7-1数理统计的基本概念
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概率论与数理统计复习7章
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
概率第7章 参数估计
然而，这个方法常归功于 英国统 计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了 这一方 法，并首先研究了这 种方法的一些质 .
Gauss
Fisher
基本思想
甲.乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中, 可以认为:甲射击技术优于乙射击技术. 事件A发生的概率为0.1或0.9,观察一次,事件A发生了, 可以认为:事件A发生的概率为0.9. 实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量 检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在 获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观 察结果出现的可能性最大. 最大似然估计就是通过样本值 x1 , , x n 等数求得总体的 分布参数,使得 X1 ,, X n 取值为 x1 , , x n 的概率最大.
i
L( ) L( x1 , , x n ; ) f ( x i ; ),
i 1
n
的最大值，这里 ( )称为样本的似然函数 L .
ˆ 若 L( x 1 , , x n ; ) max L( x 1 , , x n ; )
ˆ 则称 ( x1 , , xn )为 的极大似然估计值 .
i
xi
在得到观测值 x1 ， x 2 ， ， x n 的前提下，自然 应当选取使得 n
f ( x ; )dx
i i 1
i
达到最大的 值作为未知参数 的估计值．
因为当未知参数 等于这个值时，出现给 定的那个 样本观测值的可能性最 大．
但 dxi 不随 而变，故只需考虑：
3.期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计: (1)无偏性 1 n 选择估计量 X X i n i 1 (2)样本容量越大,估计值 越有效 方差的点估计:
Gauss
Fisher
基本思想
甲.乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中, 可以认为:甲射击技术优于乙射击技术. 事件A发生的概率为0.1或0.9,观察一次,事件A发生了, 可以认为:事件A发生的概率为0.9. 实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量 检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在 获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观 察结果出现的可能性最大. 最大似然估计就是通过样本值 x1 , , x n 等数求得总体的 分布参数,使得 X1 ,, X n 取值为 x1 , , x n 的概率最大.
i
L( ) L( x1 , , x n ; ) f ( x i ; ),
i 1
n
的最大值，这里 ( )称为样本的似然函数 L .
ˆ 若 L( x 1 , , x n ; ) max L( x 1 , , x n ; )
ˆ 则称 ( x1 , , xn )为 的极大似然估计值 .
i
xi
在得到观测值 x1 ， x 2 ， ， x n 的前提下，自然 应当选取使得 n
f ( x ; )dx
i i 1
i
达到最大的 值作为未知参数 的估计值．
因为当未知参数 等于这个值时，出现给 定的那个 样本观测值的可能性最 大．
但 dxi 不随 而变，故只需考虑：
3.期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计: (1)无偏性 1 n 选择估计量 X X i n i 1 (2)样本容量越大,估计值 越有效 方差的点估计:
概率论与数理统计 第七章2
P{θ1 ≤ θ ≤ θ 2 } ≥ 1 − α , (0 < α < 1)
称区间(θ1，θ 2 )为θ的置信水平为1 − α 该区间的置信区间 。
区间（θ1，θ2）是一个随机区间； α给出该区间含真 1− 值θ的可靠程度。α表示该区间不包含真值θ的可能性。
ch7-1 2
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
( X −u1−α
σ
2
n
,
X + u1−α
σ
2
n
)
可得所求的置信区间为
2 (12.35 ± 1.96 × ) = (12.35 ± 1.307) = (11.043,13.657) 9
ch7-1 8
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
概率论与数理统计
区 间 估 计
ch7-1
1
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
1001，1004，1003，997，999，1000， ， ， ， ， ， ， 1004，1000，996， 1002，998，999. ， ， ， ， ，
求σ2的置信水平为 的置信水平为0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 −α的置信区间如 解:本例中 µ未知， σ2的置信水平为 −α的置信区间如 本例中 未知， 的置信水平为1−α的置信区间如. (n −1)S2 (n −1)S2 2 , 2 χ1−α (n −1) χα (n −1) 其中n=12,计算得：(n−1)s2=11×6.932=76.25.又 计算得： − 其中 计算得 × 又 查自由度为11的 分布分位数表,得 α=1− 0.95=0.05, 查自由度为 的 χ 2分布分位数表 得 −
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
07-第七章 不等概率抽样
（7.4）
（7.5）
5
3. 若 n > 1 ，则
ˆ )= v(Y HH
n æ yi ˆ 1 ç - YHH å n(n - 1) i =1 ç è zi
ö ÷ ÷ ø
2
（7.6）
ˆ ) 的无偏估计。 是 V (Y HH ˆ 的 在证明上述性质以前，我们先就 PPS 抽样这种特殊情形，说明 Y HH
*
[1,24] 中的一个随机数为 9，由于 M 4 = 6 < 9 ，因此需要重抽。设第二次抽
到的一组随机数为 (7,15) ，则仍然不满足要求，还需要抽。若再次抽到的随 机数组为 (2,8) ，则由于 M 2 = 10 > 8 ，故第 2 个单元被抽中。如此重复直 到抽到 n 个单元（允许重复）为止。 拉希里法适用于 N 很大的情况，因为它不需要列出如表 7.1 这样的表。 7.2.3 汉森——赫维茨估计量及其性质 对于 多 项 抽样，由于抽样是不等概率的，每个样本单元的 观测 值 ，因此对于总体参数的估计与等概率抽样 y1 , y 2 , , y n 就不再是“平等的” 不同。前已提到，这个估计也与样本单元 Z i 的取值 z1 , z 2 , , z n 有关。汉森 ——赫维茨（Hansen-Hurwitz）提到的对总体总和 Y 的估计如下：
Mi
8 10 17 6 24 9 5 7 4 10
累计 M i 8 18 35 41 65 74 79 86 90 100
代码 1~8 9~18 19~35 36~41 42~65 66~75 76~79 80~86 87~90 91~100
M 0 = 100
在 [1,100] 范围内产生 5 个随机数，设分别为 04，73，25，49 及 82，则 第 1，第 6，第 3，第 5 及第 8 个单元即为抽中的单元。如果我们欲再增加 一个样本单元，产生的随机数为 58，则又对应第 5 个单元，这个单元即为 抽中两次。由于单元愈大，被赋予的代码数就愈多，因此每个单元入样的概
概率论第7章
频率分布直方图
步骤如下: (1)决定组距与组数
选取起点与终点。起点a选得比最小值略小些， 终点b选得比最大值略大些，确定组距:d=(b－a)/m
将［a，b］进行等分，即在［a，b］内插入 m－1个分点:
a x1' x2' xm' 1 b
把［a，b］分成m个组（即小区间）。 通常在试验数据较多（即样本容量n较大）
时，可分成10～20组，数据在100以内可分成 5～12组。这里的起点、终点、组距、组数可视 具体情况来定。
（2）数出频数，列出分组频率分布 数出样本值x1，x2，…，xn 落在每个组的数目，
计算每个组的频数与频率。
（3）绘出频率分布直方图 以样本值为横轴，以（频率÷组距）为纵轴，
在横轴上标出各分组的点，以各组的组距为底， 画出高度等于（频率÷组距）的小矩形。整个图 形称为频率分布直方图，简称为直方图。
F n1
n2
服从第一自由度为n1、第二自由度为n2的F分布。 记为F～F(n1,n2)。
如F～F(n1,n2)，则其密度函数为
f
(x)
( n1
n2 2
)
(
n1 2
)(
n2 2
)
(
n1
)
n1 2
n2
n1 1
x 2 (1
n1 n2
n1 n2
x) 2
0
x0 x0
下图描绘了F(10,50)，F(10,10)，F(10,4)的密度曲线。
数理统计研究的是：一个随机变量所服从的分布是 未知的，或者知其分布而不知其中所含的参数，需 要确定这个随机变量的分布或参数。 数理统计的研究方法是归纳法，同概率论相反。
例如，通过检查某厂家一批产品中的１００个产品， 从而设法估计这批产品的合格率。
概率论和数理统计(第三学期)第7章数理统计的基本概念
n i1
i
1 n
n
Ei
i1
D
D 1 n
n i 1
i
1 n2
n
Di
i 1
2
n
2
S~ 1 n
n i 1
i
2
1 n
n i 1
i2 2i
2
1 n
n
i2
i 1
2
n
i
i 1
n
2
1 n
n
i2
i 1
2
2
2
1 n
n
i2
i 1
2
E S~2
E
1 n
n
i2
i 1
23
.209
2
2 0.95
20
10
.851
当自由度n 45时，可用下面近似公式去求2 n:
x2 n
1 2
u
2
2n 1
例3
求
2 0.05
60 ．
解
2 0.05
60
1 2
u0.05
2
2 60 1
1 1.645
2
119 78.798
2
3、t分布的上侧分位点
对于给定的α(0<α<1)，使
2
e
xi 2 2
2
(2
) e 2
n 2
1
2 2
n i1
xi 2
在数理统计中，总体的分布往往是未知的，需 要通过样本找到一个分布来近似代替总体分布。
§7.3 分布的估计
频率分布 例 某炼钢厂生产的钢由于各种因素的影响，各炉
钢的含硅量可以看作是一个随机变量，现记录了 120炉钢的含硅量百分数，求出这个样本的频数分 布与频率分布。
数学的数理统计学
数学的数理统计学数理统计学是一门应用数学的分支学科，旨在研究数据的收集、分析和解释。
它是现代科学、工程和社会科学中必不可少的工具之一。
本文将从数学的角度出发，介绍数理统计学的基本概念、方法和应用。
一、基本概念数理统计学的基本概念包括总体、样本、随机变量和概率分布等。
总体是指研究对象的全体，样本则是从总体中选取的一部分个体。
随机变量是描述随机现象的数值特征，概率分布则描述了随机变量的取值规律。
二、数据的收集与描述在数理统计学中，收集和描述数据是关键的一步。
常见的数据收集方法包括抽样调查、实验和观测等。
而对数据进行描述的手段主要有集中趋势度量和离散程度度量。
集中趋势度量包括均值、中位数和众数等，用于反映数据的中心位置；离散程度度量包括方差、标准差和变异系数等，用于反映数据的离散程度。
三、概率与概率分布概率是数理统计学的重要概念之一，用来描述随机现象发生的可能性。
概率分布则用于描述随机变量的取值规律。
常见的概率分布包括正态分布、二项分布和泊松分布等。
正态分布是一种重要的连续型概率分布，其以钟形曲线为特征，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
二项分布和泊松分布则常用于描述离散型随机变量的概率分布。
四、参数估计与假设检验参数估计与假设检验是数理统计学中的核心内容。
参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，常用的方法包括点估计和区间估计。
假设检验则是用于判断总体参数是否满足某个假设，常用的方法包括单样本假设检验、双样本假设检验和方差分析等。
五、回归与相关分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
简单线性回归分析用于描述两个变量之间的线性关系，多元线性回归分析则考虑多个自变量对因变量的影响。
相关分析则用于描述两个变量之间的相关程度，常用的是皮尔逊相关系数。
六、应用领域数理统计学在各个领域都有广泛的应用。
在自然科学方面，数理统计学可以帮助分析实验数据，验证理论模型。
在工程领域，数理统计学可以应用于质量控制、可靠性分析等。
数理统计 第七章-参数估计
休息
结束
2. 最大似然法
是在总体类型已知条件下使用的一 种参数估计方法 。 它首先是由德国数学家高斯在1821 年提出的 ,费歇在1922年重新发现了这 一方法，并首先研究了这 种方法的一些 性质 。
休息 结束
最大似然法的基本思想：
已发生的事件具有最大概率。
休息
结束
先看一个简单例子： 在军训时，某位同学与一位教官同 时射击，而在靶纸上只留下一个弹孔。 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
max f ( xi , )
i 1
n
休息
结束
X 假设X 为连续型总体： f ( x; )
( X 1 , , X n ) 为子样
( x1 , , xn ) 为子样观察值。
已发生的事件为：
x x ,X {{X 11 1x, X 1 nx1 ,n } , xn x X n xn } x
休息
结束
ˆ
1 n ( X i X )2 n i 1
1 n ˆ X ( X i X )2 n i 1
休息
结束
矩法的优点是简单易行,并不需要 事先知道总体是什么分布 。 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息 . 一般场合下, 矩估计量不具有唯一性 。
( 1 )x , 0 x 1 f( x) 0, 其它
1
其中 1 是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计. 解:
1 E( X ) x( 1 )x dx
0
( 1 )
从 中解得
1
0
x
1
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F~F(n1,n2) . 由定义可见，
1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1
数理统计பைடு நூலகம்
F分布的性质
1.F分布的数学期望为:
n2 E(F ) n2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
数理统计
2.F分布的分位数
对于给定的， 1, 称满足条件 0
p F F (n1 , n2 )
数理统计
定义设X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体X的一个样本，
g ( X 1 , X 2 ,, X n )是X 1 , X 2 ,, X n的函数，若g 中不含未知参数，则g ( X 1 , X 2 ,, X n )称是一 个统计量.
请注意 :
设X1 , X 2 , X n 是来自总体X的一个样本 , x1 , x2 , xn 是一个样本的观察值, 则g ( x1 , x2 , xn )也是统 计量g ( X1 , X 2 , X n )的观察值.
数理统计
一、总体和样本 1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体， 总体中每个成员称为个体， 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.
总体
…
研究某批灯泡的质量
有限总体 总体 无限总体
数理统计
总体可以用一个随机变量及其分布来描述. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来. 常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体. 如说总体X或总体F(x) .
的点F ( n1 , n2 )为F ( n1 , n2 )分布的上分位点.如图所示.
F分布的上分位点的性质：
1 F1 ( n1 , n2 ) F ( n2 , n1 )
F ( n1 , n2 ) F分布的上分位点可查表求得.例, 1 1 F0.95 (12,9) 0.357 F0.05 (9,12) 2.80
F3 ( x )的观察值为 0, 若 x 1 2 F3 ( x ) , 若1 x 2 3 若x 2 1,
数理统计
一般，设x1 , x2 ,, xn 是总体的一个容量为n的样本 值 .将它们按大小次序排列如下：x(1) x( 2 ) x( n ) 则经验分布函数Fn ( x )的观察值为 0, k Fn ( x ) , n 1, 若x x(1) 若x( k ) x x( k 1) , ( k 1,2,, n 1) 若x x( n )
pt t ( n)
t ( n )
h( t )dt
的点t ( n)为t ( n)分布的上分位点.如图所示.
t (n)
数理统计
t分布的上分位点的性质： t1 ( n) t ( n) t分布的上分位点t ( n)可查表 求得，例t0.025 (15) 2.1315.
f * ( x , x2 ,, xn ) =f(x1) f(x2) … f(xn)
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若
不特别说明，就指简单随机样本.
数理统计
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2 ( n)
数理统计
2、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～
(n) , 且X与Y相互
2
独立，则称变量
t
X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为 t ~ t ( n).
数理统计
t分布的性质：
1. 具有自由度为n的t分布t ~ t ( n), 其数学期望 与方差为：E ( t ) 0, D( t ) n ( n 2) ( n 2)
数理统计
三、统计三大抽样分布
1、
2
分布
2
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量：
X X2 Xn
2 2 1 2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 记为
2
分布.
~ (n)
n
则X 1 X 2 ~ ( n1 n2 ).
这个性质叫 分布的可加性.
2
2 ~ 2 ( n), 则当n充分大时, X n 的分布 3．若
2n
近似正态分布N(0,1).
(应用中心极限定理可得 )
数理统计
４ 若 2 ~ 2 ( n), 2分布的数学期望与方差, .
定理 1 (样本均值的分布) 设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 的样本， X 是样本均值，则有
N ( , )
2
2 X ~ N ( , ) n
X 即 ~ N (0,1) n
数理统计
2 X X ~ N ( , ) ~ N (0,1) n n
n取不同值时样本 均值 X 的分布
E(X)=n, D(X)=2n.
数理统计
5. 分布的分位点
2
对于给定的正数， 1, 0
2 ( n )
称满足条件
P ( n)
2 2
f ( y )dy
2 的点 ( n)为 2 ( n)分布的上分位点， 2 如图所示. ( n)可通过查表求，例 2 0.1 ( 25) 34.382.
数理统计
定理 2 (样本方差的分布) 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体
2
N ( , ) 的样本,
2
X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有 2 ( n 1) S (1) ~ 2 ( n 1) 2
数理统计
样本k阶原点矩
1 k Ak X i k=1,2,… n i 1
样本k阶中心矩
n
它反映了总体k 阶矩的信息
1 k Bk ( X i X ) n i 1
n
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
数理统计
统计量的观察值
1 n 1 n 2 x xi ; s ( xi x )2 n i 1 n 1 i 1 1 n 1 n k 2 s ( xi x ) ; k xi n 1 i 1 n i 1 1 n bk ( xi x )k k 1,2, n 1 i 1
数理统计
总体（理论分布） ？ 样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
数理统计
二、统计量与经验分布函数
1. 统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进 行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把 样本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量. 它是完全由样本决定的量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本， 它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机
变量X1,X2,…,Xn表示.
数理统计
若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为 f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为
F * ( x , x2 ,, xn ) =F(x1) F(x2) … F(xn)
其简单随机样本的联合概率密度函数为
客观上， 只允许我们对随机现象 进行次数不多的观察试验 ，我们只
能获得局部观察资料.
数理统计
数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、 分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽 可能地作出精确而可靠的结论. 在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称 为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本) 进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总 体进行推断. 数理统计方法具有“部分推断整体”的 特征 .
数理统计
几个常见统计量 样本均值 样本方差
它反映了总体 方差的信息 它反映了 1 总体均值 X Xi 的信息 n i 1 n 1 2 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
n
1 n 2 X i nX 2 n 1 i 1
样本标准差
1 n 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
t (n)
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t ( n ) z
数理统计
3、F分布
定义: 设 U ~ 2 ( n1 ),V 独立，则称随机变量
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
U n1 F V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第自 由度，n2称为第二自由度，记作
数理统计
第一节
数理统计的基本概念
总体和样本
统计量与经验分布函数
统计三大抽样分布
几个重要的抽样分布定理
课堂练习
小结 布置作业
数理统计
数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究 怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性影 响的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测.
由于大量随机现象必然呈现它规 律性，只要对随机现象进行足够多次 观察，被研究的规律性一定能清楚地 呈现出来.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
数理统计
定义：
设X是具有分布函数F的随机变量，若X1 , X 2 , , Xn 是具有同一分布函数F的、相互独立的随机 变量，则称X1 , X 2 ,, Xn为从分布函数F（或总体 F、或总体X）得到的容量n为的简单随机样本， 简称样本，它们的观察值x1 , x 2 ,, xn 称为样本值， 又称为X的n个独立的观察值.
1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1
数理统计பைடு நூலகம்
F分布的性质
1.F分布的数学期望为:
n2 E(F ) n2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
数理统计
2.F分布的分位数
对于给定的， 1, 称满足条件 0
p F F (n1 , n2 )
数理统计
定义设X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体X的一个样本，
g ( X 1 , X 2 ,, X n )是X 1 , X 2 ,, X n的函数，若g 中不含未知参数，则g ( X 1 , X 2 ,, X n )称是一 个统计量.
请注意 :
设X1 , X 2 , X n 是来自总体X的一个样本 , x1 , x2 , xn 是一个样本的观察值, 则g ( x1 , x2 , xn )也是统 计量g ( X1 , X 2 , X n )的观察值.
数理统计
一、总体和样本 1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体， 总体中每个成员称为个体， 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.
总体
…
研究某批灯泡的质量
有限总体 总体 无限总体
数理统计
总体可以用一个随机变量及其分布来描述. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来. 常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体. 如说总体X或总体F(x) .
的点F ( n1 , n2 )为F ( n1 , n2 )分布的上分位点.如图所示.
F分布的上分位点的性质：
1 F1 ( n1 , n2 ) F ( n2 , n1 )
F ( n1 , n2 ) F分布的上分位点可查表求得.例, 1 1 F0.95 (12,9) 0.357 F0.05 (9,12) 2.80
F3 ( x )的观察值为 0, 若 x 1 2 F3 ( x ) , 若1 x 2 3 若x 2 1,
数理统计
一般，设x1 , x2 ,, xn 是总体的一个容量为n的样本 值 .将它们按大小次序排列如下：x(1) x( 2 ) x( n ) 则经验分布函数Fn ( x )的观察值为 0, k Fn ( x ) , n 1, 若x x(1) 若x( k ) x x( k 1) , ( k 1,2,, n 1) 若x x( n )
pt t ( n)
t ( n )
h( t )dt
的点t ( n)为t ( n)分布的上分位点.如图所示.
t (n)
数理统计
t分布的上分位点的性质： t1 ( n) t ( n) t分布的上分位点t ( n)可查表 求得，例t0.025 (15) 2.1315.
f * ( x , x2 ,, xn ) =f(x1) f(x2) … f(xn)
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若
不特别说明，就指简单随机样本.
数理统计
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2 ( n)
数理统计
2、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～
(n) , 且X与Y相互
2
独立，则称变量
t
X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为 t ~ t ( n).
数理统计
t分布的性质：
1. 具有自由度为n的t分布t ~ t ( n), 其数学期望 与方差为：E ( t ) 0, D( t ) n ( n 2) ( n 2)
数理统计
三、统计三大抽样分布
1、
2
分布
2
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量：
X X2 Xn
2 2 1 2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 记为
2
分布.
~ (n)
n
则X 1 X 2 ~ ( n1 n2 ).
这个性质叫 分布的可加性.
2
2 ~ 2 ( n), 则当n充分大时, X n 的分布 3．若
2n
近似正态分布N(0,1).
(应用中心极限定理可得 )
数理统计
４ 若 2 ~ 2 ( n), 2分布的数学期望与方差, .
定理 1 (样本均值的分布) 设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 的样本， X 是样本均值，则有
N ( , )
2
2 X ~ N ( , ) n
X 即 ~ N (0,1) n
数理统计
2 X X ~ N ( , ) ~ N (0,1) n n
n取不同值时样本 均值 X 的分布
E(X)=n, D(X)=2n.
数理统计
5. 分布的分位点
2
对于给定的正数， 1, 0
2 ( n )
称满足条件
P ( n)
2 2
f ( y )dy
2 的点 ( n)为 2 ( n)分布的上分位点， 2 如图所示. ( n)可通过查表求，例 2 0.1 ( 25) 34.382.
数理统计
定理 2 (样本方差的分布) 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体
2
N ( , ) 的样本,
2
X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有 2 ( n 1) S (1) ~ 2 ( n 1) 2
数理统计
样本k阶原点矩
1 k Ak X i k=1,2,… n i 1
样本k阶中心矩
n
它反映了总体k 阶矩的信息
1 k Bk ( X i X ) n i 1
n
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
数理统计
统计量的观察值
1 n 1 n 2 x xi ; s ( xi x )2 n i 1 n 1 i 1 1 n 1 n k 2 s ( xi x ) ; k xi n 1 i 1 n i 1 1 n bk ( xi x )k k 1,2, n 1 i 1
数理统计
总体（理论分布） ？ 样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
数理统计
二、统计量与经验分布函数
1. 统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进 行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把 样本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量. 它是完全由样本决定的量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本， 它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机
变量X1,X2,…,Xn表示.
数理统计
若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为 f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为
F * ( x , x2 ,, xn ) =F(x1) F(x2) … F(xn)
其简单随机样本的联合概率密度函数为
客观上， 只允许我们对随机现象 进行次数不多的观察试验 ，我们只
能获得局部观察资料.
数理统计
数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、 分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽 可能地作出精确而可靠的结论. 在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称 为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本) 进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总 体进行推断. 数理统计方法具有“部分推断整体”的 特征 .
数理统计
几个常见统计量 样本均值 样本方差
它反映了总体 方差的信息 它反映了 1 总体均值 X Xi 的信息 n i 1 n 1 2 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
n
1 n 2 X i nX 2 n 1 i 1
样本标准差
1 n 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
t (n)
当n 45时，对于常用的的值，可用正态近似 t ( n ) z
数理统计
3、F分布
定义: 设 U ~ 2 ( n1 ),V 独立，则称随机变量
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
U n1 F V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第自 由度，n2称为第二自由度，记作
数理统计
第一节
数理统计的基本概念
总体和样本
统计量与经验分布函数
统计三大抽样分布
几个重要的抽样分布定理
课堂练习
小结 布置作业
数理统计
数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究 怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性影 响的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测.
由于大量随机现象必然呈现它规 律性，只要对随机现象进行足够多次 观察，被研究的规律性一定能清楚地 呈现出来.
2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
数理统计
定义：
设X是具有分布函数F的随机变量，若X1 , X 2 , , Xn 是具有同一分布函数F的、相互独立的随机 变量，则称X1 , X 2 ,, Xn为从分布函数F（或总体 F、或总体X）得到的容量n为的简单随机样本， 简称样本，它们的观察值x1 , x 2 ,, xn 称为样本值， 又称为X的n个独立的观察值.