小学奥数之三角形的分割讲义

小学奥数-几何五大模型(直角三角形)导语：几何学是数学的一个重要分支，对于学生的综合能力和逻辑思维有很大的培养作用。

直角三角形是几何学中的基础概念之一，它具有很多有趣的性质和特点。

本文将介绍直角三角形的定义、性质以及在奥数竞赛中的应用。

一、直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为90°的三角形。

在直角三角形中，我们将直角所在的边称为斜边，另外两个边分别称为直角边。

直角三角形经常用符号∆ABC表示，其中A、B、C分别表示三角形的顶点，而∠C是直角。

二、直角三角形的性质1. 两腰的平方和等于斜边的平方：根据勾股定理，在直角三角形ABC中，我们可以得出以下关系式：AB² + BC² = AC²。

2. 边长关系：如果两个直角三角形的对应直角边相等，那么它们的斜边也相等。

3. 高度关系：直角三角形的高等于斜边的两条直角边的乘积除以斜边。

三、直角三角形在奥数竞赛中的应用直角三角形是数学竞赛中经常出现的题型之一。

通过掌握直角三角形的性质和相关公式，我们可以解决以下类型的问题：1. 求边长：已知一个直角三角形的两个直角边，可以使用勾股定理求解斜边的长度。

2. 求面积：已知直角三角形的两个直角边，可以利用面积公式S = 1/2 * 直角边1 * 直角边2来求解三角形的面积。

3. 判定形状：根据已知边长关系和角度关系，可以判断一个三角形是否为直角三角形。

结语：直角三角形是小学奥数几何学的重要内容，掌握直角三角形的定义、性质和应用是解决几何学问题的基础。

希望本文能够帮助大家加深对直角三角形的理解，并在奥数竞赛中取得更好的成绩。

三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；知识框架等高三角形模型【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成 3个面积相等的三角形．【巩固】 你有多少种方法将任意一个三角形分成4个面积相等的三角形．【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【巩固】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ， AD=12厘米，DE=3厘米。

求：三角形EBC 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？例题精讲【例 3】 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。

图形分割课前回顾课前小故事分草坪兔妈妈家门前有一块草坪(如图)，兔妈妈想把它分成形状相同、大小相等的两块，一块地种萝卜，一块地种白菜。

可是该怎样平分呢?兔妈妈犯了愁，这时恰好小猴来找小兔玩，聪明的小猴只画了两条线就帮兔妈妈解决了难题．小朋友，你知道小猴是怎样分的吗?【例1】(★★)把上面一排的立体图形剪开，可以剪成下面哪种图形的样子？动手试一试，连连线。

【拓展】(★★★)把一个正方形剪开可以得到多种不同形状的展开图，下面三个可以折成一个正方体吗？如果可以就是正方体的展开图。

1【例2】(★★★)下面的图形可以折成一个正方体和一个长方体吗？根据折成的图形判断，每个面上的图案跟哪个图案是相对的。

【拓展1】(★★★)下面的正方体展开图可以折成哪几个正方体？( )( )和( )相对；( )和( )相对；( )和( )相对；( )和( )相对；( )和( )相对；( )和( )相对；【拓展2】(★★★)下面的正方体哪个不能由A折成？【例3】(★★★)请把下图中长方形分成形状相同、大小相等的两块，然后再拼成一个正方形。

【例4】(★★★★)在下面的方格中有4个圆圈，请你把方格分成4个完全相同的非正方形，使每部分都有1个圆圈(圆圈的位置相同)。

动手画出你的方法。

【例5】(★★★★★)在一块地里，种了4棵大树和4棵小树。

请你把这块地分成大小相等的四块地，每块地中都有1棵大树和1棵小树，把图画出来。

【例6】(★★★★)兔妈妈看着四个兔宝宝慢慢长大了，决定把自己家连在一起的三块地分成形状、大小一样的四块，让它们各自去种萝卜。

如下图，这块地的形状是由3个同样大小的等边三角形组成的一个等腰梯形，看看应该怎样分呢？一. 认识立体图形锥体：脑袋尖尖的二. 找对面“目”三. 图形剪拼1. 计算大小2. 尝试形状四. 画格法本讲总结。

学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。

所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： 1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。

4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。

一、 三角形的定义：（一）、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。

（二）、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形只有3条高。

重点：三角形高的画法。

底二、 三角形的特性：（一）、物理特性：稳定性。

如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

（二）、边的特性：任意两边之和大于第三边。

为了表达方便，用字母A 、B 、C 分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC 。

A+B ﹥C三、 三角形的分类：（一）、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

（二）、按照边长短来分：等边三角形（正三角形）、等腰三角形、三条边都不相等的三角形 ※三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°四、 图形的拼组：（一）、用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。

（二）、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

（三）、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。

五、 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。

顶点 边高知识框架三角形A BC哪种方法更牢固，为什么？【例 1】 是三角形的打“√”，不是三角形的画“○”。

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）【巩固】 一个三角形有（ ）个顶点，（ ）个角和（ ）条边。

【例 2】 一个三角形有（ ）条高。

A 、1B 、3C 、无数【巩固】 直角三角形、钝角三角形只有一条高。

（ ）【巩固】 锐角三角形都有三条高。

（ ）【例 3】 根据下面每个图形标出的底，画出图形的高。

【例 4】底底底例题精讲【巩固】自行车的三角架运用了三角形的（）的特征。

A、稳定性B、有三条边的特征C、易变形【例 5】在能拼成三角形的小棒下面画“☆”。

第二讲 三角形的等积变形内容概述我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等．②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。

例题精讲【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。

① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？分析：因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

于是： 三角形ABD 的面积=12×高÷2=6×高三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。

图形分与合把一个几何图形按照某种要求分成几何图形，就叫做图形的分割。

反过来，按照一定的要也可以把几个图形拼成一个完整的图形，就叫做图形的拼合，在日常生活和生产实际中，经常会碰到一些图形分割或拼合的问题。

当你感到分割或拼合图形有困难时，请记住：最好的方法是动画一画，剪一剪，拼一拼。

典型例题例[1]把一个正方形分成形状，大小相等的4份，该怎样分呢？分析把一个图平均分，首先要考虑找到这个图形的对称轴。

另外，还要考虑把图形分成形状，大小相同的不规则图形，而这些不规则的部分又要恰好能拼合为原图。

解例[2] 如下图，把一块地分给4个小组种植，形状大小要相同（每一块有相同的点数），怎么分？分析图中共有20个点子，把它分成形状大小相同的4块时，每块应有5个点子。

每一竖行最多有4个点子，而最右端的4个点子又是呈正方形排列的，因此，可以想到选择含有4个呈正方形点子，另加1个点子的图形作为单位进行分割。

解例[3]下面是一副拼板，用这副拼板能拼成一个正方形吗？怎样拼？分析这副拼板共有25个小正方形，如果能拼成一个大正方形，那么这个大正方形每边就有5个小正方形。

根据图形的凹凸情况，可以考虑把①和③拼在一起；再根据凹凸情况，依次拼上④、⑤、②。

解例[4]从上面6块图形中选用几块拼成下面的图形，你能说出它们分别选用了哪几块吗？请你用虚线表示出拼的方法，并标上所选图形的编号。

分析在给出的6块图形中，先找到哪两块图形可以拼成三角形、梯形，哪三块可以拼成三角形、梯形、平行四边形、正方形，再结合要拼成图形的形状、大小来选取小图形拼合。

解例[5]你能把一个等边三角形分成大小、形状都相等的3个、4个、6个、8个、9个、12个三角形吗？请用虚线将分法表示出来。

分析等边三角形是一个轴对称的图形，它的3条边都相等，因此只要连接每边中点都可以把它分割成若干形状、大小相同的三角形。

解分法见下图(分法不唯一)小结无论是图形的分割还是拼合，都要结合所提供图形的特点来思考。