垂径定理学案1
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3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么?已知:如图,⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P,AP=BP.求证:CD⊥AB,⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1: . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知:如图,⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P,⌒AC=⌒BC 求证:CD⊥AB归纳出:定理2:。
二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1.下列命题中,正确的是( )A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦,且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧2.如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径等于( )A.8 B.2 C.10 D.53.已知⊙O的半径为2 cm,弦AB长2√3 cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A. 1 cm B.2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。
1.如图所示,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城,最有名的标志性建筑就是“日月同辉”,其中“日”指的是“杭州国际会议中心”,如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m,球的半径是50m,则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示,将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O ,另一边所在直线与半圆相交于点D ,E ,量出半径OC=5cm ,弦DE=8cm ,则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示,将一个半径为5cm 的半圆O 折叠,使经过点O ,则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示,在⊙O 中,AB ,AC 是互相垂直的两条弦,OD⊥AB 于点D ,OE⊥AC 于点E ,且AB=8cm ,AC=6cm ,那么⊙O 的半径OA 长为 .6.如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60m ,拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4m ,即PE=4m 时,是否要采取紧急措施?参考答案: 当堂检测:1.C 2.A 3.C 4.C5.5cm6.(1)如答图所示,连结OA.由题意得AD=21AB=30(m),OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中,由勾股定理得r 2=302+(r-18)2,解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。
《垂径定理》教学设计教案第一章:教学目标1.1 知识与技能目标:让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标:通过观察、分析、推理等方法,引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标:培养学生对数学的兴趣,培养学生的观察能力和思考能力。
第二章:教学内容2.1 教材分析:本节课主要通过探究圆中的性质,引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析:学生在学习本节课之前,已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章:教学过程3.1 导入:通过展示一些与圆有关的实际问题,引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入:引导学生观察圆中的垂径关系,引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示:通过几何画板或实物模型,讲解垂径定理的内容,并展示其应用。
3.4 练习与讨论:设计一些练习题,让学生巩固垂径定理的理解,并进行小组讨论。
第四章:教学策略4.1 教学方法:采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体:几何画板、实物模型、PPT等。
第五章:教学评价5.1 评价标准:学生能够正确理解垂径定理,能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式:课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章:教学资源6.1 教具准备:几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境:教室环境舒适,学生座位有序,教学设备齐全。
第七章:教学步骤7.1 回顾圆的性质:回顾已学过的圆的性质,如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系:引导学生观察圆中的垂径关系,发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理:详细讲解垂径定理的内容,解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例:通过几何画板或实物模型,展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固:设计一些练习题,让学生运用垂径定理解决问题,巩固所学知识。
第八章:作业布置8.1 设计一些相关的练习题,让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究,寻找生活中的圆的性质应用,增强对数学的应用意识。
B C=C D=D E(5题图)(1---4题图)D 圆的对称性 (垂径定理)学习目标:1.探索并了解圆的对称性以及垂径定理。
2.通过对垂径定理以及推论的探索,加强推理能力。
3.会利用垂径定理及其推论,解决圆中的有关计算问题 。
学习重点,难点:垂径定理及其推论的探索及应用。
学习过程:一、 上节知识回顾:1、弦AB 等于圆的半径,则弦AB 所对的圆心角为__。
图2图12、 如图1,AB 是直径,∠BOC=40°,则∠AOE=__。
3、 如图2,在⊙O 中 ,弧AB=弧AC,∠B=70°,则∠C=__,∠A=__。
二、学习(自学)过程:1.圆既是_____图形,又是____图形,它有__条对称轴,它的对称轴是________________。
2.垂径定理:_______________________________。
3.垂径定理推论1:__________________. 垂径定理推论2:_________________. 三、典型例题学习:1. ∵ CD 是直径 ,C D ⊥AB∴______,______,_____。
2.∵ CD 是直径,AB 是非直径的弦,AE=BE ∴ ______,_____,_____。
3. ∵ CD 是直径,弧AD=弧BD ∴ ______,______,_______.垂径定理及其推论可概括为:对于一个圆和一条直线来说,如果具备下列五个性质中任何两个性质,那么就具备其余三个性质,这五个性质分别为:(1)经过圆心,(2)垂直于弦,(3)平分弦,(4)平分弦所对的优弧,(5)平分弦所对的劣弧。
4、 如图,已知⊙O 中直径CD 垂直于弦AB,垂足为E,若CD=10,AB=8,则DE 的长为__。
5、 如图,已知⊙O 的直径为12㎝,弦AB 垂直平分半径OC,那么弦AB 的长为___。
(9题图)(8题图)(7题图)(6题图)6、 如图,⊙O 的直径为34,圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为8,则弦AB 的长是___。
第1篇教材分析本节课是九上《圆的基本性质》的学习内容,是学生在学习了圆的基本概念之后,研究的圆的第一个重要性质——垂径定理。
该定理是以圆的轴对称性为认识起点,在观察、猜想、操作的基础上探究得到的。
揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系,是圆的轴对称性的具体化。
垂径定理及其推论是证明圆内线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据,同时也为与圆相关的计算和作图提供了方法和依据。
本课还重视圆的知识与三角形知识之间的转化,为后续的学习和探究奠定了基础。
学情分析本节课的授课对象是九年级的学生,经过两年的几何学习,有一定的合情说理能力。
通过本章前一部分的学习,掌握了圆的一些概念,已经历“探索、发现、猜想、证明”的过程,同时在以前的数学学习过程中,学生也有过很多合作学习的过程,具有一定的合作学习经验和合作交流的能力。
学习目标1.初步掌握垂径定理,会简单运用垂径定理解决相关数学问题。
2.经历垂径定理的探究过程,进一步体验“观察-猜想-实验-证明”的方法。
3.会把相关实际问题抽象为数学问题并加以解决,积累数学建模活动的基本经验。
重点难点学习重点:探究垂径定理并证明,能初步运用垂径定理解决相关数学问题。
学习难点:垂径定理的导出有一定难度,以及如何运用垂径定理分析和解决问题。
学习过程(一)探索垂径定理1.动一动:观察圆形纸片,老师找不到圆心了,不用工具只用折叠的办法,你能帮助找到圆心吗?2.想一想:两条折痕其实是圆的什么?对折后能完全重合,说明圆具有什么性质?【教师评价】圆是一个轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。
【设计意图】本节课首先通过动一动,想一想,观察得到圆具有轴对称性。
3.已知:如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足是点E.图中有哪些相等的线段和弧(半圆除外)?4.已知:如图,在⊙O中,直径CD⊥AB,垂足是点E。
求证:AE=BE,=,=。
图片【教师评价】在运用等腰三角形“三线合一”和圆的轴对称性来证明结论之后,特别指出当遇到“弦恰为直径”这一特殊情况时,无法构造等腰三角形,需另外证明。
初中垂径定理的应用教案教学目标:1. 理解并掌握垂径定理的内容及应用。
2. 能够运用垂径定理解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学重点:1. 垂径定理的理解和应用。
2. 培养学生的解决问题的能力。
教学难点:1. 如何正确运用垂径定理解决实际问题。
教学准备:1. 教师准备PPT或黑板,展示垂径定理的定义和图像。
2. 准备一些实际问题,用于引导学生应用垂径定理。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 引导学生回顾圆的基本概念,如圆、半径、弦、直径等。
2. 提问:你们认为圆有什么特殊的性质吗?二、新课讲解(15分钟)1. 介绍垂径定理的定义和图像,解释垂径定理的意义。
2. 通过示例,演示如何应用垂径定理解决实际问题。
三、课堂练习(15分钟)1. 让学生独立完成一些应用垂径定理的实际问题。
2. 引导学生分组讨论,互相解答疑问。
四、总结与拓展(10分钟)1. 让学生总结垂径定理的应用方法和步骤。
2. 提问:你们还能想到其他的应用垂径定理的问题吗?五、课后作业(5分钟)1. 布置一些应用垂径定理的实际问题,让学生回家练习。
教学反思:本节课通过讲解垂径定理的定义和图像,引导学生理解并掌握垂径定理的应用方法。
通过课堂练习和分组讨论,培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
在教学过程中,要注意引导学生正确应用垂径定理,解决实际问题,提高学生的解决问题的能力。
同时,教师应根据学生的实际情况,适当调整教学内容和教学方法,以提高教学效果。
高中数学垂径定理教案一、教学目标:1. 知识与能力:掌握垂径定理的概念,能够应用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法:运用几何知识和推理方法,探究垂径定理的原理和应用。
3. 情感态度与价值观:培养学生的观察和推理能力,增强学生对几何学习的兴趣和自信心。
二、教学重难点:1. 掌握垂径定理的内容和概念。
2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
三、教学内容及方法:1. 垂径定理的概念:通过展示示意图,引导学生理解垂径定理的基本原理。
2. 垂径定理的证明:以几何推理为基础,让学生自行探究垂径定理的证明过程。
3. 垂径定理的应用:通过具体案例演练,让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。
四、教学过程:1. 导入:通过展示一个圆和其直径的示意图,引出垂径定理的概念。
2. 学习:讲解垂径定理的内容和原理,引导学生思考垂线与半径的关系。
3. 实践:学生自行探究垂径定理的证明过程,进行思维导图整理。
4. 演练:通过案例分析和问题讨论,让学生灵活运用垂径定理,解决相关问题。
5. 总结:总结本节课的学习内容,强化垂径定理的重点和难点。
五、作业布置:1. 完成课堂练习,加深对垂径定理的理解。
2. 预习下节课内容,做好相关准备。
六、教学评价:1. 课堂表现:学生能够积极参与讨论,表达自己的观点和想法。
2. 作业质量:学生能够独立完成作业,运用垂径定理解决实际问题。
3. 考试成绩:学生在考试中能够准确运用垂径定理,获得理想的成绩。
七、教学反思:1. 教学方法:适当运用案例分析和问题讨论,提高学生对垂径定理的应用能力。
2. 教学内容:加强垂径定理的相关练习,巩固学生对垂径定理的理解和掌握。
以上是本次垂径定理教学范本,欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。
祝教学顺利!。
24.1.2 垂直于弦的直径一、基础知识1、圆既是 图形,又是 图形,圆的对称轴是 ,对称中心是 。
2、垂径定理: ;如图,转化为几何语言为: ∵CD 是直径, ;∴ 、 、 。
3、垂径定理推论: ;如图,转化为几何语言为: ∵CD 是直径, ;∴ 、 、 。
4、看下列图形,是否能使用垂径定理?5、如图,已知在⊙O 中,(1)弦AB 的长为8cm ,圆心O 到AB 的距离为3 cm , 则⊙O 的半径为:;(2)弦AB 的长为6 cm ,⊙O 的半径为5 cm ,则圆心 O 到AB 的距离为:;(3)⊙O 的半径为10 cm ,圆心O 到AB 的距离为6 cm , 则弦AB 的长为: ;(4)弦AB 的长为8 cm ,DE=2 cm ,则⊙O 的半径长 为: ;二、推广应用6、如图:若AB 、CD 是⊙O 的两条弦,且AB ∥CD ,那么 AC BD吗?请说明理由。
7、(1)以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AB 交小圆C,D 两点,问:AC 与BD 的数量关系是: ;(2)如图:若将直径向下移动,变为非直径的弦AB ,交小圆于C,D 两点,(1)中的结论是否成立?为什么?(3)如图,将大圆去掉,已知:AC=BD ,求证:∠A=∠B ;8、如图, A 、B 、C 为⊙O 上三点, D 、E 分别为AB 、 AC 的中点, 连结DE 分别交AB 、 AC 于F 、G. 求证:AF =AG.9、半径为5cm 的圆中,两条平行的弦分别长为6cm 、8cm ,则这两条平行的弦间的距离为: 。
10、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径.假设钢珠的直径是11、毫米,测得钢珠顶端离零件表面的距离为9这个小孔的直径AB 的长度是。
12、如图,在⊙O 中,弦AB ⊥CD 于E ,⊙O 的半径为5,BE=6, AE=2,求DM-CM 的长。
BBA B。
垂径定理优秀教学设计(教案)一、教学内容本节课为人教版数学四年级下册第七单元《几何图形》中的“垂径定理”。
教材通过生活中的实例,引导学生探究圆的性质,掌握垂径定理,并运用该定理解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生通过观察、操作、探究,掌握垂径定理,提高空间想象能力。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点:掌握垂径定理及运用。
难点:理解并证明垂径定理。
四、教具与学具准备教具:PPT、黑板、粉笔。
学具:圆、直尺、三角板、圆规。
五、教学过程1. 情境引入:利用PPT展示生活中的圆形物体,如地球、篮球等,引导学生关注圆的性质。
提问:“你们知道圆有哪些性质吗?”2. 自主探究:3. 小组交流:4. 例题讲解:利用PPT展示例题,如:“在圆中,已知直径AB,求证:垂直于AB的线段CD也是直径。
”让学生独立思考,然后讲解解题思路,引导学生运用垂径定理解决问题。
5. 随堂练习:出示随堂练习题,如:“已知圆的直径为10cm,求证:垂直于直径的线段也是10cm。
”学生独立完成练习,教师巡回指导,及时纠正错误。
6. 巩固提高:出示拓展题目,如:“在圆中,已知一条弦长为8cm,求证:垂直于该弦的线段也是8cm。
”学生分组讨论,运用垂径定理解决问题。
7. 课堂小结:六、板书设计板书垂径定理板书内容:1. 圆的性质:圆中心到圆上任意一点的距离相等。
2. 垂径定理:垂直于直径的线段也是直径。
七、作业设计1. 请用文字和图形描述垂径定理。
答案:垂径定理:垂直于直径的线段也是直径。
在圆中,已知直径AB,求证:垂直于AB的线段CD也是直径。
答案:略。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的实例,引导学生探究圆的性质,掌握垂径定理。
在教学过程中,注重培养学生的动手操作能力、观察能力和空间想象能力。
课堂练习和拓展延伸环节,让学生运用所学知识解决实际问题,提高学生的数学应用能力。
《垂径定理》教学设计教案第一章:导入教学目标:1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容:1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题:在圆中,如何判断一条直线是否垂直于一条弦?教学活动:1. 利用实物或图片展示圆和直线,引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作,尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估:1. 观察学生在实际操作中的表现,了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章:探索垂径定理教学目标:1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容:1. 引导学生通过几何推理,探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动:1. 引导学生通过画图和几何推理,探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论,分享各自的解题思路和方法。
教学评估:1. 观察学生在探索过程中的表现,了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章:应用垂径定理教学目标:1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容:1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动:1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习,引导学生运用垂径定理。
教学评估:1. 观察学生在实际问题解决中的表现,了解他们运用垂径定理的能力。
第四章:巩固与提高教学目标:1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容:1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动:1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估:1. 观察学生在练习中的表现,了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现,了解他们运用垂径定理的能力。
第五章:总结与拓展教学目标:1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
永宁中学九年级数学(上)导学案备课组长:教研组长:教科室:课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标:1、探究垂径定理及推论; 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点:探究垂径定理及推论、学习过程:一、知识点回顾(知识准备):圆的对称性:二、探究新知:如图:AB是圆形纸片的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E。
沿CD对折纸片,发现:①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言:∵CD为⊙O的直径,且CD⊥AB于E∴_____________,__________________,________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现:平分弦(不是直径)的直径__________于弦,并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言:∵CD为⊙O的直径,且AE = BE∴_____________,__________________,_______________三、教师引导:垂径定理的题设和结论关系较复杂,从以上探究我们可进一步将其并归结为:一条直线(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件(1)、(2)而推出其他结论;推论是满足条件(1)、(3)而推出其他结论。
四、归纳小结:梳理本节所学知识点五、检测与反馈:1、判断下列图形,是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图,AB为⊙O的直径,且AB⊥CD于E。
请用符号语言描述垂径定理及其推论。
A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。
《垂径定理》教学设计教案第一章:教学目标1.1 知识与技能:让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
1.2 过程与方法:通过观察、猜想、证明的过程,让学生体验数学的探究过程。
运用图形计算器或信息技术工具,帮助学生更好地理解垂径定理。
1.3 情感态度与价值观:培养学生对数学的兴趣和自信心。
培养学生合作交流的能力,提高学生的团队协作能力。
第二章:教学内容2.1 教材分析:分析教材中关于垂径定理的定义、证明和应用。
理解垂径定理在圆的性质和几何图形中的应用。
2.2 学情分析:了解学生对圆的基本知识和垂线的概念。
了解学生对几何证明的掌握程度,为学生提供必要的支持。
第三章:教学重难点3.1 教学重点:让学生掌握垂径定理的证明过程和定理的内容。
能够运用垂径定理解决相关的几何问题。
3.2 教学难点:理解并证明垂径定理。
灵活运用垂径定理解决实际问题。
第四章:教学方法与手段4.1 教学方法:采用问题驱动的教学方法,引导学生观察、猜想、证明。
运用小组合作学习,鼓励学生互相交流、讨论。
4.2 教学手段:使用图形计算器或信息技术工具,展示几何图形,帮助学生更好地理解垂径定理。
提供相关的练习题和案例,供学生实践和应用垂径定理。
第五章:教学过程5.1 导入:通过引入实际问题或情境,激发学生的兴趣和好奇心。
引导学生观察和猜想垂径定理的内容。
5.2 探究与证明:引导学生进行小组合作学习,共同探究垂径定理的证明过程。
引导学生运用几何知识和证明方法,进行逻辑推理和证明。
5.3 应用与练习:提供相关的练习题和案例,让学生运用垂径定理解决问题。
引导学生进行自主学习和合作交流,解答练习题和案例。
鼓励学生反思自己的学习过程,提出问题和建议,为后续学习做好准备。
1. 导入新课通过展示实际问题,引入垂径定理的概念和意义。
提供具体的垂径定理案例,让学生观察和分析,引导学生猜想垂径定理的内容。
第五章:垂径定理的证明通过引导学生运用已有知识,尝试证明垂径定理。
BACOM 3.2.1圆的对称性(垂径定理)课标转述:1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
2、理解圆的对称性及相关性质。
3、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
学习目标1、知道圆是轴对称图形.2、能说出弧、弦、直径等和圆有关的定义,并能说出他们之间的区别和联系. 3、能背诵垂径定理的的内容,并会对垂径定理进行推导证明.4、能熟练运用垂径定理解决有关弦、弧以及半径之间的证明和计算问题. 学习过程一、自学教材96—98页,弄懂下列问题: 1、(回忆):点与圆有哪几种位置关系?2、什么是圆?圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?3、快速填空弧: 弦: 直径: 优弧: ,如右图,记作: 劣弧: ,如右图,记作: 弦心距:圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
4、垂径定理的的内容是什么?(背诵) 二、探究一:研究圆的对称性,完成“目标一”1、你是用什么方法解决上面第2个问题的?与同伴交流并在班里展示 结论:圆是 图形,对称轴是 .针对训练:判断:任意一条直径都是圆的对称轴( )注意:(1)对称轴是直线,不能说每一条直径都是它的对称轴;(2)圆的对称轴有无数条.三、探究二:牢记与圆有关的定义,并能区分它们之间的区别和联系,完成“目标二”: 根据弧、弦、直径的定义,讨论以下问题 1)直径和弦的关系是什么? 2)半圆和弧的关系是什么? 3)半圆是优弧吗?是劣弧吗?结论: ; ; ; 四、探究三:牢记并证明垂径定理,完成“目标三” 如图:1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ;2.作一条和直径CD 的垂线的弦,AB 与CD 相交于点E .问题:把圆沿着直径CD 所在的直线对折,你发现哪些点、线段、圆弧重合? 你能用所学过的几何知识进行证明吗?先在小组内交流,然后在班级展示。
垂径定理(文字语言): 。
垂径定理(几何语言):五、例题讲解,完成“目标四” 【例1】自学课本P99例1【例2】 已知:如图,线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点,且OA=OB .求证:AC=BD . 解:小结:1.画弦心距是圆中常见的辅助线;2.半径(r )、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的 主要思路,它们之间的关系:弦长222d r AB -=.弦长、半径、弦心距 三个量中已知两个,就可以求出第三个. 六、当堂训练1.已知⊙0的半径为13,一条弦的AB 的弦心距为5,则这条弦的弦长等于 .2.如下左图,AB 是⊙0的中直径,CD 为弦,CD ⊥AB 于E ,则下列结论中不一定成立的是( )A .∠COE=∠DOEB .CE=DEC .OE=BED .BD=BC3.过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ,最短弦长为8cm ,那么OM 长为( ) A .3 B .6cm C . cm D .9cm注:圆内过定点M 的弦中,最长的弦是过定点M 的直径,最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦。
《垂径定理》教学设计教案第一章:教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察和实验,发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具,准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章:教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题,展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章:教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题,引发学生对垂径定理的思考。
引导学生观察和实验,发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现学生分组进行实验,观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。
通过示例,解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题,巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章:教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况,评价学生对垂径定理的理解和应用能力。
学生之间互相评价,分享解题经验和思路。
4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业,检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业,进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章:教学资源5.1 教材教师使用的教材,包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料,如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频,帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
第六章:教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例,引导学生理解和掌握知识点。
6.2 实验法学生通过分组实验,观察和验证垂径定理,培养动手能力和观察能力。
6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论,分享解题经验和思路,促进互动交流。
第七章:教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。
垂直于弦的直径(1) 学案学习目标:掌握垂径定理及能够熟练应用。
学习过程:探究发现:探究一:不借助任何工具,你能找到圆形纸片的圆心吗?由此你能得到圆的什么特性?探究二:(1)右图中有哪些相等的量? (2)AB 作怎样的变换时,AC=BC ,AD=BD 。
(3)将弦AB 进行平移时,(2)结论是否仍成立?(4)当弦AB 与直径CD 不垂直时,(2)结论是否仍成立? (5)由以上探究可知:只有当直径CD___弦AB 时,(2)结论才成立。
推理证明:如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径CD ,使CD ⊥AB ,垂足为E 。
图中有哪些相等的线段和弧?为什么? 总结归纳:垂径定理:________________________________________。
几何语言:∵___________________________∴_________________________________ 知识应用: 一条排水管的截面如图所示。
已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。
求截面圆心O 到水面的距离。
排水管中水最深是多少?变式一:若已知排水管的半径OB=10,截面圆心O 到水面的距离OC=6,求水面宽AB 。
变式二:若已知排水管的水面宽AB=16。
截面圆心O 到水面的距离OC=6,求排水管的半径OB 。
反思:若弦心距为d ,半径为R ,弦长为a ,则这三者之间有怎样的关系?____________ 解决实际问题:如何求赵州桥的半径?轻松过关:1.如图,在⊙O 中,弦AB 的长为8cm ,圆心到AB 的距离为3cm ,则⊙O 的半径为_______。
2.弓形的弦长AB 为24cm ,弓形的高CD 为8cm ,则这弓形所在圆的半径为_______。
.3.如图,在⊙O 中,AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB 于D ,OE ⊥AC 于E ,求证四边形ADOE 是正方形。
请写下你的收获或疑惑: A .O B 1题图 D · O A B C E3题图 C BAD O A .O B C D E。
垂径定理教案教案标题:探索垂径定理教案目标:1. 通过本课学习,学生将理解并掌握垂径定理的概念和应用。
2. 学生将能够运用垂径定理解决几何问题并进行相关证明。
3. 培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力和团队合作意识。
教学重点:1. 理解垂径定理的基本概念和性质。
2. 掌握垂径定理的证明方法。
3. 运用垂径定理解决几何问题。
教学难点:1. 学生对垂径的理解和运用能力。
2. 学生对垂径定理的证明理解和能力。
教学准备:1. 教师准备投影仪、电脑、教学课件、纸板和笔等教学工具。
2. 学生准备几何工具、笔记本和教材等学习用具。
教学过程:步骤一:导入(5分钟)1. 教师用一幅图形或实物引入垂径的概念,激发学生对垂径的兴趣,并提出一个与垂径有关的问题。
2. 引导学生思考,让学生尝试从直观上解答问题。
步骤二:学习垂径定理(20分钟)1. 教师通过投影仪展示垂径定理的定义和相关的性质,引导学生分析和理解。
2. 教师示范垂径定理的证明过程,解释每一步的思路和理由。
3. 学生跟随教师一起完成标注图和注释,加深对垂径定理的理解。
步骤三:运用垂径定理(25分钟)1. 学生个人或小组合作,完成教材上的练习题,通过练习问题的解答,增强对垂径定理的运用能力。
2. 教师引导学生思考,提出一个垂径定理的应用问题,并组织学生探讨答案和解决方法。
3. 学生自主解答并展示答案,教师引导学生分析答案的准确性和方法的合理性。
步骤四:归纳总结(10分钟)1. 教师引导学生回顾本节课所学内容,总结垂径定理的要点和证明方法。
2. 学生自主进行笔记整理,并将重点、难点等内容记录下来。
步骤五:拓展延伸(10分钟)1. 学生个人或小组自主探索垂径定理在其他几何问题中的应用。
2. 学生将其拓展的问题和解决思路进行分享和讨论。
步骤六:作业布置(5分钟)1. 布置相关练习题作为课后作业,并要求学生在完成作业的过程中思考垂径定理的应用和证明方法。
教学反思:通过本节课的教学,学生对垂径定理有了较好的理解和掌握,能够应用垂径定理解决实际问题,并能运用相关的证明方法进行推理。
AD=BD AC=BC 垂径定理学案
学习目标:1,经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程,掌握垂径定理;并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题;
2、在研究过程中,进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法;
3、积极投入到圆的轴对称性的研究中,体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
学习重点:掌握垂径定理,记住垂径定理及推论的题设和结论。
学习难点:对垂径定理及推论的探索和证明,并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。
学习过程:
一,实践探究
1,活动一:不借助任何工具,你能找到圆形纸片的圆心吗?由此你能得到圆的什么特性?
2,活动二(猜想):当非直径的弦AB 与直径CD 有什么位置关系时,弦AB
有可能被直径CD 平分?
3,活动三(实验):如图,AB 是⊙O 的一条弦,做直径CD ,使CD ⊥AB ,垂足为E .沿着直径CD 折一折,你能发现图中有那些相等的
线段和弧?
4,活动四(证明):已知:如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦,CD ⊥ AB ,垂足为E.
求证:AE=EB ,证明:连结____________,则OA=OB ,即△AOB 是等腰三角形.
∵ CD ⊥AB,
∴ _____=_____(等腰三角形三线合一).
∵∠AEO=∠BEO=RT ∠
∴ 把圆沿着直径CD 对折时,射线EA 与射线EB 重合,
∴ 点_____和点_____重合,
∴ _____=_____ , ______=______
得到垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
几何描述:如图 ∵ CD 是直径, ________,
∴_____=____, _____=_____, _____ =_____.
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点。
如图中,C 是
ACB 的中点,D 是AB 的中点。
二,例题与练习
例1. 已知弧AB ,如图,用直尺和圆规求作这条弧的中点.
A B
变式:把弧AB 四等分。
例1.如图,在⊙O 中,弦AB 的长为8cm ,圆心O 到弦AB 的距离为3cm ,求⊙O 的半径.
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距,如上题中_______就是弦AB 的弦心距。
变式练习,如图直径为26cm 的圆柱体油槽的横截面,装入油后,油深CD
为8cm ,那么油面宽度AB =_____cm. 四,拓展练习
1,以下两圆为同心圆,AC 、BD 有什么关系?
2,如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,BE =4cm ,CD =16cm ,求⊙O 的半径.
五,小结: 1、这节课我们学习了哪些主要内容?
2、应用垂径定理要注意那些问题?。