤+-()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥所以()()()22242212b aa b =--≤-，所以22a b -≥.方法三：判别式法设22a b t a b t -=⇒=+，将其代入2224b a -=，下面仿照方法一即可. 方法四：整体换元0a ->0a +>设x a y a⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，则()40,0xy x y =>>，且22222y xay xa bb-⎧=⎪-⎪⇒-=-=≥=⎨⎪=⎪⎩方法五：三角换元由对称性，不妨设2tanbaθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为锐角）所以sin cos22tan222cos cosa bθθθθθθ-=-==≥=所以2a b-的最小值为2【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面18.已知()sin3f x x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ABC△中，角,,A B C所对的边为,,a b c.（1）若,22xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x的值域；（2）若()13f A=，a=2b=，求sin B的值.【答案】（1）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）6+【解析】【分析】（1）将表达式先展开再合并，化简求值即可（2）将()13f A=化简求得1sin33Aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，通过数值进一步锁定32Aππ<<，求出22cos 3A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，采用拼凑法求出sin sin 33A A ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用正弦定理求解sin B 【详解】解析：()13sin 3cos sin cos 3cos sin 3223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）∵51,,sin 2236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒-∈-⇒-∈-1, ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）()11sin 333f A A π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，因为1132<，所以036A ππ<-<，或者563A πππ<-<，即32A ππ<<或者7463A ππ<<（舍去），故22cos 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；126sin sin 336A A ππ⎛⎫+⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理得：sin sin a b A b =⇒243sin 6B += 【点睛】本题考查复合三角函数值域的求法，三角恒等变换中关于具体角的求解问题，正弦定理在解三角形中的应用，对于角的拼凑问题是解题过程中经常会遇到的问题，如本题中33A A ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，常见的还有442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，233x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()A A B B =+-等19.已知多面体P ABCD -中，AB CD ∥，90BAD PAB ∠=∠=︒，12AB PA DA PD DC ====，M 为PB 中点. （1）求证：PA CM ⊥；（2）求直线BC 与平面CDM 所成角的正弦.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】 【分析】（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明PA ⊥ CD 直线所在平面 （2）过点B 作BO CMD ⊥面，连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，再采用等体积法求出BO ，即可求得 也可采用建系法直接求解 【详解】法一：（1）由90BAD PAB ∠=∠=︒得：BA PAD ⊥面；如图：取PA 中点E ， 连接ME ，DE 得：ME PA ⊥，DE PA ⊥，PA DEMC ⊥面；故：PA CM ⊥；（2）过点B 作BO CMD ⊥面；连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，即有B CDM M CBD V V --=， 不妨设122AB PA DA PD DC ==-==，即有：11113434213232h h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=，所以2sin h BCO BC ∠==法二：由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；122AB PA DA PD DC=====如图建系得：()200P，，，()3A，，，()3B，，，()004C，，,()0,0,0D，33122M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，（1）()3,0PA=-,33,,-322CM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭则0PA CM PA CM⋅=⇒⊥（2）设面CDM的法向量为(),,n x y z=，()0,0,4DC=，332DM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()1,3,2BC=--即有：()401,3,00330zDC nnDM n x=⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅==⎪⎩⎩，故132sin cos28BC nα-+=<⋅>==⨯【点睛】本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题20.设数列{}n a是等比数列，数列{}n b是等差数列，若223a b==，359a b==.（1）若nnnn bca⋅=，数列{}nc中的最大项是第k项，求k的值（2）设n n nd a b=⋅，求数列{}n d的前n项和n T【答案】（1）2k=（2）()131nnT n=-⨯+【解析】【分析】（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出223a b ==，359a b ==的关系式，求解出{}n a 与{}n b 的通项公式，表示出{}n c 的通项公式，利用1n n c c +-进行判断（2）采用错位相减法进行求解即可 【详解】解析：（1）设公差为d ，公比为q则11112111314923a a qb d b a q b d d q =⎧⎪=+==⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎩⎪⎪=⎩，所以13-=n n a ，21n b n =-；2123n n n n n b n n c a -⋅-==，212313n nn n c +++= 222112312461333n n n n nn n n n n n c c +-++--++-=-= 当1n =时，246120n n -++=>，于是21c c >； 当2n ≥时，24610n n -++<，于是1n n c c +<； 综上所述：123n c c c c <>>⋅⋅⋅>， 于是()2max 2n c c ==，2k = （2）错位相减求和法()1213n n d n -=-⋅，()()01112133321331333213n n n nT n T n -⎧=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎩，()()()()1213321233321312213223231n n nn n n T n n n ---=+⨯+⋅⋅⋅+--⨯=+--⨯=-+⨯--()131n n T n =-⨯+【点睛】本题考查等差等比数列基本量的求解，数列前n 项和最大值和对应项的辨析，错位相减法求前n 项和，错位相减法关键在于第二个式子一般乘以公比，跟第一个式子对应时，依次向后错一位，两式相减时，第二个式子多出的末项符号正负要书写正确21.过椭圆2212xy+=的左焦点F作斜率为()11k k≠的直线交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM交椭圆于C，D两点.（1）设直线OM的斜率为2k，求12k k的值；（2）若F，B分别在直线CD的两侧，2MB MC MD=⋅，求FCD的面积.【答案】（1）12-（2）22【解析】【分析】（1）设直线方程为1y k x b=+，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为1221122(,)1212bk bk k-++，代入可得2112kk=-，进行求解（法二）（利用点差法）设点1(A x，1)y，2(B x，2)y，中点(M x，)y，由2211112x y+=与2222112x y+=，作差得21212121()()12()()y y y yx x x x-+-=-+再进行求解（2）设直线方程为()11y k x=-，联立椭圆方程得出211221412kx xk+=+，点M的横坐标为21021212kxk=+，用焦点弦公式表示出())2211122112214222212kkAB a e x xk+=++==+，同理联立方程()22222222122x yk xy k x⎧+=⇒+=⎨=⎩，用弦长公式表示出MC，MD，结合题干2MB MC MD =⋅求出2k ，再用点到直线距离公式求得F 到CD 距离，进而求得面积【详解】（1）解法一：设直线方程为1y k x b =+，代入椭圆方程并整理得：22211(12)4220k x k bx b +++-=，1122412k bx x k +=-+，又中点M 在直线上，所以1212122y y x x k b +⎛⎫⎝+⎪⎭=+，从而可得弦中点M 的坐标为1221122(,)1212bk b k k -++，2112k k =-， 所以1212k k =-解法二：设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，中点0(M x ，0)y 则1202x x x +=，1202y y y +=0122012y y y k x x x +==+，21121y y k x x -=- 又2211112x y +=与2222112x y +=，作差得21212121()()12()()y y y y x x x x -+-=-+所以1212k k =-（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y()()22222221111221242201x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨=-⎪⎩ 211221412k x x k +=+，点M 的横坐标为21021212k x k =+())221112221114221212k k AB a e x x k k +=++==++于是)212111212k MB MB k +==+ 联立方程()22222222122x y k x y k x⎧+=⇒+=⎨=⎩所以3x =4x =2121212k MC k =+，MD =所以()2221222212211212k MC MD k k k ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭从而有)()222212122221211221121212k k k k k k ⎤+⎛⎫⎢⎥=+- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合1212k k =-， 从而得2112k =，不妨设12k =，此时22k =-:0CD x +=此时CD ==d =1232FCD S ∆== 【点睛】本题考查直线与曲线相交问题的具体应用，要求考生具有较强的运算能力和逻辑推理能力，用点差法解决弦的中点问题可大大减小运算22.设函数()1xf x e x =+≥- （1）当1a =-时，若0x 是函数()f x 的极值点，求证：0102x -<<； （2）（i ）求证：当0x ≥时，()2112f x x x ≥+++； （ii ）若不等式()25242f x a x x a++≤对任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 注：e=2.71828为自然对数的底数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析 （i i ）(]0,1【解析】【分析】（1）先求导，得()f x '=()21g x e =，求得()0g x '>，可判断()g x 单调递增恒成立，再根据零点存在定理计算两端点值，即可求证（2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，通过求导证明()'0h x >，求得()0=0h ，即可求证 （ii ）先通过必要性进行探路，当0x =时，一定成立，推出(]0,1a ∈ ，当01a <≤时，()()25=224f x a g x x x a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭令，化简得()()2512042x g x e x x x ⎛⎫≥++≥ ⎪⎝⎭， 进一步求导得()54x g x e x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，结合（i ）中2112x e x x ≥++放缩可得()2511424x g x e x x ⎛⎫'=-+≥+- ⎪⎝⎭，再对1x ≥和01x <<分类讨论，进而求证【详解】解析：（1）()xf x e '==，令()()2120x g x e g x e e '=⇒=>即()g x 恒增，又1102g ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，()010g =>，所以()f x '在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一根，即为()f x 的极值点0x ，且0102x -<<； （2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=->，即()h x '在[)0,+∞，即()()min 00h x h ''==，所以()0h x '≥恒成立，即()h x 在[)0,+∞单调递增，又有()()min 00h x h ==，所以()0h x ≥恒成立，即()2112f x x x ≥+++（i i ）必要性探路：当0x =，有1201a a a+≤⇒<≤， 当01a <≤时，2225551222424242x x a e a x x x x e x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()2512042x g x e x x x ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭ ()225151142424x g x e x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+≥1+++-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）当1x ≥时，()221111110242424g x x x '≥+->-≥->， 所以函数()()00g x g ≥=（2）当01x <<时，()2111102444g x x '≥->->> 所以函数()()00g x g ≥=综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查导数零点区间的证明，零点存在定理的应用，利用导数证明不等式恒成立，利用利用放缩法证明不等式，利用导数研究恒成立问题求解参数，难度系数比较大，对考生综合素质要求较高。

2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。

但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A． B． C． D．【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析：解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2.设集合，，则＝（）A． B． C． D．【知识点】集合.A1【答案解析】 C 解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间. 4. 已知m ，n ，则 “a ＝2”是“mn ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“mn ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 ．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。

深圳市五校2021届高三年级第一次联考文科数学试卷本试卷共4页，21小题，总分值150分．考试历时120分钟【试卷综析】试题比较平稳，大体符合高考温习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和大体技术的考察，同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察，有相当一部份的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

试卷的整体水准应该说能够看出编写者花费了必然的心血。

可是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辩性、灵活性，基础性充分表现了考素养，考基础，考方式，考潜能的检测功能。

试题起到了引导高中数学向全面培育学生数学素养的方向进展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{2}B x N x =∈≤，那么AB =A ．{3}B ．{0 1 2}，，C ．{1,2}D ．{0 1 2 3}，，， 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：集合B 用列举法表示为：{}0,1,2，因此AB ={}0,1,2应选B.【思路点拨】先把集合B 用列举法表示，再依照交集概念求A B .【题文】2．设复数11z i =+，22()z xi x R =+∈，假设12z z R ⋅∈，那么x =A ．2-B ．1-C ．D ．2 【知识点】复数运算. L4 【答案解析】A 解析：因为()()()121222z z i xi x x i ⋅=+⋅+=-++R∈，因此20x +=，因此x=-2，应选A.【思路点拨】利用复数乘法求得()()()121222z z i xi x x i⋅=+⋅+=-++，由复数是实数那么复数的虚部为0得结论.【题文】3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下命题中正确的选项是A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,m m αβαβ若则‖‖‖C ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖【知识点】空间中线面平行、垂直的判定与性质. G4 G5【答案解析】D 解析：关于选项A: ,,m n αα若则‖‖m,n 平行、相交、异面都有可能；关于选项B:,,m m αβ若则‖‖,αβ可能平行、可能相交；关于选项C ：,,αγβγ⊥⊥若则,αβ可能平行、可能相交；因此选项A 、B 、C 都不正确，应选D.【思路点拨】依次分析各选项得选项A 、B 、C 都不正确，应选D.【题文】4．已知向量(2,3)p =-，(,6)q x =且//p q ，那么||p q +的值为ABC ．5D ．13【知识点】向量共线的意义；向量模的计算. F1 F2【答案解析】B 解析：由(2,3)p =-，(,6)q x =且//p q 得12=-3x ，即x=-4,因此()()()2,34,62,3p q +=-+-=-= B.【思路点拨】由向量共线得x=-4，从而得()()()2,34,62,3p q +=-+-=-=【题文】5．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，那么9a =A ．8B ．12C ．16D ．24 【知识点】等差数列. D2【答案解析】C 解析：由36S =得132()323622a a a +⋅⋅==，因此22a =，又58a =因此5236a a d -==，从而d=2，因此95484216a a d =+=+⨯=，应选C.【思路点拨】依照等差数列的前n 项和公式，求得22a =，再由5236a a d -==求得d=2，因此95484216a a d =+=+⨯=.【题文】6．执行如右图所示的程序框图，那么输出的y =A ．12 B ． C ．1- D ．2【知识点】算法与程序框图. L1【答案解析】D 解析：由程序框图得循环进程中y 的取值依次是112,,1,2,,1,22--这是一个以3为周期的周期数列，而2021除以3余1，因此输出的y 值是此数列的第一个数2，应选D. 【思路点拨】由程序框图得y 取值规律: 以3为周期的周期数列,由此得输出的y 值.【题文】7．将函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后所得的图像的一个对称轴是A ．6π=x B ．4π=x C ．3π=x D ．12x π=【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4【答案解析】A 解析：将函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后所得：cos 2cos 2cos 261233y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而对称轴是使函数取得最值的x 值，经查验6x π=成立，应选A.【思路点拨】函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后为cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 再依照对称轴是使函数取得最值的x 值得结论.【题文】8．函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0，4]上的零点个数是A ．4B ．5C ．6D ． 7【知识点】函数的零点. B9 【答案解析】C 解析：由()()21cos 0f x x x =-=得x-1=0或2cos 0x =，又[]0,4x ∈因此[]20,16x ∈，因此x=1或23579,,,,22222x πππππ=，因此函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0，4]上的零点个数是6，应选C.【思路点拨】依照函数零点的意义:函数的零点确实是函数值为0的方程的根，因此只需求方程()()21cos 0f x x x =-=解的个数即可.【题文】9．已知直线:40l x my ++=，假设曲线222610x y x y ++-+=上存在两点P 、Q 关于直线对称，那么m 的值为A ．2B ．2-C ．D ．1- 【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：因为曲线222610x y x y ++-+=是圆()()22139x y ++-=， 假设圆()()22139x y ++-=上存在两点P 、Q 关于直线对称，那么直线:40l x my ++=，过圆心（-1,3），因此1340m -++=，解得1m =-，应选D.【思路点拨】将已知曲线方程配方得其为圆，假设圆上存在两点P 、Q 关于直线对称，那么 直线过圆心，由此得关于m 的方程，从而求得m 值.【题文】10．已知函数()f x 是概念在R 上的奇函数，(1)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x '->成立，那么不等式()0f x >的解集是 A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(1,0)- C ．(1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞【知识点】函数的奇偶性；导数的应用. B4 B12【答案解析】A 解析：构造函数()(),0f x h x x x =>，那么2()()()0,0xf x f x h x x x '-'=>>，因此()h x 是()0,+∞上过点（1,0）的增函数.因此当()0,1x ∈时()0f x x <，从而得()0f x <； 当()1,x ∈+∞时()0f x x >，从而得()0f x >.由于函数()f x 是概念在R 上的奇函数，因此不等式()0f x >的解集()()1,01,-+∞,应选A.【思路点拨】构造函数()(),0f x h x x x =>，确信函数()h x 是()0,+∞上过点（1,0）的增函数，由此得在（0,1）上()0f x <，在()1,+∞上()0f x >，由函数()f x 是概念在R 上的奇函数，得不等式()0f x >的解集()()1,01,-+∞.二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分． （一）必做题（11～13题）【题文】11. 函数1ln x y x +=的概念域为.【知识点】函数的概念域. B1【答案解析】()()0,11,+∞ 解析：自变量x 知足的条件为101ln 00,1x x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨≠>≠⎩⎩因此函数的概念域为()()0,11,+∞.【思路点拨】依照函数成心义的条件列出关于x 的不等式组求解. 【题文】12.一个几何体的三视图如图， 那么该几何体的体积为 . 【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】6π 解析：由三视图可知此几何体 是底面半径为2，高为3的半圆柱，因此其体积为212362ππ⨯⨯⨯=.【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的形状，从而求该几何体的体积.【题文】13.设双曲线221x y m n +=的离心率为2，且一个核心与抛物线28x y =的核心相同，那么此双曲线的方程为____.【知识点】双曲线与抛物线的几何性质. H6 H7【答案解析】2213x y -= 解析：依照题意知：双曲线的离心率2ce a ==，一核心()0,2F ,因此2,1c a ==，从而3b =，又核心在y 轴上，因此221,3n a m b ===-=-，此双曲线的方程为2213x y -=.【思路点拨】先依照已知条件求得双曲线的字母参数a,b,c 的值，再由核心位置求得双曲线方程. （二）选做题（14、15题，考生只能从当选做一题）【题文】14. （几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC =，060BCD ∠=，那么圆O 的面积为________．【知识点】几何证明. N1【答案解析】4π 解析：连接OC ，因为CD 是圆O 的切线，C 为切点，因此OC CD ⊥,因为060BCD ∠=，因此30OCB ∠=,作OH CB ⊥于H ，那么H 为BC 中点，因为BC=CH =因此半径OC=2cos30=，因此圆O 的面积为4π.【思路点拨】利用圆的切线的性质及垂径定理，求得圆的半径，从而求出圆面积.【题文】15. （正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________． 【知识点】多面体与球. G8【答案解析】 解析：因为正方体外接球的直径是正方体的对角线，而正方体的棱长为1，因此球的直径=1的正方体的外接球的体积为：343π⨯⨯=⎝⎭.【思路点拨】由正方体外接球的直径等于正方体的对角线，求得正方体的外接球的直径，进而求得球的体积. 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分。

2021届河北省“五个一”名校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}21|xA x =>，{}256|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（-1，3）B ．（－1，1）C ．（0，1）D ．（0，6）【答案】C【分析】由集合描述得到集合，利用集合基本运算求交集即可；【详解】由{}{}210||xA x x x =>=>，{}{}21|560|6B x x x x x =+-<-<<=，∴{|01)A B x x ⋂=<<． 故选：C【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合描述得到集合，应用交集运算求集合，属于简单题；2．1(21i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭)（ ） A ．13i + B ．13i -C ．3i -D ．3i +【答案】B【分析】直接运算计算结果.【详解】由题意，()1221211213i i i i i i i-+=-+⎛⎫-=--= ⎭-⎪⎝． 故选：B .【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题. 3．在一组样本数据中，1，4，m ，n 出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则m n +=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】根据平均数公式列式即得结果.【详解】由题意得样本平均值为10.140.10.40.4 2.55m n m n ⨯+⨯+⨯+⨯=∴+= 故选：A【点睛】本题考查平均数公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4．若P ：直线l 与双曲线C 只有一个公共点，Q ：直线l 与双曲线C 相切，则P 是Q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】直线与双曲线有一个公共点时，有可能是直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线和双曲线相切不成立；直线与双曲线相切时，可以推出直线与双曲线有一个公共点，命题成立， 所以P 是Q 的必要不充分条件. 故选B.【点睛】直线与双曲线的位置关系用数形结合研究比较简洁，当直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线未必相切，可以是与渐近线平行，与双曲线类似的还有抛物线，直线与抛物线除了相切可以有一个公共点外，还可以是与对称轴平行.5．已知0x >，0y >，且40x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(],6-∞ B ．(],7-∞C ．(],8-∞D ．(],9-∞ 【答案】D【分析】根据题意可得411x y +=，再由41()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出其最小值即可.【详解】∵40x y xy +-=，∴411x y+=，∴414()5x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭．∵0x >，0y >，∴44x y y x +≥= （当且仅当4x yy x=，即26x y ==时取等号），∴549x y a ≥+=≥+． 故选：D【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 6．函数()2sin ln f x x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用奇偶函数定义可知()f x 为奇函数，且()0,1x ∈函数符号 即可知正确选项； 【详解】因为()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数， 当(0,1)x ∈时，sin 0x >，2ln 0x <，()0f x <， 故选：D ．【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性以及区间函数值符号确定函数图象；7．设函数()f x 的定义域为R ，fx 是其导函数，若()()0f x f x '+<，()01f =，则不等式()xf x e ->的解集是（ ）A ．0,B ．1,C ．(),0∞-D ．（0，1）【答案】C【分析】由已知条件构造函数()()xg x e f x =，则()()()xxg x e f x e f x ''=+，可得()g x 在R 上单调递减，由()01f =，可得()xf x e ->等价于()(0)g x g >，从而可求出不等式的解集.【详解】令()()xg x e f x =，则()()()xxg x e f x e f x ''=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减．因为(0)(0)1g f ==，所以()x f x e ->等价于()(0)g x g >， 解得0x <，所以不等式()xf x e ->的解集是(,0)-∞．故选：C.【点睛】此题考查导数的应用，考查由函数的单调性解不等式，解此题的关键是利用已知条件构造函数，属于中档题.8．蹴鞠（如图所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足14 AB CD ==cm ，8BD AC ==cm ，12AD BC ==cm ，则该“鞠”的表面积为（ ）A ．202πcm 2B 101202πcm 3 C ．101202πcm 2 D ．2023πcm 2 【答案】A【分析】根据题意，得到A ，B ，C ，D 不共面；根据题中条件，可把A ，B ，C ，D 四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．设该长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，“鞠”的半径为R ，结合题中数据求出半径，即可得出“鞠”的表面积.【详解】若A ，B ，C ，D 共面，则“鞠”的半径无法确定；因此A ，B ，C ，D 不共面；因为 AB CD =，BD AC =， AD BC =，所以可以把A ，B ，C ，D 四点放到长方体的四个顶点上， 则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．设该长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，“鞠”的半径为R ， 则()22222R x y z =++．因为222196x y AB +==，222144x z AD +==，22264y z AC +==，则()222219614464404x y z ++=++=，所以21012R =， 所以224202 S R cm ππ==.故选：A.【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型.二、多选题9．由函数()sin f x x =的图象得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）A ．先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移个12π单位长度B ．先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 C ．先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） D ．先将()sin f x x =的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 【答案】AC【分析】先利用诱导公式化简得()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，得出结论 【详解】()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方式一：先将()sin f x x =的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度．方式二：先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）． 故选：AC【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，属于中档题10．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题转化为点(,)A x y 与点(,)B a b 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程2=的解为（ ）A ．3B ．6C ．3-D ．6-【答案】AC【分析】由2=得|2=．其几何意义为平面内一点(,1)x 与两定点(2,0),(2,0)-距离之差的绝对值为2．平面内与两定点(2,0),(2,0)-距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线，从而求出双曲线的方程为2213y x -=，然后与直线1y =联立方程组可求得答案【详解】由2=得|2=．其几何意义为平面内一点(,1)x 与两定点(2,0),(2,0)-距离之差的绝对值为2． 平面内与两定点(2,0),(2,0)-距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线．设该双曲线的方程为22221(0,0)x ya b a b -=>>，则222222a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得1a =，b =所以该双曲线的方程是2213y x -=．联立方程组22113y y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得x =． 故选：AC【点睛】此题考查方程的解的求法，利用数学转化的思想，把解方程问题转化为双曲线的点的坐标问题，属于中档题 11．已知()()()()()()()201234542345661211111()1x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++++++++，则（ ） A ．00a = B ．320a =C ．150a a +=D ．0246135||a a a a a a a ++=+++【答案】ACD【分析】设()()42()12f x x x =-+，令记1x =-可判断A ，令1t x =+可判断B ，令0,2x x ==-可判断C 和D.【详解】记()()42()12f x x x =-+，则()010a f =-=．令1t x =+，则1x t =-，所以3a 为()42()21t t t -+的展开式中3t 的系数， 因为4()1t +的通项为44r rC t -，所以()23344218a C C =+-=．又135(0)(2)82f f a a a --++==所以150a a +=，220246135()()(0)(2)0a a a a a a a f f +++-++=⋅-=，所以220246135()()a a a a a a a +++=++即0246135||a a a a a a a ++=+++． 故选：ACD.【点睛】本题考查二项式定理，考查分析与转化的能力.12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，关于函数()()()||g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在()1,2上单调递增C ．()g x 在[2016，2020]上恰有三个零点D ．()g x 的最大值为2【答案】AD【分析】根据函数奇偶性的定义，直接判断()g x ，可得A 正确；根据题意，得到函数()f x 是奇函数，且周期为4，得出0x ≥时，[](]2(),4,24()0,24,44f x x k k g x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ，从而可判断B 错，C 都错；结合其对称性与解析式，可得D 正确. 【详解】函数()g x 的定义域为R ， 且()()()()()()()()g x f x fx f x f x f x f x g x -=-+-=-+=+=，所以()g x 为偶函数，故A 正确．因为()()11f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 是奇函数，所以()f x 是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．所以当0x ≥时，[](]2(),4,24()0,24,44f x x k k g x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ， 当(1,2)x ∈时，()()2g x f x =，()g x 单调递减，故B 错误．()g x 在[]2016,2020上零点的个数等价于()g x 在[]0,4上零点的个数，而()g x 在[]0,4上有无数个零点．故C 错误．当0x ≥时，易知()g x 的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当0x <时，()g x 的最大值也为2，所以()g x 在整个定义域上的最大值为2， 故D 正确．故选：AD.【点睛】本题主要考查函数基本性质的综合，以及函数零点问题，熟记函数基本性质，以及函数零点的判断方法即可，属于常考题型.三、填空题 13．17tan12π=__________．【答案】2 【分析】由175tantan 1212πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由诱导公式结合正切的和角公式可得出答案.【详解】11755tantan tan tan 212121264ππππππ⎛⎫⎛⎫=+==+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：2+【点睛】本题考查诱导公式可正切的和角公式的应用，属于基础题14．已知向量(1),m a =，4),(n a =，若m n +与n 同向，则a =__________． 【答案】±2 【分析】由向量平行的性质列出关于a 的方程，检验后可得答案. 【详解】解：有题意m n +与n 同向，所以()//m n n +．可得()4,1a n a m +=++，所以()4(41)a a a =++，解得2a =±， 经检验2a =±都满足题意， 故答案为：±2. 【点睛】本题主要考察平面向量平行的性质，考察学生的基础知识与基本计算能力，注意对结果进行验算.15．将六根长为2米的硬钢丝与三根长为3米的硬钢丝焊接成一个三棱柱，假设钢丝是极细的（计算体积时可将每根钢丝当作线段），焊接过程中钢丝长度不改变．若所得三棱柱的体积为________． 【答案】23【分析】根据题意可得三棱柱的底面为正三角形,侧棱长为3米，根据柱体的体积公式求出棱柱的高，即求.【详解】由于只有三根长为3米的硬钢丝，其余钢丝的长度都不是3米， 所以这三根只能做棱柱的侧棱，所以该三棱柱的底面为正三角形． 设该三棱柱的高为h 米，所以23223h ⨯=，解得2h =， 所以该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为23． 故答案为：23【点睛】本题考查了柱体的体积公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．已知11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差是1，则点M 的轨迹C 的方程是__________．若点F 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 是直线1:2l y =-上的一点，Q 是直线PF 与轨迹C 的交点，且4FP FQ =，则QF =__________． 【答案】()221x y x =≠±34【分析】设点(),M x y ，利用斜率公式结合条件“直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差是1”化简计算可得出点M 的轨迹方程；设点1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用4FP FQ =可求得点Q 的纵坐标，利用抛物线的定义可求得QF . 【详解】设(),M x y ，则1122111AM BMy y k k x x ---=-=-+， 整理得点M 的轨迹C 的方程是()221x y x =≠±，如下图所示：设点1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()00,Q x y ，(),1FP t =-，001,2FQ x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，4FP FQ =，01412y ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，解得014y =.由抛物线的定义可得113424QF =+=. 故答案为：()221x y x =≠±；34. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了抛物线焦半径长的计算，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．在①1a b +=+sin 2c A =，③3b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，且sinB A =，6C π=？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析.【分析】由条件可得b =，若选①，则可求出边,a b ，再用余弦定理可求解；若选②，由正弦定理可得2asinC =，结合条件可得出a 边，由条件sinB A =进一步得出b ，再用余弦定理可求解；若选③，即=c ．由sin B A =，b =，由余弦定理可得2253a a =-，故不成立.【详解】解：选①：∵sin B A =∴b =．∴1a b +=+1a =，b =∵2222cos c a b ab C =+-，6C π=∴1c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ． 选②：由正弦定理sin sin a cA C=,则 sin c sinA a C ⋅=⋅ ∵2c sinA ⋅=，∴2asinC =．∵6C π=∴4a =．∵sin B A =，∴b =，∴b ⋅=．由2222cos 164824162c a b ab C =+-=+-⨯⨯=， 解得：4c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ．选③：∵3b =，∴=c ．∵sin B A =∴b =．∵2222cos a b c ab C +-=，∴222392cos 6a a a π+-=⋅．得2253a a =-，不成立． 故不存在满足条件的ABC ．【点睛】角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．属于中档题.18．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，它的前n 项和为n S ，且137,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12n S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）22n a n =+；（2）24n nT n =+.【分析】（1）根据条件求出数列的首项，即可写出通项公式； （2）求出n S ，即可得12n S ，利用裂项相消法可求解.【详解】（1）137,,a a a 成等比数列，2317a a a ，则2111412a a a ，解得14a =，41222na n n ；（2）242232nn n S n n ，2111112321212n S n n n n n n ，111111112334122224n nT n n n n =-+-++-=-=++++. 【点睛】本题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求数列前n 项和，属于中档题. 19．2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量y （单位：辆）如下表：（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+. （3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的ˆy，再求ˆy 与当天实际销售量y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑ 【答案】（1）25；（2）ˆ211y x =+；（3）可行，29.【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求ˆˆ,ba ，即得结果；（3）根据回归直线方程确定对应的ˆy，再根据定义判断是否“可行”，最后代入9x =得结果.【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，242662155CP C ===（2）3456172019244.5,2044x y ++++++====41317420519624370i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221345686ii x==+++=∑23704 4.52028644ˆ.5b-⨯⨯==-⨯ 202ˆ 4.511a=-⨯= 所以ˆ211yx =+ （3）由（2）知，7x =时，141125y =+=，25-24=1；8x =时，161127y =+=，27-27=0所以求得的线性回归方程“可行”9x =时，181129y =+=【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.20．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，ACD ∆是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD ⊥B 1D ；（2）若BC =3，求二面角B —C 1D —B 1的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得1CD DC ⊥;根据B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，得11CD B C ⊥,最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小. 【详解】（1）因为ACD 是边长为1的等边三角形， 所以11111121,1,33CD A D AC DAC C D π===∠=∴= 22211112CC CC C D CD CD DC =∴=+∴⊥因为B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，CD ⊂平面AA 1C 1C ，所以11CD B C ⊥ 因为111,DC B C 为平面B 1C 1D 内两相交直线，所以CD ⊥平面B 1C 1D 因为1B D ⊂平面B 1C 1D ,所以CD ⊥B 1D ；（2）以D 为坐标原点，1,,DC DC 过D 平行BC 直线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(3,0,0),(3,0,3),(0,1,3),D C B B设平面BC 1D 的一个法向量为1(,,)n x y z =，平面C 1DB 1的一个法向量为2111(,,)n x y z =由11100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得300,30x x y z ⎧=⎪∴=⎨+=⎪⎩令1,3z y =∴=-∴1(0,3,1)n =- 由212100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得300,330x x z x z ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩令1,y =∴2(0,1,0)n = 12121212335cos ,,2126||||n n n n n n n n π⋅-∴<>===-∴<>=⨯因为二面角B —C 1D —B 1为锐二面角，所以二面角B —C 1D —B 1为6π【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，短轴长为2，且C 截直线x c =所得线段MN． （1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 为C 上的两个动点，且AFM BFM ∠=∠．证明：直线AB 过定点，并求定点的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；直线AB 过定点()2,0．【分析】（1）根据C 截直线x c =所得线段MN，可得22bMN a==再结合短轴长为2求解.（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据AFMBFM ∠=∠，且FM 垂直x 轴，可得0FA FB k k +=，结合韦达定理可求m 与k 的关系，再代入直线方程求解.【详解】（1）把x c =代入22221x y a b+=，得2by a =±，则22b MN a ==，即22b a =．又22b =，则1b =，所以a =故C 的方程为2212x y +=．（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124220k x kmx m +++-=．设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则()()222222164122216880k m kmk m ∆=-+-=-+>，且122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+．设直线FA ，FB 的倾斜角分别为α，β， ∵AFMBFM ∠=∠，且FM 垂直x 轴，∴tan tan 0αβ+=，即0FA FB k k +=，∴1212011y y x x +=--，则()()1221110y x y x -+-=， 即()()()()1221110kx m x kx m x +-++-=， ∴()()1212220kx x k m x x m --+-=，∴()2222242201212m kmk k m m k k -⨯+-⨯-=++，化简可得2m k =-， 则直线AB 的方程为()22y kx k k x =-=-， 故直线AB 过定点()2,0．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知函数()()()()2210f x ln x a a x a =+--≥． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当12a >时，0x 是函数()y f x =最小的零点，求证：函数()()21g x f x x =+-在区间0()2,a x -上单调递减．（注：131)1.n < 【答案】（1）52ln 333y x =-++；（2）证明见解析. 【分析】（1）由()1ln31f =-，得出切点坐标，由1()22f x x '=-+得出切线的斜率方程，得出答案. （2）由1()22f x a x a '=-+，讨论出函数的单调区间，得出012,22x a a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，从而当0,)(2x a x ∈-时，()0f x <，将绝对值打开，利用导数研究即可. 【详解】（1）解：当1a =时，()221()f x ln x x =+-+所以1()22f x x '=-+，且()1ln31f =-，函数()y f x =在1x =处的切线斜率5(1)3k f '==-． 所以函数()y f x =在1x =处的切线方程为5(ln 31)(1)3y x --=--，即52ln 333y x =-++． （2）证明：由1()22f x a x a'=-+，令()0f x '=，解得122x a a =-， 所以函数()f x 在区间12,2 2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间[12,2a a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭单调递减，所2max 1()241(2)12f x f a a a n a a ⎛⎫=-=+--⎪⎝⎭． 令21()41(2)12h a a a n a a ⎛⎫=+-->⎪⎝⎭，则11()8102h a a h a ⎛⎫''=+->> ⎪⎝⎭，所以()h a 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，11()022h a h ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭． 而当2x a →-时，()f x →-∞，由题意，可以得012,22x a a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭． 所以当0,)(2x a x ∈-时，()0f x <，则()()()()()211212g x f x x a x ln x a =-+-=+--+， 当02a x x -≤<时，011()222222g x a a x a x a'=+-<+-++，要想证明函数()()21g x f x x =+-在区间0()2,a x -上单调递减，只需()0g x '≤， 故只要证明01222x a a≤-+．记21()24ln(22)221a G a f a a a a a a ⎛⎫=-=+--+ ⎪++⎝⎭， 211()81(1)1G a a a a '=+--++在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1G ()02a G ⎛⎫''>> ⎪⎝⎭．所以()G a 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，1117()1ln 3ln 302236G a G ⎛⎫>=+--=-> ⎪⎝⎭．所以01()222f x f a a ⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，01112,2,22,22222x a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫∈---∈-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间1 2,22a a a --⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以01222x a a <-+， 所以函数()()21g x f x x =+-在区间0()2,a x -上单调递减．【点睛】本题考查求函数的切线方程，考查函数的零点，讨论分析参数的单调性问题，考查分析问题，等价转化的能力，属于难题.。

2021届广东省茂名市五校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题 1．复数21ii+的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.2．已知集合(){}210,|ln 61x A xB x Z y x x x ⎧⎫-==∈=+-⎨⎬+⎩⎭，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-【答案】A【分析】先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A ，B ，再进行交集运算即可. 【详解】解分式不等式101x x -≤+得11x -<≤，故(1,1]A =-， 使对数型函数有意义，则一元二次方程260x x +->，即(2)(3)0x x +-<得23x -<<，故{1,0,1,2}B =-，所以{0,1}AB =.故选：A.3．已知向量||4a =，||8=b ，a 与b 的夹角为60︒，则|2|a b +=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用数量积的定义把模转化为数量积的运算． 【详解】2222|2|(2)4444a b a b a a b b +=+=+⋅+=⨯+=故选：D.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是掌握数量积的性质，把模转化为数量积的运算．4．电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20【答案】C【分析】利用间接法，先全排再除去不符合题意的情况即得结果. 【详解】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故4222422216A A A A -=.故选：C.5．若10.3221,log 3,32a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D【分析】易得12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，然后由222log 3b =推出32b >比较即可.【详解】12332a -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 3222222log 3log 9log 82log 23=>==，32b ∴>， 又0.31012c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，所以c a b <<. 故选：D6．在ABC 中，,4B AD π=是BC 边上的高，且2CD AD =，则cos BAC ∠=（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】C【分析】设AD x =，求得,2,,BD x CD x AB AC ====，结合余弦定理，即可求解.【详解】设AD x =，因为,24B CD AD π==，所以,2,,BD x CD x AB AC ====，由余弦定理，可得222cos10BAC ∠==-. 故选：C.7．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C .【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 8．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞【答案】D【解析】因为/()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在[,0]2π-上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-，又cos sin )4t x x x π=+=+，且444x πππ-≤+≤，故sin()[1,1]4x t π≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则1(1)0{{17(1)01h a a h a -≤≥⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．二、多选题9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表:AQI 指数值 0~5051~100101~150151~200201~300300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日~20日AQI 指数变化趋势，则下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占13C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月，上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】AD【分析】根据折线图中的信息，对每一个选项进行逐一判断即可.【详解】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100， 第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确：对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14，故B 错误；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选: AD10．函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，若把函数()y f x =图像向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，则下列结论正确的是（ ） A ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴 B ．函数()y f x =的最小正周期是π C ．函数()y f x =的值域是[]0,2 D ．ϕ的最小值是6π 【答案】BCD【分析】将点(0,2)代入()f x 表达式中，可求出4πθ=，则()cos 21f x x =+，再根据余弦函数的性质对每一选项进行判断，得出答案.【详解】由函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，可得2sin 22θ=，即sin 21,02,2,24ππθθπθθ=<<∴=∴=，故2()2sin(2)cos 2cos cos 21f x x x x x θ=+⋅==+， 当4x π=时，()1f x =，故A 不正确；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确； ()cos 21[0,2]f x x =+∈，故C 正确；而()cos 21sin 212f x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭sin 21sin 21()6626f x x x g x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确故选：BCD【点睛】易错点睛：本题考查三角函数的图象性质，解答中利用最小正周期公式求函数的最小正周期时，公式2T ωπ=中的ω是函数()cos y A x ωϕ=+ 中x 的系数，在函数图象左、右平移时，遵循“左加，又减”，一定是在自变量x 上进行加减，这是很容易错的地方，属于中档题.11．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:13O x y +=上，圆22:13O x y +=与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M 、N ，点(0, )E a 满足0EO EM EN ++=（其中O 为坐标原点），则（ ）A ．双曲线C 的一条渐近线方程为320x y -=B ．双曲线C 的离心率为132C ．||1OE =D ．OMN 的面积为6【答案】ABD【分析】由已知可得||13OM c ==，再由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，从而有2||||3OE OP =，得23a b =，再结合222c a b =+可求出,a b 的值，进而可求得渐近线方程、离心率、OMN 的面积【详解】如图：设双曲线C 的焦距为2213c =，MN 与y 轴交于点P ，由题可知||13OM c ==，则(0, )P b ，由0EO EM EN ++=得点E 为三角形OMN 的重心，可得2||||3OE OP =，即23a b =，2222294b c a a a -==，2a =，3b =，2914e -=，解得13e =. 双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，||2OE =，M 的坐标为(2,3)，6OMN S =△， 故选：ABD.【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题12．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，,E F 分别是棱,AA CC ''的中点，过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于,M N ，设(),0,1BM x x =∈，则正确的说法是（ ）A ．四边形MENF 为平行四边形B ．若四边形MENF 面积()(),0,1S f x x =∈，则()f x 有最小值C ．若四棱锥A MENF -的体积()(),0,1V p x x =∈，则()p x 是常函数D ．若多面体ABCD MENF -的体积1(),,12V h x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数 【答案】ABC【分析】根据面面平行的性质判断A ，根据菱形面积公式判断B ，将四棱锥分解成两个小棱锥的和，根据小棱锥的体积公式判断C ，根据对称性得出11()22ABCD A B CD V h x V '''-===可判断D ．【详解】∵平面//ADD A ''平面,//BCC B EN MF ''∴，同理//FN EM ，所以四边形MENF 为平行四边形，故A 正确；若四边形MENF 面积1(),2S f x EF MN M ==⋅⋅为BB '中点时，即12x =时，MN 是短，此时面积最小，故B 正确； 连接,,AF AM AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以,M N为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数，,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥A MENF -的体积()V P x =是常函数，故C 正确；多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B CD V h x V '''-===为常数函数，故D 错误. 故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查柱锥台的体积，解答本题的关键是找到几何体中的定值，AEF 的面积是个常数且,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，考查学生空间想象能力，属于中档题．三、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n a n =-，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为_________. 【答案】210【分析】先根据等差数列前n 项和公式得2n S n =，进而得nS n n=，再根据等差数列前n 项和公式即可得答案.【详解】解：因为数列{}n a 满足21n a n =-，所以数列{}n a 是等差数列， 所以()12(121)22n n n a a n n S n ++-===，所以n Sn n =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为2020(120)2102T +==. 故答案为：210.【点睛】结论点睛：若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列.14．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________. 【答案】2【分析】设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求. 【详解】设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+，由()0011f x x a'==+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值()0f x ，得到第一个方程；（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.15．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段1A N 上，若5PM =，则PQ 长度的最小值为__________．351. 【解析】分析：取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥，可得点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作1OH A N ⊥于H ，可得355OH =，即可求得PQ 长度的最小值.详解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111D C B A ，即MO OP ⊥.∵5PM =，正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2 ∴1OP =∴点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上，即O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值.作1OH A N ⊥于H ，则1A ON ∆的面积为1113222111212222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. ∴11322A N OH ⨯=，则355OH =. ∴PQ 长度的最小值为3515- 351. 点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．将空间问题转化到平面问题，准确求出点P 的轨迹，结合等积法的运用是解决本题的关键.四、双空题16．设抛物线()220y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足为,C D ，若4AF BF =，则AB =_________.CDF 的面积为_________.【答案】2545 【分析】由题意利用焦点坐标即可求得p 的值，联立直线方程和抛物线方程，结合几何关系和弦长公式即可求得CDF 的面积．【详解】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p=，所以2p =， 如图所示，过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，且||4||AF BF =， 所以||3||AM BF =，||5||AB BF =， 所以3,45AM AB BM BF ==， 可知：AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM =∠==， 设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 整理得241740x x -+=，所以12174x x +=， 所以1225||4AB x x p =++=， 所以254||||sin 545CD AB BAM =∠=⨯=， 所以CDF 的面积为15252⨯⨯=， 故答案为：25,54．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．五、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，120,2,B BC ABC ∠=︒=的面积为23.(1)求AC ；(2)若60ADC ∠=︒，求四边形ABCD 周长的最大值. 【答案】（1）27（2）647+【分析】（1）由ABC 面积132322ABCSAB =⨯⨯⨯=，求得4AB =，然后在ABC 中，利用余弦定理得求解.（2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，利用余弦定理得到228()3m n mn =+-，然后利用基本不等式求得m n +最大值即可. 【详解】（1）由ABC 面积公式得1322322ABCS AB =⨯⨯⨯=， 所以4AB =，在ABC 中，由余弦定理得22224224cos12028AC ︒=+-⨯⨯⨯=， 所以27AC = （2）令,AD m CD n ==，在ACD △中，由余弦定理得222(27)2cos 60m n mn ︒=+-，2()3m n mn =+-则22()2832832m n m n mn +⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭，即2()284m n +≤，所以m n +≤当且仅当m n ==时，等号成立. 所以四边形ABCD周长的最大值为6+18．在①234,,4a a a -成等差数列;②123,2,S S S +成等差数列;③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 . (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21log n n b n a =+，记数列242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明2nT <. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）选①：根据等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选②：根据等比数列的前n 项和定义以及等差中项的概念，列出关于q 的方程，求解出q 的值，则{}n a 通项可求；选③：先求解出2a ，则等比数列的公比q 可求，则{}n a 通项可求；（2）先求解出{}n b 的通项公式，再求解出242n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，采用裂项相消法求解出n T 的结果，并证明出2n T <即可. 【详解】设等比数列的公比为(0)q q >， （1）选①：因为234,,4a a a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，因为12a =，所以22332131412,2,2a a q q a a q q a a q q ======， 所以234224q q q =+-，即()()22211q q q+=+.又0q >，解得2q，所以2nn a =.选②：因为123,2,S S S +成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即()12112322a a a a a a ++=+++，化简得234a a +=， 所以2242q q +=，即220q q --=， 又0q >，解得2q，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=， 因为n a 是等比数列，则212a q a ==， 所以2nn a =. （2）因为2nn a =，所以22(1)log (1)log 2(1)nn n b n a n n n =+=+=+，所以22222422(21)112(1)(1)n n n b n n n n ⎛⎫++==- ⎪++⎝⎭， 所以22222111112122223(1)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221111112121223(1)(1)n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 222(1)n =-+因为n ∈+N 时，220(1)n >+，所以2n T <.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭；（31=-（4）()()1121121212121n n n nn ++=-----.19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .(1)证明:MN AH ⊥；(2)当H 为PC 的中点，3,PA PC AB PA ==与平面ABCD 所成的角为60°，求平面ABCD 与平面AMHN 所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【分析】（1）连结AC BD 、且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，得到BD AH ⊥，再利用线面平行证明//BD MN ，即证MN AH ⊥；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，利用线面成角60°求出线段之间关系，再建立空间直角坐标系，利用法向量成角求锐二面角的大小即可. 【详解】（1）连结AC BD 、且ACBD O =，连结PO .因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AH ⊂平面PAC ，所以，BD AH ⊥， 因为，//BD 平面AMHN BD ⊂，平面PBD ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN AH ⊥.（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以60PAO ︒∠=， 所以，13,2AO PA PO PA ==， 因为，3PA AB =，所以，36BO PA =. 以,,OA OD OP 分别为,,x y z 轴，如图所示建立空间直角坐标系，记2PA =， 所以，33(0,0,0),(1,0,0),0,,0,0,,033O A B D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13(0,0,3),,0,2P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，23330,,0,2BD AH ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2333022yx z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0,23y z ==，所以，(2,0,23)n =.因为PO ⊥平面ABCD ，所以(0,0,3)OP =是平面ABCD 的一个法向量 记平面ABCD 与平面AMHN 所成角为锐二面角是θ， 则||3cos |cos ,|2||n OP n OP n OP θ⋅=<>==‖. 因为θ是锐角，所以平面ABCD 与平面AMHN 所成角为6π. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．受新冠肺炎疫情影响，上学期网课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了非常大的损害.我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图所示:前50名 后50名 近视 40 32 不近视1018(1)求a 的值，并估计这2000名学生视力的平均值(精确到0.1)；(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到的数据如列联表，根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关?(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的高度重视.近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继2019年我市有6人被空军航空大学录取之后，今年又有3位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实立德树人根本任务已初见成效.2020年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于5.0，若以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，这3名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）0.75a =，4.6；（2）没有；（3）分布列见解析，34. 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识直接计算求解即可； （2）由列联表数据代入公式计算2K 的观测值2003.175 3.84163k =≈<，进而得答案； （3）由题得视力在5.0以上的同学所占的比例为14，根据题意得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布求解即可得答案.【详解】（1）由直方图可得(0.250.521 1.75)0.21a ++++⨯=，所以0.75a =，4.10.50.2 4.30.750.2 4.5 1.750.2 4.710.2 4.90.750.25.10.250.2 4.6x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈所以估计这2000名学生视力的平均值是4.6. （2）因为2K的观测值2100(40181032)2003.175 3.8415050722863k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%把握认为视力与学习成绩有关.（3）视力在48以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：0.2510.250.754=+所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取3名同学，则1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3313(),0,1,2,344k kkP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以0312013313271327(0),(1)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21302333139131(2),(3)44644464P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()344E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布等知识点，考查运算能力与数据处理能力.本题的前两问均属简单运算，第三问解题的关键是根据频率估计概率得到视力在5.0以上的同学所占的比例为14，进而得1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭.是中档题. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点是(),0,F c P 椭圆上的一动点，且PF 的最小值是1，当PF 垂直长轴时，3||2PF =. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切，且交圆22:4O x y +=于,M N 两点，求MON △面积的最大值，并求此时直线l 方程.【答案】（1）22143x y +=；（2y =【分析】（1）由||PF 的最小值为1，得到1a c -=，再由3||2PF =， 结合222a b c =+，求得,a b 的值，即可求得椭圆的方程.（2）设切线l 的方程为y kx t =+，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得2234t k -=，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得MON △的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，点P 椭圆上的一动点，且||PF 的最小值是1，得1a c -=，因为当PF 垂直长轴时，可得3||2PF =，所以232b a =，即223b a =， 又由222a bc =+，解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由题意知切线l 的斜率一定存在，否则不能形成MON △，设切线l 的方程为y kx t =+， 联立22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223484120k x ktx t +++-=， 因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()222(8)4344120kt k t ∆=-+-=，化简得2234t k =+，则2234t k -=， 因为点O 到直线l的距离d =所以||MN ==||MN = 故MON △的面积为114||122||||S MN d t t =⋅==+ ， 因为22304t k -=≥，可得23t ≥，即t ≥1||||y t t =+在)+∞上单调递增，所以1||||t t +≥||t =则S ≤=MON △当||t =0k =，所以直线的方程为y =【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.22．已知函数()()2,ln f x x m g x x x =-=+. (1)若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；(2)若()()222x xf xg x xe x x e ++<++在()0,4x ∈时恒成立，求实数m 的最小值. 【答案】（1）()F x 的极大值是m -，无极大值；（2）42ln 44e +-.【分析】（1）先写函数()()()F x f x g x =-并求导，再利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)ln x m x e x x >-+-，再研究函数最大值得到m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）2()ln F x x x m x =---，定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x F x x x x'+-=--=. ()001F x x '<⇔<<；()01F x x '>⇔>；当x 变化时，(),()F x F x '的变化情况如下表:由上表可得()F x 的极大值是(1)F m =-，无极大值；（2）由2()()22x x f x g x xe x x e ++<++在(0,4)x ∈时恒成立，即22ln 22x x x m x x xe x x e -+++<++，整理为(2)ln xm x e x x >-+-在(0,4)x ∈时恒成立. 设()(2)ln xh x x e x x =-+-，则1()(1)x h x x e x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，当1x >时，10x ->，且1,1x e e x ><，10,()0x e h x x'∴->∴>. 当01x <<时，10x -<， 设211,0,xx u e u e u x x'=-=+>∴在(0,1)上单调递增， 当0x →时，11,0x u e x x →+∞∴=-<；当1x =时，10u e =->， 0(0,1)x ∴∃∈，使得00010x u e x =-= ∴当()00,x x ∈时，0u <；当()0,1x x ∈时，0>u .∴当()00,x x ∈时，()0h x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,4)上单调递增. ()()()0000000000122ln 2212x h x x e x x x x x x x =-+-=-⋅-=--. ()0000022(0,1),2,121x h x x x x ∈∴-<-=--<-，4(4)2ln 440h e =+->， ∴当(0,4)x ∈时，()(4)h x h <，(4),m h m ∴≥∴的最小值是42ln 44e +-.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.。