圆锥曲线中的垂径定理 专题学案(解析版)

AD=BD AC=BC 垂径定理学案学习目标：1，经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。

学习重点：掌握垂径定理，记住垂径定理及推论的题设和结论。

学习难点：对垂径定理及推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。

学习过程：一，实践探究1，活动一：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你能得到圆的什么特性？2,活动二（猜想）：当非直径的弦AB 与直径CD 有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD 平分？3，活动三（实验）：如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．沿着直径CD 折一折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？4，活动四（证明）：已知：如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥ AB ，垂足为E.求证：AE=EB ，证明：连结____________，则OA=OB ，即△AOB 是等腰三角形.∵ CD ⊥AB,∴ _____=_____（等腰三角形三线合一）.∵∠AEO=∠BEO=RT ∠∴ 把圆沿着直径CD 对折时，射线EA 与射线EB 重合，∴ 点_____和点_____重合，∴ _____=_____ ， ______=______得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何描述：如图 ∵ CD 是直径, ________,∴_____=____, _____=_____， _____ =_____．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。

如图中，C 是ACB 的中点，D 是AB 的中点。

二，例题与练习例1. 已知弧AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．A B变式：把弧AB 四等分。

垂径定理
∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD
三、 学生活动（证明垂径定理的逆定理）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

已知：直径CD 、弦AB （除直径） 且 AM=BM 求证：（1）CD ⊥AB （2）⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD 四、 例题讲解
1．如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若AB=25cm ，OC=1cm ，则⊙O 的半径长为______cm 。

2．在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离。

解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm
由垂径定理得BM=12AB=1
2×40=20cm ，
∴OM=2222
2520OB BM -=-=15cm 。

同理可求ON=2222
2524OC CN -=-=7cm ，
所以MN=OM-ON=15-7=8cm 。

以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上 五、拓展训练
例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中⌒CD ，点O 是⌒BD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为⌒BD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握。

2013年秋九年级数学垂径定理的导学案
【学习目标】1.理解并掌握垂径定理的推论。

2.会用垂径定理和推论解决简单的计算和证明题。

垂径定理： 。

符号语言： ∵
∴
符号语言：
∴
判断对错：
1、垂直于弦的直径平分这条弦。

2、平分弦的直径垂直于这条弦。

3、平分弦的直线必垂直弦。

4、弦的垂直平分线经过圆心。

5、平分弧的直径平分这条弧所对的弦。

6、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。

7、分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分。

8、垂直于弦的直线必经过圆心。

解决问题：
1、已知: 在⊙O 中，弦AB 的长为24 cm ，C 为AB 中点，OC=5 cm ，求⊙O 的半径。

2、已知:⊙O 半径为5 cm ， C 为弦AB 中点，且OC=3 cm ，求AB 的长。

3、如图：弦AB ⊥CD ，且AB=CD ，E 为AB 的中点，F 为AC 的中点. 求证:四边形AEOF 为正方形。

4．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．
课堂小结：1、垂径定理的推论注意条件。

2、五条“有其二得其三”
.
A E
B O
F
C。

3.3垂径定理⑴导学案城南数学：周耀良学习目标：掌握垂径定理及其简单的应用。

【基础知识】试一试：在纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，然后沿着直径所在的直线把纸折叠•你能发现什么结论？我们发现画一画：任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，再作一条与直径垂直的弦（不过圆心）.理一理：作一条和直径CD的垂直的弦AB，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点线段、圆弧重合？结论：① EA= ______ ② AC 二_______ ; BD = ________我们可以把结论归纳成命题的形式：垂径定理：b5E2RGbCAP垂径定理的几何语言•/ CD为直径，CD丄AB （0C丄AB ）【要点知识】1•已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. （分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点请说出作图的理由。

思考：如何画弧AB的四等分点变式题：过已知O 0内的一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点2•已知O 0的半径是13cm，一条弦的弦心距为5cm,求这条弦的长。

3已知如图所示，在O0 中，弦AB // CD,求证：AC 二BD4 一条排水管的截面如图所示•排水管的半径OB=10,水面宽AB=16 ,求截面圆心0到水面的距离0C •(分析：要求0C的长，因为0C丄AB所以可以用勾股定理来求，而OB=10已知，故求出BC即可，根4 一条排水管的截面如图所示•排水管的半径OB=10,水面宽AB=16 ,据垂径定理可知，AB=2BC).归纳：垂径定理的运算实际上就是一个直角三角形中勾股定理的运算，两条直角边是什么？斜边是什么？变式：如上图,弦AB的长为8 cm,圆心0到AB的距离为3 cm,求O 0的半径.【巩固提升】★AB是OO的直径，弦CD±AB,E为垂足，若AE=9,BE= 1,求CD的长.★O 0的半径为5,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点，则线段0M的长的最小值为大值为 _____________ .plEanqFDPw★★已知O 0的直径是5 0 cm,O O的两条平行弦AB= 4 0 cm , CD= 4 8 cm , 求弦AB与CD之间的距离。

探究1圆的对称性 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么由此 你能得到什么结论 可以发现：圆是轴对称图形。

任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

圆的对称轴是任意 一条经过圆心的直线，它有无数条对称轴。

设计意图：让同学们通过动手操作，直观的感受圆的对称性，知道圆的对称轴。

探究2垂径定理 一、如图，AB 是圆。

的一条弦，做直径CD,使CD 垂直于AB,垂足为E 。

1、圆是轴对称图形吗如果是，它的对称轴是什么 2、你能发现图中有哪些相等的线段和弧 通过看图可以解决问题 1、圆是轴对称图形，它的对称轴是CD 2、AE=BE,弧 AC 二弧 BC,弧 AD=M BD 从而，咱们可以得到：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

设计意图：利用例题的形式引出垂径定理，比直接说概念能使学生更加清楚明白的了解垂 径定理。

二、垂径定理的条件 由上个题咱们可以知道CD 是直径，CD 垂直于AB,由这两个条件可以得出AE 二BE,弧AC 二 弧BC,弧AD 二弧BD 所以咱们就能得到垂径定理的两个条件，1是过圆心，2是垂直于弦，能够推出该过圆心 的线，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧。

强调一下：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。

设计意图：明白垂径定理的条件，知道垂径定理的结果，学生可以直接应用。

三、垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 注意：为什么这里强调弦不是直径呢 因为一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直。

因此这里的弦如果是 知识讲解（难点突直径，结论不一定成立。

设计意图；通过本环节，让学生自主探究、合作交流抽象出结论，培养学生的动手操作能力，同时渗透建模、化归和符号思想。

由于垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，由小组讨论表述条件与结论，并尝试将文字语言转化为数学符号语言，作为教师及时更正给出正确的几何语言，使学生建立符号感，这样也分化了难点。

专题22： 圆锥曲线中的垂径定理一、知识框架二、概念及相关典型例题 (一) 圆中的垂径定理（问题背景：直线斜率存在）图1 图2 图3 （1）如图1，在圆O 中，E 为弦AB 中点，则OE ⊥AB ，即1-=⋅AB OE k k （2）如图2，在圆O 中，l 与圆O 相切于E 点，则OE ⊥l ，即1-=⋅AB OE k k .（若切点坐标为),(00y x E ，可得切线l 方程：200r y y x x =+）（3）如图3，AB 为圆O 直径，E 圆上异于A 、B 两点的动点，则BE ⊥AE ，即1-=⋅BE AE k k .（二）圆锥曲线中的垂径定理（问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）1.椭圆中的垂径定理（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x 为例）图1 图2 图3 （1）如图1，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE -=⋅;（证明：用点差法）（2）如图2，在椭圆C 中，l 与椭圆相切于E 点，则22ab k k l OE -=⋅;（证明：法一：极限思想，当A 无穷接近B 点；法二：换元法变换为122='+'y x 证明即可；法三：导数）（3）如图3,l 过中心O,交椭圆于A,B 两点,E 是椭圆上异于A 、B 点的动点则22ab k k AEBE -=⋅.（证明：取AE 重点M ，连接OM ，即可用（1）证明）2.双曲线中的垂径定理（以焦点在x 轴的双曲线方程)00(12222>>=-b a by a x ，为例）图1 图2 图3 图4 图5（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）如图3，l 与双曲线相切于E 点，则22ab k k l OE =⋅;（3）如图4，过O 点的l 交双曲线于A,B 两点，E 是双曲线上异于A 、B 点的动点,则22abk k AEBE =⋅. （4）如图5，l 交上双曲线两渐近线于A,B 两点，E 为线段AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅. 【注意：若焦点在y 轴上的双曲线方程)00(12222>>=-b a b x a y ，，则上面斜率乘积结论变为：22ba ，即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k 22ba k k AEBE =⋅】（三）例题点评1.例题初探【例1】过点M(1,1)作斜率为21-的直线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：相交于A,B 两点，若M 是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为 .【解析】方法一：点差法 方法二：由垂径定理，22)21(11a b k k ABOM -=-⨯=⋅，2122222=-=a c a a b ，即2112=-e ，因为0<e<1,所以圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为（统称为有心圆锥曲线）：（1）若方程，且00(122>>=+n m ny m x 或0<mn ）存在以上关系，则上述结论可表述为：m n -， 即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k mn k k AE BE -=⋅，其中n m ，分别是22,y x 系数的倒数. （2）若方程)0,00(122<>>=+AB B A By Ax 或且存在以上关系，则上述结论可表述为：BA -， 即=⋅AB OE k k =⋅l OE k k BA k k AE BE -=⋅，其中B A ，分别是22,y x 系数.解的22=e 【例2】已知A 、B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点，P 为椭圆上异于A 、B 的点，PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，且4321-=k k ，则该椭圆的离心率为 【解析】答案为21=e【例3】设双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的顶点为21,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C 的一条渐近线于M 点，直线M A 2和P A 2的斜率分别为21,k k ，若12PA M A ⊥且0421=+k k ，则双曲线C 离心率为（ ） A 、2 B 、25C 、5D 、4【解析】利用双曲线过中心弦结论2221a b k k PA PA =，即22114141ab k k ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 答案：B 【例4】已知A 、B 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的两个顶点，P 是双曲线上异于A 、B 的另一点，P 关于y 轴的对称点为Q ，记直线AP 、BQ 的斜率分别为21,k k ，且5421-=k k ，则双曲线的离心率为【解析】1k k AQ -=，由垂径定理得235411221=⇒=-=-e e k k 答案：23【例5】过双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A 、B 两点，记线段AB 的中点为M ，且FM 等于半焦距，则双曲线的离心率=e【解析】 0>>b a ，∴双曲线的开口较小，渐近线斜率的绝对值比1小，故直线与双曲线的交点都位于y 轴左侧，当直线竖起来时中点即F ，而直线斜率为1，故中点M 位于第三象限，由 135=∠MFO ，FO FM =（O 为坐标原点），∴125.22tan -== OM k由垂径定理得21122=⇒-=⋅e e k OM 答案：42【例6】已知直线l 的斜率为1，且与双曲线2212x y -=相切于第一象限于点A ，则点A 的坐标为______.来源学科网ZXXK]【解析】法一：因为直线l 的斜率为1，所以设:l y x m =+代入双曲线2212x y -=得224220x mx m +++=因为直线与双曲线相切，所以0∆=，即()22164220m m -+=，解得1m =±当1m =时，22112y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，当1m =-时，22112y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩ 因为切点A 在第一象限，所以点()2,1A .故答案为：()2,1. 法二：设切点坐标为()00,y x A ，由垂径定理得：212200===⋅a b x y K K l OA ，又因为点()00,y x A 在双曲线上，可得：122020=-y x ，解得10=y ，所以20=x ， 所以点()2,1A .故答案为：()2,1.2.提高与巩固例题【例1】已知直线l 交椭圆805422=+y x 于M 、N 两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程为【解析】设),(11y x M ，),(22y x N ，)4,0(B ，由重心公式得6021=++x x ，0421=++y y【三角形ABC 重心的坐标公式为)3,3(321321y y y x x x ++++，其中),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 】 ∴线段MN 的中点为)2,3(-D ，由垂径定理得5412-=-=⋅e k k MN OD （O 为坐标原点）∴56=MN k ，∴直线l 的方程为02856=--y x【例2】已知椭圆1422=+y x ，P 是椭圆的上顶点，过P 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ， （1）求△PAB 面积的最大值（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围【解析】（1）B PAB x x x S =-=∆2121，∴面积最大为2 （2）方法一（与椭圆联立）：4122-=-=a b k k BP AP ，∴k k kk BP 441=⇒-=中垂线，N 刚到下顶点)1,0(-时，中垂线14-=kx y ，PB ：141+-=x k y 与椭圆联立可求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+1414,148222k k k k B ∴PB 中点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++144,144222k k k k M 在中垂线上，代入得42±=k 方法二（与直线联立）：由垂径定理得4112-=-=e kk BP ，∴PB ：141+-=x ky 与边AP 平行的中位线kx y =联立得PB 中点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++144,144222k k k k M ，由M 与)1,0(-构成的中垂线斜率k k k k k 41441144222=+++，解得42±=k 【例3】设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 两条渐近线分别交于A ，B ，若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是【解析】方法一（垂径定理）：记M 为PM 的中点，则PM ：033=-+m y x 与直线AB 联立，容易得)53,54(m m M由垂径定理得141122-=⇒-=e e k k PM AB 答案：25方法二（暴力计算）直线分别与两条渐近线联立得)3,3(a b bm a b am A --，)3,3(ba bmb a am B ++-∴AB 的中点为)93,9(222222a b m b a b m a --，所以线段AB 的中垂线斜率为3923222-=-=ba b k 方法三（渐近线点差法）：设AB 中点为),(00y x ，则由点差法知310202==y a x b k又中点在直线上，故0300=+-m y x ①，由PB PA =得300-=-mx y ②由①②得34333000000=⇒+=-=x y x y x y m ，∴4122=a b 【例4】已知某椭圆的焦点是)0,4(),0,4(21F F -，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且三、自我素养养成练习与思考1.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，过原点的直线交椭圆于点P 、A 两点（其中点P 在第一象限），过点P 作x 轴的垂线，垂线为C ，连AC 并延长交椭圆于B ，若PB PA ⊥，则椭圆的离心率为【解析】记1k k PB =，2k k AB =，延长PC 交椭圆于D ，连AD ，由初中几何知识得22k k AP =，由PBPA ⊥得1221-=k k ，由垂径定理得1221-=e k k 答案：222.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点为21,F F ，右顶点为A ，P 为双曲线右支上一点，1PF 交双曲线的左支于点Q ，与渐近线x aby =交于点R ，线段PQ 的中点为M ，若12PF RF ⊥，1PF AM ⊥，则双曲线的离心率为【解析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得c OR =，故),(b a R ∴ca b k PQ += 由垂径定理得2222)(1a c a b k a b e k k OM PQOM +=⇒=-=⋅联立直线PQ ：)(c x c a b y ++=与直线OM ：x ac a b y 2)(+=得)2)(,2(2c a c a b c a a M +++，)0,(a A 由2)(ac a b b c a k AM +=+-=得0202222=--⇒=+-e e ac c a ，解得2=e 答案：23.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右顶点分别为A 、B ，P 为第一象限内一点，且AB PB ⊥，连接PA 交椭圆于点C ，连BC 、OP ，若BC OP ⊥，则椭圆的离心率为【解析】1k k PA =，2k k BC =，由初中几何知识得12k k OP =， 1221-=k k ，∴由垂径定理得211221-=-=e k k22=⇒e 答案：22 4.如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线MN 与x 轴交于点M ，若212F F MF =，则C 的离心率是 。

《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。

学会运用垂径定理解决实际问题。

1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。

学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。

1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。

培养学生的合作意识和解决问题的能力。

第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。

通过实际例题，展示垂径定理的应用。

2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。

学生具备一定观察和实验的能力。

第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。

引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。

3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。

引导学生总结垂径定理的表述。

3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。

通过示例，解释垂径定理的应用。

3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。

教师引导学生互相讨论和解答问题。

第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。

学生之间互相评价，分享解题经验和思路。

4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。

学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。

第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。

5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。

5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。

第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。

6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。

6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。

第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。

垂径定理重难点教学设计
A
B
O E C
D
弦（a ）半径（r ）弦心距（d ），弓高（h ） 四个量关系1、 2、 探究三：
垂径定理推论：平分非直径弦的直径_______，并且__________________。

数学语言：∵CD 是平分_____， CD 是⊙O______，
∴____=____,____=____，_____=______。

例4、已知: 在⊙O 中，弦AB 的长为24 cm ，C 为AB 中点，OC=5 cm ，求⊙O 的半径。

三、当堂训练：
1、已知圆的两条平行弦AB 、CD 长分别是 6cm 和8cm ，圆的半径为5cm ，求两条平行弦之间的距离。

2、
教师引导学生添加辅助线并分析使用方程思想，后学生到前展示答案，并简单讲解
学生复述推论内容，并总结学语言
巩固提高对定理的认
识。

直观引入定理，并上升到理论上。

能够应用。

垂径定理公开课优秀教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：理解垂径定理的概念和含义。

学会运用垂径定理解决实际问题。

1.2 过程与方法：通过观察和实验，发现垂径定理的规律。

学会使用直尺和圆规进行几何图形的绘制。

1.3 情感态度价值观：培养学生的观察能力和思维能力。

培养学生的合作意识和解决问题的能力。

第二章：教学内容2.1 教材内容：介绍垂径定理的定义和公理。

解释垂径定理的证明过程。

2.2 教学重点与难点：垂径定理的理解和运用。

垂径定理的证明过程的理解。

第三章：教学过程3.1 导入：通过引入实际问题，引发学生对垂径定理的兴趣。

引导学生思考垂径定理的应用场景。

3.2 探究与发现：分组讨论和实验，让学生发现垂径定理的规律。

引导学生通过观察和实验，总结垂径定理的定义。

3.3 讲解与示范：讲解垂径定理的定义和证明过程。

示范如何运用垂径定理解决实际问题。

3.4 练习与巩固：提供一些练习题，让学生巩固对垂径定理的理解。

引导学生运用垂径定理解决实际问题。

第四章：教学评价4.1 评价标准：学生对垂径定理的理解程度。

学生运用垂径定理解决实际问题的能力。

4.2 评价方法：课堂提问和回答。

练习题的完成情况。

学生的小组讨论和实验报告。

第五章：教学资源5.1 教材：采用《几何》教材，提供垂径定理的相关内容。

5.2 教具：直尺、圆规、几何模型等。

5.3 教学多媒体：使用PPT或教学视频，展示垂径定理的证明过程和实际应用。

第六章：教学步骤6.1 步骤一：导入新课通过展示实际问题，引发学生对垂径定理的兴趣。

引导学生思考垂径定理的应用场景。

6.2 步骤二：探究与发现分组讨论和实验，让学生发现垂径定理的规律。

引导学生通过观察和实验，总结垂径定理的定义。

6.3 步骤三：讲解与示范讲解垂径定理的定义和证明过程。

示范如何运用垂径定理解决实际问题。

6.4 步骤四：练习与巩固提供一些练习题，让学生巩固对垂径定理的理解。

引导学生运用垂径定理解决实际问题。

垂径定理教学设计〔共19篇〕篇1：垂径定理教学反思垂径定理教学反思本节课的教学目的是使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。

垂径定理是圆的轴对称性的重要表达，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要根据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。

垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比拟，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点。

这节课我通过七个环节来完本钱节课的教学目的，采用了类比，启发等教学方法。

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

这点学生理解的很好。

根据这个性质先按课本进展合作学习1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；2.作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探究的根底上，得出结论：〔先介绍弧相等的概念〕①EA=EB；②AC=BC，AD=BD.理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的`弧。

垂径定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB〔OC⊥AB〕∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.在学生掌握了垂径定理后，及时应用定理画图和解决实际问题，练习由根底到进步，层层深化，学生很有兴趣。

做完题目后总计解题的主要方法：〔1〕画弦心距是圆中常见的辅助线；〔2〕半径〔r〕、半弦、弦心距〔d〕组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长本节课缺乏之处是在处理垂径定理的推论时，应归纳相关垂径定理的五个元素：直径、弦中点、垂直、优弧中点、劣弧中点的规律：“知二得三”。

有心圆锥曲线的垂径定理（秒杀技）（文末有WORD 版下载方式）定义：圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为221x y m n+=.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中，比如垂径定理。

一、椭圆和双曲线的垂径定理（又称第三定义）1.椭圆在椭圆()2222C 10+=>>：x y a b a b中，A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2=1⋅-PA PB k k e 证明：设11A(x ,y )，00P(x ,y )，则11B(x ,y )--，则22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a b x y a b 两式作差得到010*******(x x )(x x )(y y )(y y )a b+-+-+=∴22220101220101(y y )(y y )b c a e 1(x x )(x x )a a+--=-==-+-∴201010101=1+-+⋅⋅=--PA PB y y y yk k e x x x x特别说明，①取PB 中点M 时，OM∥PA，于是2=1⋅-OM PB k k e ②若A，B 为长轴上两顶点时，即为人教A 版数学选修1-1第36页练习题4的问题了。

③若焦点在y 轴上椭圆()2222C 10+=>>：y x a b a b，则21=1⋅-PA PB k k e ④椭圆变为圆时，=1⋅-PA PB k k ，此时可以认为e 0=，即为圆的垂径定理。

2.双曲线在双曲线2222C 1x y a b-=：中，A、B 是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：2=1⋅-PA PB k k e 证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

特别说明，①取PB 中点M 时，OM∥PA，于是2=1⋅-OM PB k k e ②若焦点在y 轴上双曲线()2222C 10-=>>：y x a b a b，则21=1⋅-PA PB k k e 应用一．直接秒杀离心率的问题例题1.设A 1,A 2分别为椭圆2222x y 1(a b 0)a b+=>>的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得12PA PA 1k k 2⋅>-,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：122PA PA 1k k =e 12⋅->-，故e 2∈变式：过点M(1,1)且斜率为12-的直线与椭圆C:2222x y 1(a b 0)a b+=>>相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为________.解析：21==1()=12⋅-- OM AB k k e所以e 2=二．直接秒杀中点弦的问题例题2：过点M (1,1)的直线l 与椭圆22x y 143+=交于A ,B 两点,且点M 平分弦AB ,则直线l 的方程为()A .4x+3y-7=0B .3x+4y-7=0C .3x-4y+1=0D .4x-3y-1=0解析：23==1=4⋅--OM AB AB k k k e ，故选B变式：已知双曲线22y x 13-=上存在两点M ,N 关于直线y=x+m 对称,且线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=9x 上,则实数m 的值为()A .4B .-4C .0或4D .0或-4解析：设中点Q 00（x ,y ），则20000200y 9x y x m y(1)e 13x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⋅-=-=⎪⎩解得m=0或者-4三．与角度有关的问题例题3：已知椭圆()2222C 10+=>>：x y a b a b 的离心率2e =，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22178x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠，，则()cos =cos 2βαβ+.解答：令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21tan tan =1=4e αγ∙--()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3===cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5γαβγαγααγαβγαγαγααγ-++∙=+++-∙点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。

垂径定理教案范文一、教学目标1.知识目标：掌握垂径定理的概念和基本性质，理解垂径定理的证明方法。

2.技能目标：能够灵活应用垂径定理解决几何问题。

3.情感目标：培养学生对几何学习的兴趣和好奇心，激发学生的创造思维和解决问题能力。

二、教学重难点1.教学重点：掌握垂径定理的概念和性质，理解垂径定理的证明方法。

2.教学难点：能够运用垂径定理解决几何问题。

三、教学准备1.教具准备：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规等。

2.教材准备：教科书、练习册。

四、教学过程步骤一：导入问题1.教师出示一张图片，上面有一个圆，让学生思考并回答：如何确定一个圆上其中一点的切线？2.引导学生思考，如果有一个点在圆上的直径上，这个点与圆上其他点的位置关系又如何呢？步骤二：引出垂径定理1.教师指导学生完成以下实验：在黑板上画一个圆，并选择一个点作为圆上的直径的一端点。

2.学生观察并进行推理，由实验现象引出垂径定理的概念。

3.教师从定义的角度向学生解释垂线与直径的关系，引出垂径定理的定义。

步骤三：垂径定理的性质分析1.教师让学生通过练习册中的一道题目，完成以下实验：在黑板上画一个圆，并选择一个点作为圆上的直径的一端点。

2.学生观察并进行推理，得出当直径上的点与圆上的其他点连接时，可以得到什么性质。

3.教师总结学生的推理过程，引导学生得出垂径定理的性质。

步骤四：垂径定理的证明方法1.教师给出垂径定理的证明过程，引导学生理解证明中每一步的推理过程。

2.学生在理解的基础上，尝试自己为垂径定理寻找其他的证明方法，并与同学进行交流和讨论。

步骤五：应用垂径定理解决问题1.教师给出一些实际问题，引导学生运用垂径定理解决问题。

2.学生在解决问题的过程中，可以结合学习到的知识和方法，提出自己的解决方案，并与同学进行交流和讨论。

3.教师在学生完成问题后，进行解题分析和总结，帮助学生理解和掌握垂径定理的应用方法。

五、课堂小结1.教师对本节课的教学内容进行总结，并鼓励学生提出问题和疑惑进行讨论。