四川省成都市届高三二诊模拟考试数学理科试卷有答案

成都高2021级高考模拟试题（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,40A B x x =--=-<，则A B = （）A.{}1,0,1- B.{}0,1,2 C.{}1,1- D.{}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}240{22},2,1,0,1,2B x x x x A =-<=-<<=--，所以{}1,0,1A B =- .故选：A2.已知复数z 满足()z 2+i =3-i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（）A.B.1- C.1D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得1i z =-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()2i 3i z +=-，可得()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，所以复数z 的虚部是1-．故选：B ．3.已知平面向量(1,)a m = ，()2,4b =- ，且a b ∥ ，则m =（）A.2B.12C.12-D.2-【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.【详解】因为(1,)a m = ，(2,4)a =- ，且a b ∥ ，所以14(2)0m ⨯--⨯=，解得2m =-，所以D 正确.故选：D.4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或9【答案】C 【解析】【分析】由题可得2130m m ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.5.如下图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（）A.ma n B.na mC.2ma n D.2na m【答案】C 【解析】【分析】根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．【详解】解：∵由题意知在正方形中随机投掷n 个点，则n 个点中有m 个点落入Ω中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积:m n =，∴不规则图形Ω的面积mn=⨯正方形的面积22m ma a n n=⨯=．故选：C ．6.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p =（）A.2B.2或4C.1或2D.1【答案】B 【解析】【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y px ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B.7.设命题:R p m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-是幂函数，且在()0,∞+上单调递减；命题()2:2,,2x q x x ∀∈+∞>，则下列命题为真的是（）A.()p q ∧⌝ B.()p q⌝∧ C.p q∧ D.()p q⌝∨【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题与全称命题判断命题,p q 的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.【详解】对于命题p ，当2m =时，函数()1f x x -=，是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，故命题p 为真命题；对于命题q ，当3x =时，3223<，不满足()22,,2xx x ∞∀∈+>，故命题q 为假命题．所以“()p q ∧⌝”为真命题，“()p q ⌝∧”为假命题，“p q ∧”为假命题，“()p q ⌝∨”为假命题．故选：A ．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，且13a =，则2023a =（）A.3B.12C.-2D.43【答案】B 【解析】【分析】由已知可得数列递推式122n na a +=-，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，则122n na a +=-，故由13a =，得23452222,,1142,342322232232a a a a ====-+-=-===-，由此可知数列{}n a 的周期为4，故202345053312a a a ⨯+===，故选：B9.设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（）A.(1,1)-B.(,3)-∞-C.(3,)-+∞D.(1,)(,1)+∞⋃-∞-【答案】D 【解析】【分析】利用导数判断函数在[)0,∞+的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式.【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.故选：D.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==．10.将函数1π()sin (0)26f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．若()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围为（）A.511,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.5,42⎛⎤⎥⎝⎦C.114,2⎛⎤⎥⎝⎦D.11,72⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得出函数π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-，要使()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，需满足5π2ππ7π2362ω<-≤，解不等式即可.【详解】由题可知，π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-．因为()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，所以5π2ππ7π2362ω<-≤，解得1142ω<≤，所以ω的取值范围为：114,2⎛⎤⎥⎝⎦．故选：C .11.设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与直线0bx ay -=在第一象限交于点A ，若2tan 2AF O ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.53B.32C.D.2【答案】A 【解析】【分析】首先推得2AOF △为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值．【详解】由题意可得2||||AO OF c ==，即有2AOF △为等腰三角形，设22OAF AF O α∠=∠=，则22AOF πα∠=-，所以()222tan tan tan 2tan 2tan 1AOF απααα∠=-=-=-2224213⨯==-即为43b a =，所以53c e a ====，故选：A【点睛】关键点点睛：由题意得出2AOF △为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于,a b 的方程，是求出离心率的关键，属于中档题.12.如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 为棱1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于F ，则下列说法正确的是（）（1）三棱锥11B BED -的体积为20（2）直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大值为35（3）存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且5CE =（4）存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值A.（1）（2）（3） B.（2）（3）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）【答案】D 【解析】【分析】对（1），根据三棱锥等体积转换可得1111B BED E BB D V V --=求解判断；对（2），点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，求解判断；对（3），若（3）正确，可知点E 与点1C 重合，已找出矛盾；对（4），四边形1BED F 为平行四边形，周长取得最小值即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求得结果.【详解】对于（1），如图过点C 作BD 垂线，垂足为M ，易知125MC =，在长方体中，1BB ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，所以1BB CM ⊥，又CM BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以MC ⊥平面11BDD B ，11//CC BB ，1CC ⊄平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，所以1//CC 平面11BDD B ，所以点E 到平面平面11BDD B 的距离等于点C 到平面11BDD B 的距离，即为MC ，三棱锥11B BED -的体积为1111111111255103325B BED E BB D BB D V V S MC --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故（1）错误；对于（2），1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，距离为125MC =，所以当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角的正弦值最大，最大值为123545=，故（2）正确；对于（3），若5CE =，可知点E 与点1C 重合，又因为11DC D C ∥，易知1B D 与DC 不垂直，故1B D 与11D C 不垂直，1B D 与平面1BED 不垂直，故（3）错误；对于（4），四边形1BED F 的周长()12BE ED =+，周长取得最小值即()1BE ED +最小，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，可知()1BE ED +=，所以截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故（4）正确.综上，说法正确的有（2）（4）.故选：D.【点睛】思路点睛：对（1）利用三棱锥等体积转换求解判断，对（2）根据1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时，直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，判断求解，对（3）利用反证法判断，对（4）四边形1BED F 的周长最小即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.c c o os 515s 7= _______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式求解.【详解】()11cos 75cos 9015cos15sin15sin 3024cos15cos15=-===．故答案为：1414.若3nx⎛- ⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为___________.【答案】270【解析】【分析】根据展开式的二项式系数之和为232n =，求得5n =，然后利用通项公式求解.【详解】由3nx⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为232n=，解得5n =，所以53x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()35552155C 313C rr r r r r rr T x x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3522r -=，解得2r =，所以含2x 项的系数为3253C 270⨯=.故答案为：270.15.若函数()32113f x x ax x =-++存在极值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【解析】【分析】求导，根据题意知方程()0f x '=有两个不等的实根，可得出0∆>，从而得解.【详解】因为()32113f x x ax x =-++，可得()221f x x ax '=-+，因为函数()f x 存在极值点，所以()0f x '=有两不等实根，则2440a ∆=->，解得1a <-或1a >，所以a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.16.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数()[]f x x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][2.32, 1.92⎡⎤=-=-⎣⎦，已知数列{}n a 满足121,5a a ==，2145n n n a a a +++=，若[]21log ,n n n b a S +=为数列18108n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，则[]2025S =_________．【答案】2025【解析】【分析】由2145n n n a a a +++=变形为()2114n n n n a a a a +++-=-，得到数列{}1n n a a +-是等比数列，从而得到14n n n a a +-=，再利用累加法得到1n a +，从而[]21log 2n n b a n +==，再利用裂项相消法求解.【详解】解：由2145n n n a a a +++=得()2114n n n n a a a a +++-=-，又21514a a -=-=，所以数列{}1n n a a +-是以4为首项和公比的等比数列，故14nn n a a +-=，由累加法得()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 114144413n nn +--=++++= 所以[]121241log log 3n n n b a ++⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦，()111222241log log 41log 3log 41213n n n n +++-=--<-=+ ，又()122241441log log log 42,233nn n nn b n +-->==∴=，令()1181088108810811,20272221n n n n n n c c b b b b n n n n ++⎛⎫====- ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭，12111111202712231n n n S c c c c n n -⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪+⎝⎭ ，1202711n S n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，代入2025n =得[]202512027120252026S ⎡⎤⎛⎫=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：2025三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分．17.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；年龄x20304050每周学习诗词的平均时间y3 3.5 3.54由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．附：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1221,ˆˆˆn niii in ii nni in ii x x y y x y nxybay xb x x xnx ====---===--∑∑∑∑．【答案】（1）35（2） 0.03 2.45y x =+；4.25小时【解析】【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出x 的范围，然后求解概率．（2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可．【小问1详解】设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得7879828180737778868055x+++++++++>6,x ⇒<即0,1,2,3,4,5x =63105P ∴==；【小问2详解】1(20304050)354x =+++=，1(3 3.5 3.54) 3.54y =+++=，∴4490xy =，又4120330 3.540 3.5504505iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221203040505400i i x ==+++=∑，∴2505490ˆ0.035400435b-==-⨯，∴ˆ 3.50.0335 2.45a =-⨯=，∴ˆ0.03 2.45yx =+，60x ∴=时，ˆ 4.25y=．答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时．18.在①2sin cos (sin cos cos sin )c B A b A B A B =+；②222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++；③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.（1）求A ；（2）若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.【答案】（1）条件选择见解析，3A π=（2）【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得cosA A =即可求解；（2）由面积得64bc =，结合余弦定理和基本不等式求最值.【小问1详解】若选择①：()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+，由正弦定理可得()2sin sin cos sin sin sin sin C B A B A B B C =+=，因(0,π)C ∈，(0,π)B ∈,故sin 0C ≠，sin 0B ≠，则有1cos 2A =，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择②：222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++，则222sin sin sin sin()sin()sin sin B C A A B A C C B +-=++=，由正弦定理可得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；由正弦定理可得，2222b c a A bc +-=，再由余弦定理得，cosA A =，即tan A =，(0,π)A ∈ ，π3A ∴=．【小问2详解】1sin 2ABC S cb A == π,643A bc =∴=，在三角形BCD 中，2222cosA BD BA AD BA AD =+-⋅⋅⋅22π2cos 223b b c c ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，2c =+2111324222b cb cb cb -≥==，当且仅当2bc ==时取等号，BD ∴的最小值为19.已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BC 相交于O ，球的表面积为169π9，若E 为PC 中点.（1）求证：//OE 平面PAD ；（2）求二面角A BE C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23333-.【解析】【分析】（1）由题意可得//OE AP ，利用线面平行的判断定理可得结论；（2）结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角A BE C --的余弦值为33-.【小问1详解】证明：由,O E 分别是,CA CP 的中点，得//OE AP ，又OE ⊄平面,PAD AP ⊂平面PAD ，所以//OE 平面PAD .【小问2详解】由球的表面积公式24πS R =，得球的半径136R =，设球心为1O ，在正四棱锥P ABCD -中，高为PO ，则1O 必在PO 上，连1AO ，则11513,66O O AO ==，则在1Rt O OA △，则22211OO OA O A +=，即2OA =,在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥平面ABCD 于O ，且AC BD ⊥于O ，设,,OA OB OP 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -系，得()()()()()0,0,3,2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2,0,P A B C D PC --中点31,0,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()32,2,0,1,2,,2,2,02AB BE BC ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，设()(),,,,,m a b c n x y z ==分别是平面ABE 和平面CBE 的法向量，则2203202m AB a b m BE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 和2203202n BC x y n BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1,3a x ==-，可得1,2,3,2b c y z ====，可得()()1,1,2,3,3,2m n ==-，则cos ,33m n m n m n⋅〈〉==⋅，由图可知，二面角A BE C --的大小为钝角，所以二面角A BE C --的余弦值为33-.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅= ，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2(21)(231)12k m k m k+-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP ==．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．21.已知函数()()()ln 2,ln f x x ax x g x x x x a =+-=--，（1）若()f x 与()g x 有相同的单调区间，求实数a 的值；（2）若方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，证明：12e a x x >.【答案】（1）12（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先分析()g x 的单调性，从而结合()f x 的导数得到a ，再进行检验即可得解；（2）将问题转化为22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，构造函数()12ln h x ax x x=-+，利用导数求得a 的取值范围，再利用零点的定义消去a 转化得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，从而构造函数()1ln 1t t t t ω-=-+，利用导数证得12e x x >，从而得证.【小问1详解】函数()f x 与()g x 的定义域均为()0,∞+，由()ln g x x x x a =--得()ln g x x '=，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，由()()ln 2f x x ax x =+-得()2ln 1f x ax x =+-'，因为()f x 与()g x 有相同的单调区间，所以()1210f a =-='，解得12a =，当12a =时，()()21ln 2,ln 12f x x x x x f x x x =+-=+-'，因为()f x '在区间()0,∞+上单调递增，且()1f '=0，所以当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，此时()f x 与()g x 有相同的单调区间，符合题意，故12a =.【小问2详解】方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，等价于22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，等价于12ln ax x x=-有两个不同的实根12,x x ，令()12ln ,0h x ax x x x =-+>，则()2221221ax x h x a x x x--=--='，当0a ≤时，()()0,h x h x '<单调递减，不符合题意，舍去；当0a >时，方程()0h x '=必有一正根0x ，使得200210ax x --=，即0012ax x =+，且当00x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当0x x >时，()()0,h x h x '>单调递增，若方程12ln ax x x =-有两个不同的实根，()000000122ln 22ln 0h x ax x x x x =-+=+-<，令()11ln x x xϕ=+-，则()x ϕ单调递减，因为()1e 0eϕ=>，所以0011e,0e x x ><<，所以2220001212e 1111e a x x x ⎛⎫+=+=+-<< ⎪⎝⎭，因为12,x x 是方程12ln ax x x =-的两个不同的实根，所以11112ln ax x x =-，22212ln ax x x =-，两式相加，得()()121212122ln x x a x x x x x x ++=-，即()1212122ln 1x x a x x x x =-+，两式相减，得()221211122ln x x x a x x x x x --=+，即2121122ln 1x x a x x x x =+-，所以()2121121221122ln2ln 11x x x x x x x x x x x x -=++-，整理得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，令()21121,ln ln 1,111x t t t t t t x t t ω-=>=-=+->++，则()2221210(1)(1)t t t t t t ω+=-=>++'，所以()t ω单调递增，()()10t ωω>=，所以221112ln x x x x x x ->+，所以()121221212211ln 1x x x x x x x x x x x x ++-=>-，所以()121212ln 11x x x x x x +>+>，所以12e x x >，又因为1a <，所以12e a x x >.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4，坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的参数方程为2x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 22ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为()2,2π，直线l 与曲线1C 相交于E ，F 两点，直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，且11m EF PA PB+=，求实数m 的值．【答案】（1）()2223x y -+=，22122x y -=（2）12m =【解析】【分析】（1）由消参法可得曲线1C 的普通方程，根据极坐标和直角坐标之间的转化公式可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）求得点P 直角坐标，判断点P 位置，结合曲线1C 方程，求得EF ，利用直线的参数方程中参数的几何意义求得11PA PB +的值，结合11m EF PA PB+=，即可求得答案.【小问1详解】曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则2222(2)))x y αα-+=+，即曲线1C 的普通方程为()2223x y -+=．因为2cos 22ρθ=，所以()22222cos sin 2,2x y ρθθ-=∴-=，则曲线2C 的直角坐标方程为22122x y -=．【小问2详解】因为点P 的极坐标为()2,2π，所以点P 的直角坐标为()2,0，则点P 在直线l 上，且点P 为曲线1C ：()2223x y -+=的圆心，所以EF =．因为直线l的标准参数方程为2212x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），将其代入曲线2C的直角坐标方程中，得240s ++=，320∆=>,设A ，B 两点对应的参数分别为1s ，2s，则12124s s s s ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则10t <，20t <，故1212121111s s PA PB s s s s ++=+==．又11m EF PA PB +=1,2m =∴=．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()21f x x a x =+--，R a ∈．（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）当1a =-时，函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正数，且2224a b c m ++=，求2a b c ++的最大值．【答案】（1）(][),04,-∞+∞U （2）3【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即可得到22243a b c ++=，再由柯西不等式计算可得.【小问1详解】当2a =时()4,12213,214,2x x f x x x x x x x -+≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，所以不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得2x ≤-或20x -<≤或4x ≥，综上可得不等式()0f x ≤的解集为(][),04,∞∞-⋃+.【小问2详解】当1a =-时()()()21213f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()210x x +-≤，即21x -≤≤时取等号，所以22243a b c ++=，又a ，b ，c 均为正数，所以()()()2222222911142a b c a b c =++++≥++，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===，即1a b ==、12c =时取等号，所以2a b c ++的最大值为3.。

高三理数第二次诊断性检测试卷一、单项选择题1.设集合，，那么〔〕A. B. C. D.i为虚数单位．那么复数的虚部为〔〕A. B. C. -1 D. 13.命题“ ，〞的否认为〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，4.袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球．那么摸出的两个球颜色相同的概率为〔〕A. B. C. D.5. ，，那么的值为〔〕A. B. C. -3 D. 36.在中，，为边中点，点在直线上，且，那么边的长度为〔〕A. B. C. D. 67.圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，那么该圆柱的侧面积的最大值为〔〕A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π8. 是曲线上的动点，点在直线上运动，那么当取最小值时，点的横坐标为〔〕A. B. C. D.9.数列的前项和满足，记数列的前项和为，．那么使得成立的的最大值为〔〕A. 17B. 18C. 19D. 2010.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为．如果前2小时消除了20%的污染物，那么污染物减少50%大约需要的时间为〔参考数据：，，〕〔〕A. 4hB. 6hC. 8hD. 10h11. 为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．那么当取最大值时，的值为〔〕A. 2B.C.D.12.四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有以下结论：①线段的长度为1；②假设点为线段上的动点，那么无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；③ 的余弦值的取值范围为；④ 周长的最小值为．其中正确结论的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题13.函数，假设，那么的值为________．14.正项数列满足，．假设，，那么的值为________．15.设双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，直线与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为．假设点恰好为线段的中点，那么直线的斜率的值为________．16.定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．假设，，，那么，，的大小关系为________．〔用符号“ 〞连接〕三、解答题17.的内角，，的对边分别为，，，．〔1〕求角的大小；〔2〕假设，，求的面积．18.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量〞换算成费用，称之为“失效费〞．某种机械设备的使用年限〔单位：年〕与失效费〔单位：万元〕的统计数据如下表所示：使用年限〔单位：年〕 1 2 3 4 5 6 7失效费〔单位：万元〕〔Ⅰ〕由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；〔精确到0.01〕〔Ⅱ〕求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式：相关系数．线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，．参考数据：，，．19.如图①，在等腰三角形中，，，，满足，．将沿直线折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．〔Ⅰ〕证明：平面；〔Ⅱ〕当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.椭圆：经过点，其长半轴长为2．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求△的面积的取值范围．21.函数，其中．〔Ⅰ〕假设存在唯一极值点，且极值为0，求的值；〔Ⅱ〕讨论在区间上的零点个数．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，直线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求曲线和直线的极坐标方程；〔2〕假设点在直线上且，射线与曲线相交于异于点的点，求的最小值．23.设函数的最小值为．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设，，证明：．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】由题设，，而，∴.故答案为：A.【分析】首先由对数函数的单调性求解出集合A，再由并集的定义得出答案即可。

成都2023-2024年度下期高2024届二诊模拟考试数学试题（理）（A 卷）（答案在最后）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知复数11i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.12-B.1i2- C.12D.1i 2【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算，结合虚部的定义即可求解.【详解】11i 1i 2z -==+，所以z 的虚部是12-.故选：A2.若集合{}121,2,|A B y y x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，则a A ∈是a B ∈的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出值域，得到[)0,B ∞=+，故A 是B 的真子集，得到答案.【详解】由幂函数的性质可知[)0,B ∞=+，则A 是B 的真子集，则a A ∈是a B ∈的充分不必要条件.故选：A3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（）A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124【答案】B 【解析】【分析】根据一组数据的极差，中位数，众数和平均数定义即可判断或求得.【详解】学生数学成绩从小到大为117,117,118,121,123,125,131,132，对于选项A ，极差是13211715-=，故A 错误；对于选项B ，中位数是1211231222+=，故B 正确；对于选项C ，众数是117，故C 错误；对于选项D ，平均数是1(1172118121123125131132)1238x =⨯++++++=，故D 错误.故选:B.4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是（）A.3π2B.5π3C.7π3D.9π2【答案】A 【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，再求出其体积即可.【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，且圆柱的高为1，底面半径为1，球的半径为1，故这个几何体的体积23433π11π1π382V =⨯⨯+⨯⨯=.故选：A5.已知数列{}n a 为等差数列，且23691010a a a a a ++++=，则48a a +的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，又23691010a a a a a ++++=，所以6510a =，则62a =，所以48624a a a +==.故选：B.6.若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A.45B.23C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+=+++=++++ ⎪⎣⎦⎣⎦++⎝⎭124312434222532453245a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛++++⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ++++⎝⎭⎝，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A7.当π02x <≤时，关于x 的不等式()()2sin cos23sin 0a x x x x +--≤有解，则a 的最小值是（）A.2B.3C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据sin x x <，将问题转化为2sin cos230a x x +-≥在π02x <≤上有解，利用二倍角公式以及基本不等式即可求解最值求解.【详解】当π02x <≤时，记sin ,cos 10y x x y x '=-=-≤，故函数sin y x x =-在π02x <≤上单调递减，故sin sin 000x x -<-=，故sin x x <，所以2sin cos230a x x +-≥在π02x <≤上有解，由于π02x <≤，所以sin 0x >，所以22sin 3cos222sin a x x x ≥-=+，所以min1sin sin a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.由1sin 2sin x x+≥，当且仅当π2x =时取等号，所以a 的最小值是2.故选：A8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到,,A B C 三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A 场馆，则不同分配方案的种数是（）A.48B.36C.24D.12【答案】C 【解析】【分析】分甲单独一人执勤一个场馆和甲和另一个人一起执勤一个场馆两种情况求解即可.【详解】分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有12223212C C A =种；第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有11232212C C A =种，则共有24种.故选：C9.已知抛物线24y x =，弦AB 过其焦点，分别过弦的端点,A B 的两条切线交于点C ，点C 到直线AB 距离的最小值是（）A.14B.12C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设出过点过A 处的切线方程与抛物线联立，由Δ0=，得出其斜率，化简点过A 处的切线方程，同理得出点过B 处的切线方程,根据题意得出点C 的坐标，结合点到直线的距离公式可得出答案.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，设过A 处的切线方程是()11y y k x x -=-，联立()11y y k x x -=-，24y x =得2114440y y y x k k-+-=，由题意Δ0=，即221112116164240,20,y y y k k k k y ⎛⎫-+=-== ⎪⎝⎭，则在A 处的切线方程为1122y y x x =+，同理，B 处的切线方程为2222y y x x =+，设交点C 的坐标为00(,)x y ，点00(,)C x y 在两条切线上，所以101022y y x x =+，202022y y x x =+，则直线AB 的方程是0022yy x x =+.又AB 过其焦点(1,0)，易知交点C 的轨迹是=1x -，所以()01,C y -，AB ：022yy x =-，所以交点C 到直线AB的距离是2d ==所以当00y =时距离最小值为2.故选：D10.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，F 为四边形11DCC D 对角线的交点，下列说法：①//EF 平面11BCC B ；②若//EF 平面11ADD A ，则//BC AD ；③若四边形ABCD 矩形，且11EF D C ⊥，则四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱.其中正确说法的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据面面平行的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理及性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理逐一判断可得结果.【详解】对于①，若//EF 平面11BCC B ，过F 作1//FH CC 交11C D 于其中点H ，连接EH ，FH ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以//FH 平面11BCC B ，又//EF 平面11BCC B ，且FH EF F ⋂=,,EF FH ⊂平面EFH ，所以平面//EFH 平面11BCC B ，又EH ⊂平面EFH ，所以//EH 平面11BCC B ，又EH ⊂平面1111D C B A ，且平面11BCC B 平面111111A B C D B C =，所以//EH 11C B .当11A D 与11C B 不平行时，//EH 11C B 不成立.①是假命题.对于②，同①，//EH 11C B ，则//BC AD .②是真命题.对于③，四边形ABCD 矩形，所以//AD BC .AD ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，//AD 平面11BCC B ，又11//DD CC ，同理1//DD 平面11BCC B ,且1AD DD D = ,所以平面11AA D D //平面11BCC B ，所以四棱柱1111ABCD A B C D -可看作四边形11AA D D 为上底面，四边形11BCC B 为下底面的四棱柱，过F 作1CC 的平行线交11C D 于点H ，则H 为11C D 的中点，连接EH ，由条件有11EH D C ⊥，又11EF D C ⊥，且EH EF E =I ,则11D C ⊥平面EFH ，则11FH D C ⊥，1//FH DD ，所以111DD D C ⊥，又1111D A D C ⊥，且1111DD D A D = ，所以11D C ⊥平面11ADD A ，则四棱柱1111ADD A BCC B -为直四棱柱.但当上底面11ADD A 变化时，不能确保111DD A D ⊥，即1DD ⊥平面1111D C B A 不一定成立，故③是假命题.故选：B.11.已知函数2()22cos x x f x x x -=+++，若a f =，1e (e )b f =-，1π(π)c f =，则（）A.c b a <<B.a c b <<C.c<a<bD.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】先利用函数奇偶性的定义与导数判断()f x 的奇偶性与单调性，再构造函数ln ()xg x x=，利用导数判断得111πe 22πe <<，从而得解.【详解】因为2()22cos x x f x x x -=+++的定义域为R ，又()()()22()22cos 22cos x x x x f x x x x x f x ---=++-+-=+++=，所以()f x 是偶函数，又()(22)ln 2(2sin )x x f x x x -'=-+-，令()2sin h x x x =-，则()2cos 0h x x ='->恒成立，所以()()00h x h >=，即2sin 0x x ->，又22x x y -=-在()0,∞+上单调递增，所以0022220x x y -=->-=，所以()0f x '>在()0,∞+上恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增，构造函数ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x-'=，令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以(4)(π)(e)g g g <<，又ln 2ln 424=，所以ln 2ln 4ln πln e 24πe=<<，所以111πe 22πe <<，所以111πe e (π)(e )(e )f f f f <<=-，所以a c b <<.故选：B.12.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，已知l 的斜率为k ，,b k a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，且222AF F B =，160F AB ∠= ，则直线AB 的斜率是（）A. B.C.33D.2【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线定义由余弦定理可求得双曲线离心率3e =，联立2222:194x y C t t -=和直线2:03l x my m ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭方程并利用韦达定理结合222AF F B =可解得m =，可得结果.【详解】设2F B x =，则22,3F A x AB x ==，如下图所示：由双曲线定义，得1122,2AF a x F B a x =+=+；在1AF B △中，由余弦定理，得2221112cos 60BF AF AB AF AB =+- ，即()()()()2222223322a x a x x x a x +=++-+，解得3ax =.在12AF F △中，由余弦定理，得2221212122cos 60F F AF AF AF AF =+- ，即()()()2224222222c a x x x a x =++-+，解得双曲线离心率3e =.令()30a t t =>，则,2c b t ==，所以2222:194x y C t t -=，设直线2:03l x my m ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，联立双曲线和直线l 整理可得()22249160m y t --+=，则212122216,4949t y y y y m m +==--；由222AF F B =，得122y y =-，解得m =，所以AB k =故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用余弦定理求得离心率之后，联立直线和双曲线的方程利用韦达定理由线段比例关系求得其斜率.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a =（1，-2），b =（2，m ），若a ⊥b，则m =______．【答案】1【解析】【分析】根据a b ⊥即可得出0a b ⋅= ，进行数量积的坐标运算即可求出m ．【详解】∵a b ⊥；∴220a b m ⋅=-=r r ，∴1m =，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.已知实数,x y 满足约束条件04340y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则32z x y =+的最大值是_________.【答案】3【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据线性规划的几何意义，即可求得答案.【详解】作出0 4340 yx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩满足的可行域如图中阴影部分所示，对于434x y+≤，令01y,x=∴=，则可行域中的点A坐标为(1,0)，作出直线32y x=-并平移，当直线过点(1,0)A时，32z x y=+取到最大值，max31203z=⨯+⨯=，所以32z x y=+的最大值是3，故答案为：315.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，若1273nnS x⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，则12na a a取最大值时，n的值为__________．【答案】3【解析】【分析】根据等比数列前n项和及等比中项求出通项公式可得结果.【详解】因为1273nnS x⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，则211221111227,3339a S x a S S x x x⎛⎫==+=-=-=-⎪⎝⎭，323321123327a S S x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由数列{}n a为等比数列，所以0x≠，则2213a a a=，即2212279327x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得27=-x，所以127273nnS⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当1n=时，1112727183a S==-⨯+=，当2n ≥时，111111272718333n n n n n n a S S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时当1n =时也符合；所以11183n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，1118,3a q ==，所以23426,2,3a a a ===，当4n ≥时，1n a <，所以12n a a a 取最大值时，n 的值是3.故答案为：3.16.当1x ≥时，恒有221ln e 1e x x x x mx mx+≤----成立，则m 的取值范围是__________.【答案】(],e 2-∞-【解析】【分析】根据函数有意义可得e xm x <在[)1,+∞上恒成立.，进而可得e m <：由221ln e 1e x x x x mx mx+≤----可得()()()()22ln 11ln e e x x x x mx mx +++≤-+-，构造函数可得2e 1x x m x --≤，进而可得e 2m ≤-，从而可得答案.【详解】由题意，得210e x x mx+>-.又210x +>恒成立，所以e 0xmx ->在[)1,+∞上恒成立，即e xm x<在[)1,+∞上恒成立.令()()e 1xg x x x =≥，则()()2e 1x x g x x-'=，当1x ≥时，()0g x '≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e g x g ==，所以e m <①.由221ln e 1e x x x x mx mx+≤----，得()()()()22ln 1ln e e 1x x x mx mx x +--≤--+，即()()()()22ln 11ln e e xxx x mx mx +++≤-+-.构造函数()ln h x x x =+，则()()21e xh x h mx+≤-因为()ln h x x x =+在()0,∞+上是增函数，所以21e xx mx +≤-，所以2e 1x x m x--≤.令()()2e 11x x f x x x --=≥，则()()()21e 1x x x f x x--'-=.构造函数()'()e 1()e 1xxm x x m x =-+⇒=-,(),0x ∈-∞时'()0m x <，()m x 递减：()0,x ∈+∞时'()0m x >，()m x 递增，所以()(0)0m x m ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e 2f x f ==-，所以e 2m ≤-②.由①②知e 2m ≤-.故答案为：(],e 2-∞-.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，A 箱内有1个红球、1个黑球、8个白球，B 箱内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回．消费额满300元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满600元有一次B 箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券．（1）某三位顾客各有一次B 箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数ξ的分布列；（2）某顾客消费额为600元，请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）这位顾客选B 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大【解析】【分析】（1）由题意可知，三人中中奖人数ξ服从二项分布13,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，接下来求出对应的概率，进而列出分布列；（2）由题意可知，可以在A 箱摸奖2次，或者在B 箱内摸奖1次，求出A 箱与B 箱所得奖金的期望值，然后比较大小，进而得出结论.【小问1详解】三位顾客每人一次B 箱内摸奖中10元代金券的概率都为15，中奖10元代金券的人数ξ服从二项分布13,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，()030314640C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21314481C 55125P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()22314122C 55125P ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()333113C 5125P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭故ξ的分布列为ξ0123P6412548125121251125【小问2详解】可以A 箱摸奖1次所得奖金的期望值为11850301016101010⨯+⨯+⨯=，B 箱摸奖1次所得奖金的期望值为44250301034101010⨯+⨯+⨯=，A 箱摸奖2次所得奖金的期望值为21632⨯=，B 箱摸奖1次所得奖金的期望值为34，所以这位顾客选B 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大．18.已知sin (R)cos x m m x =⎧⎪∈⎨=⎪⎩，设()f x λ=.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）若ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，()3f A =，且ABC外接圆的半径为3，D 是BC 边的中点，求线段AD 长度的最大值.【答案】（1）π(π,0),Z 6k k -∈（2）2.【解析】【分析】（1）由方程组消元即得()f x 得表达式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求得其对称中心；（2）利用（1）中结论和()3f A =求得角A ，由正弦定理和条件求得边a 长，利用余弦定理和线段中点的向量表达式求得||AD的表达式，最后借助于基本不等式即可求得.【小问1详解】由sin cos x m x =⎧⎪⎨=⎪⎩得π()sin )336f x x x x =+=+.令ππ,Z 6x k k +=∈，解得ππ,Z 6x k k =-∈，所以函数()f x 的对称中心为π(π,0),Z 6k k -∈.【小问2详解】如图，由（1）知23π23())363f A A =+=，()0,πA ∈，∴π3A =，又ABC 外接圆的半径为33，由正弦定理得：213a A =⨯=，∴由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得221bc b c =+-.又因2AD AB AC =+，则22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅ ，即得：222224||2()1AD c b bc c b =++=+- 由222212b c bc b c +=+-≤，解得：222c b +≤，（当且仅当1b c ==时等号成立），故24||3AD ≤ ，即max ||2AD = ，此时，1b c ==.19.如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上靠近1C 的三等分点.（1）求证：1AC 与平面BDE 不垂直；（2）在线段BE 上是否存在一点F 使得平面11B D F ⊥平面BDE ？若存在，请计算BFBE的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）1217【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出1(0,3,2),(3,3,3)DE A C ==--，由它们的数量积不为0即可得证；（2）设BF BE λ=，则[](33,3,2),0,1F λλλ-∈，求出两个平面的法向量（其中一个含参），由平面11B D F ⊥平面BDE 即可得法向量数量积为0，由此即可列方程求解.【小问1详解】以D 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，()()111(3,3,0),(0,0,0),(0,3,2),(3,3,3),(0,0,3),3,0,3,0,3,0B D E B D A C .1(0,3,2),(3,3,3)DE A C ==--，因为1(3,3,3)(0,3,2)30A C DE ⋅=--⋅=≠，所以1AC 与平面BDE 不垂直..【小问2详解】存在点F ，且1217BF BE =.设BF BE λ=，则[](33,3,2),0,1F λλλ-∈.(3,3,0),(0,3,2)DB DE ==，设平面BDE 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111111330320n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令12y =-，得1(2,2,3)n =-.()()1113,3,0,3,0,23B D B F λλ=--=--，设平面11B D F 的法向量为()2222,,n x y z =，则()2112221223303230n B D x y n B F x z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，23z λ=，得2(23,23,3)n λλλ=--+.若平面11B D F ⊥平面BDE ，则120n n ⋅=，即464690λλλ-+-+=，解得1217λ=，[]0,1λ∈.所以在线段BE 上存在一点F 使得平面11B D F 与平面BDE 垂直，且1217BF BE =.20.已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆E 于,A B 两点，△ABF 面，1OF =.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知过点0(4,)P y 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，是否存在定点P ，使得直线,FM FN 的斜率之和为定值？若存在，求出定点P 的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，(4,0)P ，0.【解析】【分析】（1）当△ABF 面积的最大时直线与椭圆的交点恰为上下两个顶点，此时可知bc =，根据1c =和222a b c =+即可求解；（2）设出直线l 的方程和直线与椭圆的交点坐标，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用韦达定理把FM FN k k +化为含有0y 的式子即可求解.【小问1详解】设(),A A A x y ,(),B B B x y ，∵12ABF AOF BOF A B S S S OF y y bc =+=-≤ (当且仅当,A B 是y 轴与椭圆的交点时取等号)，∴bc =.又∵1c OF ==，∴23b =，2224a b c =+=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】设直线l 的方程为,y kx m =+1122(,),(,),M x y N x y 由0(4,)P y 在直线l 上，得04m y k =-，将直线l 和椭圆方程E 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222()4384120k x kmx m +++-=，由()22Δ44812360k m =-+>，得2243k m +>，由根与系数的关系，得122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故直线,FM FN 的斜率之和为()()()12121212121212122211111kx x m k x x my y kx m kx m x x x x x x x x +-+-+++=+=-----++022220062464489364249y k mk m km k y y k ---==++-+--要使上式为定值，则00,y =故(4,0)P ，且0.FM FN k k +=21.已知函数2()f x x ax =-,0.x >（1）是否存在实数a 使得()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）求函数2()()ln h x f x a x =-在区间(1,e )a 上的零点个数（e 为自然对数的底数）.【答案】（1）存在，a >0；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得0a >，再利用二次函数单调性即可求解.（2）由已知可得0a >，利用导数求出函数()h x 在(0,)+∞上的最小值，再分段讨论并结合零点存在性定理求解即得.【小问1详解】函数2()f x x ax =-，0x >，由()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立，得0a >，函数()f x 在[],21a a +上单调递增，于是()00f a =≥，因此0a >，所以对任意的0a >都能满足()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立.【小问2详解】由区间(1,e )a ，得e 1a >，则0a >，函数22()ln h x x ax a x =--，0x >，求导得2(2)()()2a x a x a h x x a x x+-'=--=，当0x a <<时，()0h x '<，当x a >时，()0h x '>，则函数()h x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，2min ()()ln h x h a a a ==-，设函数()e (0)a g a a a =->，求导处()e 10a g a '=->，()g a 在(0,)+∞上是增函数，于是()(0)10g a g >=>，即e a a >，①当2ln 0a a ->，即01a <<时，函数()h x 在(1,e )a 上无零点；②当2ln 0a a -=，即1a =时，函数()h x 在(1,)a e 上无零点；③当2ln 0a a -<，即1a >时，1e a a <<，显然(1)10h a =-<，()0h a <，23(e )e e a a a h a a =--，令23()e e ,1x x m x x x x =-->，求导得22()2e e e 3x x x m x x x =---'，令22,1()2e e e 3x x x x x x x ϕ=-->-，求导得2()4e 2e e 6x x x x x x ϕ'=---，令2()4e 2e e 6,1x x x F x x x x =--->，求导得则22()8e 3e e 63e e 1e (2e 3(e 2)0())x x x x x x x x F x x x '=---=-+-+->，则函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)4e 3e 60F x F >=-->，函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)2e 2e 30x ϕϕ>=-->，于是函数()m x 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)e e 10m x m >=-->，因此23(e e e 0(1))a a a h a a a =-->>，即函数()h x 在(1,e )a 上有一个零点，所以当01a <≤时，函数()h x 无零点；当1a >时，函数()h x 有一个零点【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过定点()1,0，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B .（1）若π3α=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若(1,0)P ，求PA PB ⋅的最小值.【答案】（1）523(,33（2）4【解析】【分析】（1）根据极坐标与参数方程间的转化得曲线C 的普通方程，再将其与直线的参数方程联立，再利用韦达定理即可得到答案；（2）将直线参数方程代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理即可得到其最值.【小问1详解】2sin 4cos ρθθ=两边同乘ρ得()2sin 4cos ρθρθ=，根据sin ,cos y x ρθρθ==得曲线C 的普通方程为24y x =，当π3α=时，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得238160t t --=设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则1283t t +=，所以M 对应的参数为12423t t +=，代入参数方程，得点M的直角坐标5(,33.【小问2详解】将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=，∴1224||4sin PA PB t t α⋅=⋅=≥，当且仅当π2α=时取等号，∴PA PB ⋅的最小值为4.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()()217f x f x x +-<+的解集；（2）若对于正实数a ，b ，c ，满足1111a b c ++=，证明:()()9f x a f x b c -+++≥.【答案】（1）{}23x x -<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得()()31,1211,1031,0x x f x f x x x x x --<-⎧⎪+-=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，分类讨论解不等式即可；（2）由绝对值不等式可得()()f x a f x b c a b c -+++≥++，由基本不等式可得9a b c ++≥，进而分析证明，注意等号成立的条件.【小问1详解】因为()()31,121121,1031,0x x f x f x x x x x x x --<-⎧⎪+-=++=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，当1x <-时，可得317x x --<+，解得2<<1x --；当10x -≤≤时，可得17x x -+<+，解得10x -≤≤；当0x >时，可得317x x +<+，解得03x <<；综上所述：不等式()()217f x f x x +-<+的解集是{}23x x -<<.【小问2详解】由绝对值不等式的性质，可得()()()()1111f x a f x b c x a x b c x a x b c a b c -+++=+-++++≥+--+++=++，当且仅当()()110x a x b c +-+++≤取等号.由于正实数a ，b ，c ，满足1111a b c ++=，则()111a a c b c b a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭39b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当3a b c ===时取等号，此时()()()()11270x a x b c x x +-+++=-+≤，即72x -≤≤，所以()()9f x a f x b c -+++≥，当且仅当3a b c ===且72x -≤≤取等号.。

2019届2018~2018学年下期二诊模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，则复数.3A .3B -.3C i.4D i -2.已知全集U =R ，集合{|30}A x x =-<，那么集合U A C B ⋂等于.{|23}A x x -≤≤.{|23}B x x -<< .{|2}C x x ≤-.{|3}D x x <3.若,x y 满足约束条件02326x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =+ 的最小值是.3A -.6B.3D4.则sin 2α的值为5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积 为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为7.等比数列{}n a 中，20a >则25""a a <是35""a a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2018)f=A. B. C. D.9、已知是双曲线的左、右焦点, 点在上若,则的离心率为A. B. C. D.10.，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为11.若函数y =f (x )的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数y =f (x )为“t 函数”.下列函数中为“2函数”的个数有① y =x -x 3 ②y =x +e x ③y =x ln x ④y =x +cos xA.1个B.2 个C.3 个D.4个12、已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于A. B.2 C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．133项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14、已知数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为1的等差数列，且5=62S ，则2=a15．已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是 .16．为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）如图，,,a b c 分别是锐角ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，（1）求sin C 的值；（2）若点D 在边BC 上,3BD CD =，ABC ∆的面积为14，求AD 的长度.18. （本小题满分12分）2018年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与正方形ABC D所在平面垂直，点M为AE的中点.（1）求证：BM//平面EFC，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.（2）若DE AB20、（本小题满分12分）,O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A B 、两点（A 在x 轴上方），交x 轴正半轴于P 点, 若3PB PA +=0，求AOB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知a ∈R ，()(1)ln f x ax x =-（1）若2()ln f x x x x ≤--恒成立，求a 的值； （2）若()f x 有两个极值点，，求a 的范围并证明1()4f x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为（t 为参数）， 直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+. （1）解不等式()4|1|f x x <--（2）若0a >，不等式||()4x a f x --≤恒成立，求实数a 的取值范围．石室中学高2019届2018-2019学年下期二诊模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13. 20-； 14. 4；三、解答题17. 解：（1，因B 为锐角，所以分，分（2分分，由余弦定理，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，解得5AD =…………………………12分18..(1).记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，分 (2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.所以X 的分布列为:19..(1)由题知B D E F A B C ⊥面面，而B D E D ⊥，BDEF ABCD=BD 面面∩，DE BDEF ⊂面所以DE ABCD 面⊥，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则()1,1,0B ，，()0,0,1E ，()1,1,1F ，()0,1,0C ， 所以,1,1,MB ⎛= EFC 的法向量为()1,1,1m =-，则0MB m ⋅=即MB m ⊥，又面MB EFC ⊄，所以//面MB EFC ;……………6分(2)由（1）知.1,1,MB ⎛= , 1,0,DM ⎛=所以面BDM 的法向量为()1,1,1n =- 又()1,0,1AE =-,6cos ,n AE =所以直线AE 与面BDM12分 20.解： （1）设切线为0bx ay ab +-=，则，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程分 （2）设直线l 为(0,0)x my n m n =+>>，联立得222(34)63120m y mny n +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，②由0∆>，可得22340m n -+>…….6分 又因为3PB PA +=0，可得123y y -=③…………7分分分满足0∆>， 所以AOB ∆面积的最大值为此时直线l 的方程为分 21. 解(1)由题:得1ln 0x a x --≥ 令:，，…………………1分 所以F，且．所以当时恒成立，此时在上单调递增，(0,1),()0x F x ∴∈<这与F矛盾；………………………………..3分 当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即，又因为，又F(1)=0 所以………………………..6分①若0a ≥时, 知:'()f x 在(0,)+∞单调递增,不合题…分 此时知道：()f x 在1(0,)x 单减，12(,)x x 单增，2(,)x +∞单减 且易知又110ax -<<1()4f x ∴>…………………………………………………12分 22. (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得, 设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴=即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分23. （1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为．…………………… 5分（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即…………………………….10分。

2023—2024 学年度下期高2024届二诊模拟考试三、解答题：17．【详解】（1）因为n n S a ⎫⎧⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a =+，即()121232321a a a a a a a +++=+从而得到()1111223312a d a d a d a d++=+++，化简得()10a d d −=0d ≠所以10a d −=（2）当10a d −=，11a =时，n a n =，()1111111n n n n n n a a +==−++， 所以111111112231198n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−=−< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得8n <，又因为N n *∈， 90，所以在ABC 中，45，由余弦定理有：2224cos45BC AB =+=+⨯⨯，所以，90，所以BC ⊥，PA AC A =，因为PC ⊂平面PC ⊥，在PAC △所以，PC ⊥AC BC C =，AC 、BC ，所以PC ⊥面ABCD .ABCD ，AB AD ，以点为坐标原点，AD 、AB 、CP 的方向分别为的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则有)0,2,0、()1,0,0、()1,1,2P ，设(()1,1,,,2BE BP λλλλλ==−−，其中，则(),2,2AE AB BE λλλ=+=−，(1,1,0AC =，()1,1,2AP =，设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则有()20n AE x y z n AC x y λλ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+⎪⎩λ=−，则y λ=，1z λ=−，所以，平面EAC 的一个法向量为(),,1n λλλ=−−，5cos ,sin α=∴由题意可得()2222,cos 361AP nAP n n AP λλ⋅−===⋅⨯+−，可得23λ+⎦0fx ．有x >)0,1，增区间为)1ln x x −，若x 0f x； 0，可得0f x ；若x =．单调递增，增区间为(0,0fx ，有1x >或，故函数()f x 的增区间为(−0f x ，有x a >−)0,1，(),a −+∞，减区间为在()0,1上单调递减，在在()0,∞+上单调递增；()S=AOB 故当α=。

2023_2024学年四川省成都市高三下册二诊模拟数学理科（三）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共12小题。

一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩B ＝( )A.(－2，－1]B.(－2，3]C.(－2，1]D.[－2，1]2.若复数(b ∈R )的实部与虚部相等，则b 的值为( )1－b i2＋i A.－6B.－3C.3D.63.“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知sin α＝，α∈，则cos的值为( )1010A.eq B.eq C.eqD.eq5.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝，b sin A ＝4，则a 的值为( )203A.6B.5C.4D.36.已知函数f (x )＝cos－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P，若要得到一个偶函数的图象，3则需将函数f (x )的图象( )A.向左平移个单位长度2π3B.向右平移个单位长度2π3C.向左平移个单位长度π3D.向右平移个单位长度π37.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，||＝2，＝＋，若M 是线1323段AB 的中点，则·的值为( )A.eqB.2C.2D.338.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.eq π＋12D.eq π＋19.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.eq πD.eq10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( )A.f(log 27)<f (－5)<f (6)B.f(log 27)<f (6)<f (－5)C.f(－5)<f (log 27)<f (6)D.f(－5)<f (6)<f (log 27)11.已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.eq B.eq C.eq ＋1D.eq －112.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.eq B.eq C.eqD.eq第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

2023_2024学年四川省成都市高三二诊数学（理）模拟测试卷一、单选题1．已知集合，则（ ）{}()20|{|2ln 2}3A x x x B x y x =+-≤==+，A B = A ．B ．C ．D ．(2,1]--(2,3]-(2,1]-[2,1]-【正确答案】C【分析】先化简集合然后用交集的定义即可求解,,A B 【详解】因为，{}{}23|1|230A x x x x x =+-≤-≤≤=，()}ln 2|2{}{|B x y x x x ===+>-所以(2,1]A B =- 故选：C2．若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ）()1iR 2i b b -∈+b A ．B ．6-3-C ．D ．36【正确答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据题意得到方程，解得即可.【详解】解：，()()()()()21i 2i 221i1i 2i 2i i 2i 2i 2i 55b b b b b b ----+---+===++-故由题设，解得；221b b -=--3b =-故选：B3．“”是“函数存在零点”的0m <2()log (1)f x m x x =+≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A 【详解】显然由于，所以当m<0时，函数f( x)= m+log 2x （x≥1）存在零点;反21,log 0x x ≥≥之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A ．4．已知，则的值为sin α=0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABCD【正确答案】A【详解】分析：根据同角三角函数关系由，于是可得sinα=cos α=，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．sin2,cos 2αα详解：∵，sin α=0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴cos α==∴，3sin22sin cos 25ααα===．224cos 212sin 125αα=-=-⨯=∴1413cos 22sin 262525πααα⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭故选A ．点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．5．的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 20tan ,sin 43a B b A ==a A ．6B ．5C ．4D ．3【正确答案】B【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得.sin 4a B =a 【详解】由得，又，所以，从而，,sin 4sin sin a b b A A B ==sin 4a B =20tan 3a B =3cos 5B =4sin 5B =所以.5a =故选：B6．已知函数的图象过点，若要得到一个偶函π())cos (03)2f x x x ωωω=--<<π(,0)3P 数的图象，则需将函数的图象()f x A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度2π32π3C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度π3π3【正确答案】B【详解】函数．由已知，所π()cos 2sin()6f x x x x ωωω-=-πππ()2sin(0336f ω=⨯-=以，解得．因为，所以，，所以πππ()36k k ω-=∈Z 13()2k k Z ω=+∈03ω<<0k =12ω=．令，得（），所以函数的1π()2sin(26f x x =-1πππ()262x k k -=+∈Z 4π2π3x k =+Z k ∈()f x 图象的对称轴为（）．时，对称轴方程为；时，对称轴4π2π3x k =+Z k ∈0k =4π3x =1k =-方程为．要得到一个偶函数的图象，可将该函数的图象向左平移个单位长度，或2π3x =-4π3向右平移个单位长度，故选B ．2π3点睛：本题主要考查了三角函数式的化简以及三角函数图象的变换，属于基础题；变换过程中三点提醒：（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是．sin y A x ω=()sin y A ωx φ=+ϕω||ϕ7．已知，是圆上的两个动点，，，若是线段A B 224+=O: x y ||2AB = 1233OC OA OB =+M 的中点，则的值为（ ）.AB OC OM ⋅A B ．C ．2D ．3【正确答案】D【分析】判断出是等边三角形，以为基底表示出，由此求得的值.OAB ∆,OA OB OM OC OM ⋅ 【详解】圆圆心为，半径为，而，所以是等边三角形.由于是线段O ()0,02||2AB =OAB ∆M 的中点，所以.所以AB 1122OM OA OB =+ OC OM ⋅ 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭ .22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+ 21422cos 603323=+⨯⨯⨯+= 故选：D本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为），则该几何体的体积1等于A ．B ．C ．D ．12π+5123π+4π+543π+【正确答案】A【详解】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由三视图可知该几何体是一个组合体，从下到上依次为：长宽高分别为的长方体；半径为的半球；底面半径为，高为的圆锥；2,2,31R =1R =1h =据此可得该几何体的体积为：.3214122311112233V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+本题选择A 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9．点，，，均在同一球面上，且，，两两垂直，且，，A B C D AB AC AD 1AB =2AC =，则该球的表面积为3AD =A ．B ．C ．D 7π14π72π【正确答案】B【分析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，A BCD -对角线的长为球的直径，然后解答即可．【详解】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，A BCD -它也外接于球，对角线的长为球的直径，d =外接球的表面积是2414ππ=故选：B ．10．已知定义在R 上的奇函数满足，且当时，()f x ()()20f x f x +=+[0,1]x ∈，则下列不等式正确的是()21=log ()f x x +A ．B ．()()2log 756()f f f -<<()()2log 7()65f f f -<<C ．D ．()()25log (76)f f f <<-()()256o )l g 7(f f f -<<【正确答案】C【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期，然后利用函数的性质计算或估4T =()f x 计、、的值或范围即可比较大小.()2log 7f ()6f (5)f -【详解】由，得，所以，的周期.()()++2=0f x f x ()()=+2f x f x -()+4()f x f x =()f x 4T =又，且有，()()f x f x -=-()()20=0=f f -所以，.()()2551log 2==1()==f f f -----()()620f f ==又，所以，即，22log 73<<20log 721<-<270log 14<<因为时，，[0,1]x ∈()2()[]log 10,1f x x +∈=所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=-又，所以，所以，271log 22<<2270log (log 12<<2271log (log 02-<-<所以.2(5)(log 7)(6)f f f -<<故选：C.本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上A 24x y =B P 且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的||||PA m PB =m P ,A B 离心率为（ ）A B C D 11【正确答案】C【分析】首先利用两点间距离表示，再结合基本不等式求最值，并且求得点的坐标，根2m P 据双曲线上的点和焦点坐标，即可求得双曲线的离心率.【详解】设，，，则(,),0P x y y ≥()0,1A -()0,1B()()222222222222(1)4(1)4(1)4112(1)(1)141PA x y y y y y y m PB y y x y y y ++++++=====+≤=+++-+-，当且仅当时取等号，此时, ，1y =()2,1P ±22c =所以.1c e a ===故选：C12．已知，，若存在，，使得，{|()0}M f αα=={|()0}N g ββ==M α∈N β∈||n αβ-<则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，()f x ()g x n 2()21x f x -=-2()e xg x x a =-1则实数的取值范围为a A ．B ．C ．D ．214(,]e e214(,]e e 242[,e e3242[,e e【正确答案】B【详解】易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点()f x R 22(2)210f -=-=()f x 2，故.由题意知，即，由题意，函数在内存在零点，由{2}M =|2|1β-<13β<<()g x (1,3)，得，所以，记，则2()e 0x g x x a =-=2e x a x =2e xx a =2()((1,3))e x x h x x =∈，所以当时，，函数单调递增；222e e (2)()((1,3))(e )e x x x xx x x x h x x --==∈'(1,2)x ∈()0h x '>()h x 当时，，函数单调递减.所以.而，(2,3)x ∈()0h x '<()h x 24()(2)e h x h ≤=1(1)e h =，所以，所以的取值范围为.故选B.391(3)e e h =>214()(2)e e h x h <≤=a 214(,]e e 点睛：本题通过新定义满足“度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇1到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为，即求函2exx a =数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.二、填空题13．已知向量满足，则的夹角等于,a b ()cos2018,sin2018,2a a b =+=,a b __________.【正确答案】π3【分析】将两边平方可得，然后利用夹角公式即可求得答案a +1a b ⋅= 【详解】由条件知1,2,a b a b ===+= 则所以，222||27,a b a b a b +=++⋅= 1a b ⋅= 故1cos ,,2a b a b a b ⋅==因为所以0,π,a b ≤≤,3a b π=故π314．若的展开式中的系数为,则常数项为________.()()512x a x ++3x 20【正确答案】14-根据二项展开式的通项公式,写出的系数列方程求出的值,即可求得答案.3x a 【详解】的展开式中的系数为:()()512x a x ++3x 2233552220C a C ⋅+⋅⋅=∴408020a +=解得:14a =-∴()()()55112124x a x x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=的二项式展开通项公式为:()512x +()5152rrr T C x -+=的常数项为:.∴()51124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()550544211x C --=-故答案为:.14-本题主要考查了展开式中的常数项,解题关键是掌握二项式通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15．点M 是双曲线渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2+y 2-4x +3=0相切，2214y x -=则圆M 的半径的最小值等于________.1【分析】先得到渐近线方程，再根据圆M 的半径最小，得到圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x -y =0垂直.此时圆M 的半径的最小值r min =|MC |min -R ，从而可解.【详解】不妨设点M 是渐近线2x -y =0上一点.∵圆C ：x 2+y 2-4x +3=0的标准方程为，()2221x y -+=∴圆心C （2，0），半径R =1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x -y =0垂直.因此圆M 的半径的最小值r min =|MC |min -R .由于，故.min ||MC =min 1r -116．如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形ABCD 6AB =3BC =4CD =5AD =的面积为_____________．ABCD【正确答案】【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围0＜C ＜π，利用同角三22477BD =3cos 7C =-角函数基本关系式可求sin C ，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】如图所示，连接，因为为圆内接四边形，BD ABCD所以180°，则，利用余弦定理得，A C +=cos cos A C =-22265cos 265BD A +-=⨯⨯，解得，所以．22234cos 234BD C -+=⨯⨯22477BD =3cos 7C =-由，得22sin cos 1C C +=sin C因为，所以，180A C +=︒sin sin A C ==．11563422ABD BCD ABCD S S S =+=⨯⨯⨯⨯= 四边形故答案为.本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题17．已知等比数列的前项和为， ，， 是，{}n a n n S 12a =()*0n a n N >∈66S a +44S a +的等差中项.55S a +（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前项和为，求.1212log n n b a -=12n n b b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【正确答案】(1) .212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2).221n nT n =--【分析】（1）由是，的等差中项，推出，再根据数列是等比66S a +44S a +55S a +644a a ={}n a 数列，即可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）根据（1）可得数列的通项{}n a {}n b 公式，进而可得数列的通项公式，再根据裂项相消法求和，即可求得.12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【详解】（1）∵是，的等差中项，66S a +44S a +55S a +∴()6644552S a S a S a+=+++∴，66445566S a S a S a S a +--=+--化简得，，644a a =设等比数列的公比为，则，{}n a q 26414a q a ==∵，∴，∴，()*0n a n N>∈0q >12q =∴.1211222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得.2n-31211221log log ()232n n b a n -===-设.()()1221123212321n n n C b b n n n n +===-----∴121111111112111133523212121n n n T C C C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.：本题主要考查求等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（3）；（4）1k=()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A ，B 两个项目，每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A ，B 两个项目的测试成绩，得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下：B 项目测试成绩频数分布表分数区间频数[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]35将学生的成绩划分为三个等级，如下表：分数[0,30)[30,50)[50,60]等级一般良好优秀(1)在抽取的100人中，求A 项目等级为优秀的人数；(2)已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人，A 项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好总计男生女生总计(3)将样本的概率作为总体的概率，并假设A 项目和B 项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A 项目等级比B 项目等级高的概率.参考数据：P (K 2≥k 0)0.100.0500.0250.0100.001k 02.7063.8415.0246.63510.828参考公式K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++【正确答案】（1）40；（2）详见解析；（3）0.3.（1）根据A 项目测试成绩频率分布直方图，计算出A 项目等级为优秀的频率，由此计算出A 项目等级为优秀的人数.（2）填写好列联表，计算出的值，由此判断有95%以上的把握认为“A 项目等级为优22⨯2K 秀”与性别有关.（3）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】(1)由A 项目测试成绩频率分布直方图，得A 项目等级为优秀的频率为0.04×10＝0.4，所以A 项目等级为优秀的人数为0.4×100＝40.(2)由(1)知A 项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A 项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.作出如下2×2列联表：优秀一般或良好总计男生262652女生143448总计4060100则K 2＝≈4.514.1002634261440604852⨯⨯-⨯⨯⨯⨯由于4.514＞3.841，所以有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关.(3)设“A 项目等级比B 项目等级高”为事件C .记“A 项目等级为良好”为事件A 1，“A 项目等级为优秀”为事件A 2，“B 项目等级为一般”为事件B 0，“B 项目等级为良好”为事件B 1.于是P (A 1)＝(0.02＋0.02)×10＝0.4，P (A 2)＝0.4.由频率估计概率得P (B 0)＝＝0.1，P (B 1)＝＝0.55.235100++1540100+因为事件Ai 与Bj 相互独立，其中i ＝1,2，j ＝0,1，所以P (C )＝P (A 1B 0＋A 2B 0＋A 2B 1)＝0.4×0.1＋0.4×0.1＋0.4×0.55＝0.3.所以随机抽取一名学生，其A 项目等级比B 项目等级高的概率为0.3.本小题主要考查根据频率分布直方图计算频数，考查列联表独立性检验，考查相互独立22⨯事件概率乘法公式，考查数据分析与处理能力，属于中档题.19．在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）中，侧面底面，底面111ABC A B C -11AA C C ⊥ABC 是边长为2的正三角形，，.ABC 11A A A C =11⊥A A AC（1）求证：；111A C B C ⊥（2）求二面角的正弦值.111B A C C --【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明，，证得11A C D 1B D CD 11⊥CD A C 111B D A C ^平面，由此证得.11A C ⊥1B CD 111A C B C⊥（2）解法一：利用几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.解法二：建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦11A B C 11A C C 值，再求得其正弦值.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，，11A C D 1B D CD ∵，111==C C A A A C ∴，11⊥CD A C ∵底面是边长为2的正三角形，ABC ∴，，2AB BC ==11112A B B C ==∴，又，111B D A C ^1⋂=B D CD D ∴平面，且平面，11A C ⊥1B CD 1B C 1B CD ∴.111A C B C ⊥（2）解法一：如上图，过点作于点，连接.D 1DE A C ⊥E 1B E ∵侧面底面，11AA C C ⊥ABC ∴侧面平面，又，侧面平面，11AA C C ⊥111A B C 111B D A C ^11AA C C 11111A B C A C =∴侧面，又平面，1B D ⊥11AA C C 1A C 11AA C C ∴，又且，11B D A C ⊥1DE A C ⊥1⋂=B D DE D ∴平面，∴，1A C ⊥1B DE11⊥B E AC ∴为所求二面角的平面角，1∠B ED ∵，∴，1111112A B B C A C ===1B D =又∴，112==EDCC 11tan ∠===B DB ED ED∴二面角.111B A C C --法二：如图，取的中点，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的AC O O OB OC1OA x y z 正方向建立空间直角坐标系，则，(0,0,0)O ，，，，B 1(0,0,1)A 11,1)-B 1(0,2,1)-C (0,-1,0)C ∴，，111,0)A B =-1(0,1,1)AC =-- 设为平面的法向量，(,,)m xy z =11A B C ∴，11100m A B y m A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令，得，y= m 又为平面的一个法向量，n =11A C C 设二面角的大小为，显然为锐角，111B A C C --θθcos cos ,m θ=〈则∴二面角.sin θ==111B A C C --本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为22(0)x py p =>222(0)x y r r +=>F 4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求F ,A B A x M 面积的最小值.ABM △【正确答案】(1)225x y +=【分析】（1）由题意可知，求得的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程. p （2）设直线的方程为：，联立方程组，求的及，利用导数求得切l =+1y kx 1212,x x x x +||AB 线方程，得到，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，M 研究函数的单调性和最值，即可得到结论.【详解】（1）由题意可知，为公共弦长，且,，则EP =4EP (0,)2pF (,2p P p 所以，则，故抛物线的方程为.=2=4EP p =2p 24x y =又，所以， 所以圆的方程为.22222p p OF r ⎛⎫+== ⎪⎝⎭25r =225x y +=（2）,设直线的方程为：，并设，(0,1)F l =+1y kx ()()1122,,,A x y B x y 联立，消可得，.2=4=+1x y y kx ⎧⎨⎩y 2440x kx --=所以,12124,4x x k x x +==-.()241k =+由于，则，所以在点的切线的斜率为，切线为，214y x =2x y '=A 12x ()1112x y y x x -=-令，可得，， 所以点到直线的距离=0y 1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭M ABd故，(21141222ABM S AB d k =⋅=⨯++ 又，代入上式并整理可得：21111144y x k x x --==，令，可得为偶函数，()22114116ABM x S x +=()()224x f x x+=()f x 当时，，0x >()()2234168x f x x x xx +==++，令，可得()()()222224341638x x f x x x x +-=+'-=()=0f x 'x =当，，单调递减，当，，单调递增，x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ∞⎫∈+⎪⎭()0f x '>()f x 所以，因此当的最小值为x =()f x 1x =ABM S .116=本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，利用题设条件确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．已知函数，且.()()()ln ,g x ax a x f x xg x =--=()0g x ≥(1)求实数的值；a (2)证明：存在，且时，.0x ()00f x '=00101x x <<<<，()()0f x f x ≤【正确答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）要使，即，对求导，得到的单调性和最值，即可()0g x ≥()min 0g x ≥()g x ()g x 求出实数a 的值；（2）对求导，则，设，再对求导，利用导数()f x ()22ln f x x x'=--()22ln h x x x=--()h x 性质推导出是在的唯一极大值点，即可证明.0x x =()f x ()0,1【详解】（1）显然的定义域为，且.()g x ()0,∞+()1,0g x a x x '=->因为，且，故只需.()0g x ≥()10g =()10g '=又，则，∴.()11g a '=-10a -=1a =若，则.显然当时，，此时在上单调递减；1a =()11g x x '=-01x <<()0g x '<()g x ()0,1当，，此时在（1，+∞）上单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以是的唯一极小值点，1x =()g x 故.综上，所求的值为1.()()10g x g ≥=a （2）由（1）知.()()2ln ,22ln f x x x x x f x x x=-'--=-设，则()22ln h x x x=--()12h x x'=-当时，；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<当时，，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0h x '>所以在上单调递减，()h x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭在上单调递增.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()21e 0,0,10,2h h h -⎛⎫><= ⎪⎝⎭又所以在有唯一零点，在上有唯一零点1，()h x 10,2⎛⎤ ⎝⎦0x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭且当时，；当时；()00,x x ∈()0h x >()0,1x x ∈()0h x <因为，所以是的唯一极大值点.()()f x h x '=0x x =()f x 即是在的最大值点，所以成立.0x x =()f x ()0,1()()0f x f x ≤22．在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，xOy 1:0l x =()(22:111C x y -+-=轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x (1)求的极坐标方程；1,l C (2)若直线的极坐标方程为，设与的公共点分别为，求的面积.2l()πR 4θρ=∈12,l l C ,A B OAB 【正确答案】(1)答案见解析；(2)1+【分析】（1）由公式法求出的极坐标方程；1,l C（2）、代入)=0求得、ρ2，由此能求π2θ=π4θ=(22cos 21sin ρρθρθ--1ρ出△OAB 的面积．【详解】（1）∵，cos ,sin x y ρθρθ==∴的极坐标方程为，即，1lcos 0ρθ=()πR 2θρ=∈的极坐标方程为.C (22cos 21sin 30ρρθρθ--++=（2）将代入，π2θ=(22cos 21sin 30ρρθρθ--++=得，解得(22130ρρ-+++=11ρ=+将代入，π4θ=(22cos 21sin 30ρρθρθ--++=得，解得(22130ρρ-+++=21ρ=故△OAB 的面积为.(21π1sin 124⨯⨯=23．已知.()11f x x ax =+--（1）当时，求不等式的解集；=1a ()1f x >（2）若时不等式成立，求的取值范围.()0,1x ∈()f x x>a 【正确答案】（1）；（2）．1>2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(]0,2【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将=1a ()11f x x x =+--解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；()2,1,=2,1<<1,2, 1.x f x x x x -≤--≥⎧⎪⎨⎪⎩（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可()0,1x ∈()f x x>以化为时，分情况讨论即可求得结果.()0,1x ∈11ax -<【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法当时，，即，所以不等式等价于=1a ()11f x x x =+--()2,1=2,1<<12,1x f x x x x -≤--≥⎧⎪⎨⎪⎩()1f x >或或，解得：．12>1x ≤--⎧⎨⎩1<<12>1x x -⎧⎨⎩12>1x ≥⎧⎨⎩12x >故不等式的解集为．()1f x >1>2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭［方法二］：【最优解】数形结合法如图，当时，不等式即为．=1a ()1f x >|1||1|1x x +-->由绝对值的几何意义可知，表示x 轴上的点到对应的点的距离减去到1对应|1||1|x x +--1-点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，1=2x |1||1|1x x +--=12x >．故不等式的解集为．|1||1|1x x +-->()1f x >1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论当时，成立等价于当时，成立．()0,1x ∈11x ax x +-->()0,1x ∈11ax -<若，则当时，；0a ≤()0,1x ∈111ax ax -=-≥若，由得，，解得：，所以，故．0a >11ax -<111ax -<-<20x a <<21a ≥02a <≤综上，的取值范围为．a (]0,2［方法二］：平方法当时，不等式成立，等价于时，成立，即(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈11ax -<成立，整理得．2211ax -<(2)0ax ax -<当时，不等式不成立；=0a 当时，，不等式解集为空集；0a <(2)0ax ax ->当时，原不等式等价于，解得．0a >220a x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭20x a <<由，解得．故a 的取值范围为．>021a a ≥⎧⎪⎨⎪⎩02a <≤(0,2]［方法三］：【最优解】分离参数法当时，不等式成立，等价于时，成立，(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈|1|1ax -<即，解得：，而，所以．故a 的取值范围为．111ax -<-<20a x <<22x >02a <≤(0,2]【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通()0,1法；方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集()0,1求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．。

成都高2023届二诊复习卷（三）（答案在最后）数学试题（理科）一、单选题1．已知集合{}{}3|11,,log 1A y y x x B xx ==--∈=R ∣ ，则R A B = ð（）A ．{}1x x -∣B ．{3}x x <∣C ．{}13x x -∣D ．{13}xx -<∣ 2．若复数z 满足||2,3z z z z -=⋅=，则2z 的实部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则()()33f f '-=（）A ．2-B ．2C ．3-D ．34．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（）A ．40a -<£B ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为,αβ，且1tan()3αβ-=，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（）A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,0O ，点()0,8A ，点M 满足5MA MO =，又点M 在曲线224y x x =-++上，则MO=（）A ．5B ．22C ．25D ．107．若2021log 2022a =，2022log 2023b =，20222021c =，20232022d =，则a ，b ，c ，d 中最大的是（）A ．a B ．b C ．c D ．d8．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式357sin 3!5!7!=-+-++ x x x x x ()()211121!n n x n ---+- ，(其中x R ∈，*n ∈N ，n !=1×2×3×…×n ，0!=1)，现用上述公式求()()11111112!4!6!22!n n --+-++-+- 的值，下列选项中与该值最接近的是（）A ．sin30 B ．sin33C ．sin36D ．sin399．621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 的系数为（）A ．60B ．60-C ．120D ．120-10．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，将△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）A ．2B ．62C ．112D ．5211．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．233B ．2C ．3D ．212．已知2π3是函数()()()sin 20πf x x ϕϕ=+<<的一个零点，则下列选项不正确的为（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭只有一个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =是曲线()y f x =的切线二、填空题13．已知在A B C 中，角,,A B C 所对边分别为a b c ，，，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则2a c -的取值范围为______.14．已知边长为2的菱形A B C D 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足22,3BE EC AE BD =⋅=- ，则AF EF ⋅ 的最小值为______.15．如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，且AB=DE=2，CF=1，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH ⊥AE ；③三棱锥B −GHF 的体积为定值；④三棱锥E −BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）16．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一的零点，函数()()()8sin πcos πg x x x x =+-且()()()12918g a g a g a ++⋅⋅⋅+=.则5a =______.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前三项的和为－9，前三项的积为－15.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 为递增数列，求数列{}n a 的前n 项和Sn .18．三棱台111ABC A B C -的底面是正三角形，1AA ⊥平面A B C ，4AB =，112A B =，1AA =E 是AB 的中点，平面11A C E 交平面A B C 于直线l ．(1)求证：AC l ∥；(2)求直线1B C 与平面11A C E 所成角的正弦值．19．2020年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为(300500)≤≤a a 元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100天的日销售量统计如下，商品日销售量（单位：件）678910甲平台的天数1426262410乙平台的天数1025352010假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不影响，(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．20．如图所示，已知椭圆22:163x y C +=与直线:163x y l +=．点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，O 是坐标原点．(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB 的面积S ；(2)若OD AB ⊥，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值.21．已知函数2()e ,2xmx f x m =-∈R .(1)讨论()f x 极值点的个数；(2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明:()()122e f x f x m +<-.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为22114t x ty ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0t >，t 为参数）．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线:10l x y --=与x 轴的交点为F ，且曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求||||FA FB ⋅的值．23．已知()|1||3|f x x x =-+-．(1)求()3f x ≤的解集；(2)已知2(2)1()a x f x -+≥在[3,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】由题意可得{|1}A y y =≥-，{|3}B x x =≥，R {|3}B x x =<ð，再根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为{}|11,{|1}A y y x x y y ==--∈=≥-R ，{}3log 1{|3}B x x x x =≥=≥∣，所以{|3}B x x =<R ð，所以(){|1}{|3}{|13}A B x x x x x x ⋂=≥-⋂<=-≤<R ð.故选：D.2．C【分析】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-,故根据||2,3z z z z -=⋅=可求得222,1x y ==，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-，则由||2,3z z z z -=⋅=可得|2i|2y =且223x y +=，解得222,1x y ==，故2222(i)2i x y x y x z y =+=-+，其实部为22211x y -=-=.故选：C.3．D【分析】利用导数的几何意义求出()3f 和()3f '，即可求得.【详解】函数()f x 的图像在点()()33P f ,处的切线的斜率就是在该点处的导数，即()3f '就是切线27y x =-+的斜率，所以()32f '=-.又()32371f =-⨯+=，所以()()()33123f f -=--='.故选：D 4．A【分析】存在命题为假命题，则其否定是全称命题且为真命题，写出命题的否定，由不等式的性质可得结论．【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，4<0-恒成立，符合题意；其次0a ≠时，则a <0且2(2)160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，－4<0a ≤故选：A 5．B【分析】根据给定条件，可得tan 1β=，再利用和角的正切公式计算作答.【详解】依题意，tan 1β=，则11tan()tan 3tan tan[()]211tan()tan 13αββααββαββ+-+=-+===--⋅-，所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.故选：B 6．B【分析】先判断出点M 两个圆的公共点，求出()2,2M ，进而求出M O .【详解】设(),M x y .因为点()0,0O ，点()0,8A，且MA MO ，=，整理化简得：()22220x y ++=.而点M 在曲线y上，方程y 平方后，整理为一个圆()2215x y-+=，所以曲线y ()2215x y -+=在x 轴上方部分.则两个圆的公共弦为两圆的方程相减，整理得：260x y +-=.所以(),Mx y 满足260y x y ⎧⎪=⎨+-=⎪⎩22y x =⎧⎨=⎩.即()2,2M .所以MO ==故选：B 7．C【分析】先将a ，b ，c ，d 变换为：202111log 12021a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，202211log 12022b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，得到c d >，构造函数()()2022log 1g x x x =-+，()()2021log 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，结合导数和作差法得到d b >，c a >，从而得出a ，b ，c ，d 中最大值.【详解】因为20212021202120221log 2022log 20211log 120212021a ⎛⎫⎛⎫==⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20222022202220231log 2023log 20221log 120222022b ⎛⎫⎛⎫==⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20221120212021c ==+，20231120222022d ==+，所以c d >；20222022111111log 1log 12022202220222022d b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()2022log 1g x x x =-+，()0,1x ∈，则()()111ln 2022g x x '=-+，当01x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递增，则()102022g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即202211log 1020222022⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以0d b ->，即d b >；20212021111111log 1log 12021202120212021c a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()()2021log 1x x x ϕ=-+，()0,1x ∈，则()()111ln 2021x x ϕ'=-+，当01x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，则()102021ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即202111log 1020212021⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以0c a ->，即c a >；综上：c d b >>，c a >，即a ，b ，c ，d 中最大的是c .故选：C.8．B【分析】求出(sin )'x 后代入1x =得cos1=sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭可得答案，即18090π︒⎛⎫- ⎪⎝⎭ 与33 最接近.【详解】()()246221'(sin )cos 112!4!6!22!n n x x x x x x n --==-+-++-+- 所以cos1=111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+- =sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 18090π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，由于18090π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 与33最接近，故选：B 9．A【分析】设621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的通项为6162C ()rr r T x y -+=-，设62()r x y --的通项为()6162C kk r k kk r S xy ---+-=-,即得解.【详解】解：设621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的通项为6162C ()rr r T x y -+=-，设62()r x y --的通项为()661662C 2C kk k r k k r k kk r r S x x y y -----+--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2,64,2,0.k r k k r =--=∴==所以42x y的系数为02266C (2)C 60-=.故选：A 10．B【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径．【详解】易知四面体A EFD '的三条侧棱,,A E A F A D '''两两垂直，且1,1,2A E A F A D '''===，把四面体A EFD '补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A EFD '的外接球，球的半径为,2R =故选：B.【点睛】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查空间想象能力．11．D【解析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a,b 的关系，即可求解.【详解】不妨设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线为0bx ay -=，圆()2224x y ++=的圆心为()2,0-，半径2r =，则圆心到渐近线的距离为2b d c==所以弦长2=，化简得：2243b c =，即()22243c a c -=，解得2c a =所以2ce a==.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题型.12．ABD【分析】先利用函数的零点解出ϕ，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC ，利用导数的几何意义判断D.【详解】由题意得2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，Z k ∈，即4π3k πϕ=-+，Z k ∈，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选项A ：当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象可得()y f x =在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，正确；选项B ：当11,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象可得()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得512x π=，即512x π=为函数的唯一极值点，正确；选项C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，07π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故直线7π6x =不是对称轴，错误；选项D ，由2π2cos 213y x '⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭得2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2π2π22π33x k +=+或22π22π33x k π+=-+，Z k ∈，解得πx k =或ππ3x k =+，Z k ∈，所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为2π2cos 013k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，切线方程为()02y x -=--即2y x =-，正确；故选：ABD 13．(-【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得π3B =，从而可表示出2a c -的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案.【详解】由题意在ABC 中，满足2cos 2b A a c +=，即2sin cos sin 2sin 2sin()B A A C A B +==+,即sin 2sin cos A A B =，而(0,π),sin 0A A ∈∴≠，故1cos 2B =，又π(0,π),3B B ∈∴=,则sin 4sin sin b A a AB ==，同理4sin c C =，故)22πsin 4sin s 8s 8in 4in(3a c A C A A -=-=--π6sin 6A A A =-=-，又2ππππ(0,),(,)3662A A ∈∴-∈-,故π1sin ,162A ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(2a c -∈-，故答案为：(-14．7336-【分析】由22,3BE EC AE BD =⋅=- ，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB ＝π3；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF EF ⋅，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．【详解】由题意知：2=3BE BC，设=DAB θ∠，所以()()22222333AE BD AB BE AD AB AB AD AB BC BC AB ⋅=+⋅-=⋅-+-⋅=-故()22214cos 444cos cos 3332θθθ-+⨯-⨯=-⇒=由于()0，πθ∈，所以π=3θ，以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A （﹣3，0），C （3，0），D （0，1），B （0，﹣1），E （231,33-），设F （0，t ），则AF ＝（3，t ），EF ＝23133，t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2117323636AF EF t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当t ＝16-时，AF EF ⋅ 取最小值7336-，故答案为：7336-15．①③④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，如下所示：因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂面,ABE HG ⊄面ABE ，故HG //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥面,,ABCD DA DC ⊂面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH ⊥AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-= ，即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故②错误；对③：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGF S 为定值，又DE //,CF CF ⊂面,BGF DE ⊄面BGF ，故DE //面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到面BGF 的距离是定值，故三棱锥B GFH -的体积为定值，则③正确；对④：取△EFC 的外心为1O ，过1O 作平面EFC 的垂线1O N ，则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上因为1OO ⊥面EFC ，FC ⊥面,ABCD CB ⊂面ABCD ，则CF CB ⊥，又CB CD ⊥，,,CF CD C CF CD ⋂=⊂面EFCD ，故CB ⊥面EFCD ,又BC ⊥面EFC ，则1OO //CB ，故1,OO BC 在同一个平面，则过O 作OP BC ⊥，连接,OB OC 如图所示.在△EFC 中，容易知5,2,1EF EC FC ===，则由余弦定理可得5cos 25EFC ∠=-25sin EFC ∠=，则由正弦定理可得1102sin 2EC O C OP EFC ===∠；设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ，则OC OB R ==，在△OBP 中，OB R =，102OP =，又22211522222BP PC OO OC O C R =-=-=-=-故由勾股定理可知：222OB OP BP =+，即22255544222R R R =++---解得：272R =，则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查线面平行的证明，线线垂直的判定，以及三棱锥体积的计算和外接球半径的求解，属综合困难题.16．14【分析】利用导数的定义和对称性可得12n n a a +-=，利用辅助角公式对()g x 化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理即可求解.【详解】因为()21cos 2n n f x x a x a +'=-++有唯一的零点，()f x '为偶函数，所以()00f '=，即12n n a a +-=，*N n ∈，所以数列{}n a 为公差为2的等差数列，又因为()228sinπcosπ82ππg x x x x x x x ⎫=+-=⎪⎪⎭11188π2444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()8h t t t =，则()h t 为奇函数，因为()80h t t '=>，所以()h t 在R 上单调递增，由题意得()()()1292220g a g a g a -+-+⋅⋅⋅+-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<⋅⋅⋅<，则129111444a a a -<-<⋅⋅⋅<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1928371651111111112444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1417．（1）an ＝－2n ＋1或an ＝2n －7；（2）Sn ＝226,3618,4n n n n n n ⎧-+≤⎨-+≥⎩.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列{}n a 前三项的和为9-，前三项的积为15-，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{}n a 的通项公式．（2）由（1）得an ＝2n －7，知|an |＝72,327,4n n n n -≤⎧⎨-≥⎩，分类讨论，结合等差数列的求和公式能求出数列{||}n a 的前n 项和为n S ．【详解】（1）设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ，所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2，所以an ＝－2n ＋1或an ＝2n －7.（2）由题意得an ＝2n －7，所以|an |＝72,327,4n n n n -≤⎧⎨-≥⎩，①n ≤3时，Sn ＝－(a 1＋a 2＋…＋an )＝()5722n n +-⨯＝6n －n 2；②n ≥4时，Sn ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋an ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋an )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|an |}的前n 项和Sn ＝226,3618,4n n n n n n ⎧-+≤⎨-+≥⎩.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．易错点是求等差数列通项公式时容易丢解．18．(1)证明见解析【分析】（1）由三棱台的性质得到AC //11AC ，再利用线面平行的判定定理和性质定理进行证明；（2）在平面ABC 内作Ax AC ⊥，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量公式进行求解.【详解】（1）在三棱台111ABC A B C -中，AC //11AC ，又AC ⊄平面11AC E ，11AC ⊂平面11AC E ，则AC //平面11AC E ，又AC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面11A C E l =，所以AC //l .（2）因为1AA ⊥平面ABC ，在平面ABC 内作Ax AC ⊥，以A 为原点，1,AC AA 分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则2,0)B ，E ，(0,4,0)C ，1A ，1B ，(10,C ，111(3,1,3),(0,2,0)A E A C =-= ，1(3,3,3)B C =-，设平面11AC E 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11133020A E n y A C n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，则(1,0,1)n = ，设直线1B C 与平面11AC E 所成角为θ，则111||10sin |cos ,|||||B C n B C n B C n θ⋅=<>==所以直线1B C 与平面11AC E 1019．(1)35；81125(2)答案见解析.【分析】（1）根据古典概型求解即可得事件A 的概率，再结合二项分布的概率公式求解即可得事件B 的概率；（2）设甲平台的日销售收入为X ，乙平台的日销售收入为Y ，进而分别求其分布列，进而根据分布列求期望，比较期望大小即可得答案.【详解】（1）解：令事件A =“甲平台日销售量不低于8件”，则2624103()1005P A ++==，令事件B =“从甲平台所有销售数据．．．．．．中随机抽取3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”，则()23233332381C C 555125P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）解：设甲平台的日销售收入为X ，则X 的所有可能取值为6240,7270,8300,9330,10360.a a a a a -----所以，X 的分布列为X6240a -7270a -8300a -9330a -10360a -P1410026100261002410010100所以，14262624()(6240)(7270)(8300)(9330)100100100100E X a a a a =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯10(10360)7.9297100a a +-⨯=-，设乙平台的日销售收入为Y ，则Y 的所有可能取值为6240,7280,8320,9355,10390.a a a a a -----所以，Y 的分布列为：Y6240a -7280a -8320a -9355a -10390a -P1010025100351002010010100所以，210253520()(6240)(7280)(8320)(9355)100100100100E Y a a a a =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯10(10390)100a +-⨯7.95316a =-.所以，()()0.0519,E Y E X a -=-令0.05190a -≥得380a ≥，令0.05190a -<得380a <所以，当300380a ≤<时，选择甲平台；当380a =时，甲乙平台均可；当380500a <≤时，选择乙平台.20．(1)4；(2)证明见解析.【分析】（1）可得点()0,3P ，设切线方程为3y kx =+，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得k 的值，可知PA PB ⊥，求出两切点的坐标，可得出PA 、PB ，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，可得出切线PA 、PB 的方程，设点(),P m n ，求出直线AB 的方程，可得出直线AB 过定点T ，由OD AB ⊥结合直角三角形的几何性质可得出结论.【详解】（1）解：由题意知()0,3P ，过点P 与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为3y kx =+，联立22326y kx x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222112120k x kx +++=，（*）由()()22214448214810k k k ∆=-+=-=，可得1k =±，即切线方程为3y x =±+，所以，PA PB ⊥，将1k =代入方程（*）可得2440x x ++=，可得2x =-，此时1y =，不妨设点()2,1A -，同理可得点()2,1B ，PA PB ===因此，142S PA PB =⋅=.（2）证明：先证明出椭圆22163x y +=在其上一点()0,Mx y 处的切线方程为0163x x y y +=，因为点()00,M x y 在椭圆22163x y +=上，则220026x y +=，联立0022163163x x y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 可得()222200002103633x y x x x y +-+-=，整理得220020x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，因此，椭圆22163x y +=在其上一点()0,Mx y 处的切线方程为0163x x y y +=.设()11,A x y 、()22,B x y ，则切线PA 的方程为11163x x y y +=，切线PB 的方程为22163x x y y+=.设(),P m n ，则1122163163mx ny mx ny ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程260mx ny +-=，所以，直线AB 的方程为260mx ny +-=，因为点(),P m n 在直线163x y+=上，则26m n +=，则26n m =-，所以，直线AB 的方程可表示为()660mx m y +--=，即()()610m x y y -+-=，由010x y y -=⎧⎨-=⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，故直线AB 过定点()1,1T ，因为OD AB ⊥，所以，点D 在以OT 为直径的圆上，当点Q 为线段OT 的中点时，122DQ OT ==，此时点Q 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故存在点11,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得DQ .【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分类讨论导函数e ()x f x x m x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭的实数根即可求解极值点，（2）构造函数()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈和2e ()(3)e e,(0,1)xxxG x x x x-=-+-∈，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.【详解】（1）2()e 2xmx f x =-,则()e x f x mx '=-,0x = 显然不是()f x '的零点,e (),x f x x m x '⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令e ()=x g x x ,则2e (1)()-'=x x g x x ,()g x ∴在(,0)-∞单调递减,在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增.当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，且()(1)e g x g ==极小值(,0)m ∴∈-∞时,e =xm x 只有一个实数根，所以此时()f x 有1个极值点,[)0,e m ∈时,e =xm x没有实数根，故()f x 有0个极值点,当e m =时，e=xm x，有一个实数根1x =，但1x =不是极值点，故此时()f x 没有极值点，(e,)m ∈+∞时,e =xm x有两个不相等的实数根，故()f x 有2个极值点.（2）由（1）知,(e,)m ∈+∞,且()()121201,,()x x g x g x m g x <<<==在（0,1）单调递减,在(1,)+∞单调递增,先证:122x x +>,即证:212x x >-，1201x x <<< 121x ∴->即证:()()212g x g x >-.即证:()()112g x g x >-.令()()(2),(0,1)F x g x g x x =--∈,即证:(0,1),()0x F x ∀∈>,2'22e e ()(1)()(2)x x F x x x x -=---令2(1,2)t x =-∈则x t <令2e ()h =λλλ,则4)(e (2)h '⋅⋅-=λλλλλ,则()h λ在(0,2)λ∈单调递减()()(2)h x h t h x ∴>=-,()0F x '∴<,即()F x 在(0,1)x ∈单调递减,()(1)0F x F ∴>=,证毕.再证:()()122e f x f x m +<-,1201x x <<< ,且122x x +>1122x x x ∴<-<.()f x 在()10,x 单调递增,在()12,x x 单调递减,在()2,x +∞单调递增,()()122f x f x ∴->.即证:()()1122e f x f x m +-<-,又11e x m x = ,即证:()()()11121111e 23e e 2e x x xf x f x m x x -+-+=-+-<.令2e ()(3)e e ,(0,1)xx x G x x x x-=-+-∈,()23222222e 21e e (1)()(2)e e e x x x x x x x x x x G x x x x '--+-+--∴=---=.令()23222()e 21e x p x x x x x =-+-+-,()2322()e 2212e x p x x x x x '∴=-+++-,令()()q x p x '=()2322()2e 22322e x x q x x x ∴=-+--'-,令()()r x q x '=()232()2e 41027x x x x r x ∴=-'+--令32()41027,(0,1)m x x x x x =+--∈,2()12202m x x x '∴=+-,11(0,1),()x m x ∴∃∈在()110,x 单调递减,在()11,1x 单调递增.(0)7,(1)5m m =-= ,12(0,1)x ∴∃∈,当()120,x x ∈时,()()0,r x q x >''单调递增;当()12,1x x ∈时,()()0,r x q x <''单调递减.()()2042e 0,10q q '<'=-= ,13(0,1),()x p x '∴∃∈在()130,x 单调递减,在()13,1x 单调递增.(0)10,(1)0p p ''=>= ,14(0,1),()x p x ∴∃∈在()140,x 单调递增,在()14,1x 单调递减.(0)1,(1)0p p == ,()0p x ∴>,()0G x '∴>,()G x ∴在(0,)x x ∈单调递增,()(1)2e G x G ∴<=,所以原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.22．(1)212y x=(2)24【分析】（1）根据曲线C的参数方程为22114t x t y t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0t >，t 为参数），由y =两边平方求解；（2）易知直线的参数方程为()2122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'''为参数，代入212y x =，利用参数的几何意义求解.【详解】（1）解：因为曲线C的参数方程为22114t x t y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0t >，t 为参数），所以由y t =-两边平方得：2221121124t y x t ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，而2211104t x t =+-≥=，当且仅当2214t t =，即t =时，等号成立，所以曲线C 的直角坐标方程212y x =；（2）易知直线:10l x y --=与x 轴的交点为()1,0F ,直线的参数方程为()2122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'''为参数，代入212y x =得2240t ''--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ''，则1224t t ''⋅=-，所以12||||24FA FB t t ''⋅==.23．(1)17[,]22；(2)[1,)+∞.【分析】（1）把函数()f x 化成分段函数，再分段解不等式作答.（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，求出函数最大值作答.【详解】（1）依题意，24,1()2,1324,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，不等式()3f x ≤化为：1243x x ≤⎧⎨-+≤⎩或1323x <<⎧⎨≤⎩或3243x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得112x ≤≤或13x <<或732x ≤≤，即有1722x ≤≤，所以()3f x ≤的解集为17[,]22.（2）依题意，[3,)x ∀∈+∞，22225(2)1()(2)124(2)x a x f x a x x a x --+≥⇔-+≥-⇔≥-，21x -≥，1012x <≤-，于是2222252(2)1121(1)11(2)(2)(2)22x x x x x x x ---==-+=--+≤-----，当且仅当3x =时取等号，则1a ≥，所以实数a 的取值范围是[1,)+∞.。

成都七中高 2021 级二诊模拟考试数学试题（理科）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项： 1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第 I 卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.命题“3x>1,x 2≥1”的否定是（ ) A. ∃x≤1,x 2≥1 B. ∃x≤1,x 2<1 C. ∀ x ≤1,x 2≥1 D. ∀ x >1,x 2<12.已知 i 是虚数单位，若复数 z=a+bi(a,bER)在复平面内对应的点位于第四象限，则复数 zi 在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知双曲线 C: x 2 y 2 - ＝1(a>0,b>0)的离心率为 a 2 b 22,则 C 的渐近线方程为（ 1 A.y=± 41 xB.y=± 31 xC.y= 2xD. y=x4.已知向量 a =(1,2),b =(3,0),若（λa -b ) ⊥a ,则实数λ=( ） 3A.0B.5 tan x πC.1D.3π5.y=x,x ∈(-,0) ∪(0， 2) 的大致图象是（ ）26.已知 x 、y ∈R,则“x 2+y 2<1”是“（x-1)(y-1)>0”成立的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.设 m,n 为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A.若 m//n,m ⊂α,n ⊂β,则α//β B.若 m ⊥n,m ⊂α,n ⊂β,则α⊥β C.若 m//n,m ⊥α,n ⊥β,则α//β D.若 m ⊥n,m//α,n//β,则α⊥β8.直线 l 被圆 x 2+y 2=4 截得的弦长为 2 值为（ ) ,若直线 1 分别与 x,y 轴交于 A,B 两点，则｜AB|最小 A.4 B.2 C.2 D.2 9.已知在 R 上的函数 f(x)满足如下条件：①函数 f(x)的图象关于 y 轴对称；②对于任意 x ∈R, f(2+x)-f(2-x)=0;③当 x ∈[0,2]时，f(x)=x;④函数 f(n)(x)=f(2n-1·x),n ∈N*,若过点（－1,0)的直线／ 与函数 f (4)(x)的图象在 x ∈[0,2]上恰有 8 个交点，在直线 l 斜率 k 的取值范围是（ )53 3 23 3 34⎩A. ⎛0,8 ⎫B. ⎛ 0, 11 ⎫C. ⎛0,8 ⎫D. ⎛ 0,19 ⎫11 ⎪ 8 ⎪ 19 ⎪ 8 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭10.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 9 位同学组成四个宣 传小组，其中可回收物宣传小组有 3 位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有 2 位同学．现从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为（） 2 5 310A.B.C.D.7147 21 11.设函数 f(x)= cos 2x2 + sin x cos x ，则下列结论正确的个数为1①f(x)=f(x+π) ②f(x)的最大值为2ππ③f(x)在（－ ,0） ④f(x)在（0， )4 4A.1B.2C.3D. 4 12.如图所示，在圆锥内放入两个球 O 1,O 2,它们都与圆锥相切 （即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为 C 1, C 2.这两个球都与平面α相切，切点分别为 F 1,F 2,丹德林（G·Dandelin)利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线 为椭圆，F 1,F 2 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为 Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30°,对 C 1,对 C 2 的半径分别为 1,4,点 M 为 C 2 上的一个定点，点 P 为椭圆上的一个动 点，则从点 P 沿圆锥表面到达 M 的路线长与线段 PF 1 的长之和 的最小值是（） A.3 B.5 C.3 π D.5 π第 II 卷（非选择题）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．） 13.(1+ 3 2x )100 的展开式中有理项的个数为.⎧x - y ≥ 014.若 x,y 满足约束条件 ⎪2x + y ≤ 6 , ,则y + 2的最大值是.⎨⎪x + y ≥ 2 x +115.在ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin 2A+sin 2 C = sin 2 B+sin AsinC,若ΔABC 的面积为，则 a+c 的最小值为 .16.已知函数 f(x)=xe x -a(x+lnx)(e 为自然对数的底数）有两个不同零点，则实数 a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17(12 分）已知公比 q 大于 1 的等比数列{a n }满足 a 1+a 2=6,a 3=8. （1)求{a n }的通项公式；（2)令 b =log a 2,求数列⎧ 1 ⎫ 的前 n 项和 T . n 2 n⎨ (b -1)(b +1) ⎬n⎩n n⎭3 3 34 3318(12 分）某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取 100 名试验者检验结果并评分（满分为 100 分），得到如图所示的频率分布直方图．（1)求 t 的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；1 （2)据检测，这 100 名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为2 , 1 , 13 4若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量ξ,求随机变量的分布列及 其期望值 E(ξ).19(12 分）已知ΔABC 的各边长为 3,点 D,E 分别是 AB,AC 上的点，且满足CE = 1,D 为 AB 的 EA 2三等分点（靠近点 A),(如图（1)),将ΔADE 沿 DE 折起到ΔA 1DE 的位置，使二面角 A 1-DE-B 的平面角为 90°,连接 A 1B,A 1C(如图（2)).（1)求证：A 1D 1⊥平面 BCED;（2)在线段 BC 上是否存在点 P,使直线 PA 1 与平面 A 1BD 所成的角为 60°?若存在，求出 PB 的长；若不存在，请说 明理由。

成都七中高2020届高三二诊数学模拟考试（理科）（满分150分，用时120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}0652<--=x xx A ，{}02<-=x x B ，则=B A （ ）A ．{}23<<-x x B ．{}22<<-x x C ．{}26<<-x x D ．{}21<<-x x2．设i z i -=⋅+1)1(，则复数z 的模等于（ ）A ．2B ．2C ．1D ．3 3．已知α是第二象限的角，43)tan(-=+απ，则=α2sin （ ） A ．2512 B ．2512- C ．2524 D ．2524-4．设5.0log 3=a ，3.0log 2.0=b ，3.02=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的32，并且球的表面积也是圆柱表面积的32”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为π24，则该圆柱的内切球体积为（ ）A ．π34B ．π16C ．π316 D ．π3326．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气 质量合格，下面四种说法不．正确．．的是( )A ．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月的空气质量最差7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则“2312a a a <+”是“012<-n S ”的（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=的取值范围是（ ）A ．[]3,5-B ．[]3,2C ．[)+∞,2D ． (]3,∞-9．设函数1sin )(22+=x xx x f ，则)(x f y =，[]ππ,-∈x 的大致图象大致是的（ ）ABCD10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A ．37B ．217C ．2112D ．1957 11．如图示，三棱椎ABC P -的底面ABC 是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，且2===AB PB PA ，3=PC ，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．31B ．36C ．33 D ．32 12．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，︒=∠60A ，O 为ABC ∆的外心，若AC y AB x AO +=，R y x ∈,，则=+y x 32（ ）A ．2B ．35C ．34 D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．PCBA13．在6)(a x +的展开式中的3x 系数为160，则=a _______．14．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0>x 时，x x x f 2)(2-=，则不等式x x f >)(的解集为__________．15．若对任意R x ∈，不等式0≥-kx e x 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．16．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，延长2AF交椭圆C 于点B ，若△1ABF 为等腰三角形，则椭圆的离心率=e ______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题 考生都必须作答．第22、23为选考题，考生仅选一个作答．17．设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11=a ，若1a ，2a ，5a 成等比数列．（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设*)(1121N n a b n n ∈-=+，设数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：41<n T ． 18．2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年 的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月， 从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.19．如图示，在三棱锥BCD A -中，2===BD BC AB ，32=AD ，2π=∠=∠CBD CBA ，点E 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅱ）若点F 为BD 的中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)1,0(，离心率为23，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0=++OC OB OA ，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：OC AB k k ⋅为定值； （Ⅱ）求AB 的取值范围．21．设函数ax x e x f x --=221)(，R a ∈． （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）1≤a 时，若21x x ≠，2)()(21=+x f x f ，求证：021<+x x ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. （Ⅰ）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围． 23．已知a x x x f ++-=1)(，R a ∈．(Ⅰ) 若1=a ，求不等式4)(>x f 的解集； （Ⅱ）)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，不等式)(1410x f mm >-+成立，求实数a 的取值范围．成都七中高2020届高三二诊模拟考试 数学理科参考解答13．2 14．()),3(0,3+∞-15．[]e ,0 1 6．33三、填空题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,由题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………………4分 所以()12121-=-+=n n a n()212n a a n S n n =+=…………6分(Ⅱ)因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ………8分 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n …10分()411414111141<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n T n ……12分 18．解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.……2分（Ⅱ）由题意X 的所有可能值为0,1,2，……3分记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=， ……6分所以X 的分布列为P 0.18 0.49 0.33故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.……8分（Ⅲ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，则327031000()0.02C P D C =≈.……10分回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……12分 19．(Ⅰ)证明：（第一问6分，证明了AD BC ⊥给4分）ACD BCE ACD AD BCE AD E BD BC ADBE AD BC ABD AD ED AE BD AB ABD BC CBD CBA 面面面面面面⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⇒⎭⎬⎫==⊥⇒=∠=∠ 2π(Ⅱ)解：以点B 为坐标原点,直线BC ,BD 分别为 x 轴,y 轴,过点B 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系，则()0,0,2=→BC ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→23,21,0BE ,()0,1,2-=→CF ,()3,2,0=→BF 设面BCE 的一个法向量()1111,,z y x n =→，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BE n BC n 11⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒0232102111z y x ()1,3,0111-=−−→−→=n z 令…9分同理可得平面ACF 的一个法向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,3,232n …10分31315,,cos 222222=⋅=><n n n n n n .……11分故平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为31315.……12分20.（Ⅰ）证明：依题有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222231c b a a c b ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒1422b a ， 所以椭圆方程为1422=+y x ．…2分设()11,y x A ，()11,y x B ，()11,y x C ， 由O 为ABC ∆的重心123123,;x x x y y y ⇒+=-+=-又因为()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ，……4分()312121212123121;.44-++⇒==-==⇒=--++AB OC AB OC y y y x x y y k k k k x x y y x x x ……6分(Ⅱ)解 ①当AB 的斜率不存在时：1212313,02,0=+=⇒=-=x x y y x x y111,||⇒=±=⇒=x y AB 代入椭圆得……7分 ②当AB 的斜率存在时，设直线为t kx y +=，这里0≠t 由⇒⎩⎨⎧=++=4422y x tkx y ()22222418440041;,∆>=>++-⇒++k x kt t t k x ……8分222228211,44,;4141-⎛⎫⇒⇒ ⎪⎝≥+-+⎭=k t t ktt C k k 代入椭圆方程：12||;-==AB x x ……11分综上,AB 的范围是[]32,3. ……12分21. 解：（Ⅰ）a x e x f x--=')(，令)()(x f x g '=.……1分 则1)(-='xe x g ，令01)(=-='xe x g 得0=x .当)0,(-∞∈x 时， ,0)(<'x g 则)(x g 在)0,(-∞单调递减；当),0(+∞∈x 时， ,0)(>'x g 则)(x g 在),0(+∞单调递增.所以a g x g -==1)0()(min .……3分当1≤a 时，01)(min ≥-=a x g ， 即0)()(≥'=x f x g ，则f(x)在R 上单调递增; ……4分 当1>a 时，01)(min <-=a x g ，易知当-∞→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，+∞→)(x g ，由零点存在性定理知，21,x x ∃，不妨设21x x <，使得.0)()(21==x g x g 当),(1x x -∞∈时，0)(>x g ，即 0)(>'x f ； 当),(21x x x ∈时，0)(<x g ，即 0)(<'x f ； 当),(2+∞∈x x 时，0)(>x g ，即 0)(>'x f .所以)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在),(21x x 单调递减. ……6分（Ⅱ）证明：构造函数2)()()(--+=x f x f x F ，0≥x .22121)(22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=-ax x e ax x e x F x x ，0≥x . 22--+=-x e e x xx e e x F x x 2)(--='-0222)(=-⋅≥-+=''--x x x x e e e e x F （当0=x 时取=）.所以)(x F '在[)+∞,0上单调递增，则0)0()(='≥'F x F , 所以)(x F 在[)+∞,0上单调递增，0)0()(=≥F x F .……9分这里不妨设02>x ，欲证021<+x x ， 即证21x x -< 由（Ⅰ）知1≤a 时，)(x f 在R 上单调递增，则有)()(21x f x f -<,由已知2)()(21=+x f x f 有)(2)(21x f x f -=, 只需证)()(2)(221x f x f x f -<-= ,即证2)()(22>-+x f x f ……11分 由2)()()(--+=x f x f x F 在[)+∞,0上单调递增，且02>x 时， 有02)()()(222>--+=x f x f x F ,故2)()(22>-+x f x f 成立，从而021<+x x 得证. ……12分22．【解】(Ⅰ )直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数), 消去参数t 可得l0y -+=;曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=,可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.…………5分(2)C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ,半径为1,所以,圆心C 到l的距离为d ==所以点P 到l的距离的取值范围是1⎤⎥⎣⎦.………………10分 23、解: (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x ……4分2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞ ； (5)（Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[]m mm m m m m m m m -+-+=-+-+=-+1145)1()141(141911425=-⋅-+≥m mm m （当31=m 时等号成立）……8分依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+则有91<+a 解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(-…………10分。

2023年四川省成都市武侯区玉林中学高考数学二诊试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，则复数z的共轭复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知等比数列的前n项和为，且，，则( )A. B. 5 C. D.4. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，；方差分别为，则下面正确的是( )A. B.C. D.5.如图，正方体中，M是的中点，则( )A. 直线MB与直线相交，直线平面B. .直线MB与直线平行，直线平面C. 直线MB与直线AC异面，直线平面D.直线MB与直线垂直，直线平面6. 已知平面向量和，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 记不等式组的解集为D，现有下面四个命题：：，；：，；：，；：，其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，，则( )A. B. C. D.9. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )A. 28hB.C. 29hD.10. 在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离单位：与制动距离单位：之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度单位：根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述，与v的函数关系的是( )A. ，B. ，C.， D. ，12. 已知，，，其中e为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.13.二项式的展开式中的系数为______ .14. 如图，在矩形ABCD中，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点包含端点，则的最大值为______ .15. 有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，一个白球.这6个球手感上不可区别.今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，此球是红球的概率为______ .若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率为______ .16. 设双曲线的左、右焦点分别为，，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且，若，则双曲线E的离心率为______ .17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A；若的面积为，点D在线段AC上，且，求BD的最小值.18. 如图，，分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，，点P是下底面内以为直径的圆上的一个动点点P不在上求证：平面平面；若，，求二面角的余弦值．19. 某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长单位：分钟如图所示.从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求X的分布列和数学期望；将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，，，试比较，，的大小只需写出结论20. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在㮋圆上.求椭圆C的标准方程；过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围.21. 已知函数当时，求在点处的切线方程；当时，，求实数m的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为其中t为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，其中为参数.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并画出曲线C的简图无需写出作图过程；直线与曲线C相交于A，B两点，且，求的值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，或，，所以，所以B正确；A不正确；或，所以C、D不正确；故选：求解集合B，然后求解交集与并集，即可判断元素与集合的关系，得到正确的选项．本题考查二次不等式的解法，交集以及并集的元素，运算与集合的关系，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以所以，对应的点为，位于第三象限．故选：根据复数的运算求出z，再根据共轭复数的概念及复数的几何意义即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：等比数列的前n项和为，且，，则，，，，即，解得，故，所以故选：根据已知条件，结合等比数列的性质，求出m，即可求出，再将代入，即可求解．本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由频率分布直方图得：甲地区：的频率为，的频率为，甲地区用户满意度评分的中位数，乙地区：的频率为，的频率为，乙地区用户满意度评分的中位数，，由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，故选：根据直方图求出甲、乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和方差的计算，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：对于选项A，连接，BD，如图，在正方体中，，面MBD，所以平面MBD，又面MBD，，所以直线MB与直线不相交，故选项A错误；对于选项B，连接，，如图，在正方体中，，面MBD，所以面MBD，又面MBD，，所以直线MB与直线不平行，故选项B错误；对于选项C，连接，，，在正方体中，，，，所以面，又，所以BM与平面不垂直，故选项C错误；对于D选项，连接，，，，，在正方体中，，，，所以面，面，所以，设，连接，如图，，，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为面，所以面，故选项D正确，故选：可利用正方体的性质以及线面垂直，线面平行的判定及性质逐一选项判断即可．本题考查了空间中直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：“”，化为：“”是“”的充要条件．故选：“”，展开化简即可判断出结论．本题考查了数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：不等式组的解集为D，作出平面区域：由图可知，在阴影区域ABC中，对于：，，正确；：，，错误；：，，代入不成立，错误；：，，正确．故选：依题意，作出线性规划图，对、、、四个选项逐一判断分析即可．本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：抛物线C：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于点A，B，与抛物线的准线交于点M，且点A位于第一象限，F恰好为AM的中点，所以M的纵坐标为：，则A的纵坐标：，A的横坐标为：，M的横坐标为：，FA的斜率为：，AF的方程为：，代入抛物线方程可得：，可得，，可得，可得故选：利用已知条件求解A的坐标，得到M的坐标，然后求解B的坐标，即可求解的值．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：根据题意可得，则当时，，所以，即当放电电流时，放电时间为，故选：根据题意求出蓄电池的容量C，再把时代入，结合指数与对数的运算性质即可求出结果．本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数与对数的运算性质，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，则，设，又点M，N分别在线段AD，CD上，且，，则，，将沿MN折叠到，使，设在平面ABC内的射影为F，则点F在BG直线上，又，，，由可得点F与点G重合，即在平面ABC内的射影为G，又为直角三角形，且，则，，则，设的外接圆的圆心为，半径为r，则，即，即，，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，则平面ABC，设H为的外心，则四边形为矩形，设，则，则，，即三棱锥的外接球的表面积为，故选：由已知可得在平面ABC内的射影为G，由正弦定理可得的外接圆的半径为，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，H为的外心，且，则，然后结合球的表面积公式求解即可．本题考查了正弦定理及勾股定理，重点考查了球的表面积公式，属中档题．11.【答案】B【解析】解：设，，由图象知，过点，，，，，，，，，，，，，，作出散点图，如图由图1可得，与v呈现线性关系，可选择用，过点，，，，，，，，，，，，，，作出散点图，如图由图2可得，与v呈现非线性关系，比较之下，可选择用故选：设，，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案．本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查散点图的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：令，，令，则，当时，，则在上单调递增，又，所以当时，，又，所以在上恒成立，又，所以，即令，则，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即，令，则，在上单调递减，所以当时，，即，所以在上恒成立，令，则，所以，综上所述，故选：构造函数，，利用导数判断其单调性即可判断a，c的大小；，可构造函数判断与的大小，构造函数判断与的大小，从而可判断b，c的大小．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数的数学思想，属于中档题．13.【答案】90【解析】解：展开式的通项公式为，，1，，5，令，解得，所以的系数为，故答案为：求出展开式的通项公式，然后令x的指数为4，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：以AB，AD所在直线为坐标轴，建立坐标系，如图，，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点包含端点，，，，，，，，则，则的最大值为：故答案为：利用向量的坐标运算，转化求解即可．本题考查平面向量的数量积的求法与应用，是基础题．15.【答案】【解析】解：设从甲袋放入乙袋的是白球，从甲袋放入乙袋的是红球，从乙袋中任取一球是红球，所以，所以故答案为：；设从甲袋放入乙袋的是白球，从甲袋放入乙袋的是红球，从乙袋中任取一球是红球，利用和求解．本题主要考查了全概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由，，则在直角三角形中，，由且M为AB的中点，则，连接，设，，则，，由双曲线的定义可得：，，由上两式联立解得：，在直角三角形中，，即，即，故，故答案为：由且M为AB的中点，则，设，，根据双曲线的定义可求出x，y的值，然后在直角三角形中由勾股定理可得出答案．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得所以，整理得，因为，所以，即，由A为三角形内角得；因为，所以，因为D在线段AC上，且，所以，所以，当且仅当且，即，时取等号，所以BD的最小值为【解析】由已知结合正弦定理，和差角公式进行化简可求，进而可求A；结合三角形面积公式先求出bc，然后结合向量数量积的性质及基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，和差角公式，三角形的面积公式的应用，还考查了向量数量积的性质及基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】证明：由题意可得平面PAB，，为直径，，，平面，又平面，平面平面；解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，，可得，，，，，，，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由，取，得；由，取，得由图可知二面角为钝角，二面角的余弦值为【解析】由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式即可求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：从2011年至2020年，共10年，其中动画影片时长大于纪录影片时长的年份有：2011年，2015年，2017年，2018年，2019年，2020年，共6年，故所求概率的所有可能取值为0，1，2，则，，，所以随机变量X的分布列为：X012P数学期望结合图象可知科教影片时长的波动最大，方差最大，将动画影片、记录影片时长从小到大排列，动画影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430，记录影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380，记录影片的每个数都比动画影片小50，波动一样，故方差相同，故【解析】利用古典概型概率公式计算即可得解；的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，可得分布列和数学期望；由图象结合方差的意义即可比较大小．本题主要考查古典概型的概率公式、离散型随机变量的分布列，期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：因为，可得，设椭圆的方程为：，将点代入椭圆的方程：，解得，所以椭圆的方程为：；由可得右焦点，由题意设直线l的方程为，设，，联立，整理可得：，显然成立，，，，可得AB的中点，可得弦长，可得直线OQ的方程为，设，，联立，整理可得，可得，设，，所以M到直线l的距离，N到直线l的距离，因为M，N在直线l的两侧，所以，所以，因为所以四边形的面积的范围【解析】由离心率的值可得a，b的关系，再将点的坐标，代入椭圆的方程，可得a，b的值，可得椭圆的方程；设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得弦长的代数式，可得AB的中点Q的坐标，可得直线OQ的方程，与椭圆联立，可得M，N的坐标，可得M，N到直线l的距离，由M，N在直线的两侧，可得M，N到直线l的距离之和的代数式，可得四边形的面积的表达式，由自变量的范围，可得四边形的面积的范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，四边形的面积的求法，属于中档题．21.【答案】解：函数的导数为，可得在点处的切线的斜率为，又切点为，则切线的方程为，即为；当时，，即为，由，，可得恒成立．设，由，，可得，由，，可得，所以函数在递减，可得，则，即恒成立，所以，即m 的取值范围是【解析】求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；由参数分离可得恒成立，考虑与1的大小，运用导数和单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．本题考查函数的导数的运用：求切线的方程和单调性，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：直线l 的参数方程为，其中t 为参数，转换为普通方程为；曲线C 的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为故曲线C 的简图为：直线，与曲线C 相交于A ，B 两点，所以，解得，同理，所以，故，整理得：，由于，所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用极径的关系式和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径关系式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．。

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}230A x x x =-<，{3x B x =≥，则A B ⋃=（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．(0,)+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知z 的共轭复数是z ，且||12i z z =+-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．32B ．32-C ．2i -D ．2-3．下图是我国跨境电商在2016~2022年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（）A ．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B ．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C ．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D ．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%4．设实数x ，y 满足约束条件20,20,2360,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最小值为（）A ．8-B ．6-C ．4-D ．2-5．412(12)x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-6．我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”．刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积．利用该方法，由圆内接正n 边形与圆内接正2n 边形分别计算出的圆周率的比值为（）A ．180sin n ⎛⎫︒⎪⎝⎭B ．180cos n ⎛⎫︒⎪⎝⎭C．3602sin n ⎛⎫︒⎪⎝⎭D ．3602cos n ⎛⎫⎪⎝⎭︒7．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A ．24B ．27C ．30D ．368．已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，点P ，Q 在双曲线上，且关于原点O 对称．若PF QF ⊥，且PQF △的面积为4，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．2C D ．39．已知函数()f x 满足()()0f x f x +-=，(1)(1)0f x f x ++-=，当(0,1)x ∈时，()2xf x =()4log 80f =（）A ．5-B ．5-C D 510．已知抛物线2:8C y x =与直线(2)(0)y k x k =+>相交于A ，B 两点，F 为抛物线C的焦点，若||2||FA FB =，则AB 的中点的横坐标为（）A ．52B ．3C ．5D ．611．设121a =，ln1.05b =，0.05e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C．c b a>>D ．c a b>>12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面上一动点，1N 为正方形1111A B C D 所在平面上一动点，且1NN ⊥平面ABCD ，则下列命题正确的个数为（）①若MN 与平面ABCD 所成的角为4π，则动点N 的轨迹为圆；②若三棱柱111NAD N A D -的侧面积为定值，则动点N 的轨迹为椭圆；③若1D N 与AB 所成的角为3π，则动点N 的轨迹为双曲线；④若点N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则动点N 的轨迹为抛物线．A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a ，b 满足(3,2)a b +=- ，(1,)a b x -= ，且0a b ⋅=，则x 的值为________．14．已知直线1:(2l y x =-，2:(2l y x =+，圆C 与1l ，2l 都相切，则圆C 的一个方程为________．（写出满足题意的任意一个即可）15．已知三棱锥P -ABC 的体积为3，各顶点均在以PC 为直径的球面上，AC =，2AB =，2BC =，则该球的表面积为________．16．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在2,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．支持保留不支持50岁以下80004000200050岁以上（含50岁）100020003000（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，12n n S a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2log n n b a =，从①n n n c b a =⋅，②2141n n c b =-，③2(1)n n n c b =-⋅三个条件中任选一个，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图1，在ABC △中，B =90°，AB =4，BC =2，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，现将ADE △沿着DE 折起，使点A 到达点P 的位置，连接PB ，PC ，得到四棱锥P -BCED ，如图2所示，设平面PDE ⋂平面PBC =l ．（Ⅰ）求证：l ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若点B 到平面PDE PEC 与平面PBD 夹角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为F．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）椭圆C 的右顶点为A ，若点P ，Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数2()2ln 2(1)(0)f x a x x a x a =+-+<．（Ⅰ）讨论()f x 的零点个数；（Ⅱ）若()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:1l x y +=与曲线222,1:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线3:08m πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与直线l 和曲线C 分别交于点A ，B ，若||1)||OA OB =-，求α的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，0a >，0b >．（Ⅰ）求2a b +的取值范围；（Ⅱ）求22a b +的最小值．成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试理科数学参考答案答案及解析1．C【解析】由题意可得，集合{}03A x x =<<，12B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，所以{}0A B x x ⋃=>．故选C ．2．D 【解析】设i(,)z x y x y =+∈R ．因为||12i z z =+-，所以i 12i (1)(2)i x y x y =-+-=+-+，所以1,x y =++=⎪⎩，解得3,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩则32i 2z =-，所以复数z 的虚部为2-．故选D ．3．D【解析】这7年我国跨境电商交易规模的平均数为5.56.37.18.039.711.512.18.07++++++>（万亿元），故A 错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，故B 错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为12.1 5.5 6.6-=（万亿元），故C 错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.1%14.5%13.8%2+=，故D 正确．故选D ．4．B 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，2z x y =-可化简为1122y x z =-，即斜率为12的平行直线．由20,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,4,x y =⎧⎨=⎩则(2,4)A ．结合图形可知，当直线2z x y =-过点(2,4)A 时，z 取最小值．min 2246z =-⨯=-，故选B．5．A【解析】4(12)x -展开式的通项公式为144C (2)C (2)r r r r rr T x x +=-=-⋅，所以412(12)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1044C (2)(2)C 8210⨯-+-⨯=--=-．故选A ．6．B【解析】对于正n 边形，其圆心角为360n ⎛⎫⎪⎝⎭︒，面积为211360360sin sin 22n S n r r r n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅︒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒．对于正2n 边形，其圆心角为3602n ⎛⎫ ⎪⎝⎭︒，面积为2213601802sin sin 22S n r r nr n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅︒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒．由此可得，221222360180180sin sin cos 1802cos 180180sin sin n r nr S n n n S n nr nr n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝︒︒︒︒︒⎭⎝⎭=== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭︒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．7．C 【解析】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有23A 6=个奇数；第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，则先把奇数排个位，再排其他，故有21123222C C C A 24=个奇数．由加法原理可得，奇数的个数为62430+=．故选C ．8．C【解析】因为双曲线的右焦点为F，所以c =．设其左焦点为1F ．因为PF QF ⊥，点P ，Q 关于原点O对称，所以||2||PQ OF ==．由PQF △的面积为4，得1||||42S PF QF =⋅=，则||||8PF QF ⋅=．又222||||||20PF QF PQ +==，所以||||2PF QF -=．又由双曲线的对称性可得1||QF PF =，则由双曲线的定义可得1||||22PF PF a -==，所以1a =，则离心率ce a==C ．9．D【解析】因为()f x 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，又因为(1)(1)0f x f x ++-=，所以(2)[1(1)][1(1)]()()f x f x f x f x f x +=++=--+=--=，所以()f x 是周期为2的奇函数．又因为(0,1)x ∈时，()2x f x =-，所以()()()(4442log 802log 5log 5log f f f f =+===()(2log 22log 22log 25f f --=--=--．故选D ．10．A 【解析】如图，设AB 的中点为G ，抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-，焦点为(2,0)F ，直线(2)(0)y k x k =+>过定点(2,0)P -，过点A ，B 分别作AM l ⊥于点M ，BN l ⊥于点N ．由||2||FA FB =，得||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则1||||||2OB FA FB ==，故点B 的横坐标为1，则点A 的横坐标为4，所以AB 的中点G 的横坐标为14522+=．故选A ．11．C 【解析】令()e 1(0)xf x x x =--≥，则()e 1xf x =-'，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()e 1(0)0xf x x f =-->=，即e 1x x ->，取0.05x =，所以0.05e 10.05->．令()ln(1)(0)g x x x x =+-≥，则1()111x g x x x-'==-++，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以当0x >时，()(0)0g x g <=，即ln(1)x x +<，取0.05x =，所以ln1.050.05<，故0.05ln1.05e 1<-．令()ln(1)(0)1xh x x x x=+-≥+，则2211()1(1)(1)xh x x x x ='-=+++，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(0)0h x h >=，即ln(1)1xx x+>+，取0.05x =，所以0.0551ln1.0510.0510521>==+．故选C ．12．A【解析】如图所示．对于①，因为MN 与平面ABCD 所成的角为4π，所以1DN MD ==，所以动点N 的轨迹为圆，故①正确；对于②，当三棱柱111NAD N A D -的侧面积为定值时，因为高为2，则||||NA ND +为定值，且大于||AD ，所以动点N 的轨迹为椭圆，故②正确；对于③，因为AB CD ∥，11CD C D ∥，所以11AB C D ∥，于是满足条件的1D N 运动成圆锥面，又11C D ∥平面ABCD ，所以圆锥面被平面ABCD 所截的交线为双曲线，故③正确；对于④，因为点N 到直线1BB 与直线DC 距离相等，所以动点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，故④正确．故选A．13．±【解析】因为(3,2)a b +=- ，(1,)a b x -= ，所以22,2x a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，21,2x b --⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．又因为0a b ⋅= ，所以2221022x x-+--⨯+⨯=，解得x =±．14．22(2)(2)2x y -+-=，22(2)(2)6x y ++-=等（答案不唯一，写出一个即可）【解析】由题意可得，直线1l ，2l 关于直线y x =±对称．当圆心C 在直线y x =上时，圆C 的方程形如222(2)(2)2(0)x a y a a a -+-=≠；当圆心C 在直线y x =-上时，圆C 的方程形如222(2)(2)6(0)x a y a a a ++-=≠．15．20π【解析】由AC =，2AB =，2BC =，得23ABC π∠=，所以242sin3ACr π==，得2r =（r 为ABC△外接圆半径）．又1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=△则1333P ABC ABC V S h h -=⋅==△，所以2h =，即点P 到平面ABC 的距离为2，所以外接球球心O （PC 的中点）到平面ABC 的距离1d =，所以外接球半径2225R r d =+=，所以2420S R ππ==球．16．5【解析】因为函数()2sin()f x x ωϕ=+，04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以,4m m πωϕπ-+=∈Z ①．又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线4x π=是()f x 图象的对称轴，所以,42n n ππωϕπ+=+∈Z ②．由①②可得，()24m n ππϕ=++．又02πϕ<<，所以4πϕ=，则41,n n ω=+∈Z ．又()f x 在2,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，()f x 的最小正周期为2πω，所以2918πππω-≤，即116ω≤，解得6ω≤，故ω的最大值为5．17．解：（Ⅰ）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000+++++=，其中从持“不支持”态度的人数200030005000+=中抽取了30人，所以30200001205000n =⨯=．（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2∶3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为4人，6人，故0,1,2,3ξ=，则36310C 1(0)C 6P ξ===，1246310C C 1(1)C 2P ξ===，2146310C C 3(2)C 10P ξ===，34310C 1(3)C 30P ξ===．ξ的分布列为：ξ123P1612310130期望11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18．解：（Ⅰ）因为12n n S a +=-，所以12(2)n n S a n -=-≥．将上述两式相减，得12(2)n n a a n +=≥．因为12a =，122S a =-，即122a a =-，所以24a =，所以212a a =，所以()12n n a a n *+=∈N ．因为120a =≠，所以()12n na n a *+=∈N ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22log log 2nn n b a n ===．若选①：2nn n n c b a n =⋅=⋅，则1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅．将上述两式相减，得123112222222212n nn n n T n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-，所以1(1)22n n T n +=-⋅+．若选②：221111114141(21)(21)22121n n c b n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭，则111111111111111232352572212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭若选③：22(1)(1)nnn n c b n =-⋅=-⋅．当n为偶数时，()()222222(1)1234(1)122n n n T n n n +⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+=++⋅⋅⋅+=⎣⎦；当n 为奇数时，211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n T T c n +++++=-=-+=-．综上，(1)(1)2nn n n T +=-．19．（Ⅰ）证明：因为90B =︒，所以BC BD ⊥．因为D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，所以DE BC ∥，所以DE ⊥BD ，DE ⊥PD ．又BD ，PD ⊂平面PBD ，BD PD D ⋂=，所以DE ⊥平面PBD ．因为DE BC ∥，DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以DE ∥平面PBC ．又DE ⊂平面PDE ，平面PDE ⋂平面PBC l =，所以l DE ∥，所以l ⊥平面PBD ．（Ⅱ）解：如图，过点B 作BFPD ⊥，垂足为F ．由（Ⅰ）可知，平面PDE ⊥平面PBD ．又平面PDE ⋂平面PBD =PD ，所以BF ⊥平面PDE ，所以点B 到平面PDE 的距离即为BF 的长，则BF =．在Rt BDF △中，sin 2BF PDB BD ∠==，所以60PDB ∠=︒．又BD =PD =2，所以PBD △是边长为2的等边三角形．取BD 的中点O ，连接OP ，则OP BD ⊥，OP =由（Ⅰ）可知，DE ⊥平面PBD ．又OP ⊂平面PBD ，所以DE ⊥OP ．又BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BCED ，所以OP ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，DB ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴，且以过点D 与OP 平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)D ，P ，(0,1,0)E ，(2,2,0)C ，所以(1,1,PE =- ，(2,1,0)EC = ，(0,1,0)DE =．设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z =，则0,20.PE m x y EC m x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，z =所以(1,2,m =-是平面PEC 的一个法向量．易知(0,1,0)DE =是平面PBD 的一个法向量，所以|||cos ,|2||||m DE m DE m DE ⋅〈〉===，所以平面PEC 与平面PBD夹角的正弦值为2．20．解：（Ⅰ）依题意，得22222311,4,c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（Ⅱ）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设PQ ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ．由221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x mkx m +++-=，所以122814mk x x k -+=+，21224414m x x k-=+，()22Δ16410k m =+->，即2241k m +>．由120AP AQ k k ⋅=，得121212220y y x x ⋅=--，消去1y ，2y 得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，即()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=-++，所以222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=⋅+++++，整理得2260m km k --=，所以2m k =-或3m k =，所以直线PQ ：(2)y k x =-或(3)y k x =+．又因为直线PQ 不经过点(2,0)A ，所以直线PQ 经过定点(3,0)-，所以直线PQ 的方程为(3)y k x =+，易知0k ≠，设定点(3,0)B -，则APQ ABP ABQ S S S =-△△△121||2AB y y =-125||2k x x =-5|2k =5|2k =5||2k ==．因为Δ0>即2241k m +>，且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，所以()22215955533143APQ k k S k -+==⋅⋅+△，当且仅当2114k =时取等号，所以APQ △面积的最大值为53．21．（Ⅰ）解：2222(1)22()(1)()22(1)a x a x a x a x f x x a x x x-++--=+-'+==．因为0a <，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以min ()(1)12f x f a ==--．当120a -->，即12a <-时，()f x 的零点个数为0．当120a --=，即12a =-时，()f x 的零点个数为1．当120a --<，即102a -<<时，注意到10e 1a <<，121211e 2e 2(1)e e 2e 21e 0a a a a a a f a a ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为22()2(1)2(1)22f x a x x a x x x a ≥-+-+=--，所以(2)20f a >->．因此，11e ,1a x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，2(1,2)x ∃∈，使得()()120f x f x ==，所以此时()f x 的零点个数为2．综上，当12a <-时，()f x 的零点个数为0；当12a =-时，()f x 的零点个数为1；当102a -<<时，()f x 的零点个数为2．（Ⅱ）证明：（证法一）由（Ⅰ）可知，当1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 有两个零点，且1201x x <<<．令2()(2)()2ln 22x F x f x f x a x x -⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，(0,1)x ∈，则2(1)()4(2)x F x a x x -'-=⋅-．当(0,1)x ∈时，()0F x '>，所以()F x 在区间(0,1)上单调递增，所以()()()1112(1)0F x f x f x F =--<=．所以()()()1122f x f x f x -<=．因为1201x x <<<，所以121x ->．又由（Ⅰ）可知，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以122x x -<，故122x x +>．（证法二）由()()120f x f x ==，得211122222(1)2ln ,2(1)2ln ,x a x a x x a x a x ⎧-+=-⎨-+=-⎩则121212ln ln 2(1)2x x x x a a x x -+-+=-⋅-．由对数平均不等式121212ln ln 2x x x x x x -+<-，得121212(1)4x x a a x x +-+>-⋅+，所以()()212122(1)40x x a x x a +-+++>，所以()()1212220x x x x a +-+->．又1220x x a +->，所以122x x +>．22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，(0,2]x ∈．（Ⅱ）直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=，易得1||sin cos OA αα=+．曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，易得||2cos OB α=．由已知，得11)cos sin cos ααα=-+，21sin 22cos 2αα++=，1sin 21cos22αα+++=，1sin 2cos22αα-+=，两边平方并整理得sin 42α=-．又308πα<<，即3042πα<<，所以443πα=，则3πα=．23．解：（Ⅰ）由题意，知|||2||()(2)||2|2x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+．因为存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥，即2a b +的取值范围是[4,)+∞．（Ⅱ）由柯西不等式，得()()2222212(2)16a b a b ++≥+≥，当45a =，85b =时，22a b +取得最小值165．。

2021年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|lgx <1}，B ={x|x >3}，则A ∪B =( )A. (0,+∞)B. (3,10)C. (−∞,+∞)D. (3,+∞)2. 若复数z =(1+i)(2−i)，则复数z 的虚部为( )A. 3B. −3C. 1D. i3. 命题“∀x >0，使是x 2+x +1>0”的否定是( )A. ∃x 0≤0，使得x 02+x 0+1≤0B. ∃x 0>0，使得x 02+x 0+1≤0C. ∀x >0，使得x 2+x +1>0D. ∀x ≤0，使得x 2+x +1>04. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 455. 已知sin(α+β)=23，sin(α−β)=13，则tanαtanβ的值为( )A. −13B. 13C. −3D. 36. 在△ABC 中，已知AB =AC ，D 为BC 边中点，点O 在直线AD 上，且BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，则BC 边的长度为( )A. √6B. 2√3C. 2√6D. 67. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为32π3的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π8. 已知P 是曲线y =sinx +cosx(x ∈[0,3π4])上的动点，点Q 在直线x +y −6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P 的横坐标为( )A. π4B. π3C. π2D. 2π39. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2，记数列{1an a n+1}的前n 项和为T n ，n ∈N ∗.则使得T n <2041成立的n 的最大值为( )A. 17B. 18C. 19D. 2010. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(ℎ)之间的关系为P =P 0e −kt .如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为( )(参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61)A. 4hB. 6hC. 8hD. 10h11. 已知F 为抛物线y 2=2x 的焦点，A 为抛物线上的动点，点B(−1,0).则当2|AB|2|AF|+1取最大值时，|AB|的值为( )A. 2B. √5C. √6D. 2√212. 已知四面体ABCD 的所有棱长均为√2，M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点.有下列结论： ①线段MN 的长度为1；②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线； ③∠MFN 的余弦值的取值范围为[0,√55) ④△FMN 周长的最小值为√2+1． 其中正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={x 2−x,x <1,2x +1,x ≥1.若f(a)=2，则a 的值为______ ．14. 正项数列{a n }满足a n a n+2=a n+12，n ∈N ∗.若a 5=19，a 2a 4=1，则a 2的值为______ ．15. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，直线PF 1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q.若点Q 恰好为线段PF 1的中点，则直线PF 1的斜率的值为______ ．16. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且对任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，当x 1≠x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)<x 1f(x 2)+x 2f(x 1)成立.若a =f(ln2)，b =f(log 0.20.03)，c =f(20.7)，则a ，b ，c 的大小关系为______ .(用符号“<”连接) 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(√2b −a)cosC =ccosA ．(1)求角C 的大小；(2)若a =√2，c(acosB −bcosA)=b 2，求△ABC 的面积．18. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x(单位：年)与失效费y(单位：万元)的统计数据如表所示：(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(精确到0.01) (2)求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 参考公式：相关系数r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2．线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中斜率和截距最小二乘估计计算公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．参考数据：∑(7i=1x i −x −)(y i −y −)=14.00，∑(7i=1y i −y −)2=7.08，√198.24≈14.10．19. 如图①，在等腰三角形PBC 中，PB =PC =3√5，BC =6，D ，E 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EP ⃗⃗⃗⃗⃗ .将△PDE 沿直线DE 折起到△ADE 的位置，连接AB ，AC ，得到如图②所示的四棱锥A −BCED ，点F 满足BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，. (1)证明：DF//平面ACE ；(2)当AB =√29时，求平面ACE 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(1,√32)，其长半轴长为2．(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点B(−1,0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，求△DEG的面积S的取值范围．21.已知函数f(x)=x+ax−(a−1)lnx−2，其中a∈R．(1)若f(x)存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；(2)讨论f(x)在区间[1,e2]上的零点个数．22. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =1+cosϕy =sinϕ(φ为参数)，直线l 的方程为x +√3y −6=0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P(x,y)在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于O 点的点Q ，求|OP||OQ|的最小值．23. 设函数f(x)=3|x +1|+|2x −1|的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)若a ，b ∈(0,+∞)，证明：(1a +1+b 2a)(1b+1+a 2b)≥m 2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|lgx<1}={x|0<x<10}，B={x|x>3}，∴A∪B={x|x>0}=(0,+∞)．故选：A．求出集合A，利用并集定义能求出A∪B．本题考查并集的求法，涉及并集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=(1+i)(2−i)=2−i+2i−i2=3+i，∴复数z的虚部为1．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0>0，使得x02+x0+1≤0，故选：B．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，基本事件总数n=5×4=20，摸出的两个球颜色相同包含的基本事件个数m=3×2+2×1=8，则摸出的两个球颜色相同的概率为：P=mn =820=25．基本事件总数n =5×4=20，摸出的两个球颜色相同包含的基本事件个数m =3×2+2×1=8，由此能求出摸出的两个球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23，sin(α−β)=sinαcosβcosαsinβ=13， ∴sinαcosβ=12，cosαsinβ=16， 则tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=3， 故选：D ．由题意利用两角和差的正弦公式求得sinαcosβ和cosαsinβ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：在△ABC 中，由AB =AC ，D 为BC 边中点，点O 在直线AD 上，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， 结合图象可得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=3， 即12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3，所以|BC|=√6． 故选：A ．画出图形，利用两个向量的数量积的定义求出结果．本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】解：圆柱的两个底面的圆周在体积为32π3的球O 的球面上，所以球的半径为：4π3R 3=32π3，解得R =2，设圆柱的底面半径为r ，所以圆柱的高为：2√4−r 2， 所以圆柱的侧面积为：S =2πr ⋅2√4−r 2=4π√r 2(4−r 2)≤4π⋅r 2+4−r 22=8π．当且仅当r =√2时，取得最大值8π．求出球的半径，设出圆柱的底面半径，求出圆柱的高，然后求解圆柱的侧面积，即可求解圆柱侧面积的最大值．本题考查球的体积以及球的内接体侧面积的求法，基本不等式的应用，是中档题．8.【答案】C【解析】解：直线x+y−6=0的斜率为−1，设P(m,n)，由题意可得，当过P的直线与直线x+y−6=0平行，且与曲线y=sinx+cosx(x∈[0,3π4])相切，可得|PQ|取得最小值，由y=sinx+cosx的导数为y′=cosx−sinx，令cosm−sinm=−1，即√2cos(m+π4)=−1，即cos(m+π4)=−√22，由0≤m≤3π4，可得π4≤m+π4≤π，则m+π4=3π4，解得m=π2，故选：C．由题意可得，当过P的直线与直线x+y−6=0平行，且与曲线y=sinx+cosx(x∈[0,3π4])相切，可得|PQ|取得最小值，求得曲线y=sinx+cosx的导数，可得切线的斜率，解方程可得所求值．本题考查导数的几何意义，以及两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵S n=n2，∴当n≥2时，有a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，又当n=1时，有a1=S1=1也适合上式，∴a n=2n−1，1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1，由T n<2041可得：n2n+1<2041，解之得：n<20，∴使得T n <2041成立的n 的最大值为19， 故选：C ．先由题设利用a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求得a n ，进而求得1a n a n+1，然后利用裂项相消法求得其前n 项和T n ，再求得满足T n <2041成立的最大的n 即可．本题主要考查数列通项公式的求法、裂项相消法在数列求和中的应用及解不等式，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵前2个小时消除了20%的污染物， ∴(1−20%)P 0=P 0e −2k ，即k =−ln0.82，当污染物减少50%时，P =(1−50%)P 0=0.5P 0， ∴0.5P 0=P 0e ln0.82t ，∴t =2ln0.5ln0.8=−2ln23ln2−ln10≈2×0.693×0.69−2.30≈6．故选：B ．由题知，(1−20%)P 0=P 0e −2k ，可解得k 的值，再把P =0.5P 0代入P =P 0e −kt 中，结合指数和对数的运算法则即可得解．本题考查函数的实际应用，主要涉及指数和对数的运算法则，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(12,0)，准线的方程为x =−12， 设A(a 22,a)，由抛物线的性质可得|AF|为A 到准线的距离，所以|AF|=a 22+12=a 2+12，|AB|=√(a 22+1)2+a 2，所以2|AB|2|AF|+1=2√a44+2a 2+1a 2+2=√a 4+8a 2+4a 2+2=√(a 2+2)2+4a 2a 2+2=√1+4a 2(a 2+2)2=√1+4a 2+4a2+4≤√12√4+4=√62， 当且仅当a 2=4a 2，即a 2=2时，取等号， 此时|AB|=√(1+1)2+2=√6， 故选：C ．由抛物线的方程可得焦点F的坐标及准线方程，设A的坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值为A到准线的距离，求出|AB|，|AF|的表达式，代入当2|AB|2|AF|+1中，然后利由均值不等式求出其最大值，进而求出|AB|的值．本题考查抛物线的性质及均值不等式的应用，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：在棱长为1的正方体上取如图所示的四个顶点，依次连接可得四面体ABCD，则四面体ABCD的所有棱长均为√2，又M，N分别为棱AD，BC的中点，∴线段MN的长度为正方体的棱长为1，故①正确；取AB的中点为F，G为MN的中点，I为CD的中点，由正方体的结构特征可知，F、I、G三点共线，此时直线FG与直线CD相交于点I，故②错误；由已知可得，BN=12BC=√22，BM=√BD2−MD2=√2−12=√62，又MN=1，∴cos∠MBN=12+32−12×√22×√62=√33>√55，故F点无限接近B点时，cos∠MFN无限接近√33，故③∠MFN的余弦值的取值范围为[0,√55)错误；如图将等边三角形ABC与ABD铺平，放置在同一平面上，故有N′F+FM′≥M′N′=√2，当且仅当F为AB的中点时取最小值，故在正方体中，NF+FM≥√2，即三角形FMN的最小值为√2+1，故④正确．∴其中正确结论的个数为2．故选：B ．将四面体放置在正方体中，根据M ，N 分别为前后面的中心判断①；取F 为AB 中点，G 为MN 中点，此时直线FG 与直线CD 相交；通过计算cos∠MBN 判断③；把空间问题转化为平面问题，计算可得NF +MF ≥√2判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】−1【解析】解：根据题意，函数f(x)={x 2−x,x <1,2x +1,x ≥1.当a <1时，f(a)=a 2−a ，则有a 2−a =2，解可得a =−1或2(舍)， 当a ≥1时，f(a)=2a +1，则有2a +1=2，解可得a =0(舍)， 综合可得：a =−1， 故答案为：−1．根据题意，结合函数的解析式分2种情况讨论，当a <1时，有a 2−a =2，当a ≥1时，有2a +1=2，求出a 的值，综合可得答案．本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：∵a n >0，a n a n+2=a n+12，∴数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，由a 5=19，a 2a 4=a 32=1，可得a 3=1，q 2=a 5a 3=19，∴q =13，∴13a 2=1，即a 2=3， 故答案为：3．由a n a n+2=a n+12，可知数列{a n }为等比数列，设其公比为q ，结合已知a 5=19，a 2a 4=1，可得a 3=1，q =13，于是可得a 2的值．本题考查数列递推式的应用，推得数列{a n }为等比数列是关键，考查推理与数学运算能力，属于中档题．15.【答案】12【解析】解：以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P，直径所对的圆周角为π2，所以∠F1PF2=π2，又因为点Q为PF1的中点，O为F1F2的中点，所以OQ=12PF2，且OQ//PF2，所以tan∠QOF2=−ba ，tan∠PF2F1=ba，所以sin∠PF2F1=bc ，cos∠PF2F1=ac，又|F1F2|=2|OF1|=2c，得|F2P|=2a，|F1P|=2b，由双曲线的定义了得|F1P|−|F2P|=2b−2a=2a，所以b=2a，所以k PF1=tan∠PF1F2=|PF2||PF1|=2a2b=12，所以直线PF1的斜率为12．故答案为：12．由直径所对的圆周角为π2，推出∠F1PF2=π2，由点Q为PF1的中点，O为F1F2的中点，得OQ是三角形PF1F2的中位线，推出tan∠QOF2=−ba ，进而得tan∠PF2F1=ba，再由双曲线的定义得|F1P|−|F2P|=2b−2a=2a，则k PF1=tan∠PF1F2=|PF2||PF1|，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清数量关系，属于中档题．16.【答案】b<c<a【解析】解：∵f(x)=f(2−x)，∴函数图象关于x=1对称，∴a=f(ln2)=f(2−ln2)∵x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)，∴(x1−x2)⋅[f(x1)−f(x2)]<0，∴f(x)在[1,+∞)上为减函数∵ln√e<ln2<lne，∴ln2∈(12,1)，∴2−ln2∈(1,32)，∵log0.20.03>log0.20.04=2，32<20.7<2，∴log0.20.03>20.7>2−ln2，∴b<c<a．故答案为：b<c<a．由f(x)=f(2−x)，得到函数图象关于x=1对称，再由x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)，变形得到f(x)在[1,+∞)上为减函数，最后比较自变量的大小即可．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的对称性、单调性的分析，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为(√2b −a)cosC =c ⋅cosA ，由正弦定理可得√2sinBcosC −sinAcosC =sinCcosA ， 即√2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， 因为sinB ≠0， 故cosC =√22，因为C ∈(0,π)， 故C =π4．(2)因为a =√2，c(acosB −bcosA)=ac ⋅a 2+c 2−b 22ac−bc ⋅b 2+c 2−a 22bc=b 2，整理可得a 2=2b 2=2，可得b =1， 又C =π4，所以S △ABC =12absinC =12×√2×1×√22=12．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB ≠0，可求cos C 的值，结合C ∈(0,π)，可求C 的值．(2)利用余弦定理化简已知等式可求b 的值，结合已知利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及和差角公式在解三角形中的综合应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意可知，x −=1+2+3+4+5+6+77=4，y −=2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.907=4.30，∑(7i=1x i −x −)2=(1−4)2+(2−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(6−4)2+(7−4)2=28，所以r =√28×7.08=√198.24≈14.0014.10≈0.99， 因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系； (2)因为b ̂=∑(7i=1x i −x −)(y i −y −)∑(7i=1x i −x −)2=1428=0.5，所以a ̂=y −−b ̂x −=4.3−0.5×4=2.3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ̂=0.5x +2.3，将x =10代入线性回归方程，可得y ̂=0.5×10+2.3=7.3， 所以估算该种机械设备使用10年的失效费7.3万元．【解析】(1)求出样本中心，然后利用公式求出相关系数r ，由此进行判断即可； (2)利用公式先求出b ̂和a ̂，然后求出线性回归方程，再将x =10的值代入方程求解即可．本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：如图，在棱AC 上取点G ，满足CG =2AG ，连接EG 、FG ，∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FG//BC ，且FG =13BC ， 由题意得DE//BC ，且DE =13BC ，∴DE =FG ，且DE//FG ，∴四边形DEGF 是平行四边形，∴DF//EG ， ∵DF ⊄平面ACE ，EG ⊂平面ACE ， ∴DF//平面ACE ．(2)如图，分别取DE 、BC 的中点M ，N ，连接AM ，MN ，BM ， 由题意知MN ⊥BC ，AM =2，MN =4，BN =3， 在Rt △BMN 中，BM =√BN 2+MN 2=√9+16=5，在△ABM 中，∵AB =√29，∴AM 2+BM 2=4+25=29=AB 2， ∴AM ⊥BM ，∵AM ⊥DE ，BM ∩DE =M ，BM 、DE ⊂平面BCED ， ∴AM ⊥平面BCED ，以M 为坐标原点，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则M(0,0，0)，A(0,0，2)，B(4,−3,0)，C(4,3，0)，D(0,−1,0)，E(0,1，0)，F(43,−1,43)，∴EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2，0)，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,0,43)， 设平面ACE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，平面DEF 的一个法向量为n ⃗ =(a,b ，c)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x +2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +2z =0，令x =1，得m⃗⃗⃗ =(−1,2，1)， 由{n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2b =0n⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =43a +43c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,0，−1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√6×√2=√33， ∴平面ACE 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为√33．【解析】(1)在棱AC 上取点G ，满足CG =2AG ，连接EG 、FG ，推导出四边形DEGF 是平行四边形，从而DF//EG ，由此能证明DF//平面ACE ．(2)分别取DE 、BC 的中点M ，N ，连接AM ，MN ，BM ，推导出AM ⊥平面BCED ，以M 为坐标原点，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACE 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)由已知可得a =2，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2b 2=1，因为椭圆C 的过点A(1,√32)，所以14+34b 2=1，解得b 2=1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l 的方程为x =ty −1， D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，由{x =ty −1x 24+y 2=1，得(t 2+4)y 2−2ty −3=0， 因为△=4t 2+12(t 2+4)=16t 2+48>0， 所以y 1+y 2=2t t 2+4，y 1y 2=−3t 2+4， 因为F 为点E 关于x 轴的对称点， 所以F(x 2,−y 2)，所以直线DF 的方程为y −y 1=y 1+y2x 1−x 2(x −x 1)，即y −y 1=y 1+y2t(y 1−y 2)(x −x 1)，令y =0，则x =x 1+−ty 12+ty 1y 2y 1+y 2=(ty 1−1)(y 1+y 2)−ty 12+ty 1y 2y 1+y 2=2ty 1y 2−(y 1+y 2)y 1+y 2=2t ⋅(−32t )−1=−4，所以G(−4,0)，所以△DEG的面积S=12⋅|BG|⋅|y1−y2|=32√(y1+y2)2−4y1y2=32√(2tt2+4)2+12t2+4=6√t2+3t2+4，令m=√t2+3，则m∈[√3,+∞)，所以S=6mm2+1=6m+1m，因为m+1m ∈[4√33,+∞)，所以S∈(0,3√32]，所以△DEG的面积S的取值范围为(0,3√32].【解析】(1)由已知可得a=2，进而可得椭圆C的方程为x24+y2b2=1，把点A(1,√32)坐标代入椭圆C，解得b2，进而可得答案．(2)设直线l的方程为x=ty−1(t≠0)，D(x1,y1)，E(x2,y2)，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，由F为点E关于x轴的对称点，得F(x2,−y2)，进而写出直线DF的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，令y=0，得G点的坐标，再计算△DEG的面积S=12⋅|BG|⋅|y1−y2|，利用基本不等式，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=x+ax−(a−1)lnx−2，定义域是(0,+∞)，f′(x)=1−ax2−a−1x=(x+1)(x−a)x2(x>0)，①若a≤0，则当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0恒成立，故f(x)在(0,+∞)单调递增，与f(x)存在极值点矛盾，②若a>0时，则由f′(x)=0解得：x=a，故x∈(0,a)时，f′(x)<0，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，故f(x)存在唯一极小值点x=a，故f(a)=a+1−(a−1)lna−2=(a−1)(1−lna)=0，故a=1或a=e；(2)①a≤1时，f′(x)≥0在[1,e2]上恒成立，故f(x)在[1,e]上单调递增，∵f(1)=a −1≤0，f(e 2)=e 2+ae −2a ，(i)当a ≤0时，f(e 2)=e 2+ae 2−2a =e 2+a(1e 2−2)>0，(ii)当0<a ≤1时，f(e 2)=e 2+ae 2−2a >2√a −2a =2√a(1−√a)≥0， ∴f(e 2)>0，∴由零点存在性定理知f(x)在[1,e 2]上有1个零点；②当1<a <e 2时，当x ∈[1,a)时，f′(x)<0，x ∈(a,e 2]时，f′(x)>0， ∴f(x)在[1,a)上单调递减，在(a,e 2]上单调递增， ∴f(x)min =f(a)=(a −1)(1−lna)，(i)当a =e 时，f(x)min =0，此时f(x)在[1,e 2]上有1个零点， (ii)当1<a <e 时，f(x)min >0，此时f(x)在[1,e 2]上无零点， (iii)当e <a <e 2时，f(x)min <0，f(1)=a −1>0， 当f(e 2)=e 2+ae 2−2a <0即e 42e 2−1<a <e 2时，f(x)在[1,e 2]上有1个零点，当f(e 2)=e 2+a e 2−2a ≥0即e <a ≤e 42e 2−1时，f(x)在[1,e 2]上有2个零点；③当a ≥e 2时，∵f′(x)≤0在[1,e 2]上恒成立， ∴f(x)在[1,e 2]上单调递减，∵f(1)=a −1>0，f(e 2)=e 2+(1e 2−2)a ≤e 2+(1e 2−2)e 2=−e 2+1<0， ∴f(x)在[1,e 2]上有1个零点；综上：当1<a <e 时，f(x)在[1,e 2]上无零点， 当a ≤1或a =e 或a >e 42e 2−1时，f(x)在[1,e 2]上有1个零点，当e <a ≤e 42e 2−1时，f(x)在[1,e 2]上有2个零点．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值为0，得到关于a 的方程，解出即可；(2)通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理判断即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cosϕy =sinϕ(φ为参数)，由sin 2φ+cos 2φ=1，可得(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2=2x ，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，可得曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ； 直线l 的方程为x +√3y −6=0，即有ρcosθ+√3ρsinθ−6=0， 可得直线l 的极坐标方程为ρ=cosθ+√3sinθ； (2)由题意可设P(ρ1,θ(0<θ<π2),Q(ρ2,θ)， 可得|OP||OQ|=cosθ+√3sinθ⋅12cosθ=2cos 2θ+2√3sinθcosθ =cos2θ+√3sin2θ+1=62sin(2θ+π6)+1，当sin(2θ+π6)=1，即θ=π6∈(0,π2)时，|OP||OQ|取得最小值62+1=2．【解析】(1)运用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，结合同角的平方关系，可得所求； (2)可设P(ρ1,θ(0<θ<π2),Q(ρ2,θ)，运用三角函数的恒等变换，结合正弦函数的性质，可得所求最小值． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 23.【答案】解：(1)f(x)={−5x −2,x <−1x +4,−1≤x ≤125x +2,x >12， x =−1时，f(x 的最小值为3． (2)证明：∵a ，b ∈(0,+∞)， ∴1a +1+b 2a≥3⋅√b 2a 23，1b +1+a 2b ≥3⋅√a2b23，∴(1a +1+b 2a )(1b+1+a 2b )≥3⋅√b 2a 23⋅3⋅√a 2b23=9=m 2，当且仅当a =b =1． 即证．【解析】(1)对绝对值不等式化简，求出最值， (2)由题意利用不等式性质进行求解．本题考查绝对值不等式，和不等式性质的应用，属于中等题．。

四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2] D．[0，4]2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0） C．（0，1）D．（1，2）3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．24．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．407．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种 B．24种 C．18种 D．9种8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于______．12．的展开式中，x2项的系数为______．（用数字作答）13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是______．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．④若数列{an其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，（n≥2，n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|y=}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2] D．[0，4]【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|y=}={x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，则A∪B={x|﹣2≤x≤4}，故选：B．2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣l，0） C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）故选：C．3．复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解．【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断．【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A，（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B，（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A．10 B．12 C．20 D．40【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数．【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：（0.01+0.03+0.05）×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1）班总人数为：n==50，∵分数不低于120分的频率为：（0.03+0.02）×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人．故选：A．7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A．35种 B．24种 C．18种 D．9种【考点】计数原理的应用．【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，根据分类计数原理可得，共有12+6=18种，故选：C．8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（）A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形【考点】棱锥的结构特征．【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．故选：B．9．已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣，1）C．（0，2）D．（﹣，log32）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：由3x+1=0得x=﹣，当x＜﹣时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，即3（3x+1）+1＜12x+4+1，即9x+4＜12x+5，得x＞﹣，此时不等式无解，当x≥﹣时，当x≥0时，f（x）=3x≥1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得＜4•3x+1，设t=3x，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x＜2，得0≤x＜log32，当﹣≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，则f（f（x））=33x+1，则由f（f（x））＜4f（x）+1得33x+1＜4（3x+1）+1，设t=3x+1，则不等式等价为3t＜4t+1，设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0，即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，即﹣1＜3x＜1，得﹣＜x＜，此时﹣＜x＜0，综上所述，﹣＜x＜log32．即不等式的解集为（﹣，log32），故选：D10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B两点，且=2（O为坐标原点），点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为（）A．3 B．C．2D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解利用=2，求出b，可得直线AB方程为y=kx+2，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC +S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0．OA的直线方程为y=x=x1x，F点的坐标为（0，）．设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣b=0∴x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1y2=b2，∵=2，∴x1x2+y1y2=﹣b+b2=2∵b＞0，∴b=2∴△=k2+8，x1=（k+）①；线段AB=②．设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．∴四边形OCAB的面积S=S△OAC +S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．根据点到直线距离公式，d1=③，d2=④．又线段OA=⑤，∴将①～⑤代入S，有S=（k+17）．由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9，∴|a|=2，∵c=3，∴双曲线的离心率等于．故答案为：．12．的展开式中，x2项的系数为﹣20 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．【解答】解：在的展开式中，它的通项公式为T r+1=•x5﹣r•（﹣1）r，令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．已知实数x，y满足，则x2+y2﹣2x的取值范围是[﹣1，19] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，求出（x﹣1）2+y2的范围，从而求出x2+y2﹣2x的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（3，4），x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，0≤（x﹣1）2+y2≤20，∴﹣1≤（x﹣1）2+y2≤19，故答案为：[﹣1，19]．14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=•tan •tan…tan的值．由于：S=•tan•tan…tan tan=•tan•tan…cot•cot=tan=．故答案为：．15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题：①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根；③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；}为等差数列，且f（a l）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π．④若数列{an其中的正确命题有③④．（写出所有正确命题的序号）【考点】函数的图象．【分析】①用特殊值的方法即可；②③根据函数图象判断；④可用反代的方法判断成立．【解答】解：①当x=时，显然f（x）＞2x，故错误；②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误；③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确；）+f（a2）+f（a3）=3π，④f（al∴a l+a2+a3=3π，sina l+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正确．故答案为：③④．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求bsinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由余弦定理可得：cosA===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得bsinC=2sinBsin=+，根据B∈即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴bsinC∈．17．已知数列{a n}满足a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，（n≥2，n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．证明：S n＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）依题意，可得a n=••…×××a1=，再验证n=1时是否符合该式即可得到答案，（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，∴=，∴=，…，==，==，∴a n=••…×××a1=，又n=1时a1=1，满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=，（Ⅱ）∵a n==2（﹣），∴S n=a1+a2+…+a n=2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）＜2，问题得以证明．18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，∴X的分布列为：X 0 50 100 150 200P∴EX==55（元）．19．如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，=．（I）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为，求AA1的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF，∵E为BB1的中点，∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设AA1=h，则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0），B1（2，0，h），设F（x，0，z），则∥，∥，∵=（x，0，z），=（2，0，h），∴①∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴=②，由①②得z=h，x=，或F作FT⊥AB，则==，则∴AF=AB1，∵=．∴MF∥CB1，∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，∴CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z），则，则，令z=1，则x=，y=0，则=（，0，1），由得，令z=1，则x=，y=，即=（，，1）|cos＜，＞|==，得h2=2，即h=，则AA1的长度为．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解方程可得a=2，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），可得椭圆的c=1，设P为（，m），由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=++1，解得a=2，b==，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0，由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0，化简可得kb=1，由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8x+﹣12=0，由64﹣4（3+4k2）（﹣12）＞0，可得k＞，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，即有中点坐标为（﹣，），设N（0，n），由=﹣，可得n=﹣，由y=kx+，设y=0，则x=﹣，M（﹣，0），可得直线MN的斜率为k MN==﹣=﹣≥﹣=﹣．当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．21．设函数f（x）=lnx．（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，构造函数，得出m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，即可求实数m的取值范围；（Ⅲ）已知a∈（0，），证明＜，分类讨论，即可比较f（tana）与﹣cos2a的大小．【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=（x＞0），∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，g（x）的极小值为0；（Ⅱ）mf（x）≥可化为mlnx﹣≥0，令h（x）=mlnx﹣（x≥1），则h′（x）=，∵h（1）=0，∴∃x0＞1，h（x）在[1，x0]上单调递增，∴m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，∴m≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，＞．∵0＜x＜1，∴＞1∴＞，∴＜，令x=t2，可得t＞1，lnt＞，0＜t＜1，lnt＜，∵f（tana）=lntana，﹣cos2a=，∴0＜a＜，0＜tana＜1，f（tana）＜﹣cos2aa=，tana﹣1，f（tana）=﹣cos2a，＜a＜，tana＞1，f（tana）＞﹣cos2a．。

2023年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）1. 设全集，集合，则( )A. B. C. D.2. 函数的最小正周期为( )A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的n的值为( )A. 40B. 41C. 119D. 1224. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值为( )A. 0B.C.D. 25. 设，分别是双曲线的左、右焦点为双曲线C右支上一点，若，，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D.6. 甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束，则甲获胜的概率为( )A. 5B.C.D.7. 已知命题p：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间中三个平面，，，若，，，则则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.8. 已知过抛物线C：的焦点F，且倾斜角为的直线l交抛物线C于A，B两点，则( )A. 32B.C.D. 89. 若奇函数满足，且当时，，则( )A. B. C. 0 D.10. 正三棱锥中，，顶点P到底面ABC的距离为2，其各顶点都在同一面上，则该球的半径为( )A. B. C. D. 311. 已知，，，则( )A. B. C. D.12. 在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为( )A. B. C. D.13. 复数为虚数单位，则的值为______ .14. 已知，则______ .15. 若直线：与：相交于点P，过点P作圆C：的切线，切点为M，则的最大值为______ .16. 若函数存在极大值点，且，则实数a的取值范围为______ .17. 某中学为了丰富学生的课余生活，欲利用每周一下午的自主活动时间，面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课，由学生自主申报，每人只能报一门，也可以不报.该校高二有两种班型-文科班和理科班各有2个班，据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课，报名情况统计如下：厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”，把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”.请根据所给数据，完成下面的列联表：课程报名班型合计“劳育课程”“美育课程”文科班理科班合计根据列联表中所填数据，判断是否有的把握认为课程的选择与班型有关.附：18.已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列.求数列的通项公式；求数列的前n项和19. 如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且证明：平面平面；求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线在第一象限与椭圆C相交于点P，且求椭圆C的方程；设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围.21. 已知函数，其中，求函数的单调区间；当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围. 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.23. 已知函数画出的图象；求不等式的解集.答案和解析1.【答案】C【解析】解：对于AB，，，，A错误，B错误；对于CD，或，，，C正确，D错误．故选：根据补集定义、元素和集合的关系直接判断各选项即可．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，所以该函数的最小正周期为，故选：根据诱导公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可．本题主要考查了函数周期的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：模拟执行程序的运行过程知，，，；，；，，结束循环，输出的n值为故选：模拟执行程序的运行过程，即可求出程序运行后输出的n值．本题考查了程序的运行问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：实数x，y满足约束条件所表示的区域如图阴影所示：由，解得点，的几何意义为：可行域内的点与原点连线的斜率，由图象可知，当原点与点连接时，取得最大值，即故选：根据约束条件画出线性规划区域，根据的几何意义即可求解．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合，是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：利用双曲线的定义及标准方程，得到，，又，，因为，所以，故，即故选：利用双曲线的定义及标准方程，得到，，结合勾股定理表示出a 和c的关系即可．本题主要考查了双曲线的定义和性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：这场比赛甲获胜对应的事件A有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜．；，所以故选：计算比赛两局结束和比赛三局结束，分别求出概率即可．本题考查了相互独立事件概率的求法问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：空间中两条直线没有公共点，这两条直线可能异面，而不平行，命题p是假命题；如图，，，，，，在内任取一点O，作，，则，，又，，，，，命题q是真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故选：容易判断命题p是假命题；可画出图形，可根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理由，且得出，从而判断命题q是真命题，然后得出是真命题，从而可得出正确的选项．本题考查了异面直线的定义，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的定义，复合命题的真假判断，考查了推理能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由抛物线C：，得，焦点坐标为则过抛物线C：的焦点F且倾斜角为的直线方程为直线方程代入抛物线方程，消去y，得设，则，所以故选：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程．直线方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键，属中档题．9.【答案】B【解析】解：由题意，对于奇函数，有，由，所以，所以，则函数的周期是4，所以故选：根据函数奇偶性的性质进行条件转化注意运用赋值法，即可得到的最小正周期是4，运用周期性即可得到结论．本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设顶点P在底面ABC内的射影点为E，连接AE延长交BC于点D，则D为BC的中点，设球心为O，球的半径为R，当O在PE上时，由于，则，则，解得舍，因为此时，不符，当O在PE延长线上时，可得，解得，故选：设顶点P在底面ABC内的射影点为E，连接AE延长交BC于点D，则D为BC的中点，设球心为O，球的半径为R，根据正三棱锥的结构特点，可建立关于R的方程，解出即可．本题考查三棱锥的外接球，考查空间想象能力以及运算求解能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：，，且，，设，，时，，在上单调递增，时，，即，，即，，故选：可得出，根据对数的换底公式即可得出；可设，根据导数符号即可判断出在上单调递增，从而得出时，，从而得出时，，这样即可得出，从而得出a，b，c 的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，不等式的性质，构造函数比较大小的方法，根据导数符号判断函数的单调性的方法，考查了计算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：在中，已知，，不妨设，则，，，又，则，则，设，则，又，则，则，又，当时，取得最小值，则，则，则，则，故选：由正弦定理及余弦定理，结合平面向量的数量积运算及三角形的面积公式求解即可．本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了平面向量的数量积运算及三角形的面积公式，属中档题．13.【答案】【解析】解：因为，所以故答案为：先化简z，再根据模长公式求解即可．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以故答案为：由已知利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了二倍角的余弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由直线：，可得直线恒过定点，由直线：，可得直线恒过定点，又易得直线与直线互相垂直，故点P轨迹是以AB为直径的圆，从而可得P的轨迹方程为，圆心为，半径为，由圆C：，可得圆心，半径为1，由题意，又，故答案为：求得两直线的定点坐标A，B，由两直线垂直可得点P轨迹是以AB为直径的圆，利用，可求的最大值．本题考查求点的轨迹方程，考查求线段长的最大值，属中档题．16.【答案】【解析】解：由，所以，由函数存在极大值点，所以，即，所以，令，则，令，即；令，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，，当时，，所以由，得，由，可得，即，令，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以即实数a的取值范围为故答案为：由函数存在极大值点，可得，又，令，结合导数分析其单调性，进而得到，由，可得，令，结合导数分析其单调性，进而得到，进而求解．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．17.【答案】解：由题意，列联表如下：课程合计报名班型“劳育课程”“美育课程”文科班353570理科班102030合计4555100假设：“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科无关．，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即没有的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．【解析】根据题目提供的数据，补全列联表即可；算出的值与进行比较即可得出结论．本题主要考查了独立性检验的实际应用，属于基础题．18.【答案】解：等比数列的公比为3，且，，成等差数列，，，解得，数列的前n项和…，…，相减可得…，化为【解析】由等比数列的公比为3，且，，成等差数列，可得，利用等比数列的通项公式解得，即可得出，利用错位相减法即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：取的中点O，连接AO，与均是边长为2的正三角形，，，为二面角的平面角．，，又，，AO ，平面，平面，又平面，平面平面解：由知，，，，以O 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，所以，，所求锐二面角的余弦值为【解析】由线线垂直证线面垂直，进而利用面面垂直的判定证明平面平面以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．本题主要考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．20.【答案】解：由题意，双曲线的焦点为，，双曲线与椭圆C有相同焦点且在第一象限交点为P，又，，，，，椭圆C的方程为；设，，则，四边形OAED为平行四边形，，，点A，B，E均在椭圆C上，，，，，，，由消去y，得，显然，，，，，因为，所以，即，所以，即【解析】结合双曲线方程可得，，结合双曲线和椭圆的定义即可得到，进而求解；设，，则，结合平行四边形OAED，可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，进而得到，从而求解．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：，因为，，所以当时，恒成立，在上单调递增，当时，若时，，单调递减，若时，，单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．函数恰有两个零点，等价于方程有两个不等的实数根，因为，，，令，则，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，所以方程有唯一解，所以方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解，等价于方程有两个不相等的实数解，设，则，因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，；，，所以只需，即，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为，所以当时，恒成立，所以a的取值范围为【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，即可得出答案．函数恰有两个零点，等价于恰有两个零点，令，则，令，求导分析单调性，极值，可得方程有唯一解，则方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解，等价于方程有两个不相等的实数解，设，分析零点个数，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的普通方程为直线l的极坐标方程为，，，，直线l的直角坐标方程为；由知，点P在直线l上，直线l的参数方程为为参数，代入得，，设，是上述方程的两根，，，，【解析】对于曲线C消参数t即可得出普通方程；对于直线l利用和差公式展开，代入，即可求解；利用参数方程的几何意义即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：，其图象为：函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，的图象与的图象如图所示．当时，由解得，，由图象可知不等式的解集为【解析】根据分界点，分段去掉绝对值符号即可；根据，的图象关系可得解集．本题考查绝对值不等式的解法，属于中档题．。